一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.8 函数的图像课时规范训练

第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.8 函数的图像课时规范训练理 北师大版[A 级 基础演练]1．(2016·湖南株洲一模)函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图像是( )解析：函数y ＝x sin x 是偶函数，所以其图像关于y 轴对称，排除D ；由x ＝π时，y ＝0，排除C ；由x ＝π2时，y ＝π2，排除B ，故选A.答案：A2．(2015·高考安徽卷)函数f (x )＝ax ＋bx ＋c2的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0解析：函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图像知－c ＞0， ∴c ＜0.令x ＝0，得f (0)＝b c2，又由图像知f (0)＞0，∴b ＞0. 令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图像知－b a＞0，∴a ＜0.故选C. 答案：C3．(2016·江南十校联考)已知函数f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝13x ＋1，g (x )＝f 1 x ＋f 2 x2＋|f 1 x －f 2 x |2，若a ，b ∈[－1,5]，且当x 1，x 2∈[a ，b ]时，g x 1 －g x 2x 1－x 2＞0恒成立，则b －a 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：当f 1(x )≥f 2(x )时，g (x )＝f 1 x ＋f 2 x 2＋f 1 x －f 2 x2＝f 1(x )；当f 1(x )＜f 2(x )时，g (x )＝f 1 x ＋f 2 x 2＋f 2 x －f 1 x 2＝f 2(x )．综上，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1 x ，f 1 x ≥f 2 x f 2 x ，f 1 x ＜f 2 x.即g (x )是f 1(x )，f 2(x )两者中的较大者．在同一坐标系中，画出函数f 1(x )与f 2(x )的图像，则g (x )的图像如图中实线部分所示．由图可知g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (x )在[a ，b ]上单调递增，∴a ，b ∈[0,5]，故b －a 的最大值为5.答案：D4．函数f (x )＝|4x －x 2|－a 有四个零点，则a 的取值范围是________．解析：令y 1＝|4x －x 2|，y 2＝a ，则当a ＝4时，函数图像恰有三个不同的交点，如图所示，当a ∈(0,4)时，有四个不同的交点．答案：(0,4) 5．已知下列曲线：以下是编号为①②③④的四个方程：①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号为________． 解析：按图像逐个分析，注意x ，y 的取值范围． 答案：④②①③6．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列命题： ①b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ②c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数； ③方程f (x )＝0至多有两个实根．上述三个命题中所有正确命题的序号为________．解析：①f (x )＝x |x |＋c ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋c x ≥0－x 2＋c x <0，如图①，曲线与x 轴只有一个交点，所以方程f (x )＝0只有一个实数根，正确． ②c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx ，显然是奇函数． ③当c ＝0，b <0时，f (x )＝x |x |＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx x ≥0 －x 2＋bx x <0.如图②，方程f (x )＝0可以有三个实数根．综上所述，正确命题的序号为①②. 答案：①②7．作出下列函数的图像 (1)y ＝2x ＋1－1；(2)y ＝x ＋2x －1解析：(1) 由y ＝2x向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1.如图(1)．(1)(2)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x的图像，将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图像，如图(2)．8．(2016·郑州模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )．(1)证明：函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称；(2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，求x ∈[－4,0]时的f (x )的表达式． 解：(1)证明：设P (x 0，y 0)是函数y ＝f (x )图像上任一点， 则y 0＝f (x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P ′(4－x 0，y 0)．因为f (4－x 0)＝f [2＋(2－x 0)]＝f [2－(2－x 0)]＝f (x 0)＝y 0， 所以P ′也在y ＝f (x )的图像上．所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称． (2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]， 所以f (－x )＝－2x －1. 又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝－2x －1，x ∈[－2,0]． 当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0,2]， 所以f (4＋x )＝2(4＋x )－1＝2x ＋7， 而f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )， 所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋7，x ∈[－4，－2]，－2x －1，x ∈[－2，0].[B 级 能力突破]1．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －2 2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2解析：由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2， x －2 2，x >2得f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|2－x |，x ≥0，x 2，x <0，所以y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |＋x 2，x <0，4－|x |－|2－x |，0≤x ≤2，2－|2－x |＋ x －2 2，x >2，即y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x >2.因为y ＝f (x )－g (x )＝f (x )＋f (2－x )－b ，所以y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点等价于方程f (x )＋f (2－x )－b ＝0有4个不同的解，即函数y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图像有4个交点．如图所示，作出函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图像．由图像可知，当b <74时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图像没有交点；当b ＝74时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图像只有两个交点；当74<b <2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图像有4个交点；当b ＝2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图像有无数个交点；当b >2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图像只有两上交点．所以b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2.选D. 答案：D2．(2015·高考北京卷)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析：根据图像知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃烧效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．答案：D3．不等式log a x >(x －1)2恰有三个整数解，则a 的取值范围为( ) A ．[165，94] B ．[165，94)C ．(1，165]D ．(1，94]解析：不等式log a x >(x －1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a >1，其整数解集为{}2，3，4，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧log a 4> 4－1 2，log a 5≤ 5－1 2，得165≤a <94，故选B.答案：B4．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________．解析：如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图像，观察图像可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)5．(2015·高考湖北卷)a 为实数，函数f (x )＝|x 2－ax |在区间[0,1]上的最大值记为g (a )．当a ＝__________时，g (a )的值最小．解析 对a 分类画出函数f (x )的图像，由图像确定函数的单调性，由单调性确定最大值g (a )，求出函数g (a )的解析式后，再确定g (a )最小时对应的a 的值．(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，函数f (x )在区间[0,1]上单调递增，故g (a )＝f (1)＝1. (2)当a <0时，函数f (x )的图像如图(1)所示，函数f (x )在区间[0,1]上单调递增，故g (a )＝f (1)＝1－a .(3)当0<a <1时，函数f (x )的图像如图(2)所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24，f (1)＝1－a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－f (1)＝a 24－(1－a )＝ a ＋2 2－84.①当0<a <22－2时，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－f (1)<0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<f (1)，所以g (a )＝f (1)＝1－a ；②当22－2≤a <1时，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－f (1)≥0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≥f (1)，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24.(4)当1≤a <2时，函数f (x )的图像如图(3)所示，因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，1上单调递减，故g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24.(5)当a ≥2时，函数f (x )的图像如图(4)所示，因为函数f (x )在区间[0,1]上单调递增，故g (a )＝f (1)＝a －1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－a ，a <22－2，a24，22－2≤a <2，a －1，a ≥2，当a <22－2时，g (a )>g (22－2)＝3－22；当22－2≤a <2时，g (a )≥g (22－2)＝3－22； 当a ≥2时，g (a )≥g (2)＝1>3－2 2. 综上，当a ＝22－2时，g (a )min ＝3－2 2.答案：22－2 6．对于实数a和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(2x －1)*(x－1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根，则m 的取值范围是________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 x ，x ≤0，－ x －1 x ，x ＞0.作出函数f (x )的图像，如图所示．由图可知，当0＜m ＜14时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 7．已知函数y ＝f (x )同时满足以下五个条件： (1)f (x ＋1)的定义域是[－3,1]； (2)f (x )是奇函数；(3)在[－2,0)上，f ′(x )>0； (4)f (－1)＝0；(5)f (x )既有最大值又有最小值．请画出函数y ＝f (x )的一个图像，并写出相应于这个图像的函数解析式． 解：由(1)知，－3≤x ≤1，－2≤x ＋1≤2，故f (x )的定义域是[－2,2]． 由(3)知，f (x )在[－2,0)上是增函数．综合(2)和(4)知，f (x )在(0,2]上也是增函数，且f (－1)＝－f (1)＝0，f (0)＝0. 故函数y ＝f (x )的一个图像如图所示，与之相应的函数解析式是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 －2≤x <00 x ＝0x －1 0<x ≤2.。