计算机仿真实验：万有引力常数的测定

实验简介

测量万有引力常数G的物理意义是极大的。然而在自然界中万有引力非常微小，对于G的测量需要非常精确的方法。1798年卡文迪许（S. H. Cavendish）用扭秤法测量了两个已知质量球体之间的引力，成为精确测量万有引力常数第一人。19世纪，坡印亭（Poynting）和坡依斯(Boys)又对卡文迪许的实验做了重大改进。随着科学技术的发展，现在公认的万有引力常数Ｇ的值为。

测量引力常数G的意义是极大的。例如，根据牛顿运动定律和万有引力定律可以推算出太阳系中天体的运动情况（与天文观测结果几乎完全一致）；可以根据万有引力定律和卡文迪许实验所算出的G值来确定地球的质量，算出地球的质量和体积，就可以推断出地球内部的物质密度，获得地核性质方面的知识等。

因为G的数值非常微小，所以在地球表面上物体之间的引力很微小，以至于通常可以忽略。因此卡文迪许扭秤法测量万有引力常数G的实验是一个非常精致的实验。时至今日，这个实验的思构思、思想、实验方法仍具有现世的指导意义，并被广泛使用。本实验要求学生：

1.掌握在扭秤摆动中求平衡位置的方法。

2.掌握如何通过卡文迪许扭秤法测量万有引力常数。

实验原理

根据牛顿万有引力定律，间距为r, 质量为 m1 和m2 的两球之间的万有引力F方向沿着两球中心连线，大小为

其中G为万有引力常数。

(1)

实验仪器如卡文迪许扭秤法原理图所示。卡文迪许扭秤是一个高精度的仪器，非常灵敏，为保护仪器和防止外界干扰影响实验测量，扭秤被悬挂在一根金属丝上，装在镶有玻璃板的铝框盒内，固定在底座上。

实验时，把两个大球贴近装有扭秤的盒子，扭秤两端的小球受到大球的万有引力作用而移近大球，使悬挂扭秤的悬丝扭转。激光器发射的激光被固定在扭秤上的小镜子反射到远处的光屏上，通过测量光屏上扭秤平衡时光点的位置可以得到对应的扭转角度, 从而计算出万有引力常数 G。

假设开始时扭秤扭转角度，把大球移动贴近盒子放置，大小球之间的万有引力为

F，小球受到力偶矩N =2 Fl而扭转，悬挂扭秤的金属丝因扭转产生与力偶矩N相平衡的反向转矩N’= K(/2)，扭秤最终平衡在扭角的位置：

F =

G M m / d2

2F l= K( /2)

其中 K是金属悬丝的扭转常数，M是大球的质量，m是小球的质量，d 是大

球小球的中心的连线距离，l 是小球中心到扭秤中心的距离。

由转动方程可求得悬丝的扭转常数:通过转动惯量I 和测量扭秤扭转周期T 就可以得到金属丝的扭转系数K

假设小球相对大球是足够轻，那么转动惯量

因此扭转角

当大球转动到相反的对称位置后，新平衡位置是 , 因此平衡时的总扭转角为

通过反射光点在光屏上的位移S可以得到悬丝扭转角度。由于万有引力作用很弱，使得扭秤平衡时扭转角很小，此时可以认为：

，其中D 是光屏到扭秤的距离。

因此万有引力常数

。

万有引力常数G 计算公式的修正：

由卡文迪许扭秤法原理图可知，小球受到大球M 1作用F 的同时也受到斜后方另一个大球M 2 的作用力 f ,考虑f 作用时，G 值应修正为

, 其中 。

图2 扭秤的偏移和时间曲线

.

(3)

实验仪器

卡文迪许扭秤，激光发射器， 光屏，米尺，秒表，电源。

卡文迪许扭秤:

卡文迪许扭秤被放在镶有玻璃板铝盒内，固定在底座上们，内部主体结构见图。

长约16cm的青铜材料悬丝通过连接片与上、下螺杆连接。扭丝转角调整螺母用于调节扭秤平衡中心的位置，上面的刻度可读出平衡点偏离中心角度。

在下螺杆上装有反射激光的镜子盒相距10cm、质量20g的两个小球。仪器的侧面有一个锁紧螺钉，逆时针转动可向上举起扭秤，使悬丝处于松弛休息状态，顺时针松开时扭秤被放下，可以自由转动,通过鼠标双击切换螺钉状态。底座上有放置大球的可旋转支撑架，可使大球靠近或离开小球。需要调节大球的位置时，在大球上单击鼠标左键，支撑支架带动大球一起向左转动，单击鼠标右键则使得向右转动。底座下面装有调整仪器水平的三个调节旋钮。

激光器:

通过鼠标单击“Power”按钮使得激光器打开或者关闭。

秒表：

电子停表的机芯采用电子元件组成，利用石英振荡频率为基准。其显示装置通常有6位液晶显示，计时时分别显示分、秒、百分之秒各位的数值。电子停表通常有“start/stop(启动/停止)”和“Reset(复位)”按钮。“start/stop”按钮具有开始计时、停止计时和累加计时的功能；“Reset”按钮用于将显示的计时复位为0。通过鼠标在按钮位置的单击显示按动按钮的动作。

实验内容

1.选择主菜单中的“开始实验”选项开始实验。

2.在开始实验显示的实验场景中，在卡文迪许扭秤位置鼠标左键双击打开扭秤调节窗口，

激光器位置双击打开激光器窗口，光屏位置双击打开放大的光屏读数窗口，场景中鼠标右键单击实验窗口弹出选择菜单。

选择“实验场景测量”显示实验场景示意图，通过读取鼠标的位置测量两个小球

，反射镜和光屏之间距离D, 贴近盒子的大球中心到对应小球中心之间距离d。

间距

3.如卡文迪许扭秤法原理图所示，按下列方法调整扭秤位于盒子的中央。

z打开激光器电源：双击电源弹出放大的激光器电源面板。鼠标单击开关打开电源，可以看见激光被镜子反射到远处的光屏上。

z确定平衡位置C：鼠标双击实验窗口中的卡文迪许扭秤进行调节。

通过右键菜单可打开卡文迪许扭秤顶视图。通过的鼠标调节扭丝转角调节旋钮，可对扭秤初始转角进行粗调。

双击锁紧螺钉使得扭秤下落，并且作最大振幅的扭转振动（撞击玻璃板）。记录此时光点在光屏两端最远点的位置x1, x2 。 Xc = (x1+ x2)/2。

z确定实际平衡位置C’：当扭秤振动衰减到不接触盒子两边玻璃板后, 按 下图2 曲线记录下光屏两端光点运动的最远点位置.

z平衡位置X c’可以按照下面方法计算得到:

(Xc’ –x2) / (x1–Xc’) = (x3–Xc’) / (Xc’ –x2)

或 Xc’= (x–x1x3) / (2x2–x1–x3)