特殊的平行四边形-矩形

又∵AB = DC ， BC = CB
B
C
∴△ABC≌△DCB
∴AC = BD 即矩形的对角线相等
矩形特殊的性质
从角上看：
矩形的四个角都是直角． 从对角线上看：
矩形的两条对角线相等．
矩形的两组对边分别平行 边
矩形的两组对边分别相等
A
D
O
B
C
数学语言
∵四边形ABCD是矩形
角 矩形的四个角都是直角A ∴A∴O∴ABA=∴DDAC=C∥OB=C，CBOD，DC=DDO∥=BAA9BB00
这是矩形所
O
特有的性质
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一 个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交 点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？
A
D
O
B 公平,因为OA=OC=OB=OD C
小试牛刀
如图，在矩形ABCD中，找出
相等的线段与相等的角。
A
D
O
B
C
相等的线段： 已知四边形ABCD是矩形
连结AD、DC.
O
∵AO=OC, BO=OD
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=900
∴ ABCD是矩形
∴AC=BD
∴BO=
1 2 BD=
1 2 AC
例1: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交
于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对
角线的长？
A
D
解：∵ 四边形ABCD是矩形
o
∴AC与BD相等且互相平分
平行四边形的判定定理：
两组对边分别平行的四边形；
边 两组对边分别相等的四边形；
平行四 边形的 判定：
一组对边平行且相等的四边形； 对角线 对角线互相平分的四边形；
角 两组对角分别相等的四边形；
情 景
我们已经知道平行四边形是特殊的 四边形，因此平行四边形除具有四 边形的性质外，还有它的特殊性质，
创 设
4.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，
BD是斜边AC上的中线
A
(1)若BD=3㎝ 则AC＝ 6 ㎝
┓
B
D C
(2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ 10 BD＝ 5 ㎝.
㎝，
※ 矩形的性质定理1
矩形的四个角都是直角.
※ 矩形的性质定理2
矩形的对角线相等.
※推论
直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半.
证明： ∵四边形ABCD是矩形
A
D
∴ ∠A=90°
又 矩形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D
B
C
∠A +∠B = 180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角
求证:矩形的对角线相等
已知：如图,四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD
A
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
18.2 特殊的平行四边形
18.2.2 矩形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
A
D 如果
D
AB∥CD
BFra Baidu bibliotek
C AD∥BC
四边形ABCD
边
B
C
ABCD
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
平行四 边形的 对角线 平行四边形的对角线互相平分；
性质： 角
平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角互补；
∵OA=OB
O
∴ △AOB为等边三角形
B
∴AB=OA=
1 2
AC=4cm
C
在Rt△ABC中，
BC= AC2 - AB2 = 82 - 42 = 48 ≈6.93（cm）
方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60°
或120°, 则其中必有等边三角形.
营中热身
矩形具有而一般平行四边形不
具有的性质是 ( C )
A.对角相等
B.对边相等 C.对角线相等
D.对角线互相平分
营中寻宝
D
C
O
• 已知:四边形ABCD是矩形
1.若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
A
B
则AC＝___1_0___ ㎝ OB=____5___ ㎝
2.若已知 ∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD= ___4__cm AB= __4__3_cm
营中寻宝
A
D
AB=CD AD=BC AC=BD
OA=OC=OB=OD= 1 AC= 1 BD
相等的角：
2
2
B
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
O C
∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD ∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
等腰三角形有： △OAB △ OBC △OCD △OAD
∴ OA=OB
B
C
∵ ∠AOB=60°
∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=AB=4(㎝)
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)
P95练习3：已知：如图，矩形ABCD
的两条对角线相交于点O，
∠AOD=120°，AC=8cm，求矩形对
角解：线的在矩长形A.BCD中，
A
D
∵ ∠AOD=120° ∴ ∠AOB=60°
直角三角形有： Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA
Rt△DAB
全等三角形有：
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB
△OAB≌△OCD
△OAD≌△OCB
再探新知
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中线.
1
求证: BO =2 AC
A
D
证明: 延长BO至D,使OD=BO,
同样对于平行四边形来说有特殊情 况即特殊的平行四边形，也就是这 堂课我们就来研究一种特殊的平行
四边形—— 矩形
两组对边 平行 一个角是 分别平行 四边形 直角 矩形
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
矩形的一般性质：
具备平行四边形所有的性质
对角线
矩形 的两条对角线相等 矩形的 两条对角线互相平分
观察并思考
下面这些物体是什么形状,它 们是轴对称图形吗?是中心对 称图形吗？有几条对称轴?
边
角
对角线 对称性
平行四 对边平行 对角相等 对角线互 中心对 边形 且相等 邻角互补 相平分 称图形
矩形
对边平行 四个角 对角线互相 中心对称图形 且相等 为直角 平分且相等 轴对称图形
A
D
O
B
C
边 对边平行且相等 角 对角相等 对角线 对角线互相平分
探索新知:
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行 四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
A
D
B
C
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°