第4章 平面图形几何性质

b 2 2 2 z 4bh 1 2 y 静矩： S y dA h 1 2 dy 2 2 b 15 0 A
2 y2 b h 1 d y S z ydA yh 2 b 0 4 A b y2 面积： 2bh A dA h 1 2 d y 2 b z y 3 0 A z h 1 2 bh2 b S 3b 形心坐标：yC z 4 h C yC A 2bh 8 3 zC y 4bh2 O Sy 2h y 15 dy zC 2bh A 5 b 3
dA
y1 x’
a
O
x
I x I y I x I y I x' cos2α I xy sin2α 2 2
类似地，有
I x I y I x I y Iy ' cos2α I xy sin2α 2 2 I x I y I x'y' sin2α I xycos2α 2
[例] 在矩形内左右对称地挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主 轴。(b=1.5d) y 2d d yC O x1
解： ①建立坐标系如图。
②求形心位置。
x xC
b
x C y C
x i Ai
0 0 A A d πd 2 y i Ai 2 4 0.177d πd 2 A 2 3d 4
I x I y 2 2 I x0 I x I y 主惯性矩： ( ) I xy 2 2 I y0
其中一个为极大值，另一个为极小值
小结 设矩轴的原点为平面图形上任意点O，则其主惯性轴称 为过O点的主惯性轴 平面图形对过O点的主惯性轴有以下重要性质： 1、平面图形对主惯性轴的轴关性矩取极大（极小） 值；其中一个为极大值；另一个为极小值

③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
I xC I矩xC I圆xC I矩x A矩 y 2 [ I圆x1A圆 (0.5d y)2 ]
4 2 1.5d(2d )3 d d 3d 2 (0.177d ) 2 [ (0.5d 0.177d ) 2 ]0.685d 4 12 64 4
I xC I yC 2 2 I xC0 I xC I yC ( ) I xCyC 2 2 I yC0
平面图形的形心主惯性轴有以下重要性质： 1、平面图形若有对称轴，则该轴即为形心主惯性轴之一。 2、平面图形对形心主惯性轴的轴关系矩取
最大（最小
）值；其中一个为最大值；另一个为最小值。因此平面图
x i Ai x A1 x
1
2
A2
A
A1 A2
x
80 120 0 5 ( 70 110) 20.3 120 80 70 110
80
图(b)
y 1 A1 y 2 A2 yC A A1 A2 80 120 0 5 ( 70 110) -20.3 10 110 80 10
d
A
I P πd 4 Ix Iy 2 64
d2 πd 4 πd 4 5πd 4 Ix A 4 64 16 64
I AB
例求图示T型截面对形心轴的惯性矩。
解：1、求形心位置：在x1y系下：
30
5
x1C 0
单位mm
30
Σyi Ai 30 5 0 30 5 17.5 yC 8.75mm A 2 30 5
3 3
2、在xy系下
y
5 30 5
C2 C
C1
5 30
x2 x x1
4 I x I1 I 2 34530mm
§4-5 转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩 一、 惯性矩和惯性积的转轴定理 y y’ x1
x' xcosα ysinα y' xsinα ycosα
x
y
形对对称轴的惯性矩为最大（最小）值 3、平面图形对形心主惯性轴的惯性积必为零。因此平面图形对 yC 对称轴的惯性积为零 y’
C
dA
x’C
α
C
xC
3.求截面形心主惯性矩的方法 ①建立坐标系 ②计算面积和静矩 ③求形心位置
Sy xC A y Sx C A
x A
30 5 5 30 I y I y1 I y2 11560mm 4 12 12 3 5 30 a 2 2 I 1 I x1 A1 yC 5 30 8.75 12 yC 3 30 5 I 2 I x2 A2 a 2 5 30 8.752 12
第4章 截面图形的几何性质
§4–1 静矩与形心 §4–2、3 惯性矩、惯性半径和惯性积
§4–4 平行移轴定理
§4–5 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩
§4-1
静矩与形心
一、静矩S――面积对轴的一次矩：(与力矩类似)
3 代数值； m 是面积与其到轴的距离之积。
y
dSx dA y
dSy dA x
2
I x I x 'C b A
2
I y I y 'C a A
2
注意: C点必须为形心
I xy I x 'Cy 'C abA
I r I r 'C (a b) A
2
[例] 求图示圆对其切线AB的惯性矩。 y 解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； 二是用平行移轴定理求。 O B x 建立形心坐标如图,求图形对形 心轴的惯性矩。
10
图(a)
y 1 A1 y 2 A2 yC A A1 A2 80 10 0 10 110 60 34.7 10 110 80 10
y i Ai
y
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
C1（0,0） C2（5,5）
负面积 120 C2 C1
xC
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

例 试确定下图的形心。
10
解 ： 组合图形，用正负面积法解之。
y
120 C2 C1(0,0) C2(-35,60)
1.用正面积法求解，图形分割及坐标
如图(a)
xC
x
xA
i
i
A
x 1 A1 x 2 A2 A1 A2
C1 80
80 10 0 10 110 (-35) 20.3 10 110 80 10
y 2d
d
yC O
(1.5d )32d d 4 I yC I 矩xC I圆xC 0.513d 4 12 64
x1
y
I xCyC 0 xC yC 轴便是形心主轴 I xC、I yC 便是形心主惯性矩
x xC
b
[例]：求图示平面图形形心主惯性轴的方位及形心
主惯性矩的大小。
将原平面图形分成上中下三个 解： 矩形。过形心建立参考坐标系yCz
r
x a xC 2 I y dA x A x’ y b yC (y' b)2 dA A
x
(y' 2 2by' b 2 )dA
A
x’
I x' 2bS x' b 2 A
S x' AyC ' 0
I x I x'C b A
y i Ai
§4-2、3 惯性矩、惯性半径、惯性积 一、轴惯性矩：(与转动惯量类似）面积对面内轴的二次矩 是面积与它到面内轴的距离的平方之积。
I x y 2dA Σy i2 Ai
A
恒为正；m4
y x
I y x 2dA Σx i2 Ai
A
dA y
x
二、极惯性矩：面积对法线轴的 二次矩，即是面积对极点的二 次矩。
i
i
A yi Ai A
④建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC ⑤求形心主轴方向 — a0
tg2a 0 2I xCyC I xC I yC
⑥求形心主惯性矩
I xC I yC 2 2 I xC0 I xC I yC ( ) I xCyC 2 2 I yC0
12
I xy 0
2 3
π 4 Ix d 64
ix d 4
π 4 Ix d 64
iy d 4
π 4 Ip d 32
I xy 0
y D C
d
4 πD4 4 πD Ix (1 α ) I x 4 (1 α 4 ) πD 64 64 (1 α 4 ) d IP d α 32 α D D x d 2 2 2 2 α D d D d D ix iy 4 4
r
I r r 2 dA I x I y
A
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的 乘积，即
I y Ai y
2
或i y
Iy A
I z Aiz
2
或iz
Iz A
i y 、iz
分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
其几何意义是：所有的面积似乎都分布 在离矩轴为i 的位置
I x0 y 0
I x I y ( sin2α0 I xy cos2α0 ) 0 2
与 a0 对应的旋转轴xα yα 称为主惯性轴；平面图形对主
轴之惯性矩称为主惯性矩。
当 由
a α 0
a'0 α 0 / 2
I x I y I x I y Ia cos2α I xy sin2α 2 2 I x I y I x I y Ia cos2α I xy sin2α 2 2
常见图形的轴惯性矩和极惯性矩
截面图形
y h
I x y 2 dA
I y x 2 dA
I p r 2 dA I xy xydA
C x
b y d C x
1 3 1 3 I x bh I y hb bh 12 12 I p (b 2 h 2 )
ix h 2 3 iy b
y
yC
x
S y AxC Ai xi
S x AyC Ai yi
若y轴通过形心C，则Sy≡0 若x轴通过形心C，则Sx≡0
[例]：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴 的静矩，并确定图形的形心坐标。
z
y2 z h 1 2 b
O
y
解：
I x ' I y' I x I y
y’
y
x
x1 y
dA
y1 x’ x
a
二、对任意点主惯性轴和主惯性矩
令
dI x' 0 dα dI y' 或 0 dα
2I xy tg2α 0 Ix Iy
α 0
a'0 α 0 / 2
1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到a= a0 时有
I y 2 I y1 I y2
3 40 53 5 60 2 2 40 5 27.5 12 12
I xy 0
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
I xy xydA
A
y x
因此惯性积是代数值 如果 x 或 y 是形心惯性主轴， 则Ixy =0 常见的如 x 或 y 是对称轴 则Ixy =0 有关惯性主轴的概念，将在§4-5介绍 dA y x
r
§4-4 平行移轴定理 一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似） 以形心为原点，建立与原坐标轴平行 y y’ 的坐标轴如图，则有： x a y’ dA C b y
x y x dA
S x dSx ydA yi Ai
A A
S y dSy xdA xi Ai
A A
二、平面图形的形心： y
x
dA C
xi Ai xC A 累加式 : ( 正负面积法公式) y yi Ai C A
xC
2、平面图形对主惯性轴的惯性积必为零。 y
y’ x1 x y
dA y1 x’ x
a
三.形心主轴和形心主惯性矩：
主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之 惯性矩，称为形心主惯性矩 y’C yC dA x’C xC
tg2α 0
2I xC yC I xC I yC
C
α
其形心主惯性矩为：