第三章 二维随机变量联合分布浙江大学
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概率论3-1
归一性
F(,)
f (x, y)dxdy 1
. 2F(x, y) f (x, y) xy
定义 若二维 随机变量 （X，Y）的所有可能取值
只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随 机变量。
研究问题 如何反映（X，Y）的取值规律呢？
联想一维离散型随机变量的分布律。
（X，Y）的联合概率分布（分布律）P(62)
表达式形式
P{X xi ,Y y j} pij (i 1,2, ; j 1,2, )
例 设随机变量X在1,2,3,4这四个整数中等可能地取 一个值，若X的值取定时，另一个随机变量Y在1~X等 可能的任取一个整数值。求(X,Y)的联合分布律。
解 由于{X=i,Y=j}的取值情况是i=1,2,3,4,j取不大于i的 正整数。根据乘法公式得
P{X i,Y j} P{X i}P{Y j X i} 1 1 (i 1,2,3,4, j i) 于是得X，Y的联合分布率如下 4 i
F(, ) 0 F(, ) 1
x
(3) 对每个变量右连续
F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ) F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ) (4)对于任意 a < b , c < d
F (b, d) – F (b, c) – F (a, d) + F (a, c) 0 事实上 F (b, d) – F (b, c) – F (a, d) + F (a, c)
表格形式（常见形式）
X Y
y1
yj
x1 xi
p11
pi1
p1 j pij
性质
0 pij 1
二维随机变量(X,Y)的联合分布
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解：设X可能的取值为 i, i 1,2,3,4
Y可能的取值为 j, j 1, , i .
则： P( X i,Y j)
定义 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数 为F(x,y),分别把X和Y的分布函数记为FX(x)和FY(y)， 叫做二维随机变量(X,Y) 关于X和Y的边缘分布函数.
即: FX (x) P{X x} PX x,Y F(x,)
FY ( y) P{Y y} PX ,Y y F(, y)
定义：设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 F(x,y),若存在非负函数f（x，y），使对任 意实数 x，y 有
x
y
F( x, y)
f (u, v)dudv
则称（X，Y）是二维连续型随机变量,f（x，y）
称为（X，Y）的联合概率密度函数。
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说明
(1) 分布函数 F( x, y) 是连续函数. (因为 F( x, y)
是积分上限函数)
(2)
的性质
(i) f (x, y) 0
(ii)
f ( x, y)dxdy F (,) 1
(注：从几何上看，z f ( x, y)表示空间的一个曲面，
介于它和XOY面的空间区域的体积为1）
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xy
F( x, y)
f ( x, y)dxdy
f ( x, y) Fxy ( x, y)
几何意义
(X,Y)平面上随机点的坐标
F (x, y) P { X x,Y y }
二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布 一、 二维随机变量及其联合分布设Ω为某实验的样本空间，X 和Y 是定义在Ω上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y ）为比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。
§3.1.1联合分布函数定义1：设（X ，Y ）为二维随机变量，对任意实数χ，y为（X ，Y ）的分布函数或称为X 与Y 几何上，F （χ，y ）表示（X ，Y ）落在平面直角坐标系中以（χ,y ）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图） y 二维随机变量（X ，Y ）的分布函数F （x,y 1°F(x,y)对每个自变量是单调不减的，即若x1<x2，则有F(x1,y)≤F(x2,y); 若y1<y2，则有F(x,y1)≤F(x,y2).2°0≤F(x,y)≤1且 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=13° F(x,y)对每个自变量是右连续的，即 F （x+0,y ）= F （x,y ）, F （x,y+0）= F （x,y ） 4° 对任意x1≤x2, y1≤y2有 F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0事实上，由图可见(见右图)F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)例1设（X ，Y ）的分布函数为解：由性质4°可得X，Y）的所有可能取值为有限对或可列对，则称（X，Y设（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）,i ,j=1,2,……P{X=xi,Y=yj }=pij,i,j=1,2,……，为（X，Y）的分布律，或称为X与Y 用表格表示:性质 1. pij≥0,一切i,j,2. 显然，（X，Y）落在区域D内的概率应为由此便得（X，Y）的分布函数与分布律之间关系为例2两封信随机地向编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个邮筒内投，令 X表示投入Ⅰ号邮筒内的信件数； Y 表示投入Ⅱ号邮筒内的信件数。
概率论与数理统计浙大第四版-第三章2
3 y (4 y ) 3 2 x y dx , 0 y 4, 16 y 32 0 , 其它．
fY ( y ) 0 ，故 因为仅当 y 在 (0,4) 内取值时， 2x y x 2, , f ( x , y) f X |Y ( x | y) 4 y f Y ( y) 其它． 0 ,
3x 2 , 0 x 1, 其它． 0,
3x 1 f ( x , y ) 2 , 0 y x 1, 3x f Y | X ( y | x) x f X ( x) 0, 其它．
于是
1 1 1 1 8 8 P{Y | X } f Y | X ( y | x )dy 4 dy 0 8 4 4 2
j ，若
易知上述条件概率具有分布律的性质
1) P{ X xi Y y j } 0
2)
P{ X x
i 1
i
Y y j}
i 1
pi j p j
p j p j
1
同样，设 ( X , Y是二维离散型随机变量，对于固定 ) 的
P{ X xi } 0 ，则称 pi j P{Y y j X xi } j 1, 2 , pi 为在 X xi 的条件下 X 的条件分布律。
G
0
2
x2
0
16 A x y dy 3
3 A 16
f X ( x)
f ( x , y ) dy
5 3 x2 3x x y dy , 0 x 2, 16 0 32 0 , 其它．
fY ( y )
浙江大学《概率论与数理统计》课件ch3
1 0.04 0.0375 0.035 0.1125
P ( X i)
0 1 2
P (Y j )
0.80 0.15 0.05 1
16
( 人 吸 ) 2 P 患 病X 中或 2烟Y P 1 |
P X 1或 2 | Y 1 1 0 .0 3 7 5 0 .0 3 5 P X 0 .0 或 5 Y0 .0 1 13 7 2 | 3 5 0 .6 4 4 0 .6 4 4 4 1 2 5 0 .1 0 .0 3 7 5 0 .1 1 2 5 .0 3 5 0 .6 4 4 4 0 .1 1 2 5
1 2 X 0 解 ：1 由 题 意 可 得 ： p 0.80 0.15 0.05
P Y 1 | X 0 0 .0 5, P Y 1 | X 1 0 .2 5, P
.2 5, P Y 1 | X 2 0 .7 0
X \Y
0 0.76 0.1125 0.015 0.8875
1
二元随机变量
问题的提出
例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研
究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。
需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究
身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同
一样本空间的两个随机变量。
例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚
炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确
t2
t 1 。 试 写 出 X 1 , X 2的
解 ： P N t k
e
t
t
k!
k
, k 0 ,1, 2 ,
P X 1 i , X 2 j P X 1 i P X 2 j | X 1 i
(完整word版)(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结
P(AB）=P（A)P（B)；P（BC)=P(B)P（C）；P（CA)=P（C）P（A）
并且同时满足 P(ABC）=P(A）P（B）P（C)
那么 A、B、C 相互独立.
对于 n 个事件类似。
(15)全概 公式
设事件 B1, B2,, Bn 满足 1° B1, B2,, Bn 两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2,, n),
k)
CMk
•
ห้องสมุดไป่ตู้
C
nk N M
,
k
0,1,2, l
C
n N
l min(M , n)
随机变量 X 服从参数为 n，N,M 的超几何分布，记为
H(n,N，M)。
几何分布 P( X k) qk1 p, k 1,2,3, ,其中 p≥0，q=1-p.
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G（p）。
1
均匀分布
(完整 word 版)(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结
设随机变量 X 的值只落在[a，b］内，其密度函数 f (x) 在[a，b］上为常数 1 ，即
ba
f
(x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b
其他,
则称随机变量 X 在［a,b］上服从均匀分布，记为 X~U（a，b). 分布函数为
x
F (x) f (x)dx
变量的
关系
（4）分 布函数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F(x) P(X x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a X b) F(b) F(a) 可以得到 X 落入区间 (a,b] 的概率。
概率论与数理统计(第3-5章)
2y1
y 2
y 1时 ，
F(x,y) 4dxdy 4S三角形1
三角形
整理课件
所以，所求的分布函数为
0,
(x 1 或y 0) 2
2
y
2
x
y 2
1
,
( 1 x 0, 0 y 2 x 1) 2
F
(x,
y)
4
x
1 2
2
,
( 1 x 0,2x 1 y) 2
2
y
f(x,y) 1 8(6xy), 0x2,2y4
0,
其 他
求概率 PXY4X1
解答 PXY4X1
4
PXY4,X1
2
PX1
2
dx
4x 1 (6 x y)dy
1 2 8
7 48 7
2
dx
1
4 1 (6 x 28
y)整d理y课件
38
18
12
二维均匀分布
设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
D
1
dx
31(6xy)dy
0 28
0 11 8(6yxy1 2y2)3 2dx8 3
2 12
整理课件
续解 ……….
PXY3f(x,y)dxdy
D
1
dx
3x1(6xy)dy
0 28
011 8(6yxy1 2y2)3 2xdx
5 24
整理课件
x+y=3
思考 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为
x2
+F(x1,y1)
P（x1 X x2，y1 Y y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)
第三部分 第三章：二维随机变量的联合概率分布 双份
第三部分概率论与数理统计第三章二维随机变量的联合概率分布[考试内容]随机变量的联合分布函数，离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布，连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度，随机变量的独立性和相关性，常见二维随机变量的联合分布，两个及两个以上随机变量简单函数的概率分布。
[考试要求]1．理解随机变量的联合分布函数的概念和基本性质；2．理解随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式：离散型联合概率分布和连续型联合概率密度，掌握两个随机变量的联合分布的边缘分布和条件分布；3．理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握离散型和连续性随机变量独立的条件，理解随机变量的不相关与独立性的关系；4．掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。
5．会根据两个随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布，会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布。
[命题特点]本章一般出计算题，近年来二元函数的分布比一元的分布考得更多一些。
[内容综述]一、多维随机变量的概念二维随机变量：随机试验E 的样本空间为{}ωΩ=，设()X X ω=和()Y Y ω=是定义在Ω上的随机变量，由它们构成的一个向量(,)X Y ，叫做二维随机向量或二维随机变量．（若有n 个定义在Ω上的随机变量11()X X ω=，22()X X ω=，…()n n X X ω=，由它们构成的n 维向量12(,,,)n X X X 叫做n维随机向量或n 维随机变量）二、二维随机变量的联合分布函数、联合概率密度的概念与性质 1. 联合分布函数：()()(,){}{,}F x y P X x Y y P X x Y y =≤≤=≤≤ ．分布函数的基本性质：1）(,)F x y 是关于x 或y 的非减函数，即对于固定的y ，若x 1＜x 2，则F （x 1，y ）≤F （x 2，y ）； 对于固定的x ，若y 1＜y 2，则F （x ，y 1）≤F （x ，y 2）． 2）0≤(,)F x y ≤1．且 (,)lim (,)1x y F F x y →+∞→+∞+∞+∞==；(,)lim (,)0x F y F x y →-∞-∞==； (,)lim (,)0y F x F x y →-∞-∞==；(,)lim (,)0x y F F x y →-∞→-∞-∞-∞==．3）(,)F x y 对每个变量右连续，即(,)(0,)F x y F x y =+，(,)(,0)F x y F x y =+．4）根据概率可加性，对于如图任意1122(,),(,)x y x y1212{,}P x X x y Y y <≤<≤2212{,}{,}P X x Y y P X x Y y =≤≤-≤≤2111{,}{,}P X x Y y P X x Y y -≤≤+≤≤22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y =---≥．2. 二维离散型和连续型随机变量的分布：1）二维离散型随机变量：如果二维随机变量(,)X Y 的所有可能的值是有限对或可列无限多对，则称(,)X Y 是离散型的随机变量．其分布律（联合分布律）为{,},,1,2,i j ij P X x Y y P i j ==== ， 满足：① 0ij P ≥； ②111ij i j P ∞∞===∑∑；③(,)i i ij x xy yF x y P ∞≤≤=∑．2）二维连续型随机变量：如果对于二维随机变量(,)X Y 的分布函数(,)F x y ，存在非负函数(,)f x y ，使对于任意实数,x y有(,)(,)yxF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰，则称(,)X Y 为连续型的随机变量，函数(,)f x y 称为(,)X Y 的（联合）概率密度． 满足：① (,)0f x y ≥； ② (,)(,)1f x y dxdy F +∞+∞-∞-∞=+∞+∞=⎰⎰；③ 在(,)f x y 的连续点处有2(,)(,)F x y f x y x y∂=∂∂； ④随机点(,)X Y 落在平面区域G 内的概率为{(,)}(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰．三、二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系 1. 边缘分布函数{}(){,}(,)X F x P X x P X x Y F x =≤=≤≤+∞=+∞， {}(){,}(,)Y F y P Y y P X Y y F y =≤=≤+∞≤=+∞； 2．二维离散型随机变量的边缘律及分布函数 11{},1,2,{},1,2,i ij i j ij j j i P X x P p i P Y y P P j ∞∞==========∑∑1()(,)i X ij x x j F x F x p ∞≤==+∞=∑∑， 1()(,)j Y ij i y yF y F y p ∞=≤=+∞=∑∑；3．二维连续型随机变量的边缘概率密度()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰， ()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰．(联合分布可唯一确定边缘分布，反之未必成立!!!)四、了解二维随机变量的条件分布( 这几年考试内容明显增多 ) 1. 条件分布函数|(|){|}X Y F x y P X x Y y =≤=称为在条件Yy =下X的条件分布函数；|(|){|}Y X F y x P Y y X x =≤=称为在条件X x =下Y的条件分布函数．2．离散型随机变量的条件分布律{,}{|},1,2,{}i j ij i j j jP X x Y y P P X x Y y i P Y y p ========称为在条件j Y y =下X的条件分布函数；{,}{|},1,2,{}j i ij j i i i P Y y X x p P Y y X x j P X x p ========称为在条件i X x =下Y的条件分布函数．3．连续型随机变量的条件概率密度 |(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y = 称为在条件Y y =下X 的 条件概率密度；|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x = 称为在条件X x =下Y 的条件概率密度．(注意与第一章中条件概率的计算作比较)五、理解随机变量独立性的概念(相关性)若对于所有,x y ，有{,}{}{}P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤⋅≤，即(,)()()X Y F x y F x F y =⋅，则称随机变量X 和Y 是相互独立的．相对离散型，X 和Y 相互独立的充分必要条件是：{,}{}{}i j i j P X x Y y P X x P Y y ====⋅=，即i j i j p p p =⋅ ；相对连续型，X 和Y 相互独立的充分必要条件是：(,)()()X Y f x y f x f y =⋅．应熟练应用随机变量的独立性进行概率计算．(注意独立与相关的联系与区别)六、掌握求两个随机变量的函数的分布( 离散的仍是表上作业法，连续的熟悉下面的几种类型 ) 1．两个随机变量和的分布，即Z X Y =+的分布()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰；当X 和Y 相互独立时，()()()()()Z X Y X Y X Y f z f x f z x dx f z y f y dy f f ∆+∞+∞-∞-∞=-=-==*⎰⎰（称为卷积公式） 2．max(,)M X Y =及min(,)NX Y =的分布X 和Y 相互独立时，1）max(,)MX Y =的分布：max (){}()()X Y F z P M z F z F z =≤=；2）min(,)NX Y =的分布：min (){}1[1()][1()]X Y z z F z F z =≤=---F P N ．七、重点与难点 1．重点：二维随机变量的概念，二维随机变量的联合分布函数、分布律、概率密度、独立性、条件概率和边缘分布，二维随机变量的函数的分布及概率密度，特别是ZX Y =+、max(,)M X Y =、min(,)N X Y =的分布． 2．难点：已知联合概率密度求联合分布函数、条件概率；已知（X ,Y ）的分布求Z X Y =+、max(,)M X Y =、min(,)N X Y =的分布．3． 一些说明：联合分布函数(,)F x y 与联合概率密度(,)f x y 中的常数常由(,)F x y 及(,)f x y 的各个性质来确定．求联合分布函数时，首先要定出联合概率密度(,)f x y ，再根据(,)0f x y ≠的条件及随机变量所满足的不等式等，正确的画出二重积分区域，将二重积分化为累次积分去计算．题型一：求二维随机变量的概率分布()()(,){}{,}F x y P X x Y y P X x Y y =≤≤=≤≤离散的情形：()(){,}{}ij i j i j p P X x Y y P X x Y y ======例1．一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，现随机地抽取两次，每次只取一只，考虑两种试验：（1）有放回抽样；（2）不放回抽样，以X 、Y 分别表示第1次和第2次取出的次品数，试分别就（1）、（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律．解：因为X 和Y 的取值都是0和1，故(X ，Y )的取值为(0,0)、（0,1）、（1,0）、（1,1）.而取这些值的概率要按放回、不放回抽样两种情况考虑.（1）有放回抽样，由乘法定理得101025{0,0}{0}{0|0}121236P X Y P X P Y X =======⋅=，1025{0,1}{0}{1|0}121236P X Y P X P Y X =======⋅=， 类似可得：51{1,0},{1,1}3636P X Y P X Y ======； （2）不放回抽样，由乘法定理得10915{0,0}{0}{0|0}121122P X Y P X P Y X =======⋅=， 1025{0,1}{0}{1|0}121133P X Y P X P Y X =======⋅=，类似可得：51{1,0},{1,1}3366P X Y P X Y ======；X 和Y 的联合分布律为例2．[2001年]设某班车起点站上客人数服从参数为(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为(01)p p <<，且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； （2）二维随机变量(X ，Y )的概率分布．解：（1）是一个条件概率，即当 X = n 时，Y =m 的概率：{|}m n ==P Y X ，由于下车与否相互独立，Y 服从二项分布。
概率论与数理统计(浙大版)第三章课件多维随机变量及其分布
1 4
1 i
,
ji
0, j i
(X,Y)的联合分布律为:
YX
1
1
1/4
23 4 1/8 1/12 1/16
2
0 1/8 1/12 1/16
3
0
0 1/12 1/16
4
0
0 0 1/16
二维连续型随机变量
定义：对于二维随机变量 X ,Y 的分布函数F x, y,
如果存在非负函数f x, y，使对于任意x, y，
kxy, 0 x y 1
y
f (x, y) 0, 其他
1
(1) 求常数k；(2) 求概率 P( X Y 1)
yx
解：
1 利用
f (x, y)dxdy 1
0
得：1
f (x, y)dxdy
1
y
kxydxdy
00
x
1 k y3dy k k 8
02
8
2 P(X Y 1)
x2 p21 p22 p23
p j p1 p2 p3
pi1
i 1
pi3
i 1
pi
p 1
p1 j
j 1
p2 p2 j
j 1
1
例: 求例1中二维随机变量(X,Y)关于X与Y的 边缘分布律.
X0
Y
1
2
3 p. j
1
0 3/8 3/8 0 6
8
3
1/8 0 0 1/8 2
8
pi. 1
0.5
例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机
变量(X,Y)具有概率密度
1 A, (x, y) G
f (x, y) 0 , 其他
第三章 二维随机向量的联合分布
P{ x1 X x 2 , y1 Y y 2 } F ( x 2 , y 2 ) F ( x 2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y 2 ) 0
性质（ 4 ）正是一维随机变量与二维随机变量 的不同之处。 也就是说，一个函数 F ( x , y ) 仅满足了前三条性
0 1
0 2 20 6 20
1 6 20 6 20
例2、抛一枚硬币3次，令X表示头两次出现 正面的次数，Y表示3次总共出现正面的次数， 求(X,Y)的联合分布律。 1 1 解：X ~ B (2, )，P (Y j | X i ) 2 2 P ( X i; Y j ) P ( X i ) P (Y j X i )
第三章 随机向量及其概率分布
• • • • • • 二维随机变量的联合分布 边缘分布 条件分布 随机变量的独立性 n维随机向量简介 随机向量函数的分布
§3.1 多维随机变量及其分布 3.1.1二维随机变量及其分布 定义3.1：设Ω ＝｛ ω ｝是随机试验 E 的样本空
间，X和Y是定义在 Ω 上的随机变量，由它们构
成的二维向量（X，Y）称为 E 的一个二维随机
变量。
定义3.2：设（X，Y）是二维随机变量，对一切 (x,y)，称二元函数 F ( x , y ) P ( X x , Y y ) 为（X，Y）的联合分布函数，或称为（X,Y） 的分布函数。 联合分布函数的性质： （ 1）
0
F (x, y)
P ( X x, Y y ) P (Y y X x ) P ( X x)
（3.3.1）
为在 X＝x 下，Y 的条件分布函数，记为：
FY
X
( y x ) ，同样可以定义：F X
§3.1 二维随机变量的概念及其联合分布分布
0,
x0
FY
(
y)
F ( ,
y)
1 e y 0,
,
y0 y0
9
1 e x e y e x yxy , x 0, y 0
F(x, y)
0,
其他
1 e x , x 0
1 e y , y 0
FX ( x)
0,
, x0
FY ( y)
0,
y0
边缘分布与参数λ无关 . 说明：联合分布可以唯一确定边缘分布，但是边缘 分布一般不能唯一确定联合分布. 也即，二维随机 变量的性质一般不能由它的分量的个别性质来确定， 还要考虑分量之间的联系，这也说明了研究多维随 机变量的作用 .
同理, FY ( x) F (, y) .
8
例1 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
1 e x e y e x yxy , x 0, y 0
F(x, y)
0,
其他
称该分布为二维指数分布,其中参数 0 .
则边缘分布函数为
1 e x , x 0
FX ( x) F( x, )
第三章
1
到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其 分布. 但有些 随机现象用一个随机变量来 描述还不 够，而需要用几个随机变量来描述.
在打靶时, 命中点的位置是由 一对随机变量(两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是由 三个随机变量(三个坐标）来确定 的, 等等.
2
第一节
3
一、二维随机变量的概念 定义 一般地，我们称n个随机变量的整体
F( x, y) P{X x, Y y} (1) 0 F(x, y) 1；
(2) F(x, y) 关于变量 x 或 y 单调不减；
[学习]概率论与数理统计课件第3章
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解 PX 1,Y 3 f (x, y)dxdy
D
1
dx
3 1 (6 x y)dy
0 28
11 08
(6 y
xy
1 2
y2)
3 2
dx
3 8
4 2
12
续解 ……….
PX Y 3 f (x, y)dxdy
D
1
dx
3x 1 (6 x y)dy
0 28
1 1 (6 y 08
xy
pij
...
... 。。。 ... 。。。 ... 。。。 ... 。。。 ... 。。。
。。。
...
性质
0 pij 1
pij 1
i1 j1
例 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任
取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被 取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球
上标有的数字， 求(X ,Y ) 的联合分布列.
解 ( X ,Y ) 的可能取值为(1， 2)， (2， 1)， (2， 2).
Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3) × (2/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3) ×(1/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}= (2/3) ×(1/2)＝1/3，
1 2
y2)
3 x 2
dx
5 24
x+y=3
思考 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为
f
(x,
y)
1 8
(6
x
y),
0 x 2, 2 y 4
0,
其他
求概率 PX Y 4 X 1
解答 PX Y 4 X 1
3.1 二维随机变量及其联合分布函数
一．二维随机变量的概念及联合分布函数 二．二维离散型随机变量 三．二维连续形随机变量 四．随机变量的独立性 五．条件分布 六．二维随机变量函数的分布
第一节 二维随机变量的概念及联合分布函数
一．二维随机变量的概念 二．联合分布函数 三．用联合分布函数表示概率 四．边缘分布函数
•Y ( )
如果二维随机变量( X ,Y )全部可能取到的不
相同的值是有限对或可列无限多对, 则称( X ,Y )是
二维离散型随机变量.
二维连续型随机变量是非离散型随机变量中的 一类.
二维离散型随机变量 二维随机变量
二维连续型随机变量
二、联合分布函数 (1) 分布函数的定义
设( X ,Y )是二维随机变量, 对于任意实数x, y, 二元函数 :
是从样本空间到平面R2的一个映射.
也就是说，对于试验的每一个可能结果 ，都对应
着平面上的一个点 X ,Y . 由于试验结果 的发生具有随机性，而 X ,Y 依赖于 ，是随
不同而变化的量，我们称之为二维随机变量.
常把 X ,Y 简单写成 X, Y .
•
•X ()
三、用联合分布函数表示概率
如果知道了二维随机变量 X, Y 的联合分布函数 F( x, y) ，
那么可以求出它落在任何矩形内的概率. P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 ) F ( x2 , y1 )
四、边缘分布函数
设( X ,Y ) ~ F( x, y), 即F( x, y) P( X x,Y y)
X的边缘分布函数FX ( x)为： FX ( x) P( X x) P( X x,Y ) lim F( x, y) F( x, )