(完整版)必修4第2章平面向量典型例题及练习

第二章平面向量
2.1平面向量的实际背景及基本概念
【知识点归纳】
1. 平面向量的概念:
2. 向量的表示：
（常见的2个向量）
3. 相等向量与共线向量:
【典型例题】
题型一向量的基本概念
例1.给出下列命题：
①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②两个单位向量是相等向量；③若a=b, b=c,则a=c；
④若一个向量的模为0,则该向量的方向不确定；
⑤若|a|=|b|贝U a=b。

⑥若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
其中正确命题的个数是（）
A . 1个
B . 2个C. 3个D . 4个
例2下列命题正确的有_________________
①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
④有相同起点的两个非零向量不平行
题型二向量的表示
例3.一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向，向西偏北45°走了200km到
uuu uuu uuu UULT 达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点.（1）作出向量AB , BC ,CD ;（2）求AD
题型三相等向量与共线向量例4如图，设0是正六边形ABCDEF的中心，分别
写出图中与向量OA，OB，OC相等的向量，共线的向量。

题型四利用向量解决多点共线的问题
uuu uuir
例5.如图，四边形ABCD中，AB DC，P,Q是AD，BC上的
uuu uuir uuu uur
点，且BP QD,求证：AP QC
综合练习：
1. 下列命题中，正确的是（）
A. 若|a|=|b|,则a=b
B.若a=b，则a与b是平行向量
C.若|a|>|b|则a>b
D.若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量
2•下列说法中错误.的是（）
A.零向量是没有方向的B•零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的
3•把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是_______
4. ________________________________________________________ 已知非零向量a // b,若非零向量c // a,则c与b关系是_____________________________________________ .
5•已知a、b是两非零向量，且a与b不共线，若非零向量c与a共线,则c与b必定__________
6. 判定下列命题的正误：
①零向量是惟一没有方向的向量。

（）
②平面内的单位向量只有一个。

（）
③方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量。

（）
④向量a与b是共线向量，b // C,则a与c是方向相同的向量。

（）
⑤相等的向量一定是共线向量。

（）
7. 下列四个命题中，正确命题的个数是_________
①共线向量是在同一条直线上的向量
②若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点
③与已知非零向量共线的单位向量是唯一的
④若四边形ABCD是平行四边形，则AB与CD , BC与AD分别共线
2.2
平面向量的线性运算
2.2.1 向量的加法
2.2.2向量的减法
2.2.3 向量的数乘
【知识点归纳】
1. 向量的加法:
2•向量加法的平行四边形法则:
3.向量的加法的运算率:
4.向量的减法:
5. 向量减法的平行四边形法
则:
6.向量数乘的概念:
7•向量的数乘的性质:
8.向量共线的条件:
9.向量的线性运算
10.向量证明三点共线:
三角形的中线与重心公式:
—> 1 —> 1 1 —> —> —> ②BE = a + 2 b ③CF = - 2 a + ? b ④AD + BE + CF = 0•其中正确的命题个数为
【典型例题】 题型一向量的加减法
uuu uuu uuu
uuu uuur uuu uuu A. AB BC CA
B. OA OC BO CO uuu uuur uuur uuur uuur uuu uuu u uu ur
C. AB AC BD CD
D. NQ QP MN MP r 例1.下面给出的四个式子中，其中值不一定为 0的是（） 例2.如图所示，D 、E 、F 分别是△ ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点, 则 AF DB =() B
A. FD
B. FC
C. FE
D. BE 题型二向量的作图
-uuu uuu
例3已知在矩形 ABCD 中，宽为2,长为2.3 , AB a, BC uuur b, AC c,试作出向量a+b+c ，并求出
其模的大小 a b 、cd. 例4.已知向量a 、b 、c 、d ,求作向量 题型二 用已知向量表示未知向量 例5.如图所示，OADB 是以向量OA = a , OB =b 为边的平行四边形, 1 1 「 「 -------- P ' r
又 BM= — BC , CN= — CD .试用 a , b 表示 OM , ON , MN . 3 3
B D
变式：设
E 、
F 分别为 △ ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且
BC = a , CA = b ,给出下列命题: ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
① AB =- I a - b
题型四向量的加减法综合运用例6.设两个非零向量e、e2不是平行向量
（1）如果AB =e-\ + e2，BC =2 e +8 e2，CD =3（e e2），求证A、B、D 三点共线;
（2）试确定实数k的值，使k q + e，和e + ke2是两个平行向量.
例7.已知0是Y ABCD的对角线AC与BD的交点，若AB =a, BC =b, OD =c，试证明：c+a-b=OB .
综合练习：
1•下列命题正确的有____________
①单位向量都相等②长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
③若a, b满足|a|>|b|且a与b同向，贝U a>b
④对于任意向量a、b,必有|a+b|毛||b|
2. 以下四个命题中不正确的有_____________
①若a为任意非零向量，则a// 0②|a+b|=|a|+|b|
③a=b,则|a|=|b|,反之不成立④任一非零向量的方向都是惟一的
3. 已知| AB | 6,| AC | 4，则|BC |的取值范围为_________________
4. 设（AB +CD ）+ （BC + DA ）= a,b丸，则在下列结论中，
正确的有________
①a // b ；②a + b = a ；③a + b = b ；④| a + b |v| a | + | b |
uuu uur uuur uuur
5. 化简AB BC CD DA
6. 如图，在四边形ABCD中,根据图示填空：
a+b= ____ , b+c= _____ ,c-d= ______ ,a+b+c-d= _____
2.3 平面向量
2.3.1平面向量基本定理
【知识点归纳】
1•平面向量的基本定理:
2•向量的夹角:
【典型例题】
题型一基底的判定
例1.设e i、e2是同一平面内的两个向量，则有（）
A. e i、e2 一定平行
B. e i、e2的模相等
C. 同一平面内的任一向量a都有a = Q+ ©（入卩€ R）
D. 若e i、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都
有a = ?e i+ue2（入u€ R）
题型二用基底表示向量
例2.已知a=-e i+3e2, b= 4e i+2e2，其中e i, e2不共线，向量c=-3e i+i2e2,用试用a, b作为基底来表
示c
题型三向量的夹角
例3.已知两个非零向量a, b的夹角为80°,求下列向量的夹角:
（i） a 与-b （2）2a 与3b
练习：
1. 已知向量a = e i-2e2, b =2e i+e2，其中e i、e2不共线，则a+b与c =6e i-2e2的关系
A.不共线
B.共线
C.相等
D.无法确定
2. 已知向量e i、e2不共线，实数x、y满足（3x-4y）e什（2x-3y）e2=6e什3e2，贝U x-y的值等于（）
A.3
B.-3
C.0
D.2
3. ______________________________________________________________ 已知a、b不共线，且 c =入a+ A?b（汕R）,若c与b共线，则乃= _________________________________ .
【知识点归纳】
1•平面向量的正交分解:
2•平面向量的坐标表示:
3.平面向量的坐标运算:
4.平面向量共线的表示:
5.三点共线: 232平面向量的正交分解及坐标表示233平面向量的坐标运算
2.3.4平面向量的共线的坐标表示
【典型例题】 题型一求向量的坐标
例 1.已知点 A (2, 2) B (-2, 2) C (4, 6)
D (-5, 6) E
(-2, -2)
F (-5, -6)
uuv uu/ uuv uuv uiv uuv
在平面直角坐标系中，分别作出向量
AC BD EF 并求向量AC BD EF 的坐标。

题型二 平面向量的坐标运算
r r rrrrrr
例 2 已知 a =(2，1)， b =(-3，4)，求 a + b ，a -b ，3a +4b 的坐标.
例3已知平面上三点的坐标分别为 A( 2， 1)， B( 1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构
成平行四边形四个顶点•
练习：
---- 1 ---------
1.若 M(3 , -2)
N(-5 , -1)且 MP MN , 求 P 点的坐标
2
2 .若 A(0,
1) , B(1 , 2) , C(3 , 4),则 AB 2 BC =.
3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是(
)
A . a (0,0), b (1, 2)
B . a (1,2), b
(5,7) v C . a (3,5) b (6,10) v D . a (2, 3*
(4, 6)
A . (
6, 8) B . ( 3, 6 )
C . (6,8)
D .
(6, 8)
5 .已知平面向量 a (1,2)
—►
，b (m,n)
，且2a
b ，则2a 3b 等于(
)
A . (
2, 4)
B . (
3, 6)
C . ( 5,
10 )
D .
(4, 8)
r r r r r r
4.已知 a (3,2) , b
(0, 1)，贝U 2a 4b 等于( ) 6.已知：(2,3) , b ( 1,2)，若ka b 与a kb 平行，则k 等于(
).
例4已知三个力 F-i (3， 4)，
F 2(2， 5)， F 3 (x ， y)的合力 F 1 + F 2 + F 3 = 0，求 F 3 的坐标.
「_L r r
7•已知a (5,2) , a ( 7, 2)，则4a 3b 的坐标为__________________ .
8 .已知a (2, 4) , b ( 1,3) , c (6,5) , p a 2b c，则以a , b 为基底，求p .
题型三向量共线的证明及判定
例5.已知A(-1 , -1) , B(1 , 3), C(1 , 5) , D(2 , 7)，向量AB与CD平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
题型四向量共线求参数
例6 已知 a (4,2) , b (6,y)，且a//b，求y .
练习：
1. 若向量a=(-1 ，x)与b =(-x，2)共线且方向相同，则x为_________ ,
r 3 r 1 r r
2. 设a (-,sin )，b (cos ,-)，(0,2 )，且a//b，求角
2 3
题型五三点共线
例2:已知A( 1, 1), B(1,3) , C(2,5)，求证A、B、C 三点共线.
例3:设点P是线段P1P2上的一点，P i、P2的坐标分别是(x i，y i)，(X2, y2).
(1) 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标•
练习:
1若a=(2, 3), b =(4, -1+y),且a // b，则y=( )
A.6
B.5
C.7
D.8
2若A(x, -1), B(1 , 3), C(2, 5)三点共线，贝U x的值为( )
A.-3
B.-1
C.1
D.3
3若AB=i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量
).AB 与DC共线，则x、y的值可能分别为( )
A.1 , 2
B.2, 2
C.3 , 2
D.2 , 4
4•已知a=(4, 2), b =(6, y)，且a // b，贝y y= ___________ .
5•已知a=(1, 2), b =(x, 1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为_______________
2.4平面向量的数量积
241平面向量数量积的物理背景及含义
【知识点归纳】
1.平面向量的数量级的概念：
2•平面向量数量积的几何意义:
3.向量数量积的性质:
【典型例题】题型一平面向量数量积的基本概念
例1.给出下列命题：①右|a|=|b| ,则a=b或a=-b ;②|a • b|=|a||b| ;③a • b=Oa=O或b=0;④右a //b 且b / c,贝U a / c。

其中正确命题的个数是()
A. 0 B . 1 C . 2 D . 3
题型二求向量的投影和数量积
例 2.已知|a|=5, |b |=4, a与b 的夹角9 =120,求a b .
练习：1.已知a=(1 , -2) , b=(3 , 4)，贝U a在b方向上的投影是_________
—■ f —■—fc- —fc- —* —b —■ —2.已知| a |=3,| b |=6，当①a // b，②a丄b，③a与b的夹角是60时，分别求a -b .
题型三求向量的模例 3.已知|a|=6, |b|=4, a 与b 的夹角为60。

求(a+2b) (a-3b)
练习：
1. 已知|a|=2, |b|=1, a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为( )
3
A.2
B.2 .. 3
C.6
D.12
f __ =»—fc- Haa> f —•—* =s* —r
2. 已知|a|=1, |b |=72 , (1)若a // b，求a b ；(2 )若a、b 的夹角为6
⑶若a-b与
0 。

，求|a + b|；
" ■—h-
a垂直，求a与b的夹角.
题型四向量垂直的判定
例4.已知|a |=3, |b |=4,且a与b不共线，k为何值时，向量a+k b与a-k b互相垂直
题型五求向量的夹角的余弦值
例5.设m、n是两个单位向量，其夹角为6 0°,求向量 a =2m+n与b =2n-3m的夹角.
242平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【知识点归纳】1.平面向量的数量积的坐标表示
2.平面向量的模的坐标表示
3. 平面向量的夹角的坐标表示
(平行，垂直)
【典型例题】
题型一向量数量积的坐标运算
例1.a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a与b的数量积为________
例2.已知| a|=2，| b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4 b的模为( )
3
A.2
B.2 .3
C.6
D.12
题型二向量的夹角坐标运算
例3.设a=(2,1),b=(1,3),求a • b及a与b的夹角
例4.已知向量a=(-2,-1),b=(入，1)若a与b的夹角为钝角，则入取值范围是多少？
题型三向量的垂直
例5.已知| a |=1 , | b |= ... 2，且(a - b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是(
A.60 °
B.30 °
C.135 °
D. 4 5° 4. 已知 a= 2,1 ,b= ,3 且a b 则= ________________ 。

r r r r r rrrr
5. a=( 4,7);b=(5,2)则 a b= _______ a = ______ 2a 3b a+2b = _____________
r
6. 与a= 3,4垂直的单位向量是 ____________
7. a=(2,3),b=(-3,5)则a 在b 方向上的投影为 __________
8. A(1,2),B(2,3),C(2,0) 所以 VABC 为()
10. 已知点A (1, 2) , B(4,-1),问在y 轴上找点C,使/ ABC= 90o 若不能，说明理由；若能，求 C 坐 标。

例6.已知， (3,2)，当k 为何值时，(1)ka b 与a 3b 垂直? 练习：
r 2 r r 1.已知 a ( 4,3), b
(5,6)则 3 a 4a b=( ) A.23 B.57 C.63 D.83
r r
2. 已知 a 3,4 ,b=
5,12 A. 63
B. .65
C. 65 r 3. a= 2,3 ,b=( 2,4),则
D r r a+b
■ 13 、、13
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不等边三角形
9. 已知 A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6) 则四边形ABCD ^(
) A.正方形 B.菱形 C.梯形
D.矩形 则a 与 b 夹角的余弦为( A ( 4,5 ) B.
2.5平面向量应用举例
【知识点归纳】
1.向量的在几何中的运用:
【典型例题】
例1•证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
已知：平行四边形ABCD .
求证：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2.
uuu r uuir 变式训练：ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O,设AB a, AC
(1)证明A、0、E三点共线；
r r uuur
(2)用a,b.表示向量AO。

例2.求等腰直角三角形两腰上的中线所构成的钝角的余弦值
变式：已知ABC中，a 2,b 3,C 60°，求边长c。