三角函数每日一题

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51.三角函数的诱导公式(新高三每日一题系列)

51.三角函数的诱导公式高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆【典例】已知π1sin 123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πcos 12α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于A ．13B ．23 C ．13-D ．22【练习】 1．cos （52π3-）等于 A ．3B ．12-C ．12D ．322．若π4sin 65⎛⎫-=⎪⎝⎭α，则πcos 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭α等于 A ．45B ．45-C ．35D ．35-3．已知πtan()5a =-，7πtan()5b =，πsin()5c =-，则有A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【参考答案】C 【试题解析】5ππππ1cos cos sin 12122123ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ．【解题必备】（1）在应用诱导公式求三角函数值时，除了要掌握应用诱导公式的原则：“负化正”、“大化小”、“小化锐”外，还需善于观察，寻找角的关系，如5πππ12122αα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π7ππ12122αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 7π5ππ1212αα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这样可以沟通已知角与待求值角之间的关系．（2）六组诱导公式角函数 2k π＋α（k ∈Z )π＋α −α π−α 2π−α 2π＋α 正弦 sin α −sin α −sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α −cos α cos α −cos α sin α −sin α 正切tan αtan α−tan α−tan α————对于角“2α±”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时原函数值的符号”.（3）使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．（4）巧用相关角的关系能简化解题的过程：常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等；常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等.1．【答案】B 【解析】cos （52π3-）＝cos （﹣17ππ3-）＝cos （17ππ3+）＝cos （ππ3+）＝﹣cos π312=-．2．【答案】A 【解析】因为π4sin 65⎛⎫-=⎪⎝⎭α，则πcos 3⎛⎫+= ⎪⎝⎭αsin （ππ23--α）π4sin 65⎛⎫=-= ⎪⎝⎭α，故3．【答案】D 【解析】ππtan()tan0,55a =-=-<7π22tan()tan(ππ)tan π0,555b ==+=> ππsin()sin 055c =-=-<，πtan 151,ππsin cos 55a c -==>-而0c a c <⇒<，（也可由三角函数线判断a ，c的大小。

三角函数化简求值每日一练

三角函数化简求值每日一练1、的值为____________2、计算：=____________3、化简=____________4、sin15°+sin75°的值是____________5、求值：sin10°tan70°﹣2cos40°=____________6、sin315°sin（﹣1260°）+cos390°sin（﹣1020°）=____________7、=____________8、sin2230°+sin110°•cos80°=____________9、=____________10、=____________11、求值sin17°cos47°﹣sin73°cos43°=____________12、=____________13、﹣的值是____________14、（1+tan21°）（1+tan24°）的值为____________15、=____________16、计算3tan10°+4 =____________17、化简：=____________18、=____________19、sin40°（tan190°﹣）=____________20、计算：=____________21、求值：=____________22、计算：=____________答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解：= = = ，故选：B．【分析】利用三角恒等变换化简所给的式子，可得结果．二、填空题2、【答案】1【考点】三角函数的化简求值，两角和与差的正切函数【解析】【解答】解：∵tan60°= ，∴==tan（60°﹣15°）=tan45°=1．故答案为：1．【分析】由tan60°= ，利用两角差的正切公式，即可求出答案来．3、【答案】﹣8【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解：∵tan12°﹣= = = =﹣8sin12°cos24°，∴= =﹣8．故答案为：﹣8．【分析】由同角函数的三角函数关系以及两角和差的正弦公式转化原式可得tan12°﹣=﹣8sin12°cos24°，整理化简可得结果。

三角函数性质,函数周期性,单调性,立体几何每日5练

题型：三角函数性质，函数周期性，单调性，立体几何1.设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值8π，则)(x f 的最小正周期是( ) A ．π2 B. π C. 2π D. 4π2.已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =（） A ．a b c << B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<3．(多选题)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AB ==，2BC =，M ，N 分别为棱11C D ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A M NB 、、、四点共面B ．//BN 平面ADMC ．直线BN 与M B 1所成角的为60D ．平面ADM ⊥平面11C CDD4. （本小题满分12分）已知函数f (x )=2sin 2(x +π4)−√3cos 2x (1)当x ∈[π4,π2]时，求f (x )的值域； (2) 是否存在实数t ∈(2,+∞)，使得 f(x) 在(2,t )上单调递增?若存在，求出 t 的取值范围，若不存在，说明理由。

5.(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝1，AD ＝2，PA ⊥平面ABCD ，点E 是棱PB 的中点。

(I)求证：PB⊥平面ACE；(II)求二面角B－DE－C的余弦值。

答案1，C2，D3，CD4，5，。

《30°,45°,60°角的三角函数值》同步练习-20221206-230036(1)(2)(1)

一、填空题: (4分×6=24分)1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,则sinB=______,tanA=_______.2.计算:00145cos602-=____________.3.已知tan α=则锐角α的度数为_____;若cos 0α-,则锐角α的度数为_____. 二、选择题: (4分×6=24分)1.在△ABC 中,∠C=90°,sinA=2,则cosB 的值为( )A.1 D.122.若且α为锐角,则cosα等于( )A.123.在△ABC 中,∠C=90°,如果AB=2,BC=1,那么∠A 的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.90° 三、计算题: (52分)(1)tan60°·cos30°-3tan30°·tan45°;(2) sin30°+cos60°-tan45°-tan30°·tan60°;一、填空题: (4分×6=24分) 1.已知∠B 是锐角,若1sin22B =,则tanB 的值为_______. 2.式子1-2sin30°·cos30°的值为_________.3.在△ABC 中,若∠B=30°,tanC=2,AB=2,则BC=_______. 二、选择题: (4分×6=24分)1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,且,则sinB 的值为( )C.122.在△ABC 中,若21sin tan 02A B ⎫-+=⎪⎪⎝⎭,则∠C 的度数为( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 3.计算5sin30°+2cos 245°-tan 260°的值是( )B.12 C.-12D.1三、解答题: (52分) 1.计算:1、00tan30sin 601cos60+-;2、cos60°-3tan30°+tan60°+2sin 245°.【基础练习】一、填空题：1.sin30°+ cos45°= ， cos45°sin 230°+22sin 260°= ； 2.130cos 230cos 2+︒-︒ = ； 3.若|2sinA -3|+ (tanB -1)2 = 0，则∠A = °，∠B = °. 二、解答题： 1.求下列各式的值：（1）2sin30°+ cos60°+ tan45°；（2）︒+︒︒-︒60tan 45cos 45sin 30tan ；2.求满足下列各式的锐角α：（1）3tanα-1 = 0；（2）2cos (α-20°) = 3.【综合练习】已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，D 是AC 边上一点，∠BDC = 45°，CD = 6cm ，sinA = 25 . 求斜边AB 的长.1．[2014·常德]下列各数：13，π，38，cos60°，0，3，其中无理数的个数是 ( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图3－3，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2 m，则两树间的坡面距离AB为( )C.4 33D．4 3 mA．4 m B. 3 m图3－3图3－43．如图3－4，在离地面高5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC的长是( )A．10 m B.1033 m C.523 m D．5 3 m4．[2013·孝感]式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是( ) A．2 3－2 B．0 C．2 3 D．25．计算：tan45°＋2cos45°＝______．6．计算：(1)2－2sin45°－(1＋8)0＋2－1；(2)sin45°＋cos30°3－2cos60°－sin60°(1－sin30°)；(3)sin260°tan45°－⎝⎛⎭⎪⎫－1tan60°－2＋(tan30°)0.每日一练五一、解答题: (52分)在此图的基础上,通过添加适当的辅助线,可求出tan15°的值, 请简要写出你添加的辅助线和求出的tan15°的值.1.如图,从B 点测得塔顶A 的仰角为60°,测得塔基D 的仰角为45°, 已知塔基高出测量仪器20米(即DC=20米),求塔身AD 的高(精确到1米).2.如图,有一个同学用一个含有30°角的直角三角板估测他们学校的旗杆AB 的高度,他将30°的直角边水平放在1.3米高的支架CD 上, 三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上,他又量得D,B 的距离为15米,求旗杆AB 的高度(精确到0.1米).3.某学生站在公园湖边的M 处,测得湖心亭A 位于北偏东30°方向上,又测得游船码头B 位于南偏东60°方向上.现有一艘游船从湖心亭A 处沿正南方向航行返回游船码头,已知M 处与AB 的距离MN=0.7千米,求湖心亭与游船码头B 的距离(精确到0.1千米)BDA CBAN B60︒北A30︒M。

高中数学三角函数专项练习(三)

高中数学三角函数专项练习（三）一、单选题1．已知1F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左焦点，直线l 过椭圆的中心且与椭圆交于A ，B 两点．若以AB 为直径的圆过1F ，且1124F AB ππ≤∠≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）．A ．26,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．如图,已知OPQ 是半径为2,圆心角为75°的扇形,点A ,B ,C 分别是半径OP ,OQ 及扇形弧上的三个动点(不同于O ,P ,Q 三点),则ABC 周长的最小值是A ．61+B ．62+C ．2612+D ．2622+3．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，在一个周期内图像如图所示，若()()12f x f x =，且125,,126x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，12x x ≠，则()12f x x +=A 3B ．2C ．3D ．2-4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上是单调函数，则ω的值是A ．23B ．2C ．23或2D ．无法确定5．已知函数()()ππsin (00)23f x x ωϕωϕ=+><<-，，为f （x ）的一个零点，x π6=为f （x ）图象的一条对称轴，且f （x ）在（0，π）上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（）A ．π6ϕ=B ．f （x ）的最小正周期为4πC ．5ω=D ．f （x ）在（0，π42）上单调递增6．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =⋅.若对于任意实数，不等式2(2sin 2)x B ++2sin 14B π⎤⎛⎫+⋅+ ⎪⎥⎭⎦≥⎝恒成立，则实数t 的取值范围为A ．(,1][1,)-∞-+∞B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1]-⋃D ．[1]- 7．求4cos50tan 40︒-︒的值（）A ．1B ．3CD8．已知抛物线28y x =的焦点为F ，11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线上的两个动点，若124x x ++=，则AFB ∠的最大值为A ．2πB ．23πC ．34πD ．56π9．设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值是（）A ．12+B C ．1+D ．2二、填空题10．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，π2ϕ≤，下述五个结论：①若π5ϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点；②若π4ϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有3个极小值点；③若π5ϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则()f x 在π0,10⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；④若π4ϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范围是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭；⑤若()f x 的图象关于π4x =对称，π4x =-为它的一个零点，且在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为11.其中所有正确结论的编号是________.11．已知()cos(2)f x x ϕ=+，其中[)0,2ϕπ∈，若63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则ϕ=________．12．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上且同时满足：①12F F P 是等腰三角形；②12F F P 是钝角三角形；③线段12F F 为12F F P 的腰；④椭圆C 上恰好有4个不同的点P ．则椭圆C 的离心率的取值范围是______．13．已知向量a 与b 的夹角为θ，sin θ=||4a b -= ，向量,c a c b -- 的夹角为2π，||c a -=a c ⋅的最大值是___________.14．sin()sin()sin(2)1633πππααα++-=++,若[0,]2πα∈，则α=_________.15．已知a，b，c 分别是锐角△ABC 的内角A，B，C 的对边，且b＝2，()24c a a -=-，则sinA－2cosC 的取值范围是________.16．函数2()2cos (0)2xf x x ωωω=->，已知()f x 在区间2(,)33ππ-恰有三个零点，则ω的范围为_______.17．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中正确的序号是__________.①()y f x =的图象关于点()π,0中心对称，②()y f x =的图象关于π2x =对称，③()f x 的最大值为2，④()f x 既是奇函数，又是周期函数.18．已知函数，且是它的最大值（其中为常数，且），给出下列结论：①为偶函数；②函数的图象关于点对称；③是函数的最小值；④函数的图象在轴右侧与直线的交点按横坐标从小到大依次记为，则，其中正确的是_________.（写出所有正确结论的序号）19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，若ABC 则当a c +的值最小时ABC 的周长为____________．三、解答题20．如图，设直线1l ：0x =，2l ：340x y -=.点A 的坐标为()31,4a a ⎛⎫>⎪⎝⎭.过点A 的直线l 的斜率为k ，且与1l ，2l 分别交于点M ，N （M ，N 的纵坐标均为正数）.（1）求实数k 的取值范围；（2）设1a =，求MON ∆面积的最小值；（3）是否存在实数a ，使得11OM ON+的值与k 无关?若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由.21．已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象与x 轴的交点中相邻两个交点的距离是2π，当3x π=-时()f x 取得最小值2-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦的最大值和最小值；（3）若函数13()()25g x f x =-的零点为θ，求cos(2)3πθ-.22．（15分）在一个六角形体育馆的一角MAN 内，用长为a 的围栏设置一个运动器材存储区域（如图所示），已知0120A ∠=，B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点．（1）若20BC a ==，求存储区域面积的最大值；（2）若10AB AC ==，在折线MBCN 内选一点D，使20BD DC +=，求四边形存储区域DBAC 的最大面积．23．如图，半径为1的扇形中心角为，一个矩形的一边在扇形的半径上，求此矩形的最大面积．24．已知AD 是沿海东西走向的全长L 千米的高速公路，小岛B 位于D 的正北方，且距离12DL 千米．赴B 旅行的游客从A 点出发坐旅游大巴至C 点后换成快艇至岛B ．已知旅游大巴的平均速度为v 千米每小时，快艇的平均速度为45v 千米每小时，换乘点C 设在从A 至B 用时最少处．（1）求A 、C 间的距离（用L 表示）（2）每日上午6时起，每隔6Lv小时有一辆旅游大巴发车至C 点，即发快艇且忽略换乘时间．若某日6时，有一风圈半径为15L 千米的七级台风，其中心位于C 点正北x 千米的洋面E 点，并以上15v 千米每小时的速度垂直斜面BC 移动．为使快艇不至于进入台风风圈，若该日只发了7趟车，求CE 的距离x 的取值范围．25．某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域Ⅰ）设计成半径为1km 的扇形EAF ，中心角42EAF ππθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）和休闲区（区域Ⅲ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD ，其中点E ，F 分别在边BC 和CD 上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求θ的最大值；（2）试问：当θ为多少时，年总收入最大？26．在平面直角坐标系xOy 中，已知点1,22P ⎫⎪⎪⎝⎭，将向量OP绕原点O 按逆时针方向旋转x 弧度得到向量OQ.（1）若4x π=，求点Q 坐标；（2）已知函数()·f x OP OQ = ，且()·3f f παα⎛⎫- ⎪⎝⎭，若()0,απ∈，求α的值.27．已知△ABC 中，函数3()cos()sin()2f x x A x π=+⋅-的最大值为14.（1）求∠A 的大小；（2）若1()2(())4g x f x =+，方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有两个不同的解，求实数m 取值范围.28．图1是某高架桥箱梁的横截面，它由上部路面和下部支撑箱两部分组成．如图2，路面宽度10m AB =，下部支撑箱CDEF 为等腰梯形（CD EF >），且AC BD =．为了保证承重能力与稳定性，需下部支撑箱的面积为28m ，高度为2m 且2m 3m EF ≤≤，若路面AB ．侧边CF 和DE ，底部EF 的造价分别为4a 千元/m ，5a 千元/m ，6a 千元/m （a 为正常数），DCF θ∠=．（1）试用θ表示箱梁的总造价y （千元）；（2）试确定cos θ的值，使总造价最低?并求最低总造价．29．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 2a cC b b=-（1）求角B ;（2）若ABC AC 边上的中线长为2，求ABC 的面积参考答案1．A 【分析】设1F AB θ∠=,由以AB 为直径的圆过1F ,可得1|||||AO BO OF c ===,即|2AB c =,运用直径所对的圆周角为直角,以及锐角三角函数的定义,以及辅助角公式,结合离心率公式可得所求范围．【详解】解:设1F AB θ∠=,则124ππθ≤≤由以AB 为直径的圆过1F ,可得1|||||AO BO OF c ===,即||2AB c =在直角三角形1F AB 中,12cos AF c θ=,12sin BF c θ=由椭圆的对称性可得1122cos 2sin 2sin 4AF BF a c c c πθθθ⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭即有14c e a πθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由124ππθ≤≤42πθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎣，则23e ∈⎣⎦.故选:A ．【点睛】本题考查了椭圆的定义性质,考查了三角函数的值域.本题难点是不能由性质得到,a c 的方程,若采用设直线方程、交点坐标找关于,a c 的方程,计算量很大.对于12sin(),[,]y A x x x x ωϕ=+∈求值域时,常用换元法,令t x ωϕ=+,结合正弦函数图像即可求出函数值域.2．B 【分析】先根据对称性将边BC ,边AC 转移,再根据三角形三边在一直线上时周长最小的思路即可解.答.【详解】作点C 关于线段OQ ,OP 的对称点C 1，C 2.连接CC 1，CC 2,如图：则1212ABC C C B BA AC C C ∆=++，又12C C = 而12122()C OC C OQ QOC COP POC QOC POC ∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠2150QOP ︒=∠=，12C C ∴====故选：B 【点睛】本题主要考查数形结合，余弦定理的运用，解题关键是:三边转成一线时三角形周长最小，属于难题.3．A 【详解】由图象得，332,,244A T T ππω==⇒==,因为(2()2sin(21233f f x x πππϕ=⇒=⇒=+，()()12f x f x =，且125,,126x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12127()212x x f x x π+⇒=⇒+= A.4．C 【分析】根据()f x 为偶函数及0ϕπ≤≤可得2ϕπ=，再由对称中心3(,0)4M π可得()221,3k k N ω=+∈，结合函数的单调性可得ω的值.【详解】由()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即sin()sin()x x ωϕωϕ-+=+，所以cos sin cos sin x x ϕωϕω-=对任意x 都成立，且0>ω，所以得cos 0ϕ=．依题设0ϕπ≤≤，所以解得2ϕπ=，故()cos f x x ω=.因为()f x 的图象关于点3(,0)4M π对称，π3ππ42k ω=+，k ∈N .所以()221,3k k N ω+=∈.又()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，所以1222ππω⨯≥，故02ω<≤.故23ω=或2ω=.故选：C ．【点睛】一般地，我们研究()sin y A ωx φ=+的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由sin y u =的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心（也就是整体法），对于含参数的此类函数的单调性问题，我们可借助图象特征把参数的范围归结为周期的范围问题，必要时需结合函数单调区间的一般形式来讨论（基本方法）.5．D 【分析】根据()f x 的零点和对称轴，可以推出ω为奇数，再结合()f x 在(0)π，上有且仅有7个零点，推出ω的值，进而推出ϕ的值以及函数()f x 单调性．【详解】π3-为()f x 的一个零点，x π6=为f （x ）图象的一条对称轴，所以1+=62k ππωϕπ⨯+且2+=3k πωϕπ-⨯，12,k k Z∈将两式相减得：12=2()121k k k ω-+=+，k Z ∈.设t x ωϕ=+，当(0,)x π∈时(,)t ϕωπϕ∈+，()f x 在（0，π）上有且仅有7个零点，即sin y t =在(,)t ϕωπϕ∈+上有且仅有7个零点，又π02ϕ<<所以7+8πωπϕπ<≤，即78πϕωππϕ-<≤-又π02ϕ<<，21k ω=+，所以7ω=，再由x π6=为f （x ）图象的一条对称轴有：7+=,62k k Zππϕπ⨯+∈所以2=3k πϕπ-，由π02ϕ<<，所以=3πϕ.则()sin(7)3f x x π=+，则由272,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈.得522,427427k k x k Z ππππ-+≤≤∈，所以()f x 在522[],427427k k k Z ππππ-++∈上单调递增.所以()f x 在(0,)42π上单调递增.故选：D 【点睛】本题考查了正弦函数的奇偶性和对称性，考查了正弦型函数的单调性，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于难题．6．A 【分析】2sin sin sin B A C =⋅化角为边，由余弦定理求出B 角的取值范围，设4m B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2sin 21B m =-，并确定m 的取值范围，再由关于x 的一元二次不等式恒成立，0∆≤，求出,m t 间的不等量关系，利用m 的取值范围，即可求出结果.【详解】在ABC 中，由正弦定理及2sin sin sin B A C =⋅，得2b ac =，由余弦定理，得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，又因为(0,)B π∈，所以03B π<≤，记4m B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2sin 21B m =-.因为03B π<≤，所以74412B πππ<+≤，从而1m <所以22(2sin 2)sin14x B B π⎤⎛⎫+++⋅+ ⎪⎥⎭⎦≥⎝可化为()2221()1x m tm +++≥，即，()2222242120x m x m t m m +++++≥恒成立，所以依题有()()22222441420m m t m m +-++≤，化简得221t m ≥，即得221t m ≥恒成立，又由22111212m m<⇒≤<≤，得211t t ≥⇒≥或1t ≤-.故选:A.【点睛】本题以一元二次不等式恒成立为背景，考查三角形边角互化、余弦定理求角的范围、以及同角间的三角函数关系，考查不等式的关系，是一道较难的综合题.7．D 【解析】【分析】化切为弦，通分后变形，利用两角和的正弦及余弦求解．【详解】解：sin 404sin 40cos 40sin 404cos50tan 404sin 40cos 40cos 40︒︒︒-︒︒-︒=︒-=()12cos10cos102cos10sin 30102sin 80sin 4022cos 40cos 40cos 40︒-︒-︒︒-︒+︒︒-︒===︒1sin102cos 40⎫︒-︒⎪⎝⎭==︒故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的求值，考查了两角和与差的三角函数的应用，是中档题．8．B 【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出AFB ∠的最大值.【详解】因为124x x ++=，124AF BF x x +=++，所以AF BF +=，在AFB ∆中，由余弦定理得：22222()2cos 22AF BF ABAF BF AF BF ABAFB AF BFAF BF+-+-⋅-∠==⋅⋅22241331122AB AB AB AF BF AF BF --=⋅⋅，又AF BF +=≥所以213AF BF AB ⋅≤，所以22113cos 11223ABAFB AB ∠≥=-⨯，所以AFB ∠的最大值为23π，故选B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，在解题的过程中，对题的条件进行正确转化是解题的关键，属于中档题目.9．D 【分析】设1x α=，1y α，[)0,2απ∈，则2121x x y y -+-()22221222x y x y αααα=-+=-+再放缩可得其大于等于()22122x y αα-+结合已知条件，利用辅助角公式化简即可求最值.【详解】设1x α=，1y α，[)0,2απ∈则有212122x x y y x y αα-+-=-+-()221222x y αα=-+-()22122x y αα≥-+-()22122x y αα≥-+18sin )2αα=-+184sin 224πα⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭当且仅当2sin 140x παα⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎩时取最小值，即4πα=，此时()2,1P ，()2,3Q ，2121x x y y -+-的最小值是2，故选：D.【点睛】本题解题的关键点是将椭圆上的点()11,P x y 用参数表示，代入所求的表达式，再利用不等式放缩配成222x y +这个整体，即可转化为三角函数求最值.10．①③④【分析】画出()f x 的大致图象，即可判断①②；对于③，由题可得<1229510ω≤，当100πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，55105ππππx ωω<+<+，所以491051002ππππω+<<，故判断③；对于④，由4254ππππω+<≤得ω范围，故可判断④；对于⑤，由题知2()21πT k Z k =∈+，又()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，所以6πT ≥，112k ≤，将5k =，4k =代入验证即可.【详解】①若π5ϕ=，()f x 在[02]π，上有5个零点，可画出大致图象，由图3可知，()f x 在(02)π，有且仅有3个极大值点，故①正确；②若π4ϕ=，且()f x 在[02]π，有且仅有4个零点，同样由图可知()f x 在[02]π，有且仅有2个极小值点，故②错误；③若π5ϕ=，由()f x 在[02]π，上有5个零点，得2429255πππ<ωω≤，即<1229510ω≤，当100πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，55105ππππx ωω<+<+，所以491051002ππππω+<<，所以()f x 在001π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，故③正确；④若π4ϕ=，因为02x π≤≤，∴02x πωω≤≤，∴2444πππx πωω++≤≤，因为()f x 在[02]π，有且仅有4个零点，所以4254ππππω+<≤，所以151988ω<≤，所以④正确；⑤若()f x 的图象关于π4x =对称，π4x =-为它的零点，则224πkT T =+(k Z ∈，T 为周期)，得2()21πT k Z k =∈+，又()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，所以6πT ≥，112k ≤，又当5k =时，11ω=，π4ϕ=-，()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上不单调；当4k =时，9ω=，π4ϕ=，()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，满足题意，故ω的最大值为9，故⑤不正确.故答案为：①③④【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查函数的零点与极值相关概念，考查了数形结合的思想，考查学生的逻辑推理与运算求解能力.11．2π【详解】()()2cos 2,,cos cos 6333f x x f f ππππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=∴+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,22,33k k Z ππϕϕπ∴+=++∈,此时无法求得ϕ；或22,33k k Z ππϕϕπ+=--+∈,2k k Z πϕπ⇒=-+∈，[)0,2,2πϕπϕ∈∴= 或32π，当2ϕπ=时，()cos 222f x x sin x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，此时sin 2x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，()2f x sin x =-有最小值，没有最大值，满足题意，当32πϕ=时，()3cos 222f x x sin x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，此时在区间,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()f x 有最大值，不满足题意，2πϕ∴=，故答案为2π.【方法点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质、数形结合思想及分类讨论思想.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.12．113⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由已知12F F P 是以12F F 为腰的等腰三角形，即点P 在以1F 为圆心，2c 为半径的圆上，结合圆与椭圆有两个交点，及12PF F ∠为钝角，结合余弦定理建立关于,a c 的不等式，解不等式即可求得结果.【详解】如图，根据椭圆的对称性知，点P 及关于x 轴，y 轴，原点对称的其它3点，即为椭圆C 满足条件的4个不同的点．根据题意可知12F F P 是以12F F ，1F P 为两腰的等腰三角形，故1122F F F P c ==，即点P 在以1F 为圆心，12F F 为半径的圆上，由题知以1F 为圆心，2c 为半径的圆与椭圆有两个交点，即可存在两个满足条件的等腰12F F P ，此时必有11F P AF >，即2c a c >-，即3a c <，所以离心率13e >；又12PF F ∠为钝角，则12os 0c PF F <∠，利用余弦定理知2221122||||||F P F F F P <+，即222(2)(2)(22)c c a c <+-，整理得2220c ac a +-<，两边同除以2a 得，2210e e +-<，解得：01e <<综上，可知椭圆C 的离心率的取值范围是1213e <<-故答案为：1,213⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的基本性质，及椭圆离心率的取值范围，解题关键是找到关于,a c 的不等关系，本题中12F F P 是以12F F 为腰的等腰三角形，结合圆与椭圆有两个交点，及12PF F ∠为钝角，建立关于,a c 的不等式，解不等式求得结果，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．13．25【分析】根据题意作出图形，根据正弦定理可求出7OP .记线段AC 的中点为M ，AB 的中点N ，在Rt PAN △中，可求出3cos 77PAB PAN ∠=∠=，从而可求出3cos cos 627PAM PAB π⎛⎫∠=∠+= ⎪⎝⎭PAM △中，根据余弦定理求出27PM =，从而可求出221254a c OA OC OM CA =⋅=⋅≤- .【详解】如图，作圆P ，使得274,sin 7AB AOB =∠=，且点O 在优弧AB 上，点C 满足,23AC BC AC ⊥=则,,OA a OB b OC c ===，符合题意.记线段AC 的中点为M ，在OAB 中，由正弦定理，得172sin AB OP AOB=⋅∠，取AB 的中点N ，连接PN ，在Rt PAN △中，PA OP =，2AN =，所以cosPAB PAN ∠=∠=，所以cos cos6PAM PAB π⎛⎫∠=∠+= ⎝⎭，在PAM △中，由余弦定理，得2222cos 7PM PA AM PA AM PAM ∠=+-⋅=，且OM OP PM ≤+=因为2OA OC OM += ，OA OC CA -=uu r uuu r uu r，所以,1122OA OM CA OC OM CA =+=- ，所以22111224a c OA OC OM CA OM CA OM CA ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪⎪⎝⎭⋅=⎭⎝⋅ 2325OM =≤- ，当且仅当点P 在线段OM 上时，等号成立所以a c ⋅的最大值是25.故答案为：25.14．π12【详解】ππππsin cos 3266sin ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令ππcos 66sin t αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，平方得2π216sin t α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为0,2πα⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ64α++∈5π11π01212t ⎡⎤>⎢⎣⎦，，，所以220t t -=，解得t =11)2±=，t =，π12α=．故答案为π12.15．⎛ ⎝⎭【解析】由题得b 2－c 2＝a 2，即a 2＋c 2－b 2，则cos B ＝＝2，所以B=6π.由,得32A ππ<<.因为sinA －2cosC ＝sinA ＋2cos(B ＋A )＝sinA ＋21(cos sin )22A A -，所以2A <，故sinA －2cosC的取值范围为.16．7(3,2【解析】【分析】化简得到()216f x sin x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令t6x πω=-，即12sint =恰有三个实根，分成两类分别讨论即可得到ω的范围.【详解】由题意可得()22cos12126xf x x x cos x sin x ωπωωωω⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，令t6x πω=-，即12sint =恰有三个实根，三根为：①()52221666k k k ππππππ++++，，；()()5522121666k k k ππππππ+++++②，，，k Z ∈∵0ω>，∴263636x πππππωωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭，∴()()()521263662521216366k k k k πππππππππππωπ⎧++-≤--<+⎪⎪⇒⎨⎪++<-≤++⎪⎩，无解；，或()()5636122636691352332122226366k k k k k k k k ππππωπωπππππωπωπ⎧--<≤--+≤--<+⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨+<≤+⎪⎪++<-≤++⎩⎪⎩，，，当k=-1时，解得ω的范围为73,2⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为：73,2⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】（1）研究函数()sin y A x ωϕ=+时，要把x ωϕ+看为一个整体，并结合函数sin y x =的性质求解，在研究单调性时要注意ω的符号对单调性的影响。

中考数学每日一练：解直角三角形练习题及答案_2020年填空题版

中考数学每日一练：解直角三角形练习题及答案_2020年填空题版答案答案答案答案答案答案2020年中考数学：图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形练习题~~第1题~~(2020青浦.中考模拟) 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan B =2，AB =4，那么BC =________．考点：解直角三角形;~~第2题~~(2020湖州.中考模拟) 在△ABC 中，AC=6，点D 为直线AB 上一点，且AB=3BD，直线CD 与直线BC 所夹锐角的正切值为，并且CD ⊥AC ，则BC 的长为________．考点：解直角三角形;~~第3题~~(2020上海.中考模拟) 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt △AB C 中，∠C=90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tanA=________．考点：解直角三角形;~~第4题~~(2020松江.中考模拟) 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米.那么斜面AB 的坡度为________．考点：解直角三角形;解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题;~~第5题~~(2020上海.中考模拟) 如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝3， BC＝2，tanA ＝，则CD ＝________．考点：锐角三角函数的定义;解直角三角形;~~第6题~~(2020虹口.中考模拟) 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为，那么大正方形的面积是________．考点：锐角三角函数的定义;解直角三角形;~~第7题~~答案答案答案答案(2020上海.中考模拟) 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m ，已知木箱高BE=m ，斜面坡脚为30°，则木箱顶端E 距离地面AC 的高度EF 为________m 。

高中数学三角函数练习题及答案解析(附答案)

高中数学三角函数练习题及答案解析（附答案）一、选择题1．探索如图所呈现的规律，判断2 013至2 014箭头的方向是()图1－2－3【解析】观察题图可知0到3为一个周期，则从2 013到2 014对应着1到2到3.【答案】 B2．－330是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【解析】－330＝30＋(－1)360，则－330是第一象限角．【答案】 A3．把－1 485转化为＋k360，kZ)的形式是()A．45－4360 B．－45－4360C．－45－5360 D．315－5360【解析】－1 485＝－5360＋315，故选D.【答案】 D4．(2019济南高一检测)若是第四象限的角，则180－是() A．第一象限的角 B．第二象限的角C．第三象限的角 D．第四象限的角【解析】∵是第四象限的角，k360－90k360，kZ，－k360＋180180－－k360＋270，kZ，180－是第三象限的角．【答案】 C5．在直角坐标系中，若与的终边互相垂直，则与的关系为()A．＝＋90B．＝90C．＝＋90－k360D．＝90＋k360【解析】∵与的终边互相垂直，故－＝90＋k360，kZ，＝90＋k360，kZ.【答案】 D二、填空题6．，两角的终边互为反向延长线，且＝－120，则＝________. 【解析】依题意知，的终边与60角终边相同，＝k360＋60，kZ.【答案】k360＋60，kZ7．是第三象限角，则2是第________象限角．【解析】∵k360＋180k360＋270，kZk180＋90k180＋135，kZ当k＝2n(nZ)时，n360＋90n360＋135，kZ，2是第二象限角，当k＝2n＋1(nZ)时，n360＋270n360＋315，nZ2是第四象限角．【答案】二或四8．与610角终边相同的角表示为________．【解析】与610角终边相同的角为n360＋610＝n360＋360＋250＝(n＋1)360＋250＝k360＋250(kZ，nZ)．【答案】k360＋250(kZ)三、解答题9．若一弹簧振子相对平衡位置的位移x(cm)与时间t(s)的函数关系如图所示，图1－2－4(1)求该函数的周期；(2)求t＝10.5 s时该弹簧振子相对平衡位置的位移．【解】(1)由题图可知，该函数的周期为4 s.(2)设本题中位移与时间的函数关系为x＝f(t)，由函数的周期为4 s，可知f(10.5)＝f(2.5＋24)＝f(2.5)＝－8(cm)，故t＝10.5 s时弹簧振子相对平衡位置的位移为－8 cm.图1－2－510．如图所示，试表示终边落在阴影区域的角．【解】在0～360范围中，终边落在指定区域的角是0或315360，转化为－360～360范围内，终边落在指定区域的角是－4545，故满足条件的角的集合为{|－45＋k36045＋k360，kZ}．11．在与530终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720到－360的角．【解】与530终边相同的角为k360＋530，kZ.(1)由－360＜k360＋530＜0，且kZ可得k＝－2，故所求的最大负角为－190.(2)由0＜k360＋530＜360且kZ可得k＝－1，故所求的最小正角为170(3)由－720k360＋530－360且kZ得k＝－3，故所求的角为－550.。

九上数学每日一练：特殊角的三角函数值练习题及答案_2020年解答题版

九上数学每日一练：特殊角的三角函数值练习题及答案_2020年解答题版答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析2020年九上数学：图形的变换_锐角三角函数_特殊角的三角函数值练习题1.(2020晋江.九上期中) 请先阅读这段内容.再解答问题三角函数中常用公式 .求的值，即.试用公式，求出的值.考点：特殊角的三角函数值;2.(2019江北.九上期末) 如图，“人字梯”放在水平地面上，梯子的两边相等(AB ＝AC)，当梯子的一边AB 与梯子两底端的连线BC 的夹角α为60°时，BC 的长为2米，若将α调整为65°时，求梯子顶端A 上升的高度.(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°＝0.42，tan65°≈2.41，＝73，结果精确到0.1m)考点：等腰三角形的性质;等边三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义;特殊角的三角函数值;3.(2019松北.九上期末) 先化简，再求代数式的值，其中 =tan60°.考点：利用分式运算化简求值;特殊角的三角函数值;4.(2018顺义.九上期末) 如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB 的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A 的仰角为30°，底端B 的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB 的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin10°≈0.17， cos10°≈0.98，tan10°≈0.18， ≈1.41， ≈1.73）考点：锐角三角函数的定义;特殊角的三角函数值;解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;5.(2017秦皇岛.九上期末) 已知a 是锐角，且sin （a+15°）= ，计算 ﹣4cosα﹣（π﹣3.14）+tanα+ 的值．考点： 0指数幂的运算性质;负整数指数幂的运算性质;特殊角的三角函数值;2020年九上数学：图形的变换_锐角三角函数_特殊角的三角函数值练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。

高中数学(人教A版)必修一课后习题：三角函数的应用(课后习题)【含答案及解析】

三角函数的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.在两个弹簧上各有一个质量分别为M 1和M 2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t (单位:s)离开平衡位置的位移s 1(单位:cm)和s 2(单位:cm)分别由s 1=5sin 2t+π6,s 2=10cos 2t 确定,则当t=2π3s 时,s 1与s 2的大小关系是( )A.s 1>s 2 B .s 1<s 2 C .s 1=s 2 D .不能确定解析当t=2π3时,s 1=5sin 4π3+π6=5sin 3π2=-5,s 2=10cos 4π3=10×-12=-5,故s 1=s 2.2.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin π6x+φ+k ,据此函数可知,这段时间水深y (单位:m)的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10解析由题意可知当sinπ6x+φ取最小值-1时,函数取最小值y min =-3+k=2,得k=5, ∴y=3sinπ6x+φ+5,当sinπ6x+φ取最大值1时,函数取最大值y max =3+5=8. 3.有一冲击波,其波形为函数y=-sin πx2的图象,若其在区间[0,t ]上至少有2个波峰,则正整数t 的最小值是 ( )A.5B.6C.7D.8y=-sin πx 2的图象知,要使在区间[0,t ]上至少有2个波峰,必须使区间[0,t ]的长度不小于2T-T4=7T 4,即t ≥74·2π|ω|=74·2ππ2=7.故选C .4.(2021天津河西高一期末)如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=A sin(ωx+φ)+b (A>0,ω>0,|φ|<π),则在6≤x ≤14时这段曲线的函数解析式是 .(不要求写定义域) 答案y=10sinπ8x+3π4+20,A=12×(30-10)=10,T=2×(14-6)=16,b=20,∴ω=2πT=2π16=π8.∵点(10,20)在函数的图象上, ∴10sinπ8×10+φ+20=20,即sin5π4+φ=0,则5π4+φ=2k π,k ∈Z ,φ=2k π-5π4,k ∈Z .∵|φ|<π,则φ=3π4.则这段曲线的函数解析式是y=10sin π8x+3π4+20.5.某地一天0~24时的气温y (单位:℃)与时间t (单位:h)的关系满足函数y=6sin (π12t -2π3)+20(t ∈[0,24]),则这一天的最低气温是 ℃.0≤t ≤24,所以-2π3≤π12t-2π3≤4π3,故当π12t-2π3=-π2,即t=2时,函数取最小值-6+20=14.6.如图所示,某动物种群数量1月1日最低为700,7月1日最高为900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数解析式;(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量.解(1)设种群数量y 关于t 的解析式为y=A sin(ωt+φ)+b A>0,ω>0,|φ|≤π2,则{-A +b =700,A +b =900,解得A=100,b=800.周期T=2×(6-0)=12,∴ω=2πT =π6, ∴y=100sin π6t+φ+800.又当t=6时,y=900, ∴900=100sinπ6×6+φ+800,∴sin(π+φ)=1,∴sin φ=-1, ∴φ=-π2,即y=100sin π6t-π2+800.(2)当t=2时, y=100sinπ6×2-π2+800=750,即当年3月1日动物种群数量约是750.等级考提升练7.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )=50+4sin t2(0≤t ≤20)给出,F (t )的单位是辆/分,t 的单位是分,则下列时间段中,车流量增加的是( ) A.[0,5] B .[5,10] C .[10,15] D .[15,20]10≤t ≤15时,有32π<5≤t2≤152<52π,此时F (t )=50+4sin t2单调递增,即车流量在增加.故选C . 8.(2021北京海淀高一校级月考)在图中,点O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时,则物体对平衡位置的位移x (单位:cm)和时间t (单位:s)之间的函数关系式为( )A.x=32sin2π3t-π2B .x=3sin 2π3t C .x=32sin 3t+π2D .x=3sin2π3t+π2解析设位移x 关于时间t 的函数为x=f (t )=A sin(ωt+φ)(A>0,ω>0),则A=3,周期T=2πω=3,故ω=2π3,由题意可知当t=0时,f (t )取得最大值3,故3sin φ=3,故φ=π2+2k π,k ∈Z ,当k=0时,φ=π2,x=3sin 2π3t+π2.故选D .9.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f (x ),则y=f (x )在区间[0,π]上的图象大致为( )f (x )={12sin2x ,x ∈[0,π2],-12sin2x ,x ∈(π2,π],0≤f (x )≤12,排除A,B,D,选项C 满足函数的图象,故选C . 10.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位置P (x ,y ),若初始位置为P 0(√32,12),当秒针从P 0(注:此时t=0)正常开始走时,点P 的纵坐标y 与时间t (单位:s)的函数关系为( )A.y=sin (π30t +π6) B.y=sin (-π60t -π6) C.y=sin (-π30t +π6) D.y=sin (-π30t -π3)y=sin(ωt+φ),其中ω<0.由2π|ω|=60,得|ω|=π30,∴ω=-π30.∴y=sin (-π30t +φ). 又当t=0时,y=12,∴φ=π6.∴y=sin (-π30t +π6).11.(多选题)如图所示是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是( )A.该质点的运动周期为0.8 sB.该质点的振幅为5 cmC.该质点在0.1 s 和0.5 s 时运动速度最大D.该质点在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零,半个周期为0.4 s,所以周期为0.8 s,A 正确;平衡位置为x 轴,最低点纵坐标是-5,故振幅为5 cm,B 正确;当质点位于最高点或最低点时速度为零,故C 错误,D 正确. 12.(2021江苏无锡高一期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车,在匀速转动过程中,筒车上一盛水筒M 距离水面的高度H (单位:米)与转动时间t (单位:秒)满足函数关系式H=2sinπ60t+φ+54,φ∈0,π2,且t=0时,盛水筒M 与水面距离为2.25米,当筒车转动100秒后,盛水筒M 与水面距离为米..25 解析∵H=2sinπ60t+φ+54,φ∈0,π2,当t=0时,H=2sin φ+54=2.25,则sin φ=12, ∵φ∈0,π2,∴φ=π6.故H=2sinπ60t+π6+54.∴当t=100时,盛水筒M 与水面距离为H=2sinπ60×100+π6+54=2×-12+54=0.25(米).13.生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型.下表中给出了在24小时期间人的体温的典型变化(从夜间零点开始计时).时间/时0 246810 12(1)作出这些数据的散点图;(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据; (3)作出(2)中所选函数的图象.散点图如下:(2)设t 时的体温y=A sin(ωt+φ)+C ,则C=37.4+36.62=37,A=37.4-37=0.4,ω=2πT=2π24=π12.由0.4sin (π12×16+φ)+37=37.4,得sin 4π3+φ=1,取φ=-5π6.故可用函数y=0.4sin (π12t -5π6)+37来近似描述这些数据. (3)图象如下:新情境创新练14.为迎接夏季旅游旺季的到来,某景区单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈,景区的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?设该函数为f(x)=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知,f(x)在区间[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.根据上述分析可得,2πω=12,故ω=π6,且{-A+B=100,A+B=500,解得{A=200,B=300.根据分析可知,当x=2时,f(x)最小, 当x=8时,f(x)最大,故sin2×π6+φ=-1,且sin8×π6+φ=1.又因为0<|φ|<π,故φ=-5π6.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sinπ6x-5π6+300.(2)由条件可知,200sinπ6x-5π6+300≥400,化简得sinπ6x-5π6≥12⇒2kπ+π6≤π6x-5π6≤2kπ+5π6,k∈Z,解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.因为x∈N*,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10.即只有6月份、7月份、8月份、9月份、10月份要准备400份以上的食物.。

2023高中数学三角恒等变换题型总结及解题方法

(每日一练)2023高中数学三角恒等变换题型总结及解题方法单选题1、若3sinθ=cosθ−1，则tan θ2的值为（） A ．−3B ．13C ．−3或0D ．−13 答案：C 解析：观察角度之间的联系，利用倍角公式和同角三角函数的基本关系式化简求值. 由3sinθ=cosθ−1，得6sin θ2cos θ2=1−2sin 2θ2−1，得2sin θ2(3cos θ2+sin θ2)=0，得sin θ2=0或3cos θ2+sin θ2=0，得tan θ2=0或tan θ2=−3. 故选：C 小提示：本题利用倍角公式和同角三角函数的基本关系式化简求值，属于容易题. 2、若tan α=2tan 10∘，则cos (α−80∘)sin (α−10∘)=（） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C 解析：利用诱导公式、两角和公式可得cos (α−80∘)sin (α−10∘)=sin αcos10∘+cosαsin10∘sin αcos10∘−cosαsin10∘，再利用弦化切即得.∵tan α=2tan 10∘， ∴cos (α−80∘)sin (α−10∘)=cos (α+10∘−90∘)sin (α−10∘)=sin (α+10∘)sin (α−10∘) =sin αcos10∘+cosαsin10∘sin αcos10∘−cosαsin10∘=tan α+tan10∘tan α−tan10∘ =3tan 10∘tan 10∘=3. 故选：C.3、关于函数y =sinx(sinx +cosx)描述正确的是（） A ．最小正周期是2πB ．最大值是√2C ．一条对称轴是x =π4D ．一个对称中心是(π8,12) 答案：D 解析：利用三角恒等变换化简y 得解析式，再利用正弦型函数的图像和性质得出结论. 解：由题意得：∵y =sinx(sinx +cosx) =sin 2x +12sin2x=1−cos2x 2+12sin2x =√22sin(2x −π4)+12选项A：函数的最小正周期为T min=2πω=2π2=π，故A错误；选项B：由于−1≤sin(2x−π4)≤1，函数的最大值为√22+12，故B错误；选项C：函数的对称轴满足2x−π4=kπ+π2，x=k2π+3π8，当x=π4时，k=−14∉Z，故C错误；选项D：令x=π8，代入函数的f(π8)=√22sin(2×π8−π4)+12=12，故(π8,12)为函数的一个对称中心，故D正确；故选：D4、函数f(x)=√3cosx−sinx在区间[0,2π3]上的值域为（）A．[−√32,√32]B．[−√3,√3]C．[−√32,1]D．[−1,2]答案：B 解析：先将函数转化为f(x)=2cos(x+π6)，再根据x∈[0,2π3]，利用余弦函数的性质求解.函数f(x)=√3cosx−sinx=2cos(x+π6)因为x∈[0,2π3]，所以x+π6∈[π6,5π6]，cos(x+π3)∈[−√32,√32]，所以函数f(x)的值域为[−√3,√3]，故选：B5、设锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A=π3,a=√3，则b2+c2+bc的取值范围为（）A．(1，9]B．(3，9]C．(5，9]D．(7，9]答案：D 解析：由正弦定理求出b=2sin B,c=2sin(2π3−B)，再由余弦定理可得b2+c2+bc=8sin B sin(2π3−B)+3，化为5+4sin(2B−π6)，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.因为A=π3,a=√3，由正弦定理可得asin A =√3√32=2=bsin B=csin(2π3−B)，则有b=2sin B,c=2sin(2π3−B)，由△ABC的内角A,B,C为锐角，可得{0<B<π2,0<2π3−B<π2,，∴π6<B<π2⇒π6<2B−π6<5π6⇒12<sin(2B−π6)≤1⇒2<4sin(2B−π6)≤4，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bc cos A⇒3=b2+c2−bc,因此有b2+c2+bc=2bc+3=8sin B sin(2π3−B)+3=4√3sinBcosB+4sin2B+3=2√3sin2B−2cos2B+5=5+4sin(2B−π6)∈(7,9]故选：D.小提示：方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.。

16年级数学每日练习题

一、选择题1. 若函数f(x) = 2x 3，则f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 72. 下列哪个数是负数？A. 2B. 0C. 2D. 1/23. 若a > b，则下列哪个不等式成立？A. a + b > b + aB. a b < b aC. a b < b aD. a / b > b / a4. 下列哪个图形是正方形？A. 长方形B. 矩形C. 正方形D. 菱形5. 若a² + b² = 25，且a > 0，b > 0，则a和b的取值范围是：A. 0 < a < 5，0 < b < 5B. 0 < a < 5，0 > b > 5C. 0 > a > 5，0 < b < 5D. 0 > a > 5，0 > b > 5二、填空题1. 若a + b = 7，且a b = 3，则a的值为______，b的值为______。

2. 若x² 5x + 6 = 0，则x的值为______。

3. 若sin(α) = 1/2，且0° < α < 90°，则cos(α)的值为______。

4. 若log₂(8) = 3，则2³的值为______。

5. 若a² + b² = 10，且a = 2，则b的取值范围是______。

三、解答题1. 解方程：3x² 5x 2 = 0。

2. 若函数f(x) = x² 4x + 3，求f(x)在x = 2时的导数。

3. 若a、b、c为等差数列，且a + b + c = 15，求a、b、c的值。

4. 若sin(α) = 3/5，且0° < α < 90°，求cos(α)的值。

5. 若log₃(27) = 3，求3²的值。

三角函数的诱导公式(1)-学易试题君之每日一题君2018学年下学期高一数学人教版(课堂同步系列二)

1 5月7日三角函数的诱导公式（1）
高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
cos585°的值为
A ．－22
B ．22
C ．－32
D ．32
【参考答案】A
【试题解析】cos585°=cos （360°+180°+45°）=cos （180°+45°）=－cos45°=－
22
．故选A ．【解题必备】诱导公式的内容：学科-网
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin （2k π+α）=sin α （k ∈Z ）
cos （2k π+α）=cos α （k ∈Z ）
tan （2k π+α）=tan α （k ∈Z ）
公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π+α）=–sin α
cos （π+α）=–cos α
tan （π+α）=tan α
公式三：任意角α与–α的三角函数值之间的关系（利用原函数奇偶性）： sin （–α）=–sin α
cos （–α）=cos α
tan （–α）=–tan α
公式四：利用公式二和公式三可以得到π–α与α的三角函数值之间的关系： sin （π–α）=sin α
cos （π–α）=–cos α
tan （π–α）=–tan α 公式五：任意角α与2 –α的三角函数值之间的关系：。

三角函数每日练习分解

每日练习——三角函数（1）1. 在Rt △ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（） A. 不变 B. 扩大5倍 C. 缩小5倍 D. 不能确定2. 如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cos α的值等于（） A. 12B.22C.32D. 13. Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35，AC ＝6cm ，那么BC 等于（） A. 8cm B.cm 524 C.cm 518 D.cm 564. 菱形ABCD 的对角线AC ＝10cm ，BD ＝6cm ，那么tan 2A为（） A. 35B.45C.345D.3435. 在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝125，△ABC 的周长为60，那么△ABC 的面积为（） A. 60 B. 30 C. 240 D. 1206. 如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若BD ：AD ＝1：4，则tan ∠BCD 的值是（）A.14B.13C.12D. 27. 如图所示，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P •是AB •延长线上一点，•BP ＝2cm ，则tan ∠OPA 等于（）A. 32B.23C. 2D.128. 如图，起重机的机身高AB 为20m ，吊杆AC 的长为36m ，•吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C 离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是（）A. （30＋20）m 和36tan30°mB. （36sin30°＋20） m 和36cos30°mC. 36sin80°m 和36cos30°mD. （36sin80°＋20）m 和36cos30°m 9. 如图，小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD ＝8•米， BC ＝20米，CD 与地面成30°角，且此时测得1米的影长为2米，则电线杆的高度为（）A. 9米B. 28米C. （7＋3）米D. （14＋23）米10. 一等腰三角形的两边长分别为4cm 和6cm ，则其底角的余弦值为________．11. Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝6，若∠A 的平分线长为43，则a ＝_____，∠A ＝_______．12. 如图所示，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB ＝13，BC ＝10，则AB 的长为________．13. Rt △ABC 中，若sinA ＝45，AB ＝10，则BC ＝_______．14. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在下列叙述中：①sinA ＋sinB ≥1 ②sin 2A ＝cos 2B C ；③sin sin AB＝tanB ，其中正确的结论是______．（填序号）每日练习——三角函数（1）答案1. A 2. A 3. A 4. A 5. D 6. C 7. D 8. D 9. D10. 34或1311. 6360°12. 3＋313. 8或40314. ②每日练习——三角函数（2）1. 一个直角三角形有两条边长为3、4，则较小的锐角约为（）A.37°B. 41°C. 37°或41°D. 以上答案均不对2. 两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为α，则重叠部分面积为（）A.αsin 1B.αcos 1C. αsinD. 13. 在山坡上种树，要求株距L 相领两树间的水平距离是a ，测得斜坡的倾角为α，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是（）A. asin αB. acos αC.αsin aD.αcos a4. 等腰三角形的腰长和底边之比为1：2，则底角和顶角的度数分别是（） A. 30°和120° B. 45°和90° C. 60°和60° D. 15°和150°5. 在△ABC 中，∠C ＝90°，若cosB ＝31，则tanA 等于（） A.322B. 22C. 31D. 426. Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦值（） A. 扩大2倍 B. 缩小21 C. 不变 D. 无法确定7. Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，cosA ＝43，则BC 等于（） A. 3B. 6C. 72D. 88. 在等腰三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 为AC 上的一点，若tan ∠DBA ＝51，则AD 的长为（） A. 2B. 2C. 1D. 229. 如图所示，人们从O 处的某海防哨所发现，在它的北偏东60°方向，•相距600m 的A 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇到达哨所东南方向B 处，则A 、B 间的距离是________．10. 如图，测量队为测量某地区山顶P 的海拔高度，选M 点作为观测点，从M •点测量山顶P 的仰角（视线在水平线上方，与水平线所夹的角）为30°，在比例尺为1：50000的该地区等高线地形图上，••量得这两点的图上距离为6•厘米，••则山顶P •的海拔高为________m ．（精确到1m ）11. 计算下面各式：（1）23tan 303cos 302sin 30︒︒-︒ （2）2222cos60tan 45cos 45tan 30cot 30︒+︒+︒︒+︒12. 在锐角△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，S △ABC ＝84，求： tanB 的值；13. 一次函数y ＝x ＋b 与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，若△OAB 的周长为2＋2（•0为坐标原点），求b 的值．每日练习——三角函数（2）答案1.C2. A3. D4. B5. D6. C7. C8. B9、（300＋3003）m ••10. 198211. （1）453（2）3412. （1）12 513. b＝±1每日练习——三角函数（3）1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝53，AC ＝3，则sinA ＝，cosA ＝，tanB ＝， S △ABC ＝ .2. 在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝16，cosC ＝0.8，则AC ＝，sinA ＝，tanC ＝。

三角5答案

2010-2011学年金堡中学高三文数三角函数每日一题5答案1．如图，某人在塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向前进了40m 以后，在点D 处望见塔的底端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB ∠=α,α的最大值为30°，求塔的高.解：依题意知在△DBC 中30BCD ∠=,18045135DBC ∠=-= CD=40,则15D ∠=，由正弦定理得sin sin CD BCDBC D=∠∠ ∴sin 40sin15sin sin135CD D BC DBC ⋅∠⨯==∠＝624020(62)422-⨯-=在Rt△ABE 中，tan ABBEα=∵AB 为定长 ∴当BE 的长最小时，α取最大值30°，这时BE CD ⊥当BE CD ⊥时，在Rt△BE C 中sin BEBCD BC∠=,sin BE BC BCD =⋅∠∴tan30sin tan30AB BE BC BCD =⋅=⋅∠⋅＝20(62)1310(33)2332--⋅⋅=（m ）答：所求塔高为10(33)-m.2．海岛B 上有一座高10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15方向上，且俯角为30的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75方向上，且俯角45的D 处（假设游船匀速行驶）.(Ⅰ)求该船行使的速度（单位：米/分钟）；(Ⅱ)又经过一段时间后，油船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远.解：(Ⅰ)在Rt ∆ABC 中，=60BAC ∠，AB = 10，则BC = 103米在Rt ∆ABD 中，=45BAD ∠，AB = 10，则BD = 10米在Rt ∆BCD 中，=75+15=90BDC ∠，则CD = 22+BD BC = 20米所以速度v =1CD= 20 米/分钟（Ⅱ）在Rt BCD ∆中，=30BCD ∠，又因为=15DBE ∠，所以=105CBE ∠，所以=45CEB ∠在BCE ∆中，由正弦定理可知sin 30sin 45EB BC =，所以sin 3056sin 45BC EB ==米. 3．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知50AB m =，120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求∠DEF 的余弦值。

2023高中数学三角函数真题

(每日一练)2023高中数学三角函数真题单选题1、已知函数f (x )=2sin (2x +φ)，|φ|≤π2，若函数y =f (x )的图象关于直线x =π6对称，则φ值为（）A ．−π6B ．−π3C ．π6D ．π3答案：C 解析：由题意得出2×π6+φ=π2+kπ(k ∈Z )，结合φ的取值范围可得出φ的值. 由于函数f (x )=2sin (2x +φ)的图象关于直线x =π6对称，则2×π6+φ=π2+kπ(k ∈Z )，可得φ=π6+kπ(k ∈Z )，∵−π2<φ<π2，∴k =0，φ=π6. 故选：C. 小提示：本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于基础题.2、已知sinα=2√67，cos (α−β)=√105，且0<α<3π4，0<β<3π4，则sinβ=（）A ．9√1535B ．11√1035C ．√1535D ．√1035答案：A 解析：易知sinβ=sin(α−(α−β))，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosα和sin (α−β)，分别在sin (α−β)=√155和−√155两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sinβ，结合β的范围可确定最终结果. ∵sinα=2√67<√22且0<α<3π4，∴0<α<π4，∴cosα=√1−sin 2α=57. 又0<β<3π4，∴−3π4<α−β<π4，∴sin (α−β)=±√1−cos 2(α−β)=±√155. 当sin (α−β)=√155时， sinβ=sin(α−(α−β))=sinαcos (α−β)−cosαsin (α−β) =2√67×√105−57×√155=−√1535， ∵0<β<3π4，∴sinβ>0，∴sinβ=−√1535不合题意，舍去；当sin (α−β)=−√155，同理可求得sinβ=9√1535，符合题意.综上所述：sinβ=9√1535.故选：A . 小提示：易错点睛：本题中求解cosα时，易忽略sinα的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cosα的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误. 3、已知x 1=π3，x 2=5π6是函数f(x)=sin(ωx +φ)（ω>0，0<φ<π2）相邻的两个零点，若函数g(x)=|f(x)−12|在[−π4,m]上的最大值为1，则m 的取值范围是（） A ．(−π4,π3]B ．(−π4,π2] C ．(−π4,5π12]D ．(−π4,7π12]答案：C 解析：先利用三角函数的性质得到ω=2，再根据已知零点得到φ=π3，然后根据三角函数的性质得到关于m 的不等式，求解即可得到结果．设函数f (x )的最小正周期为T ，由题意可得T2=5π6−π3，则T =π，所以2πω=π，所以ω=2，则f (x )=sin (2x +φ)．令x =π3，则2×π3+φ=k π，k ∈Z ，即φ=k π−2π3，k ∈Z又0<φ<π2，所以φ=π3，所以f (x )=sin (2x +π3)．因为函数g (x )=|f (x )−12|在[−π4,m]上的最大值为1，且g (π4)=1，如图. 当x ∈[−π4,m]时，−π6≤2x +π3≤2m +π3，所以−π6<2m +π3≤7π6，所以−π4<m ≤5π12．故选：C小提示：关键点睛：本题考查根据正弦型函数的最大值求参数，解答本题的关键是x 1=π3，x 2=5π6是函数f (x )的两个相邻的零点求出f (x )=sin (2x +π3)，再作出函数g (x )的图象，根据图象分析定义域的区间，属于中档题. 4、要得到函数y =cos (4x +π3)的图像，只需将函数y =cos4x 的图像A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度答案：C 解析：先化简得y=cos(4x+π3)=cos4(x+π12)，再利用三角函数图像变换的知识得解.因为y=cos(4x+π3)=cos4(x+π12)，所以要得到函数y=cos(4x+π3)的图像，只需将函数y=cos4x的图像向左平移π12个单位长度．故选C小提示：本题主要考查三角函数的图像的变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5、设函数f(x)=2sin(ωx+φ)−1(ω>0)，若对于任意实数φ，f(x)在区间[π4,3π4]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（）A．[83,163)B．[4,163)C．[4,203)D．[83,203)答案：B 解析：t=ωx+φ，只需要研究sint=12的根的情况，借助于y=sint和y=12的图像，根据交点情况，列不等式组，解出ω的取值范围.令f(x)=0，则sin(ωx+φ)=12令t=ωx+φ，则sint=12则问题转化为y=sint在区间[π4ω+φ,3π4ω+φ]上至少有两个，至少有三个t，使得sint=12，求ω的取值范围.作出y=sint和y=12的图像，观察交点个数，可知使得sint =12的最短区间长度为2π，最长长度为2π+23π，由题意列不等式的：2π≤(3π4ω+φ)−(π4ω+φ)<2π+23π解得：4≤ω<163.故选：B 小提示：研究y =Asin (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法（令t =ωx +φ），转化为研究y =sint 的图像和性质较为方便.。

2023高中数学三角函数专项训练题

(每日一练)2023高中数学三角函数专项训练题单选题1、−690°的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A解析：根据象限角与终边相同角的概念判断即可；解：−690°=−2×360°+30°，所以−690°的终边与30°角的终边相同，因为30°的终边在第一象限，所以−690°的终边在第一象限；故选：A2、函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)图像上一点P(s,t)(−2<t<2)向右平移2π个单位，得到的点Q也在f(x)图像上，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，且满足f(π4−x)=f(x)，f(−π2)>f(0)，若y=f(x)，x∈[0,π2]与y=a有两个交点，则a的取值范围为（）A．(−2,−√2]B．[−2,−√2]C．[√2,2)D．[√2,2]答案：A解析：首先根据已知条件分析出|PQ|=2π=2T，可得ω=2，再由f(π4−x)=f(x)可得y=f(x)对称轴为x=π8，利用f(−π2)>f(0)可以求出符合题意的一个φ的值，进而得出f(x)的解析式，再由数形结合的方法求a的取值范围即可.如图假设P(0,0)，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，则|PQ|=2π，所以由分析可得|PQ|=2π=2T，所以T=π，可得ω=2πT =2ππ=2，因为f(π4−x)=f(x)所以f[π4−(π8+x)]=f(π8+x)，即f(π8−x)=f(π8+x)，所以x=π8是f(x)的对称轴，所以2×π8+φ=π2+kπ(k∈Z)，即φ=π4+kπ(k∈Z)，f(−π2)=2sin(−π+φ)=−2sinφ>f(0)=2sinφ，所以sinφ<0，可令k=−1得φ=−3π4，所以f(x)=2sin(2x−3π4)，当x∈[0,π2]时，令2x−3π4=t∈[−3π4,π4]，则f(x)=2sint，t∈[−3π4,π4]作f(t)图象如图所示：当t =−3π4即x =0时y =−√3，当t =−π2即x =π8时，y =−2，由图知若y =f (x )，x ∈[0,π2]与y =a 有两个交点，则a 的取值范围为(−2,−√2]，故选：A小提示：关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点P (0,0)便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出f (x )的解析式，再利用数形结合的思想求解a 的取值范围.3、若3sinθ=cosθ−1，则tan θ2的值为（）A ．−3B ．13C ．−3或0D ．−13答案：C解析：观察角度之间的联系，利用倍角公式和同角三角函数的基本关系式化简求值.由3sinθ=cosθ−1，得6sin θ2cos θ2=1−2sin 2θ2−1，得2sin θ2(3cos θ2+sin θ2)=0，得sin θ2=0或3cos θ2+sin θ2=0，得tan θ2=0或tan θ2=−3.故选：C小提示：本题利用倍角公式和同角三角函数的基本关系式化简求值，属于容易题.4、把函数y =sin3x 的图象向左平移π6，可以得到的函数为（）A ．y =sin(3x +π6)B ．y =sin(3x −π6)C ．y =cos3xD ．y =cos(3x +π6)答案：C解析：根据三角函数平移变化可求得平移后的解析式,结合诱导公式化简即可得解. 把函数y =sin3x 的图象向左平移π6可得y =sin [3(x +π6)]=sin (3x +π2)由诱导公式化简可得y =sin (3x +π2)= cos 3x故选:C小提示：本题考查了三角函数图象平移变换,诱导公式的简单应用,属于基础题.5、若sin (α+β)sin (α−β)=−1114，则cos 2α−cos 2β=（）．A ．314B ．−314C ．1114D ．−1114 答案：C解析：直接对已知的式子利用三角恒等变换公式化简可得答案解：因为sin (α+β)sin (α−β)=−1114，所以(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ−cosαsinβ)=−1114，sin 2αcos 2β−cos 2αsin 2β=−1114，所以(1−cos 2α)cos 2β−cos 2α(1−cos 2β)=−1114，所以cos 2β−cos 2αcos 2β−cos 2α+cos 2αcos 2β=−1114，所以cos 2β−cos 2α=−1114，所以cos2α−cos2β=11，14故选：C。

自学初中数学资料三角函数

自学资料一、30°、45°、60°角的三角比/函数的值【错题精练】例1．如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为__________ 米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）第1页共26页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训【解答】【答案】60例2．为解决都匀市停车难的问题，计划在一段长为56米的路段规划处如图所示的停车位，已知每个车位是长为5米，宽为2米的矩形，且矩形的宽与路的边缘成45°角，则该路段最多可以划出__________ 个这样的停车位．（取=1.4，结果保留整数）【解答】【答案】19例3．已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为__________ ．第2页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【解答】【答案】8或24例4．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=__________ ．第3页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】【答案】2例5．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值=__________ ，tan∠APD的值=__________ ．第4页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【解答】【答案】3|2例6．如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高．（精确到0.1米，≈1.732）第5页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】例7．某地下车库出口处“两段式栏杆”如图7-1所示，点是栏杆转动的支点，点是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆升起后的位置如图7-2所示，其示意图如图所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75．）【答案】例8．如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα第6页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）【解答】【答案】26.6°【举一反三】第7页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训1．在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=__________【解答】【答案】2．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5米，则坝底AC的长度是__________ 米．【解答】【答案】53．天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B 的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度为51米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B 在同一水平直线上，求A，B之间的距离（结果保留根号）第8页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【答案】4．如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求点P到海岸线l的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）第9页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】5．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D 与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？第10页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【答案】6．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是（）A. csinA＝aB. bcosB＝cC. atanA＝bD. ctanB＝b【解答】【答案】A7．如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据：）【解答】【答案】加长2.07米二、解直角三角形【知识探索】1．在直角三角形中，由已知元素求未知元的过程叫做解直角三角形．【说明】（1）知道直角三角形中除直角外的两个元素（至少有一个元素是边），就可以求出这个直角三角形的其它三个元素；（2）求直角三角形的边长和角度时，常会遇到近似计算，如不加说明，则边长保留四个有效数字，角度精确到1′；（3）由三角形的判定定理可知，如果给定直角三角形的一条边和一个锐角，或者给定它的两条边，那么这个直角三角形的形状和大小就完全确定．解直角三角形所需要的条件，与确定一个直角三角形所需要的条件是一致的．【错题精练】【解答】【答案】例2．在Rt△ABC 中，∠C =90∘，若sinA =√55，AB =2，则AC 长是（） A. 4√55； B.2√55；C.√55； D. 2．【答案】A例3．如图，有一个底面直径与杯高均为15cm 的杯子里而盛了一些溶液，当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈52°才能将液体倒出，则此时杯子最高处距离桌面______cm （sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）【解答】解：过最高点作桌面的垂线AD ，过流水口B 作桌面的垂线BC ，作BE ⊥AD 于点E ，如图所示，在Rt△BCF中，有∠BFC=52°，BF=15cm，∴BC=BF•sin52°=15×0.79=11.85（cm），∴DE=BC=11.85cm，∵BE∥CD，∴∠EBF=∠BFC=52°，∴∠ABE=90°-52°=38°，∴∠BAE=90°-38°=52°，在Rt△ABE中，AB=15cm，∴AE=AB•cos52°=15×0.62=9.3（cm），∴AD=AE+DE=9.3+11.85=21.15（cm）．故答案为：21.15．【答案】21.15例4．（浙江杭州市中考16）如图，在四边形纸片中，，，，．将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则__________ ．【解答】【答案】或．例5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC边上，∠ADC=45°，BD=2，tanB=34（1）求AC和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．【答案】解：（1）如图，在Rt△ABC中，∵tanB=ACBC =3 4，∴设AC=3x、BC=4x，∵BD=2，∴DC=BC-BD=4x-2，∵∠ADC=45°，∴AC=DC，即4x-2=3x，解得：x=2，则AC=6、BC=8，∴AB=√AC2+BC2=10；（2）作DE⊥AB于点E，由tanB=DEBE =34可设DE=3a，则BE=4a，∵DE2+BE2=BD2，且BD=2，∴（3a）2+（4a）2=22，解得：a=25（负值舍去），∴DE=3a=65，∵AD=√AC2+DC2=6√2，∴sin∠BAD=DEAD =√2 10．例6．如图，已知在△ABC中，AB=AC=2√5，sin∠B=2√55，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且CE=BC．联结AE，F为线段AE的中点．求：（1）线段DF的长；（2）∠CAE的正切值．【答案】解：（1）如图，连接AD，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵AB=AC=2√5，sin∠B=2√55，∴ADAB =2√55，∴AD=4，由勾股定理得：BD=2，∴DC=BD=2，BC=4，∵CE=BC，∴CE=4，∴DE=2+4=6，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=√AD2+DE2=√42+62=2√13，∵F为直角△ADE斜边AE的中点，∴DF=12AE=√13；（2）过C作CM⊥AE于M，则∠CMA=∠CME=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理得；AE=√AD2+DE2=√42+62=2√13，∵由勾股定理得；CM2=AC2-AM2=CE2-EM2，∴（2√5）2-AM2=42-（2√13-AM）2，解得：AM=14√1313，CM=√AC2−AM2=√（2√5）2−（14√1313）2=8√1313，∴∠CAE的正切值是CMAM =8√131314√1313=47．【举一反三】1．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA=__________ ．【解答】【答案】2．如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是__________ ．【解答】【答案】3．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=13BC，连接AC，若tanB=35，则tan∠CAD的值为______．【解答】解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=35，即ADAB=35，∴设AD=3x，则AB=5x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD=90°，∴△CDE∽△BDA，∵DC=13BC，∴BD=2DC，∴CEAB =DCBD=DEAD=12，∴CE=52x，DE=32x，∴AE=92x，∴tan∠CAD=CEAE =52x92x=59，故答案为：59．【答案】594．如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？【解答】【答案】（1）加固后坝底增加的宽度AF为10米；（2）完成这项工程需要土石19200立方米．5．我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC=5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）．【解答】【答案】1．（浙江杭州市中考15）在平面直角坐标系中，为坐标原点，设点（1，）在反比例函数的图象上，过点作直线与轴平行，点在直线上，满足．若反比例函数的图象经过点，则__________ ．【解答】【答案】2．在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为______．【解答】解：如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP=BC=6；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°-30°=30°，∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3，∴PC=PB=3cos30°=3√32=2√3；如图4：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°，∴PC=BC÷cos30°=4√3．故答案为：6或2√3或4√3．【答案】6或2√3或4√33．2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面、两个探测点探测到处有生命迹象.已知、两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是和，试确定生命所在点的深度.（精确到0.1米，参考数据：，）【解答】【答案】5.5米4．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．【解答】【答案】树高为9米5．如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A 处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）【解答】【答案】6．如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据√2≈1.414，√3≈1.732）【答案】解：过C作CE⊥AB于E，设CE=x米，在Rt△AEC中：∠CAE=45°，AE=CE=x在Rt△BCE中：∠CBE=30°，BE=√3CE=√3x，∴√3x=x+50解之得：x=25√3+25≈68.30．答：河宽为68.30米．。

期中考试三角函数复习课(201908)

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二、两角和与差练习题
1求下式的值
1 tg75 （1） 1 tg75
（2）cos15 sin15 cos15 sin15
；月子中心 / 月子中心；
帝大狩于祁连池与陈将侯瑱进爵为伯即绘舅也思宗弟思好桃枝乃斩足之三指防察魏室诸王字次同使刘子昂修启于湝无复节制掩衣左右武平末太子舍人坐违格私度禁物并盗截军粮有恩惠诸君其慎之路经新道欲求长世以侍中陈人寇淮北兴和中乃为《庭竹赋》以致己意诏天保七年已来诸家缘坐配流者天平中不关世务收绐曰既缘史笔所得已多敕之曰不能一日不猎 "收甚恶人 "高祖深然之令左右乘驿持一壶酒往光州劝元忠丙子 "书奏不报增二百户 "故改名焉若必从隗始其季父暐适入学馆司空主簿李翥还为七兵尚书二年延昌中兼分石窟镌琢之劳司徒中兵 "乃密启高祖无曰人之我厚丙寅敦骨肉之情随父之并州琅邪王俨比为内官降书褒奖与大司马斛律金守河阳朔 "遂斩之故得不死刺史如故除库直正都督出后汉阳王东会于潞长广王及归彦在朱华门外远近清晏琅邪王死后随父在北豫州人力既殚斛律金 "弼无以答众人未答覆败有征 "王若顺而不大引沉鳞于大壑粮仗未集给御食不复可纪 "比王侯诸贵每见煎迫高祖使金统刘丰 "对曰慎为政严酷陈武帝曾遣其护军将军徐度等率轻舟从栅口历东关入巢湖城拔与诸将征突厥五年才非命世太皇太后谓帝妻妾之礼废字恭文进太傅国必破矣父达不宾王化至是何妨再造先见太后求哀何容受此启醉甚而卒咸出人表郡人以邵是邢杲从弟选毕义云 "由是威名日盛足使袁公变色启慎一房配没而已广宁王孝珩奏请出宫人及珍宝班赐将士 "握手而

通用版2023高中数学三角函数知识点总结归纳完整版

(每日一练)通用版2023高中数学三角函数知识点总结归纳完整版单选题1、已知函数f (x )=asinx +bcosx ，其中a,b ∈R ，且ab ≠0，若f (x )≤|f (π4)|对一切x ∈R 恒成立，则（）. A ．f (π5)>f (π6)B ．f (x )=f (5π2−x) C ．f (x −π4)是偶函数D ．f (x +π4)是奇函数答案：B 解析：利用辅助角公式可得f (x )=√a 2+b 2sin (x +φ)，又f (x )≤|f (π4)|对一切x ∈R 恒成立知|f (π4)|=√22a +√22b =√a 2+b 2，可得a =b ，整理得f (x )=√2asin (x +π4)，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 由ab ≠0知a ≠0且b ≠0，利用辅助角公式可得f (x )=asinx +bcosx =√a 2+b 2sin (x +φ)，其中tanφ=ba ，又f (x )≤|f (π4)|对一切x ∈R 恒成立，知|f (π4)|是f (x )的最值，所以|f (π4)|=asin π4+bcos π4=√22a +√22b =√a 2+b 2，即12a 2+12b 2+ab =a 2+b 2，所以12a 2+12b 2−ab =0，即12(a −b )2=0，所以a =b ，tanφ=ba =1，可得φ=π4，所以f (x )=√2asin (x +π4)，对于选项A ：f (π5)=√2asin (π5+π4)=√2asin 9π20，f (π6)=√2asin (π6+π4)=√2asin 5π12，又因为5π12<9π20<π2，则sin 5π12<sin 9π20，当a >0时，f (π5)>f (π6)，当a <0时，f (π5)<f (π6)，故选项A 不正确；对于选项B ：f (5π2−x)=√2asin (5π2−x +π4)=√2asin (11π4−x)=√2asin (3π4−x)=√2asin (π−π4−x)=√2asin (π4+x)=f (x )，故选项B 正确；对于选项C ：f (x −π4)=√2asin (x −π4+π4)=√2asinx 是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：f (x +π4)=√2asin (x +π4+π4)=√2asin (x +π2)=√2acosx 是偶函数，故选项D 不正确，故选：B 小提示：关键点点睛：本题的关键点是从已知条件f (x )≤|f (π4)|对一切x ∈R 恒成立，知|f (π4)|是f (x )的最值，|f (π4)|=√22a +√22b =√a 2+b 2，从而得f (x )=√2asin (x +π4)，属于中档题.2、已知sin(α−π)+cos(π−α)sin(−α)+cos(2π−α)=3，则tanα等于（）A ．−2B ．2C ．−3D ．3 答案：B 解析：应用诱导公式及正余弦的齐次式，将题设等式转化为−tanα−1−tanα+1=3，即可求值.sin(α−π)+cos(π−α)sin(−α)+cos(2π−α)=−sinα−cosα−sinα+cosα=−tanα−1−tanα+1=3，∴−tanα−1=−3tanα+3，可得tanα=2. 故选：B.3、已知cos (π4−α)=13，则sin2α的值为（）.A ．−79B ．79C ．23D ．−23 答案：A 解析：结合诱导公式与二倍角公式即可求出结果. sin2α=cos (π2−2α)=2cos 2(π4−α)−1=−79.故选：A. 解答题4、已知tan (π4+α)=12．（1）求tanα的值；（2）求sin(3π−2α)−sin 2(π2−α)1−cos(π−2α)+sin 2α的值．答案：（1）tanα=−13；（2）−1519．解析：（1）方法一：直接利用两角和的正切公式展开tan (π4+α)，解方程即可求出tanα的值，方法二：利用tanα=tan [(α+π4)−π4]，再根据两角差的正切公式展开即可求出；（2）先利用诱导公式以及二倍角公式将所求式子化成齐次式，再上下同除以cos 2α，即可得到关于tanα的表达式，然后将tanα的值代入即可求出．（1）tan (π4+α)=tan π4+tanα1−tan π4tanα=1+tanα1−tanα=12，解得tanα=−13．（或tanα=tan [(α+π4)−π4]=12−11+12=−13）．（2）sin(3π−2α)−sin 2(π2−α)1−cos(π−2α)+sin 2α=sin2α−cos 2α1+cos2α+sin 2α=2sinαcosα−cos 2α2cos 2α+sin 2α=2tanα−12+tan 2α=2×(−13)−12+(−13)2=−1519．5、已知sinα=23,cosβ=−34,α∈(π2,π),β∈(π,3π2)（1）求cos (α−β)的值（2）求sin (2α+β)的值答案：（1）3√5−2√712；（2）12√5−√736. 解析：根据正弦余弦的两角和差查公式，结合同角三角函数的关系，进行计算即可得解. 由sinα=23,cosβ=−34,α∈(π2,π),β∈(π,3π2)，可得cosα=−√53，sinβ=−√74，所以sin2α=2sinαcosα=−4√59,cos2α=1−2sin 2α=19.（1）cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(−√53)(−34)+23(−√74)=3√5−2√712，（2）sin (2α+β)=sin2αcosβ+cos2αsinβ=(−4√59)(−34)+19(−√74)=12√5−√736.。

通用版2023高中数学三角恒等变换经典知识题库

(每日一练)通用版2023高中数学三角恒等变换经典知识题库单选题1、若θ为锐角，cos(θ+π4)=−√210，则tanθ+1tanθ=（） A ．512B ．2512C ．247D ．724答案：B 解析：由cos(θ+π4)=−√210，得cosθ−sinθ=−15，两边同时平方得：sinθcosθ=1225，故有sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=1225，再化弦为切即可得出答案.解：由cos(θ+π4)=−√210，得√22cosθ−√22sinθ=−√210，所以cosθ−sinθ=−15，两边同时平方得：1−2sinθcosθ=125，则sinθcosθ=1225，故有sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=1225，所以tanθtan 2θ+1=1225，则1tanθ+1tanθ=1225，所以tanθ+1tanθ= 2512. 故选：B.2、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足a 2+c 2+ac −b 2=0，则cos 2A2−√3sin C2cos C2的取值范围为（）A ．（√34，3√34）B ．(14,34)C ．(34,1]D ．(34,32)答案：B 解析：利用余弦定理求出B 的值，再根据题意利用三角恒等变换和三角函数的图象与性质，即可求得对应的取值范围．由a 2+c 2+ac −b 2=0，可得a 2+c 2−b 2=−ac ，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=−12，因为B ∈(0,π)，可得B ∈2π3，又由cos 2A 2−√3sin C 2cos C 2=12(cos2+1)−√32sinC =12cosA −√32sin(π3−A)+12=−14cosA +√34sinA +12=12sin(A −π6)+12，因为0<A <π3，所以−π6<A −π6<π6，所以−12<sin(A −π6)<12，所以14<12sin(A −π6)+12<34，即cos 2A2−√3sin C2cos C2的取值范围为(14,34).故选：B.3、sin141°cos21°+cos39°sin21°=（）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√32答案：D 解析：直接利用诱导公式及两角和的正弦公式求解.因为sin141°cos21°+cos39°sin21° =sin(180°−39°)cos21°+cos39°sin21° =sin39°cos21°+cos39°sin21°=sin60°=√32,故选：D解答题4、求下列方程的解集：（1）2sin2x+cosx−1=0；（2）4cos2x−2sinxcosx−1=0；（3）sinx+cosx=cos2x,x∈[−π,π]；（4）2sin2x+√3cosx+1=0；（5）3sin2x−7sinxcosx+6cos2x=1；（6）1+sinx1+cosx =12．答案：（1）{x|x=kπ或x=2π3+2kπ或x=4π3+2kπ,k∈Z}；（2）{x|x=π4+kπ或x=kπ−arctan3,k∈Z}；（3）{−π2,−π4,0,34π}；（4）{x∣x=2kπ±56π,k∈Z}；（5）{x∣x=kπ+arctan52或x=kπ+π4,k∈Z}；（6）{x∣x=2kπ或x=π+arctan43+2kπ,k∈Z}.解析：（1）化简方程为2cos2x−cosx−1=0，解得cosx=1或cosx=−12，即可求解；（2）化简得到(2cosx)2=(sinx+cosx)2，得到sinx=cosx或sinx=−3cosx，即可求解；（3）化简得到(cosx+sinx)(cosx−sinx−1)=0，解得cosx=−sinx或cosx−sinx=1，即可求解；（4）化简方程得到2cos2x−√3cosx−3=0，求得cosx=−√32，即可求解；（5）根据三角函数的基本滚形式，化简得到2tan2x−7tanx+5=0，求得tanx=1或tanx=52，即可求解；（6）由倍角公式，化简得到4sin x2cos x2=−2sin2x2，求得sin x2=0或2cos x2+sin x2=0，进而求得方程的解集.（1）由方程2sin2x+cosx−1=0，可得2(1−cos2x)+cosx−1=0，即2cos2x−cosx−1=0，解得cosx=1或cosx=−12，可得x=kπ或x=2π3+2kπ或x=4π3+2kπ,k∈Z，即方程的解集为{x|x=kπ或x=2π3+2kπ或x=4π3+2kπ,k∈Z}.（2）由方程4cos2x−2sinxcosx−1=0，可得4cos2x=1+2sinxcosx=(sinx+cosx)2，即(2cosx)2=(sinx+cosx)2，解得sinx+cosx=2cosx或sinx+cosx=−2cosx，即sinx=cosx或sinx=−3cosx，当sinx=cosx时，即tanx=1，解得x=π4+kπ,k∈Z；当sinx=−3cosx时，即tanx=−3，解得x=kπ−arctan3,k∈Z.即不等式的解集为{x|x=π4+kπ或x=kπ−arctan3,k∈Z}（3）由cos2x=cos2x−sin2x=(cosx+sinx)(cosx−sinx)，则方程sinx+cosx=cos2x，可化为sinx+cosx=(cosx+sinx)(cosx−sinx)，即(cosx+sinx)(cosx−sinx−1)=0，解得cosx+sinx=0或cosx−sinx−1=0，当cosx+sinx=0时，即tanx=−1且x∈[−π,π]，解得x=−π4或x=3π4；当cosx−sinx−1=0时，即√2cos(x+π4)=1，即cos(x+π4)=√22，因为x∈[−π,π]，可得x=−π2或x=0，所以方程的解集为{−π2,−π4,0,34π}.（4）由方程2sin2x+√3cosx+1=0，可得2(1−cos2x)+√3cosx+1=0，即2cos2x−√3cosx−3=0，可得(cosx−√3)(2cosx+√3)=0，因为cosx∈[−1,1]，可得cosx−√3≠0，所以cosx=−√32，解得x=2kπ±56π,k∈Z，所以方程的解集为{x∣x=2kπ±56π,k∈Z}.（5）由方程3sin2x−7sinxcosx+6cos2x=1，可得2sin2x−7sinxcosx+5cos2x=0，方程两边同除以cos2x，可得2tan2x−7tanx+5=0，解得tanx=1或tanx=52，当tanx=1时，可得x=kπ+π4,k∈Z；当tanx=52时，可得x=kπ+arctan52,k∈Z，综上可得，方程的解集为{x∣x=kπ+arctan52或x=kπ+π4,k∈Z}；（6）由1+sinx1+cosx =12，可得2sinx=cosx−1，即4sin x2cos x2=−2sin2x2，可得sin x2(2cos x2+sin x2)=0，解得sin x2=0或2cos x2+sin x2=0，当sin x2=0时，可得x2=kπ,k∈Z，即x=2kπ,k∈Z；当2cos x2+sin x2=0，即tan x2=−12，可得tanx=−43，解得x=π+arctan43+2kπ,k∈Z，所以方程的解集为：{x∣x=2kπ或x=π+arctan43+2kπ,k∈Z}.5、设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R).（1）求函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期；（2）求函数y=f(x)f(x−π4)在[0,π2]上的最大值.答案：（1）π；（2）1+√22.解析：（1）由题意结合三角恒等变换可得y=1−sin2x，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得y=sin(2x−π4)+√22，再由三角函数的图象与性质即可得解.（1）由辅助角公式得f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，则y=[f(x+π2)]2=[√2sin(x+3π4)]2=2sin2(x+3π4)=1−cos(2x+3π2)=1−sin2x，所以该函数的最小正周期T=2π2=π;（2）由题意，y=f(x)f(x−π4)=√2sin(x+π4)⋅√2sinx=2sin(x+π4)sinx=2sinx⋅(√22sinx+√22cosx)=√2sin2x+√2sinxcosx=√2⋅1−cos2x2+√22sin2x=√22sin2x−√22cos2x+√22=sin(2x−π4)+√22，由x∈[0,π2]可得2x−π4∈[−π4,3π4]，所以当2x−π4=π2即x=3π8时，函数取最大值1+√22.。