2020-2021高中三年级数学下期中试卷及答案(6)

2020-2021 高中三年级数学下期中试卷及答案(6)
一、选择题
1．已知数列an的前 n
项和为
Sn
，且
an
4
1 2
n
1
，若对任意
n
N*
，都有
1 pSn 4n 3 成立，则实数 p 的取值范围是（ ）
A． 2,3
B． 2, 3
C．
2,
9 2
D．
2,
9 2
2．已知数列 an 中， a1 1, an1 2an 1 n N , Sn 为其前 n 项和， S5 的值为（ ）
从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列an，则 log2 a3 a5 的值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
10．已知 ABC 中， A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，且 b 3 ， c 3 3 ，
B 30 ，则 AB 边上的中线的长为( )
A． 3 7 2
B． 3 4
从而得结论． 【详解】
最下层的“浮雕像”的数量为
a1 ，依题有：公比 q
2, n
7, S7
a1
1 27 1 2
1016 ，解
得 a1 8 ，则 an 8 2n1 2n2 1 n 7, n N* ， a3 25 , a5 27 ，从而
a3 a5 25 27 212,log2 a3 a5 log2 212 12 ，故选 C．
故 a8 a9 a6 a7 q2 q2 9．
a6 a7
a6 a7
故选：D．
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据均值不等式，可有 x2 y2 x y ，则 x2 y2 x y ， x2 1 y2 x 1 y ，
据此可得：数列an 1 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列，则：
an 1 2 2n1, an 2n 1 ，
分组求和有：
S5
2 1 25 1 2
5 57
.
本题选择 D 选项.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出
S10 S5
2x y k 0
则 k＝( )
A．－16
二、填空题
B．－6
C．- 8 3
D．6
13．已知 lg x lg y 2 ，则 1 1 的最小值是______. xy
14．等差数列an前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 1, ak a4 0 ，则 k .
15．在等比数列 中，
，则 __________．
2
2
2
2
1 x2 y2 1 x y ， 1 x2 1 y2 1 x 1 y ，再利用不等式的基本性质，两
2
2
边分别相加求解。
【详解】
因为 x2 y2 2xy
所以 2(x2 y2 ) 2xy x2 y2 (x y)2
所以
x2 y2 x y
2
2
所以 x2 y2 x y 2
，都有
，若
，
，
，则数列 的前 项和 的取值范围是__________．
20．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一
千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半
里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？
三、解答题
【详解】
解： b 3, c 3 3, B 30 ，
由余弦定理 b2 a2 c2 2accosB ，可得 9 a2 27 2 a 3 3 3 ， 2
Sn
4
1 2
0
4
1
1
2
4
1 2
n1
4n
1
1 2
n
1
1 2
4n
2 3
2 3
1 2
n
1 pSn 4n 3
即1
p
2 3
2 3
1 2
n
3
对任意 n N* 都成立， 当 n 1时，1 p 3
当 n 2 时， 2 p 6
当 n 3 时， 4 p 4 3
（Ⅱ）若 b 4, c 6 ，求 cos B 和 cos A 2B 的值.
23．已知数列an的前 n 项和为 Sn ，满足 Sn 2an n n N* .
（Ⅰ）证明：an 1 是等比数列；
（Ⅱ）求 a1 a3 a5 a2n1 的值.
24．已知在等比数列{an}中， a2 ＝2，， a4a5 ＝128，数列{bn}满足 b1＝1，b2＝2，且
x2 1 y2 x 1 y
2
1 x2 y2 1 x y
2
1 x2 1 y2 1 x 1 y
2 所以两边分别相加得
x2 y2 x2 1 y2 1 x2 y2 1 x2 1 y2 2 2
当且仅当 x y 1 取等号 2
故选：B 【点睛】 本题主要考查了均值不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
由 an1 an 2 an 1 1，可得 an1 1 an 1 1 2 ，an1 1 an 1 1 ，
an +1 是以1为公差，以1为首项的等差数列.
∴ an 1 n, an n2 1，即 a20 202 1 399 .
故选 C.
取得，
则直线 z ax y 的斜率不大于直线 3x y 1 0 的斜率，
即 a 3， 3 a 0. （2）当 a 0 时，直线 z ax y 的斜率为负，易知最小值在 A 处取得， 要使得 z 的最大值在 C 处取得，则直线 z ax y 的斜率不小于直线 x y 11 0 的斜率 a 1， 0 a 1. （3）当 a 0 时，显然满足题意. 综上： 3 a 1.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大值. 【详解】
x y 11 0 作出不等式组 7x y 5 0 对应的平面区域（如图阴影部分），
3x y 1 0 目标函数 z ax y 的几何意义表示直线的纵截距，即 y ax z ， （1）当 a 0 时，直线 z ax y 的斜率为正，要使得 z 的最大值、最小值分别在 C, A 处
5．已知等比数列
an
的各项都是正数，且
பைடு நூலகம்
3a1
,
1 2
a3
,
2a2
成等差数列，则
a8 a6
a9 a7
A． 6
B． 7
C． 8
D． 9
6．已知 0 x 1， 0 y 1，则
x2 y2 x2 1 y2 1 x2 y2 1 x2 1 y2 的最小值为（ ）
A． 5
B． 2 2
C． 10
A．63
B．61
C．62
D．57
3．等比数列
an
的前
n
项和为
Sn
，若 S3 =2，S6 =18
，则
S10 S5
等于(
)
A．－3
B．5
C．33
D．－31
4．已知数列 an 的首项 a1 0, an1 an 2 an 1 1 ，则 a20 （ ）
A． 99
B．101
C． 399
D． 401
21．已知等差数列an的所有项和为150 ，且该数列前10 项和为10 ，最后10 项的和为
50 .
（1）求数列 an 的项数；
（2）求 a21 a22 a30 的值. 22．在△ABC 中， A, B,C 对应的边为 a,b, c .已知 a cos C 1 c b .
2 （Ⅰ）求 A ；
a2 a1 a1 29 28
2 1 1 210 1023，选 C. 1 2
【点睛】
本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
数列 an ，是等比数列，公比为 2，前 7 项和为 1016，由此可求得首项 a1 ，得通项公式，
{
bn
1 2
an
}为等差数列．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前 n 项和
25．已知数列 an 是公差为 2 的等差数列，若 a1 2, a3, a4 成等比数列．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）令 bn 2n1 an ，数列 bn 的前 n 项和为 Sn ,求满足 Sn 0 成立的 n 的最小值.
.
【详解】
设等比数列an的公比为 q （公比显然不为 1），则
a1 1 q6
S6 1 q
S3 a1 1 q3
1 1
q6 q3
1 q3
9
，得 q
2，
1 q
a1 1 q10
因此， S10 1 q S5 a1 1 q5
1 q10 1 q5
1 q5
1 25
33 ，故选
C.
1 q
【点睛】
本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一 般在求解等比数列问题时，有如下两种方法： （1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公 式或求和公式来进行计算； （2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．
【点睛】 本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后 利用数列的知识求解．