2.2矩阵的运算
2.2矩阵的运算
2). 矩阵乘法不满足消去律
AB = AC ⇒ B = C
1 0 0 0 0 0 如 A= , B = 0 1 , C = 0 0 . AB = AC , 但B ≠ C 0 0
3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 AB=0时 一般不能得出A 若 AB=0时,一般不能得出A、B中至少有一个为零矩阵的 结论. 结论.
b1 b2 例 3 设矩阵 A = (a1 , a 2 , L,a n ) , B = , 求AB，BA . M b n
解 A1×n Bn×1 = a1b1 + a2b2 + L anbn = ∑ ai bi
n
Bn×1 A1× n
b1a1 b2 a1 = M b a n 1
k =1 i =1 i =1 k =1 i =1
n
n
n
n
n
故 AB 与 BA 的主对角线上的元素之 和相等 .
例6 用矩阵方程表示下式线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 LLLLLLLLLLLLL am1 x1 + am1 x2 + L + amn xn = bm
(1)
( 3)
(λ µ ) A = λ ( µ A)
λ ( A + B) = λ A + λ B
矩阵相加与数乘矩阵合 起来 ,统称为矩阵的线性运算 . 统称为矩阵的线性运算
二 、矩阵与矩阵的乘法
2.2矩阵的运算及其性质
2.2矩阵的运算及其性质1. 矩阵的加法矩阵的加法是指对应位置上的元素相加，即对两个相同大小的矩阵进行加法运算。
对于两个矩阵A和B，它们的加法运算可以表示为A + B，结果矩阵C的每个元素是A和B对应位置上元素的和。
矩阵的加法满足以下性质： - 交换律：A + B = B + A - 结合律：(A + B) + C = A + (B + C) - 零元素：存在一个零元素0，满足A + 0 = A - 负元素：对于任意矩阵A，存在一个负元素-A，满足A + (-A) = 02. 矩阵的减法矩阵的减法是指对应位置上的元素相减，即对两个相同大小的矩阵进行减法运算。
对于两个矩阵A和B，它们的减法运算可以表示为A - B，结果矩阵C的每个元素是A和B对应位置上元素的差。
矩阵的减法满足以下性质： - A - B = A + (-B)3. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都乘以一个数。
对于一个矩阵A和一个数k，它们的数乘运算可以表示为k * A，结果矩阵B的每个元素都是A对应位置上的元素乘以k。
矩阵的数乘满足以下性质： - 结合律：(k1 * k2) * A = k1 * (k2 * A) - 分配律：(k1 + k2) * A = k1 * A + k2 * A - 分配律：k * (A + B) = k * A + k * B - 1 * A = A4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指矩阵和矩阵之间的一种运算。
对于两个矩阵A和B，它们的乘法运算可以表示为A * B，结果矩阵C的元素是A的行向量与B的列向量进行内积后得到的。
矩阵的乘法满足以下性质： - 结合律：(A * B) * C = A * (B * C) - 分配律：A * (B + C) = A * B + A * C - 分配律：(B + C) * A = B * A + C * A - 乘法不满足交换律，即A *B ≠ B * A5. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
矩阵的运算
x 12
x 22
x 11
x 21
0
x 0
21
得 x x x
11
12
22
这样与A可交换的矩阵形如
x 12
x 22
x 12
0
x 22
其中 x12, x22为任意数.
例6 利用矩阵乘法与矩阵相等的概念,
线性方程组:
ax 11 1
ax 12 2
ax 1n n
b 1
a 21
x a x a x
1
22 2
解：由题设AX=XA及矩阵乘积的定义, X为二
阶方阵. 因此设
X
x 11
x 12
代入有
x 21
x 22
1
1
x 11
x 12
x 11
x 12
1
1
0
0
x 21
x 22
x 21
x 22
0
0
即
x 11
x 21
x 12
x 22
x 11
x 11
0
0
x 21
x 21
由矩阵相等的定义得方程组
x 11
x 21
x 11
矩阵加法的运算规律:
1 A B B A;
(交换律)
2 A B C A B C. (结合律)
a 11
3
Aபைடு நூலகம்
a 21
a 12
a 22
a 1n
a 2
n
a
,
ij
a m1
a m1
a mn
称为矩阵A的负矩阵.
4 A A 0, A B A B.
(5) A+0=A(0表示与A同型的0矩阵).
矩阵的加法和乘法规则
矩阵的加法和乘法规则1. 矩阵的加法规则矩阵加法是指将两个相同大小的矩阵对应位置上的元素相加得到一个新的矩阵的运算规则。
设有两个矩阵A和B，它们的大小都是m行n列，表示为A = [a<sub>ij</sub>]<sub>m×n</sub>，B =[b<sub>ij</sub>]<sub>m×n</sub>。
则A和B的加法规则为：A +B = [a<sub>ij</sub> + b<sub>ij</sub>]<sub>m×n</sub>新矩阵中的每个元素都是原两个矩阵对应位置上元素的和。
2. 矩阵的乘法规则2.1 矩阵的数乘规则矩阵的数乘是指将一个数（标量）和矩阵的每个元素相乘得到一个新的矩阵的运算规则。
设有一个矩阵A，大小为m行n列，表示为A =[a<sub>ij</sub>]<sub>m×n</sub>，以及一个数（标量）k。
则A的数乘规则为：kA = [ka<sub>ij</sub>]<sub>m×n</sub>新矩阵中的每个元素都是原矩阵对应位置上元素与数k的乘积。
2.2 矩阵的乘法规则矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B相乘得到一个m行p列的矩阵C的运算规则。
设有两个矩阵A和B，它们的大小分别为m行n列和n行p列，表示为A = [a<sub>ij</sub>]<sub>m×n</sub>，B =[b<sub>ij</sub>]<sub>n×p</sub>。
2.2 矩阵的运算
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例8．求与矩阵 A=
0 1 0 0 0 1 可交换的一切矩阵。 0 0 0
a 解：设 B= a1 a2 0 AB= 0 0
b b1 b2 1 0 0
c c1 ，那么 c2 0 a b c a1 b1 c1 1 a1 b1 c1 = a2 b2 c2 ， 0 a2 b2 c2 0 0 0
。
9 15 21 6 = 6 0 12 9 0 3 6 9
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思考：数与行列式相乘和数与矩阵相乘有什么 区别？
答：数与行列式相乘，是将数乘到行列式中的某一行
（或列）； 而数与矩阵相乘，是将数乘矩阵中的每一个 元素。
即：行列式的某行（或列）有公因子即可提出 , 但矩阵的每一个元素都有公因子时才可以提出.
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2. 数乘矩阵满足的运算律
设 A, B 为同型矩阵, λ , μ为常数，则
(1) (λμ) A=λ (μ A);
(2) (λ + μ)A = λ A + μ A.
结合律
分配律
(3) λ(A + B) = λ A + λ B.
分配律
矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
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四、方阵的幂
(１) 定义
如果 A 是 n 阶矩阵, 那么AA 有意义, 也有意义, 因此有下述定义:
AA A
m 个A
定义
Ａ1 = A,
设 A 是 n 阶矩阵, k 是正整数,
矩阵的基本运算
例如
1 3 5
2 2 8
19316
6 0
8 不存在. 1
乘积AB 维的关系
A
B
m n
n s
C ms
=
A
8
注 两个矩阵相乘, 乘积有可能是一个数.
1
2
3
3 2
1 3 2 2 3 1 10.
1
练习 计算下列矩阵的乘积，并观察结果.
1
1 2 1 4 1 2 1 4
1
5
8
0
2
5
8
0
2
13310 1 3 734 10 1 3 7 34
1
1 2 1 4
5
10
8 1
0 3
2 734
1
1
A
1
144
5 10
2 8
1
1 0 3
4
2
7
9
34
1
2
a11 a12 L a1s
a21
a22
L
a2s
O M M M M
nnnan1
an2
L
2an2
L na1n
L
na2n
M M
L
nann
nn
A
11
a1
b1
a2
b2
O
O
an nn
bn nn
a1b1
a2b2 O
anbn nn
结论 两个n 阶对角阵之积仍为n 阶对角阵.
结论 两个n阶上（下）三角阵A之积仍为n阶上（下）三角阵12 .
❖矩阵乘法的运算规律 (1 )结 合 律 :(A B )C A (B C )
第2章 2.2矩阵的运算
解
X 1 (B A) 2
1 2
4 4 1
6 4 2
4 2
7
4 2 2
2
3 2
2
2 2 1 1
X 1B1A 22
1 2
1
7 2
1
二、矩阵的乘法
引例 某电子集团生产三种型号的彩电，第一季
度各40万台, 20万台, 30万台, 第二季度各30万台, 10 万台, 50万台, 每万台的利润分别是400万元, 300万 元, 500万元, 第一,二季度各类产品的利润是多少 ?
对应⑴可以用矩阵形式表示为 AX B ，称为矩阵
方程。其中
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1 am2 amn
，X
x1 x2
xn
，
b1
B
b2
。
bm
A称为系数矩阵，A ( A | B) 称为方程组的增广矩阵 对应齐次方程组⑵可用矩阵形式表示为 AX O
-18-
例4：计算下列矩阵的乘积.
1 1 1 1
1 1
0 0
0 0
-21-
比较：
Ø在数的乘法中，若 ab = 0 a = 0 或 b = 0
在矩阵乘法中,若 AB = O A = O 或 B = O 两个非零矩阵乘积可能为O。
Ø在数的乘法中，若 ac = ad，且 a 0 c = d (消去律成立)
在矩阵乘法中, 若 AC = AD, 且 A O C = D (消去律不成立)
例1
A
1 2
0 1
2 3
,
B
1 1
3 0
4 5,
求 3A 2B
高等数学矩阵的运算
解法1: 因为
AB
2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
311 170
14 13
130,
所以
AB
T
0 14 3
111703.
解法2: (AB)T=BTAT
1 7 1
4 2 3
021
2 0 1
231
0 14 3
111703.
12
由矩阵转置和对称矩阵的定义可得:
16 8
?
32 16
22
例2:
1 2 3
123
1 3 2 2 3 1 10.
4
例3: 求AB, 其中
A
1 1 0
0 1 5
1 3
1
402,
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4111.
C
AB
1 1 0
0 1 5
1 3
1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
41 11
5 10 2
(3)
A
a11 a21
am1
称为矩阵A的负矩阵.
a12
a22
am1
a1n a2n
amn
aij
.
(4) A+(–A) = O, A–B = A+(–B).
2
二、数与矩阵相乘
定义: 数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij), 记作 A 或A, 简称为数乘. 即
A
A
0 0
1
0
0
1
3
0 0
32 3
0
3
32 3
8
由此归纳出
22矩阵运算
一、矩阵的加法
定义1 设有两个 m n 矩阵 A (aij )和B (bij )，
那么矩阵 A 与 B 的和记作 A B ，规定为
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
矩阵相加与数乘矩阵合 起来，统称为矩阵的线性 运算.
三、矩阵与矩阵相乘
设有两个线性变换
y1 y2
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3， a23 x3，
x1 x2
b11t1 b21t1
b12 t 2，
b22t
，
2
（4）
x3 b31t1 b32t2，
例2
求矩阵
A 2 4 与B 2 4 的乘积 AB 及 BA .
1 2
3 6
解 按公式(6)，有
AB 2 1
4 2 2 3
4 6
16 8
32 ， 16
BA 2 4 2 4 0 0. 3 6 1 2 0 0
对于两个n 阶方阵 A、B， 若AB BA，则称方阵A 与B 是可交换的.
例2还表明，矩阵 A O，B O，但却有AB O.
特别注意： 若有两个矩阵 A、B满足 AB O， 不能得出A O或B O的结论；
若 A O而 A（X Y） O， 也不能得出X Y 的结论.
2.1 矩阵的概念 2.2矩阵的运算
a11 b11 a 21 b21 a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
a1n b1n a 2 n b2 n a mn bmn
简记为：A B (aij ) (bij ) (aij bij )
三、矩阵与矩阵的乘法
定义2· 5
B 设矩阵 A (aij ) ms ， (bij ) sn，由元素
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
s
构成的矩阵 C (cij ) mn称为矩阵A与矩阵B的乘积。 记为 即:
a11 a i1 a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
•
1.
矩阵概念与行列式概念的区别：
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n 一个行列式 D a n1 a n 2 a nn
代表一个数
（*）
把方程组中系数aij及常数项 bi 按原来次序取出， 作一个矩阵
a11 a 21 a m1 a12 a 22 a1n a2n b1 b2 bm m×(n+1)
=A
增广矩阵
a m 2 a mn
则线性方程组（*）与 A 之间的关系是1-1对应的
则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B
1 a c 1 1 例如：若 A B 且A=B 2 b 3 0 d
则有c=0; a=-1; b=2; d=3
一、矩阵的加法
线性代数：2.2 矩阵的运算与概念
mn矩阵A简记为 A(aij)mn 或记作 Amn .
什么是矩阵？
黑客帝国3 The matrix revolution
• 机器帝国集结了乌贼大军攻打真实世界仅存的人类 城市－锡安城，锡安城内的人类拼死抵抗，但最后 仍是兵败如山倒；另一方面，电脑人史密斯进化成 为更高等的电脑病毒，几乎占领了整个矩阵 （Matrix），甚至包括了“矩阵之母”－先知。经 过与先知密谈的救世主尼奥进入机器城市，与矩阵 的造物主达成停战协议。
则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩 阵A的积，记为kA.即
ka11 ka12 ka1n kA ka21 ka22 ka2n .
kam1 kam2 kamn
矩阵数乘的性质 设A，B，C，O都是mn矩阵，k，l为常数，则
(5) k(AB)kAkB； (6) (kl)AkAlA ； (7) (kl)Ak(lA)； (8) 1AA .
2.2 矩阵的运算与概念
2.1 矩阵的概念
说在明某2些点问：题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线 性1方. 程矩组阵的的每行个数方与程列对数应不一一个定有相序同数，组而：行列式两
者必须相同.
2. 矩阵是一个a11数x1表+ ，a1而2x2行+列式 +是a1一nx个n =数b1值. a21x1 + a22x2 + + a2nxn =b2 am1x1+ am2x2 + + amnxn =bm
这些有序数组可以构成一个表
a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 ，这个表就称为矩阵. am1 am2 amn bm
2.2矩阵的运算
b1n c11
b2n
bsn
c21
cm1
c12 c22
c1n c2n
cm2
cmn
其中：
b1 j
cij ai1
ai 2
ais
b2 j
ai1b1 j ai2b2 j aisbsj
s
bsj aikbkj (i 1,2,m; j 1,2,n)
B可交换，简称A与B可换。
a11
例：已知 A a21
a12 a22
a13 1 0 a23 I 0 1
0 0
，求AI和IA。
a31
a32
a33
0 0 1
特别地：Em Amn Amn 简写成：EA=A
Amn En Amn
AE=A
注：单位矩阵E在矩阵的乘法中的作用类似于数1。Leabharlann (5)矩阵乘法一般不满足消去律
AC 10 3210 10 10 10 但 AB
BC 10
0 4
10
10 10
10
四、矩阵的转置
1、定义5：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，
a11
A
a21
am1
称为A的转置矩阵，记为AT或A/。
a12 a22
a1n a2n
am2
amn
a11
AT
a12
a1n
矩阵相加与矩阵的数 乘这两种运算统称为 矩阵的线性运算。
三、矩阵与矩阵相乘
1.引例：设甲乙两厂生产产品日产量如表一，这些
产品的单位价格和单位利润如表二，求甲乙两厂的
日总收入、总利润。
表一 单位:台
表二 单位:千元
产品 厂家
Ⅰ
第四讲矩阵的运算与逆矩阵
§2.2 矩阵的运算1.矩阵的加法定义：设有两个n m ⨯矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B ,规定为n m ij ij b a B A ⨯+=+)(设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-.2.数与矩阵相乘定义:数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ⨯=)(λλ 由数λ与矩阵A 的每一个元素相乘。
数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ=)(ii A A A μλμλ+=+)()(iii B A B A λλλ+=+)(3.矩阵与矩阵相乘定义:设)(ij a A =是一个s m ⨯矩阵,)(ij b B =是一个n s ⨯矩 那么规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ⨯矩阵)(ij c C =,其中),,2,1;,,2,1(,12211n j m i b a b a b a b a c kj sk ik sj is j i j i ij ===+++=∑=并把此乘积记作AB C =，两矩阵相乘，要求左边距阵的列等于右边矩阵的行，乘积的矩阵的行与左边的行相同，列与右边的列相同。
例3：求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=043211,012301B A 的乘积BA AB 及. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1204638311,50113BA AB 从本例可以看出AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律 注:若有两个矩阵B A 、满足0=AB ,不能得出00==B A 或的结论,即矩阵乘法不满足消去律.矩阵的乘法满足下列结合律与分配律)(i )()(BC A C AB =)(ii 为数）其中λλλλ(),()()(B A B A AB == )(iii CA BA A C B AC AB C B A +=++=+)(,)(对单位矩阵E ,易知n m n n m n m n m m A E A A A E ⨯⨯⨯⨯=⋅=,可简记为 A AE EA ==4.矩阵的转置的定义：把矩阵A 的行列交换得到一个新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作T A矩阵的转置运算满足下述运算规律(假设运算都是可行的) )(i A A T T =)()(ii T T T B A B A +=+)()(iii T T A A λλ=)()(iv T T T A B AB =)(5.对称矩阵与反对称矩阵的定义：设A 是n 阶方阵,如果满足A A T =,即),,2,1,(,n j i a a ji ij ==则称A 是对称矩阵.对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相等. 如果满足A A T-=,即⎩⎨⎧=≠-=0)(ii ji ij a j i a a 则称A 是反对称矩阵.反对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相反6.方阵的行列式：由n 阶矩阵A 的元素构成的行列式（各元素位置不变），称为矩阵A 的行列式，记作A 或A det设A ，B 为n 阶方阵，λ为数，则有下列等式成立：B A AB A A A A n T ===;;λλ例4：设A 是n 阶反对称矩阵，B 是n 阶对称矩阵，证明：BA AB +是n 阶反对称矩阵证明：)()()()()()(,BA AB B A A B B A A B BA AB BA AB BB A A T T T T T T T T T +-=-+-=+=+=+∴=-=所以结论成立例5：设A 是n 阶方阵，满足E AA T =,且1-=A ，求E A + 解：由于A E A E A E A A E A AA A E A T T T T +-=+-=+=+=+=+)( 所以02=+E A ，即E A +=0§2.3矩阵的逆7.逆矩阵：对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使E BA AB ==，则称矩阵A 是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。
矩阵的运算
a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21
x1 a22 x2 a2n xn
b2
,
am1x1 am2 x2 amn xn bm .
令
a11
A
a 21
a m1
a12 a 22
a m1
a1n
a2n
a mn
,
x1
X
x2
xn
,
b1
称矩阵C是A与B的乘积,记作C=AB.
注意：只有当左乘矩阵A的列数等于 右乘矩阵B的行数时,乘积AB才有意义.
，
乘积矩阵AB的行数等于左乘矩阵A的行 ， 数,AB的列数等于右乘矩阵B的列数.
例2.2.2 设
1 2 3
1 1
，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A 1 1 5 , B 2 2
1
2 1
0 1
， 计算AB.
a2b2
a1bn a2bn
an
anb1 anb2 anbn
a1
BA b1 ,
b2 ,
,
bn
a2
an
b1 a1
b2 a2
bn an
n
bt at .
t 1
，
注意： 在这个例子中,AB是n阶矩阵,
，
而BA则是1阶矩阵.
例2.2.4 设
A
1 1
11,
B
1 1
11,
: :::
:
:::
， | A || B | an1 an2 ... ann a b nk k1 a b nk k 2 ... a b nk kn .
1 0 ... 0
0
线性代数 2-2矩阵的加、乘运算
a1 x a0是x的k次多
k 1
项式，Ａ是n阶矩阵，则
f ( A) ak A ak 1 A
称为矩阵Ａ的k次多项式
Байду номын сангаас
a1 A a0 In .
若 f ( x ), g( x ) 为多项式， Ａ，Ｂ皆为n阶矩阵，则
f ( A) g( A) g( A) f ( A).
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 , x xn
b1 b2 b bm
则线性方程组可以表示为矩阵形式
Ax b .
2.2.5
a1n a 2 n . amn
2、数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 m n 矩阵， , 为数）
1 A A; 2 A A A; 3 A B A B.
2.2 矩阵的加法 数量乘法 乘法
•
• • • • •
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6
矩阵的加法 数与矩阵的乘法 矩阵与矩阵的乘法 几种特殊类型的矩阵 方阵乘积的行列式 方阵的幂和方阵的多项式
2.2.1 矩阵的加法
１、定义
设有两个 m n矩阵 A a ij , B bij , 矩阵 A 与 B 的和记作 A B，规定为
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
B 1.定义 设 A a ij 是一个m s 矩阵， bij 是一个
2.2.3 矩阵与矩阵相乘
s n 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B 的乘积 是一个m n 矩阵 C c ij ，其中 s cij ai 1b1 j ai 2 b2 j ais bsj aik bkj
线性代数：2.2 矩阵的运算
2.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵
例 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
特别的，当AB=BA时，则称A与B可交换。
3.矩阵乘法不满足消去律，
例 设 A 12 42
2
2
2.2.5 方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则A2
3 2.
68
运算性质 1 AT A; 2 kA kn A;
3 AB A B; AB BA .
证明: a11 a1n
例 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵
与反对称阵之和.
证明 设C 1 ( A AT ),
2
则CT 1
A AT
T
1
( AT
A)
C,
所以C为对称阵.
2
2
设B 1 ( A AT ), 则BT 1
2
2
A AT
T 1 (AT A) B,
2
所以B为反对称阵.
A 1 (A AT ) 1 (A AT ) C B, 命题得证.
求 ABT .
1
解法1
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
1 3
AB T
0 14
1
3
17 13. 10
0 14 3, 17 13 10
解法2
ABT BT AT
A 2 0 1, 1 3 2
1 7 1 B 4 2 3 ,
矩阵的运算
§2.2 矩阵的运算一、矩阵的加法定义1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A 221122222221211112121111设有两个矩阵那么矩阵与的和记作，规定为n m ⨯()(),,ij ij b B a A ==A B B A +说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.把矩阵中各元素变号得到的矩阵，称为A 的负矩阵，记作–A ，即n m ij )(a A ⨯=nm ij )a (A ⨯−=−矩阵加法的运算规律()A;B B A 1+=+()()().C B A C B A 2++=++()0.A A (4)=−+矩阵的减法可定义为Ａ−B =Ａ+ (−B )A 0A (3)=+矩阵0在矩阵加法运算中与数0在数的加法运算中有同样的性质。
定义2.ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA mn m1m12n 22211n 1211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 规定为的乘积记作与矩阵数,kA A k nm ij n m ij n m )(ka )k(a kA ⨯⨯⨯==二、数与矩阵相乘()()();1A A μλλμ=()();2A A A μλμλ+=+()().3B A B A λλλ+=+数乘矩阵的运算规律矩阵加法与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）μλ,n m ⨯B A 、数乘关于数因子的结合律数乘关于数的加法的分配律数乘关于矩阵加法的分配律A1A =(4)三、矩阵与矩阵相乘例 根据下面的学生成绩表计算每个同学的总评成绩。
姓 名 平时(占35%) 期中测验(占25%) 期末考试(占40%) 总评刘 涛 79 85 88李 红 91 87 90叶 军 93 95 97计算总评成绩的公式是:总评成绩 = 平时35.0⨯+期中25.0⨯+期末40.0⨯.根据成绩表填写下面括号中的数字，计算以后就可 以得到：刘涛的总评成绩= ( 79 )×0.35 + ( 85 )×0.25 + ( 88 )×0.40 = 84.1 .( 79 )×0.35 + ( 85 )×0.25 + ( 88 )×0.40 ( 91 )×0.35 + ( 87 )×0.25 + ( 90 )×0.40( 93 )×0.35 + ( 95 )×0.25 + ( 97 )×0.40能不能用矩阵把它们表示出来？怎样表示？以上各式中的数，一部分是同学们的成绩，取出来可以得到矩阵A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=979593908791888579A另一部分是各种成绩所占百分比，取出来可以得到矩⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0.400.250.35B .例题中总评成绩算法格式相同，算式如下：以上算法可以总结为：用矩阵A 每一行的各个数分别和矩阵B 的各个数对应相乘再相加。
2.2 矩阵的行列式和逆运算
/ 6.
提示：利用命令ParametricPlot[]，达到如图所示的效果.
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
例2.9. 直线绕定点的旋转
x t cos , 绕线上一点旋转的动画. 用程序显示直线 y t sin
程序： n=10; Do[ParametricPlot[{Cos[Pi/n*i]*t,Sin[Pi/n*i ]*t},{t,-1,1},AspectRatio->1,PlotRange-> {{-1.2,1.2},{-1.2,1.2}}, Axes->False],{i,n}] 动画演示： 用鼠标双击某个图，或选定所有图所在的单元括号，在 cell菜单上选择Animate Selected Graphics.
程序： F={{0,1,1,4,4,1,1,5,5,0},{0,0,5,5,6,6,9,9,10,10}}; P[F_]:=Show[Graphics[Line[{F[[1]],F[[2]],F[[3]],F[[4]],F[[ 5]],F[[6]],F[[7]],F[[8]],F[[9]],F[[10]],F[[1]]}]],Axes->True]; P1=P[Transpose[F]] S={{1,0},{0,0.8}}; H={{1,0.1},{0,1}}; Fx={{1,0},{0,-1}}; P2=P[Transpose[S.F]] P3=P[Transpose[H.S.F]] P4=P[Transpose[Fx.H.S.F]] Show[P1,P4]
作业：将例2.5中的“F”改为“ T”, 例2.8，练习2.2，2.7.
2.7
数学实验 ---Mathematica
2.2高等数学矩阵的运算
2
2
22
从而, 命题得证.
2、方阵的行列式
定义: 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做
方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .
例如:
A
2 6
3 8
,
则
A
2 6
3 8
2.
14
方阵行列式的运算性质
(1) | AT | = | A |;
(2) | A | = n| A |;
(3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA |.
(2) 结合律: (A+B)+C = A+(B+C).
(3)
A
a11
a21
am1
a12
a22
am1
a1n
a2n
amn
aij
.
称为 O, A–B = A+(–B).
2
二、数与矩阵相乘
定义: 数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij), 记作 A 或A, 简称为数乘. 即
所以, H为对称矩阵.
HHT = H2 = (E – 2XXT)2 = E2 – E(2XXT) – (2XXT)E + (2XXT)(2XXT)
= E – 4XXT + 4(XXT)(XXT)
= E – 4XXT + 4X(XTX)XT
= E – 4XXT + 4XXT = E
13
例7: 证明任一n 阶方阵A 都可表示成对称阵与反 对称阵之和.
证明: 设 C = A + AT, 则 CT = ( A + AT)T = AT + A = C, 所以, C为对称矩阵.
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§2.2 矩阵的运算
1 0
例6.A
3 1
0 2
1 3
,
B
3 1
2 2
,
求AB,
BA
解 : AB 4 2 10 2
BA
1 3 1
022
3 1
0 2
1 3
3 7 5
0 4 4
713
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§2.2 矩阵的运算
3 2
1 2
53 01
7 4
2
5
4 4
8 1
9 9
.
2.矩阵加法的运算规律
设 A B C 都是 mn 矩阵 则
(1) A B B A (交换律) (2) ( A B ) C A ( B C ) (结合律)
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§2.2 矩阵的运算
3. 负矩阵 矩阵的减法
求 ABT .
解法一：
AB
10 7
1 3
ABT 10 7
1 3
解法二：
AB T
BT AT
4 1
1 1
2 0
1 0 3
2 1 0
10 1
7 3
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§2.2 矩阵的运算
五. 几种特殊的矩阵
1.数量矩阵：若对角线元素为 ( 为常数)，其余元 素都为零的n阶矩阵，称为n阶数量矩阵，记为 E.
与矩阵 A的乘积等于数 与矩阵 A 的乘积
当A为n 阶方阵时 有 (En)An An An(En)
这表明纯量阵 E 与任何同阶方阵都是可交换的.
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§2.2 矩阵的运算
6. 方阵的幂 Ak AAA
k个
1) Ak Al Akl
2) Ak l Akl
3)A0 E E n E
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§2.2 矩阵的运算
按此定义 一个 1s 的行矩阵与一个 s1 的列矩阵的乘积是一个1 阶方阵 也就是一个数
ai1 ai2
b1j
ai s
b2j
bsj
ai1b1j ai2b2j ai sbsj ci j
这表明乘积 AB C 中的元 ci j 就是 A的第 i 行与
A A A 3 A 16
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§2.2 矩阵的运算
作业
习题二（P44）
1、2、3(1,2,3)、4、5、
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§2.2 矩阵的运算
六.方阵的行列式
1.定义由 n阶方阵 A的元素所构成的行列式，
叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
A
2 6
3 8
23
A
2
68
2.运算性质 1 AT A 2 A n A
3 AB A B AB BA .
* 例10.1三阶方阵A, A 2,则 2A 23 A 16
如果记 A = (aij)3×4 , B = (bij) 4×2 , C = (cij) 3×2 ,
则 cij = ai1b1j + ai2b2j +…+ ai4b4j , i = 1, 2, 3, j = 1, 2,
我们把矩阵 C 称为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积.
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§2.2 矩阵的运算
第二章 矩阵及其运算
§2.2 矩阵的运算
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§2.2 矩阵的运算
一、矩阵的加法
1. 定义
设有两个 mn 矩阵 A (aij ) 和 B (bij )，矩阵
A 与 B 的和记为 AB，规定为 AB (aijbij )，即
a11 b11
A
B
a21
b21
am1
bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn
bmn
注： 只有当两个矩阵是同型矩阵时 这两个矩阵 才能进行加法运算
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§2.2 矩阵的运算
例1 设
3
A
2
5 0
7
1
4
,
B
2
3 1
2
5
,
则
A
B
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§2.2 矩阵的运算
ex : 1 2 3
3 2 1
10
1 2 3
1
2
3
1 2 3
2 4 6
3 6 9
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§2.2 矩阵的运算
3.运算规律
1) ABC ABC (结合律)
2) AB A B AB (结合律) 3) A B C AB AC
其和, 哪些不能进行加法运算, 说明原因;
(2) 求 C 的负矩阵. 解 (1) A 与 B 能进行加法运算; 而 A 与 C,
B 与 C 不能进行加法运算, 因为它们不是同型矩
阵, A 和 B 都是 3×2 矩阵, C 是 2×2 矩阵.
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§2.2 矩阵的运算
2 (3) 5 2 1 3 A B 1 4 0 (5) 5 5 .
am 2
a1n
a2 n
amn
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§2.2 矩阵的运算
3 5 7 2
例3 设
A
2
0
4
3
,
0 1 2 3
33 35 37 32
则
3
A
3 3
2 0
30 31
34 32
3 3
3 3
,
9 15 21 6
6 0
0 3
12 6
9 9
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证 : BT E 2AAT T ET 2 AAT T
E 2AAT B
B是对称矩阵.
BBT B2 E 2 AAT 2
E 4AAT 4 AAT AAT E 4AAT 4A AT A AT
E 4AAT 4AAT E.
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求各工厂的总收入与总利润.
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§2.2 矩阵的运算
解 容易算出各工厂的总收入与总利润, 也
可以列表如下:
工 厂项 目
总收入
总利润
甲
15500
乙
28000
5650 10350
丙
19750
6775
本例中的三个表格可用三个矩阵表示, 设
20 A 15
20
30 10 15
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§2.2 矩阵的运算
2.运算规律 1) ( AT )T A 2) ( A B)T AT BT
3) (A)T AT
4) ( AB)T BT AT
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§2.2 矩阵的运算
4 1
例8.A
1 2
0 1
3
0
,
B
1 2
10 ,
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§2.2 矩阵的运算
2.数乘矩阵的运算规律
设 A、B 都是 mn 矩阵，、 是数，则
(1) ()A ( A)
(结合律)
(2) ( )A A A (分配律)
(3) (A B) A B (分配律)
矩阵的加法运算与数乘运算合起来 统称为 矩阵的线性运算
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产量(单位: 个) 如下表所示:
产品 工厂
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
甲
20
30
10
45
乙
15
10
70
20
丙
20
15
35
25
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§2.2 矩阵的运算
已知每种产品的单价 ( 元/个 ) 和单位利润(元/个) 如下表所示:
项目 产品
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
单价
100 150 300 200
单位利润
20 45 120 60
3 3 7 9 0 16 (2) C 的负矩阵为:
C 9 5 . 4 3
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Hale Waihona Puke 返回结束§2.2 矩阵的运算
二、数与矩阵相乘
1.数乘矩阵的定义
数 与矩阵 A 的乘积 记为 A 或 A 规
定为 A = ( aij ) 即
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
10 70 35
45 20 25
100
,B
150 320000