重庆市第八中学2020-2021学年高三下学期第2次月考数学(理)试题

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2020年9月重庆市第八中学2021届高三毕业班高考适应性月考卷(一)物理试题及答案解析

绝密★启用前重庆市第八中学2021届高三毕业班高考适应性月考卷(一)物理试题2020年9月一、选择题：本题共10小题，共计34分，第1~6题只有一项符合题目要求，每题3分；第7~10题有多项符合题目要求，每题4分，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

1．下列与能量有关的说法正确的是（）A．卫星绕地球做匀速圆周运动的半径越大，动能越大B．做匀加速运动的物体，其机械能在不断增加C．做自由落体运动的物体在下落过程中重力势能越来越小D．做平抛运动的物体在任意相等时间内动能的增量相同2．小云同学为了取出如图所示羽毛球筒中的羽毛球，一手拿着球筒的中部，另一手用一个较大的力F击打羽毛球筒的上端，则（）A．该同学无法取出羽毛球B．该同学是在利用羽毛球的惯性C．该同学击打筒的上端是为了改变羽毛球筒的惯性D．羽毛球筒向下运动的过程中，羽毛球受到向上的摩擦力才会从上端出来3．伐木工人将一长方体形的木块锯开为A、B两部分后，再重叠在一起，静止放置在水平地面上，如图所示。

则（）A.A受到两个力作用B.B受到五个力作用C.地面对B的摩擦力方向向左D. A对B的作用力方向竖直向下4．2019年“山东舰”正式服役，标志着我国进入双航母时代，如图所示，“山东舰”正在沿直线航行，其质量为m ，发动机的输出功率恒为P ，所受阻力大小恒为f ，某时刻速度为1v 、加速度为1a ，一段时间t 后速度变为2v （21v v >），在这段时间内位移为x 。

下列关系式正确的是（） A ．11P f a mv m =- B ．221v v t x +< C ．1P f v > D ．22211122Pt mv mv =- 5．荷兰科学家惠更斯在研究物体碰撞问题时做出了突出的贡献。

他研究的刚性球对心碰撞实验可简化为：球1、球2的质量分别为m 1、m 2，半径相同，并排悬挂在长度相等两根平行绳子上，彼此相互接触。

2020届重庆巴蜀中学高三适应性月考卷(二)数学(理)试题(解析版)

2020届重庆巴蜀中学高三适应性月考卷（二）数学（理）试题一、单选题1．已知α是第二象限角，且sin 45α=，则cos α＝（） A ．45B ．45-C ．35D ．35-【答案】D【解析】通过同角三角函数的平方关系，结合α是第二象限角，cos α为负值，直接代入解得答案. 【详解】∵α是第二象限角，且sin 45α=，可得3cos 5α==-, 故选：D . 【点睛】本题考查同角三角函数关系，注意象限角的符号即可，属于基础题.2．集合A ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣7）≤0}，集合B ＝{x |x ＝2k +1，k ∈N }，则A ∩B ＝（） A ．{1，7} B ．{3，5，7}C ．{1，3，5，7}D ．{1，2，3，4，5，6，7}【答案】C【解析】先求出集合A 与B ，求出两集合的交集即可．【详解】∵集合()(){}{}|=17017|Ax x x x x ≤≤≤＝﹣﹣，集合B ={x |x =2k +1,k ∈Z }， ∴A ∩B ={1，3，5，7}，故选：C . 【点睛】本题考查集合的运算，此类题目一般比较简单，只需将两集合解出，再进行交并补运算即可求解.3．向量a =r （1，2），b =r （2，λ），c =r （3，﹣1），且（a b +r r ）∥c r ，则实数λ＝（） A ．3 B ．﹣3C ．7D ．﹣7【答案】B【解析】向量a r ，b r ，计算可得a b +r r ，再由c r 和（a b +rr ）∥c r ，代入向量平行的性质公式计算，即可求解. 【详解】根据题意, 向量=a r（1，2），=b r（2，λ），则()=32+a b λ+，rr ，c =r （3，﹣1），且（a b +r r ）∥c r ,则有()()3132+0λ⨯--=，解可得=3λ-，故选：B . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和平行的性质，属于平面向量常考题型.4．已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），且P （x ≤1）＝0.1，则P （3＜X ≤5）＝（） A ．0.1 B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】D【解析】根据已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），得到正态分布曲线关于=3x 对称，又根据题目P （x ≤1）＝0.1，由对称性可得()50.1P x ≥＝，因此得到P （1≤X ≤5）的值，再乘12即为所求. 【详解】∵随机变量X 服从正态分布N （3，σ2）， ∴正态分布曲线关于=3x 对称，又P （x ≤1）＝0.1， ∴()50.1P x ≥＝， ∴()()510.1235==0.422P X P X ≤≤-⨯≤1＜＝，故选：D 【点睛】本题考查正态分布概率问题，此类问题通常根据正态分布曲线的对称性质推导求解，属于基础题.5．函数πsin(2)3y x =-的图象的一条对称轴方程为（）A ．π12x =B ．π12x =-C ．π6x =D ．π6x =-【答案】B【解析】试题分析：令232x k πππ-=+，即5212k x ππ=+()k Z ∈，当1k =-时，12x π=-，故选B.【考点】1、两角差的正弦函数；2、正弦函数的图象与性质.6．定义H （x ）表示不小于x 的最小整数，例如：H （1.5）＝2，对x ，y ∈R ，则下列正确的是（） A ．H （﹣x ）＝﹣H （x ） B ．H （2﹣x ）＝H （x ）C ．H （x +y ）≥H （x ）+H （y ）D ．H （x ﹣y ）≥H （x ）﹣H （y ）【答案】D【解析】根据题意，可用特殊值法进行逐一排除，最后得到正确选项. 【详解】∵定义H （x ）表示不小于x 的最小整数，A 选项，令()()1.5, 1.5=11.5=2x H H =----，，显然错误， B 选项，令()()3,233x H H =-≠，显然错误，C 选项，令()()()1.5, 2.5,=4=5x y H x y H x H y ==++，，故错误，D 选项根据排除法，因此正确，故选：D . 【点睛】此类问题属于定义新概念题型，根据定义去判断各个推论是否正确，此类问题最快速的办法是举特例进行排除，可快速锁定答案，属于中等题.7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b +c ＝acosB +acosC ，则A ＝（）A ．2π B ．3π C ．6π D ．23π 【答案】A【解析】由题意代入余弦定理，可得到三边a ，b ，c 的等式，化简可得222a b c =+，从而得到△ABC 为直角三角形，A 为直角. 【详解】由b +c ＝acosB +acosC ，根据余弦定理可得，22222222a c b a b c b c a a ac ab +-+-++＝，22222222a c b a b c b c c b+-+-++＝， ()()()2332a b c bc b c b c b c bc+++-++＝()()()()222=2a b c bc b c b c b bc c bc+++-+-+，进一步化简可得222a b c =+ ∴△ABC 为直角三角形，2A π＝.故选：A . 【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，通过余弦定理找到各边之间的关系，然后推导出角的大小，属于中等题.8．对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足（） A ．f （cosx ）＝sin 2x B ．f （sin 2x ）＝sinx C ．f （sinx ）＝sin 2x D ．f （sinx ）＝cos 2x【答案】D【解析】根据题意，对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A 选项，取x =4π,则cos x =2,sin2x =1,∴f (2)=1；取x =4π-,则cos x ,sin2x =-1,∴f )=-1；∴f (2)=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意；对于B 选项，取x =0,则sin2x =0,∴f (0)=0；取x =2π,则sin2x =0,∴f (0)=1； ∴f (0)=0和1，不符合函数的定义，故不满足题意；对于C 选项，取x =4π,则sin x =2,sin2x =1,∴f (2)=1；取x =34π,则sin x =2,sin2x =-1,∴f (2)=-1；∴f 和-1，不符合函数的定义，故不满足题意；对于D 选项， ∵22=12sin cos x x -,∴f （sinx ）＝cos 2x ＝212sin x -，即对任意x ∈R ，存在函数f （sinx ）＝cos 2x ，只有D 选项满足题意. 故选：D . 【点睛】本题考查三角函数二倍角公式和函数的解析式，需要对公式和概念的熟练掌握，属于简单题.9．在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且SA ＝2，AB ＝1，BC =则三棱锥S ﹣ABC 外接球的表面积为（） A ．4π B ．6πC ．8πD ．10π【答案】C【解析】由勾股定理可得AC ，求得△ABC 外接圆的半径，从而再利用勾股定理可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥S -ABC 的外接球的表面积．【详解】∵AB ⊥BC ，AB ＝1，BC =∴由勾股定理可得AC =2， ∴AC 是△ABC 外接圆的直径，∴△ABC 外接圆的半径为r =1， ∵SA ⊥平面ABC ，且SA ＝2，设球心到平面ABC 的距离为d ,则由勾股定理可得2222211(2)R d d =+=+-， ∴22=1R d =，，∴三棱锥S −ABC 的外接球的表面积为248R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查几何体外接球的表面积，此类问题常常先求底面的外接圆半径，再与球心到底面距离、球的半径运用勾股定理求解，属于中等难度题型.10．已知AB u u u r •AC =u u u r 0，|BC |＝4，P 是三角形ABC 平面内任意一点，且满足|PA u u u r|＝1，则PB u u u r •PC uuur 的最小值是（）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣1【答案】B【解析】利用已知0AB AC ⋅=u u u r u u u r，得到AB AC ⊥，|BC |＝4，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，再根据P 点满足|PA u u u r|＝1，设P 点坐标为()cos sin P θθ，，代入点坐标计算PB PC ⋅u u u r u u u r ，再根据辅助角公式和坐标之间的关系可得PB PC ⋅u u u r u u u r的取值范围，从而得解. 【详解】∵0AB AC ⋅=u u u r u u u r，∴AB AC ⊥，建立如图直角坐标系，设()()()0,00,,0A B y C x ，，，又|BC |＝4， ∴2224x y +=∵|PA u u u r|＝1，∴设()cos sin P θθ，， ()()cos sin cos sin B P y x P C θθθθ⋅=--⋅--，，u u u r u u u r22cos +cos sin +sin x y θθθθ=--()22+1x y θϕ=-+-()4cos +1θϕ=--,∵()1cos 1θϕ-≤-≤,35PB PC -≤⋅≤u u u r u u u r,故最小值为3-，故选：B . 【点睛】本题考查向量积的最值问题，通常建立直角坐标系，设未知数，得到各个向量的坐标，运用坐标运算计算出含有未知量的解析式，再进一步运用函数思想找出取值范围，属于中等题.11．已知f （x ）＝sin （ωx 6π+）（ω∈Z ）x ∈（0，3π]时f （x ）12=有唯一解，则满足条件的ω的个数是（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】对ω进行分类讨论，当0>ω，通过0,,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦可确定6x πω+的范围,636ππωπ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，由f （x ）12=，得到2,233πωππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，从而得到[)2,6ω∈，再根据ω∈Z ，可得ω的值；当0ω<时,同理可得ω的值.【详解】当0>ω时,0,,,,36636x x ππππωπω⎛⎤⎛⎤∈∴+∈+ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦Q 513,3666πωπππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭， ∵()12f x =有唯一解， 2,233πωππ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，[)2,6ω∈，又,2,3,45,Z ωω∈∴=，当0ω<时,0,,,,36366x x πππωππω⎛⎤⎡⎫∈∴+∈+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Q117,,3666πωπππ⎡⎫∴+∈--⎪⎢⎣⎭∴42,,(6,4]33πωππω⎛⎤∈--∈-- ⎥⎝⎦, 又,5,4Z ωω∈∴=--, 综上所述, 2,3,4,5,5,4ω=-- 故选：D . 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，函数零点与方程的根的关系，求三角函数的ω值时，利用函数图像数求出ω的范围，即可求得ω值，属于中等题.12．已知抛物线()2:20C x py p =>，直线1:l y kx t =+与抛物线C 交于,A B 两点（A点在B 点右侧），直线()2:l y kx m m t =+≠交抛物线C 于,M N 两点（M 点在N 点右侧），直线AM 与直线BN 交于点E ，交点E 的横坐标为2k ，则抛物线C 的方程为（） A ．2x y = B ．22x y =C ．23x y =D ．24x y =【答案】D【解析】联立直线1l 与抛物线C 得到2A B x x pk +=，同理2M N x x pk +=，记AB 的中点为P ，MN 的中点为Q ，根据直线PQ 过点E ，得到2E x pk k ==，得到答案. 【详解】联立直线1l 与抛物线C ：22x pyy kx t⎧=⎨=+⎩，消去y 得2220x pkx pt --=，2A B x x pk +=，同理2M N x x pk +=，记AB 的中点为P ，MN 的中点为Q ，所以P Q x x pk ==，又因为直线PQ 过点E （EP 为中线，所以EQ 也为中线，所以,,P Q E 三点共线），所以2E x pk k ==，所以2p =，从而抛物线C 的方程为24x y =. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线方程，确定直线PQ 过点E 是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题 13．设复数z 满足12zi=+2+i ，则|z |＝_____ 【答案】5【解析】复数方程的两边同乘1+2i ，然后利用多项式展开化简，即可确定z ，再进一步求得z ．【详解】复数z 满足212zi i=++，所以()()212=2245z i i i i i =++-++=，故5z = 故答案为：5. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的模的计算，属于基础题. 14．函数()()212log 224f x x x =--的单调递增区间是________.【答案】(),4-∞-【解析】计算定义域为()(),46,x ∈-∞-+∞U ，再根据复合函数单调性得到答案. 【详解】()()212log 224f x x x =--，函数定义域为满足22240x x -->，即()(),46,x ∈-∞-+∞U ，函数12log y u =单调递减，故只需求2224y x x =--的单调递减区间，即1x ≤.综上所述：(),4x ∈-∞-. 故答案为：(),4-∞-. 【点睛】本题考查了复合函数单调性，忽略掉定义域是容易发生的错误. 15．sin 20°+2sin 20°cos 40°＝_____.【答案】2. 【解析】利用20301040301==0+︒︒︒︒︒︒-，进行角的转化，再利用和差公式化简即可求解. 【详解】sin 202sin 20cos 40︒︒︒+()()()=sin 30102sin 3010cos 3010︒︒︒︒︒︒--++()()=sin 301012cos 3010︒︒︒︒⎡⎤-++⎣⎦()()sin 12sin30cos10cos3010cos30cos102sin30sin10︒︒︒︒︒︒︒︒-+=-()1cos10101sin10n 2︒︒︒︒⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭-1cos1010cos102︒︒︒︒=1310sin10cos10sin1010cos10222sin ︒︒︒︒︒︒+--sin 200in 20s ︒︒︒-==【点睛】本题为计算题，主要考察正余弦和差公式的灵活应用，此类问题中非特殊角三角函数化简求值，如20°、40°等角度，一般找出与特殊角的和差关系，再利用和差公式化简即可，属于中等题. 16．已知函数f （x ）＝lnx 1x++a ，f ′（x ）是f （x ）的导函数，若关于x 的方程f ′（x ）1f x x -=+（）0有两个不等的根，则实数a 的取值范围是_____ 【答案】（﹣∞，14-ln 2）【解析】根据题意可得f ′（x ），代入关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0，方程有2个交点转化为y ＝121x --lnx 1x-与y ＝a 有两个不同的交点，则令g （x ）＝121x --lnx 1x-，求导研究g （x ）的图象从而可得a 的取值范围. 【详解】根据题意可得，f ′（x ）22111x x x x-=-=，x ＞0∵关于x 的方程关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0有两个不相等的实数根，∴221x x -=lnx 1x ++a 有两个不相等的实数根， ∴y ＝121x --lnx 1x-与y ＝a 有两个不同的交点；令g （x ）＝121x --lnx 1x-，∴g ′（x ）()()23233212112x x x xx x x x x -+-+=-+==-，令g ′（x ）＝0，x ＝2或﹣1（舍负）；令g ′（x ）＞0，0＜x ＜2；令g ′（x ）＜0，x ＞2； ∴g （x ）的最大值为g （2）＝114--ln 21124-=-ln 2； ∴a 14-＜ln 2；∴a 的取值范围为（﹣∞，14-ln 2）. 故答案为：（﹣∞，14-ln 2）. 【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了转化能力、运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想方法，属于较难题．三、解答题17．已知函数f （x ）＝sinxcosx 2+cos 2x +1 （1）求f （x ）的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x 的集合；（2）将f （x ）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g （x ）是偶函数，求φ的最小值.【答案】（1）最小正周期为T =π，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝k π12π+，k ∈Z }.（2）12π【解析】（1）由三角函数公式化简可得f （x ）＝sin （2x 3π+）+1，由此可得最小正周期及最大值，由当且仅当2x 3π+=2k π2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值，解出x 的集合；（2）通过平移变换可得g （x ）=sin （2x +2φ3π+）+1，若函数g （x ）是偶函数，运用三角函数的诱导公式，令23πϕ+=2k ππ+，k ∈Z 即可，从而得到φ的最小值．【详解】（1）f （x ）＝sinxcosx 32+cos 2x +112=sin 2x 32+cos 2x +1＝sin （2x 3π+）+1，所以函数f （x ）的最小正周期为T 22π==π，当且仅当2x 3π+=2k π2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝k π12+π，k ∈Z }.（2）g （x ）＝f （x +φ）＝sin （2x +2φ3π+）+1，因为g （x ）是偶函数，所以2φ3π+=k π2π+，k ∈Z ，即φ12=k π12+π，k ∈Z ，所以φ的最小值为12π.【点睛】本题主要考查了利用公式化简三角函数，求三角函数的周期、最值、极值点和三角函数的图像和性质等，需要特别注意集合的书写规范，属于基础题.18．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，E 是线段SD 上一点.（1）若E 是SD 的中点，求证：SB ∥平面ACE ；（2）若SA ＝AB ＝AD ＝2，SC ＝2，且DE 23=DS ，求二面角S ﹣AC ﹣E 的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1919【解析】（1）由题意连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ，可证OE ∥SB ，SB ∥平面ACE 得证；（2）建立空间直角坐标系，求得平面SAC 与平面ACE 的法向量，代入公式求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ， ∵底面ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点， ∵E 是SD 的中点，∴OE ∥SB ， ∵SB ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， ∴SB ∥平面ACE .（2）∵SA ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴SA ⊥AC ，在Rt △SAC 中，SA ＝2，SC ＝， ∴AC ＝2， ∵AB ＝AD ＝2，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形， ∴BD ＝以O 为原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴，过O 作AS 的平行线为z 轴，建立空间直角坐标系，O （0，0，0），D0，0），A （0，1，0），S （0，1，2），DS =u u u r（1，2），23DE DS ==u u u r u u u r（3-，2433，）， OE OD DE =+=u u u r u u u r u u u r 2433，，）， ∵BD ⊥平面SAC ，取平面SAC 的一个法向量n OD ==u u u rr0，），设平面ACE 的法向量m =r（x ，y ，z ），则0240333m OA y m OE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u uv r u u u v r ，取x ＝4，得m =r （4，0，），设二面角S ﹣AC ﹣E 的平面角为θ，则cosθm n m n ⋅===⋅r r r r∴二面角S﹣AC﹣E的余弦值为419.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，意在考查学生的分析转化能力和计算求解能力，属于基础题.19．甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是13，13，13，乙命中10环，9环，8环的概率分别是18，14，58，任意两次射击相互独立.（1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；（2）现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率【答案】（1）13（2）427【解析】（1）甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，分别求三种情况概率再求和；（2）求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率，先确定甲胜利，平局，失败的概率，恰好进行3轮射击后比赛结束情形包括两种：①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，算出其概率P118；②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P25=216，两情形概率之和即为所求.【详解】（1）记X 表示甲运动员两次射击命中环数之和，则X ＝18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，∴甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率为：P 121111133333C =⨯⨯+⨯=.（2）记A i 表示甲在第i 轮胜利，B i 表示甲在第i 轮平局，∁i 表示甲在第i 轮失败， ∴P （A i ）151151384382⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭，P （B i ）13=，P （∁i ）16=，①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，其概率P 1111112228⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P 21155666216=⨯⨯=， ∴经过3轮比赛结束的概率P 12154821627P P =+=+=. 【点睛】本题考查了概率的计算，第一种为已知取值，求取此值的概率，常常利用排列组合、枚举法、概率公式等方法计算，第二种需要分析判断得到结果所有的可能情况，再根据每种状况求出概率，属于中档题.20．已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e =（1）若点P （1）在椭圆E 上，求椭圆E 的标准方程；（2）若D （2，0）在椭圆内部，过点D E 于M .N 两点，|MD |＝2|ND |，求椭圆E 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）221123x y +=【解析】（1）因为2c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P（1b 2＝1，所以a 2＝4，可得椭圆方程；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立求解韦达定理，结合条件|MD |＝2|ND |，可得y 1＝﹣2y 2，所以解得1y =2y =b 2＝3，a 2＝12，求得椭圆E 的方程. 【详解】（1）因为c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P （1，2）代入方程，得b 2＝1，所以a 2＝4，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），不妨设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立2222214x x y b b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得，16y 2+12﹣12b 2＝0，所以y 1+y2=，y 1y 22334b -=①.因为|MD |＝2|ND |，即y 1＝﹣2y 2，所以1y =22y = 代入①，得b 2＝3，a 2＝12，所以椭圆E 的方程为221123x y +=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，一种为根据离心率及椭圆上的点建立方程组求解，考查计算能力；另一种为已知弦长之间的关系求解，利用弦长关系转化得到纵坐标的关系，结合韦达定理即可求解，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21．已知函数f （x ）＝()21211x xx e -+-（1）求f （x ）＞0的解集；（2）若x ∈R 时，2221mxxx e e +≥+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）（0，+∞）（2）[12，+∞）【解析】（1）通过对f （x ）求导，可得x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，x ∈（0，+∞）时f （x ）＞0，不等式得解；（2）若x ∈R 时，2221mxxxe e+≥+恒成立，不等式转化为2e 2mx ≥e x1xe +（x ∈R ），因为都是偶函数，所以只需x ∈[0，+∞）时，2e 2mx x+-e 2x﹣1≥0成立即可，构造新的函数F （x ）＝2e 2mx x+-e 2x﹣1，求导后再对导函数进行分类讨论，可得实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为f （x ）＝()21211x xx e -+-，则f ′（x ）＝2122x x x e-；所以x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，所以x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＜0，x ∈（0，+∞）时f （x ）＞0，∴f （x ）＞0的解集为（0，+∞）. （2）因为x ∈R 时，2e 2mxx+≥e 2x+1恒成立，等价于221mx x xxe e e+-≥恒成立，即2e 2mx ≥e x 1x e+（x ∈R ），因为都是偶函数，所以只需x ∈[0，+∞）时，2e 2mx x+-e 2x﹣1≥0成立即可，令F （x ）＝2e 2mxx+-e 2x﹣1，F （0）＝0，F ′（x ）＝2（2mx +1）e 2mxx+-2e 2x ＝2e 2x[（2mx +1）e 2mx x --1]，F ′（0）＝0，令G （x ）＝（2mx +1）e 2mxx--1，G （0）＝0，G′（x）＝2me2mx x-+（2mx+1）（2mx﹣1）e2mx x-=（4m2x2+2m﹣1）e2mx x-①当2m﹣1≥0，即m12≥时，G′（x）≥0，所以G（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为G（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，G（x）≥0，即F′（x）≥0，所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为F（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，F（x）≥0，所以m12≥时满足要求；②当m＝0，x＝1时，2e＜e2+1，不成立，所以m≠0；③当2m﹣1＜0且m≠0时，即m12＜且m≠0时，x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为G（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，G（x）＜0，即F′（x）＜0，所以F（x）在122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为F（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，F（x）＜0，所以m12＜且m≠0时不满足要求.综上所述，实数m的取值范围是[12，+∞）.【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立求参数问题，将不等式恒成立转化为构造差函数，求函数的最值是解决本题的关键，也是本题的难点，需要对导函数进一步求导和分类讨论，综合性较强，运算量较大，难度较大．22．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的参数方程为1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）.（1）求曲线C1的直角坐标方程和直线C2的普通方程；（2）若P（1，0），直线C2与曲线C1相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值.【答案】（1）曲线C1：x2+y2﹣4x＝0；直线C2：xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0（2）3 【解析】（1）求曲线C1的直角坐标方程需利用直角坐标与极坐标关系互化关系式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，将ρ＝4cosθ，等式两边乘ρ得ρ2＝4ρcosθ代入即可，直线C2的参数方程消去参数t即为普通方程；（2）因为P （1，0）在直线C 2上，将直线C 2的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入曲线C 1：x 2+y 2﹣4x ＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，根据根与系数关系可得则t 1t 2＝﹣3，故可求|PA |•|PB |＝|t 1t 2|＝3. 【详解】（1）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2+y 2＝ρ2，可得ρ2＝4ρcos θ，即为x 2+y 2﹣4x ＝0，直线C 2的参数方程为1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），可得xsin α﹣ycos α﹣sin α＝0；（2）因为P （1，0）在直线C 2上，将直线C 2的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入x 2+y 2﹣4x ＝0，可得（1+tcos α）2+（tsin α）2﹣4（1+tcos α）＝0，化为t 2﹣2tcos α﹣3＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝﹣3，可得|PA |•|PB |＝|t 1t 2|＝3. 【点睛】本题考查极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化、求弦长关系问题，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化，可利用转化关系直接求解，求弦长关系问题通常借助联立二次方程，转化为根与系数关系问题求解.23．已知函数f （x ）＝|x +1|+2|x ﹣m | （1）当m ＝2时，求f （x ）≤9的解集；（2）若f （x ）≤2的解集不是空集，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）[﹣2，4]（2）[﹣3，1]【解析】（1）当m ＝2时，函数f （x ）＝|x +1|+2|x ﹣2|≤9,对x 分类讨论，分别在三个区间1122x x x --≤≤＜，，＞，去掉绝对值求解不等式即可求得解集；（2）若f （x ）≤2的解集不是空集，转化为f （x ）min ≤2成立，又根据|x +1|+|x ﹣m |≥|m +1|恒成立，f （x ）min ＝|m +1|≤2，解得﹣3≤m ≤1.【详解】（1）当m＝2时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|332512331x xx xx x-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-+-⎩，＞，，＜.∵f（x）≤9，∴3392xx-≤⎧⎨⎩＞或5912xx-+≤⎧⎨-≤≤⎩或3391xx-+≤⎧⎨-⎩＜，∴2＜x≤4或﹣1≤x≤2或﹣2≤x＜﹣1，∴﹣2≤x≤4，∴不等式的解集为[﹣2，4]；（2）∵f（x）≤2的解集不是空集，∴f（x）min≤2.∵|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|，|x﹣m|≥0，∴f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|≥|m+1|，当且仅当x＝m时取等号，∴|m+1|≤2，∴﹣3≤m≤1，∴实数m的取值范围为[﹣3，1].【点睛】本题考查含有绝对值不等式的解法和求参数范围问题，解含有绝对值不等式一般进行分区间讨论去掉绝对值，然后求解不等式即可；不等式恒有解求参数问题一般进行等价转化成求函数最值问题，然后通过函数最值确定参数的取值范围，属于中等题.第 21 页共 21 页。

重庆市巴蜀2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题含解析

数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A.x ∃∈R ，2210x x ++≥B.x ∃∈R ，2210x x ++<C.x ∀∈R ，2210x x ++>D.x ∀∈R ，2210x x ++<【答案】B 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定即可解答.【详解】命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”为全称量词命题，它的否定是存在量词命题，即x ∃∈R ，2210x x ++<，故选：B.2.今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（）个同学．A.45B.48C.53D.43【答案】C 【解析】【分析】由题意设出集合,A B 得到集合,A B 以及A B ⋂中元素的个数，即可得出A B 中元素的个数．【详解】设集合A 表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，集合B 表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，A B ⋂表示两科均在90分以上的学生，则集合A B ⋂中有40个元素，A B 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知A B 中有个45484053+-=元素，又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，故选：C ．3.关于x 的不等式lg lg lg 10k x x k x ⋅+-<对一切x +∈R 恒成立，则k 的取值范围是（）A.(,4]-∞-B.(,4][0,)-∞-+∞C.(4,0)-D.(4,0]-【答案】D 【解析】【分析】当0k =时，可知不等式恒成立；当0k ≠时，由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】x 的不等式2lg lg lg 1lg lg 10k x x k x k x k x ⋅+-=+-<对一切x +∈R 恒成立，当0k =时，不等式对一切x +∈R 恒成立，当0k ≠时，x +∈R 时lg x ∈R ，则有2Δ40k k k <⎧⎨=+<⎩，解得40k -<<，所以k 的取值范围是(4,0]-.故选：D4.19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以()n n +∈N 开头的数出现的概率为1()lgn P n n+=，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若()193333log 8log 2(),19log 2log 5n k P n k k +=-=∈≤+∑N （说明符号()1,,jk i i j k i a a a a k i j ++==+++∈∑N ），则k 的值为（）A.3B.5C.7D.9【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用对数的运算法则可得19()lg 4n kP n ==∑，再由符号说明表达式即可求得5k =.【详解】易知19333333log 8log 2log ()lg 4log o 4102log 5l g n kP n =-===+∑，由1()lg n P n n +=可得191212()lg l 19g lg lg l 2020201119g n kk k k k k k k k k P n =++++⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯= ⎭++⎪⎝∑；所以lglg 420k=，解得5k =.故选：B5.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2cm ，则小轮每秒转过的弧长是（）cm．A.10πB.5πC.π3D.π6【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得.【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为325515⨯=，因此小轮每秒钟转的弧度数为52ππ606⨯=，所以小轮每秒转过的弧长是2cm cm ππ63⨯=.故选：C6.已知函数32()6f x x x =-，若()()g x f x a b =+-为奇函数，则（）A.2a =，16b =B.2a =-，16b =-C .2a =-，16b = D.2a =，16b =-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数定义可得()()0f x a b f x a b +-+-+-=恒成立，化简可求,a b .【详解】因为()()g x f x a b =+-为奇函数，32()6f x x x =-，所以()()0f x a b f x a b +-+-+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+-+-+--+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+------=，所以()23261221220a x a a b -+--=，所以6120a -=，3221220a a b --=，所以2a =，16b =-，故选：D.7.若函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++在区间(0,3)上不单调，则k 的取值范围是（）A.(4,3)--B.(5,2)-- C.(5,3)-- D.(4,2)--【答案】B 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数()f x '，利用()f x '在(0,3)上有变号零点列式求解即得.【详解】函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++，求导得2()32(1)5f x x k x k '=+-++，由函数()f x 在区间(0,3)上不单调，得()f x '在(0,3)上有变号零点，由()0f x '=，得2232(1)50(21)325x k x k k x x x +-++=⇔-+=-+，则24(21)3(2)4220k x x x -+=-⋅+，令21(1,7)x t +=∈，于是2243(1)4(1)2031027kt t t t t -=--⋅-+=-+，即有943(10k t t-=+-，令9()3()10,17g t t t t=+-<<，函数()g t 在(1,3]上单调递减，函数值从20减小到8，在[3,7)上单调递增，函数值从8增大到1047，由()f x '在(0,3)上有变号零点，得直线4y k =-与函数(),17y g t t =<<的图象有交点，且当有两个交点时，两个交点不重合，因此8420k <-<，解得52k -<<-，所以k 的取值范围是(5,2)--.故选：B8.已知函数()e e x x f x -=+，若关于x 的方程()2f x x k +=有4个不同的实数根，则k 的取值范围是（）A.11442,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.()222,e e -+ C.11222,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.11114422e e ,e e --⎛⎫++ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先得到()e e x x f x -=+的奇偶性和单调性，从而令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时推出只有两个根，不合要求，若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，故210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，有根的判别式得到11144t -<<且10t ≠，结合函数单调性和奇偶性得到11441()2,e e k f t -⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭.【详解】()e e x x f x -=+的定义域为R ，且()e e ()x x f x f x --=+=，故()e e x x f x -=+为偶函数，且当0x >时，0()e e x x f x -=->'恒成立，故()e e x x f x -=+在0,+∞上单调递增，由对称性可知()f x 在(),0∞-上单调递减，()min ()02f x f ==，令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时20x x +=，解得10x =或1-，仅有2个实数根，不合要求，舍去；若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，需要满足21x x t +=和21x x t +=-均有两个解，即210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，由11140,140t t ∆=+>∆=->，解得11144t -<<，又10t ≠，故11144t -<<且10t ≠，即1111441()e e 2,e e t t k f t --⎛⎫==+∈+ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若tan α=，则下列与角α的终边可能相同的角是（）A.4π3B.5π3C.ππ3k +，k ∈Z D.2π2π3k -，k ∈Z 【答案】ACD 【解析】【分析】通过正切函数值相等，分析判断对应角的终边是否相同.【详解】对于A ，4πtan 3=，因此A 正确；对于B ，5πtan3=B 不正确；对于C ，πtan π3k ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此C 正确；对于D ，2πtan 2π3k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因此D 正确。

重庆市直属校(重庆市第八中学等)2020届高三3月月考理科数学试题及参考答案

13
14
15
16
答案
5
2
505
16
2021
9
15．由题意 Sn n2 n Sn 2 0 ，因为 an 各项均为正数，所以 Sn 0 ，可得
Sn
n2
n
，所以 an
2n
．
1 an an 1
1
4nn 1
1 4
1 n
1 ， n 1
所以
T2020
1 4
1
1 2
魏、晋、南北朝时期．现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选 2 部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为
A． 3 5
B． 7 10
C． 4 5
6．如图，四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， ABCD 为平行四边形，
E, F 分别在线段 DB, DD1上，且
02 a 0 a a2 12 a 1 a a2 0 ，解得 1 a 0 ．综上所述，
a 1,01．
高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 1 页共 6 页
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号
三、解答题：（共 70 分） 17．（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，且满足 c b(cos A （Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）若 a 4 ，且 BC 边上的高为 3 ，求 ABC 的周长．
3 sin A).
理科数学试题第 2 页共 4 页
n
项和
S
n

2020年重庆巴蜀中学高三适应性月考卷1理科数学试题及答案

【详解】
∵AB⊥BC，AB＝1，
∴由勾股定理可得AC=2，
∴AC是△ABC外接圆的直径，
∴△ABC外接圆的半径为r=1，
∵SA⊥平面ABC，且SA＝2，
设球心到平面ABC的距离为d,
则由勾股定理可得，
∴ ，
∴三棱锥S−ABC的外接球的表面积为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查几何体外接球的表面积，此类问题常常先求底面的外接圆半径，再与球心到底面距离、球的半径运用勾股定理求解，属于中等难度题型.
取x= ,则cosx= ,sin2x=-1,∴f( )=-1；
∴f( )=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意；
对于B选项，取x=0,则sin2x=0,∴f(0)=0；
取x= ,则sin2x=0,∴f(0)=1；
∴f(0)=0和1，不符合函数的定义，故不满足题意；
对于C选项，取x= ,则sinx= ,sin2x=1,∴f( )=1；
【详解】
∵ ，
∴ ，
建立如图直角坐标系，
设，
又|BC|＝4，
∴
∵| |＝1，∴设，
,
∵ ,
,
故最小值为，
故选：B.
【点睛】
本题考查向量积的最值问题，通常建立直角坐标系，设未知数，得到各个向量的坐标，运用坐标运算计算出含有未知量的解析式，再进一步运用函数思想找出取值范围，属于中等题.
11．已知f（x）＝sin（ωx ）（ω∈Z）x∈（0， ]时f（x）有唯一解，则满足条件的ω的个数是（）
9．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，且SA＝2，AB＝1，BC ，则三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为（）
A．4πB．6πC．8πD．10π

2020-2021学年重庆市第八中学高一下学期期中考试地理试题

重庆八中2020—2021学年度（下）期中考试高一年级地理试题一、单项选择题（共40小题）人口迁移是一种普遍的人口地理现象，对协调人地关系具有明显的影响。

下图示意赞比亚两个时段国内人口迁移变化。

据此完成1～2题。

1．①所示人口迁移的驱动因素是A．自然灾害B．资源开发C．政策引导D．边境贸易2．②所示人口迁移对迁出地带来的影响可能是A．土地总面积减小B．农产品产量减小C．人口老龄化减轻D．人口环境容量减小随着时代发展，我国某区域耕地种植结构发生变化，变化如下图所示。

据此完成3～5题。

3．该区域可能位于A．长江三角洲B．云贵高原C．黄河三角洲D．东北平原4．该地区种植结构变化的最主要原因是A．政策的引导B．种植技术的提升C．农作物品种的改良D．市场需求的变化5．与1985年相比，2005年该地区A．自然灾害多发B．农业商品率提升C．农业集约程度降低D．农业人口比重上升下面左图为中华人民共和国东海防空识别区范围图，右图为我国钓鱼岛照片。

读下图，完成6～7题。

6．我国东海防空识别区基本上分布在A．毗连区B．领海C．大陆架D．专属经济区7．划设东海防空识别区有利于①巩固国家安全②强化公民海洋意识③树立公民海洋国土观念④维护渔民合法权益A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④“夜间经济”是20世纪70年代英国为改善城市中心区夜晚“空巢”现象提出的经济学名词，指发生在18：00到次日清晨6：00，以当地居民、工作人群及游客为消费主体，以购物、餐饮、旅游、娱乐、文化、影视、健身、休闲等为主要形式的现代城市消费经济。

据此回答8～11题。

8．“夜间经济”能促进A．郊区城市化B．逆城市化C．再城市化D．大城市化9．受气候影响，我国传统的购物、餐饮等夜间消费活动不旺盛的季节出现在A．春季B．夏季C．秋季D．冬季10．目前我国倡导发展“夜间经济”，有助于①促进经济发展，增加就业机会②提高设施利用率，缓解交通压力③提升城市发展水平，增强竞争力④增加中心区人口数量，阻止郊区城市化A．①②B．②③C．①③D．③④11．城市发展过程中受多种因素影响，北京城市中心没有形成CBD的主要影响因素是A．社会B．经济C．文化D．历史如图为我国传统民居邮票图，据此回答12～14题。

重庆市第八中学校2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题

重庆市第八中学校2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（）A．戊戌年B．辛丑年C．己亥年D．庚子年5．用红、黄、蓝、绿四种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色．在所有着色方案中，①③⑤着相同色的方案有（）种A．96B．24C．48D．1086．随机变量x满足分布列如下：三、填空题13．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，且在定义域内有且只有三个零点，则()f x可能是______．（本题答案不唯一）14．袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出2个球，记被取出的球的最大号码数为x，则()E x等于________．15．学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语、物理、化学、生物最多上一节，则不同的功课安排有________种情况.修费1500元;方案二：交纳延保金7740元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元.某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表：【点睛】开放性试题，可以从常用函数14．4【分析】由题意x的可能取值为2，【详解】Q袋中装有5个同样大小的现从该袋内随机取出2个球，记被取出的或存在性问题.也可考虑利用函数的单调性直接分析求解等.。

重庆市第八中学高三上学期8月入学摸底测试地理试题

重庆八中2021-2022学年度高三（上）入学摸底测试地理试题一、单项选择题（15小题，每小题3分，共45分）下图为某地区的等高线地形图，该地在某一次暴雨时形成了多处崩塌地（图中阴影部分）。

据此回答1-3题。

1．下列对图示区域的相关叙述正确的是A．图中最低海拔可能为265m B．甲、乙间水平距离约为18kmC．丙处可以察看到①处崩塌地D．丁处可以察看到④处崩塌地2．对崩塌地①、②、③、④的描述，能确定的是A．①形成的高差最大B．②崩塌地坡度最小C．③崩塌物体量最小D．④崩塌物落向南方3．暴雨过后，乙处径流的泥沙可能来源于崩塌地A．①②B．①③C．②③D．③④位于河南省的贾湖遗址(33.5°N)中发现贾湖先人将骨笛和叉形器组合起来，做成原始“圭表”，以观测正午日影。

下图示意该原始“圭表”使用原理(图中①②③分别代表二分二至日时的日影末端位置)。

读下图，完成4-5题。

4．贾湖先人利用骨笛和叉形器观测时，应将A．两根木桩按南北对立，叉形器置于南端B．两根木桩按南北对立，叉形器置于北端C．两根木桩按东西对立，叉形器置于东端D．两根木桩按东西对立，叉形器置于西端5．当贾湖先人春分后进行农作物春播时，骨笛上正午日影末端位于A．①②之间，正在向②处移动B．①②之间，正在向①处移动C．②③之间，正在向③处移动D．②③之间，正在向②处移动枸杞全身都是宝，《本草纲目》记载：“春采枸杞叶，夏采花，秋采子，冬采根”。

精河县位于新疆西部、天山北麓，地势南高北低，中部、北部为平原，有“中国枸杞之乡”之称，精河县枸杞种植区枸杞一般不采根。

早期，精河县的枸杞是“插花”式种植（小面积种植）。

近年来，当地出台一系列扶持政策，促进枸杞规模化、标准化种植，2020年，精河县枸杞种植面积达13.4万亩。

目前，当地的枸杞果汁、枸杞啤酒、枸杞格瓦斯、枸杞保健品等系列产品，远销美国、加拿大、新加坡和日本等20多个国家。

据此完成6-8题。

2020届重庆市第八中学高三第四次月考(12月)数学(理)试题(解析版)

2020届重庆市第八中学高三第四次月考（12月）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =-->，则C R A =（）A ．{|1}{|3}<-⋃>x x x xB ．{|1}{|3}≤-⋃≥x x x xC ．{|13}x x -≤≤D ．{|13}x x -<<【答案】C【解析】直接通过解不等式2230x x --≤求出R C A . 【详解】解：集合{}{}2|230|13R C A x x x x x =--≤=-≤≤，故选：C. 【点睛】本题考查集合补集的运算，是基础题.2．若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z=（） A ．i B ．i - C ．2iD ．2i -【答案】B【解析】由纯虚数的定义可得m ＝0，故11z i=，化简可得．【详解】复数z ＝m （m +1）+（m +1）i 是纯虚数，故m （m +1）＝0且（m +1）≠0，解得m ＝0，故z ＝i ，故111i z i i i⋅===-⋅i ．故选：B ．本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题．3．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （） A ．98B ．158C ．198D ．278【答案】C【解析】利用3=-n n S a n 得出1231n n a a -=+，先求出1a ，再利用递推式求出3a 即可.【详解】解：当2n ≥时，[]1133(1)n n n n n a S S a n a n --=-=----，整理得1231nn a a -=+，又11131S a a ==-，得11a 2=， 21323112a a ∴=+=+，得254a =， 321523114a a ∴=+=+，得3198a =，故选：C. 【点睛】本题考查数列递推式的应用，是基础题.4．设0a >，0b >，若双曲线22122:1x y C a b -=的离心率为2，则双曲线22222:1-=-x y C a b的离心率为（）A ．2 BC D【答案】B【解析】先通过1C 的离心率求出,a b 的关系，利用,a b 的关系进一步可求出2C 的离心率. 【详解】解：对于1C 有22224a b e a+==，得223b a =，对于2C 有2222224433a b a b e a +===，得e = 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，是关键是找到,a b 的关系，是基础题. 5．已知函数22()1log log (4)=+--f x x x ，则（） A ．()y f x =的图像关于直线2x =对称 B ．()y f x =的图像关于点(2,1)对称 C ．()f x 在(0,4)单调递减 D ．()f x 在(0,4)上不单调【答案】B【解析】观察函数的特点，求出定义域，在定义域内根据选项代入特殊值判断函数的对称性和单调区间，再进一步证明. 【详解】解：040x x >⎧⎨->⎩，得函数定义域为(0,4)，222(1)1log log (41)1l 13og f =+--=-， 222(3)1log log (43)1l 33og f =+--=+，所以(1)(3)f f ≠，排除A ；(1)(3)f f <，排除C ；2log x 在定义域内单调递增，2log (4)x -在定义域内单调递减，故22()1log log (4)=+--f x x x 在定义域内单调递增，故排除D ；现在证明B 的正确性：2222()(4)1log log (4)1log (4)log 2f x f x x x x x +-=+--++--=，所以()y f x =的图像关于点(2,1)对称，故选：B.本题考查函数的基本性质，定义域、单调性、对称性，是中档题.6．已知向量(3,1),(1,3),(,2)a b c k ===-r r r ，若()//a c b -r r r ，则向量a b +rr 与向量c r 的夹角为（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】D【解析】由向量平行的坐标运算得到参数值，再根据()0a b c +⋅=v r r得到两个向量垂直.【详解】()3,3a c k -=-r r ，因为()//a c b v r r-，所以()3331k -⨯=⨯，解得2k =，当2k =时，()()()4,4,2,2,0a b c a b c +==-∴+⋅=v v r r r v ，所以向量a b +vr 与向量c r 的夹角为2π．故选D 【点睛】这个题目考查了向量平行的坐标运算以及向量点积的坐标运算，向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.7．过点(,)P x y 作圆221:1C x y +=与圆222:(2)(1)1C x y -+-=的切线，切点分别为A ，B ，若||||PA PB =，则22x y +的最小值为（）A B ．54C D ．5【答案】B【解析】通过切线长定理得出点P 在线段12C C 的垂直平分线上，求出线段12C C 的垂直平分线方程，代入点P 坐标，进一步代入22x y +，利用二次函数的性质求其最小值即可.如图：由圆的切线的性质：222212||||1,||1PA PC PB PC =-=-，又||||PA PB =，12||C C P P ∴=，所以点P 在线段12C C 的垂直平分线上，12C C 的垂直平分线为21(1)12y x =--+，即522y x =-+，点(,)P x y 在522y x =-+，所以点P 的坐标满足522y x =-+，2222255525(1)244x x y x x ⎛⎫=+-+=-+≥ ⎪⎭∴⎝+，22x y +的最小值为54，故选：B. 【点睛】本题考查圆的切线问题，关键是将目标式转化为一个变量的函数，求函数的最值即可，难度不大，考查了学生的计算能力.8．已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6B π-，且()f x 的相邻两个零点的距离为2π，为得到()y f x =的图象，可将cos y x =图象上所有点（） A ．先向右平移6π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．先向右平移12π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 C ．先向右平移6π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D ．先向右平移12π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】由题意可知，22T ππ=⨯=，22πωπ==，∵sin[2]06πϕ⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，∴3k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，可得：()2cos 236f x sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴将cos y x =的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到()y f x =的图象，故选A.9．A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A ，B ，C 三人去询问比赛结果，裁判对A 说：“你和B 都不是第一名”；对B 说“你不是最差的”；对C 说：“你比A ，B 的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有（）种不同情况.A ．720B ．240C ．180D ．128【答案】C【解析】根据裁判所说，AB 不是第一，B 不是第六，C 比AB 成绩都好，对C 的名次分类讨论求出结果. 【详解】C 比AB 成绩都好且AB 不是第一，所以C 不可能是第六，第五，当C 是第四名时，B 只能第五，A 只能第六，共336A =种；当C 是第三名时，共11322324C C A =种，当C 是第二名时，共11333354C C A =种，综上：总共6245496180+++=种，故选：C. 【点睛】本题考查分类计数原理，重点要理清裁判的话，进行分类讨论，是中档题.10．若函数()cos cos 2=++xf x x a b 在区间[0,]π最大值是M ，最小值是m ，则-M m（）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】设cos2xt =，则01t ≤≤，则2()21g t t at b =++-，结合二次函数的图象和性质，设函数2()21g t t at b =++-在1t 处取的最大值，在2t 处取的最小值，1201,01t t ≤≤≤≤，且12t t ≠，则()()2212122t t M m t t a ∴-=-+-，即可得到答案【详解】解：设cos 2xt =，则01t ≤≤， ∴22()()2coscos 12122x x f x g t a b t at b ==++-=++-，设函数2()21g t tat b =++-在1t 处取的最大值，在2t 处取的最小值，1201,01t t ≤≤≤≤，且12t t ≠，()()2211122221,21t M g t at b m g t at b t ∴==++-==++-，()()22221122121221212t t M m t at b t at b t t a ∴-=++----+=-+-，∴与a 有关，但与b 无关，故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答11．已知水平地面上有一篮球，球的中心为O '，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O 为原点，设椭圆的方程为22142x y +=，篮球与地面的接触点为H ，则||OH 的长为（）A ．62B ．2C ．32D ．103【答案】B【解析】在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是H ，得到一个直角三角形，可得要求的结果．【详解】解：在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，由图()1101809022AB O BA A AB B BA ''''︒︒∠+∠=∠+∠=⨯= 90AO B '︒∴∠=，由O 是中点故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是H ，在构成的直角三角形中，222OH O H O O ''=+，22422OH a b ∴=-=-=，故选：B ．本题考查圆锥曲线的实际背景及作用，解决本题的关键是看清楚在平行光线的照射下，投影中和球的量中，变与不变的量．12．已知从2开始的连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为2，第一行为46，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20.如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j 列的数记为,i j a ，比如3,210=a ，4,216=a ，5,424=a ，，若,2020=i j a ，则i j +=（）24612108141618203028262422A ．65B ．70C ．71D ．72【答案】C【解析】由题意正偶数n a 为等差数列，由图摆放找每一行所放的数，及每一行的数字总数与本数列的每一项的关系即可发现规律【详解】解：由图可知，第一行放1个偶数，第二行放2个偶数，第3行放3个偶数… 又因为,2020=i j a 指图中摆放的第i 行第j 列，所以先求第m 行的最后一个偶数，该偶数小于2020且是最接近的，并且还能成为每一行最后一个数字的，(1)2020,442m m m +≤≤２，当44m ≤时，44(144)1980+=，第44行的最后一偶数是1980，又第45行的第45个偶数为1982，利用等差数列的任意两项之间关系可知2020应出在该行的第45-19=26列，故26j =，所以452671i j +=+=．故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，任意两项之间及项与项数之间的关系，考查学生的观察与分析能力，考查简单的合理推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．二、填空题13．设()00,P x y 为直线1x y +=与圆223x y +=的交点，则00=x y ________.【答案】-1【解析】将P 坐标代入直线和圆的方程，消去2200x y +可得00x y 的值.【详解】解：因为()00,P x y 为直线1x y +=与圆223x y +=的交点，将()00,P x y 坐标代入直线和圆的方程得，001x y +=①， 22003x y +=②将①2-②得()()200020213x y x y ++-=-，得001x y =-，故答案为：1- 【点睛】本题考查直线和圆的的交点问题，是基础题.14．已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，3()ln =- f x x x ，则曲线()y f x =在点(1,(1))-- f 处的切线方程为________.【答案】210x y -+=【详解】解：∵函数()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，当0x >时，3()ln =- f x x x ，不妨设0x <，则0x ->，故()3()ln () f x xx f x -=---=-，故0x <时，()3()ln f x xx +=-，故'2()31 f x x x=+，故(1)1ln11 f -+=-=-，'(1)312 f -=-=，故切线方程是：2(1)1y x =+-，整理得：210x y -+=，故答案为：210x y -+=．【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，考查求函数的切线方程，是一道中档题．15．在边长为1的正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r，则λμ+的最大值为________.【答案】3【解析】根据题意，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立坐标系，可得A 、B 、C 、D 的坐标以及直线BD 的方程，进而可得圆C 的方程，据此设P 的坐标为1cos ,122θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭；由向量的坐标公式可得,,AB AD AP uuu r uuu r uuu r 的坐标，又由向量的坐标计算公式可得1cos ,1(1,0)(0,1)22θθλμ⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭，进而可得,λμ的表达式，相加后分析可得答案．【详解】解：根据题意，如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立坐标系：则(0,0),(1,0)A B ，C(1,1),D(0,1) 则BD 的方程为x ＋y ＝1，点C 为圆心且与BD 相切的圆C ，其半径222r d ===，则圆C 的方程为221(1)(1)2x y -+-=； P 在圆C 上，设P 的坐标为221cos ,1sin 22θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，则22(1,0),(0,1),1cos ,1sin 22AB AD AP θθ⎛⎫===++ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，若AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r ，则221cos ,1(1,0)(0,1)22θθλμ⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则有221cos ,122λθμθ=+=+； 22sin )2sin 324πλμθθθ⎛⎫+=++=++≤ ⎪⎝⎭，即λμ+的最大值为3；故答案为：3．【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及平面向量的基本定理，注意建立坐标系，分析P 的坐标与,λμ的关系，是中档题．16．在ABC V 中，D 是BC 边上一点，60︒∠=∠=BAD DAC ，14BC =，且ABD△与ADC V 面积之比为53，则AD =________. 【答案】154【解析】根据题意画出图形，结合图形求得ABAC的值，再利用余弦定理求得AC 、AB 的值，最后利用三角形的面积公式求得AD 的值．【详解】解：ABC V 中，∠BAD ＝∠DAC ＝60°，如图所示；1sin 605213sin 602ABD ACDAB AD S AB S AC AC AD ︒︒⋅⋅∴===⋅⋅V V ；由余弦定理得，2222cos120AB AC A B AC C B ︒=+-⋅⋅，2222551493AC AC AC AC ∴++⋅=，解得AC ＝6， ∴AB ＝10；113sin12010615322ABC S AB AC ︒∴=⋅⋅=⨯⨯=V 113sin 60101532261010ABD S AB AD AD ︒∴=⋅⋅=⨯⨯=⨯+V ，解得154AD =．故答案为：154．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，是基础题．三、解答题17．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos -=a c bA B.（1）求A ；（2）若1a =，求 ABC V 面积的最大值.【答案】（1）3A π=；（2）4【解析】(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后求出cos A 的值，即可确定出角A 的大小；(2)由,cos a A 的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出bc 的最大值，即可确定出三角形ABC 面积的最大值．【详解】解：（1）由2cos cos -=a c bA B可得：cos 2cos cos =-a B c A b A ，由正弦定理可得：sin cos 2cos sin cos sin =-A B A C A B ∴sin()2cos sin sin 2cos sin +=⇒=A B A C C A C ， ∵sin 0C ≠， ∴1cos 2A =， ∵(0,)A π∈， ∴3A π=；（2）由（1）知3A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即221b c bc =+-∵222b c bc +≥，所以1bc ≤（当且仅当1b c ==时取等号）∴1sin 24=≤V ABC S bc A所以ABC V 【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，基本不等式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，749=S .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-，12n nb -=或11733=+n a n ，1163-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭n n b ；（2）12362n n n T -+=-【解析】(1)由已知求得公差和首项即可； (2) 2313572112222n n n T --=++++⋯+，①23111352321222222n n nn n T ---=+++⋯++，②利用错位相减法①−②可得n T ．【详解】解：（1）由()17412177349a d S a a d =⎧⎨==+=⎩，则1613a d =⎧⎪⎨=⎪⎩或112a d =⎧⎨=⎩，当1613a d =⎧⎪⎨=⎪⎩时，11733=+n a n ，1163-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭n n b ；当112a d =⎧⎨=⎩时，21n a n =-，12n nb -=；（2）当1d >时，由（1）可得，21n a n =-，12n n b -=，则1212n n n c --=， ∴12135211222n n n T --=+++⋯+ ∴123111352321222222---=++⋯++n n n n n T ， ∴1231122222123132222222n n n nn n T --+=+++⋯+-=-，∴12362n n n T -+=-．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，及错位相减法求和，属于基础题． 19．已知动圆过定点(0,2)A ，且在x 轴上截得的弦长为4. （1）求动圆圆心M 的轨迹方程C ；（2）设不与x 轴垂直的直线l 与轨迹C 交手不同两点()11,P x y ，()22,Q x y .若12112+=x x ，求证：直线l 过定点. 【答案】（1）24x y =（2）证明见解析【解析】（1）设动圆圆心为(,)M x y ，利用垂径定理列方程即可得轨迹方程；（2）设:l y kx b =+，将其和轨迹C 联立，得到根与系数的关系，代入12112+=x x ，可得,b k 的关系，代入:l y kx b =+，即可找到定点．【详解】解：（1）设动圆圆心为(,)M x y ，则222(2)4+--=x y y ，化简得24x y =；（2）易知直线l 的斜率存在，设:l y kx b =+，则由24x y y kx b⎧=⎨=+⎩，得2440x kx b --=，由韦达定理有：124x x k +=，124x x b =-.从而12121122+=⇒+=x x x x x x，即48=-k b ，则12=-b k则直线11:22⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭l y kx k k x ，故直线过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线恒过定点问题，考查了学生的运算能力，是中档题．20．已知函数()ln (1)()=--∈R f x x k x k . （1）若()0f x ≤，求k ；（2）确定k 的所有可能取值，使得存在1t >，对任意的(1,)∈x t ，恒有2(1)()2->x f x .【答案】（1）1k =；（2）k 的取值范围是(,1)-∞【解析】（1）先验证0k ≤不合题意，当0k >，通过导数确定单调性及最值来求得k 的值；（2）分1k ³，1k <讨论，构造函数2(1)()ln (1)2x G x x k x -=---，利用导数求其单调性及最值，进而可得k 的取值范围. 【详解】解：（1）()ln (1)=--f x x k x ，(0,)x ∈+∞.若0k ≤，由(2)ln 2ln 20=-≥>f k ，得0k ≤不符合题意；若0k >，11()-'=-=kxf x k x x，当10,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x k 时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x k 时，()0f x '<，()f x 单调递减；则max 111()ln 1ln 10ln 10⎛⎫⎛⎫==--=--+≤⇔-+≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f k k k k k k k k 令()ln 1=-+h k k k ，11()1-'=-=kh k k k，()h k 在(0,1)x ∈单调递增；在(1,)x ∈+∞单调递减；max ()(1)0==h k h ，则1k =.（2）由（1）知，当1k ³时，对于1x >，ln 1(1)<-≤-x x k x则2(1)()ln (1)02-=--<<x f x x k x ，从而不存在1t >满足题意；当1k <时，22(1)(1)()()ln (1)22--=-=---x x G x f x x k x ，(0,)x ∈+∞，则有21(1)1()1-+-+'=-+-=x k x G x x k x x.由()0'=G x 得2()(1)10=-+-+=g x x k x ，(0)10g =>，(1)10=->g k则10=<x （舍），21=>x . 当()21,x x ∈时，()0G x '>，故()G x 在[)21,x 上单调速增.从而当()21,x x ∈时，()(1)0>=G x G ，即()(1)>-f x k x . 综上，k 的取值范围是(,1)-∞. 【点睛】本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、化归与转化思想，是一道难度较大的题目．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线=x 有且只有一个交点，点P 为椭圆C 上任一点，1(1,0)-P ，2(1,0)P .若12PP PP ⋅u u u r u u u r 的最小值为2a. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于不同两点A ，B ，点O 为坐标原点，且()12OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r，当AOB V 的面积S 最大时，求22112=-T MP MP 的取值范围. 【答案】（1）22142x y +=；（2）[3- 【解析】（1）设点(,)P x y ，利用向量的坐标运算研究12PP PP ⋅u u u r u u u r的最小值，建立方程，求出,a b 的值，即可得椭圆C 的标准方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，将直线l 与椭圆C 联立，可得12x x +和12x x ，求出点O 到直线l 的距离，即可求出AOB V 的面积S 的表达式，利用基本不等式，求面积S 的最大值，根据最大值的成立条件和前面求出的12x x +和12x x ，可得点M 的轨迹方程，进而可得1=t MP 的范围，将22112=-T MP MP 转化为212T t t =+-T 的取值范围. 【详解】解：（1）设点(,)P x y，由题意知a =，222:2+=C x y a ，则22221211⋅=+-=-+-u u u r u u u r PP PP x y y a ，当y b =±时，12⋅u u u r u u u rPP PP 取得最小值，即2212--=aa b ， 21222⇒-=⇒=a a a，b =C 的标准方程为22142x y +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则由2224x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得()222214240+++-=k x mkx m ， 122421⇒+=-+mk x x k ，21222421-=+m x x k ，点O 到直线l的距离d =11||22=⋅⋅=S d AB()222242221m k m k ++-=≤=+S ，当且仅当22242=+-m k m 即2221m k =+，①此时120222221+==-=-+x x mk k x k m ，20021=+=-+=k y kx m m m m，即01=m y ，00022=-=-m x k x y 代入①式整理得，()22000102+=≠y x y ，即点M 的轨迹为椭圆221:1(0)2+=≠x C y y ，且点1P ，2P 为椭圆1C的左、右焦点，即12+=MP MP ，记1=t MP，则1)∈+t ，从而222211112)2=-=--=+-T MP t t t t MP 322'=-T t ，令0'≥T 可得1t ≥，即在T在1,1)单调递减，在1)+单调递增，且(1)3=-T1)11)5-=>=-T T 故T的取值范围为[3-. 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数的关系的应用，考查最值问题，难度较大，对计算能力要求较高，考查了学生综合分析问题的能力. 22．在直角坐标系中，曲线1C的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，[0,)απ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为224([0,])43cos =∈-ρθπθ.点P .（1）写出曲线2C 的普通方程和参数方程；（2）曲线1C 交曲线2C 于A ，B 两点，若2||||5⋅=PA PB ，求曲线1C 的普通方程. 【答案】（1）曲线2C 的普通方程为：2214x y +=，参数方程为：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）曲线1C的普通方程为：y x =-=-+y x 【解析】（1）利用222,cos x y x ρρθ=+=，将极坐标方程化为普通方程，进而可化为参数方程；（2）曲线1C 的参数方程代入曲线2C 的普通方程，利用根与系数的关系列方程求出α的值，进而可得曲线1C 的普通方程．【详解】解：（1）()22222222443cos 43443cos =⇒-⇒+-=-x y x ρρρθθ所以，曲线2C 的普通方程为：2214x y +=曲线2C 的参数方程为：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（2）将曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩代入曲线2C 的普通方程为：2214x y +=得：()223sin 1cos 10++-=t αα12212||||3sin 5⋅===PA PB t t αsin 24⇒=⇒=παα或34π所以曲线1C 的普通方程为：y x ==-+y x 【点睛】本题考察极坐标方程和普通方程的互化，普通方程和参数方程的互化，考查了直线参数方程的应用，是基础题．23．已知1()=+f x x x. （1）求不等式1()3||+<f x x 的解集；（2）()f x 的最小值为M ，12+=a b M ，(),a b R +∈，求22()()+f a f b 的最小值. 【答案】（1）{|2l x x -<<-或12}x <<；（2）252 【解析】（1）将12()3||3||||f x x x x +<⇒+<，求出||x 的范围，进而可得x 的范围；（2）首先求出()f x 的最小值，即可得+a b 的值，利用柯西不等式和基本不等式求22()()+f a f b 的最小值.【详解】解：（1）∵1112()33||3||||||+<⇒++<⇒+<f x x x x x x x ，(||1)(||2)01||2||-⋅-<⇒<<x x x x ，不等式1()3||+<f x x 的解集为：{|2l 12}x x x -<<-<<或；（2）11()||2||=+=+≥=f x x x x x ，所以，1a b +=，()2222222211111()()112⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦f a f b a b a b a b a b 21112⎛⎫≥+++ ⎪⎝⎭a b a b 222111125112222⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪=+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ab a b . 【点睛】本题考查解绝对值不等式以及柯西不等式和基本不等式的应用，是中档题.。

重庆市渝中区、九龙坡区等主城区2020届高三学业质量调研抽测(第二次)数学(理科)试题 (解析版)

2020年高考数学二诊试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12个小题）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x |log 2x ＞1}，则A ∪B ＝（） A ．（2，+∞）B ．（2，3]C ．[﹣1，3]D ．[﹣1，+∞）2．已知复数z 在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i 为虚数单位，则z1−i =（）A ．−12+12i B ．−12+72i C ．−72+12i D ．72+12i3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x 服从正态分布N （100，σ2）且P （x ＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（） A ．200B ．300C ．400D ．6004．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（）A ．79B ．−79C ．2√23D ．−2√235．已知p ：﹣2≤x ﹣y ≤2且﹣2≤x +y ≤2，q ：x 2+y 2≤2，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f （x ）的定义域为R 且满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）＝f （2﹣x ），若f （1）＝4，则f （6）+f （7）＝（） A ．﹣8B ．﹣4C ．0D ．47．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π128．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（）A ．81256B ．2764C ．964D ．9169．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√612．已知函数f （x ）＝（lnx +1﹣ax ）（e x ﹣2m ﹣ax ），若存在实数a 使得f （x ）＜0恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(12，1)D ．(−1，12)二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为．14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为．15．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的外接圆面积为16π，且cos 2C ﹣cos 2B ＝sin 2A +sin A sin C ，则a +c 的最大值为．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC ∩BD ＝O ，E 是B 1C （不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是． ①D 1O ⊥平面A 1C 1D ； ②OE ∥平面A 1C 1D ；③三棱锥A 1﹣BDE 体积为定值； ④二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的正弦值为√66．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．20．已知圆C：（x+2）2+y2＝24与定点M（2，0），动圆I过M点且与圆C相切，记动圆圆心I的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点M，且与曲线E交于A，B两点，P为直线x＝3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．21．设函数f（x）=e xx，g（x）＝lnx+1x．（Ⅰ）若直线x＝m（m＞0）与曲线f（x）和g（x）分别交于点P和Q，求|PQ|的最小值；（Ⅱ）设函数F（x）＝xf（x）[a+g（x）]，当a∈（0，ln2）时，证明：F（x）存在极小值点x0，且e x0（a+lnx0）＜0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2+√22ty=√22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M的直角坐标为（2，0），直线l和曲线C交于A、B两点，求1|MA|+1 |MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x+a2|．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）+|x﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x，不等式|2x+3|﹣f（x）＜2a成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∪B＝（）A．（2，+∞）B．（2，3]C．[﹣1，3]D．[﹣1，+∞）【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A＝[﹣1，3]，∵B＝{x|log2x＞1}＝[2，+∞），∴A∪B＝[﹣1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i为虚数单位，则z1−i=（）A．−12+12i B．−12+72i C．−72+12i D．72+12i【分析】复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），可得z＝﹣3+4i，代入再利用复数运算法则即可得出．解：复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），∴z＝﹣3+4i，则z1−i =−3+4i1−i=(−3+4i)(1+i)(1−i)(1+i)=−72+12i，故选：C．【点评】本题考查了复数运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（）A．200B．300C．400D．600【分析】先根据正态曲线的对称性性质，算出P（100≤x≤120），然后用该值乘以1000即可．解：因为综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．∴P（x＜80）＝P（x＞120）＝0.2，P（x≤100）＝P（x≥100）＝0.5．∴P（100≤x≤120）＝P（x≥100）﹣P（x＞120）＝0.3．故综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为1000×0.3＝300．故选：B．【点评】本题考查正态分布密度函数的性质及应用，要注意利用正态曲线的对称性求解概率，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力，属于中档题．4．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（）A．79B．−79C．2√23D．−2√23【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos（α−π2），利用诱导公式可求sinα，再根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．解：∵sin(α2−π4)=√33，∴cos（α−π2）＝1﹣2sin2（α2−π4）＝1﹣2×（√33）2=13，即sinα=13，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（13）2=79．故选：A．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．已知p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，q：x2+y2≤2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．即可判断出关系．解：p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．∴由q⇒p，由p无法得出q．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的应用、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝4，则f（6）+f（7）＝（）A．﹣8B．﹣4C．0D．4【分析】推导出f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，由此根据f（1）＝4，能求出f（6）+f（7）的值．解：∵函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），∴f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，∵f （1）＝4，∴f （6）＝f （2）＝f （0）＝0，f （7）＝f （3）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣4，则f （6）+f （7）＝0﹣4＝﹣4．故选：B ．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π12【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)=2sin （ωx −π6），由于函数满足f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，所以T ＝π，解得ω＝2．故f （x ）＝2sin （2x −π6）．将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数g （x ）＝2sin （2x +2φ−π6）图象，由于函数g （x ）关于原点对称，所以2φ−π6=k π（k ∈Z ），解得φ=kπ2+π12（k ∈Z ），当k ＝0时，φ=π12，即实数φ的最小值为π12．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（）A ．81256B ．2764C ．964D ．916【分析】基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，由此能求出恰有一个社区未被这4名党员选取的概率．解：某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为P =m n =C 41C 42A 3344=916．故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数f （x ）在R 上是增函数，结合函数的解析式可得{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得a 的取值范围，即可得答案．解：根据题意，f （x ）满足对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则函数f （x ）在R 上是增函数，又由f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1，则有{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得：43＜a ＜4，即a 的取值范围为（43，4）．故选：D ．【点评】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题． 10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π【分析】先由题设条件找到球心的位置，再利用∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6⇒△ABC 为等边三角形，进一步找出球的半径，计算出体积．解：如图，记PA 的中点为O ，连OB ，OC ．∵∠PBA ＝∠PCA ＝90°， ∴OA ＝OP ＝OB ＝OC ，因此O 为三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心．又∵PB ＝PC =√6，∴△PAB ≌△PAC ，∴AB ＝AC ．又∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．记点O 在底面ABC 内的射影为O 1，则O 1为△ABC 的中心．连接OO 1，O 1A ，点P 到底面ABC 的距离为2，∴OO 1＝1．设AB ＝a ，则O 1A =√33a ．在直角三角形PBA 中，PA =√6+a 2．在直角三角形OO 1A 中，OA 2＝1+（√3a 3）2＝1+a 23=|PA|24=6+a 24，解得：a =√6， ∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径R ＝OA =√3．所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积V =43π（√3）3＝4√3π．故选：C ．【点评】本题主要考查多面体的外接球问题，属于基础题．11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√6【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，通过余弦定理以及渐近线的斜率，列出关系式求解双曲线的离心率即可．解：由题意可知|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，所以|MF 2|＝2a ，|MF 1|＝4a ，所以16a 2＝4a 2+4c 2﹣2×2a ×2c cos ∠MF 2F 1，tan∠MF2F1=ba，所以cos∠MF2F1=ac，所以：16a2＝4a2+4c2﹣2×2a×2c×ac，可得5a2＝4c2．所以双曲线的离心率为：e=√5．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．已知函数f（x）＝（lnx+1﹣ax）（e x﹣2m﹣ax），若存在实数a使得f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(12，+∞)B．(−∞，12)C．(12，1)D．(−1，12)【分析】分析题意可知，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，作出函数g（x）与函数h（x）的图象，只需分析出极限情况即可得解．解：依题意，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，考虑直线y＝ax与函数g（x），函数h（x）均相切于同一点的情况，设切点为（x0，y0），由g′(x)=1x，h′(x)=ex−2m可知，{1x0=e x0−2my0=e x0−2my0=lnx0+1，解得{x0=1y0=1m=12，作出图象如下，由图象观察可知，当m ＜12时，函数h （x ）越偏离函数g （x ），符合题意，即实数m 的取值范围为(−∞，12)．故选：B ．【点评】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，涉及了导数的几何意义的运用，考查等价转化思想，推理能力与计算能力，理解题意是关键，属于较难难题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为 π3 ．【分析】根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，设|a →|＝t ，则|b →|＝2t ，由向量垂直与数量积的关系可得a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得cos θ的值，结合θ的范围分析可得答案．解：根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，又由|b →|=2|a →|，设|a →|＝t ≠0，则|b →|＝2t ，又由a →⊥(a →−b →)，则a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得：cos θ=12；又由0≤θ≤π，则θ=π3；故答案为：π3．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的性质以及应用，属于基础题． 14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为 12 ．【分析】通过抛物线的方程可知p ＝4，利用中点坐标公式可知x A +x B ＝2×4＝8，最后结合抛物线的定义即可求得焦点弦|AB|的长度．解：∵抛物线y2＝8x，∴p＝4，又点P（4，y0）是AB的中点，∴x A+x B＝2×4＝8，由抛物线的定义可知，|AB|＝x A+x B+p＝x A+x B+4＝8+4＝12．故答案为：12．【点评】本题考查抛物线的定义及其焦点弦的应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆面积为16π，且cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，则a+c的最大值为8．【分析】设△ABC的外接圆的半径为R．根据△ABC的外接圆面积为16π，利用正弦定理可得R．由cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，化为：1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，利用正弦定理及其余弦定理可得B，进而得出b．利用基本不等式的性质即可得出．解：设△ABC的外接圆的半径为R．∵△ABC的外接圆面积为16π，∴16π＝πR2，解得R＝4．∵cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，∴1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，∴b2﹣c2＝a2+ac，即c2+a2﹣b2＝﹣ac，∴cos B=a2+c2−b 22ac =−ac2ac=−12，B∈（0，π），解得B=2π3．∴b＝2R sin B＝8×√32=4√3．∴（c+a）2＝ac+(4√3)2≤(a+c)24+48，∴c+a≤8．当且仅当a＝c＝4时取等号．故答案为：8．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD＝O，E是B1C（不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是②③．①D1O⊥平面A1C1D；②OE∥平面A1C1D；③三棱锥A1﹣BDE体积为定值；④二面角B1﹣AC﹣B的平面角的正弦值为√6．6【分析】根据正方体的几何特征，即可判断各命题的真假．解：如图所示，取AD中点F，连接OF，D1F，因为OF⊥平面ADD1A1，所以D1F为OD1在平面ADD1A1的射影，显然，D1F不垂直于A1D，故OD1不垂直于A1D，D1O不垂直于平面A1C1D，①错误；因为AC∥A1C1，B1C∥A1D，所以平面ACB1∥平面A1C1D，而OE⊂平面ACB1，根据线面平行的定义可知，OE∥平面A1C1D，所以②正确；因为B1C∥A1D，所以B1C∥平面A1BD，故点E到平面A1BD等于点C到平面A1BD的距离，所以三棱锥A1﹣BDE体积为定值，③正确；因为B 1B ⊥平面ABC ，AC ⊥BD ，所以∠B 1OB 为二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的平面角，在△B 1BO 中，tan ∠B 1OB =22=√2，sin ∠B 1OB =√23=√63，④错误．故答案为：②③．【点评】本题主要考查利用面面平行的判定定理，线面平行的定义，线面垂直的判定定理判断命题真假，以及三棱锥体积的求法，二面角的求法的应用，考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．【分析】本题第（Ⅰ）题根据题干a n +1＝2S n +1，可得当n ≥2时有a n ＝2S n ﹣1+1成立，两式相减后再运用公式a n ＝S n ﹣S n ﹣1（n ≥2），进一步转化计算可判断出数列{a n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到数列{a n }的通项公式；第（Ⅱ）题先由第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n }的通项公式并判别出数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列，再通过等差数列的求和公式可计算出T n的表达式，再代入1 T1+1T2+⋯+1T n进行计算时运用1n2＜1n−1−1n（n≥2）进行放缩即可证明不等式成立．【解答】（Ⅰ）解：依题意，由a n+1＝2S n+1，可得当n≥2时，a n＝2S n﹣1+1，两式相减，得a n+1﹣a n＝2S n+1﹣2S n﹣1﹣1＝3a n（n≥2），又∵a1＝1，a2＝2S1+1＝2×1+1＝3，∴a2＝3a1符合上式，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，故a n=3n−1，n∈N*．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，b n＝log3（a n•a n+1）＝log3（3n﹣1•3n）＝log332n﹣1＝2n﹣1，则b n＝2n﹣1＝1+（n﹣1）•2，故数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴T n=n(1+2n−1)2=n2，∴1T1+1T2+⋯+1T n=1 12+122+⋯+1n2＜1+11⋅2+12⋅3+⋯+1(n−1)n＝1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n＝2−1 n＜2，∴不等式1T1+1T2+⋯+1T n＜2成立．【点评】本题主要考查数列求通项公式，数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，定义法，指、对数的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.841 5.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．【分析】（Ⅰ）求出K 2，即可判断是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”．（Ⅱ）每天生产的次品数为x ，X 的可能值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（Ⅰ）K 2=200×(85×5−95×15)2100×100×20×180=509≈5.556＜6.635．∴没有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”．（Ⅱ）∵每天生产的次品数为x ，日利润y ＝30（50﹣x ）﹣50x ＝1500﹣80x ，其中0≤x ≤4，x ∈N ．由1500﹣80x ≥1340得0≤x ≤2．∵X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过2件的人数之和， ∴X 的可能值为0，1，2，又甲1天中生产的次品数不超过2件的概率为2+8+1030=23，乙1天中生产的次品数不超过2件的概率为3+6+930=35，∴P(X =0)=13×25=215，P(X =1)=23×25+13×35=715，P(X =2)=23×35=615， ∴随机变量X 的分布列为：X12P215715615∴E(X)=0×215+1×715+2×615=1915．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接DM，DN．由已知可得BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B 是矩形，结合D为AB1的中点．即可证明四边形CMDN是平行四边形，得CM∥DN，再由直线与平面平行的判定可得CM∥平面AB1N；（Ⅱ）取BC的中点为O，B1C1的中点为E，连接AO，OE，证得AO⊥平面BB1C1C．以OB，OE，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A1B1→的坐标与平面AB1N 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接DM，DN．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B是矩形，∴D为AB1的中点．又∵M为AB的中点，∴DM∥BB1，且DM=12BB1．∵N 为CC 1 的中点，∴CN =12CC 1， ∴DM ＝CN ，且DM ∥CN ，∴四边形CMDN 是平行四边形，得CM ∥DN ，又DN ⊂平面AB 1N ，CM ⊄平面AB 1N ， ∴CM ∥平面AB 1N ；（Ⅱ）解：取BC 的中点为O ，B 1C 1 的中点为E ，连接AO ，OE ， ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ，又平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，∴AO ⊥平面BB 1C 1C ．以OB ，OE ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A （0，0，√3），A 1（0，4，√3），B 1（1，4，0），N （﹣1，2，0）， A 1B 1→=(1，0，−√3)，AB 1→=(1，4，−√3)，B 1N →=(−2，−2，0)．设平面AB 1N 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB 1→=x +4y −√3z =0n →⋅B 1N →=−2x −2y =0，令x ＝1，得n →=(1，−1，−√3)．设A 1B 1与平面AB 1N 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜A 1B 1→，n →＞|＝|A 1B 1→⋅n→|A 1B 1→|⋅|n →||=25=2√55． ∴A 1B 1与平面AB 1N 所成角的正弦值为2√55．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20．已知圆C ：（x +2）2+y 2＝24与定点M （2，0），动圆I 过M 点且与圆C 相切，记动圆圆心I 的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点M ，且与曲线E 交于A ，B 两点，P 为直线x ＝3上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，由题意可得|IC |+|IM |＝2√6＞4为定值，由椭圆的定义可得E 的轨迹为椭圆，且可知a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出AB 的中点D 的坐标，进而求出弦长|AB |，可得直线PQ 的斜率，再由P 在直线x ＝3上，可得|PQ |的长，由△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，进而求出k 的值．解：（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，题意可知，点I 满足： |IC |＝2√6−r ，|IM |＝r ，所以，|IC |+|IM |＝2√6，由椭圆定义知点I 的轨迹是以C ，M 为焦点的椭圆，所以a =√6，c ＝2，b =√2，故轨迹E 方程为：x 26+y 22=1；（Ⅱ）直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），联{x 26+y 22=1y =k(x −2)消去y 得（1+3k 2）x 2﹣12k 2x +12k 2﹣6＝0．直线y ＝k （x ﹣2）恒过定点（2，0），在椭圆内部，所以△＞0恒成立，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=12k21+3k2，x 1x 2=12k 2−61+3k2，所以|AB |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√6(1+k 2)1+3k2，设AB 的中点为Q （x 0，y 0），则x 0=6k21+3k2，y 0=−2k 1+3k2，直线PQ 的斜率为−1k（由题意知k ≠0），又P 为直线x ＝3上的一点，所以x P ＝3，|PQ |=√1+1k2|x 0﹣x P |=√1+k2k2−3(1+k 2)1+3k2，当△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，即√1+k 2k 2−3(1+k 2)1+3k2=√32−2√6(1+k 2)1+3k2，解得k ＝±1，即直线l 的方程为x ﹣y ﹣2＝0，或x +y ﹣2＝0．【点评】本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合，及等边三角形的性质，属于中档题．21．设函数f （x ）=e xx，g （x ）＝lnx +1x ．（Ⅰ）若直线x ＝m （m ＞0）与曲线f （x ）和g （x ）分别交于点P 和Q ，求|PQ |的最小值；（Ⅱ）设函数F （x ）＝xf （x ）[a +g （x ）]，当a ∈（0，ln 2）时，证明：F （x ）存在极小值点x 0，且e x 0（a +lnx 0）＜0．【分析】（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，利用导数求出函数h（x）在定义域上的最小值，即为|PQ|的最小值；（Ⅱ）对函数F(x)=e x(a+1x+lnx)求导得F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，分析可知当x∈(12，x0)，F（x）单调递减；当x∈（x0，1），F（x）单调递增，进而得证x0是F（x）的极小值点，且x0∈(12，1)，a+lnx0=1x02−2x=1−2x0x02，由此可证ex0（a+lnx0）＜0．解：（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，则h′(x)=xex−e xx2−1x+1x2=(x−1)(e x−1)x2，当x∈（0，+∞）时，e x﹣1＞0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上有最小值h（1）＝e﹣1，∴当m＝1时，|PQ|的最小值为e﹣1；（Ⅱ）证明：F(x)=e x(a+1x+lnx)，则F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，因为e x＞0，所以F′（x）与a+2x−1x2+lnx同号．设t(x)=a+2x−1x2+lnx，则t′(x)=x2−2x+2x3=(x−1)2+1x3＞0，故t（x）在（0，+∞）单调递增，因a∈（0，ln2），t（1）＝a+1＞0，t(12)=a+ln12＜0，所以存在x0∈(12，1)，使得t（x0）＝0，当x∈(12，x0)，F′（x）＜0，F（x）单调递减；当x ∈（x 0，1），F ′（x ）＞0，F （x ）单调递增；所以若a ∈（0，ln 2），存在x 0∈(12，1)，使得x 0是F （x ）的极小值点，由t （x 0）＝0得a +2x 0−1x 02+lnx 0=0，即a +lnx 0=1x 02−2x 0=1−2xx 02，所以e x 0(a +lnx 0)=e x 0⋅1−2x 0x 02＜0．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想及推理论证能力，属于中档题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+√22ty =√22t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M 的直角坐标为（2，0），直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（Ⅰ）直接将直线的参数方程中的参数t 消去，可得直线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系结合此时t 的几何意义求解．解：（Ⅰ）将{x =2+√22ty =√22t 中参数t 消去得x ﹣y ﹣2＝0，将{x =ρcosθy =ρsinθ代入ρsin 2θ＝8cos θ，得y 2＝8x ， ∴直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为x ﹣y ﹣2＝0和y 2＝8x ；（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得t 2−8√2t −32=0，设A 、B 两点对应的参数为t 1，t 2，则|MA |＝|t 1|，|MB |＝|t 2|，且t 1+t 2=8√2，t 1t 2＝﹣32，∴|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=16， ∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=12．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中此时t 的几何意义的应用，是中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝|2x +a 2|．（Ⅰ）当a ＝2时，求不等式f （x ）+|x ﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意可得|2x +4|+|x ﹣1|≥5，由零点分区间法，绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，运用绝对值不等式的性质可得该不等式左边的最大值，再由绝对值的解法和二次不等式的解法可得所求范围．解：（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）+|x ﹣1|＝|2x +4|+|x ﹣1|≥5，则{x ＜−2−2x −4−x +1≥5或{−2≤x ≤12x +4−x +1≥5或{x ＞12x +4+x −1≥5，解得x ≤−83或0≤x ≤1或x ＞1，所以原不等式的解集为（﹣∞，−83]∪[0，+∞）；（Ⅱ）对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立，即|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，又因为|2x +3|﹣|2x +a 2|≤|2x +3﹣2x ﹣a 2|＝|a 2﹣3|，要使原不等式恒成立，则只需|a 2﹣3|＜2a ，由﹣2a ＜a 2﹣3＜2a ，即{a 2+2a −3＞0a 2−2a −3＜0，即为{a ＞1或a ＜−3−1＜a ＜3，可得1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围是（1，3）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

重庆八中2024—2025学年度(上)高三年级入学适应性训练数学答案

重庆八中2024—2025学年度（上）高三年级入学适应性训练数学试题参考答案一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A B A C C A D B 【1】{|61}A x x x =><−或，{|3,}{4,5,6,}B x x x N =>∈=，{|16}R A x x =−≤≤【2】1x y +>−不能推出0x y +>，A ∴错误；00x y x y >>⇒+>，当2x =−，3y =时，满足0x y +>，但不满足0x y >>，B ∴正确；当2x =−，3y =−时，满足0xy >，但不满足0x y +>，C ∴错误；当3x =−，2y =−时，满足220x y −>，但不满足0x y +>，D ∴错误，故选：B ．【3】()()f x f x −=−⇒函数()y f x =为奇函数，图象关于原点对称，排除CD ；1()0f eπππ−−=<，故选A 【4】由题意可得，1531922a a a +==，313313192288128192a a b b b b ∴=⇒=⇒=，选C ．【5】由题知020θ=，180θ=，50θ=，所以()0.025*******e t−=+−，可得0.021e 2t −=，所以10.02ln ln 22t −==−，50ln 2345t ∴=≈．，即某物体的温度从80C ︒下降到50C ︒以下，至少大约需要35分钟.故选C.【6】令()f x t =，若函数2()[()]()1g x f x af x =−−有三个零点，则方程2()10h t t at =−−=有一根在(0,)+∞上，一根在(0,)+∞上，则只需(1)0h −>即可，故0a >，选A【7】因为()()2()x f xy f f x y+=，所以()()()()x f xy f x f x f y −=−，所以1(2)(2)k k f f −−=121(2)(2)(2)(1)2k k f f f f −−−==−=，所以(2)2k k f =，所以11(2)(1)4kk nf n n ==+∑.【8】由题可知函数()g x 图象为()f x 图象向左平移一个单位得到，()f x 图象与两坐标轴围成的图形面积即为()g x 图象与10x y =−=，所围成的图象面积，32()log 22xg x x x −=−++，定义域为(2,2)−，32()log 22xg x x x +−=++−+，则有()()4g x g x +−=，函数()g x 的图象关于点(0,2)成中心对称，又(1)4(1)0g g −==，，且点(1,4)−与点(1,0)也关于点(0,2)成中心对称，由基本初等函数的单调性可得函数()g x 在区间(1,1)−上单调递减，因此与坐标轴围成图形的面积是12442⨯⨯=．故选：B ．二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项题号9 10 11 答案AD ACD BCD详细解答：【9】设原样本为1x ，2x ，⋯，n x ，其平均数为0x ，则10ni i xx n=∑=，混入后为0x ，1x ，2x ，⋯，n x ，平均数为x ，于是0000(1)111nniii i ix x x n x x x n n n ==+∑∑+====+++，则这两组数据的平均数相同，故A 正确；取这组数据为1,2,3,4,10，则其中位数为3，加入平均数4后，中位数变为3.5，于是可得这两组数据的中位数不一定相同，故B 错误；取这组数据为1,2,3,4,5，则其标准差为2315，于是可得这两组数据的标准差不同，故C 错误；不妨设12n x x x ≤≤≤，由于10n x x x ≤≤，故这两组数据的极差相同，故D 正确．故选：AD ．【10】由0a >，0b >，22a b ab +=，变形为1112a b +=．A ，由“乘1法”可得：11222(2)()2224222a b a ba b a b a b b a b a+=++=+++⋅=，当且仅当22a b b a=，即2a =，1b =时取等号，A 正确； B ，由“乘1法”可得：11333()()22222222a b a b a b a b a b b a b a +=++=+++⋅=，当且仅当2a bb a =，即22122a b ++==B 错误； C ，222a b ab +，当且仅当2a b =，即2a =，1b =时取等号，∴222ab ab ，化为2ab ，当且仅当2a =，1b =时取等号，C 正确；D ，2244a b ab +，当且仅当2a b =，即2a =，1b =时取等号，由C 知2ab ，当且仅当2a =，1b =时取等号，2248a b ∴+，当且仅当2a =，1b =时取等号，D 正确．【11】()2ln 11f x x x =−−−的定义域为()()0,11,∞+，()()21201f x x x '=+>−在定义域上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为()0,1，()1,+∞，故A 错误；1122ln 1ln 1111x f x x x x x⎛⎫=−−=−−+ ⎪−⎝⎭−，所以()122201x f f x x x −⎛⎫+=−+= ⎪−⎝⎭，又202420251log 2025log 2024=，所以()()20242025log 2025log 20240f f +=，故B 正确；()()e 1221ln e ln e 1e e 1e 1e1b b b b bbbf a b f −−−+=−=+−=−−=−−−，因为()0,b ∈+∞，所以0<e 1b −<，又()0,1a ∈，所以e b a −=，即e 1b a =，故C 正确.(1)()f a f a −>即12(1)()ln(1)(2)(1)f a f a a a a −−=−−−−，由1ln 1x x>−，2(1)()101(2)(1)(1)(2)a af a f a a a a a a −−−>−−=>−−−−−，故选：BCD题号 12 1314 答案 2 382e −1【12】解法一：12F PF △的面积为1222cot 22F PF b b θ=⋅==△S解法二：设12||,||()PF x PF y x y ==>，由定义4x y −=，1290F PF ∠=︒，2224x y ∴+=，2222()8xy x y x y ∴=+−−=，4xy ∴=，12F PF ∴的面积为122xy = 【13】设直线l 与曲线()y f x =相切于点()00,x y ，由()22e xf x '=，得()0202e x k f x '==，因为l 与曲线()2xf x e =相切，所以0002002()2e e 1x x y x y ⎧=⎪⎨=−⎪⎩，消去0y ，解得032x =，32k e =．设l 与曲线()y g x =相切于点11(,)x y ，由()112g x x '=，得3122k e x ==，即131x e=，331131(1)2(1)22e y k x e e =−=−=−，因为11(,)x y 是l 与曲线()2ln g x x a =+的公共点，所以331222ln()e a e−=+，解得382a e =−．【14】因为函数()y f x =的定义域为R ，()1f x −为奇函数，()1f x +为偶函数，所以，函数()f x 的图象关于点()1,0−对称，也关于直线1x =对称，所以，()()2f x f x −=+，()()2f x f x −=−−，所以，()()22f x f x +=−−，则()()()84f x f x f x +=−+=，所以，函数()f x 是周期为8的周期函数，当(1,1]x ∈−时，()21f x x =−，则()11f =，()()710f f =−=，()()801f f ==−，()()201f f ==−，()()310f f =−=，()()()4621f f f =−−=−=，()()()5311f f f =−=−=−，()()()6801f f f =−−=−=，所以，()81110111010k f k ==−++−++−=∑，又因为20248253=⨯，所以，()()2025811253(1)253011k k f k f k f ===+=⨯+=∑∑四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15】（1）在14(21)1n n S n a +=−+中，令1n =，得241a =+，解得23a =，因为14(21)1n n S n a +=−+，所以当2n ≥时，14(23)1n n S n a −=−+，两式相减，得14(21)(23)n n n a n a n a +=−−−，所以1(21)(21)n n n a n a ++=−，即12121n n a n a n ++=−(2n ≥)，当1n =时，213a a =符合该式，所以()13211221212353···121,2232531n n n n n a a a a n n a a n n a a a a n n −−−−−=⋅⋅⋅⋅=⋅⨯⨯=−≥−−，又因为11a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =−． ……………………6分（2）因为11111()(2)(21)(21)22121n n n c a a n n n n ===−+−+−+，所以12n n T c c c =++⋅⋅⋅+11111111111(1)()()()2323525722121n n =−+−+−+⋅⋅⋅+−−+11(1)22121n n n =−=++，所以21n n T n =+. …13分【16】（1）()e 212x f x ax a −=−+，则()e 2xf x a '=−. ……………………1分当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在R 上单调递增； ……………………3分当0a >时，令()0ln 2,()0ln 2f x x a f x x a ''>⇒><⇒<，所以()f x 在(ln 2,)a +∞上单调递增，在(,ln 2)a −∞上单调递减.综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(ln 2,)a +∞上单调递增，在(,ln 2)a −∞上单调递减. ………………………7分（2）由()()f x g x ≥，得e 212(1)ln(1)x ax a x x −−+≥−−，即e 1(1)ln(1)2(1)xx x a x −≥−−+−，令1t x =−，则1e1ln 2(0)t t t at t +−≥+>，即不等式1e 12ln t a t t+−≤−在(0,)+∞恒成立，…9分设1e 1()ln (0)t h t t t t+−=−>，则12(1)(e 1)()t t h t t +−−'=， ………………………11分令()001,()01h t t h t t ''<⇒<<>⇒>，所以()h t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则2()(1)e 1h t h ≥=−，所以22e 1a ≤−，即实数a 的取值范围为2e 1(,]2−−∞. …………15分【17】（1）椭圆22184:1x y C +=的焦点(2,0)±，椭圆222:1912x y C +=的焦点(0,3)± 易知椭圆C 的焦点在x 轴上，且23a b =⎧⎪⎨⎪⎩2243:1x y C +=. …………6分（2）证明：因为点00(1,),0P y y >在椭圆2243:1x y C +=上，解得032y =. 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:AB y kx m =+．联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(34)84120k x kmx m +++−=，则()2248340k m ∆=+−>，122834km x x k −+=+，212241234m x x k −=+，进而()121226234m y y k x x m k +=++=+， ()()()222121212122212334km k m y y kx m kx m k x x x m x k−+++=++=++=…………9分因为PA PB ⊥，所以12123322111PA PBy y k kx x −−−=⋅=⨯−−，即()()12123311022x x y y ⎛⎫⎛⎫−−+−−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12121212391024x x x x y y y y −+++−++=，即2241234m k −−+28134km k −+++2222123369()0243434k m m k k −+−+=++ 即22079894km m k m +−−+= …………12分法一（双十字相乘法）03(7)2)(23m k m k +−+=+法二（待定系数法）0())(am bk c dm f ek +++=+或0(9)()())4(77m k m k m k a k m b ++++−+=+ 法三（主元法）233(89)))027((2m k k m k +−−+=+⇒03(7)2)(23m k m k +−+=+因为PA PB ⊥，所以点P 不在直线AB 上，则032m k +−≠，所以3714k m −−=所以直线13:()714AB y k x =−−过定点13(,)714−． …………15分【18】（1）依题意得：每次抛游戏币2a 落下时正面向上的概率均为为14，故1(,10)4X B ，于是15()1042E X =⨯=，当2k =时，()P X k =最大． …………4分（2）记事件k A 为“第k a 枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，则1()2k P A k=，1,2,3k =，Y 可取0，1，2，3．由事件k A 相互独立，则1231231115(0)()()()()(1)(1)(1)24616P Y P A A A P A P A P A ====−−−=．123123123(1)()P Y P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)246246246=⨯−⨯−+−⨯⨯−+−−⨯135115131246246246=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯2348=． 123123123(2)()()()P Y P A A A P A A A P A A A ==++111111111(1)(1)(1)246246246=⨯⨯−+⨯−⨯+−⨯⨯15131186124224=⨯+⨯+⨯316=．1231111(3)()24648P Y P A A A ===⨯⨯=． X0 1 2 3 P516 2348 316148（3）不妨假设按照1a ，2a ，，n a 的顺序抛这n 枚游戏币．记抛第k a 枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为k P ，1k =，2，，n ．于是1111(1)(1)22k k k P P P k k−−=⋅−+−⋅1111_222k k k P P P k k k −−−=−+111(1)2k P k k −=−+． …13分即1112k k k P P k k−−=⋅+．即11(1)2k k kP k P −=−+，2k ．记k k b kP =，则112k k b b −−=，2k ，故数列{}n b 为首项是1112P ⨯=，公差为12的等差数列．故11(1)222k k b k =+−⨯=，则2k k kP =，故12k P =，1k =，2，3，，n ．则12n P =．故公平．……………………………17分【19】（1）据题意，()g x 的定义域为(),1−∞，由()1111xg x x x '=+=−−，知()g x 在(),0−∞单调增，在()0,1单调减，所以()()max 00g x g ==． …………4分（2）据题意，()f x 的定义域为()(),00,1−∞，由()()2ln 11x x x f x x−−−'=．令()()ln 11x x x x ϕ=−−−，则()()()2211111x x x x x ϕ'=−−=−−−−，于是知()x ϕ在(),0−∞单调增，在()0,1单调减，所以()()00x ϕϕ≤=，则()()20x f x x ϕ'=≤，即()f x 在(),0−∞单调减，也在()0,1单调减． …………8分【如果回答在定义内单调递减，则需要证明，过程如下：由（1）知：()ln 1x x −<−，则有()()()()1010f x x f x x ⎧<−>⎨>−<⎩，所以对()()12,0,0,1x x ∀∈−∞∀∈，都有()()121f x f x >−>，故()f x 是其定义域上的减函数．若没有以上证明，此处扣1分】（3）令()()ln 11x h x x ax =−−−，则()()()()()2222121111111111a x a ax ax x h x x x x ax ax ax +−−−'=−=+=⋅−−−−−− ①当12a >时，有120a −<，于是对()2210,10,a x a ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭，有()0h x '>，()h x 单调增，存在()12210,10,a x a ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭，使得()()100h x h >=，即()111ln 11x x ax −>−，即()1111f x ax >−，矛盾； …………11分 ②当12a <时，有120a −>，于是对221,0a x a ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭，有()0h x '>，()h x 单调增，存在2221,0a x a ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭使得()()200h x h <=，即()222ln 11x x ax −<−，即()2211f x ax >−，矛盾； …………14分③当12a =时，()()()22012x h x x x '=<−−，则()h x 在(),1−∞单调减，又()0h x =，所以()()()()0000h x x h x x ><⎧⎨<>⎩，则()0h x x <，即()11f x ax <−，符合题意．综上：12a =．……17分。

重庆市第八中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试题

重庆市第八中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试题一、单选题1．下列四组数中，是勾股数的一组是（）A ．1，2，3B ．3，4，5C ．3，3，4D 2．一直角三角形的两直角边长分别为9，12，则斜边长为（）A ．13B ．14C ．15D ．203．如图，BD AB BD CD ⊥⊥，，添加条件后能用“HL ”判定ABD CDB △≌△是（）A ． AD CB = B ． AB CD =C ．A C ∠=∠D ． AD BC ∥ 4．如图，在33⨯的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，A ，B 均在格点上，则线段AB 的长为（）A ．1B ．2 CD ． 35．已知：在ABC V 中，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠，C ∠的对边，则下列条件中不能判断ABC V 是直角三角形的是（）A ．ABC ∠∠=∠+B ．345A BC ∠∠∠=：：：：C ．1a =，b 2c =D ．345a b c =：：：： 6．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A ，离地距离2AB =米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.5米的学生CD 刚走到离门间距 1.2CB =米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD 为（）A ．1.2米B ．1.3米C ．1.5米D ．2米7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，已知BC=8，AC=6，则斜边AB 上的高是( )A ．10B ．5C ．245D ．12582，那么这个三角形的形状为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 9．等边三角形的边长为4，则该三角形的面积为（）A ．2B ．4C ．D ．10．如图，Rt ABC △中，9045B BC AC ∠=︒==，，，将CDE V 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则CE 的长等于（）A ．2B ．258C ．78 D ．3二、填空题11．一直角三角形斜边长为10，一直角边长为9，则另一直角边长为．12．如图，在矩形ABCD 中，AB 在数轴上，3AB =，1BC =，若以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧，交数轴于点M ，则点M 的表示的数为．13．一副直角三角板按如图所示摆放，其中AB 的长为a ，则AD 的长为．14．将矩形纸片ABCD 按如图所示折叠，已知10cm AD =，8cm AG HB ==，EF GI HJ CB ∥∥∥，4cm EG EH GH ===，则蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是cm ．三、解答题15．计算：(1)()02 3.14π--；(3)()()()22115a a a +--+；(4)()()()2233232x y y x y x -++-．16．先化简，再求值：()()()()22232x y x y y x y x ⎡⎤++-++÷-⎣⎦，其中2x =-，1y =． 17．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，D ，P 分别是AB ，AC 上的点，且AP DP =．(1)用尺规作BD 的垂直平分线EF ，交BC 于点E ，交BD 于点F （不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，连接DE ，求证：DE DP ⊥（补全下面的证明过程，不写证明理由）．证明：∵PA PD =，∴①____________，∵EF 是BD 的垂直平分线，∴②_____________，∴B EDB ∠=，∵90C ∠=︒，∴A B ∠∠=︒+90，∴③____________，∵180ADP PDE EDB ∠+∠+∠=︒，∴90PDE ∠=︒，∴④___________．18．如图，在ABC V 中，点D 在边BC 上，已知512CD AD ==，，点E 在AD 上，13BE AC ==．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若CD ED =，求AB 的长．四、填空题19．一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是．20．如图，圆柱形杯子容器高为5cm ，底面周长为6cm ，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁点A 处，蚂蚁需绕行杯子两周到达点A 的正上方点B 处，则爬行的最短路径为cm ．21．如图，在44⨯的网格中，每个小正方形的边长为1，点A ，B ，C 均在格点上，D 是AB 与网格线的交点，则CD 的长为．22．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为1S，以CD为斜边作等腰直角三角形，S，…，按照此规律以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S的值为．继续下去，则4235=，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边长度5)0a>可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知()+=>>，a b a b1200五、解答题24．台风会引起城市积涝、山体滑坡等严重灾害，为降低台风贝碧嘉的影响，A市实时跟踪其运动状态，气象站测得台风中心在其正南方向800千米的B处，以60千米/时的速度向北偏西30︒的BF方向移动，已知距台风中心500千米范围内是受台风影响的区域．(1)A市是否会受到台风的影响？请说明理由；(2)如果A市受这次台风影响，那么影响的时间有多长？25．如图，在ABC V 中，D 是BC 上一点，E 、F 分别在边AB 、AC 上．(1)如图1，若DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE DF =，120BAC ∠=︒，3AE =，求DE 的长；(2)如图2，若45A ∠=︒，D 为BC 中点，DE DF ⊥，BE 3CF =，求EF 的长． 26．如图所示，等腰直角ABC V 中，90AB AC BAC =∠=︒，，平面内有两点D 、F ，连接AD CD CF ，，，满足90CD CF DCF =∠=︒，．(1)如图1，连接DF ，若点F 恰好在AB 上，且602AFC AF ∠=︒=，，求CDF V 的面积．(2)如图2，连接DF ，若DF 恰好过BC 的中点E ，求证：DE EF =+．。

重庆市第八中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

重庆市第八中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题一、单选题1．实数5-的相反数是（）A ．5B ．5-C ．15D ．15- 2．下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（）A ．B ．C ．D ． 3．下列各式中，计算结果等于9a 的是（）A ．36+a aB ．36a a ⋅C ．10a a -D ．182÷a a 4．如图，把一块含有45︒角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果225∠=︒，那么1∠的度数是（）A ．30︒B ．25︒C ．20︒D ．15︒5．如图，是由一些小棒搭成的图案，按照这种方式摆下去，摆第9个图案所用小棒的数量为（）A ．33B ．36C ．37D ．416．五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h （米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t （分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A ．摩天轮旋转一周需要6分钟B ．小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同C ．小明离地面的最大高度为42米D ．小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米7．如图，以点O 为位似中心，把ABC V 放大2倍得到A B C '''V ．下列说法错误的是( )A ．ABC ABC '''∽△△B ．:1:2AO AA '=C ．AB A B ''∥D ．直线CC '经过点O8．如图，AB 是O e 的直径，延长AB 至,C CD 切O e 于点D ，过点D 作DE AB ∥交O e 于点E ，连接BE ．若12,15AB ABE =∠=︒，则BC 的长为( )A ．3B ．C ．6D ．69．如图，E 是正方形ABCD 的边CD 上的一点，连接AE ，点F 为AE 的中点，过点F 作AE的垂线分别交AD ，BC 于点M ，N ，连接AN ，若36AB DE ==，则A M N △的面积为（）A ．8B ．10C ．12D ．2010．依次排列的两个整式2a b -+，23a b -将第1个整式乘2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式65a b -+；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式1011a b -；将第3个整式乘2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式2221a b -+；⋯，以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有（）个． ①第6个整式为4243a b -+；②第n 个整式中a 系数与b 系数的和为1；③若2024a b ==，则前n 个整式之和为2024n ．④第n 次与第1n +次操作后得到的两个整式中a 与b 所有系数的绝对值之和为32n +；A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．太阳中心的温度可达15500000℃，数据15500000用科学记数法表示为.12．计算1133-⎛⎫= ⎪⎝⎭． 13．现有三张正面分别标有数字1-，0，2的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为a ，放回洗匀后再随机抽取一张，将卡片上的数字记为b ，则满足0⋅=a b 的概率为．14．如图，点M 是反比例函数()0k y x x=<图像上的一点，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，点P 在y 轴上，若MNP △的面积是2，则k =．15．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD =，45A ∠=︒，6AD =，2BC =，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧交CD 于点E ，则图中阴影部分面积为．16．如图所示，在ABC V 中，2AC AB =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，若3AB =，5CD =，则在ABC V 的周长为．17．若关于x 的不等式组153613x x x a ++⎧>⎪⎨⎪+≥+⎩的解集为3x >，关于y 的分式方程12233a y y --=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为．18．一个四位正整数M ，各个数位均不为零，如果千位数字与个位数字之和的两倍等于百位数字与十位数字之和的三倍，且各个数位数字之和为20，则称M 为“第二十数”，那么百位数字和十位数字之和为，并规定()F M 等于M 的千位数字与百位数字之和的两倍与十位数字与个位数字之和的和，且()F M 为完全平方数；对于另一个“第二十数”N ，()G N 等于N 的前两个数字组成的两位数与后两个数字所组成的两位数的和，且()5G N 是一个整数，则N M -的最大值是．三、解答题19．计算：(1)()()232x x y x y -+- (2)22411369a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭ 20．如图，在ABCD Y 中，CE BC ⊥分别交AD ，BD 于点E ，F ．(1)用尺规完成以下基本作图：过点A 作BC 的垂线，分别交BD ，BC 于点G ，H ，连接AF ，CG ；（保留作图痕迹，不写作法和结论）(2)根据（1）中所作图形，小南发现四边形AGCF 是平行四边形，并给出了证明，请你补全证明过程．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AB CD =，①，∴ABG CDF ∠=∠．∵AH BC ⊥，CE BC ⊥，∴AHB ECB ∠=∠=②度，∴AG CF ∥，∴BGA EFB ∠=∠．又∵③，∴BGA DFC ∠=∠，在△ABG 和△CDF 中，ABG CDE BGA DFC AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABG CDF AAS ∆∆≌． ∴④，又∵AG CF ∥，∴四边形AGCF 是平行四边形．21．学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为,,,A B C D 四个等级，分别是：:70A x <，7080809090100Bx C x D x ≤<≤<≤≤∶，∶，∶．下面给出了部分信息：其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，90，91，92，94，95，96，96；九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，88．两组数据的平均数、中位数、众数如表所示：根据以上信息，解答下列问题(1)填空：a=______，b=______，m=______；(2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；(3)若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？22．某工厂加工生产大，小两种型号的齿轮，每名工人每天只能生产一种型号的齿轮．一名熟练工每天生产的小齿轮数量是大齿轮的43，并且生产240个大齿轮所用的时间比生产同样数量的小齿轮要多用10天(1)求一名熟练工每天可以生产多少个大齿轮；(2)该工厂原有15名熟练工，由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，已知新工人每人每天可以生产3个大齿轮或5个小齿轮，工厂决定派3名熟练工带领一部分新工人一起生产大齿轮，其余工人全部生产小齿轮．已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配套．若一共招聘了28名新工人，问安排多少名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套？23．如图1，在等腰ABC V 中，10AB AC ==，16BC =，D 为底边BC 的中点，点P 从A 点出发以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，动点Q 从C 点出发，以每秒2个单位长度的速度；沿着C A B →→的路线运动，设运动时间为t ，连接AD ，DP ，DQ ，记ADP △的面积为1y ，记CDQ V的面积为2y ，请解答下列问题：(1)请直接写出1y ，2y 与t 之间的函数关系式以及对应的t 的取值范围；并在如图2所示的平面直角坐标系中分别画出1y ，2y 的函数图象；(2)观察2y 的函数图象，写出函数2y 的一条性质；(3)根据图象，直接写出当12y y ≥时，t 的取值范围.24．如图是体育公园步道示意图．从A 处和得点B 在北偏东45︒，测得点C 在北偏东75︒，在点C 处测得点B 在北偏西45︒，1800AB =米．(1)求步道AC 的长度（结果保留根号）；(2)游客中心Q 在点A 的正东方向，步道AC 与步道BQ 交于点P ，测得45APQ ∠=︒，小明和爸爸分别从B 处和A 处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．（结果精确到0.1）（参考1.414≈ 1.732≈2.449）25．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0A -，点()3,0B ，交y 轴于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点P 在直线BC 上方抛物线上运动，过点P 作PE BC ⊥，PF x ⊥轴于点F ，求12AF +的最大值，以及此时点P 的坐标． (3)将原抛物线沿x 轴向右平移1个单位长度，新抛物线与y 轴交于点C '，点B 的对应点为B '，点N 是第一象限中新抛物线上一点，且点N 到y 轴的距离等于点A 到y 轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点M ，使得MNB C B N '''∠=∠，请写出所有符合条件的点M 的横坐标，并写出其中一个的求解过程．26．如图，将ABC V 的边AC 绕点C 逆时针旋转α 0°<α<360°至CD ，直线CD ，AB 交于点E ，连接AD ，直线AD ，BC 交于点F ．(1)如图1，当ACB α<∠时，若45F ∠=︒，5AB AC ==，4CE =，求BC 的长；(2)如图2，当A C B α<∠时，若2BEC F ∠=∠，BAF BCD F ∠+∠=∠，猜想线段AD 与BF 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，当180180ACB α︒<<︒+∠时，若60BEC ∠=︒，6AB AC ==，点P 在线段AD 上且满足32AP CF=，G，H分别为线段CP，AP上两点，连接GH，将ACP△沿GH折叠使得点P的对应点P'落在AC上，连接PP'，与折痕GH交于点O，请直接写出CP最小时，点O到AC的距离．。

2020-2021学年重庆八中八年级(下)期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年重庆八中八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共31.0分）1. 下列图案中既是轴对称又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.2. 定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，(x −3)(x −6)=0的实数根是3或6，x 2−3x +2=0的实数根是1或2，3：6=1：2，则一元二次方程(x −3)(x −6)=0与x 2−3x +2=0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是( )A. x 2−16=0与x 2=25B. (x −6)2=0与x 2+4x +4=0C. x 2−7x =0与x 2+x −6=0D. (x +2)(x +8)=0与x 2−5x +4=03. 已知线段a =4，b =16，线段c 是a 、b 的比例中项，那么c 等于( )A. 10B. 8C. −8D. ±84. 下列因式分解正确的是( )A. 12abc −9a 2b 2=3abc(4−3ab)B. 3m 2n −3mn +6n =3n(m 2−m +2)C. −x 2+xy −xz =x(x +y −z)D. a 2b +5ab −b =b(a 2+5a)5. 已知关于x 、y 的方程组{2ax −3by =2c 3ax +2by =16c的解是{x =4y =2，则关于x 、y 的方程组{2ax −3by +2a =2c3ax +2by +3a =16c的解是( ) A. {x =4y =2B. {x =3y =2C. {x =5y =2D. {x =5y =16. 如图，在△ABC 中，AC >BC ，∠ACB 为钝角．按下列步骤作图：①在边BC 、AB 上，分别截取BD 、BE ，使BD =BE ； ②以点C 为圆心，BD 长为半径作圆弧，交边AC 于点F ；③以点F 为圆心，DE 长为半径作圆弧，交②中所作的圆弧于点G ；④作射线CG 交边AB 于点H ．下列说法不正确的是( )A. ∠ACH =∠BB. ∠AHC =∠ACBC. ∠CHB =∠A +∠BD. ∠CHB =∠HCB7. 已知a ，b ，c 均为正数，且ab+c =bc+a =ca+b =k ，则下列4个点中，在反比例函数y =kx图象上的点的坐标是( )A. (1,12)B. (1,2)C. (1,−12)D. (1,−1)8. 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC =4，BC =3，则sinA =( )A.B.C.D.9. 如图，在▱OABC 中C(2,0)，AC ⊥OC ，反比例函数y =kx (k >0)在第一象限内的图象过点A ，且与BC 交于点D ，点D 的横坐标为3，连接AD ，△ABD 的面积为1718，则k 的值为( )A. 4B. 5C. 1718D. 17310. 某天早上小明上学，先步行一段路，因时间紧，他又改乘出租车，结果到校时还是迟到了2分钟，其行程情况如图，若他出门时直接乘出租车(两次车速相同)，则正确的判断是( )A. 仍会迟到2分钟到校B. 刚好按时到校C. 可以提前2分钟到校D. 可以提前5分钟到校二、填空题（本大题共9小题，共35.0分）11. 下面有四个命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；⑤一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形：其中，正确的命题的是______(填序号)12.分式√x−2有意义时，x的取值范围是______．13.图中是两个全等的正五边形，则∠α=______．14.若一次函数的图象经过点A(1,2)，点B(2,1)，则函数表达式为______．15.如图，将△ABC沿射线BC方向平移到△DEF的位置，若∠DEF=35°.∠ACB=65°.则∠A的大小是______度．16.有六张正面分别标有数字−2，−1，0，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为m，则使关于x的分式方程1−mx1−x −1=m2−1x−1有正整数解的概率为______．17.分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是(x−3)(x+2)，乙看错了b值，分解的结果是(x−2)(x−3)，那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是______．18.用式子表示x的3倍与y的5倍的和是______ ．19.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为______三、解答题（本大题共9小题，共84.0分）20.计算：(1)2−1−(−0.5)0−sin30°；(2)(x−2)2−x(x−3)；(3)解方程：3−xx−4+14−x=1；(4)解不等式组：{12x+1<321−5(x+1)≤6．21.化简求值：(1+1a )⋅aa2−1−11−a，其中a=−322.如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．(1)求证：四边形BFEG是矩形；(2)求四边形EFBG的周长；(3)当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？23.在临江河的治理过程中，要铺设一条长为1000米的管道，由甲、乙两个工程队来完成这一工程.甲队比乙队每天能多铺设20米，且甲队铺设350米所用的时间与乙队铺设250米所用的时间相等．(1)甲、乙两个队每天各能铺设多少米？(2)如果要求工程的工期不能超过10天，那么为两个队分配工程的方法有几种？请设计出来．24.为推动我校科技活动的蓬勃开展，培养中学生的创新精神和实践能力，提高中学生科技素质，我校计划组织一批爱好科技的学生参加第36届山西省青少年科技创新大赛．为了让同学们能更好地备赛，学校打算从在往届比赛中已获得国家一等奖的小亮、小白、小颖、小刚四名同学中随机选择两位同学跟本次参的同学分享创作经验和感受．请用列表或画树状图的方法求出小亮和小颖恰好被同时选中的概率．25.为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．(1)校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？(2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度y(单位：mg/m3)与时间x(单位：min)的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y=2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A(m,n).当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室(共11间)进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．26.如图，将1至9九个数字写在一张纸条上，将它剪成三段，每段上数字连在一起算一个数，把这三个数相加，使和能被77整除，那么中间一段的数是多少？27.在平面内，C为线段AB外的一点，若以A，B，C为顶点的三角形为直角三角形，则称C为线段AB的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C为线段AB的等腰直角点．(1)如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(4,0)，在点P1(0,−1)，P2(5,1)，P3(2,2)中，线段OM的直角点是______；(2)在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(1,4)，(1,−6)，直线l的解析式为y=−x+7．①如图2，C是直线l上的一个动点，若C是线段AB的直角点，求点C的坐标；②如图3，P是直线l上的一个动点，将所有线段AP的等腰直角点称为直线l关于点A的伴随点．若⊙O的半径为r，且⊙O上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点，直接写出r的取值范围．28.实验与探究(1)在图1、图2、图3中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标，写出图1、图2、图3中的顶点C的坐标，它们分别是______ ，______ ，______ ．(2)在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标(如图所示)，求出顶点C的坐标(C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示)；归纳与发现(3)通过对图1、图2、图3、图4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点C坐标为(m,n)(如图4)时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为______ ；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为______ (不必证明)．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；C.是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选C．2.【答案】C【解析】解：A、方程x2−16=0的实数根是4，x2=25的实数根是5，∵4：4=5：5，∴一元二次方程x2−16=0与x2=25为相似方程；B、方程(x−6)2=0的实数根是6，x2+4x+4=0的实数根是−2，∵6：6=−2：−2，∴一元二次方程(x−6)2=0与x2+4x+4=0为相似方程；C、方程x2−7x=0的实数根是0或7，x2+x−6=0的实数根是−3或2，∵0：7≠−3：2，∴一元二次方程x2−7x=0与x2+x−6=0不是相似方程；D、方程(x+2)(x+8)=0的实数根是−2或−8，x2−5x+4=0的实数根是1或4，∵−2：−8=1：4，∴一元二次方程(x+2)(x+8)=0与x2−5x+4=0为相似方程；故选：C．分别求出选项中两个方程的解，再结合“相似方程”的定义即可确定结论．本题考查了解一元二次方程，读懂题意，正确理解“相似方程”的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】试题分析：根据线段比例中项的概念，a ：b =b ：c ，可得c 2=ab =64，故c 的值可求．∵线段c 是a 、b 的比例中项， ∴c 2=ab =64，解得c =±8，又∵线段是正数， ∴c =8．故选 B ．考点：图形的相似4.【答案】B【解析】解：A 、12abc −9a 2b 2=3ab(4c −3abc)，故此选项错误； B 、3m 2n −3mn +6n =3n(m 2−m +2)，正确； C 、−x 2+xy −xz =x(−x +y −z)，故此选项错误； D 、a 2b +5ab −b =b(a 2+5a −1)，故此选项错误；故选：B ．直接利用提取公因式法分解因式，进而判断得出答案．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．5.【答案】B【解析】解：∵关于x 、y 的方程组{2ax −3by =2c 3ax +2by =16c的解是{x =4y =2，∴关于x 、y 的方程组{2ax −3by +2a =2c 3ax +2by +3a =16c ，即{2a(x +1)−3by =2c3a(x +1)+2by =16c 的解为{x +1=4y =2，即{x =3y =2，故选：B ．仿照已知方程组的解，确定出所求方程组的解即可．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．6.【答案】D【解析】解：根据作图过程可知：∠ACH=∠B，所以A选项正确；∵∠AHC=∠HCB+∠HBC=∠HCB+∠ACH=∠ACB，所以B选项正确；∵∠CHB=∠A+∠ACH=∠A+∠B，所以C选项正确；∵BC≠BH，∴∠CHB≠∠HCB．所以D选项错误．故选：D．根据作图过程可得A选项正确，再根据三角形外角定义可得B和C选项正确，进而可以判断．本题考查了作图−复杂作图、等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定．7.【答案】A【解析】解：已知a，b，c均为正数，且ab+c =bc+a=ca+b=k，根据等比性质，得到k=a+b+cb+c+c+a+a+b =12，因而反比例函数y=kx 的解析式是y=12x，然后检验一下各个选项是否满足解析式，满足解析式的点就在函数图象上．故选：A．根据已知等式，利用比例的等比性质可得出k的值，即可得出反比例函数的关系式，再对各选项逐一分析即可．本题主要考查了函数图象上的点与图象的关系，图象上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图象上．解决本题的关键是能利用等比性质求出k的值．8.【答案】C【解析】试题分析：根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义解答即可。

重庆市直属校重庆市第八中学等2020┄2021届高三3月月考试题英语无答案

第一部分听力（共两节，满分30 分）第一节（共5小题；每小题1.5 分，满分7.5 分）听下面 5 段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的 A、B、C 三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有 10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.Why did the woman go to Beijing？A.To visit friends.B. To go sightseeing.C. To take a business trip.2.Where does the conversation take place？A.At home.B. At a bookstore.C. At a restaurant.3.What is the woman related to Henry？A.His classmate.B. His co-worker.C. His sister.4.What will the woman do next？A.Prepare a meal.B. Pick up Jim.C. Play with her kids.5.What programme does the girl want to watch？A.An Indian film.B. A dance competition.C. A history programme.第二节（共15 小题；每小题1. 5 分, 满分22. 5 分）听下面5 段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题, 从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前, 你将有时间阅读各个小题, 每小题 5 秒钟；听完后, 各小题将给出 5 秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第 6 段材料, 回答第6、7 题。

6.What do the speakers decide to do today？A.Watch a movie.B. Go to a park.C. Rest at home.7.Why does the man want to call Tim？A.To invite him to join them.B.To seek some suggestions.C.To ask about his eyes.听第 7 段材料, 回答第8、9 题。

重庆市第八中学校2023届高三上学期适应性月考(三)数学试题含答案

秘密★启用前重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷（三）数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合,A B 满足{}{}{}0,2,4,6,8,10,2,8,2,6,8A B A B A ⋃=⋂==，则集合B 中的元素个数为（）A.2 B.3 C.4 D.52.复数12i3i z -=+的虚部为（）A.710- B.7i 10- C.75- D.7i5-3.圆22:(1)(1)2C x y -+-=关于直线:1l y x =-对称后的圆的方程为（）A.22(2)2x y -+=B.22(2)2x y ++=C.22(2)2x y +-=D.22(2)2x y ++=4.如图所示，平行四边形ABCD 的对角线相交于点,2O AE EO =，若(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+等于（）A.1B.1-C.23-D.185.已知0,0a b >>，则242ba b a++的最小值为（）A.B.C.1D.1+6.法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，现有椭圆222:116x y C a +=的蒙日圆上一个动点M ，过点M 作椭圆C 的两条切线，与该蒙日圆分别交于,P Q 两点，若MPQ 面积的最大值为34，则椭圆C 的长轴长为（）A.B.C.D.7.已知数列{}n a 满足21121411,,32n n n n a a a a a a +++===，则5a =（）A.122-B.102-C.92-D.82-8.函数()f x 和()g x 的定义域均为R ，且()43y f x =+为偶函数，()41y g x =++为奇函数.对x R ∀∈，均有()()21f x g x x +=+，则()()77f g ⋅=（）A.575B.598C.621D.624二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小題给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕπ=+<<，曲线()y f x =关于点7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，则（）A.将该函数向左平移6π个单位得到一个奇函数B.()f x 在37,46ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.()f x 在7,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个极值点D.曲线()y f x ='关于直线6x π=对称10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若677889,,S S S S S S =<>.则下列结论正确的有（）A.790a a +=B.610S S >C.数列{}n a 是递减数列D.使0n S >的n 的最大值为1511.已知点P 为圆22:(2)(3)1(C x y C -+-=为圆心）上的动点，点Q 为直线:350l kx y k --+=上的动点，则下列说法正确的是（）A.若直线:350l kx y k --+=平分圆C 的周长，则2k =B.点C 到直线lC.若圆C 上至少有三个点到直线l 的距离为12k <<D.若1k =-，过点Q 作圆C 的两条切线，切点为,A B ，当QC AB ⋅最小时，则直线AB 的方程为33170x y +-=12.已知点P 为抛物线2:2(0)C x py p =>上的动点，F 为抛物线C 的焦点，若PF 的最小值为1，点()0,1A -，则下列结论正确的是（）A.抛物线C 的方程为24x y =B.PF PA的最小值为12C.点Q 在抛物线C 上，且满足2PF FQ = ，则92PQ =D.过()2,1P -作两条直线12,l l 分别交抛物线（㫒于点P ）于两点,M N ，若点F 到12,l l 距离均为12，则直线MN 的方程为1515110x y --=三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知函数()f x 的导数为()f x '，且满足()()20sin 1xf x e f x '=-+，则2f π⎛⎫=⎪⎝⎭__________.14.重庆八中某次数学考试中，学生成绩X 服从正态分布()2105,δ.若()1901202P X =……，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是__________.15.已知对任意平面向量(),AB x y = ，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ得到点P .已知平面内点()2,1A ，点(2B +，把点B 绕点A 沿逆时针4π后得到点P ，向量a为向量PB 在向量PA 上的投影向量，则a =__________.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若32624,2S S S a =+=，数列n b 满足1n a n n b a =，当n b 最大时，n 的值为__________.四､解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在①2cos22cos12BB +=；②2sin tan b A a B =；()()sin sin sin a c A c A B b B -++=，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若__________.（1）求角B ；（2）若2b =，且ABCABC 的周长.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且111321,1,2log 33n n n n a a S b a +==-+=+.（1）求数列{n a ∣和{}n b 的通项公式；（2）若1n n nc a T =+，设数列{}n c 的前n 项和为n R ，证明：3n R <.19.（本小题满分12分）多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队为需要了解年研发资金投入量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量x ，和年销售额y ，的数据（i =1，2，…，12），该团队建立了两个函数模型：①2y x αβ=+②x t y e λ+=，其中,,,t αβλ均为常数，e 为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图2令()2,ln 1,2,,12i i i i u x v y i === ，计算得如下数据：xy()1221ii x x =-∑()1221ii y y =-∑()()121iii x x v v =--∑206677020014uv()1221ii uu =-∑()1221ii v v =-∑()()121iii u u y y =--∑4604.2031250000.30821500（1）设{}i u 和{}i y 的相关系数为{1,i r x ∣和{}i v 的相关系数为2r ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）；（ii ）若下一年销售额y 需达到80亿元，预测下一年的研发资金投人量x 是多少亿元？附：①相关系数nx y r =ˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x==--==--∑∑②参考数据： 4.3820308778.9443,80e =⨯≈≈.20.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，11,33D D D C AB BC ===.（1）求证：1AD D C ⊥；（2）若平面11BCC B 与平面1BDD 所成的角为60 ，求三棱锥1C BD D -的体积21.（本小题满分12分）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为)F，渐近线与抛物线22:2(0)C y px p =>交于点⎛ ⎝.（1）求12,C C 的方程；（2）设A 是1C 与2C 在第一鲧限的公共点，作直线l 与1C 的两支分别交于点,M N ，便得AM AN ⊥.（i ）求证：直线MN 过定点；（ii ）过A 作AD MN ⊥于D .是否存在定点P ，使得DP 为定值？如果有，请求出点P 的坐标；如果没韦，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x a =-+.（1）若存在()0,x e ∞∈+使()00f x <，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在两个零点()1212,x x x x <，证明：2122x x e +>.秘密★启用前重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷（三）数学1-8DAACBCDC 9.BC 10.AC11.ABD 12.ABD13.213e π+14.53215.216.319.（1）121500430.862500050r =====214100.91770.211r ====≈⨯则12r r <，因此从相关系数的角度，模型21x y e +=的拟合程度更好（2）（i ）先建立v 关于x 的线性回归方程.由x t y e λ+=，得ln y t x λ=+，即v t x λ=+.由于()()()1211221140.018770iii i i x x v v x x λ==--==≈-∑∑4.200.01820 3.84t v x λ=-=-⨯=所以v 关于x 的线性回归方程为ˆ0.02 3.84vx =+，所以ˆln 0.02 3.84yx =+，则0.02 3.84ˆx y e +=.（ii ）下一年销售额y 需达到80亿元，即80y =，代入0.02 3.84ˆx ye +=得，0.02 3.8480x e +=，又 4.38280e ≈所以0.02 3.84 4.382x +=27.1x =。

高考模拟练习—重庆市第八中学2022届高三下学期调研检测(三)数学试题(含答案解析)

…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………重庆市第八中学2022届高三下学期调研检测（三）数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号一二三四五总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、单选题 1．已知集合(){}lg 1A x y x ==-，{}1,0,1B =-，则A B =（） A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．(]0,1D ．(),1-∞2．已知复数z 的共轭复数为z ，若()4,i 2z z z z +=-=（i 为虚数单位），则z =（） A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --3．已知函数()()2223ln 9f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（）A ．209-B ．119-C ．79D ．1694．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()cos15sin15,cos15sin15P ︒-︒︒+︒，则tan α=（）A ．23-B ．23+C ．62-D ．35．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是A ．B ．…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………C ． D ．6．8212y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中22x y 项的系数是（）A ．420B ．-420C ．1680D ．-16807．已知()1,0A x ，()2,0B x 两点是函数()2sin()1(0,(0,))f x x ωϕωϕπ=++>∈与x 轴的两个交点，且满足12min 3x x π-=,现将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，得到的新函数图像关于y 轴对称，则ϕ的可能取值为（） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A ，F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，若AQ AB AQ FB ⋅=⋅，且3BQ FQ =，则C 的离心率为( ) A ．2 B 51C 25+D ．25评卷人得分二、多选题 9．已如正三角形ABC 的边长为2，设D 为BC 的中点，则下列结论正确的是（） A ．AB 与BC 的夹角为60︒ B ．()12AB AC AD += C ．1AB CD -=D ．()AB AC BC +⊥10．已知0a b <<，则下列不等式正确的是（） A ．2a ab < B ．()()ln 1ln 1a b ->- C ．2a b ab>+D ．cos cos a b b a +>+11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,,,,AB E F G H =分别为111,,,AB CC A D AD 的中点，则下列说法正确的是（）…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………A ．1A H EF ⊥B ．1AB ∥平面DEFC ．GF 与AB 6D ．点1B 到平面EFG 312．已知函数()21xx x f x e +-=，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 存在两个不同的零点B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e =，则t 的最小值为2 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分三、填空题 13．已知函数()()e ,02,0x x f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()5f -=______．14．已知向量()2,1a =，()1,0b =，()1,2c =，若()//c a mb +，则m =___________. 15．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的最少移动次数，数列{an }满足a 1＝1，且an ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………评卷人得分四、双空题 16．将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为_________，该组合体的外接球的体积为_______．评卷人得分五、解答题 17．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，3a 是2a 和22S 的等差中项，且3322S a =-. (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足221log n n b a -=，且{}n b 的前n 项和为n T ，求使得2022n n S T >-成立的n 的最小值.18．如图，在圆锥OO '中，AB 为底面圆的直径，,C D 为底面圆上两点，且四边形ACO D '为平行四边形，过点O '作//EF CD ，点P 为线段OB 上一点，且满足2OP PB =．(1)证明：CD ⊥平面AOB ；(2)若圆锥OO '的侧面积为底面积的2倍，求二面角B PF E --的余弦值．19．5G 的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第1月份至6月份的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如表：时间（月份）12 3 4 5 6 收入（百万元） 6.6 8.616.121.633.041.0…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………根据以上数据绘制散点图，如图.(1)根据散点图判断，y ax b =+与dx y ce =（a ，b ，c ，d 均为常数）哪一个适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程，并预测该公司8月份的5G 经济收入；(3)从前6个月的收入中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为X ，求X 的分布列和数学期望. 参考数据：xy u()621ii x x =-∑()()61iii x x yy=--∑()()61iii x x u u =--∑3.50 21.15 2.8517.50 125.35 6.73其中设ln u y =，()ln 1,2,3,4,5,6i i u y i ==参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据()(),1,2,3,,i i x v i n =，其回归直线v x βα=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121n iii nii x x v v x x β==--=-∑∑，a v x β=-， 4.5695.58e ≈， 4.5897.51e ≈.20．如图，在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知8cos 9A =，2a =，ABC 的面积为172．(2)O 为边AC 上一点，过点A 作AD BC ∥交BO 延长线于点D ，若AOD △，求cos D ．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)，点()2,1P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()3,0T 且斜率大于0的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M 和N ，直线PM 、PN 分别交x 轴于A 、B 两点，记PAT 、PBT 的面积分别为1S 、2S ，求12 S S +的取值范围．22．已知函数()2sin()12xf x a x e ππ-=--+，()f x '是()f x 的导数，且()02f π'=. (1)求a 的值，并判断()f x 在(0,)2π上的单调性；(2)判断()f x 在区间()[2,2]2k k k N ππππ++∈内的零点个数，并加以证明.参考答案：1．A 【解析】【分析】利用对数函数的性质求出集合A ，再根据交集的定义即可求解. 【详解】解：因为集合(){}{}lg 11A x y x x x ==-=<，{}1,0,1B =-，所以{}1,0A B ⋂=-，故选：A. 2．B 【解析】【分析】设i,i,,z a b a b a R z b =+=-∈，再根据条件建立方程求解即可. 【详解】设i,i,,z a b a b a R z b =+=-∈，由4z z +=，有24a =，得2a =，由()i 2z z -=，有22b -=，得1b =-，故2i z =-. 故选：B 3．D 【解析】【分析】对函数进行求导，求出(3)2f '=，再令1x =代入解析式，即可得到答案；【详解】'41()2(3)9f x f x x'∴=-+，∴41(3)2(3)33f f ''=-+(3)1f '⇒=，22()2ln 9f x x x x ∴=-+，216(1)299f ∴=-=，故选：D. 4．D………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解析】【分析】先利用三角函数的恒等变换确定点P 的坐标，再根据三角函数的定义求得答案. 【详解】2cos15sin152cos(4515)2︒-︒=︒+︒=, 6cos15sin152cos(4515)2︒+︒=︒-︒=, 即26(,)22P ，则tan 3α=，故选：D. 5．A 【解析】【详解】试题分析：由偶函数排除B 、D,排除C.故选A.考点：函数的图象与性质． 6．A 【解析】8212y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示的是8个122y x +-相乘，要得到22x y ，则其中有2个因式取2x ，有两个因式取2y-，其余4个因式都取1，然后算出即可. 【详解】8212y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示的是8个122y x +-相乘，要得到22x y ，则其中有2个因式取2x ，有两个因式取2y- 其余4个因式都取1所以展开式中22x y 项的系数是44222286124202C C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查的是二项式定理，属于典型题.7．A 【解析】根据12min 3x x π-=，即可求得ω，再根据平移后函数为偶函数，即可求得ϕ.【详解】令()2sin 10x ωϕ++=，解得()1sin 2x ωϕ+=-，因为12min 3x x π-=，故令21x x >，并取12711,66x x ππωϕωϕ+=+=，则()2123x x πω-=，即可求得2ω=. 此时()()2sin 21f x x ϕ=++，向左平移6π个单位得到2sin 213y x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，若其为偶函数，则2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得26k πϕπ=+. 当0k =时，6π=ϕ. 故选：A. 【点睛】本题考查由三角函数的性质求参数值，属综合中档题. 8．C 【解析】【分析】由向量数量积等式推出l ⊥x 轴，求出点Q 坐标，进而得点B 坐标，再代入双曲线方程求解即得. 【详解】由已知得(),0A a ，设(),0F c ，由AQ AB AQ FB ⋅=⋅，得()0AQ AB BF AQ AF ⋅+=⋅=，所以l x ⊥轴，即:l x a =，不妨设点Q 在第一象限，则(),Q a b .设()00,B x y ，由3BQ FQ =，得2BF FQ =，()()00,2,c x y a c b ∴--=-， 00322x c a y b =-⎧∴⎨=-⎩，即()32,2B c a b --，点()00,B x y 在双曲线上，()()22223221c a b ab--∴-=，整理得229120c ac a --=，291210e e ∴--=，解得e =e =负值舍去).故选C. 故选：C 【点睛】求解双曲线离心率的问题，根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2=c 2-a 2转化为a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程，解之即可得e . 9．BD 【解析】【分析】根据向量的夹角的定义及正三角判断A ，由三角形中线的向量表示判断B ，由向量线性运算及模的意义判断C ，根据正三角的性质及向量加法判断D. 【详解】因为AB 与BC 的夹角为120︒，故A 错误；因为D 为BC 的中点，所以()11222AB AC A AD D →=+=⨯, 故B 正确；因为2+A B B CD AB D AD →→-====C 不正确；因为=2A AD B AC →+，在等边三角形中，AD BC ⊥，所以()AB AC BC +⊥，故D 正确.故选：BD 10．BC 【解析】【分析】根据不等的性质可判断选项A、C是否正确，根据函数的单调性可判断选项B、D是否正确，进而可得正确选项.【详解】对于A项，因为0a b<<，所以2a ab>，故A项错误；对于B项，因为0a b<<，所以0a b->->，即111a b->->，又函数lny x=在()0,∞+上单调递增，所以()()ln1ln1a b->-，故B项正确；对于C项，因为0a b<<，所以0a b->->，则()()a b-+->所以+<-a b02a b+<<，所以2a b>+，故C项正确；对于D项，令函数()cosf x x x=-，得()1sin0f x x'=+≥，所以函数()f x在R上单调递增，又0a b<<，所以cos cosa ab b-<-，即cos cosab b a+<+，故D项错误．故选：BC．11．AD【解析】【分析】根据线线垂直、线面平行、线线角、点面距等知识对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】A选项:取BC中点为M，则易得：BF B M⊥1，故1BFA H⊥与1AB A H⊥，BF AB B=，可得1A H⊥平面ABF，又EF⊂平面ABF，故1A H EF⊥，A正确；B选项：若1//AB平面DEF，则1//DC平面DEF或1DC在平面DEF内，显然不成立，B错误；C选项：取1DD中点为Q，则//,FQ AB GFQ∠即为所求角，tan GFQ∠=cos GFQ∠=D错误；D选项：三棱锥1B EFG-中，111EF FG GE B E B F BG=====等边三角形EFG的外接圆半径为12R==所以1B到平面EFG D正确.………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………故选：AD12．ABC 【解析】【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．【详解】对于A ．2()010f x x x =⇒+-=，解得15x -±=，所以A 正确；对于B ．22(1)(2)()xxx x x x f x e e --+-=-=-'，当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间，所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确．故选：ABC. 【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了． 13．e 【解析】【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解. 【详解】由()()e ,02,0x x f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，得()()()()()()()5523321121f f f f f f f e -=-+=-=-+=-=-+==；故答案为：e . 14．32-## 1.5-【解析】【分析】先求出a mb +的坐标，再根据向量平行得出关于m 的方程，得出答案. 【详解】由题意可得()2,1a mb m +=+由()//c a mb +，可得()11220m ⨯-+⨯=，解得32m =-故答案为：32-15．12n -（19n ≤≤，n 为奇数）【解析】【分析】可得n 为奇数时24n n a a -=，即数列{}n a 的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，即可求解. 【详解】当n 为奇数时，1n -为偶数，2n -为奇数，则()1222222124n n n n a a a a ---=+=-+=，故数列{}n a 的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列， 1112142n n n a +--∴=⨯=（19n ≤≤，n 为奇数），故解下n （n 为奇数）个环所需的最少移动次数为12n -（19n ≤≤，n 为奇数）. 故答案为：12n -（19n ≤≤，n 为奇数）. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出数列{}n a 的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列. 16．【解析】【分析】连接PA 交底面BCD 于点O ，点O 就是该组合体的外接球的球心，根据等边三角形性质计算a =R =.【详解】………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………如图，连接PA 交底面BCD 于点O ，则点O 就是该组合体的外接球的球心. 设三棱锥的底面边长为a ，则33CO PO R a ===，得3223a ⨯=，所以6a =，2R =，所以()3482π2π33V =⋅=. 故答案为：6；82π3.17．(1)2n n a =，n N +∈ (2)min 10n = 【解析】【分析】(1)由条件转化为首相和公比的等式，求得首项和公比，再求通项公式；（2）由等差和等比数列的前n 项和，转化不等式为12220240n n ++->， (1)22322S a a +=，3322S a =-∵0n a >，∴2322q q +=，()21112a q a q +=-∴2q ，12a =.∴2n n a =，n N +∈(2)221log 21n n b a n -==-()21212n n n T n +-==()12122212n n n S +⨯-==--.20220n n S T +->，12220240n n ++->，数列{}122n n ++为单调递增，当9n =时，12211052024n n ++=<. 当10n =时，12221482024n n ++=>. ∴min 10n =. 18．(1)证明见解析 (2)17【解析】【分析】（1）先根据OO '⊥平面ABC ，得出CD OO '⊥，然后证明四边形ACO D '为菱形，可得CD AB ⊥，最后可证CD ⊥平面AOB ；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用法向量求解二面角的余弦值. (1)在圆锥OO '中，OO '⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，∴CD OO '⊥，四边形ACO D '为平行四边形，又在圆锥OO '中，O C O D ''=， ∴四边形ACO D '为菱形，∴CD AB ⊥．又OO '，AB 平面AOB ，OO AB O ''⋂=，∴CD ⊥平面AOB ．(2)在圆锥OO '中，OO '⊥平面ABC ，又,AB EF ⊂平面ABC ，∴OO AB '⊥，OO EF '⊥，由（1）知CD AB ⊥，又//EF CD ，∴AB EF ⊥，以点O '为坐标原点，向量O F '的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系．………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………设圆锥OO '的底面半径为r ，母线长为R ．则2π底S r =，12ππ2S r R Rr =⋅⋅=侧．由题意知2S S =侧底，即2π2πRr r =，∴2R r =．不妨令3r =，则6R =，∴()0,3,0B ，()3,0,0E -，()3,0,0F ，(3P ， ∴(0,3BP =-，(3,2,3PF =-，()6,0,0EF =，设平面BPF 的法向量为()111,,m x y z =，则11111303230BP m y z PF m x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令13x =13y =11z =， ∴()3,3,1m =是平面EPF 的一个法向量．设平面EPF 的法向量为()222,,n x y z =，则2222603230EF n x PF n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令23y 20x =，22z =-，∴()0,3,2n =-是平面BPF 的一个法向量．设二面角B PF E --的大小为θ，则0321cos cos ,777m n m n m nθ⋅+-====⨯， ∴二面角B PF E --的余弦值为17．19．(1)dx y ce =(2)回归方程为 1.520.38e +=x y ，8月份的5G 经济收入95.58百万元. (3)答案见解析【解析】【分析】（1）根据散点图判断可得答案；（2）根据（1）的结果ln ln y c dx =+，然后根据参考数据求出方程，进而求得y 关于x 的回归方程，再将8x =代入方程可得答案；（3）求出X 的可能取值及概率，可得分布列和数学期望. (1)dx y ce =，散点图中点的分布不是一条直线，相邻两点在y 轴上差距是增大的趋势，故用dx y ce =表示更合适.(2)由dx y ce =得ln ln e ln ==+dx y c c dx ，设ln u y =，所以ln u c dx =+，因为 3.50=x ，()62117.50=-=∑i i x x，()()616.73=--=∑i i i x x u u ， 2.85=u ，所以()()()1216.730.3817.50==--==≈-∑∑niii ni i x x v v d x x， 2.850.38 3.50 1.52β=-=-⨯=a v x ， ln 0.38 2.580.38 3.50 1.52=-=-⨯=c u x ，所以ln 1.520.38y x =+，即 1.520.38e +=x y ，则回归方程为 1.520.38e +=x y ，预测该公司8月份的5G 经济收入 1.520.388 4.56e e e 95.58⨯==≈y 百万元. (3)月收入超过16百万的个数为X 的可能取值为1，2，3，则()212436411205====C C P X C ， ()1224361232205====C C P X C ，………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………()032436413205====C C P X C ，则X 的分布列为 X1 2 3P15 35 15所以()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=.20．(1)3==b c (2)54242【解析】【分析】（1）根据8cos 9A =求得sin A ，根据面积公式求得9bc =，结合余弦定理可求得答案; （2）设OC OA λ=，根据三角形面积之间的关系可得1712OBC S λλ=⋅+△，结合22OBC ODA S OC S OA λ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△以及AOD △的面积为2173，可求得12λ=，从而求得1OC =，再利用余弦定理可求答案. (1)∵()0,πA ∈，sin 0A >，∴217sin 1cos 9A A =-=， 11717sin 2182ABC S bc A bc ===△，则9bc =，在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即22216b c =+-， ∴2218b c +=,∴()222218290b c b c bc -=+-=-⨯=，∴b c =， ∴29bc b ==，解得：3b =，∴3==b c ． (2)设OC OA λ=，0λ> ，则1OBC S OC OC S AC OA OC λλ===++△，∴1OBC S λλ=+△， AD BC ∥，则OBC ∽ODA ．∴22OBC ODA S OC S OA λ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，∴2OBC S λ=△∴21λλλ=+12λ=或32-（舍去）或0（舍去）， ∴113OC AC ==，在ABC中，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==．在OBC 中，由余弦定理得222272cos 333OB OC BC OC BC C =+-⋅=-=，则3OB =，222cos 242BC OB OC CBO BC OB +-∠==⋅，又AD BC ∥，则D CBO ∠=∠，∴cos cos D CBO =∠=． 21．（1）22163x y +=；（2）()1,3.【解析】【分析】（1）利用点在椭圆上，右焦点为)，得关于,a b 的方程，解出,a b 即可；（2）联立方程组，0∆>得1t >，将面积之和表示为关于t 的式子，表示出直线PM 、PN ，求出点A 、B 的坐标，得到112311A x TA x y -=-=+-，222311Bx TB x y -=-=+-，即可表示出PAT 、PBT 的面积，再求面积中12122211x x y y --+--的范围，结合韦达定理()224(1)24441655t t t t t +-=->+++，利用反比例函数得出范围.【详解】（1）由题意知：223b a +=.将点P 代入得：22411a b+=. 22223411b a a b ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩，得2263a b ⎧=∴⎨=⎩故椭圆的方程为：22163x y +=；（2）如图所示：………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………由题意知直线TM 的斜率大于0，所以可设直线方程为3x ty =+，设()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立：22326x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得()222630t y ty +++=0∆>，即()22361220t t -+>，21t >，由于斜率大于0，1t ∴> 12262t y y t -+=+，12232y y t =+ 直线PM 的斜率：1112y x --，PM 的方程：()111122y y x x --=--，令0y =，则11221A x x y -=+- 直线PN 的斜率：2212y x --，PN 的方程：()221122y y x x --=--，令0y =，则22221B x x y -=+- 112311A x TA x y -=-=+-，222311B x TB x y -=-=+-， ()12112S S TA TB +=⨯⨯+12121222211x x y y ⎫⎛--=++⎪ --⎝⎭ 现求12122211x x y y --+--的取值范围：12122211x x y y --+--122112(2)(1)(2)(1)(1)(1)x y x y y y --+--=-- 将x 用y 表示代入：原式()()()121212122121ty y t y y y y y y +-+-=-++ 由韦达定理得：原式()2244165t t t t -=>++ 原式()224(1)24441655t t t t t +=-=->+++，所以12123(1)5S S t t +=->+，函数为递增，()121,3S S +∈. 【点睛】表示出面积以后，将式子转化为关于t 的形式，利用1t > 以及反比例函数的知识求范围.依题意逐步求解，特别注意计算准确性. 22．(1)1a =，()f x 在(0,2π上单调递增； (2)()f x 在区间()[2,2]2k k k N ππππ++∈内只有一个零点，证明见解析.【解析】【分析】 (1)对函数f (x )化简并求导，求出a 值，再进行二次求导，判断()'f x 值在给定区间上的正负得解； (2)由(1)知(2)0f k ππ+≠，在2,2)([)2k k k N ππππ++∈上，把函数f (x )的零点等价转化成易于解决的另一函数的零点. 【详解】 (1)()2cos 1x f x a x e π-=-+，()2sin x f x a x e π-'=-+. 由(02f π'=，得1a =，()2sin x f x x e π-'=-+，令()2sin x g x x e π=-+， ()2cos x g x x e π-'=--，(0,2x π∈，()0g x '<，()f x '在(0,)2π上单调递减，则()()02f x f π''>=，故()f x 在(0,)2π上单调递增. (2)由(1)知：()2cos 1x f x x e π-=-+，令()0f x =得2cos 1x x e π-+=，显然当()2x k k N ππ=+∈时等式不成立，当[2,2)2x k k ππππ∈++时，2cos 10x x e π+=>，则()ln cos 12x x π+=-，令()()ln cos 12h x x x π=++-，()sin 1cos 1x h x x '=-+，因为sin sin 0cos 1cos (1)x x x x -=+--表示单位圆上的点(cos ,sin )P x x 与定点(1,0)Q -连线的斜率，则当[2,2)2k k ππππ++时，()sin 1,cos 1x x ∈+∞+，()sin 10cos 1x h x x '=-<+，所以()h x 在[2,2)2k k ππππ++上单调递减，(2)202h k k πππ+=≥，当2x k ππ→+，()h x →-∞，由零点存在性定理可知，存在唯一的一个零点0[2,2)2x k k ππππ∈++使得()00h x =.故()f x 在区间()[2,2]2k k k N ππππ++∈内只有一个零点. 【点睛】 (1)利用导数判断函数单调性，可以判断导函数的单调性，以确定导函数值的正负；(2)较复杂函数的零点问题，关键在于合理地等价转化.。

2020-2021学年重庆市第八中学高二上学期第二次月考英语试题(解析版)

重庆市第八中学2020-2021学年高二英语上学期第一次月考试题（含解析）（试题满分：150 分考试时间：120 分钟）第一部分听力（共两节，满分 30 分）第一节（共 5 小题；每小题 1.5 分，满分 7.5 分）听下面 5 段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的 A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有 10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Where is Dr. Smith now?A. In Mexico.B. In California.C. In New York.2. What did the woman enjoy most on her holiday?A. Some museums.B. The water park.C. The historical center.3. Why didn’t the man sleep well?A. He stayed up late watching TV.B. He studied the whole night.C. He worried about the exam.4. What does the man want to do?A. Hold a party.B. Do the gardening.C. Go out with friends.5. What is the relationship between the speakers?A. Teacher and student.B. Roommates.C. A couple.第二节（共 15 小题；每小题 1.5 分，满分 22.5 分）听下面 5 段对话或独白。

每段对话后有几个小题，从题中所给的 A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话前，你将有时间阅读各个小题，每小题 5 秒钟；听完后，各小题给出 5 秒钟的作答时间。

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重庆市第八中学2020-2021学年高三下学期第2次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A ＝{x |x 2＜9}，B ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，则A ∩B ＝（） A ．{0，1，2}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0}2．设（1+i ）（a +bi ）＝2，其中a ，b 是实数，i 为虚数单位，则|3a +bi |＝（） A ．2 BC．D3．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2+16，则log 2a 9＝（） A ．15 B ．16 C ．17 D ．184．若实数x ，y 满足约束条件2020240x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z ＝x +y 的最小值为（）A ．﹣8B ．﹣6C ．1D ．35．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（）A ．35B ．710C ．45D ．9106．如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，DD 1上，且112DE DF EB FD ==，G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ，则1CG CC =（）A ．12B ．13C ．23D ．147．在直角坐标系xOy 中，半径为1m 的C 在0t =时圆心C 与原点O 重合，C 沿x 轴以1m/s 的速度匀速向右移动，C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令cos y x =，则y 关于时间t （01t ≤≤，单位：s ）的函数的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．()(n mx n N +∈的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中x 3的系数为（）A ．40B ．30C ．20D ．109．设函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（x ∈R ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，如果1271212x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，x 1≠x 2，且f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1+x 2）＝（）A ．2-B ．12-C ．2D ．1210．已知三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，球O 的半径为4，△ABC 是边长为6的等边三角形，记△ABC 的外心为O 1.若三棱锥P ﹣ABC 的体积为PO 1＝（）A ．B ．C ．D ．11．设双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的左顶点为A ，右焦点为F （c ，0），若圆A ：（x +a ）2+y 2＝a 2与直线bx ﹣ay ＝0交于坐标原点O 及另一点E ，且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切，切点为EF 的中点，则双曲线的离心率为（）ABCD ．312．函数f （x ）()()()100x ln x x xe x -⎧-⎪=⎨≥⎪⎩＜，若关于x 的方程f 2（x ）﹣af （x ）+a ﹣a 2＝0有四个不等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．415⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪{1}D ．（﹣1，0）∪{1}二、填空题 13．已知向量a 与b 的夹角为120°，且()1310a b =-=，，，则a b ⋅=_____. 14．已知函数f （x ）＝3|x ﹣a |（a ∈R ）满足f （x ）＝f （4﹣x ），则实数a 的值为_____. 15．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()222220n n S n n S n n -+--+=，*n ∈N ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T =__________.16．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线为l ，弦AB 过点F 且中点为M ，过点F ，M 分别作AB 的垂线交l 于点P ，Q ，若|AF |＝3|BF |，则|FP |•|MQ |＝_____.三、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(cos )c b A A =．（1）求角B 的大小；（2）若4a =，且BC ABC 的周长．18．如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 在AB 上，AE ＝2EB ＝2，且DE ⊥AB ．以DE 为折痕把△ADE 折起，使点A 到达点F 的位置，且∠FEB ＝60°.（1）求证：平面BFC ⊥平面BCDE ；（2）若直线DF与平面BCDE求二面角E﹣DF﹣C的正弦值.19．为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg）.根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N （μ，σ2）.在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查.（1）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量：经计算得201120ix==∑x i＝9.96，s==≈0.19；其中x i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量，i＝1，2，…，20.用样本平均数x作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（2）假设生产状态正常，记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品件数，求P（X＝1）及X的数学期望.附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974，0.997419≈0.95. 20．已知椭圆()222210x yC a ba b+=：＞＞的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C交于A，B两点.△ABF2的周长为2.（1）求椭圆C的标准方程：（2）设点P为椭圆C的下顶点，直线P A，PB与y＝2分别交于点M，N，当|MN|最小时，求直线AB的方程.21．已知函数()1axe xf x=--，且()0f x≥.（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）在函数()f x 的图象上取定两点()()11,A x f x ，()()()2212,B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在()012,x x x ∈，使()0f x k '=成立？若存在，求出0x 的值（用12,x x 表示）；若不存在，请说明理由.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2（cos 2θ+3sin 2θ）＝12，直线l 的参数方程为2x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.（1）若点P 的极坐标为（2，π），求|PM |•|PN |的值；（2）求曲线C 的内接矩形周长的最大值.23．已知函数()f x x x a =-，a R ∈.（1）当()()24f x f +->时，求a 的取值范围；（2）若0a >，x ∀，(],y a ∈-∞，不等式()3f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.参考答案1．C【分析】解一元二次不等式求得集合A，由此求得两个集合的交集.【详解】∵A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}.故选：C.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．D【分析】利用复数除法运算化简已知条件，根据复数相等的知识求得,a b，由此求得3a bi+，进而求得3a bi+.【详解】由题意可知：211a bi ii+==-+，∴a＝1，b＝﹣1，∴3a+bi＝3﹣i，∴|3a+bi|＝|3﹣i|=，故选：D.【点睛】本小题主要考查复数除法、复数相等、复数模的求法等知识，属于基础题. 3．C【分析】将已知条件转化为1,a q的形式，由此求得q，进而求得9a以及29log a的值. 【详解】∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16，∴2q2＝2×2q+16，且q＞0，解得q ＝4，∴log 2a 98224log =⨯=17.故选：C .【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.4．B【分析】画出可行域，结合图像判断出z x y =+经过()4,2A --时取得最小值.【详解】由题意作平面区域如下，由2020x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得，A （﹣4，﹣2），z ＝x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值. 故z ＝x +y 的最小值是﹣6，故选：B .【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数最值，属于基础题.5．B【分析】利用古典概型概率计算方法，结合组合数的计算，计算出所求概率.【详解】由题意，5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，基本事件总数n 25C ==10，所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数m211223C C C =+=7，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为p 710m n ==. 故选：B .【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，属于基础题.6．B【分析】根据对应边成比例，两直线平行，证得1//EF BD ，根据面面平行的性质得到//AF BG ，由此求得1CG CC 的比值. 【详解】∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，DD 1上，且112DE DF EB FD ==， ∴EF ∥BD 1，平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，∵G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ，∴AF ∥BG ， ∴1113CG DE CC DD ==. 故选：B .【点睛】本小题主要考查线线平行、面面平行有关概念的理解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7．A【分析】 C 的半径为1m ，则弧长x 所对的圆心角为x ，从而可得1cos2x t ⋅=，利用二倍角的余弦公式可得()2cos 2101y x t t ==-≤≤，根据解析式即可求解.【详解】 C 的半径为1m ，则弧长x 所对的圆心角为x ，则1cos 2x t ⋅=，又cos y x =， ()22cos 2cos 121012x y x t t ∴==-=-≤≤，其图象为开口向上，在[]0,1上的一段抛物线，与y 轴交于点()0,1-，与x 轴交于点,02⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、换元法求解析式以及图象的识别，属于基础题.8．D【分析】根据二项式系数和求得n ，令1x =，以各项系数和列方程，解方程求得m 的值，再结合二项式展开式的通项公式，求得3x 的系数.【详解】∵(n mx 的展开式中，各二项式系数和为2n＝32，∴n ＝5. 再令x ＝1，可得各项系数和为（m +1）5＝243＝35，∴m ＝2，则展开式中的通项公式为T r +15r C =•m 5﹣r •52r x -，令52r -=3，可得r ＝4，故展开式中x 3的系数为45C •2＝10，故选：D .【点睛】本小题主要考查二项式系数和、各项系数之和，考查二项式展开式中指定项的系数，属于基础题.9．B【分析】根据周期求得ω，根据012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求得ϕ，由此求得()f x 解析式.根据()()12f x f x =求得12x x +，由此求得()12f x x +的值.【详解】根据函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（x ∈R ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象，可得12721212πππω⋅=-，∴ω＝2. 再根据五点法作图可得2•122ππϕ+=-，∴φ23π=-，∴f （x ）＝cos （2x 23π-）. 如果1271212x x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，，x 1≠x 2，则2x 123π-∈（2π-，2π），2x 223π-∈（2π-，2π）， ∵f （x 1）＝f （x 2），∴2x 123π-+（2x 223π-）＝0，∴x 1+x 223π=，则f （x 1+x 2）＝cos （4233ππ-）＝cos 23π=-cos 132π=-，故选：B .【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数值的计算，属于中档题. 10．D【分析】取得等边三角形ABC 的面积，利用正弦定理求得三角形ABC 外接圆的半径，根据三棱锥P ABC -的体积求得三棱锥的高，利用勾股定理求得1PO .【详解】由题意可得：S △ABC 26==，O 1A ＝162sin 3π⨯=O 1O ＝2.设点P 到平面BAC 的高为h ，由13=⨯h ×，解得h ＝4. ∴点P 所在小圆⊙O 2（⊙O 1与⊙O 2所在平面平行）上运动，OO 2＝2.∴O 2P ＝∴PO 1==.故选：D .【点睛】本小题主要考查球的内接三棱锥的有关计算，考查空间想象能力，属于中档题.11．B【分析】联立直线的方程和圆A 的方程，求得E 点的坐标，根据以O 为圆心的圆与线段EF 相切，且切点为EF 的中点，得到OE OF =，由此利用勾股定理列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】联立2220()bx ay x a y a -=⎧⎨++=⎩. ⇒E （322a c-，222a b c -），∵依题意可知OE ＝OF c =， ∴4a 4＝c 4.∴c e a==故选：B .【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．D【分析】利用()f x 的导函数()'f x 判断出()f x 的单调区间，由此画出()f x 的大致图像，令()t f x =，对t 的取值进行分类讨论，结合()f x 的图像以及方程有四个不相等的实数根列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】当x ≥0时，()()'11x f x e x -=-，所以当0＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ＞1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，且f （0）＝0，当x →+∞时，f （x ）→0，当x ＜0时，f （x ）单调递减，所以f （x ）的图象如图所示：令t ＝f （x ），则由上图可知当t ＝0或1时，方程t ＝f （x ）有两个实根；当t ∈（0，1）时，方程t ＝f （x ）有3个实数根；当t ∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，方程t ＝f （x ）有一个实数根，所以关于x 的方程f 2（x ）﹣af （x ）+a ﹣a 2＝0有四个不等的实数根等价于关于t 的方程t 2﹣at +a ﹣a 2＝0有两个实数根t 1＝0，t 2＝1或t 1∈（0，1），t 2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），当t 1＝0，t 2＝1时，a ＝1，当t 1∈（0，1），t 2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，（02﹣a ×0+a ﹣a 2）（12﹣a ×1+a ﹣a 2）＜0，解得﹣1＜a ＜0，综上所述，a ∈（﹣1，0）∪{1}.故选：D .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究方程的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.13．﹣5【分析】利用向量模的坐标运算、向量数量积的运算公式，计算出a b ⋅.【详解】因为向量a 与b 的夹角为120°，且()1310a b =-=，，，所以：|a |==则10a b ⋅=⨯cos 120°＝10×（12-）＝5-；故答案为：5-.【点睛】本小题主要考查向量模的坐标运算，考查向量数量积的计算，属于基础题.14．2【分析】根据()()4f x f x =-判断出()f x 的对称轴，由此求得a 的值.【详解】∵f （x ）＝f （4﹣x ），∴函数关于x ＝2对称，即f （a ）＝f （4﹣a ），即3|a ﹣a |＝3|4﹣a ﹣a |，即30＝3|4﹣2a |即|4﹣2a |＝0，得2a ﹣4＝0，得a ＝2，故答案为：2【点睛】本小题主要考查函数的对称性，属于基础题.15．5052021【分析】因为()()222220n n S n n S n n -+--+=，当1n =时，可得12a =.由()()222220n n S n n S n n -+--+=,可得()()220n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，求得2n S n n =+，即可求得2n a n =，结合已知，即可求得答案.【详解】()()222220n n S n n S n n -+--+=当1n =时，2140a -=解得：12a =或12a =-数列{}n a 为正数，∴12a =由()()222220n n S n n S n n -+--+=即()()220n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦， 20n S +≠∴2n S n n =+当2n ≥时，21(1)(1)n S n n -=-+-两式相减得：2n a n =当1n =，满足2n a n =∴2n a n =()()141111114n n n n a a n n +=++= 11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 11111111111231423411n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣+⎝⎭⎦可得：11141n n T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭+ 当2020n =，2020150542021120211T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 故答案为：5052021. 【点睛】本题主要考查了求数列前n 和，解题关键是掌握“裂项相消”求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16．169【分析】利用抛物线的定义以及3AF BF =结合平面几何知识，求得FP 和MQ 的长，由此求得FP MQ ⋅.【详解】如图，作BF ⊥l 于F ，作AE ⊥l 于E ，令准线与x 轴交点为S ，AB 交准线于K .设BH ＝m ，则AF ＝3m ， ∵13HB KB AE AK ==，∴BK ＝2m 则sin ∠HKB 122m m ==，∴∠HKB ＝30°. ∵23HB m SF m =，∴213m =，∴23m =， ∴|FK |＝2.∴303PF FK tan =⋅=|QM |＝|MK |•tan 30°＝4m ×tan 30°.83== 则|FP |•|MQ |169==. 故答案为：169.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.17．（1）6B π=；（2）6+ 【分析】（1）因为(cos )c b A A =，由正弦定理可得：sin sin (cos )C B A A =+结合已知，即可求得答案；（2）画出图形，6AD B π==，则sin AD c AB B ===得答案.【详解】（1）(cos )c b A A =+∴由正弦定理可得：sin sin (cos )C B A A =sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+(0,),sin 0A A π∈>cos B B ∴=∴tan B =，又(0,)B π∈ 故6B π=．（2）画出图象，如图：6AD B π==则sin AD c AB B ===又4a =在ABC 中，由余弦定理2222cos 4b a c ac B =+-=可得2b =可得ABC 的周长为6a b c ++=+【点睛】本题主要考查了由正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18．（1）证明见解析（2）7 【分析】（1）首先通过证明DE ⊥平面BEF 证得DE BF ⊥.结合余弦定理和勾股定理证得FB EB ⊥，由此证得BF ⊥平面BCDE ，进而证得平面BFC ⊥平面BCDE .（2）建立空间直角坐标系，由直线DF 与平面BCDE 所成角的正切值求得正弦值，结合直线DF 的方向向量和平面BCDE 的法向量列方程，解方程求得DE 的长.由此通过平面EDF 和平面DFC 的法向量，计算出二面角E DF C --的余弦值，进而求得其正弦值.【详解】（1）证明：∵DE ⊥AB ，∴DE ⊥EB ，DE ⊥EF ，∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥BF ，∵AE ＝2EB ＝2，∴EF ＝2，EB ＝1，∵∠FEB ＝60°，∴由余弦定理得BF == ∴EF 2＝EB 2+BF 2，∴FB ⊥EB ，由①②得BF ⊥平面BCDE ，∴平面BFC ⊥平面BCDE.（2）解：以B 为原点，BA 为x 轴，在平面ABCD 中过点B 作AB 的垂线为y 轴，BF 为z 轴，建立空间直角坐标系，设DE ＝a ，则D （1，a ，0），F （0，0），DF =（﹣1，﹣a），∵直线DF 与平面BCDE所成角的正切值为5， ∴直线DF 与平面BCDE平面BCDE 的法向量n =（0，0，1），∴|cos n DF ＜，＞|44n DF n DF ⋅===⋅，解得a ＝2， ∴D （1，2，0），C （﹣2，2，0），∴ED =（0，2，0），DF =（﹣1，﹣2，设平面EDF 的法向量m =（x ，y ，z ），则2020ED m y DF m x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取z ＝1，得m =1，），同理得平面DFC 的一个法向量p =（0，2），∴cos 27m p m p m p ⋅===⋅＜，＞， ∴二面角E ﹣DF ﹣C 的正弦值为sin 17m p =-=＜，＞.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查根据线面角求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．（1）需对本次的生产过程进行检查（2）P （X ＝1）≈0.0494；E （X ）≈0.052【分析】（1）根据题目所给数据得到,μσ，由此求得()3,3μσμσ-+，有一件药品在这个区间外，由此判断需对本次的生产过程进行检查.（2）利用二项分布概率计算公式，计算出()1P X =，以及求得X 的数学期望.【详解】（1）由x =9.96，s ＝0.19.可得：μ=9.96，σ=0.19，由样品数据看出有一样药品的主要药理成分9.22含量在()3,3μσμσ-+＝（9.39，10.53）之外的药品，因此需对本次的生产过程进行检查.（2）抽取的一件药品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，而主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.0026，故X ～B （20，0.0026），∴P （X ＝1）120=0.997419×0.0026≈0.0494. X 的数学期望E （X ）＝20×0.0026≈0.052.【点睛】本小题主要考查3σ原理的运用，考查二项分布及其期望的计算，属于基础题.20．（1）2212x y +=（2）x ﹣y +1＝0 【分析】（1）根据三角形2ABF 的周长求得a ，结合椭圆离心率和222b a c =-求得,b c 的值，由此求得椭圆C 的标准方程.（2）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.通过直线PA 的方程求得M x ，通过直线PB 的方程求得N x ，由此求得MN 的表达式并进行化简，对m 进行分类讨论，由此求得MN 的最小值以及此时直线AB 的方程. 【详解】（1）由题意可得：4a＝2c a =， ∴a =c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝1，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；（2）点P （0，﹣1），F 1（﹣1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），显然直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为：x ＝my ﹣1，则可知m ≠﹣1，联立方程22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 得：（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1＝0， ∴12222m y y m +=+，12212y y m =-+，直线P A 的方程为：（y 1+1）x ﹣x 1y ﹣x 1＝0，可得1131M x x y =+，同理2231N x x y =+， |MN |＝|12123311x x y y -++|＝3|()()()()()()122112111111my y my y y y -+--+++|＝312121211m y y y y y y +-⨯=+++221312122m m m m +⨯=-++++，当m ＝0时，|MN |＝，当m ≠0时，|MN |＝=由于m 1m+∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞），则()11112211m m∞⎡⎫∈⋃+⎪⎢⎣⎭++，，，此时|MN |的最小值为6＜m ＝1处取得，综上所述，当|MN |最小时，直线AB 的方程为：x ＝y ﹣1，即x ﹣y +1＝0. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中线段长度的最值的求法，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.21．（Ⅰ）1（Ⅱ）存在，()21021ln x x e e x x x -=-【分析】（Ⅰ）讨论0a ≤或0a >，0a ≤不成立，0a >，则()1axf x ae '=-，利用导数与函数单调性的关系可得()f x 的最小值，只需()min 0f x ≥即可.（Ⅱ）由题意可得()()212121211x x f x f x e e k x x x x --==---，令()()x f x k ϕ'=-，()y x ϕ=在区间[]12,x x 上单调递增，求出()()12,x x ϕϕ，结合（Ⅰ）可得()10x ϕ<，()20x ϕ>，利用零点存在性定理即可证出. 【详解】解：（Ⅰ）若0a ≤，则对一切0x >，()10axe f x x =--<，这与题设矛盾；若0a >，()1axf x ae '=-，令()0f x '=，得11ln x a a=. 当11ln x a a <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当11ln x a a>时，()0f x '>，()f x 单调递增，故当11ln x a a =时，()f x 取最小值11111ln ln 1f a a a a a⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 于是对一切x ∈R ，()0f x ≥恒成立，当且仅当111ln 10a a a--≥.① 令()ln 1g t t t t =--，则()ln g t t '=-.当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调递增；当1t >时，()0g t '<，()g t 单调递减. 故当1t =时，()g t 取最大值()10g =. 因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，1a =.（Ⅱ）由题意知，()()212121211x x f x f x e e k x x x x --==---. 令()()2121x x xe e xf x k e x x ϕ-'=-=--，()y x ϕ=在区间[]12,x x 上单调递增；且()()()121121211x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦-，()()()212212211x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦-. 由（Ⅰ）得()10xx e f x =--≥恒成立，从而()()212110x x ex x ---->，()()121210x x e x x ---->，又1210x e x x >-，2210x e x x >-，所以()10x ϕ<，()20x ϕ>.由零点存在性定理得，存在唯一()012,x x x ∈，使()00x ϕ=，且()21021lnx x e e x x x -=-. 综上所述，存在()012,x x x ∈使()0f x k '=成立，且()21021lnx x e e x x x -=-. 【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题以及导数在解决不等式能成立问题，考查了转化与化归、分类讨论的思想，属于难题. 22．（1）4（2）16 【分析】（1）利用极坐标转化为直角坐标的公式，求得曲线C 的直角坐标方程.求得P 的直角坐标，由此判断P 在直线l 上，求得直线l 的标准参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，结合直线参数的几何意义，求得PM PN ⋅的值.（2）求得椭圆C 内接矩形周长的表达式，结合三角函数最值的求法，求得周长的最大值. 【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为ρ2（cos 2θ+3sin 2θ）＝12，转换为直角坐标方程为221124x y +=.点P 的极坐标为（2，π），转换为直角坐标为（﹣2，0）由于点P （﹣2，0）在直线l 上，所以直线l 的参数方程为2x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为2x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），所以代入曲线的方程为22(2))1222t -++=，整理得240t -=，所以|PM |•|PN |＝|t 1t 2|＝4.（2）不妨设Q（2sin θθ，），（02πθ≤≤），所以该矩形的周长为4（2sin θθ+）＝16sin （3πθ+）.当6πθ=时，矩形的周长的最大值为16.【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数的几何意义，考查椭圆参数方程的应用，考查三角函数最值的求法，属于中档题. 23．（1）(,1)-∞-；（2）(0,6] 【分析】（1）将原不等式化为关于a 的不等式，由绝对值的意义，分类讨论去绝对值，解不等式，求并集即可；（2）原不等式等价于max min ()(3)f x y y a ≤++-，运用绝对值不等式的性质和二次函数的最值求法，分别求得最值，解不等式可得所求范围.【详解】解：（1）由()()24f x f +->，得22224a a --+>，即222a a --+>，则2222a a a ≤-⎧⎨-++>⎩，或22222a a a -<<⎧⎨--->⎩，或2222a a a ≥⎧⎨--->⎩，解得2a ≤-，或21a -<<-，或a ∈∅，则a 的范围是(,1)-∞-；（2）()3f x y y a ≤++-恒成立，等价于max min ()(3)f x y y a ≤++-，当0a >，(],y a ∈-∞时，3333y y a y a y a a ++-≥++-=+=+，当且仅当3y a -≤≤时取等号，而0a >，(],x a ∈-∞时，222()()()244a a a f x x x a x =--=--+≤，当且仅当2ax =时，取等号，则由234a a ≤+，解得06a <≤，故所求a 的范围是：(0,6]. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，以及二次函数的最值求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题.。

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