第10章 自相关

▪ 如果仅存在

E(ui ui1 ) 0
▪ 称为一阶自相关。

i 1,2, n

14

一阶自回归模式AR(1) （autoregressive）

如果误差项存在一阶自相关：

ut ut1 t 1 1

✓ 其中～N（0,2）， Cov（i,j） = 0，ij ✓ 记作ui服从AR(1)。

一阶序列相关系数
1

第10章 自相关
▪违反基本假定—随机扰动项之间不相关的假定— 称为自相关。 ▪自相关导致OLS估计失去优良性。
2

学习内容
▪ 一、自相关的性质 ▪ 二、实际经济问题中的自相关 ▪ 三、自相关性的后果 ▪ 四、自相关性的检验 ▪ 五、自相关的修正
3

一、自相关的性质
▪ 自相关：按时间或空间顺序排列的观察值之 间存在的相关关系。
▪ 若古典线性回归模型中误差项ui不存在自 相关： Cov(ui ，uj) =E(ui uj) = 0, ij
▪ 例如：在分析消费支出与商品价格的时序 数据时，本期收入的波动，只影响本期消 费支出，对以后的消费支出没有影响。
4

▪ 若误差项之间存在着依赖关系—ui存在自相 关： Cov(ui ， uj) =E(ui uj) 0, ij
▪ 如：本期家庭收入的增加，可能会影响下 一期或以后几期的消费支出。
5

图1

6

实际经济问题中的自相关
1、惯性 2、设定偏误：应含而未含变量；选择了错误
的函数形式 3、蛛网现象(Cobweb phenomenon) 4、数据的加工
7

1、惯性
▪ 多数经济时间序列都存在惯性。 ▪ 如国民生产总值、就业、货币供给、价格指数、消
12

10.2 自相关的后果
1）参数估计量非有效性 ▪ OLS估计得到的仍为线性、无偏估计 ▪ 但不再具有效性 2）OLS估计量的方差有偏
（低估了估计量的标准差） 3）变量的显著性检验失效
（夸大了显著程度） 4）模型预测失效
13

自相关

Cov(ui , u j ) E(uiu j ) 0

i j
35

负自相关
▪ 如b图所示，扰动项的估计值呈锯齿型（一个 正接一个负），随时间逐次改变符号，表明存 在负自相关。
36

D.W检验(Durbin-Watson)

▪ DW(杜宾－瓦尔森)检验：诊断自相关最著名的检 验。

▪ 其定义为 ：

T

2

et et1

d t2 T

et2

t 1

一阶序列相关的检验：
▪ 这种数据加工方式减弱了每月数据的波动而引进数 据的匀滑性。
▪ 用季度数据描绘的图形要比用月度数据看来匀滑得 多。这种匀滑性本身可能使扰动项中出现自相关。
▪ 其他常用的数据加工方法：内插法或外推法。 ▪ 用这些方法加工得到的数据都会给数据带来原始
数据没有的系统性，这种系统性可能会造成误差自 相关。

Yt 1 2 X2t 3 X3t 4 X4t ut

▪ 其中：被解释变量 Y — 牛肉需求量

解释变量

X2—牛肉价格 X3—消费者收入 X4—猪肉价格

▪ 若作回归时用的是:

Yt 1 2 X2t 3 X3t vt

vt 4 X4t ut

10

3、蛛网现象(Cobweb phenomenon)
得到较理想的值。
46

三、从OLS残差et中估计（Cochrane-Orcutt）

▪ et = et-1＋t

n

▪ 利用OLS残差，得的估计量

etet1

▪ 迭代，得的收敛值

ˆ



t2 n

科克伦-奥克特（CORC）方法的步骤： et2

1）使用OLS方法估计方程（1）：

t 1

Yt 1 2 X 2t k X kt et (1)



et2

t 1

n

etet1

ˆ



t2 n

et2

t 1

d 2(1 ˆ )

▪ -1 1 ▪ 0 d 4

38

d 21
1 ˆ 1

值

d 值（近似）

= -1（完全负相关） d = 4

=0（无自相关） d = 2

=1（完全正相关） d = 0

39

DW检验的判断准则

正相关

无自相关

负相关

0

dL

dU

2

4-dU 4-dL

4

▪ 根据DW值判断自相关时，需要临界值。
▪ 杜宾和瓦尔森给出了DW的两个临界值下限dL和上限dU。
40

美国商业部门真实工资与生产率的关系

▪ 回归方程：

▪ RWAGES = 29.5749 + 0.7005×PRODUCT

▪

t = (20.2496) (40.9181)
ut 0.6ut1 t

3 2 1 0
1
-1 -2 -3
ut 0.9ut1 t

10.3 自相关的诊断
▪ 1、图形法 ▪ 2、D.W检验(Durbin-Watson)
32

是否存在自相关？

1200
1000
800
600 30
400 20
200 10
0
-10
-20 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93
▪ 许多农产品的供给表现出的蛛网现象。 ▪ 例如，供给对价格的反应要滞后一个时期。今年的
作物种植是受去年流行的价格影响的。 ▪ 相关的函数形式：
St 1 2 Pt1 ut
11

5、 数据加工
▪ 在经济分析中，原始数据往往是经过加工得到的。 ▪ 例如，在用到季度数据的时间序列回归中，这些数
据通常来自于每月数据。
ut 0.8ut1 t

3 2 1 0
1
-1 -2 -3
ut 0.9ut1 t

3 2 1 0
1
-1 -2 -3
ut 0.95ut1 t

3 2 1 0
1
-1 -2 -3
ut 0.0ut1 t

3 2 1 0
1
-1 -2 -3
ut 0.3ut1 t

3 2 1 0
1
-1 -2 -3

▪ r2 = 0.9755 d= 0.2136

41

D.W检验
▪ D.W检验的运用广泛 ▪ 存在着一个缺陷：
如果DW值落入非决策区域，无法作出是否存在自相 关的结论。
42

10.4 补救措施 差分法
▪ 克服自相关的有效方法。 ▪ 广义最小二乘GLS
43

差分法原理

Yt 1 2 X 2t k X kt ut
费、投资等，都呈现周期波动。 ▪ 当经济复苏时，由萧条的底部开始，大多数经济序
列向上移动，在向上移动的过程中，序列某一点的 值会大于其前期值。直到经济开始衰退。 ▪ 在经济衰退期间，序列某一点的值可能会小于前期 值。直到经济开始复苏。 ▪ 在涉及时间序列的回归方程中，连续的观察值之间 很可能是相关的。
古典线性回归模型的基本假定
1. X与Y之间的关系是线性的。 2. 解释变量与扰动项不相关，或X是非随机变量（取值
固定）。 3. 给定X，扰动项的期望为0：E(u|Xi ) = 0。 4. ui的方差为常数，即同方差假定：
var(ui) =σ2 5. 无自相关假定，即两个扰动项之间不相关：
cov(ui , uj) = 0 i≠j
ut 0.3ut1 t

3 2 1 0
1
-1 -2 -3
ut 0.4ut1 t

3 2 1 0
1
-1 -2 -3
ut 0.5ut1 t

3 2 1 0
1
-1 -2 -3
ut 0.6ut1 t

3 2 1 0
1
-1 -2 -3
ut 0.7ut1 t

3 2 1 0
1
-1 -2 -3

ut ut1 t 1 1
37

构造统计量

n

n

n

n

(et et1 )2

et 2

e2 t 1



2

et et 1

d t2 n
et2

t2

t2

t2

n
et2

t 1

t 1

n

n

n

当n较大时， et 2

，

e2 t 1

， et2大致相等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t2

t2

t 1

n

etet1

d



2(1

t2 n

)
8

2、设定偏误：
1）模型中遗漏了重要变量。 2）模型选择了错误的函数形式。 ▪ 从不正确的模型中得到的残差会呈现自相关。 ▪ 检验是否由于模型设定错误而导致残差自相关
的方法： 将略去的变量加入到模型中，检验残差是否存 在自相关。
9

2、设定偏误：应含而未含变量的情形

▪ 例如，假设真实的回归方程形式为：
44

自相关的修正（的估计）
用不同方法估计出的值会有差异 一、 =1:一阶差分方法 ▪ 假定误差项之间完全正相关 ▪ Yt = α+βXt＋ut ut = ut-1 ＋ t ▪ Yt - Yt-1= β (Xt－Xt-1)＋t
45

二、 从DW统计量中估计
d 2(1 )
1 d
2
▪ 计算出d统计量的值 ▪ 可得到的近似值 ▪ 这种方法很容易使用，但只有在样本量很大时才能



Cov(ut , ut1 )
u2

15

3 2 1 0
1
-1 -2 -3
ut ut1 t

3 2 1 0
1
-1 -2 -3
ut 0.0ut1 t

3 2 1 0
1
-1 -2 -3
ut 0.1ut1 t

3 2 1 0
1
-1 -2 -3
ut 0.2ut1 t

3 2 1 0
1
-1 -2 -3

AR(1) 模型
ut ut1 t

Yt1 1 2 X 2(t1) k X k(t1) ut1

Yt Yt1 1(1 ) 2 ( X 2t X 2(t1) ) k ( X kt X k(t1) ) ut ut1

Y

* t



1(1

)

2 X *t





k X *t

t

uˆt uˆt1 t
2）根据残差，计算一阶序列相关系数的估计值： 3）利用的估计值，求差分方程（2）的OLS估计量：
Yt Yt1 1(1 ) 2 ( X 2t X 2(t1) ) k ( X kt X k(t1) ) t (2)
4）将OLS估计量代入方程（1），求新残差，重复2— 3） 5）当连续迭代的两个的估计值相差不超过某一预定4值7

Residual

Actual

Fitted

时间顺序图(Time sequence plot)： 将残差对时间描点
εt
t
▪ 误差ut并不频繁地改变符号，而是几个正之后跟着 几个负，几个负之后跟着几个正，则呈正自相关。
34

正自相关
▪ 如a图所示，扰动项的估计值呈循环型，而是 相继若干个正的以后跟着几个负的，表明存在 正自相关。