2014中考复习锐角三角函数与反比例函数

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2014中考复习锐角三角函数与反比例函数

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归类示例
例1、己知函数 y 2m 1 x 的图象是双曲线,且y随x的增大而增大,
-1 则m=______.

m2 2
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命题角度：
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8 例4已知如图反比例函数 y 与一次函数y x 2的图像 x 交于A, B两点.求(1) A, B两点的坐标; (2)AOB的面积.
8 y , 解 : (1) x y x 2.
x 4, x 2, 解得或 y 2; y 4.
y A
N M O
B
x
A(2,4), B(4,2).
(2)解 : y x 2, 当y 0时, x 2, M (2,0).
3.能用反比例函数解决某些实际问题。
二、命题规律
1、从枣庄中考情况来看，反比例函数都和一次函数或其他函数相联系，组成一个大题，分数都比较高，因此，在枣庄中考中，反比例函数是一个热点题目，但一般不会很难。
2、题型多以解答题的形式出现有时也以填空题或选择题的形式出现，主要考查函数性质的应用。
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为 1 .
y
P (m,n)
o
D
x
k 5.如图, P是反比例函数 y 图像上的一点 ,由P分别 x 向x轴, y轴引垂线,阴影部分面积为 3, 则这个反比例函数的解析式是____.
解:由性质(2)可得
S矩形APCO | k |, | k | 3.
又图像在二 ,四象限,
P
y
C

九年级数学专题复习锐角三角函数

总复习锐角三角函数【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点进阶：ABCabc(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点进阶：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点进阶：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点进阶：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，一角，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点进阶：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点进阶：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：222a b c +=； (2)两锐角之间的关系：∠A+∠B ＝90°； (3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c==，cos sin b A B c ==，1tan tan a A b B==． (4) 如图，若直角三角形ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p ，则由△CBD ∽△ABC ，得a 2＝pc ；由△CAD ∽△BAC ，得b 2＝qc ；由△ACD ∽△CBD ，得h 2＝pq ；由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab ＝ch ．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则①CD ＝AD ＝BD ＝12AB ； ②点D 是Rt △ABC 的外心，外接圆半径R ＝12AB ． (6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c abr a b c+-==++．直角三角形的面积： ①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B ===△．（h 为斜边上的高）②如图所示，1()2ABC S r a b c =++△．【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质例1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．10 sin50°(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．举一反三：【变式】如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A ．B ．C ．D ．类型二、特殊角的三角函数值例2．解答下列各题： (1)化简求值：tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°；(2)在△ABC 中，∠C ＝90°，化简12sin cos A A -．举一反三：【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值.例3．如图，在锐角△ABC 中，AB=15，BC=14，S △ABC =84，求：（1）tanC 的值；（2）sinA 的值．CBA举一反三：【变式】如图，AB 是江北岸滨江路一段，长为3千米，C 为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥.经测量得A 在C 北偏西30°方向，B 在C 的东北方向，从C 处连接两岸的最短的桥长为多少千米？(精确到0.1千米)类型三、解直角三角形及应用例4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=， AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长．例5．如图所示，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50 m 到达点D ，用高为1.5m 的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高(精确到0.1m)．(参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)．举一反三：【变式】如图所示，正三角形ABC的边长为2，点D在BC的延长线上，CD＝3．(1)动点P在AB上由A向B移动，设AP＝t，△PCD的面积为y，求y与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；(2)在(1)的条件下，设PC＝z，求z与t之间的函数关系式．例6．如图(1)所示，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子与地面的倾斜角α为60°．(1)求AO与BO的长．(2)若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．①如图(2)所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD＝2:3，试计算梯子顶端A 沿NO下滑了多少米；②如图(3)所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′＝15°，试求AA′的长．【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35,则tan A 等于 ( )A ．35 B ．45 C ．34 D ．432．在Rt △ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA=ab．则下列关系式中不成立的是（）A ．tanA•cotA=1B ．sinA=tanA•cosAC ．cosA=cotA•sinAD ．tan 2A+cot 2A=1第2题第3题3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（） A ．34 B ．43 C ．35 D ．454．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是( )A ．247B ．73C ．724D ．135．如图所示，已知∠α的终边OP ⊥AB ，直线AB 的方程为y ＝－33x ＋33，则cos α等于 ( ) A ．12B ．22C ．32D ．336．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB 长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里二、填空题7．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为5．则θ＝．8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为 .9．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB= .第8题第9题第11题10．当0°＜α＜90°时，求21sincosαα-的值为．11．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则t an∠OBE=．12．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为 .三、解答题13．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m 时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）14. 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，如图所示．按规定，地下停车库坡道1:3上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE(精确到0.1 m)（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）15．如图所示，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB上，测量湖中两个小岛C、D间的距离．从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60°，测得湖中小岛D的俯角为45°．已知小山AB的高为180米，求小岛C、D间的距离．(计算过程和结果均不取近似值)16. 在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA，交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系；然后证明你的猜想；(3)当三角尺在②的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C 不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)。

初三中考数学总复习知识点汇总第九章锐角三角函数解直角三角形

初三中考数学总复习知识点汇总:第九章锐角三角函数解直角三角形一、锐角三角函数的概念1、正弦在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b. sinA ＝∠A 的对边斜边＝a c 2、余弦在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b. cosA ＝∠A 的邻边斜边＝b c 3、正切在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b.tanA ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝a b二、特殊角三角函数值1、sin 30°＝ 12 sin 45°＝ 22 sin 60°＝ 322、cos 30°＝32 cos 45°＝ 22 cos 60°＝ 123、tan 30°＝ 33 tan 45°＝ 1 tan 60°＝ 3 三、锐角三角函数的增减性函数的增减性：(0°<α<90°)1、sin α，tan α的值都随α增大而增大；2、cos α的值随α增大而减小．四、解直角三角形1、解直角三角形的定义在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2、解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则：(1)三边关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)两锐角关系：∠A ＋∠B ＝90°；(3)边与角关系：sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝a b； (4)sin 2A ＋cos 2A ＝1.三角形面积公式：S △＝12ah ＝12ab sin C. 五、仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，视线在水平线下方的叫俯角．六、坡度和坡角坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ＝h ∶l.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.i ＝tan α，坡度越大，α角越大，坡面越陡．七、方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．。

初中数学九年级锐角三角函数知识点总结

初中数学九年级锐角三角函数知识点总结28锐角三角函数一、知识框架本文介绍了锐角三角函数的知识点和概念总结，包括特殊值的三角函数、互余角的三角函数间的关系、同角三角函数间的关系以及三角函数值的变化情况。

二、知识点、概念总结1.锐角三角函数的定义：在锐角三角形中，对于角A，其对边、邻边、斜边分别为a、b、c，则有：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，cotA=b/a2.特殊值的三角函数：对于30°、45°、60°这几个特殊角度，其三角函数值为：3.互余角的三角函数间的关系：对于角度α和其互余角90°-α，有以下关系：sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα，tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα4.同角三角函数间的关系：平方关系：sin²α+cos²α=1，tan²α+1=sec²α，cot²α+1=csc²α积的关系：sinα=tanα·cosα，cosα=cotα·sinα，tanα=sinα·secα，cotα=cosα·cscα，secα=tanα·cscα，cscα=secα·cotα倒数关系：tanα·cotα=1，sinα·cscα=1，cosα·secα=15.三角函数值：1）特殊角三角函数值2）0°～90°的任意角的三角函数值，可以查三角函数表。

3）锐角三角函数值的变化情况：i）锐角三角函数值都是正值ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1，1≥cosA≥0，tanA>0，cotA>0。

初三年级期末考试前复习讲义(二)锐角三角函数

初三年级期末考前复习讲义（二）————锐角三角函数知识点回顾与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成角的正弦值。

5、306 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边AC2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

考点一求值计算1.求值1012|20093tan303-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭°2. 计算：0200912sin 603tan30(1)3⎛⎫-++- ⎪⎝⎭°°3.104cos30sin60(2)2008)-︒︒+--:i h l=hl α考点二解三角形利用三角函数求长度4. 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A ．8米B．C．3米 D．3米 2. 一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40°，则梯子底端到墙的距离为（）A ．5sin 40°B ．5cos 40°C ．5tan 40°D ．5cos 40°3. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（）A ．mB ．4 mC ．．8 m4. 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB 的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（）A ．米 B ． 10米 C ．15米 D ． 5．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（）A ．3B ．5C ．25D ．2256. 如图，在∆ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan cos B DAC =∠。

初中锐角三角形和反比例函数和相似

初中锐角三角形和反比例函数和相似首先，让我们从锐角三角形开始。

锐角三角形是指一个三角形的所有内角都小于90度的三角形。

在初中数学中，我们通常会学习三角函数以及它们在锐角三角形中的应用。

而锐角三角形的三个重要的三角函数分别是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。

通过这些函数，我们可以计算出在锐角三角形中任意一个角的正弦、余弦和正切值。

接下来，让我们来探索一下反比例函数。

在数学中，我们常常会遇到一种函数形式，即y与x之间满足y与x的乘积恒定的关系。

这种函数关系被称为反比例函数。

具体而言，对于一个反比例函数，可以用y=k/x的形式来表示，其中k是常数。

反比例函数的图像通常是一个双曲线。

首先，我们来看一下锐角三角形的一个重要性质，即三角比例恒等式。

对于一个任意锐角三角形ABC，我们有以下三个比例恒等式：sin A / a = sin B / b = sin C / ccos A / a = cos B / b = cos C / ctan A / a = tan B / b = tan C / c其中，A、B、C分别表示三角形的内角，a、b、c分别表示与这些角相对的边的长度。

这些比例恒等式表明，在锐角三角形中，角的正弦、余弦和正切值与它们相对的边的比值相等。

现在，让我们来引入反比例函数。

对于一个反比例函数y=k/x，我们可以将k理解为一个比例常数。

现在，我们来看一下，在锐角三角形的三角比例恒等式中，比例常数k与锐角的正弦、余弦和正切值之间的关系。

首先，考虑正弦函数sin。

根据三角比例恒等式sin A / a = sin B / b = sin C / c，我们可以将它表示为：sin A = kasin B = kbsin C = kc其中k为比例常数。

我们可以看到，k与a、b、c之间的关系正好是反比例函数y=k/x的形式。

同样地，我们也可以利用三角比例恒等式来推导出余弦函数和正切函数与反比例函数之间的关系。

九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳

一、三角函数的定义1. 正弦函数sinx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的纵坐标就是sinx。

2. 余弦函数cosx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的横坐标就是cosx。

3. 正切函数tanx：对于任意实数x，将sinx除以cosx就是tanx。

4. 余切函数cotx：对于任意实数x，将cosx除以sinx就是cotx。

5. 正割函数secx：对于任意实数x，将1除以cosx就是secx。

6. 余割函数cscx：对于任意实数x，将1除以sinx就是cscx。

二、三角函数的性质1. 基本关系式：sin^2x + cos^2x = 12. 周期性：sin(x+2kπ) = sinx，cos(x+2kπ) = cosx，其中k为任意整数。

3. 奇偶性：奇函数有sinx、tanx和cotx，偶函数有cosx、secx和cscx。

4. 正函数和负函数：在单位圆上，sinx和cscx为正函数，cosx和secx为负函数。

5. 三角函数的范围：sinx、cosx和tanx的范围是[-1,1]，cotx、secx和cscx的范围是(-∞,∞)。

三、特殊角的三角函数值1.0°、30°、45°、60°和90°的三角函数值。

2.30°、45°、60°和90°的三角函数值的推导。

四、角度的度量转换1.度和弧度之间的转换：π弧度=180°，1°=π/180弧度。

2.角度的换算：1°=60'，1'=60''。

五、倍角、半角和三倍角公式1. 倍角公式：sin2x = 2sinxcosx，cos2x = cos^2x - sin^2x，tan2x = 2tanx / (1 - tan^2x)。

2. 半角公式：sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2) =±√[(1+cosx)/2]，tan(x/2) = ±√[(1-cosx) / (1+cosx)]。

中考总复习锐角三角函数综合复习--知识讲解

中考总复习锐角三角函数综合复习--知识讲解锐角三角函数是初中数学中的一个重要内容，也是中考数学考试中常考的内容之一、掌握了锐角三角函数的定义、性质和相关的计算方法，可以帮助我们解决与角度有关的各种问题，如计算角度的大小、求角的三角函数值等。

下面是锐角三角函数的综合复习知识讲解。

1.弧度制和角度制在介绍锐角三角函数之前，我们首先要了解弧度制和角度制。

在角度制中，一个圆的周长被定义为360度，而在弧度制中，一个圆的周长被定义为2π弧度。

所以可以得到以下关系：360度=2π弧度180度=π弧度90度=π/2弧度2.定义对于任意一个锐角A，我们可以在一个单位圆上面取点P，使得∠POA 的顶点为O，点O为圆心，点P在单位圆上。

这样，我们可以定义以下几个锐角三角函数：正弦函数sinA、余弦函数cosA、正切函数tanA、余切函数cotA。

3.性质(1) 正弦函数sinA：在单位圆上，点P的纵坐标就是正弦值sinA。

(2) 余弦函数cosA：在单位圆上，点P的横坐标就是余弦值cosA。

(3) 正切函数tanA：tanA的值等于sinA/cosA。

(4) 余切函数cotA：cotA的值等于cosA/sinA。

(5) 错位现象：sinA等于cos(90度-A)，cosA等于sin(90度-A)。

4.基本关系式(1) sin²A + cos²A = 1，即sin²A = 1 - cos²A，cos²A = 1 -sin²A。

(2) tanA = sinA/cosA，cotA = 1/tanA = cosA/sinA。

(3) sin(180度 - A) = sinA，cos(180度 - A) = -cosA。

(4) cos(360度 - A) = cosA，sin(360度 - A) = -sinA。

5.锐角三角函数的值(1)0度、30度、45度、60度、90度的正弦、余弦、正切值是特殊的，需要进行熟记。

初三锐角三角函数复习讲义

锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90则∠A 的正弦可表示为：sinA0, ∠A 、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c，∠A 的余弦可表示为：cosA∠A 的正切可表示为：tanA，它们称为∠ A 的锐角三角函数①( )sin A ＝______，斜边②( )cos A ＝______，斜边③( )tan A ＝______，A的邻边【特别提醒：1、sinA、cosA、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关。

2、取值范围<sinA< ，<cosA< ，tanA>例1. 锐角三角函数求值：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt△TNM 中，∠TMN ＝90°，MR⊥TN 于R 点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR 、tan∠TMR．2．已知：如图，⊙O 的半径OA＝16cm，OC⊥AB 于C 点，sin AOC 求：AB 及OC 的长．3 4类型二.利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°．D 是AC 边上一点，DE⊥AB 于E 点．DE∶AE＝1∶2．求：sin B、cosB、tanB．2．如图，直径为10 的⊙ A 经过点C (0，5) 和点O (0，0) ，与x 轴的正半轴交于点D，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则c os∠OBC 的值为（）A．y 12B．32C．35D．45CAxO DB第8题图35.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为2，AC 2 ，则sin B 的值是（）A．23B．32C．34D．436. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片A BCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知AB 8 ，BC 10 ，AB=8,则t an∠EFC 的值为()A DEＡ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45BFC7. 如图6，在等腰直角三角形ABC 中， C 90 ，AC 6 ，D为A C 上一点，若tan1DBA ，则A D 的长为( )5A． 2 B ．2 C．1 D ．2 2类型三. 化斜三角形为直角三角形8.如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2 3，求AB 的长．2．如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2 ，求△ABC 的周长．（结果保留根号）3. ABC 中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC 的面积是（）2 B.43 cm2A.2 3 cm2 D.12 cm2C.6 3 cm类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（）12 A．B．55C．10102 55D． ACO BA B2．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.3．如图，A、B、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到AC'B'，则tan B' 的值为（）A. 14B.13C.12D. 14．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则tan∠AOB 的值是（）A ．55B.2 5512C.D. 2知识点二：特殊角的三角函数值锐角30°45°60°sincostan当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．29.计算：tan 60 sin 45 2 cos30 －1+(2 π－1)0－10.计算：333tan30 －°tan45 °3．计算：122 cos60 sin 4532tan 30 4．计算：t an 45 sin 301 cos60例2．求适合下列条件的锐角．(1)1cos (2)23tan (3)32sin 2 (4) 6 cos( 16 ) 3 32（）已知为锐角，且tan( 30 ) 3，求tan 的值1 22（）在ABC 中，cos A (sin B ) 0 ，A， B 都是锐角，求 C 的度数2 2例3.三角函数的增减性1．已知∠A 为锐角，且sin A < 12，那么∠A 的取值范围是A. 0 <°A < 30 °B. 30 <°A ＜60°C. 60 <°A < 90 °D. 30 <°A < 90 °4. 已知 A 为锐角，且0cos A sin 30 ，则（）A. 0 <°A < 60 °B. 30 <°A < 60 °C. 60 <°A < 90 °D. 30 <°A < 90 °类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E，BE＝16cm，sin A 1213求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC BC 3 ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD 和tan∠BAD．11. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD＝90°，∠CAD 、tan∠CAD．1tan B ，求：sin∠CAD、cos3312. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，sin B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6 ，求tan ∠BAD5的值．AB D C5（.本小题 5 分）如图，△ABC 中，∠A=30°，AC 4 3．求AB 的长.tan3B ，2CAB知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，①三边之间的等量关系：________________________________ ．②两锐角之间的关系：__________________________________ ．③边与角之间的关系：sin A cos B______；cos A sin B _______；1 1tan A _____；tan Btan B tan A______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于D．2＝_________；AC2＝_________； CD2＝_________；AC·BC＝_________． BC例1．在Rt△ABC 中，∠C＝90°．(1)已知：a 2 3 ，b 2 ，求∠A、∠B，c；(2)已知：2sin A ，c 6 ，求a、b；3（3）．已知：△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB 及BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面A、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD为100 米，点 A 、D、B 在同一直线上，则A B 两点的距离是（）A ．200 米B．200 米C．220 米D．100（）米2．在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13 所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点 C ，测得 C 在A北偏西31 的方向上，沿河岸向北前行20 米到达B 处，测得C 在B北偏西45 的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31 °≈35，sin31 °≈12）图133.如图，小聪用一块有一个锐角为30 的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3 3 米，小聪身高AB 为1.7 米，求这棵树的高度.CADB E4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C，从C 处测得树梢A的仰角为45°，沿BC 方向后退10 米到点D，再次测得点 A 的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.1 米．参考数据： 2 1.414， 3 1.732)A45°30°BCD5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的在 A 处，离益阳大道的距离（AC）为30 米．这时，一辆测点设知识检测车速．如图，观为8 秒，∠BAC=75°．小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 B 处行驶到 C 处所用的时间（1）求B、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60 千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到 1 米，参考数据：sin75 °≈0.96，59cos75°≈0.258，8 tan75°≈ 3.73，23 ≈ 1.73，260 千米/小时≈16.7米/秒）坡度与坡角13.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1： 3 ，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB 的长度是（）A．100m B．100 3 m C．150m D．50 3 m14.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度.如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i=1:10，学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE=35m）处的 C 点，测得旗杆顶端 B 的仰角为α，已知tanα= CD =1.6m，请帮小明计算出旗杆AB 的高度. 37，升旗台高AF =1m，小明身高BA i FC = 1:10αD FC E15.如图，有两条公路OM，ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80 米处有一所学校A，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心、50 米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18 千米/时.(1)求对学校 A 的噪声影响最大时,卡车P 与学校 A 的距离;(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪影响的时间.NP30°O M80米 A16.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC=4 米，AB=6 米，中间平台宽度DE =1 米，EN、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB=31°，DF⊥BC 于F，∠CDF =45°．求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．（结果精确到0.1 米，参考数据：sin31 °≈0.，52cos31°≈0.8，6tan31°≈0.）60CE D 45° F31°A N MB5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45o降为30o，已知原滑滑板AB 的长为 5 米，点D、B、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。

初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结

九年级数学中，锐角三角函数是一个重要的知识点。

锐角三角函数是指对于锐角的正弦、余弦和正切函数。

下面我将对锐角三角函数的基本概念、性质和应用进行总结。

一、基本概念1.弧度和角度：角度是常用的角度度量单位，弧度是角度的另一种度量单位。

1个弧度对应360°/2π≈57.3°。

角度和弧度之间的关系式：弧度=角度×π/180°。

2.锐角：指角度小于90°的角。

3. 三角函数：对于一个锐角A，定义其正弦(sin A)为对边与斜边的比值，余弦(cos A)为邻边与斜边的比值，正切(tan A)为对边与邻边的比值。

二、性质1.正弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，sin A > 0；（2）sin A = sin (180° - A) = sin (A + 360°)；（3）sin (90° - A) = cos A；（4）sin A ≠ 0，当且仅当A是锐角。

2.余弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，cos A > 0；（2）cos A = cos (180° - A) = cos (360° + A)；（3）cos (90° - A) = sin A；（4）cos A ≠ 0，当且仅当A是锐角。

3.正切函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，tan A > 0；（2）tan A = tan (180° + A)；（3）tan (90° - A) = 1/tan A；（4）tan A ≠ 0，当且仅当A是锐角。

4.三角函数的关系：（1）sin^2 A + cos^2 A = 1；（2）tan A = sin A / cos A。

三、应用1.解三角形：利用已知角的正弦、余弦和正切的值，可以求解未知边长或角度的三角形问题。

中考总复习锐角三角函数综合复习--知识讲解(基础)

中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．BCabc锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)，②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质1．如图，在4×4的正方形网格中，tanα=( )(A)1 (B)2 (C) 12(D)5【思路点拨】把∠α放在一个直角三角形中，根据网格的长度计算出∠α的对边和邻边的长度. 【答案】B ；【解析】根据网格的特点：设每一小正方形的边长为1，可以确定∠α的对边为2，邻边为1，然后利用正切的定义tan ∠αα=∠α的对边的邻边，故选B.【总结升华】本题考查锐角三角函数的定义及运用，可将其转化到直角三角形中解答，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．举一反三：【变式】在Rt △ABC 中，∠C=90°,若AC=2BC ，则sinA 的值是( ) (A)12 (B)2 (C) 55 (D) 52【答案】选C.因为∠C=90°，522AB=AC +BC =BC ，所以BC BC 5sin A AB 55BC===.类型二、特殊角的三角函数值2．已知a ＝3，且21(4tan 45)302b bc -+-=°，以a 、b 、c 为边长组成的三角形面积等于( )． A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【思路点拨】根据题意知4tan 450,130,2b bc -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩°求出b 、c 的值，再求三角形面积. 【答案】A ；【解析】根据题意知4tan 450,130,2b bc -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩° 解得 4,5.b c =⎧⎨=⎩ 所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，即222a b c +=，其构成的三角形为直角三角形，且∠C ＝90°，所以162S ab ==．【总结升华】利用非负数之和等于0的性质，求出b 、c 的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，注意tan45°的值不要记错．举一反三：【变式】计算：.【答案】原式.3．如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5，求sinB ·sinC 的值．【思路点拨】为求sin B ，sin C ，需将∠B ，∠C 分别置于直角三角形之中，另外已知∠A 的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B 、C 向CA 、BA 的延长线作垂线，即可顺利求解．【答案与解析】解：过点B 作BD ⊥CA 的延长线于点D ，过点C 作CE ⊥BA 的延长线于点E ．∵∠BAC ＝120°，∴∠BAD ＝60°．∴AD ＝AB ·cos60°＝10×12＝5； BD ＝AB ·sin60°＝10353．又∵CD ＝CA+AD ＝10， ∴2257BC BD CD +=∴21sin BD BCD BC ∠==同理，可求得21sin 14ABC ∠=．∴21213 sin sin71414 ABC BCD∠∠=⨯=．【总结升华】由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线等方法将其置于直角三角形中．举一反三：【变式】如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为__________.(结果保留根号)．【答案】类型三、解直角三角形及应用【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID：408468 播放点：例3】4．在△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，AB＝33，求∠BCA的度数和AC的长．【思路点拨】由于∠A是一个特殊角，且已知AB，故可以作AC边上的高BD(如图所示)，可求得332BD=．由于此题的条件是“两边一对角”，且已知角的对边小于邻边，因此需要判断此题的解是否唯一，要考虑对边BC与AC边上的高BD的大小，而33332BC<<，所以此题有两解．【答案与解析】解：作BD⊥AC于D．(1)C1点在AD的延长线上．在△ABC1中，13BC=，33 BD=∴13sin2C=．∴∠C1＝60°．由勾股定理，可分别求得13 2DC=，92 AD=．∴AC1＝AD+DC1＝936 22+=．(2)C2点在AD上．由对称性可得，∠BC2D＝∠C1＝60°，213 2C D C D==．∴∠BC2A＝120°，2933 22AC=-=．综上所述，当∠BCA＝60°时，AC＝6；当∠BCA＝120°时，AC＝3．【总结升华】由条件“两边一对角”确定的三角形可能不是唯一的，需要考虑第三边上的高的大小判断解是否唯一．【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID：408468 播放点：例4】5．（2015•茂名）如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路．（1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）【思路点拨】（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD与AD的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出BD的长，由AD+DB求出AB的长即可；（2）在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的长，由AC+CB﹣AB即可求出输电线路比原来缩短的千米数．【答案与解析】解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠CAD=20×=10（千米），AD=AC•cos∠CAD=20×=10（千米），在Rt△BCD中，BD===10（千米），∴AB=AD+DB=10+10=10（+1）（千米），则新铺设的输电线路AB的长度10（+1）（千米）；（2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC==10（千米），∴AC+CB﹣AB=20+10﹣（10+10）=10（1+﹣）（千米），则整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了10（1+﹣）千米．【总结升华】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．已知斜三角形中的SSS，SAS，ASA，AAS以及SSA条件，求三角形中的其他元素是常见问题，注意划归为常见的两个基本图形(高在三角形内或高在三角形外)(如图所示)：举一反三：【变式】坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋(公元1112年)，为砖砌八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．(1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高．下图为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶(M)的仰角α＝35°，在点A和塔之间选择一点B，测出看塔顶(M)的仰角β＝45°，然后用皮尺量出A，B两点间的距离为18.6m，量出自身的高度为1.6m．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度(tan35°≈0.7，结果保留整数)．(2)如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP的长为am(如图所示)，你能否利用这一数据设计一个测量方案?如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：________________________；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据?________________________________________________________. 【答案】解：(1)设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为x m ，则ME ＝(x-1.6)m ． ∵β＝45°，∴DE ＝ME ＝x-1.6．∴CE ＝x-1.6+18.6＝x+17．∵tan tan 35MECE α==°， ∴1.60.717x x -=+，解得x ＝45． ∴太子灵踪塔MN 的高度为45m ．(2)①测角仪、皮尺；②站在P 点看塔顶的仰角、自身的高度(注：答案不唯一)．6．（2015•锦州）如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P 附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A 处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B 处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P 的距离BP 的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）【思路点拨】过B 作BD⊥AP 于D ，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD 中求出BD=AB=20，在R t △BDP 中求出PB 即可．【答案与解析】解：过B作BD⊥AP于D，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中，∵AB=40，∠A=30，∴BD=AB=20，在R t△BDP中，∵∠P=45°，∴PB=BD=20≈28.3（海里）．答：此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长约为28.3海里．【总结升华】此题主要考查解直角三角形的有关知识．通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题．。

初中锐角三角形和反比例函数和相似

初中锐角三角形和反比例函数和相似初中数学中，我们学习了许多重要的概念和定理，其中包括锐角三角形和反比例函数。

你可能会疑惑，这两者有什么关联呢？事实上，锐角三角形和反比例函数确实存在一些相似之处，让我们一起来探讨一下。

首先，我们来了解一下锐角三角形。

锐角三角形是指三个内角均小于90度的三角形。

其中，锐角是指小于90度的角。

锐角三角形的特点是每个内角都小于90度，因此它的边长相对比较小。

我们通常用k表示一条锐角三角形的边长比例，这个比例是一个小于1的实数。

接下来，我们来了解一下反比例函数。

反比例函数是指两个变量之间的一种特殊关系。

如果两个变量x和y满足y=k/x，其中k为常数，那么我们称y是x的反比例函数。

反比例函数的特点是，当x增大时，y会减小；反之，当x减小时，y会增大。

这种关系常常在实际生活中出现，比如速度和时间的关系，当我们以较快的速度行驶时，所需要的时间就会相应减少。

现在，你可能会问，锐角三角形和反比例函数有什么相似之处呢？其实，锐角三角形的边长比例和反比例函数中的k具有一定的相似性。

在锐角三角形中，边长比例k小于1，表示边长随着角度变小而减小，正好和反比例函数中的关系相一致。

这种相似性让我们可以将锐角三角形和反比例函数进行关联。

那么，锐角三角形和反比例函数之间的关联又有什么实际意义呢？首先，通过锐角三角形的边长比例，我们可以推测出角度的大小。

如果我们知道一个锐角三角形的边长比例为0.5，那么我们可以推断出它的角度肯定小于60度。

同样地，通过反比例函数的关系，我们可以推测出变量之间的关系。

如果我们知道一个反比例函数的k值为0.5，那么我们可以推断出y随着x的增大而减小。

其次，锐角三角形和反比例函数都存在一种限制性因素。

在锐角三角形中，边长比例k小于1，这意味着边长的减小是有限制的，不会无限减小。

同样地，在反比例函数中，当x趋近于零时，y会无限增大，但是x不能等于零。

这种限制性因素给我们的学习和应用带来了一定的指导意义，我们必须注意边长和变量之间的限制条件，避免出现非实际意义的情况。

中考数学复习锐角三角函数专项复习讲义

中考数学复习锐角三角函数专项复习讲义第一课时:三角函数定义与特殊三角函数值知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则∠A 的正弦可表示为：sinA= ，∠A 的余弦可表示为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．①＝______，＝对对)(sin =A 对对)(sin =B ______；②＝______，＝对对)(cos =A 对对)(cos =B ______；③＝______，＝对对对A A ∠=)(tan )(tan 对对对B B ∠=______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，sin A＝______，cos A＝______，tan A＝______，sin B＝______，cos B＝______，tan B＝______．例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN 于R点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．对应练习:1、在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA．2、如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA的值．25247C BA3、已知α是锐角，且cosα=，求sinα、tanα的值．344、在Rt ABC △中，90C ∠= ，5AC =，4BC =，则tan A =．5、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=，那么tanA 的值等于53（）.A ． B.C.D. 354534436、在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝，c ＝4，则a ＝_______．7、如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3），则sinα=_______，cosα=_________，tanα=______ _．知识点二：特殊角的三角函数值当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．（1）.计算：．︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2（2）计算：.︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2例2．求适合下列条件的锐角α ．锐角α30°45°60°sin αcos αtan α(1)(2)21cos =α33tan =α（3）已知α 为锐角，且，求的值3)30tan(0=+ααtan 例3. 三角函数的增减性1．已知∠A 为锐角，且sin A < 21，那么∠A 的取值范围是A. 0°< A < 30°B. 30°< A ＜60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°2. 已知A 为锐角，且，则（）030sin cos <A A. 0°< A < 60° B. 30°< A < 60° C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°类型一特殊三角函数值与计算1、（1）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°（2）计算：．30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+（3）计算：；tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒(4)(5)222sin =α33)16cos(6=- α（图）在中，若，都是锐ABC ∆022(sin 21cos 2=-+-B A B A ∠∠，角，求.C ∠类型二：利用网格构造直角三角形CBA 2、如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.3、如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将绕着点A 逆时针旋转得到，则的值为ABC ∆''B AC ∆'tan B A.B.C.D. 41312114、正方形网格中，如图放置，则tan 的值是AOB ∠AOB ∠（） A ．B. C. D. 252512ABO类型三：直角三角形求值1、已知Rt △ABC 中，求AC 、AB 和,12,43tan ,90==︒=∠BC A C cos B ．2、如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，求AB 及OC 的长．⋅=∠43sin AOC3、已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ；(2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4、已知是锐角，，求，的值A ∠178sin =A A cos A tan 类型四. 利用角度转化求值：1、已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sin B、cos B、tan B．2、如图，直径为10的⊙A经过点和点，与x轴(05)C对(00)O对的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC的值为（）A．BC．D．1 23545图8图图3、如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα=．4、如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3sin5A=，则这个菱形的面积= cm2．5、如图，O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，若O⊙的半径为32，2AC=，则sin B的值是（）A．23B．32C．34D．436、如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点AE ABCD D BC F 处．已知，，AB=8,则的值为( )8AB=10BC=tan EFC∠Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．34433545A DECB F8图7、如图，在等腰直角三角形中，，，ABC ∆90C ∠=︒6AC =D 为上一点，若，则的长为( )AC 1tan 5DBA ∠=AD AB ．C ．D ．218、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线图AD =求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长.3316ABC类型五. 化斜三角形为直角三角形2、已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC ＝5．求：sin∠ABC的值．3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）4、已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．5、ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是A.2 cm 2 .4 cm 2 C.6 cm 2333D.12 cm 2第二课时：解直角三角形知识点三：解直角三角形1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ， ①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：______；_______；==B A cos sin ==B A sin cos _____；______．==BA tan 1tan ==B A tan tan 1 ④直角三角形中成比例的线段．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________；BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．类型一例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，，求∠A 、∠B ，b ；235=c (2)已知：，，求∠A 、∠B ，c ；32=a 2=b (3)已知：，，求a 、b ；32sin =A 6=c (4)已知：求a 、c ；,9,23tan ==b B(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积求a、b、c及∠S12,3B．例2．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC ＝10cm．求AB及BC的长．例3．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．例4．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm ．求AB 及BC 的长．知识点四：三角函数应用类型一：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，，作3==BC AC ∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．31tan =∠B 4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．D CB A5.如图，△ABC 中，∠A=30°，，ABtan B =AC =的长.ACB第三课时，解直角三角形应用类型二：解直角三角形的实际应用一、仰角与俯角：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

中考数学-锐角三角函数小结与复习

中考数学锐角三角函数小结与复习知识结构基础知识1．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，a2+b2=c2，sinA=cosB=ac，cosA=sinB=bc，tanA=cotB=ab，cosA=tanB=ba．2．互余两角三角函数间的关系：如∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB，cosA=sinB．3．同角三角函数间的关系：sin2A+cos2A=1，tanA·cotA=1，tanA=sin cos,cotcos sinA AAA A．4．特殊角的三角函数三角函数0°30°45°60°90°sinα0 1222321cosα 1 322212解直角三角形的基本类型解直角三角形的基本类型及其解法如下表：解直角三角形注意点1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，•但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．4．解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，•然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算．6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．7．解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、•周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．应用题解题步骤度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义．第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）．第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错．第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位．思想方法总结1．转化思想转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．2．数形结合思想本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决．3．函数思想锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a任意确定的一个度数，sina都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina 在（01）之间任意确定的一个值，锐角a 都有惟一确定的一个度数与之对应．4．方程思想在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素．中考新题型例1 计算：（1）sin 230°-cos45°·tan60°（2）223tan 302(sin 451)21-︒+︒-- 分析：把特殊角的三角函数值代入计算即可．解：（1）sin30°-cos45°·tan60°=14-22×3=14-62（2）原式=2+1-3×（3）2+2 22(1)2-=2+1-1+2（1-2）=2 说明：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，是解决这类问题的关键，•这类题也是中考考查的重点，在选择题和填空题中出现的更多．例2 如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．•小明乘缆车上山，从A 到B ，再从B 到D 都走了200米（即AB=BD=200米），•请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47•°≈0.6820，tan47°≈1.0724）分析：缆车垂直上升的距离分成两段：BC 与DF ．分别在Rt △ABC 和Rt △DBF•中求出BC 与DF ，两者之和即为所求．解：在Rt△ABC中，AB=200米，∠BAC=α=30°，∴BC=AB·sinα=200sin30°=100（米）．在Rt△BDF中，BD=200米，∠DBF=β47°，∴DF=BD·sinβ=200·sin47°≈200×0.7314=146.28（米）．∴BC+DF=100+146.28=246.28（米）．答：缆车垂直上升了246.28米．说明：解直角三角形在实际生活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点．要解决好这类问题：一是要合理地构造合适的直角三角形；•二是要熟记特殊角的三角函数值；三是要有很好的运算能力和分析问题的能力．课时作业设计。

初三数学下学期年末知识点复习：锐角三角函数

初三数学下学期年末知识点复习：锐角三角函数知识点在不断更新的同时也需要及时的归纳总结，才能更好的把握，接下来查字典大学网初中频道给大伙儿整理九年级数学下学期期末知识点复习，供大伙儿参考阅读。

锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边余割等于斜边比对边正切与余切互为倒数它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

它有六种差不多函数(初等差不多表示)：函数名正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y(斜边为r，对边为y，邻边为x。

)以及两个不常用，已趋于被剔除的函数：正矢函数versinθ=1-cosθ余矢函数coversθ=1-sinθ事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。

不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。

如此,就会在有限的时刻、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。

日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。

现在是不是感受查字典大学网为大伙儿举荐的九年级数学下学期期末知识点复习专门关键呢?欢迎大伙儿阅读与选择。