初中数学七年级下册第9章整式乘法与因式分解9.5多项式的因式分解

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9.5 多项式的因式分解苏科版数学七年级下册同步练习(含解析)

第9章整式乘法与因式分解9.5多项式的因式分解基础过关全练知识点1公因式1.多项式4a2b(a-b)-6ab2(b-a)中,各项的公因式是()A.4abB.2abC.ab(a-b)D.2ab(a-b)知识点2因式分解2.(2022江苏无锡新吴期中)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.(x+1)(x-1)=x2-1B.6ab=2a·3bC.x2-2x+1=x(x-2)+1D.x2-8x+16=(x-4)23.【教材变式·P73T1(2)变式】因为(3x-1)(x-2)=3x2-7x+2,所以把多项式3x2-7x+2因式分解的结果为.知识点3用提公因式法进行因式分解4.(2022江苏泰州泰兴月考)2x(a-b)-4y(b-a)分解因式的结果是()A.(a-b)(2x-4y)B.(a-b)(2x+4y)C.2(a-b)(x-2y)D.2(a-b)(x+2y)5.【新独家原创】 2 0232-2 023肯定能被整除,横线上应填() A.2 020 B.2 021C.2 023D.2 0246.(2022江苏常州中考)分解因式:x2y+xy2=.知识点4用平方差公式进行因式分解7.(2022山东烟台中考)把x2-4因式分解为.8.【教材变式·P84T3变式】若多项式9a2+M能用平方差公式分解因式,则单项式M=.(写出一个即可)知识点5用完全平方公式进行因式分解9.(2022广西河池中考)多项式x2-4x+4因式分解的结果是()A.x(x-4)+4B.(x+2)(x-2)C.(x+2)2D.(x-2)210.若关于x的二次三项式x2+2(m-3)x+16可用完全平方公式分解因式,则m的值为.知识点6综合运用多种方法进行因式分解11.【新独家原创】下列数中,能整除(-8)2 024+(-8)2 023的是()A.3B.5C.7D.912.【易错题】分解因式:(1)ax2-2axy+ay2;(2)x3-4x.能力提升全练13.(2022湖南永州中考,6,★☆☆)下列因式分解正确的是()A.ax+ay=a(x+y)+1B.3a+3b=3(a+b)C.a2+4a+4=(a+4)2D.a2+b=a(a+b)14.(2022江苏苏州中考,10,★☆☆)已知x+y=4,x-y=6,则x2-y2=.15.(2022江苏扬州中考,11,★☆☆)分解因式:3m2-3=.16.(2022江苏南京鼓楼期中,17,★☆☆)因式分解:(1)3a3-12ab2;(2)x3-2x2y+xy2;(3)a2(x-3y)+9b2(3y-x).17.【代数推理】(2022江苏苏州相城期末,21,★★☆)已知a是一个正整数,且a除以3余1.判断a2+4a+4是否一定能被9整除,并说明理由.素养探究全练18.【运算能力】多项式乘法:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用,即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).示例:分解因式x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).(1)尝试:分解因式x2+6x+8=(x+)(x+);(2)应用:请用上述方法解方程x2-3x-4=0.答案全解全析基础过关全练1.D各项的公因式是2ab(a-b).故选D.2.D A.从左到右的变形是整式乘法运算,不是因式分解,故本选项不符合题意;B.等式的变形不是因式分解,故本选项不符合题意;C.等式的右边不是几个整式的积的形式,不是因式分解,故本选项不符合题意;D.从左到右的变形属于因式分解,故本选项符合题意.故选D.3.答案(3x-1)(x-2)解析根据整式乘法和因式分解之间的关系可得3x2-7x+2=(3x-1)(x-2).4.D因为2x(a-b)-4y(b-a)=2x(a-b)+4y(a-b)=2(a-b)(x+2y).故选D.5.C原式=2 023×(2 023-1)=2 023×2 022,则2 0232-2 023肯定能被2 023整除.故选C.6.答案xy(x+y)解析x2y+xy2=xy·x+xy·y==xy(x+y).7.答案(x+2)(x-2)解析x2-4=x2-22=(x+2)(x-2).8.答案-1(答案不唯一)解析因为9a2+M能用平方差公式分解因式,所以单项式M可以为-1(答案不唯一).9.D原式=x2-2×2·x+22=(x-2)2.故选D.10.答案7或-1解析由题意得x2+2(m-3)x+16=(x±4)2,所以x2+2(m-3)x+16=x2±8x+16,所以2(m-3)=±8,所以m-3=±4,所以m=7或m=-1.故答案为7或-1.11.C(-8)2 024+(-8)2 023=(-8)2 023×(-8)+(-8)2 023=(-8)2 023×(-8+1)=(-8)2 023×(-7)=82 023×7,所以(-8)2 024+(-8)2 023能被7整除.故选C.12.解析(1)原式=a(x2-2xy+y2)=a(x-y)2.(2)原式=x(x2-4)=x(x+2)(x-2).能力全练全练13.B A选项,ax+ay=a(x+y),故该选项不符合题意;B选项,3a+3b=3(a+b),故该选项符合题意;C选项,a2+4a+4=(a+2)2,故该选项不符合题意;D选项,a2与b没有公因式,故该选项不符合题意.故选B.14.答案24解析因为x+y=4,x-y=6,所以x2-y2=(x+y)(x-y)=4×6=24.15.答案3(m+1)(m-1)解析原式=3(m2-1)=3(m+1)(m-1).16.解析(1)原式=3a(a2-4b2)=3a(a+2b)(a-2b).(2)原式=x(x2-2xy+y2)=x(x-y)2.(3)原式=(x-3y)(a2-9b2)=(x-3y)(a+3b)(a-3b).17.解析一定能被9整除.理由如下:设a除以3余1的商为b,则a=3b+1,a2+4a+4=(a+2)2=(3b+3)2=[3(b+1)]2=9(b+1)2,所以a2+4a+4一定能被9整除.素养探究全练18.解析(1)2;4.(2)原方程可以变形为(x-4)(x+1)=0,∴x-4=0或x+1=0,∴x=4或x=-1.。

第九章整式乘法与因式分解(小结思考)(课件)七年级数学下册(苏科版)

解：原式＝－2ab(4ab－2a+1)
原式＝5(x－y)2(x－y＋2)
当n为偶数时，(y-x)n=(x-y)n
当n为奇数时，(y-x)n= -(x-y)n
知识点二
因式分解
例3 将下列多项式分解因式：
(3)9(m＋n)2－16(m－n)2
原式＝[3(m＋n)＋4(m－n)][3(m＋n)－4(m－n)]
⁠
.
课堂检测
12.计算(1)3.14×512－3.14×492;
(2)8002－1 600×798＋7982.
解：原式＝3.14×(512－492)
原式＝1012＋2×101×49＋492
＝3.14×(51＋49)×(51－49)
＝(101＋49)2
＝3.14×100×2
＝1502
＝628;
＝22 500.

2
∴x ＋＝7.

2

2
4
∴(x ＋ ) ＝x ＋＋2＝49.

4
∴x ＋＝47

课堂检测
15.若a，b，c为三角形的三边长，试说明：(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定为负．
解：理由如下：
(a2＋b2－c2)2－4a2b2
＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2
＝x2－6x＋y2＋4y＋14
＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1.
∵(x－3)2≥0，(y＋2)2≥0，
∴P－Q＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1≥1＞0，
∴P＞Q.
知识点四
数形结合思想
1.美国第二十任总统伽菲尔德由下图，两个边长分别为a、b、c的直角三角

七年级数学下册第9章整式乘法与因式分解 9.3 多项式乘多项式作业设计 (新版)苏科版-(新版)

9.3 多项式乘多项式一．选择题（共5小题）1．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（）A．1B．﹣2C．﹣1D．22．若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a、b为整数，则a+b之值为何？（）A．﹣4B．﹣2C．0D．43．设M＝（x﹣3）（x﹣7），N＝（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定4．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干X，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的X数分别为（）A．2，3，7B．3，7，2C．2，5，3D．2，5，75．已知（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，则m﹣n的值为（）A．1B．﹣3C．﹣2D．3二．填空题（共3小题）6．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干X，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片X．7．有若干X如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要A类卡片X，B类卡片X，C类卡片X．8．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1X、2X、3X，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是．（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片X，3号卡片X．三．解答题（共10小题）9．若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，（1）求p、q的值；（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．10．已知代数式（mx2+2mx﹣1）（x m+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数．11．观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝．②你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝．③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果．12．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法．（1）分别化简下列各式：（x﹣1）（x+1）＝；（x﹣1）（x2+x+1）＝；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；…（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝．（2）请你利用上面的结论计算：299+298+…+2+1．13．计算：（1）（3x+2）（2x﹣1）；（2）（2x﹣8y）（x﹣3y）；（3）（2m﹣n）（3m﹣4n）；（4）（2x2﹣1）（2x﹣3）；（5）（2a﹣3）2；（6）（3x﹣2）（3x+2）﹣6（x2+x﹣1）．14．已知多项式x2+ax+1与2x+b的乘积中含x2的项的系数为3，含x项的系数为2，求a+b 的值．15．甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．16．先阅读后作答：根据几何图形的面积关系可以说明整式的乘法．例如：（2a+b）（a十b）＝2a2+3ab+b2，就可以用图①的面积关系来说明．（1）根据图②写出一个等式：（2）（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．17．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b ＝2时的绿化面积．18．如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．（1）求出拼成的长方形纸片的长和宽；（2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为5a+3b，求它的宽．参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（）A．1B．﹣2C．﹣1D．2【分析】依据多项式乘以多项式的法则进行计算，然后对照各项的系数即可求出m，n的值，再相加即可求解．【解答】解：∵原式＝x2+x﹣2＝x2+mx+n，∴m＝1，n＝﹣2．∴m+n＝1﹣2＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．2．若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a、b为整数，则a+b之值为何？（）A．﹣4B．﹣2C．0D．4【分析】先把等式右边整理，在根据对应相等得出a，b的值，代入即可．【解答】解：∵2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，∴2x3﹣ax2﹣5x+5＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b+3，∴﹣a＝a﹣2b，ab+1＝5，b+3＝5，解得b＝2，a＝2，∴a+b＝2+2＝4．故选：D．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，让第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项，再把所得的积相加．3．设M＝（x﹣3）（x﹣7），N＝（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，比较即可得到答案．【解答】解：M＝（x﹣3）（x﹣7）＝x2﹣10x+21，N＝（x﹣2）（x﹣8）＝x2﹣10x+16，M﹣N＝（x2﹣10x+21）﹣（x2﹣10x+16）＝5，则M＞N．故选：B．【点评】本题考查的是多项式乘多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．4．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干X，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的X数分别为（）A．2，3，7B．3，7，2C．2，5，3D．2，5，7【分析】根据长方形的面积＝长×宽，求出长为a+3b，宽为2a+b的大长方形的面积是多少，判断出需要A类、B类、C类卡片各多少X即可．【解答】解：长为a+3b，宽为2a+b的长方形的面积为：（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，∴需要A类卡片2X，B类卡片3X，C类卡片7X．故选：A．【点评】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．5．已知（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，则m﹣n的值为（）A．1B．﹣3C．﹣2D．3【分析】把原式的左边利用多项式乘多项式展开，合并后与右边对照即可得到m﹣n的值．【解答】解：（x﹣m）（x+n）＝x2+nx﹣mx﹣mn＝x2+（n﹣m）x﹣mn，∵（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，∴n﹣m＝﹣3，则m﹣n＝3，故选：D．【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．二．填空题（共3小题）6．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干X，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片 3 X．【分析】拼成的大长方形的面积是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，即需要一个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积是3ab．【解答】解：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．则需要C类卡片3X．故答案为：3．【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面积也比较关键．7．有若干X如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要A类卡片 2 X，B类卡片 1 X，C类卡片 3 X．【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量．【解答】解：长为2a+b，宽为a+b的矩形面积为（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，A图形面积为a2，B图形面积为b2，C图形面积为ab，则可知需要A类卡片2X，B类卡片1X，C类卡片3X．故答案为：2；1；3．【点评】此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，方法较新颖．注意对此类问题的深入理解．8．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1X、2X、3X，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）．（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片 3 X，3号卡片7 X．【分析】（1）画出相关草图，表示出拼合前后的面积即可；（2）得到所给矩形的面积，看有几个b2，几个ab即可．【解答】解：（1）如图所示：故答案为：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）；（2）（a+3b）（2a+b）＝2a2+ab+6ab+3b2＝2a2+7ab+3b2，需用2号卡片3X，3号卡片7X．故答案为：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）；3；7．【点评】考查多项式与多项式相乘问题；根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决本题的关键．三．解答题（共10小题）9．若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，（1）求p、q的值；（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．【分析】（1）形开式子，找出x项与x3令其系数等于0求解．（2）把p，q的值入求解．【解答】解：（1）（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）＝x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣）x2+（qp+1）x+q，∵积中不含x项与x3项，∴P﹣3＝0，qp+1＝0∴p＝3，q＝﹣，（2）（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014＝[﹣2×32×（﹣）]2++×（﹣）2＝36﹣+＝35．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是正确求出p，q的值10．已知代数式（mx2+2mx﹣1）（x m+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数．【分析】先把代数式按照多项式乘以多项式展开，因为化简后是一个四次多项式，所以x 的最高指数m+2＝4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．【解答】解：（mx2+2mx﹣1）（x m+3nx+2）＝mx m+2+3mnx3+2mx2+2mx m+1+6mnx2+4mx﹣x m﹣3nx﹣2，因为该多项式是四次多项式，所以m+2＝4，解得：m＝2，原式＝2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣3n）x﹣2∵多项式不含二次项∴3+12n＝0，解得：n＝，所以一次项系数8﹣3n＝8.75．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是明确化简后是一个四次多项式，所以x的最高指数m+2＝4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．11．观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1 ．②你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝x n+1﹣1 ．③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果．【分析】①观察已知各式，得到一般性规律，化简原式即可；②原式利用得出的规律化简即可得到结果；③原式变形后，利用得出的规律化简即可得到结果．【解答】解：①根据题意得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1；②根据题意得：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝x n+1﹣1；③原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+234+235）＝236﹣1．故答案为：①x7﹣1；②x n+1﹣1；③236﹣1【点评】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．12．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法．（1）分别化简下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 ；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 ；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 ；…（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝x100﹣1 ．（2）请你利用上面的结论计算：299+298+…+2+1．【分析】（1）归纳总结得到规律，写出结果即可；（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．【解答】解：（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝x100﹣1；（2）299+298+…+2+1＝（2﹣1）×（299+298+…+2+1）＝2100﹣1．故答案为：（1）x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；x100﹣113．计算：（1）（3x+2）（2x﹣1）；（2）（2x﹣8y）（x﹣3y）；（3）（2m﹣n）（3m﹣4n）；（4）（2x2﹣1）（2x﹣3）；（5）（2a﹣3）2；（6）（3x﹣2）（3x+2）﹣6（x2+x﹣1）．【分析】根据多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项成第二个多项式的每一项，把所得的积相加，可得（1）﹣﹣（4）的答案，根据乘法公式，可得（5）、（6）的答案．【解答】解（1）原式＝3x•2x﹣3x+2×2x﹣2＝6x2+x﹣2；（2）原式＝2x•x﹣2x•3y﹣8y•x+8y•3y＝2x2﹣14xy+24y2；（3）原式＝2m•3m﹣2m•4n﹣3m•n+n•4n＝6m2﹣11mn+4n2；（4）原式＝2x2•2x+2x2×（﹣3）﹣2x+3＝4x3﹣6x2﹣2x+3；（5）原式＝（2a）2﹣2•2a•3+32＝4a2﹣12a+9；（6）原式＝（3x）2﹣4﹣6x2﹣6x+6＝3x2﹣6x+2．【点评】本题考查了多项式乘多项式，根据法则计算是解题关键．14．已知多项式x2+ax+1与2x+b的乘积中含x2的项的系数为3，含x项的系数为2，求a+b 的值．【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据题意求出a与b的值，即可求出a+b的值．【解答】解：根据题意得：（x2+ax+1）（2x+b）＝2x3+（b+2a）x2+（ab+2）x+b，∵乘积中含x2的项的系数为3，含x项的系数为2，∴b+2a＝3，ab+2＝2，解得：a＝，b＝0；a＝0，b＝3，则a+b＝或3．15．甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．【分析】先按乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值，再把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．【解答】解：∵甲得到的算式：（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2+11x﹣10对应的系数相等，2b﹣3a＝11，ab＝10，乙得到的算式：（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10对应的系数相等，2b+a＝﹣9，ab＝10，∴，解得：．∴正确的式子：（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣19x+10．【点评】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心．16．先阅读后作答：根据几何图形的面积关系可以说明整式的乘法．例如：（2a+b）（a十b）＝2a2+3ab+b2，就可以用图①的面积关系来说明．（1）根据图②写出一个等式：（2）（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．【分析】（1）利用长方形的面积公式即可证明．（2）画一个长为x+p，宽为x+q的长方形即可．【解答】解：①（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；②画出的图形如下：（答案不唯一，只要画图正确即得分）【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．17．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b ＝2时的绿化面积．【分析】根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积，代入计算即可．【解答】解：阴影部分的面积＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝5a2+3ab，当a＝3，b＝2时，原式＝5×32+3×3×2＝63（平方米）．【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．18．如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．（1）求出拼成的长方形纸片的长和宽；（2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为5a+3b，求它的宽．【分析】（1）根据图①表示出拼成长方形的长与宽；（2）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）长方形的长为：3a+2b+2a+b＝5a+3b．长方形的宽为：（3a+2b）﹣（2a+b）＝3a+2b﹣2a﹣b＝a+b．（2）另一个长方形的宽：[（5a+3b）（a+b）+10a+6b]÷（5a+3b）＝a+b+2．【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．。

多项式的因式分解(学生版)2021-2022学年七年级数学下册同步讲义(苏科版)

第9章整式乘法与因式分解 9.5 多项式的因式分解课程标准课标解读了解公式的几何背景，并能利用公式进行因式分解。

1.理解并掌握提公因式法分解因式；2.理解并掌握公式法分解因式。

1.概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作把这个多项式分解因式。

2.因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式是积化和，因式分解则是和化积。

3.因式分解的结果要以积的形式表示，否则不是因式分解；因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底。

4.公因式：多项式的各项中都含有的公共因式叫作这个多项式的公因式。

确定公因式时，一看系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；二看字母，取各项相同的字母；三看指数，取相同字母的最低次幂；最后还要根据情况确定符号。

5.提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。

（注意：①所提公因式必须是最大公因式；②如果多项式的首相系数是负数，应先提出“-”号；③如果多项式的某一项恰好与公因式相同，那么提公因式后此项为1，而不是0）【即学即练1】1.分解因式：18a 3b +14a 2b ﹣2abc ．2．分解因式：（x ﹣2y ）（2x ＋3y ）﹣2（2y ﹣x ）（5x ﹣y ）．1.用平方差公式分解因式：))((22b a b a b a -+=-（公式中的a 和b 可以是实数，也可以是单项式或多项式）2.用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即：222)(2b a b ab a +=++，222)-(2-b a b ab a =+；公式中的a 和b 可以是实数，也可以是单项式或多项式。

【微点拨】因式分解的一般步骤：一提；二套；三试；四分；五查。

多项式的因式分解-第1课时(课件)七年级数学下册(苏科版)

公因式、因式分解
01 知问识题精引讲入
Q1：巧算：29×7+29×2.1+29×0.9 【解答】原式=29×(7+2.1+0.9) =29×10 =290
01 知问识题精引讲入
Q2：运用所学的知识填空 (1) m(a+b+c)=_m__a_+_m__b_+_m__c_； (4) ma+mb+mc=( m )(a+b+c) (2) x2(x+1)=____x_3_+_x_2____； (5) x3+x2=( x2)(x+1) (3) ab(x-y)=___a_b_x_-_a_b_y___. (6) abx-aby=(ab)(x-y)
课后总结
【因式分解】像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解
【注意点】 ①因式分解与整式乘法是互逆运算； ②因式分解是两个或几个因式积的形式，且每个因式都是整式；整式乘法是多项式的形式； ③因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验； ④因式分解必须分解彻底．
【提公因式法】把多项式的公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，
【分析】 b2(x-2)+b(2-x) =b2(x-2)-b(x-2) =b(x-2)·b-b(x-2)·1 =b(x-2)(b-1)．
【利用提公因式法求值】
例5、已知x2y+xy2=42，xy=7，则x+y=____6____．
【分析】 ∵x2y+xy2=42，xy=7， ∴xy(x+y)=42， ∴x+y=6．
提公因式法
02 知识精讲
提公因式法

【2024】苏科版七年级数学下册教学计划(及进度表)

苏科版七年级数学下册教学计划（及进度表）一、指导思想：全面贯彻党的教育方针，以七年级数学教学大纲为标准，坚决完成《2022初中数学新课程标准》提出的各项基本教学目标；根据学生的实际情况，从生活入手，结合教材内容，精心设计教学方案。

通过本学期数学课堂教学，夯实学生的基础，提高学生的基本技能，培养学生学习数学知识和运用数学知识的能力，帮助学生初步建立数学思维模式。

最终圆满完成七年级上册数学教学任务。

二、学情分析：本班有学生45人。

大部分的学生学习态度端正，有着纯真，善良的本性。

上课时都能积极思考，能够主动、创造性的进行学习。

个别学生能力较差，计算和应用题都存在困难。

本学年在重点抓好基础知识教学的同时，加强后进生的辅导和优等生的指导工作，全面提高本班的整体成绩。

三、教材分析：苏科版七年级数学下册教材，共六章内容，分别是第7章《平面图形的认识(二)》；第8章《幂的运算》；第9章《整式乘法与因式分解》；第10章《二元一次方程组》；第11章《一元一次不等式》；第12章《证明》；教材每章开始时，都设置了章前图与引言语，激发了学生的学习兴趣与求知欲望。

在教学中，适当安排如“观察与猜想、试验与探究、阅读与思考、信息技术应用”等以及栏目，让我们给学生适当的思考空间，使学生能更好地自主学习。

在教材各块内容间，又穿插安排了综合性、实践性、开放性等等的数学活动，不但扩大了学生知识面，而且增强了学生对数学文化价值的体验与数学的应用意识。

习题设计分为;复习巩固、综合运用、拓广探索三类，体现了满足不同层次学生发展的需要。

整个教材体现了如下特点：1、现代性——更新知识载体，渗透现代数学思想方法，引入信息技术。

2、实践性——联系社会实际，贴近生活实际。

3、探究性——创造条件，为学生提供自主活动、自主探索的机会，获取知识技能。

4、发展性——面向全体学生，满足不同学生发展需要。

5、趣味性——文字通俗，形式活泼，图文并茂，趣味直观。

四、教学重点难点：重点：1、探索并掌握“三角形三个内角之和等于180°”．2、探索多边形内角和公式及公式的运用．3、同底数幂相乘的法则的推理及运用，底数互为相反数时的处理方法。

多项式的因式分解(1)

（2）12ab2c－6ab ；（3） -2m3－8m2－12m
； (4)原式=(x＋y )(3a－2b)
（4）3a（x＋y）－2b（x＋y）.
学以致用： 1.把下列各式分解因式：
（1）8x4y3z2－6x5y2; (1)2x4y2(4yz2－3x) （2）-2m3+6m2－18m; (2) -2m(m2－3m+9) （3）3a(x－y)－2b(y－x); (3) (3a+2b)(x－y) （4）5m(a+b)－a－b; (4) (a+b)(5m－1)
初中数学七年级(下册)
9.5 多项式的因式分解（1）
9.5 多项式的因式分解（1）
教学目标：
1.了解因式分解的意义，能用提公因式法进行分解因式。
2.体会单项式乘多项式与提取公因式之间的联系，发展逆向思维的能力。
看谁算得巧：
1.求999+9992的值。
999（1+999）=999×1000=999000
4x+4y=4(x+y)
公因式
另一个因式
4
x+y
x
m－n
a－b
m－n
4a
3x+2y
6a2b
2ax+3by
mx－nx=x(m－n)
m(a－b)－n(a－b)=(a－b)(m－n) 12ax+8ay=4a(3x+2y)
12a3bx+18a2b2y=6a2b(2ax+3by)
如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的
，叫做这个多项式的公因式。
练一练：

七年级数学下册-第9章整式乘法与因式分解(16个考点60题)强化训练(解析版)

第9章整式乘法与因式分解（16个考点60题）强化训练一．单项式乘单项式（共3小题）二．单项式乘多项式（共3小题）三．多项式乘多项式（共7小题）四．完全平方公式（共6小题）五．完全平方公式的几何背景（共5小题）六．完全平方式（共3小题）七．平方差公式（共5小题）八．平方差公式的几何背景（共3小题）九．整式的除法（共3小题）十．整式的混合运算（共5小题）十一．整式的混合运算—化简求值（共4小题）十二．因式分解的意义（共3小题）十三．因式分解-提公因式法（共1小题）十四．因式分解-运用公式法（共2小题）十五．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）十六．因式分解的应用（共4小题）一．单项式乘单项式（共3小题）1．（2023春•玄武区期中）计算23x x ⋅的结果是()A ．5xB ．6xC ．25xD ．26x 【分析】利用单项式乘单项式的运算法则进行计算即可得到正确的答案．【解答】解：2236x x x ⋅=．故选：D ．【点评】本题考查了单项式乘单项式的运算，单项式乘以单项式就是将系数相乘作为结果的系数，相同字母相乘作为结果的因式．2．（2023春•高港区期中）计算：162a ab ⋅=．【分析】根据单项式乘单项式即可求出答案．【解答】解：原式23a b =，故答案为：23a b ，【点评】本题考查单项式乘单项式，解题的关键是熟练运用单项式乘单项式运算法则，本题属于基础题型．3．（2023春•丹阳市期中）24(a b ⋅43)8a b =．【分析】根据乘法与除法互为逆运算解答即可．【解答】解：43222842a b a b a b ÷=．故答案为：222a b ．【点评】本题考查了单项式与单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．二．单项式乘多项式（共3小题）4．（2023春•溧阳市期末）计算：3(2)a a b -=．【分析】利用单项式乘多项式的法则进行运算即可．【解答】解：23(2)63a a b a ab -=-．故答案为：263a ab -．【点评】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．5．（2023春•铜山区期中）计算：232(3)x x -=．【分析】根据单项式乘单项式的法则：系数的积作为积的系数，同底数的幂分别相乘也作为积的一个因式，进行计算即可．【解答】解：232(3)x x - 23(23)x x =-⨯ 56x =-．故答案为：56x -．【点评】本题考查了单项式乘单项式法则的应用，通过做此题培养了学生的理解能力和计算能力，题目比较好，难度不大．6．（2023春•东海县期中）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中A ，B 是两个关于x ，y 的二项式．请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：（1）多项式A 为，多项式B 为，例题的化简结果为；（2）求多项式A 与B 的积．【分析】（1）根据单项式与多项乘法的逆运算可得A 和B ，然后合并同类项可得答案；（2）直接根据单项式乘多项式计算即可．【解答】解：（1）2A x y =+，2B x y =-，原式22242xy y x xy=++-224y x =+，故答案为：2x y +；2x y -；224y x +．（2）A B ⋅(2)(2)x y x y =+⋅-22(2)x y =-224x y =-．【点评】本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的方法是关键．三．多项式乘多项式（共7小题）7．（2023春•梁溪区校级期中）要使2(2)(1)x x ax +--的展开式中不含2x 项，则a 的值为()A ．2-B ．2C ．0D ．3【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则化简，再利用含2x 项的系数为零，进而得出答案．【解答】解：2(2)(1)x x ax +--32(2)22x a x x ax =+----32(2)(12)2x a x a x =+--+-，2(2)(1)x x ax +-- 的展开式中不含2x 项，20a ∴-=，解得：2a =．故选：B ．【点评】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．（2023春•苏州期中）已知250a a +-=，代数式2(5)(1)a a -+的值是()A ．4B ．5-C ．5D ．4-【分析】先根据250a a +-=得到25a a -=-，再把25a a -=-整体代入，即可求解．【解答】解：250a a +-= ，25a a ∴-=-，25a a +=，2(5)(1)a a ∴-+(1)a a =-+2a a=--2()a a =-+5=-．故选：B ．【点评】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，掌握运算法则和具有整体代入思想是解题关键．9．（2023春•淮安区校级期末）如图，有A 、B 、C 三种类型的卡片若干张，如果要拼成一个长为(32)a b +，宽为(2)a b +的大长方形，则需要A 类、B 类、C 类卡片的张数分别为()A ．5、3、6B ．6、3、7C ．6、2、7D ．5、2、6【分析】利用长方形面积列出式子，展开，找到不同卡片面积对应的系数，就是各自卡片的数量．【解答】解：22(32)(2)672a b a b a ab b ++=++，2A S a =，2B S b =，C S ab =，所以2a 、2b 、ab 系数分别是6、2、7．故选：C ．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，找出各类卡片的面积和对应的系数是解题的关键．10．（2023春•秦淮区期中）若2()(2)8x m x x nx -+=+-，则m n -的值是()A ．2B ．2-C ．6-D ．6【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则展开，再根据多项式相等时满足的条件求解即可．【解答】解：22()(2)(2)28x m x x m x m x nx -+=+--=+- ，∴228m n m -=⎧⎨-=-⎩，解得24n m =-⎧⎨=⎩，4(2)6m n ∴-=--=．故选：D ．【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．11．（2023春•苏州期中）若2()(3)12x m x x nx +-=+-，则n =．【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开即可求出m 与n 的值．【解答】解：22()(3)33(3)3x m x x x mx m x m x m +-=-+-=+--，3m n ∴-=，312m =，解得：4m =，1n =，故答案为：1．【点评】本题考查多项式乘以多项式的法则，解题的关键是将左边展开后合并同类项，然后利用待定系数法即可求出m 与n 的值．12．（2023春•鼓楼区校级期中）已知：化简2()(321)x a x x -++的结果中不含2x 项，则常数a 的值是．【分析】先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，二次项的系数等于0列式求解即可．【解答】解：232()(321)3(23)(12)x a x x x a x a x a -++=+-+--，不含2x 项，230a ∴-=，解得23a =．故答案为：23．【点评】本题主要考查单项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某一项就让这一项的系数等于0是解题的关键．13．（2023春•玄武区期中）如图，某体育训练基地，有一块长(35)a b -米，宽()a b -米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a 米，宽(2)a b -米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简）（1）求长方形游泳池面积；（2）求休息区面积；（3）比较休息区与游泳池面积的大小关系．【分析】（1）利用长方形的面积公式和单项式乘多项式的法则解答即可；（2）利用空地的面积减去长方形游泳池的面积即可；（3）利用休息区与游泳池面积的差的大小进行解答即可．【解答】解：（1）长方形游泳池面积为：(2)a ab -2(2)a ab =-平方米；（2）长方形空地的面积为：(35)()a b a b --223355a ab ab b =--+22(385)a ab b =-+平方米，∴休息区面积222(385)(2)a ab b a ab =-+--2223852a ab b a ab=-+-+22(265)a ab b =-+平方米；（3）2222222222(265)(2)4544(2)0a ab b a ab a ab b a ab b b a b b -+--=-+=-++=-+> ，∴休息区的面积大于游泳池面积．【点评】本题主要考查了长方形的面积，多项式乘多项式，单项式乘多项式，配方法，完全平方式，熟练掌握长方形的面积公式和配方法是解题的关键．四．完全平方公式（共6小题）14．（2023春•苏州月考）下列等式能够成立的是()A ．222()x y x xy y -=-+B ．222(3)9x y x y +=+C ．22211()24x y x xy y -=-+D ．2(9)(9)9m m m -+=-【分析】原式利用平方差公式及完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．【解答】解：A 、原式222x xy y =-+，错误；B 、222(3)69x y x xy y +=++，错误；C 、原式2214x xy y =-+，正确；D 、原式281m =-，错误，故选：C ．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（2023春•玄武区期中）若2()1a b -=，2()1b c -=，则2()c a -的值是()A ．0B ．4C ．0或4D ．2或4【分析】由2()1a b -=，2()1b c -=得到1a b -=±，1b c -=±得到0c a -=或2±，然后利用整体思想计算即可．【解答】解：2()1a b -= ，2()1b c -=，1a b ∴-=±，1b c -=±，0c a ∴-=或2±，2()0c a ∴-=或4．故选：C ．【点评】本题考查了完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．也考查了整体思想的运用．16．（2023春•鼓楼区校级期中）若4a b +=，3ab =-，则2()a b -=．【分析】先把2()a b -变形为2()4a b ab +-，然后把4a b +=，3ab =-代入计算即可．【解答】解：22()()4a b a b ab -=+-，当4a b +=，3ab =-时，原式244(3)28=-⨯-=．故答案为：28．【点评】本题考查了完全平方公式，掌握22()()4a b a b ab -=+-是解题的关键．17．（2023春•泰兴市期末）请从①2()7a b +=，②2()3a b -=，③225a b +=，中任选两个作为条件，求ab 的值．你选择的两项为．（只填序号）【分析】选择①②，利用完全平方公式展开，合并同类项后可求得ab 的值；选择①③或者②③同理．【解答】解：选择的两项为①②，若选择①②，2()7a b += ，2()3a b -=，22()()734a b a b ∴+--=-=，2222224a ab b a ab b ∴++-+-=，44ab ∴=，ab ∴的值为1，故答案为：①②；选择的两项为①③若选择①③，2()7a b += ，225a b +=，222()()752a b a b ∴+-+=-=，222222a ab b a b ∴++--=，22ab ∴=，ab ∴的值为1，故答案为：①③；选择的两项为②③，若选择②③，2()3a b -= ，225a b +=222()()352a b a b ∴--+=-=-，222222a ab b a b ∴-+--=-，22ab ∴-=-，ab ∴的值为1，故答案为：①②（答案不唯一）．【点评】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．18．（2023春•兴化市月考）若5a b +=，3ab =，（1）求22a b +的值；（2）求a b -的值．【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（1）5a b += ，3ab =，2()25a b ∴+=，22225a ab b ∴++=，2225225619a b ab ∴+=-=-=；（2）2219a b += ，3ab =，22213a b ab ∴+-=，2()13a b ∴-=，a b ∴-=【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．19．（2023春•吴江区期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了()(n a b n +为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．则10()a b +展开式中所有项的系数和是()A ．2048B ．1024C ．512D ．256【分析】根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出()(n a b n +为非负整数）展开式的项系数和为2n ，求出系数之和即可．【解答】解：当0n =时，展开式中所有项的系数和为012=，当1n =时，展开式中所有项的系数和为122=，当2n =时，展开式中所有项的系数和为242=，当3n =时，展开式中所有项的系数和为382=⋯由此可知()n a b +展开式的各项系数之和为2n ，则10()a b +展开式中所有项的系数和是1021024=，故选：B ．【点评】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．五．完全平方公式的几何背景（共5小题）20．（2023春•海州区期中）如图，两个正方形边长分别为a ，b ，已知7a b +=，9ab =，则阴影部分的面积为()A ．10B ．11C ．12D ．13【分析】根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为a 的正方形面积减去边长为a 的等腰直角三角形面积，再减去边长为a b -和b 的直角三角形面积，即可得221()2a ab b -+，根据完全平方公式的变式应用可得21[()3]2a b ab +-，代入计算即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，()221122S a a a b b=---阴221()2a ab b =-+21[()3]2a b ab =+-，把7a b +=，9ab =代入上式，则()21739112S =⨯-⨯=阴．故选：B ．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．21．（2023春•沭阳县期末）如图，正方形中阴影部分的面积为()A ．2()a b -B ．22a b -C ．2()a b +D ．22a b +【分析】用代数式表示各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系得出答案．【解答】解：4S S S =-阴影部分大正方形三角形21()42a b ab=+-⨯22a b =+．故选：D ．【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的关键．22．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，通过计算正方形的面积，可以得到的公式是()A ．222()2a b a ab b +=++B ．222()2a b a ab b -=-+C ．22()()a b a b a b +-=-D ．2()a a b a ab-=+【分析】从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示各自的面积，再由面积之间的关系得出答案．【解答】解：这个正方形的边长为a b +，因此面积为2()a b +，组成这个正方形的四个部分的面积分别为2a ，ab ，ab ，2b ，因此有222()2a b a ab b +=++，故选：A ．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的前提．23．（2023春•建邺区校级期中）数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思想解决下面问题：图1是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完全相同的小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形．（1）观察图2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式2()a b +，2()a b -，ab 写出这个等式．（2）运用你所得到的公式，计算：若m 、n 为实数，且3mn =-，5m n -=，试求2()m n +的值．（3）如图3，点C 是线段AB 上的一点，以AC 、BC 为边向两边作正方形，设9AB =，两正方形的面积和1251S S +=，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）由图2中阴影部分面积的两种不同表示方法可得答案；（2）把3mn =-，5m n -=代入22()()4m n m n mn +=-+进行计算即可；（3）设CF m =，AC n =．则9m n +=，2251m n +=，可得22222()()95130mn m n m n =+-+=-=，再利用阴影部分的面积公式进行计算即可．【解答】解：（1）图中阴影部分的面积可表示为：2()4a b ab +-或2()a b -；即有：22()4()a b ab a b +-=-；∴答案为：22()4()a b ab a b +-=-；（2）3mn =- ，5m n -=，222()()451213m n m n mn ∴+=-+=-=．（3）设CF m =，AC n =．则9m n +=，2251m n +=，22222()()95130mn m n m n =+-+=-=，17.52ACF S mn ∆==，即阴影部分的面积为7.5．【点评】本题考查完全平方公式及变形的应用，解题的关键是用不同方法表达同一图形面积．24．（2023春•铜山区期中）图（1）是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形．然后按图（2）的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①：，②：；（用m 、n 表示）（2）观察图（2），请写出2()m n +、2()m n -、mn 之间的一个等量关系；（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若7a b +=，6ab =，求a b -的值．【分析】（1）根据正方形的面积公式，可得方法一，根据面积的和差，可得方法二；（2）根据同一图形的面积的两种表示方法，可得答案；（3）根据（3）中的等量关系，可得答案．【解答】解：（1）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积．①：2()m n -；②：2()4m n mn +-；故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-；（2）观察图（2），2()m n +、2()m n -、mm 之间的一个等量关系：22()()4m n m n mn -=+-；故答案为：22()()4m n m n mn -=+-；（3）因为7a b +=，6ab =，所以22()()4a b a b ab-=+-2746=-⨯25=，所以a b -的值是5±．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．六．完全平方式（共3小题）25．（2023春•高邮市期末）下列各式中，为完全平方式的是()A ．2124a a ++B ．214a a ++C ．221x x --D ．22x xy y -+【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．【解答】解：2211()42a a a ++=+，故选：B ．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．26．（2023春•吴江区期中）若二次三项式214x mx ++为完全平方式，则m 的值为()A ．2±B ．2C ．1±D ．1【分析】根据完全平方公式即可求出m 的值，【解答】解：2211(24x x x ±=±+ ，1m ∴=±，故选：C ．【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．27．（2023春•高港区期中）若216x mx ++是完全平方式，则m 的值是．【分析】根据216x mx ++是一个完全平方式，利用此式首末两项是x 和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和4积的2倍，进而求出m 的值即可．【解答】解：216x mx ++ 是一个完全平方式，2216(4)x mx x ∴++=±，2816x x =±+．8m ∴=±，故答案为：8±．【点评】此题主要考查的是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．七．平方差公式（共5小题）28．（2023春•睢宁县月考）下列乘法中，不能运用平方差进行运算的是()A ．(37)(37)x y x y +-B ．(5)(5)m n n m --C ．(0.20.3)(0.20.3)x x ---+D ．(3)(3)n mn n mn ---【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．【解答】解：A 、C 、D 选项符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；B 选项两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．故选：B ．【点评】本题主要考查了平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式的结构．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．29．（2023春•南京期中）若()()a b p q ++能运用平方差公式计算，则p ，q 满足的条件可能是()①p a =，q b =；②p a =，q b =-；③p a =-，q b =；④p a =-，q b =-．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【分析】根据平方差公式的特点进行选项．【解答】解：()()a b p q ++ 能运用平方差公式计算，p a ∴=，q b =-或p a =-，q b =，故选：C ．【点评】本题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．30．（2023春•工业园区校级月考）若2222(1)(1)35a b a b +++-=，则22(a b +=)A ．3B ．6C ．3±D ．6±【分析】根据平方差公式即可求解．【解答】解：2222(1)(1)35a b a b +++-= ，2222[()1][()1]35a b a b ∴+++-=，222()135a b +-=，222()36a b +=，220a b + ，226a b ∴+=，故选：B ．【点评】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键，运用了整体思想．31．（2023春•玄武区期中）两个连续偶数的平方差一定是()A ．3的倍数B ．4的倍数C ．5的倍数D ．6的倍数【分析】设两个连续的偶数分别是2n ，22n +，根据题意列出等式22(22)(2)844(21)n n n n +-=+=+，即可求解．【解答】解：设两个连续偶数为2n ，22n +，则22(22)(2)n n +-(222)(222)n n n n =+++-(42)2n =+⨯4(21)n =+，因为n 为整数，所以4(21)n +中的21n +是正奇数，所以4(21)n +是4的倍数，故两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．故选：B ．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续偶数，再用平方差公式对列出的式子进行整理，此题较简单．32．（2023春•东海县期中）计算：2202420222023⨯-=．【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．【解答】解：原式2(20231)(20231)2023=+⨯--22202312023=--1=-．故答案为：1-．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．八．平方差公式的几何背景（共3小题）33．（2023春•泗阳县期中）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是()A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()a b a b -=-C ．2()b a b ab b -=-D ．2()ab b b a b -=-【分析】图甲的总面积是长为()a b +，宽为()a b -的大矩形的面积，可表示为：()()a b a b +-，图乙的总面积可以表示边长为a ，与边长为b 的正方形的面积差．【解答】解：22()()a b a b a b +-=-，故选：A ．【点评】考查平方差公式，正确理解平方差公式的几何背景是得出结果的前提．34．（2023春•工业园区期中）如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是()A ．22()()a b a b a b -=+-B ．2()a a b a ab -=-C ．222()2a b a ab b -=-+D ．2()a a b a ab+=+【分析】根据阴影部分面积的两种不同的计算求解．【解答】解：第一个图中阴影部分的面积为：22a b -，第二个图形中的阴影部分的面积为：()()a b a b +-，故选：A ．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握矩形的面积公式是解题的关键．35．（2023春•建湖县期中）如图，点C 、D 、E 在同一直线上，大正方形ABCD 与小正方形DEFG 的面积之差是60，则由两个三角形(BCG ∆、)BEG ∆组成的阴影部分面积是()A ．60B ．50C ．40D ．30【分析】设大正方形ABCD 的边长为x ，小正方形DEFG 的边长为y ，则BG x y =-，然后表示出阴影部分面积，再计算整式的乘法和加减，进而可得答案．【解答】解：设大正方形ABCD 的边长为x ，小正方形DEFG 的边长为y ，则BG x y =-，根据题意得：2260x y -=，则阴影部分的面积为：1122BG CD BG DE ⋅+⋅11()()22x y x x y y =⨯-⋅+-⋅2211112222x xy xy y =-+-221()2x y =-1602=⨯30=故选：D ．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正方形的性质及三角形面积，关键是正确运用算式表示出阴影部分的面积．九．整式的除法（共3小题）36．（2021春•金坛区期中）计算：22x x ÷=2x ．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：222x x x ÷=．故答案为：2x ．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．37．（2022春•江阴市校级月考）计算：52(2)a a -÷=32；若25m =，26n =，则22m n +=．【分析】根据单项式除单项式和幂的乘方与积的乘方的法则分别进行计算，即可得出答案．【解答】解：523(2)2a a -÷=-；22222256180m n m n +==⨯= ；故答案为：32-，180．【点评】此题考查了整式的除法，用到的知识点是同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，注意指数的变化情况．38．（2021春•邗江区月考）观察下列各式：2(1)(1)1x x x -÷-=+；32(1)(1)1x x x x -÷-=++；432(1)(1)1x x x x x -÷-=+++；⋯⋯（1）5(1)(1)x x -÷-=4321x x x x ++++；（2）试写出一般情况下(1)(1)n x x -÷-=；（3）根据以上结果计算：236263122222++++⋯++．【分析】（1）直接利用已知中式子变化规律得出答案；（2）结合（1）中规律得出原式8(1)(21)x =-÷-，进而得出答案．【解答】解：（1）5432(1)(1)1x x x x x x -÷-=++++；故答案为：4321x x x x ++++；（2）12(1)(1)1(2n n n x x x x x n ---÷-=++⋯++ 且为正整数）；故答案为：121(2n n x x x n --++⋯++ 且为正整数）；（3）2362636464122222(21)(21)21++++⋯++=-÷-=-．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．十．整式的混合运算（共5小题）39．（2023春•镇江期中）化简：（1）4232()x x x ⋅--；（2）(23)(23)a b a b +-++．【分析】（1）先计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项即可；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可．【解答】解：（1）4232()x x x ⋅--66x x =-0=；（2）(23)(23)a b a b +-++2(2)9a b =+-22449a ab b =++-．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．40．（2022春•高新区期中）计算：（1）234()(2)(23)a a a a -÷++-．（2）(325)(325)a b a b +--+【分析】（1）先算幂的乘方，多项式乘多项式，再算除法，最后合并同类项即可；（2）可利用平方差公式及完全平方公式对所求的式子进行运算即可．【解答】解：（1）234()(2)(23)a a a a -÷++-6422346a a a a a =-÷+-+-222346a a a a =-+-+-26a a =+-；（2）(325)(325)a b a b +--+[3(25)][3(25)]a b a b =+---22(3)(25)a b =--229(42025)a b b =--+22942025a b b =-+-．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．41．（2023春•鼓楼区校级期中）计算：（1）2423()a a a ⋅+-；（2）2(2)(2)(23)a b a b a b +--+．【分析】（1）根据同底数幂的乘法以及积的乘方进行计算即可求解；（2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解．【解答】解：（1）2423()a a a ⋅+-66a a =-0=；（2）2(2)(2)(23)a b a b a b +--+222244129a b a ab b =----21012b ab =--．【点评】本题考查了同底数幂的乘法以及积的乘方，平方差公式以及完全平方公式，熟练掌握以上运算法则与乘法公式是解题的关键．42．（2023春•高港区期中）对于任意有理数a 、b 、c 、d ，我们规定符号(a ，)*(b c ，)1d ab cd =-+，例如：(1，3)*(2，4)134214=⨯-⨯+=-．（1）求(4，3)*(2-，5)的值；（2）若(1m =-，2)*(2a ，1)a -，(21n a =--，23)*(2a a -，2)．①若2210a a +-=，求m 的值；②判断m 、n 的大小，并说明理由．【分析】（1）根据规定符号运算即可；（2）①根据规定符号运算后，整体代入求值即可；②做差法进行比较即可．【解答】解：（1）根据规定符号运算得：(4，3)*(2-，5)43(2)511210123=⨯--⨯+=++=；（2）①2210a a +-= ，221a a ∴+=．(1m =-，2)*(2a ，2221)2(1)123(2)3132a a a a a a a -=---+=--+=-++=-+=，2m =；②(21n a =--，23)*(2a a -，2222)3(21)2(2)163241222a a a a a a a a =----+=---++=--+，2222223(222)2322210m n a a a a a a a a a -=--+---+=--+++-=+>，m n ∴>．【点评】本题考查了整式的混合运算，准确运用符号规定运算是解答本题的关键．43．（2023春•玄武区校级期中）如图，一个长和宽分别为2x y +，2x y +的长方形中剪下两个大小相同的边长为y 的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T ”型的图形（阴影部分）．（1）用含x ，y 的式子表示“T ”型图形的面积并化简；（2）若2|3|(2)0y x -+-=，请计算“T ”型区域的面积．【分析】（1）根据“T ”型图形的面积等于大长方形的面积减去2个正方形的面积列出代数式，根据多项式的乘法进行计算化简即可；（2）根据非负数的性质求得x ，y 的值，代入（1）中化简结果进行计算即可．【解答】解：（1）由图可得，“T ”型区域的面积为：2(2)(2)2x y x y y ++-2222422x xy xy y y =+++-225x xy =+；（2）2|3|(2)0y x -+-= 30y ∴-=，20x -=，解得3y =，2x =．225T x xy∴=+222523=⨯+⨯⨯24523=⨯+⨯⨯830=+38=，答：“T ”型区域的面积是38．【点评】本题考查整式的混合运算、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．十一．整式的混合运算—化简求值（共4小题）44．（2023春•东海县期中）先化简，再求值：2(2)()()2m n m n m n mn ---++，其中12m =-，2n =．【分析】先展开，再合并同类项，化简后将m ，n 的值代入计算即可．【解答】解：原式222244()2m mn n m n mn=-+--+2222442m mn n m n mn=-+-++252n mn =-，当12m =-，2n =时，原式215(2)2()22=⨯--⨯-⨯542=⨯+202=+22=．【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．45．（2023春•高港区期中）先化简，再求值：2(21)2(2)x x x ---，其中2x =-．【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式以及合并同类项法则把原式化简，把x 的值代入计算即可．【解答】解：原式2222(44)x x x x =---+222288x x x x =--+-78x =-，当2x =-时，原式7(2)822=⨯--=-．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、单项式乘多项式以及合并同类项法则是解题的关键．46．（2023春•建邺区校级期中）先化简，再求值：2(23)(23)(54)(1)x x x x x +-----，其中2x =-．【分析】根据整式的混合运算法则计算即可化简，再将2x =-代入化简后的式子求值即可．【解答】解：2(23)(23)(54)(1)x x x x x +-----222495421x x x x x =--+-+-22610x x =-+-．当2x =-时，原式22(2)6(2)1030=-⨯-+⨯--=-．【点评】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解题关键．47．（2023春•吴江区期中）化简求值：22(2)(3)5()a b a b a a b +--+-，其中715a =，314b =．【分析】原式前两项利用完全平方公式展开，最后一项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将a 与b 的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式22222449655a ab b a ab b a ab=++-+-+-5ab =，当715a =，314b =时，原式731515142=⨯⨯=．【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：多项式乘多项式，单项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．十二．因式分解的意义（共3小题）48．（2023春•东海县期中）下列变形是因式分解的是()A ．269(6)9x x x x ++=++B ．22(2)24x x x x +=+C ．2()x xy x x x y ++=+D ．223(3)(1)x x x x --=-+【分析】因式分解就是将一个多项式化为几个整式积的形式，据此进行判断即可．【解答】解：A ．等号右边不是积的形式，不符合因式分解的定义，则A 不符合题意；B ．该式是整式的乘法运算，不符合因式分解的定义，则B 不符合题意；C ．该式的左右两边不相等，不符合因式分解的定义，则C 不符合题意；D ．该式符合因式分解的定义，则D 符合题意；故选：D ．【点评】本题考查因式分解的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．49．（2023春•新吴区期中）已知在216()()x mx x a x b +-=++中，a ，b 为整数，能使这个因式分解过程成立的m 值的个数有()A ．4个B ．5个C ．8个D ．10个【分析】1611628444(4)2(8)1(16)a b -=-⨯=-⨯=-⨯=⨯-=⨯-=⨯-=⨯，m a b =+，m 的取值有五种可能．【解答】解：1611628444(4)2(8)1(16)a b -=-⨯=-⨯=-⨯=⨯-=⨯-=⨯-=⨯ ，116m a b ∴=+=-+或28-+或44-+或4(4)+-或2(8)+-或1(16)+-，即15m =±或6±或0．则m 的可能值的个数为5，故选：B ．【点评】本题考查的是二次三项式的因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键．50．（2023春•南京期末）若多项式3228x ax bx ++-有两个因式1x +和2x -，则a b +的值为6-．【分析】根据题意，可得3228(1)(2)(2)(x ax bx x x x k k ++-=+-+为任意实数），再根据多项式乘多项式的乘法法则，求出a 与b ，进一步求得a b +．【解答】解：由题意知：3228(1)(2)(2)(x ax bx x x x k k ++-=+-+为任意实数）．32228(2)(2)x ax bx x x x k ∴++-=--+．3232282(2)(4)2x ax bx x k x k x k ∴++-=+-+---．2k a ∴-=，4k b --=，28k -=-．4k ∴=．2a ∴=，8b =-．286a b ∴+=-=-．故答案为：6-．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解决本题的关键．十三．因式分解-提公因式法（共1小题）51．（2023春•淮安期末）多项式32339a b a bc +分解因式时，应提取的公因式是()A ．323a bB ．329a b cC ．333a bD ．33a b 【分析】公因式的找法：多项式各项系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一项中出现的字母不能作为公因式的因式，判断即可．【解答】解：多项式32339a b a bc +分解因式时，应提取的公因式是33a b ．故选：D ．【点评】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．十四．因式分解-运用公式法（共2小题）52．（2024•裕华区校级开学）若3a b +=，13a b -=，则22a b -的值为()A ．1B ．83C ．103D ．9【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而将已知代入求出即可．【解答】解：3a b += ，13a b -=，221313a b ∴-=⨯=．故选：A ．【点评】此题主要考查了运用公式分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．。

苏科版七年级数学下册第9章整式乘法与因式分解复习课件

(4). 3x2(x3y2 - 2x)- 4x(-x2y)2
解 : 原式 3x5 y2 6x3 4x5 y2 x5 y2 6x3
(5). t2 (t 1)(t 5)
解 : 原式 t 2 (t 2 4t 5) t 2 t 2 4t 5 4t 5
(6). (2x 3y)(4x 5y)(2x 3y)(5y 4x) 解 : 原式 (4x2 9 y2 )(25y2 16x2 ) 64x4 244x2 y2 225y4
8式＿、，＿编又＿一要。道用因到式两分个解公题式（）编，写这要个求多：项既式要是用＿－提＿8取，＿公6＿4因＿
9、已知（3x+ay）2=9x2-48xy+by2，那么a，b的值分
别为＿a＿x4＿-2＿ax＿2y2＿+a＿y4＿＿。
例题选讲
1、单项式乘以多项式：
（-3xy+ 3 y2-x2）×6x2y 2
=2an（1+5a）（1-5a）（2）4x（y-x）-y2 解：原式＝4xy-4x2-y2 =-（4x2-4xy+y2）
=-（2x-y）2
8、把下列各式分解因式：
1）16x4-72x2y2+81y4 2）（x2+y2）2-4x2y2
3）-ab（a-b）2+a（b-a）2 4）（x2+4x）2+8（x2+4x）+16
A.52000 B.-4×52000 C.-5 D.（-5）4001
4、当x=1时，代数式ax2+bx+1的值为3，则
（a+b-1）（1-a-b）的值等于（ B ）
A.1 B.－1 C.2 D.－2 5、有4个代数式①m2n；②3m-n；③ 3m+2n；④m3n；可作为代数式9m4n-

《整式的乘法与因式分解》教材分析

容易的内容

学生的典型误解

整式乘法中的符号问题完全平方公式的错误不算到最简
整式乘法中的符号问题
完全平方公式的错误
不算到最简
教学目标：课程标准中的教学要求

了解整数指数幂的意义和基本性质. 能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式以及一次式与二次式相乘）能推导乘法公式：平方差公式、完全平方公式.了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算. 能用提公因式法、公式法进行因式分解（指数是正整数）.
学生理解的基础

数的乘法运算. 用字母表示数. 合并同类项. 分配率
学生自发的方法

从数的运算引出式的运算规律. 研究某些特殊形式的多项式相乘问题，引出乘法公式.
学生的学习能力限度

分组分解
具体内容的相对难易

难点

乘法公式的结幂的运算

教师适当补充：

检测（一）
检测（二）
典型例题：条件整体带入求值
关键环节的教学设计

“完全平方公式（第一课时）”教学设计与实践
“完全平方公式（第一课时）”教学设计与实践

复习引入情境推导出公式例题练习小结与作业形成性检测
复习引入
情境导出公式
例题1
例题2
练习
小结与作业

问题

叙述完全平方公式；说出它的结构特征；如何将变式转化成标准形式的完全平方；通过本节课的学习，你有什么收获和感悟？要了解公式的结构和特征．让住每一个公式左右两边的形式特征，记准指数和系数的符号；掌握公式的几何意义；弄清公式的变化形式；注意公式在应用中的条件；应灵活地应用公式来解题．

2022春七年级数学下册第9章整式乘法与因式分解用平方差公式分解因式习题课件新版苏科版ppt

4 将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( B )
A．a(a－1)
B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1)
D．(a－2)(a＋1)
5 对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9都能( A )
A．被8整除
B．被m整除
C．被m－1整除
D．被2m－1整除
【点拨】 (4m＋5)2－9＝(4m＋5＋3)·(4m＋5－3)＝(4m＋8)(4m＋
因式的是( C ) A．a2＋b2
B．2a－b2
C．a2－b2
D．－a2－b2
2 【2021·杭州】因式分解：1－4y2＝( A )
A．(1－2y)(1＋2y) B．(2－y)(2＋y)
C．(1－2y)(2＋y)
D．(2－y)(1＋2y)
3 下列因式分解正确的是( D ) A．x2－4＝(x＋4)(x－4) B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 C．3mx－6my＝3m(x－6y) D．2x＋4＝2(x＋2)
＋
12)x－12；
【点拨】解本题的思路是有公因式的先提公因式，再用平
方差公式分解因式，结果一定要分解彻底．
15 计算：
(1)251202－0020482；解：原式＝（252＋2481）0 ×0（00252－248）＝150000×040 ＝5.
(2)1 9972－1 9982＋1 9992－2 0002＋…＋2 0192－2 0202＋ 2 0212－2 0222. 解：原式＝(1 997＋1 998)×(1 997－1 998)＋(1 999＋ 2 000)×(1 999－2 000)＋…＋(2 019＋2 020)×(2 019－ 2 020)＋(2 021＋2 022)×(2 021－2 022)＝－(1 997＋ 1 998)－(1 999＋2 000)－…－(2 019＋2 020)－(2 021＋ 2 022)＝－(1 997＋1 998＋1 999＋2 000＋…＋2 019＋ 2 020＋2 021＋2 022)＝－52 247.

七年级数学下册第9章整式乘法与因式分解 9.5 多项式的因式分解作业设计 (新版)苏科版-(新版

9.5 多项式的因式分解一．选择题（共17小题）1．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）2．已知多项式4x2﹣（y﹣z）2的一个因式为2x﹣y+z，则另一个因式是（）A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z3．下列变形中，属因式分解的是（）A．2x﹣2y＝2（x﹣y）B．（x+y）2＝x2+2xy+y2C．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2D．x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+14．下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b＝3a2•2b B．mx+nxy﹣xy＝mx+xy（n﹣1）C．am﹣a＝a（m﹣1）D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣15．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．12a2b＝3a•4ab B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9C．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1D．ax﹣ay＝a（x﹣y）6．下列多项式中，没有公因式的是（）A．a（x+y）和（x+y）B．32（a+b）和（﹣x+b）C．3b（x﹣y）和 2（x﹣y）D．（3a﹣3b）和6（b﹣a）7．下列各式中能用完全平方公式分解因式的有（）①a2+2a+4；②a2+2a﹣1；③a2+2a+1；④﹣a2+2a+1；⑤﹣a2﹣2a﹣1；⑥a2﹣2a﹣1．A．2个B．3个C．4个D．5个8．下列各式中，可用平方差公式分解因式的是（）A．a2+b2B．﹣a2﹣b2C．﹣a2+b2D．a2+（﹣b）29．下列变形是分解因式的是（）A．6x2y2＝3xy•2xy B．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 10．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（）A．（x+1）2＝x2+2x+1B．x2﹣10x+25＝（x﹣5）2C．（x+7）（x﹣7）＝x2﹣49D．x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+111．﹣6xyz+3xy2﹣9x2y的公因式是（）A．﹣3x B．3xz C．3yz D．﹣3xy12．多项式x3y2﹣2x2y3+4xy4z的公因式是（）A．xy2B．4xy C．xy2z D．xyz13．把多项式p2（a﹣1）+p（1﹣a）分解因式的结果是（）A．（a﹣1）（p2+p）B．（a﹣1）（p2﹣p）C．p（a﹣1）（p﹣1）D．p（a﹣1）（p+1）14．下列多项式能用完全平方公式分解的是（）A．x2﹣2x﹣B．（a+b）（a﹣b）﹣4abC．a2+ab+D．y2+2y﹣115．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（）A．x2+1B．﹣x2+1C．x2﹣2D．﹣x2﹣116．下列从左到右的变形：（1）3xy+6y＝3y（x+2）；（2）a2﹣a+1＝（a﹣1）2；（3）y3﹣4y＝y（y2﹣4）；（4）﹣x2﹣9y2＝﹣（x+3y）（x﹣3y）；其中分解因式正确的有（）个．A．0个B．1个C．2个D．3个17．在实数X围内分解因式x5﹣64x正确的是（）A．x（x4﹣64）B．x（x2+8）（x2﹣8）C．x（x2+8）（x+2）（x﹣2）D．x（x+2）3（x﹣2）二．填空题（共12小题）18．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a＝，b＝．19．因式分解：100﹣4a2＝．20．因式分解的主要方法有：．21．若多项式x2﹣x﹣20分解为（x﹣a）（x﹣b），且a＞b，则a＝，b＝．22．若x﹣3y＝5，则x2﹣3xy﹣15y＝．23．x（a+b）+y（a+b）＝．24．因式分解：a2+a+＝；1﹣9y2＝．25．已知x2﹣y2＝69，x+y＝3，则x﹣y＝．26．分解因式：a3﹣ab2＝；3a2﹣3＝．27．因式分解：（x﹣3）（x+4）+3x＝．28．分解因式：x2﹣5xy+6y2＝．29．在实数X围内分解因式：2x2+3xy﹣y2＝．三．解答题（共19小题）30．已a2+b2﹣2a+6b+10＝0，求的值．31．利用因式分解计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）32．如图，在一块边长为a厘米的正方形纸板上，在正中央剪去一个边长为b厘米的正方形，当a＝6.25，b＝3.75时，请利用因式分解的知识计算阴影部分的面积．33．已知x2+x﹣1＝0，求x3+2x2+3的值．34．如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16＝52﹣32，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：小明的方法是一个一个找出来的：0＝02﹣02，1＝12﹣02，3＝22﹣12，4＝22﹣02，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12，9＝52﹣42，11＝62﹣52，…小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．所以，自然数中所有奇数都是智慧数．问题：（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是；（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数；（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．35．已知a﹣b＝，ab＝，求﹣2a2b2+ab3+a3b的值．36．分解因式（1）﹣3a2b3+6a3b2c+3a2b（2）（a+b）2+（a+b）（a﹣3b）．37．分解因式：（1）5x2﹣20；（2）﹣3x2+2x﹣．38．因式分解：x2（x﹣y）+y2（y﹣x）39．分解下列因式：（1）a4﹣a2（2）1﹣4x2+4xy﹣y2．40．先阅读下列材料，并对后面的题进行解答：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣4）（x+1）＝x2﹣3x﹣4；（y+4）（y﹣2）＝y2+2y﹣8；（y﹣5）（y﹣3）＝y2﹣8y+15；…．（说明：本材料源于课本练习题）（1）观察积中的一次项系数、常数项与等号左边的两因式的常数项有何关系？（用语言表达或者用公式来呈现它们之间关系和规律均可）（2）巧算填空：①（m+9）（m﹣11）＝；②（a﹣100）（a﹣11）＝．（3）若（x+m）（x+n）＝x2+ax+12（m、n、a都是整数），请根据（1）问得出的关系和规律推算出a的值．41．我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．42．4x2﹣16y2．43．把下列各式分解因式：（1）a2﹣14ab+49b2（2）a（x+y）﹣（a﹣b）（x+y）；（3）121x2﹣144y2；（4）3x4﹣12x2．44．将下列各式分解因式（1）15a3+10a2；（2）y2+y+；（3）3ax2﹣3ay2．45．因式分解（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．（2）16x2﹣64．（3）﹣4a2+24a﹣36．（4）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．46．请观察以下解题过程：分解因式：x4﹣6x2+1解：x4﹣6x2+1＝x4﹣2x2﹣4x2+1＝（x4﹣2x2+1）﹣4x2＝（x2﹣1）2﹣（2x）2＝（x2﹣1+2x）（x2﹣1﹣2x）以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：a4﹣7a2+9．47．试用两种不同的方法分解因式分解：x2+6x+5．48．已知a，b，c是三角形三边长，且b2﹣2bc+c2＝ac﹣ab，试判断三角形形状．参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）【分析】确定公因式是b（x﹣3），然后提取公因式即可．【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故选：B．【点评】需要注意提取公因式后，第二项还剩因式1．2．已知多项式4x2﹣（y﹣z）2的一个因式为2x﹣y+z，则另一个因式是（）A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z【分析】可运用平方差公式对所给代数式进行因式分解得到所求的另一个因式．【解答】解：原式＝（2x+y﹣z）（2x﹣y+z），∴另一个因式是2x+y﹣z．故选：D．【点评】本题考查了公式法分解因式，是平方差的形式，所以考虑利用平方差公式分解因式．3．下列变形中，属因式分解的是（）A．2x﹣2y＝2（x﹣y）B．（x+y）2＝x2+2xy+y2C．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2D．x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1【分析】根据因式分解的定义：就是把整式变形成整式的积的形式，即可作出判断．【解答】解：A、2x﹣2y＝2（x﹣y）是因式分解，故选项正确；B、（x+y）2＝x2+2xy+y2结果不是积的形式，不是因式分解，故选项错误；C、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2是整式的乘法，不是因式分解，故选项错误；D、x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，结果不是积的形式，不是因式分解，故选项错误．故选：A．【点评】本题主要考查了因式分解的意义，因式分解是整式的变形，变形前后都是整式，并且结果是积的形式．4．下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b＝3a2•2b B．mx+nxy﹣xy＝mx+xy（n﹣1）C．am﹣a＝a（m﹣1）D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积形式，可得答案．【解答】解：A不是多项式转化成几个整式积形式，故A不是因式分解；B没把多项式转化成几个整式积的形式，故B不是因式分解；Cam﹣a＝a（m﹣1），故C是因式分解；D是整式的乘法，故D不是因式分解；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积形式．5．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．12a2b＝3a•4ab B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9C．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1D．ax﹣ay＝a（x﹣y）【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【解答】解：A不是多项式的转化，故A不是因式分解；B整式的乘法，故B不是因式分解；C没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；D提取公因式a，故D是因式分解，故选：D．【点评】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．6．下列多项式中，没有公因式的是（）A．a（x+y）和（x+y）B．32（a+b）和（﹣x+b）C．3b（x﹣y）和 2（x﹣y）D．（3a﹣3b）和6（b﹣a）【分析】根据公因式是多项式中每项都有的因式，可得答案．【解答】解：∵32（a+b）与（﹣x+b）没有公因式，故选：B．【点评】本题考查了公因式，公因式是多项式中每项都有的因式．7．下列各式中能用完全平方公式分解因式的有（）①a2+2a+4；②a2+2a﹣1；③a2+2a+1；④﹣a2+2a+1；⑤﹣a2﹣2a﹣1；⑥a2﹣2a﹣1．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据能运用完全平方公式分解因式的多项式的特点：①必须是三项式，②其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，③另一项是这两个数（或式）的积的2倍进行分析即可．【解答】解：①a2+2a+4不是积的2倍，故不能用完全平方公式进行分解；②a2+2a﹣1不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解；③a2+2a+1能用完全平方公式进行分解；④﹣a2+2a+1不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解；⑤﹣a2﹣2a﹣1首先提取负号，可得a2+2a+1，能用完全平方公式进行分解；⑥a2﹣2a﹣1不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解．故选：A．【点评】此题主要考查了能用完全平方公式分解因式的特点，关键是熟练掌握特点．8．下列各式中，可用平方差公式分解因式的是（）A．a2+b2B．﹣a2﹣b2C．﹣a2+b2D．a2+（﹣b）2【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．【解答】解：A、a2+b2不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误；B、﹣a2﹣b2的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误；C、﹣a2+b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解，故本选项正确；D、a2+（﹣b）2不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查的是应用平方差公式进行因式分解的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键．9．下列变形是分解因式的是（）A．6x2y2＝3xy•2xy B．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9【分析】根据因式分解是把多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【解答】解：A、左边是单项式，不是分解因式，故本选项错误；B、是分解因式，故本选项正确；C、右边不是积的形式，故本选项错误；D、是多项式乘法，不是分解因式，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了因式分解，因式分解把多项式转化成几个整式积的形式．10．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（）A．（x+1）2＝x2+2x+1B．x2﹣10x+25＝（x﹣5）2C．（x+7）（x﹣7）＝x2﹣49D．x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1【分析】因式分解就是把多项式转化成几个整式的积的形式，根据定义即可作出判断．【解答】解：A、是整式的乘法，故选项错误；B、正确；C、是整式的乘法，故选项错误；D、多项式结果不是整式的积的形式，故选项错误，故选：B．【点评】本题考查了因式分解的意义，属于基础题，解答本题的关键是掌握因式分解的意义．11．﹣6xyz+3xy2﹣9x2y的公因式是（）A．﹣3x B．3xz C．3yz D．﹣3xy【分析】通过观察可知原式的公因式为﹣3xy，直接提取即可．【解答】解：﹣6xyz+3xy2﹣9x2y各项的公因式是﹣3xy．故选：D．【点评】此题考查的是提公因式的方法，要注意此题容易忽略公因式的系数的符号．12．多项式x3y2﹣2x2y3+4xy4z的公因式是（）A．xy2B．4xy C．xy2z D．xyz【分析】分别找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可找出公因式．【解答】解：多项式x3y2﹣2x2y3+4xy4z的公因式是xy2，故选：A．【点评】此题主要考查了找公因式，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的找出公因式即可．13．把多项式p2（a﹣1）+p（1﹣a）分解因式的结果是（）A．（a﹣1）（p2+p）B．（a﹣1）（p2﹣p）C．p（a﹣1）（p﹣1）D．p（a﹣1）（p+1）【分析】先把1﹣a根据相反数的定义转化为﹣（a﹣1），然后提取公因式p（a﹣1），整理即可．【解答】解：p2（a﹣1）+p（1﹣a），＝p2（a﹣1）﹣p（a﹣1），＝p（a﹣1）（p﹣1）．故选：C．【点评】主要考查提公因式法分解因式，把（1﹣a）转化为﹣（a﹣1）的形式是求解的关键．14．下列多项式能用完全平方公式分解的是（）A．x2﹣2x﹣B．（a+b）（a﹣b）﹣4abC．a2+ab+D．y2+2y﹣1【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍．【解答】解：A、x2﹣2x﹣不符合完全平方公式分解的式子的特点，故错误；B、（a+b））（a﹣b）不符合﹣4ab完全平方公式分解的式子的特点，故错误；C、a2+ab+符合完全平方公式分解的式子的特点，故正确；D、y2+2y﹣1不符合完全平方公式分解的式子的特点，故错误．故选：C．【点评】本题考查能用完全平方公式分解的式子的特点．两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍，是易错点．15．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（）A．x2+1B．﹣x2+1C．x2﹣2D．﹣x2﹣1【分析】根据平方差公式的特点：两个平方项且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、两个平方项的符号相同，故本选项错误；B、两个平方项的符号相反，故本选项正确；C、2不可以写成平方项，故错误；D、两个平方项的符号相同，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了公式法分解因式，平方差公式的特点是两个平方项的符号相反，符合这一特点就能运用平方差公式分解因式，与两项的排列顺序无关．16．下列从左到右的变形：（1）3xy+6y＝3y（x+2）；（2）a2﹣a+1＝（a﹣1）2；（3）y3﹣4y＝y（y2﹣4）；（4）﹣x2﹣9y2＝﹣（x+3y）（x﹣3y）；其中分解因式正确的有（）个．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】（1）利用提公因式法，提取公因式3y即可；（2）此题不符合完全平方公式，不能分解；（3）首先提取公因式y，再利用平方差公式分解即可；（4）注意提取负号后，可得﹣（x2+9y2），不符合平方差公式，不能分解因式．【解答】解：（1）3xy+6y＝3y（x+2），故此项正确；（2）a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故此项错误；（3）y3﹣4y＝y（y2﹣4）＝y（y+2）（y﹣2），故此项错误；（4）﹣x2﹣9y2＝﹣（x2+9y2），﹣（x+3y）（x﹣3y）＝﹣x2+9y2，故此项错误．∴分解因式正确是（1），只有1个．故选：B．【点评】此题考查了因式分解的知识．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．还要注意分解要彻底．17．在实数X围内分解因式x5﹣64x正确的是（）A．x（x4﹣64）B．x（x2+8）（x2﹣8）C．x（x2+8）（x+2）（x﹣2）D．x（x+2）3（x﹣2）【分析】在实数X围内分解因式一般应分解到因式中有无理数为止．【解答】解：x5﹣64x＝x（x4﹣64），＝x（x2+8）（x2﹣8），＝x（x2+8）（x+2）（x﹣2）．故选：C．【点评】本题考查了公式法分解因式，在实数X围内分解因式要遵循分解彻底的原则．二．填空题（共12小题）18．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a＝1，b＝．【分析】根据因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【解答】解：∵x2﹣ax﹣1＝（x﹣2）（x+b）＝x2+（b﹣2）x﹣2b，∴﹣2b＝﹣1，b﹣2＝﹣a，b＝，a＝1，故答案为：1，．【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．19．因式分解：100﹣4a2＝4（5﹣a）（5+a）．【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：100﹣4a2＝4（25﹣a2）＝4（5﹣a）（5+a）．故答案为：4（5﹣a）（5+a）．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练应用平方差公式是解题关键．20．因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法．【分析】根据因式分解的定义进行求解．【解答】解：根据因式分解的步骤可知：因式分解的方法为：提公因式法、公式法和分组分解法，故答案为：提公因式法、公式法、分组分解法．【点评】此题要注意因式分解的一般步骤：①如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；②如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；如果多项式有两项应思考用平方差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法；如果多项式超过三项应思考用完全平方公式法；③分解因式时必须要分解到不能再分解为止．21．若多项式x2﹣x﹣20分解为（x﹣a）（x﹣b），且a＞b，则a＝ 5 ，b＝﹣4 ．【分析】将原多项式因式分解后与（x﹣a）（x﹣b）对照，且根据a＞b即可得到a、b的值．【解答】解：x2﹣x﹣20＝（x﹣5）（x+4）＝（x﹣a）（x﹣b），∵a＞b，∴a＝5，b＝﹣4．故答案为5，﹣4．【点评】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确的将原多项式因式分解．22．若x﹣3y＝5，则x2﹣3xy﹣15y＝25 ．【分析】先将x2﹣3xy﹣15y变形为x（x﹣3y）﹣15y，把x﹣3y＝5代入得到5x﹣15y＝5（x ﹣3y），再代入即可求解．【解答】解：x2﹣3xy﹣15y＝x（x﹣3y）﹣15y＝5x﹣15y＝5（x﹣3y）＝5×5＝25．故答案为：25．【点评】考查了因式分解﹣提公因式法，解决本题的关键是把所求的式子整理为含x﹣3y 的式子．23．x（a+b）+y（a+b）＝（x+y）（a+b）．【分析】观察原式，发现公因式为a+b；提出后，即可得出答案．【解答】解：原式＝（x+y）（a+b）．故答案是：（x+y）（a+b）．【点评】本题考查了因式分解﹣﹣提公因式法．要明确找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．24．因式分解：a2+a+＝（a+）2；1﹣9y2＝（1+3y）（1﹣3y）．【分析】根据完全平方公式可分解（1）；根据平方差公式，可分解（2）．【解答】解：（1）原式＝（a+）2；（2）原式＝（1+3y）（1﹣3y），故答案为：（a+）2，（1+3y）（1﹣3y）．【点评】本题考查了运用公式分解因式，凑成公式的形式是解题关键．25．已知x2﹣y2＝69，x+y＝3，则x﹣y＝23 ．【分析】把已知条件利用平方差公式分解因式，然后代入数据计算即可．【解答】解：∵x2﹣y2＝69，x+y＝3，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3（x﹣y）＝69，解得：x﹣y＝23．【点评】此题考查对平方差公式的灵活应用能力，分解因式是关键．26．分解因式：a3﹣ab2＝a（a+b）（a﹣b）；3a2﹣3＝3（a+1）（a﹣1）．【分析】先提取公因式，然后套用公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），进一步分解因式即可．【解答】解：a3﹣ab2，＝a（a2﹣b2），＝a（a+b）（a﹣b）；3a2﹣3，＝3（a2﹣1），＝3（a+1）（a﹣1）．【点评】本题考查了用公式法进行因式分解的能力，因式分解的一般步骤是：“一提，二套，三检”．即先提取公因式，再套用公式，最后看结果是否符合要求．27．因式分解：（x﹣3）（x+4）+3x＝（x+6）（x﹣2）．【分析】原式变形得到x2+4x﹣12，再利用十字相乘法分解即可．【解答】解：（x﹣3）（x+4）+3x＝x2+x﹣12+3x＝x2+4x﹣12＝（x+6）（x﹣2）．故答案为：（x+6）（x﹣2）．【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．28．分解因式：x2﹣5xy+6y2＝（x﹣2y）（x﹣3y）．【分析】因为（﹣2）×（﹣3）＝6，（﹣2）+（﹣3）＝﹣5，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣5xy+6y2＝（x﹣2y）（x﹣3y）．故答案为：（x﹣2y）（x﹣3y）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．29．在实数X围内分解因式：2x2+3xy﹣y2＝2（x﹣y）（x﹣y）．【分析】首先求出2x2+3xy﹣y2＝0的根，进而分解因式得出即可．【解答】解：令2x2+3xy﹣y2＝0，则x1＝y，x2＝y，则2x2+3xy﹣y2＝2（x﹣y）（x﹣y）．故答案为：2（x﹣y）（x﹣y）．【点评】本题主要考查对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数X围内进行分解时，分解的结果一般要分到出现无理数为止是解答此题的关键．三．解答题（共19小题）30．已a2+b2﹣2a+6b+10＝0，求的值．【分析】已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵a2+b2﹣2a+6b+10＝（a﹣1）2+（b+3）2＝0，∴a﹣1＝0，b+3＝0，即a＝1，b＝﹣3，则原式＝1+＝．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．31．利用因式分解计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）【分析】把每个括号内利用平方差分解因式，再分别求和差后进行求积即可．【解答】解：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＝（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）+…+（1+）（1﹣）＝××××××…××＝．【点评】本题主要考查因式分解的应用，正确进行因式分解是解题的关键．32．如图，在一块边长为a厘米的正方形纸板上，在正中央剪去一个边长为b厘米的正方形，当a＝6.25，b＝3.75时，请利用因式分解的知识计算阴影部分的面积．【分析】根据题意可知阴影部分的面积＝边长为a厘米的正方形的面积﹣边长为b厘米的正方形的面积，根据平方差公式分解因式，再代入求值即可．【解答】解：设阴影部分的面积为s，依题意得：s＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），当a＝6.25，bs﹣3.75）＝10×2.5＝25（平方厘米）；答：阴影部分的面积为25平方厘米．【点评】本题实质上考查了应用平方差公式进行因式分解，及用代入法求代数式的值．33．已知x2+x﹣1＝0，求x3+2x2+3的值．【分析】观察题意可知x2+x＝1，将原式化简可得出答案．【解答】解：依题意得：x2+x＝1，∴x3+2x2+3，＝x3+x2+x2+3，＝x（x2+x）+x2+3，＝x+x2+3，＝4；或者：依题意得：x2+x＝1，所以，x3+2x2+3，＝x3+x2+x2+3，＝x（x2+x）+x2+3，＝x+x2+3，＝1+3，＝4．【点评】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．34．如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16＝52﹣32，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：小明的方法是一个一个找出来的：0＝02﹣02，1＝12﹣02，3＝22﹣12，4＝22﹣02，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12，9＝52﹣42，11＝62﹣52，…小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．所以，自然数中所有奇数都是智慧数．问题：（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是15 ；（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数；（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．【分析】（1）仿照小明的办法，继续下去，即可得出结论；（2）仿照小王的做法，将（k+2）2﹣k2用平方差公式展开即可得出结论；（3）验证26是否符合4k+2，如果符合，则得出26不是智慧数．【解答】解：（1）继续小明的方法，12＝42﹣22，13＝72﹣62，15＝82﹣72，即第12个智慧数是15．（2）设k是自然数，由于（k+2）2﹣k2＝（k+2+k）（k+2﹣k）＝4k+4＝4（k+1）．所以，4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．（3）4k+2＝2（2k+1）＝2[（k+1）2﹣k2]＝[（k+1）]2﹣（k）2∵（k+1）、k均不是自然数，∴4k+2不是智慧数，令4k+2＝26，解得：k＝6．故26不是智慧数故答案为：（1）15．【点评】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，解题的关键是：（1）仿照小明的办法继续找下去；（2）将将（k+2）2﹣k2用平方差公式展开；（3）令4k+2＝26，求出k 值．本题属于基础题，难度不大，题中文字较多，很多学生不喜欢这样的文字题，解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论．35．已知a﹣b＝，ab＝，求﹣2a2b2+ab3+a3b的值．【分析】将所求式子三项提取公因式ab后，括号中三项利用完全平方公式分解因式，将ab 与a﹣b的值代入计算，即可求出值．【解答】解：∵a﹣b＝，ab＝，∴﹣2a2b2+ab3+a3b＝ab（﹣2ab+a2+b2）＝ab（a﹣b）2＝×＝．【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．36．分解因式（1）﹣3a2b3+6a3b2c+3a2b（2）（a+b）2+（a+b）（a﹣3b）．【分析】（1）直接提公因式即可；（2）提公因式后，合并同类项，再提取公因式2．【解答】解：（1）原式＝﹣3a2b（b2﹣2abc﹣1）；（2）原式＝（a+b）（a+b+a﹣3b）＝（a+b）（2a﹣2b）＝2（a+b）（a﹣b）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，注意要分解到不能分解为止．37．分解因式：（1）5x2﹣20；（2）﹣3x2+2x﹣．【分析】（1）首先提取公因式5，再利用平方差进行二次分解即可；（2）首先提取公因式﹣3，再利用完全平方进行二次分解即可．【解答】解：（1）原式＝5（x2﹣4）＝5（x+2）（x﹣2）；（2）原式＝﹣3（x2﹣x+）＝﹣3（x﹣）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．38．因式分解：x2（x﹣y）+y2（y﹣x）【分析】根据提取公因式再运用公式，可得答案．【解答】解：原式＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）＝（x﹣y）（x2﹣y2）＝（x﹣y）（x+y）（x﹣y）＝（x﹣y）2（x+y）．【点评】本题考查了因式分解，先提取公因式，再运用公式法分解因式．39．分解下列因式：（1）a4﹣a2（2）1﹣4x2+4xy﹣y2．【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式分解第二个因式ik；（2）先分组（把后三项分成一组，括号前是负号），再把后三项分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可．【解答】（1）解：a4﹣a2＝a2（a2﹣1）＝a2（a+1）（a﹣1）；（2）解：1﹣4x2+4xy﹣y2＝1﹣（4x2﹣4xy+y2）＝1﹣（2x﹣y）2，＝[1+（2x﹣y）][1﹣（2x﹣y）]＝（1+2x﹣y）（1﹣2x+y）．【点评】本题考查了因式分解（分组分解法、公式法、提公因式法），主要考查学生分解因式的能力，两小题都比较典型，是一道比较好的题目．40．先阅读下列材料，并对后面的题进行解答：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣4）（x+1）＝x2﹣3x﹣4；（y+4）（y﹣2）＝y2+2y﹣8；（y﹣5）（y﹣3）＝y2﹣8y+15；…．（说明：本材料源于课本练习题）（1）观察积中的一次项系数、常数项与等号左边的两因式的常数项有何关系？（用语言表达或者用公式来呈现它们之间关系和规律均可）（2）巧算填空：①（m+9）（m﹣11）＝m2﹣2m﹣99 ；②（a﹣100）（a﹣11）＝a2﹣111a+1100 ．（3）若（x+m）（x+n）＝x2+ax+12（m、n、a都是整数），请根据（1）问得出的关系和规律推算出a的值．【分析】（1）总结规律：积中的一次项系数是两因式中的常数项的和，积中的常数项是两因式中的常数项的积．（2）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可；（3）根据规律列式12＝mn，根据m、n都是整数，可得m和n有6组值，分别计算其和可得a的值．【解答】（本题满分7分）：解：（1）（2分）积中的一次项系数是两因式中的常数项的和，积中的常数项是两因式中的常数项的积．也可用公式表达：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq．（写对其中之一即可给分）．（2）填空：（2分）①（m+9）（m﹣11）＝m2+9m﹣11m﹣99＝m2﹣2m﹣99，②（a﹣100）（a﹣11）＝a2﹣11a﹣100a+1100＝a2﹣111a+1100，故答案为：①m2﹣2m﹣99；②a2﹣111a+1100；（3）（3分）∵积中的常数项是两因式中的常数项的积，即12＝mn，又m、n、a都是整数．∴12＝1×12＝（﹣1）×（﹣12）＝2×6＝（﹣2）×（﹣6）＝3×4＝（﹣3）×（﹣4），∴m＝1，n＝12；或…或m＝﹣3，n＝﹣4．又∵积中的一次项系数是两因式中的常数项的和．即a＝m+n，∴a1＝13，a2＝﹣13，a3＝8，a4＝﹣8，a5＝7，a6＝﹣7，（只要简单推算，答案正确即可每个给0.5分）【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法和多项式的乘法法则，也是阅读理解问题，根据题意总结十字相乘的公式是关键．41．我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．【分析】（1）写出最小的五位“轴对称数”，即首位数字和个位数字为1，其它为0的数；（2）先表示这个任意的n（n≥3）位“轴对称数”：＝A×10n+B×10+A，再表示“轴对称数”与它个位数字的11倍的差，合并同类项并提公因式，可得结论；（3）设这个三位“轴对称数”为（1≤a≤4，0≤b≤9），根据与k的和能同时被5和9整除，即能被45整除，设100a+10b+a+k＝45c，化为90a+11a+10b+k＝45c，所以11a+10b+k 能同时被45整除，分情况计算可得结论．【解答】（1）解：最小的五位“轴对称数”是10001；（2）证明：由题意得：A×10n+B×10+A﹣11A＝A×10n+10B﹣10A＝10（A×10n﹣1+B﹣A），∴该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除；（3）解：设这个三位“轴对称数”为（1≤a≤4，0≤b≤9），∵与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，∴设100a+10b+a+k＝45c，101a+10b+k＝45c，90a+11a+10b+k＝45c，∴因为101a+10b+k能同时被5和9整除，所以11a+10b+k能同时被5和9整除，即11a+10b+k的值为0或45或90或135，又1≤a≤4，0≤b≤9，∴当a＝1，b＝3，k＝4时，这个三位“轴对称数”是131．当a＝1，b＝8，k＝4时，这个三位“轴对称数”是131．当a＝2，b＝2，k＝3时，这个三位“轴对称数”是222．当a＝3，b＝1，k＝2时，这个三位“轴对称数”是313．当a＝4，b＝0，k＝1时，这个三位“轴对称数”是404．当a＝4，b＝9，k＝1时，这个三位“轴对称数”是494．所有满足条件的三位“轴对称数”为：131，222，313，404，494．【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是根据题意列出式子，本题属于中等题型．42．4x2﹣16y2．【分析】将原式化为先提公因式后再将x2﹣4y2化为x2﹣（2y）2后利用平方差公式展开即可．【解答】解：原式＝4（x2﹣4y2）＝4[x2﹣（2y）2]＝4（x+2y）（x﹣2y）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解，解题的关键是先提取公因式4，然后利用平方差公式因式分解．43．把下列各式分解因式：（1）a2﹣14ab+49b2（2）a（x+y）﹣（a﹣b）（x+y）；（3）121x2﹣144y2；（4）3x4﹣12x2．【分析】（1）直接利用完全平方公式进行因式分解即可；（2）提取公因式（x+y）即可；（3）直接利用平方差公式因式分解即可；（4）先提取公因式3x2，然后再利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：（1）a2﹣14ab+49b2＝a2﹣2×7ab+（7b）2＝（a﹣7b）2（2）a（x+y）﹣（a﹣b）（x+y）＝（x+y）（a﹣a+b）＝b（x+y）；（3）121x2﹣144y2；＝（11x）2﹣（12y）2＝（11x+12y）（11x﹣12y）（4）3x4﹣12x2＝3x2（x2﹣4）＝3x2（x+2）（x﹣2）【点评】本题考查了用公式法和提公因式法因式分解的知识，解题时候首先考虑提公因式法，然后考虑采用公式法，分解一定要彻底．44．将下列各式分解因式（1）15a3+10a2；（2）y2+y+；（3）3ax2﹣3ay2．【分析】（1）利用提公因式法因式分解；（2）利用完全平方公式因式分解；（3）先提公因式、再利用平方差公式因式分解．【解答】解：（1）15a3+10a2＝5a2（3a+2）；（2）y2+y+＝（y+）2；（3）3ax2﹣3ay2＝3a（x2﹣y2）＝3a（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法、公式法因式分解的一般步骤是解题的关键．45．因式分解（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．（2）16x2﹣64．（3）﹣4a2+24a﹣36．（4）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．【分析】（1）利用提公因式法因式分解；（2）先提公因式，再利用平方根公式因式分解；（3）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解；（4）先提公因式，再利用平方根公式因式分解．【解答】解：（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）；（2）16x2﹣64＝16（x2﹣4）＝16（x+2）（x﹣2）；（3）﹣4a2+24a﹣36＝﹣4（a2﹣6a+9）＝﹣4（a﹣3）2；（4）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）＝（a﹣b）[（3a+b）2﹣（a+3b）2]＝8（a﹣b）2（a+b）．【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式因式分解的一般步骤是解题的关键．46．请观察以下解题过程：分解因式：x4﹣6x2+1解：x4﹣6x2+1＝x4﹣2x2﹣4x2+1＝（x4﹣2x2+1）﹣4x2＝（x2﹣1）2﹣（2x）2＝（x2﹣1+2x）（x2﹣1﹣2x）以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：a4﹣7a2+9．【分析】首先将原多项式利用拆项的方法分解为a4﹣6x2﹣a2+9，然后进一步组合为（a4﹣6a2+9）﹣a2后直接利用平方差公式分解为（a2﹣3+a）（a2﹣3﹣a）即可．。

9-5多项式的因式分解(第3课时)(课件)-七年级数学下册同步精品课件(苏科版)

例题讲解
例2.把下列各式分解因式.
(3)6xy-x2-9y2
变号
解：原式＝-(x2-6xy+9y2) ＝-[x2-2∙x∙3y+(3y)2] ＝-(x-3y)2
----先提负号 ----再写成完全平方式的形式 ----最后分解
新知巩固
练一练：
3.把下列各式分解因式:
(2) －a2－10a－25
第九章 · 整式乘法与因式分解
9.5 多项式的因式分解
第3课时用完全平方公式分解因式
学习目标
1．进一步理解完全平方公式的形式和特征，会运用完全平方公式分解因式；
2．通过对比乘法公式和公式法因式分解的联系，进一步发展逆向思维．
知识回顾我们已经学过哪些分解因式的方法？
提公因式法： ab+ac+ad = a (b+c+d) 平方差公式法：a2－b2 = (a+b)(a－b)
(1)a2－18a+81
(2)4a2+9b2+12ab
加法交换律
解：原式＝a2－2·a·9＋92 ＝(a－9)2
原式＝4a2+12ab+9b2 ＝(2a)2+2·2a·3b＋(3b)2 ＝(2a+3b)2
例题讲解
例2.把下列各式分解因式. (1)25a4+10a2＋1
整体思想
解：原式＝(5a2)2+2·5a2·1＋12 ----先写成完全平方式的形式
a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
(x)2
(5)2
+2(x)(5) (x+5)2

新苏科版七年级数学下册《9章整式乘法与因式分解 9.3 多项式乘多项式》公开课教案_25

9.3多项式乘多项式1．通过同一图形面积的不同算法的比较，理解多项式乘法法则的几何背景．2．在理解多项式与多项式乘法法则的基础上，通过典例分析，学会根据这一法则进行计算．3．在掌握多项式乘法法则的基础上，通过实例理解“不含”问题的本质，学会解决这一类问题．例1 如图9－3－1，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a＋b、宽为a＋2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张．图9－3－1目标二根据多项式乘法法则计算例2 教材例1变式计算下列各题：(1)(－3x－2y)(4x＋2y)；(2)(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)；(3)(3x－2)(x＋3)(2x－1)．[全品导学号：98584067]【归纳总结】多项式乘多项式的“三点注意”：(1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数等于原多项式的项数的积；(3)相乘后，若有同类项应合并．目标三单项式与多项式中的“不含”问题例3 [教材补充例题]若(x2＋ax＋b)(x2－5x＋7)的展开式中不含有x3与x2的项，求a，b 的值．[全品导学号：98584068]知识点多项式乘多项式法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子可表示为＝ac＋ad＋bc＋bd.[注意] (1)要用一个多项式中的每一项分别乘另一个多项式的每一项，勿遗漏；(2)注意多项式乘法运算过程中的符号问题．多项式中的每一项都包括它前面的符号，应带着符号相乘；(3)若展开后的多项式中有同类项，则要合并同类项，使结果最简，并且最终结果一般都按照某个字母的降幂(或升幂)排列．计算：(2a－b)(a＋3b)．解：(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋6ab－ab＋3b2＝2a2＋5ab＋3b2.上面的计算正确吗？如果不正确，请说明理由，并给出正确的解题过程．课堂反馈(十八)9.3多项式乘多项式(建议用时：10分钟)1.若(x＋3)(x＋4)＝x2＋px＋q，则p，q的值是()A．p＝1，q＝－12 B．p＝－1，q＝12C．p＝7，q＝12 D．p＝7，q＝－122．计算(2x－1)(5x＋2)的结果是()A．10x2－2 B．10x2－5x－2C．10x2＋4x－2 D．10x2－x－23．计算：(2x＋1)(x－3)＝________．4．有若干张如图18－1所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为2a＋b，宽为a ＋b的长方形，那么需要A类卡片________张，B类卡片________张，C类卡片________张．图18－15．计算：(1)(2x－7y)(3x＋4y－1)；(2)(x－y)(x2＋xy＋y2)．课时作业(十八)[9.3多项式乘多项式]一、选择题1．2017·武汉计算(x＋1)(x＋2)的结果为()A．x2＋2 B．x2＋3x＋2C．x2＋3x＋3 D．x2＋2x＋22．下列算式的计算结果等于x2－5x－6的是()A．(x－6)(x＋1) B．(x＋6)(x－1)C．(x－2)(x＋3) D．(x＋2)(x－3)3．已知a＋b＝m，ab＝－4，化简(a－2)(b－2)的结果是()A．6 B．2m－8 C．2m D．－2m4．若(x＋t)(x－6)的积中不含有x的一次项，则t的值为()A．0 B．6C．－6 D．－6或0二、填空题5．计算：(3x－1)(2x＋1)＝________．6．在(x＋1)(2x2＋ax＋1)的运算结果中，x2的系数是－1，那么a的值是________．7．已知(x－1)(x＋2)＝ax2＋bx＋c，则代数式4a－2b＋c的值为________．三、解答题8．计算：(1)(a－1)(a2＋a＋1)；(2)(2x＋5)(2x－5)－(x＋1)(x－4)；(3)(3x－2)(2x＋3)(x－2)．9．[教材习题9.3第3题变式]先化简，再求值：6x2－(2x－1)(3x－2)＋(x＋2)(x－2)，其中x＝2.10．[教材习题9.3第4题变式]一块长方形草坪的长是2x m，宽比长少4 m．如果将这块草坪的长和宽都增加3 m，那么面积会增加多少？求出当x＝3时，面积增加的值．数形结合我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如：(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2就可以用图K－18－1①②等图形的面积表示．(1)请你写出图③所表示的一个等式：________；(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a＋3b)(a＋b)＝a2＋4ab＋3b2；(3)请仿照上述方法另写一个只含有a，b的等式，并画出与之对应的图形．图K－18－1详解详析【目标突破】例1解：∵(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋4ab＋ab＋2b2＝2a2＋5ab＋2b2，∴需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张．例2解：(1)原式＝－3x·4x－3x·2y－2y·4x－2y·2y＝－12x2－6xy－8xy－4y2＝－12x2－14xy－4y2.(2)原式＝－4x2－6xy＋10x＋6xy＋9y2－15y＋2x＋3y－5＝－4x2＋(－6xy＋6xy)＋(10x＋2x)＋9y2＋(3y－15y)－5＝－4x2＋12x＋9y2－12y－5.(3)原式＝(3x2＋9x－2x－6)(2x－1)＝(3x2＋7x－6)(2x－1)＝6x3＋14x2－12x－3x2－7x＋6＝6x3＋11x2－19x＋6.例3[解析] 缺某项指展开式中合并同类项后该项的系数为0，列出一个方程即可求得字母的值．解：在(x2＋ax＋b)(x2－5x＋7)的展开式中，x2项有7x2，－5ax2，bx2，x3项有－5x3，ax3.因为不含x2与x3的项，故有－5＋a＝0，7－5a＋b＝0，解得a＝5，b＝18.备选目标有关多项式乘多项式的规律探索型问题例分别计算出下列各题的结果：①(x＋2)(x＋3)＝________；②(x－2)(x－3)＝________；③(x－2)(x＋3)＝________；④(x＋2)(x－3)＝________．(1)仔细分析比较所得的结果，你能发现什么规律？并把你的发现用文字叙述出来．文字叙述：________________________________________________________________________；规律：(x＋a)(x＋b)＝________．(2)运用你发现的规律计算下列各题：①(x＋2y)(x－4y)；②(a－2)(a＋2)(a2＋4)．[解析] 利用多项式乘多项式的法则进行计算，总结归纳出规律．解：①x2＋5x＋6②x2－5x＋6③x2＋x－6④x2－x－6(1)文字叙述：两个一次项系数为1的一次二项式相乘时，其积是一个二次三项式，其中二次项系数为1，一次项系数是两个常数的和，常数项是两个常数的积；规律：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab.(2)①(x＋2y)(x－4y)＝x2－2xy－8y2.②(a－2)(a＋2)(a2＋4)＝a4－16.[归纳总结] 利用多项式乘多项式的法则进行计算，利用从特殊到一般的思路，总结归纳出规律，再加以应用．【总结反思】[反思] 不正确．在确定积中的每一项时，符号出错，－b乘3b时，积应该是－3b2，而不是3b2.正确解答：(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋6ab－ab－3b2＝2a2＋5ab－3b2.课堂反馈(十八)1．C 2.D 3.2x2－5x－34．213[解析] 长为2a＋b，宽为a＋b的长方形的面积为(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab ＋b2，A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，则可知需要A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张．5．解：(1)原式＝6x2＋8xy－2x－21xy－28y2＋7y＝6x2－2x－13xy－28y2＋7y.(2)原式＝x3＋x2y＋xy2－x2y－xy2－y3＝x3－y3.【课时作业】[课堂达标]1．[解析] B原式＝x2＋2x＋x＋2＝x2＋3x＋2，故选B.2．[解析] A A．(x－6)(x＋1)＝x2－5x－6；B.(x＋6)(x－1)＝x2＋5x－6；C.(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6；D.(x＋2)(x－3)＝x2－x－6.故选A.3．[解析] D∵a＋b＝m，ab＝－4，∴(a－2)(b－2)＝ab＋4－2(a＋b)＝－4＋4－2m＝－2m .故选D.4．[全品导学号：98584264][解析] B∵(x＋t)(x－6)＝x2＋(t－6)x－6t，又∵不含有x的一次项，∴t－6＝0，∴t＝6.故选B.5．6x2＋x－16．[答案] －3[解析] (x＋1)(2x2＋ax＋1)＝2x3＋ax2＋x＋2x2＋ax＋1＝2x3＋(a＋2)x2＋(1＋a)x＋1，∵运算结果中x2的系数是－1，∴a＋2＝－1，解得a＝－3.7．[全品导学号：98584265][答案] 0[解析] (x－1)(x＋2)＝x2－x＋2x－2＝x2＋x－2＝ax2＋bx＋c，则a＝1，b＝1，c＝－2，故原式＝4－2－2＝0.8．解：(1)原式＝a·a2＋a·a＋a×1－a2－a－1＝a3－1.(2)原式＝4x2－25－x2＋3x＋4＝3x2＋3x－21.(3)原式＝(6x2＋9x－4x－6)(x－2)＝(6x2＋5x－6)(x－2)＝6x3＋5x2－6x－12x2－10x＋12＝6x3－7x2－16x＋12.9．解：原式＝6x2－(6x2－4x－3x＋2)＋(x2－2x＋2x－4)＝6x2－6x2＋4x＋3x－2＋x2－2x ＋2x－4＝x2＋7x－6.当x＝2时，原式＝22＋7×2－6＝12.10．[全品导学号：98584266][解析] 该题取材于现实生活，体现了数学来源于生活，又服务于生活的特点，只要根据题意列出式子并化简即可．解：面积会增加(2x＋3)(2x－4＋3)－2x(2x－4)＝(2x＋3)(2x－1)－(4x2－8x)＝4x2－2x＋6x－3－4x2＋8x＝(12x－3)m2.当x＝3时，面积增加12×3－3＝33(m2)．[素养提升][全品导学号：98584267]解：(1)(a＋2b)(2a＋b)＝2a2＋5ab＋2b2(2)画法不唯一，如图所示：(3)答案不唯一，例如：(a＋b)(a＋2b)＝a2＋3ab＋2b2可以用下图表示：。

整式的乘法与因式分解教案

课题：9.1 单项式乘单项式日期_______________教学目标:1.知道“乘法交换律，乘法结合律，同底数幂的运算性质“是进行单项式乘法的依据。

2.会进行单项式乘法的运算。

3. 经历探索单项式乘单项式运算法则的过程，发展有条理思考及语言表达能力。

教学重点：单项式乘法性质的运用教学难点：单项式乘法性质的运用教学过程：可以把两个算式间划等号连接你是怎样看待这个等式的？能用数学知识解释它的正确性吗？教学目标:1、知道利用乘法分配律可以将单项式乘多项式转化成单项式乘单项式；2、会进行单项式乘多项式的运算；3、经历探索单项式乘多项式法则的过程，发展有条理的思考及语言表达能力。

教学重点：单项式乘以多项式法则。

教学难点：灵活运用单项式乘以多项式法则。

教学过程：）这两种方法求得的是同一个长方形的面积，可以把两个算式间划等号连）你是怎样看待这个等式的？能用数学知识解释它的正确性吗？课题：9.3 单项式乘多项式日期_______________教学目标:1．理解和掌握单项式与多项式乘法法则及其推导过程。

2．熟练运用法则进行单项式与多项式的乘法计算。

教学重点：单项式与多项式乘法法则。

教学难点：利用单项式与多项式相乘的法则推导本节法则。

教学过程：课题：9.4乘法公式（1）（完全平方公式）日期__________教学目标:(1) 探索并推导完全平方公式、并能运用公式进行简单的应用。

(2) 引导学生感受转化的数学思想以及知识间的内在联系。

教学重点：完全平方公式。

教学难点：正确的应用完全平方公式、进行计算。

教学过程：课题：9.4乘法公式（2）（平方差公式）日期_______________教学目标:1．会推导平方差公式，并能应用公式进行简单的计算。

2. 经历探索平方差公式的过程，发展学生的符号感和推理能力。

教学重点：认识并应用平方差公式进行简单的计算。

教学难点：平方差公式的推导，平方差公式的应用。

教学过程：课题：9.4 乘法公式(3)（完全平方与平方差公式）日期_______________教学目标:1. 使学生进一步熟练掌握乘法公式，能灵活运用进行混合运算和化简、求值。

9.5多项式的因式分解(第1课时)(课件)-2022-2023学年七年级数学下册同步精品课件(苏科版

当n为奇数时，(y-x)n= -(x-y)n
课堂小结
1.什么叫公因式？如何找公因式？
2.什么叫因式分解？因式分解与整式乘法
有什么区别和联系？
3.如何用提公因式法进行因式分解？
4.分解因式要进行到每个因式都不能再
分解为止．
课堂检测
1.从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．(2a－1)(4a＋3)＝8a2＋2a－3
整式乘法

(3) − = ( − ) 不是

(4) ab+ac+d=a(b+c)+d 不是
互
逆
多项式=整式×整式
整式×整式=多项式
等式的左边必须是多项式，
右边每个因式必须是整式
等式右边必须是乘积的形式
例题讲解
例1.把5x3－10x2分解因式
解:原式=5x2·x－5x2·2
5x2
=5x2(x－2)
例题讲解
例3：如何把多项式3a(x＋y)－2b(x＋y)分解因式?
解:原式=(x＋y)·3a－(x＋y)·2b
(x＋y)
=(x＋y)(3a－2b)
整体思想
新知巩固
变式：把下列各式分解因式
（1） 3a(x−y)−2b(y−x)
（2） 3a(x−y)2−2b(y−x)3
当n为偶数时，(y-x)n=(x-y)n
解：
6a3b-9a2b2c+3a2b
=3a2b.2a-3a2b.3bc+3a2b.1
=3a2b(2a-3bc+1)
（4）-8a2b2+4a2b-2ab
解： -8a2b2+4a2b-2ab
=-(8a2b2-4a2b+2ab)

多项式的因式分解-第3课时(课件)七年级数学下册(苏科版)

【分析】 A、15a2+5a=5a(3a+1)，正确； B、-x2-y2=-(x2+y2)，故本选项错误； C、ax+x+ay+y=(ax+x)+(ay+y)=x(a+1)+y(a+1)=(a+1)(x+y)，正确； D、a2-bc-ab+ac=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)，正确．
（2）(x-y)2-1=________(x_-_y_+_1_)_(_x_-_y_-1__) ___________.
01 知问识题精引讲入
Q2：下列四项式能否因式分解
（1）ax+bx+ay+by；
（2）x2-2xy+y2-1.
提公因式？运用公式？
× 【结论】不能因式分解？
没有公因式！ (灬ꈍ ꈍ灬)
或者第一步：分组提公因式（选择x、y作为公因式）原式=(ax-bx)+(ay-by) =x(a-b)+y(a-b) 第二步：提公因式(a-b) =(a-b)(x+y)
02 知识精讲
【1】因式分解——二二分组：（2）ac2+bd2-ad2-bc2
【解答】
第一步：分组提公因式
第三步：运用平方差公式
平方差公式——两项完全平方公式——三项 but now——四项
01 知问识题精引讲入
Q3：完成下列表格因式分解 (a+b)(x+y)
(x-y+1)(x-y-1)
原式 x(a+b)+y(a+b)
(x-y)2-1