矩阵的初等变换在线性代数中的应用[文献综述]
矩阵初等变换及应用研究
矩阵初等变换及应用研究矩阵初等变换是线性代数中的一个基本概念，它是指对矩阵进行一系列的基本操作，包括交换两行（列），某行（列）乘k（k≠0），某行（列）乘k再加到另一行（列）上。
矩阵初等变换在线性代数中有广泛的应用，可以用来求解线性方程组、计算矩阵的秩和逆矩阵、求解特征值与特征向量等。
首先，矩阵初等变换可以用来求解线性方程组。
对于一个线性方程组，可以将其系数矩阵与增广矩阵进行同样的初等变换，从而化简方程组。
这样做的目的是为了找到一个等价的简化方程组，可以更方便地求解解集。
通过初等变换，可以将线性方程组化为行最简形式（也即梯形形），进而利用高斯-约当消元法或者矩阵的初等行变换求解线性方程组，得到唯一解、无解或无穷解。
其次，矩阵初等变换可以用来计算矩阵的秩和逆矩阵。
通过一系列的初等行（列）变换，可以将一个矩阵化为行最简形式（也即行阶梯形矩阵），从中可以直接读出矩阵的秩。
对于方阵，如果秩等于矩阵的阶数，则该矩阵可逆，可以利用初等变换求解逆矩阵。
逆矩阵的求解是矩阵初等变换的重要应用之一，通过应用矩阵初等变换，可以将一个方阵转化为单位矩阵，从而求出逆矩阵。
另外，矩阵初等变换还可以用来求解特征值与特征向量。
对于一个n阶方阵A，特征值一般通过求解方程det(A-λI)=0来求得，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
通过初等行变换，可以将A-λI化为行最简形式，从而求解特征值。
特征值求解完毕后，可以利用矩阵初等变换求解对应的特征向量。
总结起来，矩阵初等变换是线性代数中的重要工具，广泛应用于求解线性方程组、计算矩阵的秩和逆矩阵、求解特征值与特征向量等方面。
通过一系列的基本操作，可以将矩阵化简为行最简形式，从而更方便地进行进一步的计算和分析。
矩阵初等变换的应用使得矩阵的求解和计算更加简便高效，提高了线性代数在实际问题中的应用能力。
矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用
矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用作者：李慧来源：《课程教育研究》2019年第09期【摘要】线性代数是高校经管类以及理工类专业学生的一门重要基础课程，其中矩阵理论为主要内容，在整个线性代数的学习过程中有着重要作用。
本文对矩阵初等变换在线性代数中的简单应用进行分析。
【关键词】线性代数矩阵初等变换应用【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）09-0142-02在线性方程组的求解过程中，任意交换两个方程的位置，或者将某一方程乘数c（c∈F且c≠0），或者将某一方程乘数c加到另一方程上时，最终求得的解与原方程组的解相同。
矩阵的初等变换即起源于解线性方程组的三类同解变换，在处理线性代数相关问题时，具有相对独特的价值。
矩阵初等变换这一概念的提出，将线性方程组的求解过程转换为利用矩阵的初等变换化简一个增广矩阵的过程，简化了线性方程组的求解。
此外，在矩阵理论不断发展的过程中，新概念的产生以及新问题的形成，为矩阵初等变换在线性代数中的应用创造了更多的可能性，如矩阵的秩的求解、向量组的秩与极大线性无关组的求解以及化二次型为标准形等。
1.矩阵的初等变换矩阵变换是线性代数中矩阵的一种运算形式，在线性代数中，矩阵的初等变换指以下三种变换类型：（1）换位变换交换矩阵的任意两行或者两列。
（2）倍法变换以一个非零数k乘矩阵的某一行（某一列）所有元素。
（3）消法变换把矩阵的某一行（某一列）所有元素乘以一个数k后加到另一行（另一列）对应的元素。
矩阵的初等变换在求矩阵的逆等问题中有着较好的应用效果，分析原因，其理论依据如下：对矩阵Asn进行一次初等行变换，相当于在Asn左边乘上相应的s×s的初等矩阵；对矩阵Asn进行一次初等列变换，相当于在Asn右边乘上相应的n×n的初等矩阵；应用初等变换对矩阵Asn进行化简时，将可产生一个与矩阵Asn有关的等式，该等式与原矩阵的量化关系、性质有着密切关联。
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用的总结矩阵的初等变换是线性代数中非常重要的一个概念，它可以通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。
初等变换主要包括三种：行交换、行倍乘和行倍加。
在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。
一、行交换：行交换是将矩阵中的两行进行调换。
具体操作是互换两行的顺序，即将矩阵的第i行与第j行进行互换。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即单位矩阵中将第i行和第j行进行交换。
应用：在线性方程组的求解中，我们可以通过行交换将系数矩阵的行变换成一个上三角矩阵，从而方便进行后续的计算。
二、行倍乘：行倍乘是将矩阵中的其中一行的所有元素同时乘以一个非零常数k。
具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第i行的对角线位置上放置k。
应用：行倍乘在求解线性方程组时，可以用来将一些方程的系数标准化，使得系数矩阵变为一个拥有单位元的对角矩阵，从而简化方程组的求解。
三、行倍加：行倍加是将矩阵中的其中一行的每个元素都乘以一个非零常数k，并加到另一行的对应元素上。
具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k，然后加到矩阵的第j行的对应元素上。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第j行的第i列上放置k。
应用：行倍加在线性方程组的求解中，可以用来将一些方程的k倍加到另一个方程上，从而使一些方程的一些变量消失，达到消元的目的。
综上所述，矩阵的初等变换是通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。
初等变换主要包括行交换、行倍乘和行倍加。
在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。
在线性方程组的求解中，通过矩阵的初等变换可以将系数矩阵变为一个上三角矩阵，从而方便后续的计算。
同时，可以通过初等变换将方程组化为最简形式，从而得到方程组的解。
在计算矩阵的逆时，可以通过初等变换将原矩阵左边加上单位矩阵，并经过一系列的操作将原矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。
矩阵的初等变换在线性代数中的应用探索
Science &Technology Vision 矩阵的初等变换是线性代数中一个非常重要的内容，绝大多数的的教材在讲解矩阵的初等变换时，都会分别介绍矩阵的初等行变换和初等列变换。
然而，现有文献在探索矩阵的初等变换应用时却多数只运用了初等行变换[1-3]。
那么，可以运用初等列变换来解决问题吗？本文就此问题通过几个题型来举例说明初等行变换和初等列变换在解决相关问题中的应用及区别，以解决学生心中的疑惑。
1矩阵的初等变换由文献[4]和[5]，给出矩阵初等变换、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、列阶梯形矩阵、列最简形矩阵的定义。
定义1[4]：下面3种对矩阵所作的变换称为矩阵的初等行（列）变换：（1）对调两行（列）。
（2）以一个非零数乘某一行（列）的所有元素。
（3）某一行（列）所有元素的k 倍加到另一行（列）对应的元素上去。
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。
定义2[5]：设A 是m ×n 矩阵，A 中的任一非零行中的第一个非零元素称为首非零元，若矩阵A 满足：（1）每个零行（如果存在的话）位于任一非零行的下方。
（2）若A 的非零行的首非零元分别为a 1t ，a 2t ，…，a rt （设A 有r 个非零行），则首非零元所在的列满足t 1<t 2<…<t r 。
则称为行阶梯形矩阵。
定义3：设A 是m ×n 矩阵，若矩阵A 满足：（1）每个零行（如果存在的话）位于任一非零列的右方。
（2）若A 的非零列的首非零元分别为a s 1，a s 2，…，a s r （设A 有r 个非零列），则首非零元所在的行满足s 1<s 2<…<s r 。
摘要矩阵的初等变换在线性代数中起着举足轻重的作用，本文基于行、列阶梯形矩阵研究矩阵的初等行、列变换，并多角度、多解法举例探索初等变换在求矩阵的秩、求逆矩阵、解矩阵方程及求解线性方程组等中的应用。
关键词初等变换；线性代数；矩阵中图分类号:O151.2文献标识码:ADOI ：10.19694/ki.issn2095-2457.2020.18.23矩阵的初等变换在线性代数中的应用探索李燕娟基金项目:兰州交通大学博文学院教育教学改革课题(2019BWJX007)。
矩阵的初等变换在线性代数中的应用
矩阵的初等变换在高等代数中的应用
矩阵的初等变换在高等代数中的应用矩阵的初等变换是高等代数中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将从不同的角度介绍矩阵的初等变换在高等代数中的应用。
一、线性方程组的求解线性方程组是高等代数中的一个基础问题，而矩阵的初等变换可以帮助我们解决线性方程组。
通过对系数矩阵进行初等变换，我们可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而求解出方程组的解。
这个过程中，我们可以使用矩阵的初等变换来交换方程的顺序、缩放方程以及将方程相加，从而将方程组转化为更简化的形式，使求解过程更加高效。
二、矩阵的相似与对角化矩阵的相似性在高等代数中是一个重要的概念，而矩阵的初等变换可以帮助我们判断两个矩阵是否相似。
通过对矩阵进行初等变换，我们可以将一个矩阵转化为对角矩阵，从而判断出两个矩阵是否相似。
这个过程中，我们可以使用矩阵的初等变换来交换矩阵的列、缩放矩阵的列以及将矩阵的列相加，从而将矩阵转化为更简化的形式，使相似性的判断更加方便。
三、线性变换的表示与求解线性变换是高等代数中一个重要的概念，而矩阵的初等变换可以帮助我们表示和求解线性变换。
通过对向量空间的基进行初等变换，我们可以得到线性变换的矩阵表示，从而将线性变换转化为矩阵运算。
这个过程中，我们可以使用矩阵的初等变换来交换向量的顺序、缩放向量以及将向量相加，从而得到线性变换的矩阵表示，使线性变换的求解更加简化。
总结起来，矩阵的初等变换在高等代数中有着广泛的应用。
它可以帮助我们求解线性方程组、判断矩阵的相似性以及表示和求解线性变换。
通过灵活运用矩阵的初等变换，我们可以简化问题的复杂度，提高问题的求解效率。
因此，在高等代数的学习中，我们需要深入理解矩阵的初等变换的概念和应用，以便更好地应用于实际问题的求解中。
浅谈矩阵的初等行变换在线性代数中的应用
浅谈矩阵的初等行变换在线性代数中的应用张亚龙(北京科技大学天津学院基础部㊀３０１８３０)摘㊀要:本文从矩阵的初等行变换出发ꎬ分别提出在矩阵㊁向量组㊁线性方程组㊁矩阵的特征向量㊁二次型中的一些应用ꎬ并呈现对应例题ꎬ加强学生对矩阵的初等行变换的理解与应用.关键词:初等行变换ꎻ矩阵ꎻ向量组ꎻ线性方程组中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)２１－００２９－０３收稿日期:２０２２－０４－２５作者简介:张亚龙(１９９２－)ꎬ男ꎬ硕士ꎬ助教ꎬ从事计算数学研究.㊀㊀目前ꎬ«线性代数»这门课程是理工科和经管类必开设的一门课程ꎬ主要内容包括行列式㊁矩阵㊁线性方程组㊁向量组㊁相似矩阵㊁二次型等.矩阵的初等行变换贯穿在整个线性代数的内容中ꎬ为了方便学生学习ꎬ下面归纳总结了关于矩阵初等行变换在线性代数中的应用.１矩阵中的应用１.１求矩阵的逆若矩阵Ａ可逆ꎬ则Ａ－１也可逆ꎬＡ－１可以表示成若干个初等矩阵的乘积ꎬ因此可由矩阵的初等行变换求Ａ－１ꎬ即(ＡꎬＥ)初等行变换ң(ＥꎬＡ－１)ꎬ我们将矩阵Ａ和单位矩阵Ｅ都做初等行变换ꎬ当矩阵Ａ化为单位矩阵Ｅ时ꎬ单位矩阵Ｅ就变成了Ａ－１.例１㊀求矩阵Ａ＝１－２０１２０２２１éëêêêùûúúú的逆.解㊀作一个３ˑ６的矩阵(ＡꎬＥ)ꎬ并对其做矩阵的初等行变换.(ＡꎬＥ)＝１－２０１００１２００１０２２１００１éëêêêùûúúúң１００１２１２００１０－１４１４０００１－１２－３２１éëêêêêêêêùûúúúúúúú＝(ＥꎬＡ－１).因此ꎬＡ－１＝１２１２０－１４１４０－１２－３２１éëêêêêêêêùûúúúúúúú.１.２求矩阵的秩矩阵秩的定义是非零子式的最高阶数ꎬ我们知道初等变换不改变矩阵的秩ꎬ对矩阵Ａ做初等行变换化为行阶梯形矩阵Ｂꎬ由行列式的性质可知ꎬ矩阵Ａ和矩阵Ｂ的非零子式最高阶数相同ꎬ所以矩阵Ａ与矩阵Ｂ的秩相等.例２㊀求矩阵Ａ＝１－１２１０１００１１２－２４２００３００１éëêêêêêùûúúúúú的秩.解㊀对矩阵Ａ做初等行变换化为行阶梯形矩阵.９２Ａ＝１－１２１０１００１１２－２４２００３００１éëêêêêêùûúúúúúң１－１２１００１－２０１００６０－２０００００éëêêêêêùûúúúúú＝Ｂ因为矩阵Ｂ中有三个非零行ꎬ即Ｒ(Ｂ)＝３ꎬ所以Ｒ(Ａ)＝３.２在向量组中应用２.１求向量组的秩由于任何矩阵Ａꎬ它的行秩＝列秩＝Ｒ(Ａ)ꎬ因此我们只需将向量组中的向量均按列构成一个矩阵Ａꎬ向量组的秩就等于矩阵Ａ的秩.例３㊀求向量组α１＝(１ꎬ－２ꎬ２)ꎬα２＝(１ꎬ－４ꎬ０)ꎬα３＝(１ꎬ－２ꎬ２)的秩.解㊀以αＴ１ꎬαＴ２ꎬαＴ３为列向量构成矩阵Ａꎬ并对矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ把Ａ化为阶梯形矩阵Ｂ.Ａ＝１１１－２－４－２２０２éëêêêùûúúúң１１１０－２００－２０éëêêêùûúúúң１１１０１００００éëêêêùûúúú＝Ｂꎬ得Ｒ(Ａ)＝Ｒ(Ｂ)＝２ꎬ又因为向量组α１ꎬα２ꎬα３的秩等于矩阵Ａ的秩ꎬ即向量组α１ꎬα２ꎬα３的秩为２.２.２求向量组的极大无关组由于初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系ꎬ因此可由初等行变换求解向量组的极大无关组.例４㊀求向量组α１＝(１ꎬ２ꎬ３ꎬ０)ꎬα２＝(－１ꎬ－２ꎬ０ꎬ３)ꎬα３＝(２ꎬ４ꎬ６ꎬ０)ꎬα４＝(１ꎬ－２ꎬ－１ꎬ０)的一个极大线性无关组.解㊀以αＴ１ꎬαＴ２ꎬαＴ３ꎬαＴ４为列向量构成矩阵Ａꎬ并对矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ把Ａ化为行最简形矩阵Ｂ.㊀Ａ＝１－１２１２－２４－２３０６－１０３００éëêêêêêùûúúúúúң１０２００１０００００１００００éëêêêêêùûúúúúú＝Ｂ非零行首非零元１所在的列作极大线性无关组ꎬ因此向量组α１ꎬα２ꎬα３ꎬα４的一个极大线性无关组为α１ꎬα２ꎬα４.３在线性方程组中的应用通过一系列的初等行变换ꎬ将系数矩阵或增广矩阵化为行最简形矩阵ꎬ判断方程组是否有解ꎬ有解的情况下ꎬ求出通解.３.１解齐次线性方程组例５㊀求解齐次线性方程组２ｘ１＋ｘ２－ｘ３＋３ｘ４＝０ｘ１＋２ｘ２＋３ｘ３＋ｘ４＝０３ｘ２＋７ｘ３－ｘ４＝０ｘ１－ｘ２－４ｘ３＋２ｘ４＝０ìîíïïïïïï解㊀对系数矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ化为行最简形矩阵ꎬＡ＝２１－１３１２３１０３７－１１－１－４２éëêêêêêùûúúúúúң１２３１０１７３－１３００００００００éëêêêêêêùûúúúúúúң１０－５３５３０１７３－１３００００００００éëêêêêêêêùûúúúúúúú得同解方程组为ｘ１＝５３ｘ３－５３ｘ４ｘ２＝－７３ｘ３＋１３ｘ４ìîíïïïï其中ｘ３ꎬｘ４为自由未知量ꎬ令自由未知量ｘ３ｘ４æèççöø÷÷依次取１０æèçöø÷ꎬ０１æèçöø÷ꎬ得基础解系η１＝５３－７３１０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ꎬη２＝－５３１３０１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ꎬ所以齐次线性方程组的通解为ｃ１η１＋ｃ２η２ꎬ(ｃ１ꎬｃ２为任意常数).３.２解非齐次线性方程组例６㊀求非齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＝５２ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋２ｘ４＝１５ｘ１＋３ｘ２＋２ｘ３＋２ｘ４＝３ìîíïïïï的通解.解㊀对增广矩阵Ｂ进行初等行变换ꎬ化为行最简形矩阵.０３Ｂ＝１１００５２１１２１５３２２３éëêêêùûúúúң１０１２－４０１－１－２９０００－２－４éëêêêùûúúúң１０１０－８０１－１０１３０００１２éëêêêùûúúú可以得出系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩ꎬ并且小于未知量的个数ꎬ因此方程组有无数个解.即它的同解方程组为ｘ１＝－ｘ３－８ｘ２＝ｘ３＋１３ｘ４＝２ìîíïïïïꎬ其中ｘ３为自由未知量ꎬ令自由未知量ｘ３＝０ꎬ得特解α０＝－８１３０２æèççççöø÷÷÷÷.导出组的同解方程组为ｘ１＝－ｘ３ｘ２＝ｘ３ｘ４＝０ìîíïïïïꎬ其中ｘ３为自由未知量ꎬ令ｘ３＝１ꎬ得对应齐次线性方程组的基础解系η＝－１１１０æèççççöø÷÷÷÷ꎬ所以线性方程组的通解为α０＋ｃη＝－８１３０２æèççççöø÷÷÷÷＋ｃ－１１１０æèççççöø÷÷÷÷ꎬ其中ｃ为任意常数.４在矩阵特征向量中的应用上面我们介绍了用初等行变换求解线性方程组ꎬ计算矩阵的特征向量就会涉及到解齐次线性方程组.例７㊀求矩阵Ａ＝２２－２２５－４－２－４５éëêêêùûúúú的特征向量.解㊀由Ａ－λＥ＝２－λ２－２２５－λ－４－２－４５－λ＝－(１－λ)２(λ－１０)＝０ꎬ得矩阵的特征值λ１＝１０ꎬλ２＝λ３＝１.当特征值λ１＝１０时ꎬ解齐次线性方程组(Ａ－１０Ｅ)Ｘ＝０ꎬ即Ａ－１０Ｅ＝－８２－２２－５－４－２－４５éëêêêùûúúúң２０１０１１０００éëêêêùûúúúң１０１２０１１０００éëêêêêêùûúúúúú得基础解系η１＝－１２－１１æèççççöø÷÷÷÷ꎬ故Ａ的对应于特征值λ１＝１０的全部特征向量为ｃ１－１２－１１æèççççöø÷÷÷÷ꎬ其中ｃ１为任意非零常数.当λ２＝λ３＝１时ꎬ解齐次线性方程组(Ａ－Ｅ)Ｘ＝０ꎬ即Ａ－Ｅ＝１２－２２４－４－２－４４éëêêêùûúúúң１２－２００００００éëêêêùûúúúꎬ其基础解系为η２＝－２１０æèçççöø÷÷÷ꎬη３＝２０１æèçççöø÷÷÷ꎬ故Ａ的对应于特征值λ２＝λ３＝１的全部特征向量为ｃ２－２１０æèçççöø÷÷÷＋ｃ３２０１æèçççöø÷÷÷ꎬ其中ｃ２ꎬｃ３是不全为零的任意常数.㊀矩阵的初等行变换贯穿于整个线性代数章节中ꎬ熟练应用初等行变换是学好线性代数的基础ꎬ学生要在平时学习中ꎬ学会归纳总结ꎬ使每个知识点建立联系.参考文献:[１]同济大学数学系.工程数学线性代数[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１４.[２]郝秀梅ꎬ姜庆华.线性代数[Ｍ].北京:经济科学出版社ꎬ２０１７.[责任编辑:李㊀璟]１３。
关于初等变换及应用的论文
关于初等变换及应用的论文初等变换是矩阵代数中一种重要的数学操作，它可以改变矩阵的行列式、秩、特征值等数学性质，同时也可以简化复杂矩阵的计算。
本文将介绍初等变换的基本概念、具体操作以及其在实际问题中的应用。
初等变换是指在矩阵运算中，对矩阵的行或列进行加减乘除的操作。
通过对矩阵进行初等变换，可以实现对矩阵的各种操作，从而求解矩阵的特性。
初等变换可以分为三种操作：互换两行（或两列）、某一行（或一列）乘以一个非零常数、某一行（或一列）的倍数加到另一行（或一列）。
这三种操作可以通过矩阵的乘法来表示，分别对应于左乘一个相关的矩阵。
例如，互换第i行和第j行的操作对应于左乘一个单位矩阵乘以某个置换矩阵Pij；将第i行乘以非零常数k的操作对应于左乘一个单位矩阵乘以某个缩放矩阵K(i,k)；将第i行加到第j行上的操作对应于左乘一个单位矩阵乘以某个行变换矩阵B(i,j)。
在具体应用上，初等变换可以用于解线性方程组、求矩阵的秩、计算矩阵的逆等。
对于线性方程组Ax=b，其中A是一个矩阵，x和b是向量。
通过初等变换，可以将方程组转化为等价的简化形式，从而求解x的值。
例如，通过初等变换将A 化为对角矩阵，可以很容易地求出方程组的解。
对于矩阵的秩，通过初等变换可以将矩阵化为行梯阵或最简形，在这些形式下，矩阵的秩可以直接通过矩阵中的非零行或列数来确定。
初等变换还可以用于求解矩阵的逆。
如果一个矩阵A可逆，那么通过初等变换，可以将矩阵A变为单位矩阵，同时在变换的过程中也可以得到矩阵A的逆。
除了以上的基本应用，初等变换还可以应用于解决实际问题。
例如，在图像处理中，可以将图像表示为一个矩阵，通过初等变换来实现图像的平移、旋转等操作。
初等变换也可以用于矩阵相似变换的计算，相似变换可以用来判断两个矩阵之间的相似性。
总而言之，初等变换在矩阵代数中具有广泛的应用。
通过初等变换，可以实现对矩阵的各种操作，从而求解矩阵的特性。
初等变换不仅可以用于解决线性方程组、求矩阵的秩、计算矩阵的逆等基本问题，还可以应用于实际问题中，例如图像处理和相似变换等领域。
矩阵 初等变换
矩阵初等变换矩阵初等变换：线性代数中的重要工具一、引言矩阵初等变换是线性代数中的重要工具，它通过对矩阵进行一系列特定的操作，可以改变矩阵的性质和形态。
矩阵初等变换在解线性方程组、求逆矩阵、求特征值等问题中具有广泛的应用。
二、矩阵初等变换的定义矩阵初等变换是指对矩阵进行一系列的行变换或列变换，使得矩阵的性质发生改变。
矩阵初等变换包括三种类型：交换两行（列）、某一行（列）乘以非零常数、某一行（列）乘以非零常数加到另一行（列）上。
三、矩阵初等变换的作用1. 解线性方程组利用矩阵初等变换可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而可以方便地求解方程组的解。
通过对矩阵进行初等变换，可以使得方程组的系数矩阵变为单位矩阵或对角矩阵，从而可以直接得到方程组的解。
2. 求逆矩阵矩阵初等变换也可以用来求解矩阵的逆。
通过对矩阵进行一系列的初等变换，可以将原矩阵转化为单位矩阵，同时对应的初等变换作用于单位矩阵上，从而得到原矩阵的逆矩阵。
3. 求特征值和特征向量对于给定的矩阵，通过对其进行一系列的初等变换，可以将矩阵转化为对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵的特征值。
同时，通过初等变换得到的矩阵与原矩阵具有相同的特征向量。
四、矩阵初等变换的性质1. 可逆性矩阵初等变换是可逆的，即对矩阵进行初等变换后再进行逆变换，可以得到原矩阵。
2. 保持行（列）线性关系矩阵初等变换保持行（列）之间的线性关系不变，即对矩阵进行初等变换后，矩阵的行（列）之间的线性组合关系保持不变。
3. 保持秩不变矩阵初等变换不改变矩阵的秩，即对矩阵进行初等变换后，矩阵的秩保持不变。
5. 矩阵初等变换的运算规律矩阵初等变换具有一些运算规律，包括交换律、结合律和分配律。
六、矩阵初等变换的应用举例1. 解线性方程组的应用通过对系数矩阵进行初等变换，可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而可以方便地求解方程组的解。
例如，对于如下线性方程组：2x + 3y = 74x + 5y = 9可以通过矩阵初等变换将其转化为如下形式：1 0 | a0 1 | b从而可以直接得到解x=a、y=b。
矩阵的初等变换在线性代数中的应用
矩阵的初等变换在线性代数中的应用摘要：矩阵是线性代数的一个重要组成部分，矩阵的初等变换在线性代数中的作用至关重要，文章基于矩阵的初等变换，举例说明矩阵的初等变换在求逆矩阵、求矩阵的秩等多方面的应用。
关键词：矩阵；线性代数；初等变换线性代数是大学数学的一个重要的组成部分，理工科学生的必修数学课程之一。
矩阵是线性代数中一个最重要也是最基本的概念，真正理解并且熟练掌握它是学好线性代数的关键。
矩阵的初等变换又是线性代数中不可或缺的内容，目前我们使用的大多数教材在对初等变换介绍时，矩阵的初等行变换和初等列变换都会讲解。
但是，在赵怡欣等人对矩阵的初等变换应用研究时，大部分只用了初等行变换[1-3]。
很多同学可能就有疑问，在解决问题是可以用初等列变换吗？答案是肯定，下面我们用具体的示例来说明。
首先给出相关的定义。
一、矩阵的初等变换定义1[4]：对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：(1)交换矩阵的两行（列），记为；(2)以一个非零的数乘以矩阵某一行（列）的所有元素，记为；(3)把矩阵的某一行（列）所有元素的倍加到另外一行（列）对应的元素上，记为。
初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。
初等变换都是可逆的，且逆变换也是同类的初等变换。
定义2[5]：我们称矩阵为一个行阶梯形矩阵，它具有以下特征：(1)元素全为零的行（简称零行）位于非零行的下方；(2)各非零行的首非零元（即该行从左至右的第一个不为零的元素）的列标随着行的增大而严格增大（即首非零元的列标一定不小于行标）。
定义3[5]：我们称矩阵为一个列阶梯形矩阵，它具有以下特征：(1)元素全为零的列（简称零列）位于非零列的右方；(2)各非零列的首非零元（即该行从上到下的第一个不为零的元素）的行标随着列的增大而严格增大（即首非零元的行标一定不小于列标）。
二、矩阵的初等变换在线性代数中的应用（一）用初等变换求逆矩阵如果方阵可逆，可经过一系列初等行（列）变换化为，则存在初等矩阵，使得上式两边右乘，则有(1)式和(2)式表明，将施行一系列初等行变换化为，则对施行相同一系列初等行变换化为，即也可以利用初等列变换，即解法二（二）用初等变换求矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩，求一个矩阵的秩，只需用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，则其非零行的个数便是矩阵的秩；或者用初等列变换把矩阵化为列阶梯形矩阵，则其非零列的个数便是矩阵的秩。
矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用
【参考文献】 [1 ]卢 刚 1 线性 代 数 [ M ] 1 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社 ,
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等代数 (第三版) [ M ] 1 北京 : 高等教育出版社 ,2003 ,162～ 3011
Applications of Elementary Transformation of Matrix in Linear Algebra
列行初等变换 ,将其左半部分化为单位矩阵 E ,这时其右半
部分就是 A - 1 。
即(A
, E)
行初等变换 →…→ (
E ,A-1)
1 - 5 2
例 1 设 A = 2 - 4 1 求 A - 1
1 - 1 1
1 - 5 2 1 0 0
解 : ( A , E) = 2 - 4 1 0 1 0 →
时 , B 处得到的矩阵就是 A - 1 B ;同理 :
A 列初等变换 AB - 1 B →…→ E
31 用矩阵的初等变换求矩阵秩及向量组的秩 由于初等变换不改变矩阵的秩 , 且任意一个 m × n 矩 阵 ,均可以经过一系列行初等变换化为 m × n 梯矩阵 ; 因此 我们要确定一个矩阵的秩 ,当它不是梯矩阵时 ,我们可以先 利用行初等变换将其化为梯矩阵 ,然后就可以由梯矩阵的秩 确定原矩阵的秩 。
[ 摘 要 ] 文章总结了矩阵的初等变换在求逆矩阵 、求向量组的秩 、解矩阵方程 、化二次型为标准型中的应用 ,该总结有 利于非数学专业人员理解矩阵的初等变换在这些方面的运用 。
[ 关键词 ] 矩阵 ;初等变换 ;应用 [ 中国图书分类号 ] O151121 [ 文献标识码 ] B [ 文章编号 ] 1008 - 9144 (2006) 11 - 0091 - 02
初等变换在线性代数中的应用
例２ ＝ １ ２ — ｌ ＝ ． Ｉ 设Ａ ２， Ｂ
［１ ３ ２Ｊ 一
［－ 三３ 叫 【 一 孙Ｊ ３ ２
为 Ａ～Ｂ。
即 ［ Ｂ］ … － Ｌ ； Ｉ Ａｉ 一 － Ｅ Ａ－ ｑ ＇ Ｂ
１初 等 变 换概 述 ． 线 性 代 数 是 高 等 高 职 院校 理 工 和 经 管 类 一 门重 要 的基 础 课 ．通 过 线 性 代 数 的 学 习 ． 生 可 以 培 养运 算 能 力 、 间想 象 ． 学 空 能 力 、 辑 思 维 能 力 和将 实 际 问题 转 化 为数 学 模 型 的能 力 。 逻 矩
初 等 变 换 在 线 性 代 数 中 的 应 用
吴 静
（ 安思 源 学 院 基 础 部 高数 教 研 室 ， 西 陕西 西 安
摘 要 ： 文 总 结 了初 等 变换 在 线 性 代 数 中的 几 种 主 要 本 应用 ： 逆矩阵 ， 求 求解 矩 阵 方程 ， 解 线 性 方 程 组 ， 二 次型 为 求 化 标 准 形 ． 且 每 种 应 用 都 通过 实例 加 以说 明 。 并 关 键 词 ： 性 代 数 初 等 变换 逆 矩 阵 矩 阵方 程 二 线
尚 ） Ｘ ）
换 ， 能 作 初 等Ｂ 变 换 ， ； 不 列 更 可 以求 方 程 组 Ａ ＝ Ｘ Ｂ的基 础 解 系 和 ｏ
通解 。
ｆ－２３ ４ ｘｘｘ ｘ０ １ －＋ ＝
例３ ． 求非齐 次线性方程组｛ｌ ２ ３ ｘ 一 的通解。 Ｘ Ｘ￣ － ｄ ２ － ＂ ３： － Ｘ
矩阵的初等变换在线性代数中的应用 李
矩阵 Q，使得
TT
Q A AQ＝E
（1）
T
即（AQ） AQ＝E
（2）
T
T
（1）式表明对 A A 做一系列同样类型的初等行列变换，可 将 A A
n
化成单位矩阵．（2）式表明 AQ 是正交矩阵，即 AQ 的 列 向 量 组 是 R 的
T
一个标准正交基， 可以通过对矩阵 A 施行对矩阵 A A 施行的同样系
7 2
α2 ，α4 ＝α1 －2α2
3 用矩阵的初等变换解线性方程组
将线性方程组的增广矩阵进行若干次的初等行变换，化为行最简
形矩阵，即可很容易地求出该线性方程组解的情况.行最简形矩阵特
点 是:（1）非 零 行 在 矩 阵 的 最 下 方 ；（2）矩 阵 的 各 非 零 行 的 第 一 个 非 零
元素都等 1；（3）第一个非零元素所在的列中，其余元素均为零.
T
3
（1，0，1） ，α3 =（0，1，1） ，试用 A 构造 R 的一组标准正交基.
0 0 3 2 2
T
解 A A＝ 2 2 1 代入（3）式有
212
姨姨3 0
姨
姨姨0 2
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0 0 T
AA
＝
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E
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矩阵的初等变换在线性代数中的应用探索
矩阵的初等变换在线性代数中的应用探索作者：李燕娟来源：《科技视界》2020年第18期摘要矩阵的初等变换在线性代数中起着举足轻重的作用，本文基于行、列阶梯形矩阵研究矩阵的初等行、列变换，并多角度、多解法举例探索初等变换在求矩阵的秩、求逆矩阵、解矩阵方程及求解线性方程组等中的应用。
关键词初等变换;线性代数;矩阵中图分类号： O151.2 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 文献标识码： ADOI：10.19694/ki.issn2095-2457 . 2020 . 18 . 23AbstractThe elementary transformation of matrix plays an important role in linear algebra. This paper studies the elementary row and column transformation of matrix on the basis of row and column stepped matrix， and explores the application of elementary transformation in the rank of matrix，inverse matrix， solving matrix equations and solving linear equations with multi-angle and multi-solution examples.Key wordsElementary transformation; Linear algebra; Matrix矩陣的初等变换是线性代数中一个非常重要的内容，绝大多数的的教材在讲解矩阵的初等变换时，都会分别介绍矩阵的初等行变换和初等列变换。
然而，现有文献在探索矩阵的初等变换应用时却多数只运用了初等行变换[1-3]。
那么，可以运用初等列变换来解决问题吗？本文就此问题通过几个题型来举例说明初等行变换和初等列变换在解决相关问题中的应用及区别，以解决学生心中的疑惑。
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用线性代数是一门重要的数学分支，它研究的是线性变换及其代数分析性质。
其中，矩阵是线性代数中非常重要的工具，它可以把线性方程组转化成一个更简单的形式，使得我们可以更容易地进行求解。
而矩阵的初等变换则是在求解线性方程组时必须要用到的一种基本技巧。
本篇文章将深入探讨矩阵初等变换及其在线性代数中的应用。
矩阵初等变换到底是什么？矩阵初等变换是指对于一个矩阵来说，可以通过三种基本变换操作得到新的矩阵。
这三种操作分别是：交换矩阵的任意两行或两列；用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行或某一列；将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的 k 倍。
这三种操作称为矩阵的行初等变换或列初等变换。
首先来看一个示例，假设有如下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$$对于这个矩阵，我们可以进行如下初等变换：①交换第一行和第二行$$\begin{bmatrix}3 &4 \\1 &2 \\\end{bmatrix}$$②将第二行乘以2$$\begin{bmatrix}1 &2 \\6 & 8 \\\end{bmatrix}$$③将第二行减去第一行的两倍$$\begin{bmatrix}1 &2 \\4 & 4 \\\end{bmatrix}$$通过这三种基本变换，我们可以将原始矩阵变换成一个新的矩阵。
这个过程通常用矩阵的运算符号表示，比如将第二行减去第一行两倍的操作可以表示为：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\-2 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}$$其中，左侧的矩阵就是一个变换矩阵，它表示了对原矩阵的操作。
初等行变换在线性代数这门课中的作用
初等行变换在线性代数这门课中的作用
初等行变换是一种重要的数学技术，它在线性代数中有重要的作用。
初等行变换（Elementary Row Operation）通常是指它能够用来将一个矩阵转换为一
个改变矩阵的另一种形式的简单技术。
它是一个非常高效的方法，可以用来改变一个矩阵
的行和列，以及改变矩阵中单元格的值。
下面我们来介绍一些初等行变换的应用：
1、初等行变换在求矩阵的逆矩阵时很有用。
用初等行变换，可以使一个矩阵划分
为上三角阵和下三角阵，这样就可以简化求矩阵逆的过程。
2、可以利用初等行变换求解线性方程组。
初等行变换可以把一个矩阵转换为 "三
角形矩阵"，此时线性方程组的求解就非常容易，而不用去解一般的线性方程组。
3、初等行变换也可以用来求解矩阵的特征根和特征向量。
可以利用特征根与特征
向量求解奇异值分解问题，而这正是由初等行变换的结果可以得到解决的。
4、另一个初等行变换在线性代数这门课中的重要功能就是有助于求解矩阵和向量
的秩，从而确定它们是否具有某种性质。
秩是用来衡量一组向量（或一个矩阵）的相关性，当两个向量具有完全不同的特征时，它们的秩就会增加；反之，如果有的特征是相同的，
它们的秩就会减少。
总结来看，初等行变换可以把一个矩阵转换为另一个特定形式，以便更容易地求解线
性方程组，求逆矩阵，求特征根，求秩等。
它是线性代数中一个重要的工具，从而使线性
代数更加容易学习。
矩阵的初等变换在线性代数中的应用(四)
矩阵的初等变换在线性代数中的应用（四）李志慧（陕西师范大学数学与信息科学学院 副教授 博士 西安 710062）5、求标准正交基通常的Schmidt 方法，使我们可以从欧氏空间nR 的任意一个基出发，求出一个正交基来，再单位化，求出一个标准正交基．下面给出一种运用矩阵的初等变换，从欧氏空间nR 的任意一个基求标准正交基的方法[3]．设),,,(21ni i i i a a a a =是nR 的任意一个基，n i ,,2,1 =．以'i a 为列向量构成矩阵)(ji a A =，则A A '是一个n 阶正定矩阵，必与单位矩阵E 合同，即存在n 阶可逆矩阵Q ，使得E Q A A Q =)'(' 〈5〉即E AQ A Q =))(''( 〈6〉〈5〉式说明，对矩阵A A '施行一系列的初等变换（相应的初等矩阵的乘积Q ）及一系列的行初等变换（相应的初等矩阵的乘积为'Q ）可变成单位矩阵．〈6〉式表明，AQ 的列向量组是nR 的一个标准正交基．AQ 可以通过对矩阵A 施行与对矩阵A A '所施行的相同系列的列初等变换求出，而不必通过先求Q 再与A 相乘得到．于是，得到求标准正交基的矩阵初等变换法： ][']'[AQ E A A A A A A →施行列初等变换对初等变换列行施行对 AQ 的列向量组即为所求．例7 把)0,0,1,1(1=a ，)0,1,0,1(2=a ，)1,0,0,1(3-=a ，)1,1,1,1(4--=a 变成单位正交的向量组．解：令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1100101010011111A ，则 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1111100101010011'A ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=4000021101210112'A A ，→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=110010101212121121212140000232100212300001121211001010100111114000021101210112)'(行除第列除第AA A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1110100100211112140000212101221021211)21(132112)21(132112-⨯-⨯--⨯-⨯-行第行第列第行第列第列第列第列第→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----11001316201316121131612140000340000100001→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----112300112162011216121112161214000010000100001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----2112300211216202112161212112161211000010000100001 所以所求单位正交的向量组为)0,0,21,21(1=β，)0,62,61,61(2-=β， )123,121,121,121(3-=β，)21,21,21,21(4-=β，需指出的是，)'(''AQ A Q =的行向量组，正是AQ 的列向量组，所以有求标准正交基的矩阵初等变换法的另一形式)''('')''(A Q E A A A A A A →施行行初等变换对初等变换列行施行对''A Q 的行向量即为所求．如果需要求出Q ，则由EQ Q =可知，对单位短阵E 施行同样的列初等变换得到Q ，即][']'[Q E E A A E A A →施行列初等变换对初等变换列行施行对 由此可以看出，利用矩阵的初等变换求欧氏空间nR 的一组标准正交基，比较简单而且操作方便．四、小结本文介绍了矩阵的初等变换在解决线性代数的有关问题中所具有的特殊作用．特别地我们论述了矩阵的初等变换在求矩阵的秩、向量组的极大线性无关组、解线性方程组以及求标准正交基等问题中的应用，并给出了部分例子．可以看出，利用矩阵初等变换在处理相应问题问题时具有简单、快速、易于操作等特点．值得注意的是，矩阵的初等变换共有六种，当我们处理不同的问题时，可能使用初等变换的种类会不一样．如在本文中我们发现：在求向量组的极大线性无关组时只用了三种类型，而求矩阵的初等变换时却可以用六种初等变换，因此，我们在具体使用时要灵活应用．实质上，利用矩阵的初等变换还可以得到解决求矩阵的逆、特征值与特征向量、二次型的标准型等问题的有效方法．当然，我们在学习中可能还会发现利用矩阵的初等变换来解决有关问题的典型例子，这也是值得我们进一步探讨的一个问题．参考文献1.北京大学数学系几何与代数小组，高等代数，高教出版社，1988年3月． 2．张小红，蔡秉徒，高等代数专题研究选编，陕西科学技术出版社，西安，1992．3．Werner Greub ， Linear Algebra, Springer-Verlag New York Heidelberg, Berlin,1982.。
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信息与计算科学
矩阵的初等变换在线性代数中的应用
一、前言部分
线性代数是高等代数的一大分支。
我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。
在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。
向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。
向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。
同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。
因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。
然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。
矩阵的初等变换起源于解线性方程组，是线性代数的一个基本概念，也是研究矩阵的一个非常重要的工具。
矩阵作为线性代数中最基本的一个概念，在数学的各方面的有重要的意义。
最基本的应用当然是在线性方程方面。
但是，矩阵的意义其实可以说就是线性代数的意义，因为线性代数的每一个概念都与矩阵有着密切关系。
而线性代数是整个高等数学的基础之一，可以应用到整个数学的方方面面，而其本身在物理学、生物学、经济学、密码学等方面发挥着重要作用。
[1]
矩阵的初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用。
文章就详细地总结了矩阵的初等换在求逆矩阵、求矩阵的秩、求过渡矩阵、求向量组的秩及向量组的极大线性无关组、解方程组、化二次型为标准型以及求标准正交基等问题中的应用。
本文就讨论应用矩阵初等变换的一些性质解决有限维向量空间中这些问题。
[2]
二、主题部分
2.1矩阵和线性代数的概念介绍
2.1.1 线性代数的概念介绍
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容。
2.1.2矩阵初等变换的概念介绍
初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的。
初等变换有三类：
1. 位置变换：矩阵的两行（列）位置交换；
2. 数乘变换：数k乘以矩阵某行（列）的每个元素；
3. 消元变换：矩阵的某行（列）元素同乘以数k，然后加到另外一行（列）上。
[3]
初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵。
则根据三类初等变换，可以得到三种不同的初等矩阵。
1. 交换阵E(i,j)：单位矩阵第i行与第j行位置交换而得；
2. 数乘阵E(i(k))：数k乘以单位矩阵第i行的每个元素（其实就是主对角线的1变成k）；
3. 消元阵E(ij(k))：单位矩阵的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上。
其上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变换而得。
[4]
2.2 线性代数的历史背景和发展
2.2.1 线性代数的发展史
由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。
直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。
十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点．1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。
托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。
不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代
数学”，一直沿用至今。
线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。
主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。
①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；
②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；。
③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；
④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
[5]
2.2.2 矩阵的发展史
根据世界数学发展史记载，矩阵概念产生于19世纪50年代，是为了解线性方程组的需要而产生的。
然而，在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽。
在我国的《九章算术》一书中已经有描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它的解决实际问题，所以没能形成独立的矩阵理论。
1850年，英国数学家西尔维斯特（SylveSter，1814——1897）在研究方程的个数与未知数的个数不相同的线性方程组时，由于无法实用行列式，所以引入了矩阵的概念。
1855年，英国数学家凯莱（Caylag，1821——1895）在研究线性变换下的不变量时，为了简洁，方便，引入了矩阵的概念。
1858年，凯莱在《矩阵论的研究报告》中，定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时，定义了零距阵等概念，以及利用伴随阵的方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律，两个非零阵乘积可以为零距阵等结论，定义了转置阵、对称阵，反对称阵等概念。
1878年，德国数学家弗罗伯纽斯（Frobeniws，1849——1917）在他的论文中引入了λ矩阵的行列式因子，不变因子和初等因子等概念，证明了2个λ矩阵等价当且仅当它们有相
同的不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义，1879年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念。
矩阵的理论发展非常迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已基本形成。
到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。
目前，它已经发展成为在物理，控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量的应用数学分支。
[6]
2.3 矩阵的初等变换
在计算行列式时，利用行列式的性质可以将给定的行列时化为上（下）三角形行列式，从而简化行列式的计算，把行列式的某些性质引用到矩阵上，会给我们研究矩阵带来很大的方便，这些性质反映到矩阵上就是矩阵的初等变换.
定义1 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:
(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);
(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);
(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).
把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义(相应记号中把换成).[7]
初等行变换与初等列变换统称为初等变换.
注:初等变换的逆变换仍是初等变换, 且变换类型相同.
例如，变换的逆变换即为其本身；变换的逆变换为；变换的逆变换为或.
定义2 若矩阵经过有限次初等变换变成矩阵, 则称矩阵与等价, 记为
（或）.
注：在理论表述或证明中，常用记号“～”，在对矩阵作初等变换运算的过程中常用记号“”.
矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:
(1) 反身性;
(2) 对称性若,则;
(3) 传递性若,,则.
一般地, 称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵:
(1) 零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方;
(2) 各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增大（或说其列标一定不小于行标）.
一般地, 称满足下列条件的阶梯形矩阵为行最简形矩阵：
(1) 各非零行的首非零元都是1；
(2) 每个首非零元所在列的其余元素都是零. [8]
定理1 任意一个矩阵()n m ij a A ⨯=经过有限次初等变换, 可以化为下列标准形矩阵
注: 定理1的证明也实质上给出了下列结论: 定理2 任一矩阵A 总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵, 并进而化为行最简形矩阵.
根据定理1的证明及初等变换的可逆性,有
推论 如果A 为n 阶可逆矩阵, 则矩阵A 经过有限次初等变换可化为单位矩阵E , 即
[9]
定义3 对单位矩阵E 施以一次初等变换得到矩阵称为初等矩阵.
三种初等变换分别对应着三种初等矩阵. (1) 的第行(列)互换得到的矩阵
(2) 的第行(列)乘以非零数得到的矩阵。