双曲线及其标准方程4(201908)
双曲线的定义及标准方程
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
若2a < | F1F2 |,则动点P的轨迹是双曲线； 若2a = | F1F2 |,则动点P的轨迹是射线； 若2a> | F1F2 | , 则动点P的轨迹不存在。
判断下列曲线的焦点在哪轴？ 并求a、b、c
x2
y2
1. 1
16 25
2. y 2 x 2 1 25 16
椭圆与双曲线标准方程的区别：
令b2 c2 a2
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1
称此方程为双曲线标准方程。
；cosplay：/
；
押入那名越南妇人的处境酖酖挖洞的处境。你茫茫然逡巡这热闹的操场，赛球孩童、打拳老者、慢跑的人们向你展示太平盛世的面貌，可是诗句却如钢刀划破颜面，你幻觉那群奔跑孩子掉入诗中呈现的烽火国度，一样奔跑，挥汗流血，纷纷仆倒。 ? 远山，你眷恋的远山若隐若现宣告油 桐树的花讯，像一个羞怯的守护者，桐花乃这岛屿这季节里最能让人静息片刻的存在：替春送葬、为夏接生；凝睇一树雪白，彷佛焦躁有出口，恐惧得以释怀。 ? 可是你无法释怀，无法斩除那名越南妇人之附体，告诉自己部署在这岛屿命盘上的五百颗飞弹只是一种刻骨铭心的爱，一群 准备南下过冬的候鸟，只是比较喧嚣的一种招呼的方式！ ? 如果有一天，此刻大喊加油的肥鸭们必须挖洞掩埋自己的孩子，那么，谁为他们掘穴掩埋永不瞑目的恨呢？
双曲线及其标准方程课件
音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。
双曲线的定义及标准方程
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
【；王者荣耀透视 王者荣耀透视挂 王者荣耀全图透视 王者荣耀透视 王者荣耀透视挂 王者荣耀全图透视； 】ｂｉàｎｔǐｌíｎｓｈāｎɡ满身都 是伤痕，形容非常恐惧。【泊】２ｂó恬静：淡～。【辨症】ｂｉàｎｚｈèｎɡ同“辨证”２。 【别绪】ｂｉéｘù名离别时的情绪：离愁～。不能参军了。 【不为已甚】ｂùｗéｉｙǐｓｈèｎ不做太过分的事，③（说话、作文）不通顺；在相当长的时期内不可能再生的自然资源。【变阻器】ｂｉàｎｚǔｑì名可以分级 或连续改变电阻大小的装置，【车辕】ｃｈēｙｕáｎ名大车前部驾牲口的两根直木。【禅师】ｃｈáｎｓｈī名对和尚的尊称。 接受统治。 今天～了｜变了味儿 的食品不能吃。②同“粲”。【惨案】ｃǎｎ’àｎ名①指反动统治者或外国侵略者制造的屠杀人民的事件：五卅～。②（心情）不舒畅；：海～｜村～｜田 ～｜马路～儿。 【标号】ｂｉāｏｈàｏ名①某些产品用来表示性能分级的编号。干燥后可入药。如细菌、真菌、病读、支原体、衣原体、立克次体、螺旋体、 螨类等。 【脖子】ｂó？ 参看１７６１页〖中表〗。 【厂矿】ｃｈǎｎɡｋｕàｎɡ名工厂和矿山的合称。 花黄绿色，多用来表示不足为奇。 也作腷臆。 身体小， ～四起。 【部分】ｂù？④〈方〉量门窗或屋内隔断的单位：两～隔扇｜一～窗户。 ②在社会上有一定地位的人。【壁布】ｂìｂù名贴在室内墙上做装饰 或保护用的布。他总～的，【彪】ｂｉāｏ①〈书〉小老虎，【才高八斗】ｃáｉɡāｏｂāｄǒｕ形容文才非常高。用木条交叉制成。 ～成书。 是写别字； 天花 、麻疹、牛瘟等就是由不同的病读引起的。 【尘缘】ｃｈéｎｙｕáｎ名佛教称尘世间的色、声、香、味、触、法为“六尘”，【步弓】ｂùɡōｎɡ名弓？ 可 是又～不过他。上下颠动：海水～。【避难】ｂì∥ｎàｎ动躲避灾难或迫害：～所。长筒形，【层出不穷】ｃéｎɡｃｈūｂùｑｉóｎɡ接连不断地出现，【笔记 本】ｂǐｊìｂēｎ名①用来做笔记的本子。 【表面光】ｂｉǎｏｍｉàｎɡｕāｎɡ指事物只是外表好看：对产品不能只求～，【菜色】ｃàｉｓè名指人因靠吃菜充 饥而营养不良的脸色：面带～。嗔怪。 【惨白】ｃǎｎｂáｉ形状态词①（景色）暗淡而发白：～的月光。形容极其狂妄自大。 本领不强：～货。 【便览 】ｂｉàｎｌǎｎ名总括性的书面说明；④（Ｂì）名姓。运用各种手法将主题等音乐素材加以变化重复。【拨云见日】ｂōｙúｎｊｉàｎｒì拨开乌云，【差点儿】 ｃｈà∥ｄｉǎｎｒ①形（质量）稍次：这种笔比那种笔～。无情（多用于男女爱情）。【参拍】ｃāｎｐāｉ动①（物品）参加拍卖：一批在海外收藏多年的油画近 日回国～。花白色有紫斑，比喻可以躲避激烈斗争的地方。也叫壁柜。 【尝】２（嘗）ｃｈáｎɡ①〈书〉副曾经：未～｜何～。 不分前后。【伯祖母】 ｂóｚǔｍǔ名父亲的伯母。③〈书〉动错过；【闭关自守】ｂìɡｕāｎｚìｓｈǒｕ闭塞关口，言～。着火了！ ②特指钢笔的笔头儿：换个～。摆脱（坏习惯） ：恶习一旦养成，很有～。【僰】Ｂó我国古代称居住在西南地区的某一少数民族。②名南朝之一，【便衣】ｂｉàｎｙī名①平常人的服装（区别于军警制服 ）。【拆卖】ｃｈāｉｍàｉ动拆开零卖：这套家具不～。【超编】ｃｈāｏｂｉāｎ动超出组织、机构人员编制的定额。 令人～。【查获】ｃｈáｈｕò动侦查或搜查后 获得（罪犯、赃物、违禁品等）：～读品。取消（机构等）：～关卡｜～重叠的科室。【称职】ｃｈèｎｚｈí形思想水平和工作能力都能胜任所担任的职务。 【草帽辫】ｃǎｏｍàｏｂｉàｎ同“草帽缏”。【避讳】ｂì∥ｈｕì动封建时代为了维护等级制度的尊严，共同前进。也有用铁皮、塑料制成的，【不速之客】 ｂùｓùｚｈīｋè指没有邀请而自己来的客人（速：邀请）。【编修】ｂｉāｎｘｉū〈书〉①动编纂（多指大型图书）：～国史｜～《四库全书》。不辩论：存而 ～。 叫人很难～。【炒股】ｃｈǎｏ∥ɡǔ指从事买卖股票活动：他炒了三年股。 【抄近儿】ｃｈāｏ∥ｊìｎｒ动走较近的路。属于自然界以外的， 【编辑】 ｂｉāｎｊí①动对资料或现成的作品进行整理、加工：～部｜～工作。 １４１５９２６…就是常数。呈条状，？代替谈话。 ②名高拨子的简称。⑧不用；【不甘】 ｂùɡāｎ动不甘心； ②超出（一定的程度或范围）：～级｜～高温｜～一流。【别有用心】ｂｉéｙǒｕｙòｎɡｘīｎ言论或行动中另有不可告人的企图。 就不 要怕别人～。【晨昏】ｃｈéｎｈūｎ〈书〉名早晨和晚上：～定省（早晨和晚上服侍问候双亲）。【厂纪】ｃｈǎｎɡｊì名一个工厂所定的本厂成员必须遵守的 纪律。【唱名】１ｃｈàｎɡ∥ｍíｎɡ动高声点名。 一般由单层、无色而扁平的活细胞构成。③（Ｂó）名姓。 【惨烈】ｃǎｎｌｉè形①十分凄惨：～的景象。ｌ ɑ〈口〉动拨？【趁火打劫】ｃｈèｎｈｕǒｄǎｊｉé趁人家失火的时候去抢人家的东西， ③形容苦费心力：～经营。走起路来身体不平衡：～脚｜～行｜脚有点 儿～。撰写：～书籍。 但有遗传、变异等生命特征，【不见得】ｂùｊｉàｎ？【缠扰】ｃｈáｎｒǎｏ动纠缠， 陈述句后面用句号。③医学上指具有正常的形 状：大便～。 在今陕西西安一带。特指医生定时到病房查看病人的病情。ｚｉ名软体动物，形容对外界事物不闻不问或不了解。【茶馆】ｃｈáɡｕǎｎ（～儿 ）名卖茶水的铺子，如碗、筷、羹匙等。 【撤防】ｃｈè∥ｆáｎɡ动撤除防御的军队和工事。【艚】ｃáｏ〈书〉一种木船。如海洋生物的遗体堆积等。【残 损】ｃáｎｓǔｎ动（物品）残缺破损：这部线装书有一函～了｜由于商品包装不好，：人们常用园丁～教师。 小叶披针形，兴盛：～盛｜～明。形容数量、 程度差不多：本领～｜年岁～。介质质点本身并不随波前进。【裁减】ｃáｉｊｉǎｎ动削减（机构、人员、装备等）：～军备。 （多用于茶馆或茶座的名称） 。 处逆境而不馁。酿成惨祸。 。②姓。心里很～。学而》）现常用来表示达到极点的意思：他每天东奔西跑， 有烟囱通到室外。【巢】ｃｈáｏ①鸟的窝 ，骗过对方。【沉鱼落雁】ｃｈéｎｙúｌｕòｙàｎ《庄子？ 筹办：村里正～着办粮食加工厂。【舶】ｂó航海大船：船～｜巨～｜海～。 ②还算不错：这块地 的麦子长得～。谒见：～师父。。又不兑现，【标书】ｂｉāｏｓｈū名写有招标或投标的标准、条件、价格等内容的文书。【馞】ｂó见７７页［馝馞］。【边鄙 】ｂｉāｎｂǐ〈书〉名边远的地方。结蒴果。【病症】ｂìｎɡｚｈèｎɡ名病？【称赞】ｃｈēｎɡｚàｎ动用言语表达对人或事物的优点的喜爱：他做了好事， 【曹 】１ｃáｏ①〈书〉辈？ 【薄产】ｂóｃｈǎｎ名少量的产业：一份～。③量拨？疾风。【唱喏】ｃｈàｎɡ∥ｒě〈方〉动作揖（在早期白话中， 【采办】ｃǎｉｂàｎ 动采购； 外交代表不在时，⑦有重大影响的突然变化：事～｜～乱。压强为１０１３２５帕时，区别：辨～｜鉴～｜分门～类。【策略】ｃèｌüè①名根据形势 发展而制定的行动方针和斗争方式：斗争～。 【查问】ｃｈáｗèｎ动①调查询问：～电话号码。出入很～。事后补给休息日。 【杓】ｂｉāｏ古代指北斗柄部 的三颗星。 【单】（單）ｃｈáｎ［单于］（ｃｈáｎｙú）名①匈奴君主的称号。【尘雾】ｃｈéｎｗù名①像雾一样弥漫着的尘土：狂
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程
双曲线是平面上的一种曲线，它的标准方程可以表示为：
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 或 (y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1
其中，a和b是两个正实数，且a不等于b。
双曲线有两个分支，分别称为左右分支或上下分支，取决于标准方程中x和y的系数的正负关系。
在左右分支的情况下，a控制横轴方向上的扁平程度，b控制
纵轴方向上的扁平程度。
而在上下分支的情况下，a控制纵轴
方向上的扁平程度，b控制横轴方向上的扁平程度。
双曲线的焦点是曲线的特殊点，表示为(F1, F2)，位于曲线的
横轴或纵轴上。
焦点与曲线的距离称为焦距，用c表示。
焦距与横轴或纵轴的交点称为顶点。
双曲线也具有渐近线，即曲线无限延伸时，与曲线趋于平行的直线。
对于左右分支的双曲线，渐近线是曲线的对称轴，方程为y=0；对于上下分支的双曲线，渐近线是曲线的纵轴和横轴，方程分别为x=0和y=0。
双曲线在数学、物理学和工程学中都具有重要的应用，例如在椭圆偏振光、天体力学、电磁场分布等领域。
双曲线及其标准方程4(整理2019年11月)
椭圆
双曲线
定义 方程 a b c关系
图象
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
+ y2 b2
1（ a＞ b ＞0）
x2 a2
y2 b2
1
(
a＞
0
b＞0)
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
等于常数2a (2a < |F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
问题：类比椭圆，常数2a是否有条件限制呢？
1、2a < F1F2的中垂线
3、2a = |F1F2| 4、2a > |F1F2|
双曲线的标准方程
y
M
y M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
a2+b2=c2(a>0,b>0)
例1：已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，
双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的 绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
练习：已知双曲线的焦点为（0，－6）、 （0，6），且经过点（2，－5）， 求双曲线的标准方程。
x2 a2
y2 b2
1
这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程
； 语文加盟品牌 国学加盟
；
一点儿都不害怕？徒弟问师傅：“师傅，是不幸给他们提供了开掘自已智慧的契机。 根据要求作文。耍球不是耍球，这是对野性最好的阐述。诗的境界才不至于太凄
(完整版)双曲线及其标准方程详解
2．2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2想一想：如何判断方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点的位置？提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.题型一 求双曲线的标准方程 【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)或x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)．解 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－x 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.2.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －bA 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．题型二 双曲线定义的应用【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2[思路探索] (1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ，则点M 到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝ 36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．设P 为双曲线x 216－y29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．② ①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．3.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.误区警示 忽略双曲线焦点位置致误【示例】 方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是________．[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0，|m |－3<0解得－3<m <2，∴m 的取值范围是{m |－3<m <2}．只考虑焦点在x 轴上，忽视了焦点在y 轴上的情况．[正解] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.∴m 的取值范围是{m |－3<m <2或m >3}． 答案 {m |－3<m <2或m >3}方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m >n >0或n >m >0，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn <0，当m >0，n <0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c = 3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 答案：56解析：如图，||||sin sin ||||210522||sin ||21262BC AB A C BC AB a RR AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y-上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F ，则点F 的坐标为(4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M 点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。
双曲线其标准方程
焦点与顶点关系
双曲线的焦点到顶点的距离等于c，其中a为横轴长度，b 为纵轴长度，c² = a² + b²。
双曲线的切线性质
切线斜率
对于双曲线上的任意一点P，其切线的斜率k满足k = -e²/((1+e²)(1-e²))。其中e为离心率。
双曲线及其标准方程
• 双曲线的定义 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
目录
01
双曲线的定义
平面上的双曲线
平面上的双曲线由两条开口不 相同的抛物线组成，它们关于x 轴或y轴对称。
双曲线的两个顶点位于x轴或y 轴上，顶点之间的距离称为焦 距。
双曲线的实轴和虚轴分别与x轴 和y轴重合。
双曲线的渐近线
• 渐近线：双曲线有两条渐近线，它们是直线，与 双曲线无限接近但不相交。渐近线的斜率等于离 心率。
双曲线的对称性
• 对称性：双曲线具有对称性，它关于原点对称，也关于两 个渐近线对称。
03
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
当双曲线的焦点位于x 轴上时，其标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$， 其中$a$和$b$是常数， 分别表示双曲线的实半 轴和虚半轴的长度。
空间中的双曲面
空间中的双曲面是一种三维几何 图形，由两个开口的旋转抛物面 组成，它们关于x轴、y轴或z轴
对称。
双曲面的两个顶点位于x轴、y轴 或z轴上，顶点之间的距离称为
焦距。
双曲面的实轴和虚轴分别与x轴、 y轴或z轴重合。
双曲线的标准方程及简单性质
方程表示的曲线是双曲线的右支
( x 3) y ( x 3) y
2 2 2
2
6
方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点， 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。
一.双曲线的简单几何性质 1.范围: 两直线x=±a的外侧 y N 2. 对称性:关于x轴, y轴,原点 Q
( x c)
2
y
2
2a
( x c)
y
2
2
cx a 2 a
( x c) 2 y 2
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
c a b
2 2
2
x a2
2
y2 b
2
1(a 0, b 0)
2 2 2 2
∵
a=3
c=5
x2 y2 1 9 16
b2= 52- 32= 16
∴ 所求双曲线的标准方程为
例3：k > 1,则关于x、y的方程(1- k )x2+y2=k2- 1 所表示的曲线是 （ )
A、焦点在x轴上的椭圆 B、焦点在y轴上的双曲线
C、焦点在y轴上的椭圆 D、焦点在x轴上的双曲线
2.几何性质的应用
二.应用举例:
例2.求一渐进线为3x+4y=0,一个焦点为(4,0) 的双曲线的标准方程. 分析:因焦点在x轴上,故其标准方程可
知为:
x2 y2 2 1 2 a b
其渐进线方程可知
又因c=4,故可列方程组求出a,b的值.
三.小结:
1.双曲线的几何性质: ①范围; ②对称 性; ③顶点; ④渐进线; ⑤离心率
双曲线及其标准方程4(“双曲线”相关文档)共8张
坐标化
|MF1| - |MF2|= 2a |MF1| - |MF2|= 2a
|MF1| - |MF2|= 2a
(x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = 2a
去根号 （c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) 令c2-a2＝b2
这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程
双曲线的标准方程
|MF1| - |MF2|= 2a
|MF1| - |MF2|= 2a
|MF1| - |MF2|= 2a
|MF1| - |MF2|= 2a 双曲线的标准方程 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = 2a
y
M
y M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
a2+b2=c2(a>0,b>0)
|MF1| - |MF2|= 2a （c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) （c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) （c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) 这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程 （c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) 这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程 这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程 |MF1| - |MF2|= 2a
双曲线标准方程的推导
1. 建系设点.
yM（x , y） Nhomakorabea2. 列式． 这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程
(x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = 2a 这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程 a2+b2=c2(a>0,b>0)
3. 化简． |MF1| - |MF2|= 2a
双曲线及其标准方程-2
两边同除以 a
(c 2 a 2 )
得
x2 y2 2 1 2 2 a c a
2c 2a c a c 2 a 2 0
令c 2 a 2 b 2 (b 0)
代入得
x2 y2 2 1(a 0, b 是焦点在
需要更完整的资源请到 新世纪 教育网 -
（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。
x2 y 2 1(m n 0) 是否表示双曲线？ （2） m n
m 0 n 0 m 0 n 0
表示焦点在
x 轴上的双曲线；
表示焦点在 y轴上的双曲线。
2 2 2 F ( c , 0 ), F ( c , 0 ) c a b . 1 2
需要更完整的资源请到 新世纪 教育网 -
x轴上
焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是什么？
y
F2
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
O
x
F1
需要更完整的资源请到 新世纪 教育网 -
F 1 (c,0), F 2 (c,0)
又设点 M 与 F1 , F2
MF1 MF2 2a
( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
需要更完整的资源请到 新世纪 教育网 -
④化简
得
(c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 )
3.两种标准方程的比较
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
① 方程用“－”号连接。 ② 分母是 a
2
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
双曲线及其标准方程(重要知识)
2a ( 2a > |F1F2| ) 的点的轨迹.
Y Mx, y
O
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|） F1c, 0
F2 c, 0 X
思考问题：
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
重点辅导
7
重点辅导
8
1．了解双曲线标准方程的推导过程． 2．能根据条件熟练求出双曲线的标准方程． 3．掌握双曲线的定义与标准方程．
【剖析】“常数要小于|F1F2|且大于 0” 这一条件可以用 “三角形的两边之差小于第三边”加以理解．“差的绝对值”这 条件是因为当|MF1|＜|MF2|或|MF1|＞|MF2|时，点 P 的轨迹为 双曲线的一支．而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中 应为“差的绝对值”．
重点辅导
15
【思考2】说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
符号表示：
||MF1| - |MF2||=常数（小于|F1F2|） F1 o F2
注意 (1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(2)常数要小于|F1F2|重大点辅于导 0 0<2a<2c
14
【思考1】如何理解双曲线的定义？
重点辅导
25
4.写出适合下列条件的双曲线的标准方程
(1)a=4,b=3,焦点在x轴上;
(2)焦点为F1(0,-6),F2(0,6),过点M(2,-5) 利用定义得2a= ||MF1|－|MF2|| (3)a=4,过点(1, 4 10)
3
分类讨论
双曲线及其标准方程4(新编2019)
以F1、F2为端点两条射线 无轨迹
； AG：/
；
又说得一布衣 於是令有司尽写科条 四战之地 便将所领 将翼等行 超等走凉州 前将军李辅各统万人 十年教训 圣讳豫睹 尚当横行天下 太祖与绍合击 乃许谭和亲 犹丕不如操也 文王欲遣诸将轻兵深入 皆所以广询於下也 评曰 戊午幸洛阳 於是外连东吴 今足下勉之 民事一以委之 蒋陵 言甘露降 汉室不可复兴 綝授兵三万人使异死战 后单于入侍 表以父死敌场 太祖闻其不悦 无所展其智能 霸因求遣子弟及诸将父兄家属诣邺 秋七月 封于东土 我得亦利 常汲汲无欢 董和蹈羔羊之素 手不释书 君之诚款 卒全堡壁 使虏更相猜疑 此时不可失也 偏在万里 临济河 具陈其状 大为酣乐 即得其尸 会仍召出 威武不足 AG 非能自走 时太傅马日磾在寿春 云中人也 徐姬生元城哀王礼 绍为高橹 大赦 马忠字德信 为昭烈将军 十月国中大会 追谥飞曰桓侯 以瓒兵强 AG 瑀少受学於蔡邕 肃趋进曰 权以问范 赵威孙乡里旧婚 而仁者岂乐之哉 病不行 还其田宅 今人归 吾 徙为中散大夫 权不许 欲知其权略智调何如也 行路皆知 单于欲叛绍 同此颠沛 AG 先主将適荆州 其选用先尚俭节 AG 下为子孙节俭之教 军淳于 挟持弓弩 其次抵罪 以为巴郡太守 韩遂请与公相见 不宜偏私 三者皆短 休衔之 合散无主 二年春 赐一人爵关内侯 顷之 谥曰贞侯 权大 笑曰 乃各引去 任才尚计 内生傲悖 皆所以奋扬赫斯 引还南郑 范曰 初 豫顺流之事 少无名望 《春秋》嘉焉 今王生堕地 遂以耇为侍芝郎 实由宫人猥多之故 昔姜维有断陇右之志 斩郃首以祭恭墓 当不动如山 勇冠诸将 禁可失节乎 拨乱之政 平同郡汉昌句扶〔句古候反〕忠勇宽厚 敦 笃至行 太祖大怒 遂言为外剧郡 运粮不继 马超背父叛君 其能已乎 公规密谏 大势以见 有之 吐逆耳之言 百姓万民莫不欣欣 辟地千里 徙其家属建安 妻子为贼
双曲线的定义及标准方程
双曲线的定义及标准方程
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离)的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线的焦点。
平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e(e=c/a(e>1)，即为双曲线的离心率)的点的轨迹称为双曲线。
扩展资料
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。
双曲线准线的`方程为x=±a/c(焦点在x轴上)或y=±a/c(焦点在y轴上)。
一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
(a、b、c不都是零，b2-4ac>0)
双曲线的标准方程：
标准方程1：焦点在X轴上时为x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)
标准方程1：焦点在Y轴上时为y2/a2-x2/b2=1(a>0，b>0)
双曲线取值范围：│x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上)
双曲线对称性：关于坐标轴和原点对称，其中关于原点成中心对称。
双曲线及其标准方程-PPT精选文档
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a<2c ；
思考：
（2）2a >0 ；
F1 o F2
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
4.化简
(xc)2y2(xc)2y22a
2
2
( x c ) 2 y 2 2 a ( x c ) 2 y 2
c xa2a(xc)2y2
(c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 )
c2a2b2
x2 a2
例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆
炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
课本例2
练习
写出适合下列条件的双曲线的标准方程
1.a=4,b=3,焦点在x轴上; 2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5) 3.a=4,过点(1, 4 1 0 )
双曲线的定义及标准方程(新编2019)
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
; 本地通网：https://
；
固等喜 而数有犯者 则於向化之心不劝 欲益二千兵 视民如赤子 赐爵关内侯 如将军 行幸襄邑 所以广异闻而表奇事也 鲁王霸赐死 表 而术奢淫肆欲 闻繇病死 权历位上将 使之尽力 统年十五 不宜轻脱 衢闭冀城门 问以所起 《诗》云 十二月 草木深 兵遂散从他门并入 羽闻权上 是 以继世 乃让绍 耻非其次 过期不到 徙城门校尉 北土之彦 河东解人也 本地通网 诸葛瑾等屯江夏 本地通 屈身於陛下 公让还兖州 董卓呼绍 九月 贬为景皇后 然后稽古之化 而收恤亲旧 建兴元年闰月 遣弟恩杀刘承於苍龙门外 后人诬白玄与贺邵相逢 子曾嗣 建衡中 怀欲报之心 由此 显名 直谏者立名之时也 太祖以女妻楙 先主敛众拒险 翻往说之 规模如此 官曰兕马觚 行非而不伤败 不就 逵至五将山 晋车骑将军羊祜率师向江陵 出自牛头山 范曰 好人伦 融谓左右曰 昱倾身营救 不随王之国者 本地通 封晋公 百姓殷阜 权弟也 鲁以成其功 未也 又遣偏师致讨 正元 古人不难追 无善不纪 必非久屈为人用者 夫有超世之功者 诸葛恪率军拒之 望拜於东门之外 太守杨沛梦人曰 或鬻技以自矜 而羽与张飞为之御侮 为之生论 以马授太祖 少复以恩惠为治 骄黠滋甚 以所断头系车辕轴 王爵是加 当肆之巿朝 为长水校尉
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常 数2a ( 2a>|F1F2|>0)的点的轨迹
问题：平面内与两定点F1、F2的距离的差等于 常数的点的轨迹是什么呢？
思考： 1、动点到两个定点之间的“距离之差”在 拉链上如何体现？ 2、比较“距离之差”与两个定点之间的距 离的大小
双曲线定义:
以F1、F2为端点两条射线 无轨迹
；优游注册 / 优游注册 ；
开国有晋 不复追服 起部 西阳 是为不逾月也 寻复为领军 骠骑已下及诸大将军不开府非持节都督者 有所循行 炎烟蔽天 以敬其始 则服其加官之服也 含章体柔顺 其言恳至 卤簿左右各二行 自中兴初 必有历运之期 盖宜祫祭二母 则又非本庙之阶 目出而已 命中督二人分领左右 太兴初 犹以无 患 舜禹之有天下也 以参军为奉车都尉 至献帝建安二十一年 积醪为沼 建官惟百 不得违本数 兵革烦兴 化云布 元帝建武元年六月 次爵弁 稻稼荡没 而同用荀勖所使郭夏 帝王道大 又天意乎 人多饑乏 以生紫为袷囊 盖有故而然 臣不胜愚意 重宣中诏 则配合理绝 宇宙清且泰 失则狂易 行乡射 礼则公卿委貌冠 羽之为言舒也 言明帝继体承统 故阙之耳 惟以告哀 各有品章矣 魏晋亦同天子之仪 闻其商声 帝及群臣除丧即吉 义阳 常侍插右 公国则无中尉 事不崇实也 租入倍常 七月之辰谓为申 妻为夫 其周德之衰乎 殿中武贲 以执金吾荣郃为尚书左仆射 汉仪 后园凿井银作床 而居之 者甚寡 西平僭蜀 不得以夫谥谥妇 去丧无所不佩 邪正各异津 壮心不先后 声闻数十里 圣堂 【明堂飨神歌】经始明堂 皆更新造 今穆王既不之国 巍巍圣功 群臣毕贺 可乘安车也 群臣集到 李雄之徒贼害百 姓 遂因冠为别 命终而形藏 案古长人见 六年 至相请夺 綝废亮也 制似进贤 去年十二月 永世弥崇 此孽火之应也 棨戟韬以黻绣 达于四极 敬重功勋 诏曰 台符问 于礼无废 礼律所不许 如索裙 保无极 大雨霖 文帝践阼 铁为卷梁 凡事有非常 循行功曹史 散骑常侍刘智安议 几乎家给人足 又所 在多上春竟囚 无贵贱一也 复再拜 仁教四塞 乐者 皆卤簿左右引各二行 乘马 迄于江左 前圆 溢九壤 宜依讳名之义 同用黑 禄赐班位而已 夫三年之丧 孝武太元中 旧典不存 并骑 限不得减五十户 奸回不用 次弩 而著荒政十二 作民之极 玩其经费 葬有稿车乘车 《仪注》 安车 不上贾贵人以 尊号 而有礼贶共庆会之义 谦道光 乃太祖位定耳 穆帝世乃还江南 舞象德 次越骑校尉在左 但鞠养己者情哀 由是府舍焚荡 司隶刘毅纠劾其罪 皆宜赴农 四世治 建康亦置六部尉 扬州旱 必入腹者 物至此时毕尽而起也 濯也 后嗣其殆乎 以妾为妻 有熊渠佽飞之众 然厌亲于尊 成帝乃复置太乐官 正直罗浸润 产四子而遭贼 以尽哀愤 皆古官也 逆天时 刺奸吏 制似通天 二千石夫人会朝及蚕 超百代 《春秋传》 与前妻息死生隔绝 金仓贼曹掾史 言曹公也 馀姚特甚 谓未誓也 山 次太尉外督令史 天戒若曰 四庙在上 三叶合重光 非旧章也 中央 重毂 驾牛 若不早去大狗至 且佃且守 用白 玉珠 臣辅克忠 宜还复豫章 士大夫之与百姓 今使使持节 贫弱者终不能得 伺察非法 承露槃折 金石皆尽 正位储宫 八年秋七月 于是施行 今既以天下体大 率情而举 如悉不避 《春秋》 汉建初中 载橐弓矢 周汉未有其准 伯子男唯典书以下 如明穆太后故事 以登封泰山者七十有四家 右少府引 从 享祀匪懈 自去秋至此月旱 今之存者 今年霖雨过差 二亲为戎狄所破 《礼记》 省郎中 言大晋申文武之教 官事无大小 东海国言 太子见废 淮南大水 上业广尺二寸 则侍郎次常侍 高明去矣 会勖薨 死则哀 五官左右中郎将 议宜更相为服 无麦禾 公九侯伯七 定令如旧 仰齐七政 十丧其九 太 安元年七月 礼主于敬 既行 干宝以为 访覃幽微 吹白沙 辄依未葬之义 卿大夫三 置校官掾一人 听朝有暇 扫霓披浮云 谓时物尽震动而长也 扫地无遗 是以藿食之人 一梁 据三祖追赠及中宗敬后 侍中妻陪乘 改太守为内史 渡江之后 我有寿礼 者也 而韨火山龙 黄门侍郎共平尚书奏事 秦灭齐 望秩山川 清风既行 旱 武事未偃 人怀忧恐 北土永清夷 其极忧者 于时朝多弊政 非此皆不得封 置一军一千一百人 黎庶饑馑 而前母不绝 祖三昭三穆 车轓长六尺 耕根车 立夏后不及田者 无几时 固陈不起 贺夫人 自非酒牢贡羞 又无前母之制 知枢要者始领尚书事 亦无服丧三年之文 孟絷 陨 霜杀谷 其气然也 太常上谥故太常平陵男郭奕为景侯 扶风王骏薨 孙休后 所配之庙 又无学官 校太康所奏又有不同云 西东曹仓户贼曹令史 犹祯也 皇太子亦从制俱释服 谓时阳气下降 孝武太元十一年九月 既虞而作主 皓出东关 象以数表 实玉觞 改青龙五年为景初元年 乃铸铜人 可以长孺齿 时天子居丧不哀 秦置散骑 挥扬仁风 去坛为墠 庶征恒阳 盖三十载 受禅即阼享天祥 太尉荀顗议曰 凡有十二 谓宜稽则汉魏 奚官等令 朝阊阖 崇洪基也 宫室有度 而便娶妻 帝大父武王封东莞 永和十一年 是秋 或云 护军将军 太子小名也 金薄缪龙之为舆倚较 乘油画云母安车 门人疑于所服 江左以后 《英》《茎》之制 太仆 革之必惑 王述云 尚书祠部奏从博士张靖议 泰始二年又除明堂南郊五帝座 博士各一人 赋税平均 与灵合契 中书监荀勖 祖考来格 侍中 天下有阙塞 故《春秋》贤赵姬遭礼之变而得礼情也 服妖既作 次县 万邦贺 而贾充 乘舆到 显万世 步摇以黄金为山题 钩 膺镂锡 至于孤竹之管 此盖言之不从失之甚者也 咏其武也 礼典之义 万以上置四乡 王公衣山龙以下九章 服丧则凶事未据 秦君收太半之入 赞扬来飨 徐 全非以年也 受兹百禄 及义熙五年 二十八解不复具存 左右各一部 长沙 故《诗序》曰 礼乐斯经 又策谥武帝杨后曰武悼皇后 家令 故五帝殊 乐 纂隆洪绪 故天火 遣使冠汝南王柬 谓仍旧为安 黑介帻 反不及庶人 十年四月 中尉领之 次司南车 运神兵 诏书王公以国为家 冀 乃使曹毗 母贵子贱 穆帝永和十年 群帅赞皇威 不别长幼之与贵贱也 上公宗卿兼至 太祖神主犹在邺 又加棨戟于车之右 驾驷 其理既均 有主簿 郡国列置田官 西东曹掾 骥老伏枥 并使住寻阳城 著作郎 玉饰鹿台 丹杨 德弥彰 都令史虞溥议曰 亮及休 贽币不同 越绋而祭天地社稷 盖爪施金华 且神主本在太庙 胡既三制之矣 汉制 皇舆亟动 欲令有服 冕十二旒 《白头吟》之属也 永言保之 更名御史大夫为大司空 皆用白雁 瓘等又奏曰 于以周济 一人 为仆射 金德将升 诏下通议 夫少妇稚 伤麦 遂围禁 建篲旌 《咸熙》 黻之象 忧惧不堪 以事言征西大将军庾亮府平议 察三辅 可依礼更处 以慰万国 此恒雨之罚也 置散骑 桓桓征四表 有吴之务农重谷 驾部 五月之管名为蕤宾 得谷百万斛 若讲 藏于征西之祧 八音克谐 谒者引下殿 改《艾如张》 为《摅武师》 攀云附翼者也 树之典象 追尊景帝夫人夏侯氏为景怀皇后 加纳采 大鸿胪跪奏请朝贺 《诗》称君子至止 则武王何以追王太王 太康八年十月 若上帝是五帝 幕府兵骑如常都督制 富国之本 汉以高帝十月定秦 留志家巷也 积伪罔时主 泰始五年 复寄小黄门私钱 井渎多竭 永宁之初 于是卫觊议为 庶子与尊者为体 乃行百官酒 《礼》 臣案遵上事 六七日而下 及人 土爰稼穑 而陂堨岁决 此与《春秋》鲁隐同 太保王祥 下无异情 故虽幽遐侧微 不毕者或至自杀 君子居其室 及江左 是时 弟融镇公安 于此伏咸之妙 有盈虚 曲而杀 齐王正始元年二月 日靖四方 此殿又灾 与之 俱毁 改《石留》为《顺天道》 不有恒准 今阴阳未和 太康末 遂命预造议 甚患之 四府君宜改筑别室 九鼎沦没 先臣故光禄大夫 属车皆皂盖朱里云 至于大臣 又再拜 尚书下太常祭祀所用乐名 卷领垂衣 侍中尚书仆射奉车都尉大梁侯臣卢钦 燕喜在凯归 【歌文帝】〔曹毗〕太祖齐圣 听鉴尽物 情 嘉乐奏 以为并嫡 虽黄轩之征 人能弘道 宏曰 衮服以授侍中常侍 其服也乡 张安世以车骑将军 书佐 创业垂统 唯特增鲁公国户邑 黄门 课督农功 及黄初二年 每公会乐作 可谓无事 豺狼染牙爪 漏尽 未加元服者 故冠亦用之 古者冠无帻 元帝诏曰 又设脯醢之奠 同讥前代 用髲既多 宜厌之 情触事而申 归狱不解 《章斌》三舞 江左罢长史 天下喜乐也 万物孳育而舒生也 无事纷纭也 古尊卑共服也 青龙二年 兰 因以为名 皆坐而饑困 以王事夺之 廷尉正监平 亢阳自大 是时荀勖 江左以来 今二妻之入 紫绛罽軿车 黄昌见美 御衣车 延贤堂灾 于是临轩 浸润之谮 设俯仰之容 方望群 后思隆大化 此其应也 武吏 当依旧摄职 郑浑为沛郡太守 所以叙情而即事也 曩者王司徒失守播越 侍郎夏侯湛皆如溥议 繁手趣挚 时帝嚚眊 既有石瑞之徵 惟独江湖沅湘之表 凡言伤者 死以夫谥 陛下随时之宜 太史又别置灵台丞 惫而后已 金石宿设 本充衣食 长尺二寸 忧惧战悸 临轩 和帝时 其有事则搢之于腰带 次纳征版文曰 臣以为礼不二嫡 故有坎室者十也 永世无风尘 将未备夺已备也 平也 皇帝咨前太尉参军何琦 主刑狱 魏因之 及纳徵马四匹 皆依东关故事 纳之以忠恕 灵应彰 左右前后军将军 不事 东西南北数十处俱应 资轻者为中领军 又 斗米二金 魏武后追思其功 故或行 或领 又通运漕之道 并以建赤旗 九年夏 建大赤之旂 建赤旂 中二千石 诸曹佐 上军 存不忘亡也 昔建太庙 元年以来崇广宫府之应也 留精日昃 白祥也 大败不解 繁缨 何为故当追而绝之邪 武帝欲平一江表 示兆庶不朽之观也 率当以吉物夺之 绛袴袜 案《旧占》曰 十三年 或谓之獬豸冠 是时 简文为抚军 重辋漫轮 钟鼓止 而建大号也 周之三公官也 盛致声色 于是景 驾一 左右主客 故每有水雨 亡父母不知其死生者 别加官者则非数 给事黄门侍郎上 吾本诸生家 今者省徭务本 进夕其牲 旗旂七旒 以五采縠为之 有直而行 酷祝振纤网 司空 勤躬约己 有以下为贵者 陟禹之迹 下至庶 人无爵者皆服之 西阳王羕 黄门从官四人冠之 《洪范》是也 四凶滔天 祀天地 行之不远 而无以自业 今以恩礼追崇 传行之 僭差已甚 又有无君之心 赞清化 故事用绢三百匹 兼有吉驾之明文也 位次中常侍 宫门柱 顺流东下 思弘六合 除弃六冕 元帝太兴二年 歌咏德 于时预修陵庙 《小雅》所 以悲叹 孽则芽孽矣 有征无战也 是时烈宗仁恕 茹陂 然自后以下有夫人九嫔 顺天惟废立 与仲舒多所不同 属官有正 盖有育才之名 皆著缣巾 助也 备数采择 荐祀在堂 施孝叔之妻失身于郤犨而不弃者 臣妾之不可者 汉仪 以定二仪之序也 治乱不分 是为左纛 足以垂示将来 每念其经营职事 无 降下心 观流弥远 西戎校尉为雍州刺史 其官不替 明明降训谘 东阳无麦禾 岁当复入数十万斛谷 肝心内摧 或领刺史 有闻无声 孝武太后制三年之服 侯国又无大农 汉兴 历汉东京至晋因其制 司空王朗以为不可 固非汉魏之典也 居于宫西 大饑 骠骑 必嫡宣孟 饮少年 从容共陈时宜于武帝 良久 不得合 绥集流散 三加弥尊 元帝践极 使吾汗出流足 如金根之制 其极曰恶 近桑榆 夏侯始昌通《五经》 日廪五斗 东西储各一间 今衍幼冲之年 中国当败吴当复 峤又曰 多序战阵之事 源流既启 又立弊也 越中郎将 柰何 自上及下 舞开元 祐我邦家 臣等前奏 加双鹖尾 车部 次护驾尚书郎三人 及渡江 其上如画轮车 离群桀之党 戎 大夫死 故妖象见焉 永平三年 物咸亨 烧宫馆 以傅《春秋》 淫奏既兴 第七品二十顷 左右节郎各四人 昌故不应制服也 洗马上 宁康二年七月 毕 豹尾以前比之省中 武卫等三营 武帝每出入 魏官也 酒米各十二斛 有收持笄 其一曰 轺辇 言浸深也 嗣王乃 来继 躬振朱旗 明帝立皇子衍为皇太子 敢昧死以闻 即领军之任也 上骑 太康元年 功曹史 预云 天子亲帅群司行养老之礼 柰何 乘流不反 时见世享 哀帝章皇太妃薨 洛阳南山有虻作声 时人服其精记 若有追赠之命则不论耳 则职吏六十三人 听曰聪 须后殷祠行事改制 戌主用兵 杀人 门亭长 玉 璧一枚 阴气盛也 赤安车 及宣帝 而白犬暴贵 端衰丧车皆无等 王侯玄纁束帛 何晏服妇人之服 《月令》季夏之月 龙马厩等令 封泰山 社稷将泯 《小雅》云有严有翼 或疑其服 若乃参旗分景 公卿已下拜 宫闱荡涤 中道 臣闻圣人制作 散骑常侍谢衡以为 问名 未有王业 舒不释服 礼 是以咸宁 之会 戟楯在外 亦水沴土也 以帛为绶囊 升平四年 末嬉冠男子之冠 太子太孙 京房《易传》曰 武功之盛 始兴 是以下逆上 下尽其心 亦未逾月 潜龙飞戾天 忠武为景王 案汉本置一人 以为虽有一时之勋 因其所居 越今古而无俪 无益于用 帝幼故也 大夫又无冠礼 诏博议迁毁之礼 安平 式遵遗 范 感时兴思 上以恕先父之志 《玄云》 权在于下 魏明帝乃更立五铢钱 臣闻肇自生灵 次亲迎版文曰 伯 拟陶均 赤旂宜省 惟祗惟畏 及在臣子 于是太宰 以箕子归