矩阵的初等变换在线性代数中的应用[文献综述]
矩阵初等变换及应用研究
矩阵初等变换及应用研究
矩阵初等变换是线性代数中的一个基本概念，它是指对矩阵进行一系列的基本操作，包括交换两行（列），某行（列）乘k（k≠0），某行（列）乘k再加到另一行（列）上。矩阵初等变换在线性代数中有广泛的应用，可以用来求解线性方程组、计算矩阵的秩和逆矩阵、求解特征值与特征向量等。
首先，矩阵初等变换可以用来求解线性方程组。对于一个线性方程组，可以将其系数矩阵与增广矩阵进行同样的初等变换，从而化简方程组。这样做的目的是为了找到一个等价的简化方程组，可以更方便地求解解集。通过初等变换，可以将线性方程组化为行最简形式（也即梯形形），进而利用高斯-约当消元法或者矩阵的初等行变换求解线性方程组，得到唯一解、无解或无穷解。
其次，矩阵初等变换可以用来计算矩阵的秩和逆矩阵。通过一系列的初等行（列）变换，可以将一个矩阵化为行最简形式（也即行阶梯形矩阵），从中可以直接读出矩阵的秩。对于方阵，如果秩等于矩阵的阶数，则该矩阵可逆，可以利用初等变换求解逆矩阵。逆矩阵的求解是矩阵初等变换的重要应用之一，通过应用矩阵初等变换，可以将一个方阵转化为单位矩阵，从而求出逆矩阵。
另外，矩阵初等变换还可以用来求解特征值与特征向量。对于一个n阶方阵A，特征值一般通过求解方程det(A-λI)=0来求得，其中I是单位矩阵，λ是特征值。通过初等行变换，可以将A-λI化为行最简形式，从而求解特征值。特征值求解完毕后，可以利用矩阵初等变换求解对应的特征向量。
总结起来，矩阵初等变换是线性代数中的重要工具，广泛应用于求解线性方程组、计算矩阵的秩和逆矩阵、求解特征值与特征向量等方面。通过一系列的基本操作，可以将矩阵化简为行最简形式，从而更方便地进行进一步的计算和分析。矩阵初等变换的应用使得矩阵的求解和计算更加简便高效，提高了线性代数在实际问题中的应用能力。
矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用
矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用
作者：李慧
来源：《课程教育研究》2019年第09期
【摘要】线性代数是高校经管类以及理工类专业学生的一门重要基础课程，其中矩阵理论为主要内容，在整个线性代数的学习过程中有着重要作用。本文对矩阵初等变换在线性代数中的简单应用进行分析。
【关键词】线性代数矩阵初等变换应用
【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）09-0142-02
在线性方程组的求解过程中，任意交换两个方程的位置，或者将某一方程乘数c（c∈F且c≠0），或者将某一方程乘数c加到另一方程上时，最终求得的解与原方程组的解相同。矩阵的初等变换即起源于解线性方程组的三类同解变换，在处理线性代数相关问题时，具有相对独特的价值。矩阵初等变换这一概念的提出，将线性方程组的求解过程转换为利用矩阵的初等变换化简一个增广矩阵的过程，简化了线性方程组的求解。此外，在矩阵理论不断发展的过程中，新概念的产生以及新问题的形成，为矩阵初等变换在线性代数中的应用创造了更多的可能性，如矩阵的秩的求解、向量组的秩与极大线性无关组的求解以及化二次型为标准形等。
1.矩阵的初等变换
矩阵变换是线性代数中矩阵的一种运算形式，在线性代数中，矩阵的初等变换指以下三种变换类型：
（1）换位变换交换矩阵的任意两行或者两列。
（2）倍法变换以一个非零数k乘矩阵的某一行（某一列）所有元素。
（3）消法变换把矩阵的某一行（某一列）所有元素乘以一个数k后加到另一行（另一列）对应的元素。
矩阵的初等变换在求矩阵的逆等问题中有着较好的应用效果，分析原因，其理论依据如下：
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用
内容摘要：
矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代
数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。
一矩阵的概念
定义：由于m x n 个数aij (i=1 , 2,….,m; j=1 , 2,….,
n)排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m x n矩阵
二矩阵初等变换的概念
定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换
1. 初等行变换
矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换：
⑴交换矩阵的两行佼换一两行,记作.);
(2) 以一个非零的数 '乘矩阵的某一行(第.行乘数卜，记作…);
(3) 把矩阵的某一行的，倍加到另一行(第一行乘 '加到.行, 记为).
1.初等列变换
把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换
3，如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B
矩阵之间的等价关系具有下列基本性质：
⑴反身性；
(2) 对称性若小丄,，则；
(3) 传递性若丄丄,/,则」.
三矩阵初等变换的应用
1.利用初等变换化矩阵为标准形
定理：任意一个m x n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形
■
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1
F行二0
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2. 利用初等变换求逆矩阵
求n阶方阵的逆矩阵：即对n x 2n矩阵(A| E)施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A A(-1)
即(A|E)经过初等变换得到(E|AA(-1))
这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换是线性代数中非常重要的一个概念，它可以通过对矩
阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。初等变换主要包括三种：
行交换、行倍乘和行倍加。在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方
程组、计算矩阵的逆和秩等。
一、行交换：
行交换是将矩阵中的两行进行调换。具体操作是互换两行的顺序，即
将矩阵的第i行与第j行进行互换。这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即单位矩阵中将第i行和第j行进行交换。
应用：在线性方程组的求解中，我们可以通过行交换将系数矩阵的行
变换成一个上三角矩阵，从而方便进行后续的计算。
二、行倍乘：
行倍乘是将矩阵中的其中一行的所有元素同时乘以一个非零常数k。
具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k。这个操作可以用一个初
等矩阵来表示，即在单位矩阵的第i行的对角线位置上放置k。
应用：行倍乘在求解线性方程组时，可以用来将一些方程的系数标准化，使得系数矩阵变为一个拥有单位元的对角矩阵，从而简化方程组的求解。
三、行倍加：
行倍加是将矩阵中的其中一行的每个元素都乘以一个非零常数k，并
加到另一行的对应元素上。具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以
k，然后加到矩阵的第j行的对应元素上。这个操作可以用一个初等矩阵
来表示，即在单位矩阵的第j行的第i列上放置k。
应用：行倍加在线性方程组的求解中，可以用来将一些方程的k倍加
到另一个方程上，从而使一些方程的一些变量消失，达到消元的目的。
综上所述，矩阵的初等变换是通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。初等变换主要包括行交换、行倍乘和行倍加。在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。
矩阵初等变换的应用
摘要
矩阵是线性代数中的重要内容，也是高等数学研究问题的工具。在线性代数及其许多的领域中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。本文首先介绍了矩阵的化简和分块矩阵的初等变换以及利用矩阵初等变换求逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的秩和特征向量，其次阐述了矩阵初等变换在解线性方程组、解矩阵方程、判断向量组的线性相关性、求极大线性无关组问题中的应用，最后对矩阵在数论中的应用进行了一些说明。作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。
关键词：矩阵，初等变换，逆矩阵，秩
The application of elementary transformation of matrix
ABSTRACT
. Matrix is an important content in linear algebra, is a problem of higher mathematics research tools. In linear algebra and matrix can be seen in many areas, it can turn abstract problems expressed in matrix, based on the matrix to calculate the results. This article first introduces the elementary transformation of matrix of reduction and partitioned matrix and the matrix elementary transformation and adjoint matrix inverse matrix, rank of matrix and characteristic vector, then expounds the matrix elementary transformation in solving linear equations, the solution of matrix equation, judge linear correlation, as well as the application of maximum linearly independent group, finally the application of matrix in number theory with some instructions. As the foundation of the matrix and core, the elementary transformation of matrix and its application is very important, it is able to convert all kinds of complex matrix to matrix form, we need to make the calculation more simple.
矩阵的初等变换在线性代数中的应用探索
Science &Technology Vision 矩阵的初等变换是线性代数中一个非常重要的内容，绝大多数的的教
材在讲解矩阵的初等变换时，
都会分别介绍矩阵的初等行变换和初等列变换。然而，现有文献在探索矩阵的初等变换应用时却多数只运用了初等行变换[1-3]。那么，可以运用初等列变换来解决问题吗？本文就此问题通过几个题型来举例说明初等行变换和初等列变换在解决相关问题中的应用及区别，以解决学生心中的疑惑。1
矩阵的初等变换
由文献[4]和[5]，给出矩阵初等变换、行阶梯形矩阵、
行最简形矩阵、列阶梯形矩阵、列最简形矩阵的定义。
定义1[4]
：下面3种对矩阵所作的变换称为矩阵的初等行
（列）变换：（1）对调两行
（列）。（2）以一个非零数乘某一行
（列）的所有元素。（3）某一行（列）所有元素的k 倍加到另一行（列）对应的元素上去。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。定义2[5]：设A 是m ×n 矩阵，A 中的任一非零行中的第一个非零元素称为首非零元，若矩阵A 满足：
（1）每个零行（如果存在的话）
位于任一非零行的下方。（2）若A 的非零行的首非零元分别为a 1t ，a 2t ，…，a rt （设A 有r 个非零行），
则首非零元所在的列满足t 1<t 2<…<t r 。则称为行阶梯形矩阵。定义3：设A 是m ×n 矩阵，若矩阵A 满足：
（1）每个零行（如果存在的话）
位于任一非零列的右方。（2）若A 的非零列的首非零元分别为a s 1，a s 2，…，a s r （设A 有r 个非零列），
矩阵初等变换的应用
农家参谋
基层教育
-266-
NONG JIA CAN MOU
矩阵初等变换的应用
刘鹏旭
（辽宁科技学院，辽宁本溪，117004）
【摘 要】矩阵对于线性代数来说是非常基础且具有很强代表性的概
念之一。它可以用矩阵的形式表示抽象问题，并能够应用矩阵的一系列计算，从而得到最终的具体结论。本文在对矩阵的定义和性质上，通过其自身的运算法则进行了比较深入的探讨，并针对一些矩阵初等变换的应用情况，我们在文章中进行了逐一的研究论述。
【关键词】矩阵；初等变换；应用研究1 前言
线性代数的课程设置绝大多数都是在各高等院校的大一阶段作为非常重要的一项基础性课程。众所周知，线性代数和其他的课程（如高数、概统等）同样是比较基础的课程进行比较的话，单就其内容来说是相当抽象的，但在具体的直观上的意义来说，还是不能够与诸如导数和概率等相提并论的。线性代数的自身具有大量的公式和概念，许多内容相互交叉、联系和渗透。因此，许多学生发现学习困难并不奇怪。我们的教师所面临的比较严峻的问题就是怎样让学生们更好的理解相关定义概念，我们可以采取一些比较独特的方法，例如，可以将解线性方程组的方法当做本课程的一条主要思路，而矩阵初等变换就是这样的方法之中非常基础的。利用这样的一个逻辑关系就可以将这一条主要思路完全掌握。在这样的一个情况下，这条主要思路就不会显得那么的复杂，反而清晰易懂，便于学习掌握。
通过对线性方程组的相关问题的探讨，就线性方程组的性质情况，我们会在接下来的系数和增广矩阵中完全的观察到，还可以利用一系列的矩阵变换来对这些线性方程组进行求解，也就是说它们进行变换的过程就是求解的全过程。除了方程组外，关于矩阵的初等变换及其应用也存在许多问题。在应用中，对这些问题的研究往往转化为对矩阵的研究，甚至是一些性质完全不同、貌似与其毫无干系的问题，通过相应的矩阵问题的归纳以后，就会发现所有这一系列的问题都是可以看作是一样的，这样的现象就促使了在数学领域内矩阵被普遍的应用，并依据其相关的算法规则，进
浅谈矩阵的初等行变换在线性代数中的应用
浅谈矩阵的初等行变换在线性代数中的应用
张亚龙
(北京科技大学天津学院基础部㊀３０１８３０)
摘㊀要:本文从矩阵的初等行变换出发ꎬ分别提出在矩阵㊁向量组㊁线性方程组㊁矩阵的特征向量㊁二次型中的一些应用ꎬ并呈现对应例题ꎬ加强学生对矩阵的初等行变换的理解与应用.
关键词:初等行变换ꎻ矩阵ꎻ向量组ꎻ线性方程组
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)２１－００２９－０３
收稿日期:２０２２－０４－２５
作者简介:张亚龙(１９９２－)ꎬ男ꎬ硕士ꎬ助教ꎬ从事计算数学研究.
㊀㊀目前ꎬ«线性代数»这门课程是理工科和经管类必开设的一门课程ꎬ主要内容包括行列式㊁矩阵㊁线性方程组㊁向量组㊁相似矩阵㊁二次型等.矩阵的初等行变换贯穿在整个线性代数的内容中ꎬ为了方便学生学习ꎬ下面归纳总结了关于矩阵初等行变换在线性代数中的应用.
１矩阵中的应用
１.１求矩阵的逆
若矩阵Ａ可逆ꎬ则Ａ－１也可逆ꎬＡ－１可以表示成
若干个初等矩阵的乘积ꎬ因此可由矩阵的初等行变换求Ａ－１ꎬ即(ＡꎬＥ)
初等行变换
ң(ＥꎬＡ－１)ꎬ我们将矩
阵Ａ和单位矩阵Ｅ都做初等行变换ꎬ当矩阵Ａ化为单位矩阵Ｅ时ꎬ单位矩阵Ｅ就变成了Ａ－１.
例１㊀求矩阵Ａ＝１－２０１
２０２２
１éëê
êêùû
ú
úú的逆.解㊀作一个３ˑ６的矩阵(ＡꎬＥ)ꎬ并对其做矩阵
的初等行变换.
(ＡꎬＥ)＝１－２０１００１
２００１０２
２
１
０
０
１éëê
êêù
û
úúúң１００１２
１２００１０－１４１４０００
１
－
１２－３２
１éë
êêêêêêêùûúúú
úúúú＝(ＥꎬＡ－１).因此ꎬＡ－１
矩阵的初等变换在高等代数中的应用
矩阵的初等变换在高等代数中的应用
矩阵的初等变换是高等代数中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。本文将从不同的角度介绍矩阵的初等变换在高等代数中的应用。
一、线性方程组的求解
线性方程组是高等代数中的一个基础问题，而矩阵的初等变换可以帮助我们解决线性方程组。通过对系数矩阵进行初等变换，我们可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而求解出方程组的解。这个过程中，我们可以使用矩阵的初等变换来交换方程的顺序、缩放方程以及将方程相加，从而将方程组转化为更简化的形式，使求解过程更加高效。
二、矩阵的相似与对角化
矩阵的相似性在高等代数中是一个重要的概念，而矩阵的初等变换可以帮助我们判断两个矩阵是否相似。通过对矩阵进行初等变换，我们可以将一个矩阵转化为对角矩阵，从而判断出两个矩阵是否相似。这个过程中，我们可以使用矩阵的初等变换来交换矩阵的列、缩放矩阵的列以及将矩阵的列相加，从而将矩阵转化为更简化的形式，使相似性的判断更加方便。
三、线性变换的表示与求解
线性变换是高等代数中一个重要的概念，而矩阵的初等变换可以帮助我们表示和求解线性变换。通过对向量空间的基进行初等变换，
我们可以得到线性变换的矩阵表示，从而将线性变换转化为矩阵运算。这个过程中，我们可以使用矩阵的初等变换来交换向量的顺序、缩放向量以及将向量相加，从而得到线性变换的矩阵表示，使线性变换的求解更加简化。
总结起来，矩阵的初等变换在高等代数中有着广泛的应用。它可以帮助我们求解线性方程组、判断矩阵的相似性以及表示和求解线性变换。通过灵活运用矩阵的初等变换，我们可以简化问题的复杂度，提高问题的求解效率。因此，在高等代数的学习中，我们需要深入理解矩阵的初等变换的概念和应用，以便更好地应用于实际问题的求解中。
矩阵初等变换及其应用毕业论文
矩阵初等变换及其应用毕业论文
矩阵初等变换及其应用毕业论文
摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。本文列举了矩阵初等变换的几种应用，包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形。并用具体例子说明矩阵初等变换在以上几种应用中是如何运用的。
关键词：矩阵 初等变换 初等矩阵
在代数的学习过程中，我发现矩阵的初等变换有许多应用，几乎贯穿着始终。本文将对矩阵的初等变换进行介绍并以具体例子说明矩阵初等变换的七种应用。虽然这些计算格式有不少类似之处，但是也指出由于这些计算格式有不同的原理，所以它们的应用也有一些明显的区别。
定义1：矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换： （1）交换矩阵的两行（列）(交换第i ，j 两行（列），记作()ij ij r c ）；
（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k 乘以第i 行（列），记作()(())i i r k c k ；
（3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上(第i 行（列）k 倍加到第j 行（列），记作()(())ij ij r k c k 。
初等行、列变换统称为初等变换。
定义2：对单位矩阵I 仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为()ij ij R C ，()(())i i R k C k ，()(())ij ij R k C k ，有
矩阵的初等变换在线性代数中的应用
矩阵的初等变换在线性代数中的应用
摘要：矩阵是线性代数的一个重要组成部分，矩阵的初等变换在线性代数中的
作用至关重要，文章基于矩阵的初等变换，举例说明矩阵的初等变换在求逆矩阵、求矩阵的秩等多方面的应用。
关键词：矩阵；线性代数；初等变换
线性代数是大学数学的一个重要的组成部分，理工科学生的必修数学课程之一。矩阵是线性代数中一个最重要也是最基本的概念，真正理解并且熟练掌握它
是学好线性代数的关键。矩阵的初等变换又是线性代数中不可或缺的内容，目前
我们使用的大多数教材在对初等变换介绍时，矩阵的初等行变换和初等列变换都
会讲解。但是，在赵怡欣等人对矩阵的初等变换应用研究时，大部分只用了初等
行变换[1-3]。很多同学可能就有疑问，在解决问题是可以用初等列变换吗？答案
是肯定，下面我们用具体的示例来说明。首先给出相关的定义。
一、矩阵的初等变换
定义1[4]：对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
(1)交换矩阵的两行（列），记为；
(2)以一个非零的数乘以矩阵某一行（列）的所有元素，记为；
(3)把矩阵的某一行（列）所有元素的倍加到另外一行（列）对应的元素上，记为。
初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。初等变换都是可逆的，且
逆变换也是同类的初等变换。
定义2[5]：我们称矩阵为一个行阶梯形矩阵，它具有以下特征：
(1)元素全为零的行（简称零行）位于非零行的下方；
(2)各非零行的首非零元（即该行从左至右的第一个不为零的元素）的列标
随着行的增大而严格增大（即首非零元的列标一定不小于行标）。
定义3[5]：我们称矩阵为一个列阶梯形矩阵，它具有以下特征：
初等变换在线性代数中的应用
例２ ＝ １ ２ — ｌ ＝ ． Ｉ 设Ａ ２， Ｂ
［１ ３ ２Ｊ 一
［－ 三３ 叫 【 一 孙Ｊ ３ ２
广 ｘ －２ ３ ３ｘ＝１ ２ ｘ＋ ４
体 做 题 时 应 灵 活选 用 。
ｆｌ ０ １ １
例 １ ＝ １ ０ ｌ 的逆 矩阵。 ． 设Ａ １ ２ 求Ａ
【３ ２ — 一 ５ Ｊ
ｆ ０ １ １ １ ０ ０］
ｆ — １ １ — １ ０ ］ ｆ —１ —１ １ ０ １ １ １
解： Ｂ ＝ｌ 一 １ — ２— ｝ ２ — ２ ［ Ａ ］｛ １ ３— ｛ ０ ０ ４— ｌ
尚 ） Ｘ ）
换 ， 能 作 初 等Ｂ 变 换 ， ； 不 列 更 可 以求 方 程 组 Ａ ＝ Ｘ Ｂ的基 础 解 系 和 ｏ
通解 。
源自文库
ｆ－２３ ４ ｘｘｘ ｘ０ １ －＋ ＝
例３ ． 求非齐 次线性方程组｛ｌ ２ ３ ｘ 一 的通解。 Ｘ Ｘ￣ － ｄ ２ － ＂ ３： － Ｘ
，
而 于Ａ ， ［］ 对 ｘ Ｂ 是会 ＝则
…
。［ Ｅ ］
。
对 于Ａ Ｂ Ｃ， 是 先 进 行 行 变 换 ［ ｘ： 则 Ａ
矩阵初等变换的一些性质及应用
矩阵初等变换的一些性质及应用
矩阵初等变换的一些性质及应用
摘要：矩阵的初等变换是线性
代数中应用十分广泛的重要
工具。文章证明了矩阵初等变
换的两个性质, 以此为基础,
归纳说明了矩阵的初等变换
在线性代数课程中的应用,
并给出了一些实例。
关键词：矩阵初等变换性
质应用
Abstract: The elementary
alternate of matrix is an
important tool broadly used
in linear algebra. The paper
discusses its properties and
application.
Key w o rd: matrix,
elementary alternate,
properties, application
0 引言
矩阵是数域P上的m行n列矩阵,矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行如下的变换:
(1)交换矩阵的两行(列),对调i,j两行,记作←
（记作←）；
(2)以非零数 k 乘矩阵某一行( 列) 的所有元
素,第i行（列）乘k,记作×k(记作×k)；(3)把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行
(列)对应元素上去，如第j 行（列）的k 倍
加到第i行（列）上, 记作+（记作+）。
矩阵的初等变换在高等代数课程中有着十
分广泛的应用, 也是本课程的基本工具之一。
矩阵的初等行变换和初等列变换具有同等的地
位和作用, 只是在使用过程中有所区别。本文首先证明初等行变换和初等列变换具有同等的
地位和作用，再以具体实例说明矩阵初等变换在求极大无关组和秩的应用。
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信息与计算科学
矩阵的初等变换在线性代数中的应用
一、前言部分
线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。
矩阵的初等变换起源于解线性方程组，是线性代数的一个基本概念，也是研究矩阵的一个非常重要的工具。矩阵作为线性代数中最基本的一个概念，在数学的各方面的有重要的意义。最基本的应用当然是在线性方程方面。但是，矩阵的意义其实可以说就是线性代数的意义，因为线性代数的每一个概念都与矩阵有着密切关系。而线性代数是整个高等数学的基础之一，可以应用到整个数学的方方面面，而其本身在物理学、生物学、经济学、密码学等方面发挥着重要作用。[1]
矩阵的初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用。文章就详细地总结了矩阵的初等换在求逆矩阵、求矩阵的秩、求过渡矩阵、求向量组的秩及向量组的极大线性无关组、解方程组、化二次型为标准型以及求标准正交基等问题中的应用。本文就讨论应用矩阵初等变换的一些性质解决有限维向量空间中这些问题。[2]
二、主题部分
2.1矩阵和线性代数的概念介绍
2.1.1 线性代数的概念介绍
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容。
2.1.2矩阵初等变换的概念介绍
初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的。初等变换有三类：
1. 位置变换：矩阵的两行（列）位置交换；
2. 数乘变换：数k乘以矩阵某行（列）的每个元素；
3. 消元变换：矩阵的某行（列）元素同乘以数k，然后加到另外一行（列）上。[3]
初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵。则根据三类初等变换，可以得到三种不同的初等矩阵。
1. 交换阵E(i,j)：单位矩阵第i行与第j行位置交换而得；
2. 数乘阵E(i(k))：数k乘以单位矩阵第i行的每个元素（其实就是主对角线的1变成k）；
3. 消元阵E(ij(k))：单位矩阵的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上。
其上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变换而得。[4]
2.2 线性代数的历史背景和发展
2.2.1 线性代数的发展史
由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点．1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代
数学”，一直沿用至今。
线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。
主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。
①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；
②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；。
③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；
④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。[5]
2.2.2 矩阵的发展史
根据世界数学发展史记载，矩阵概念产生于19世纪50年代，是为了解线性方程组的需要而产生的。
然而，在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽。在我国的《九章算术》一书中已经有描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它的解决实际问题，所以没能形成独立的矩阵理论。
1850年，英国数学家西尔维斯特（SylveSter，1814——1897）在研究方程的个数与未知数的个数不相同的线性方程组时，由于无法实用行列式，所以引入了矩阵的概念。
1855年，英国数学家凯莱（Caylag，1821——1895）在研究线性变换下的不变量时，为了简洁，方便，引入了矩阵的概念。1858年，凯莱在《矩阵论的研究报告》中，定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时，定义了零距阵等概念，以及利用伴随阵的方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律，两个非零阵乘积可以为零距阵等结论，定义了转置阵、对称阵，反对称阵等概念。
1878年，德国数学家弗罗伯纽斯（Frobeniws，1849——1917）在他的论文中引入了λ矩阵的行列式因子，不变因子和初等因子等概念，证明了2个λ矩阵等价当且仅当它们有相