2021年中考数学·考点梳理 专题05 因式分解(教师版)
专题05 分式方程(解析版)
决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品
专题05分式方程及应用
【考点1】解分式方程 【例1】〔2021·湖南郴州·中考真题〕解方程：
24111
x x x =+-- 【答案】x=3．
【解析】
【分析】 观察可得方程最简公分母为(x 2-1),去分母,转化为整式方程求解,结果要检验．
【详解】
解：24111
x x x =+-- 去分母得,2(1)41x x x +=+-
解得,x=3,
经检验,x=3是原方程的根,
所以,原方程的根为：x=3．
【点睛】
〔1〕解分式方程的根本思想是“转化思想〞,把分式方程转化为整式方程求解；〔2〕解分式方程一定注意
要检验．
【变式1-1】〔2021·内蒙古通辽·中考真题〕解方程：
232x x
=-. 【答案】6x =.
【解析】
【分析】 首先去掉分母,观察可得最简公分母是x 〔x ﹣2〕,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解,然后解一元一次方程,最后检验即可求解．
【详解】
去分母,得()232x x =-,
去括号,得236x x =-,
移项,合并同类项,得6x -=-,
化x 的系数为1,得6x =,
经检验,6x =是原方程的根,
∴原方程的解为6x =．
【点睛】
此题考查了解分式方程,熟练掌握解分式方程的步骤以及考前须知是解题的关键．
【变式1-2】〔2021·山东莘县·初三学业测试〕解方程：
214111x x x
++=--． 【答案】原方程无解．
【解析】
【分析】 观察可得最简公分母是〔x ﹣1〕〔x+1〕,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解．
专题05 用一元二次方程解决问题(提优)-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学(原卷版)
专题05 用一元二次方程解决问题
1．某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．
（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
2．某网店销售一款羽绒服，每件售价900元，每天可卖2件．为迎接“双11”抢购活动，该网店决定降价销售，市场调查反映：售价每降低50元，每天可多卖1件．已知该款羽绒服每件进价400元，设该款羽绒服每件售价x元，每天的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求网店每天盈利1600元，且销售量最大时，该款羽绒服的售价．
3．2020年12月，宝应高铁站即将开通运营，宝应将迈入高铁时代．建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m，宽为8m的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分）．（1）若他们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？
（2）为使修建两块相同的矩形绿地更美一点，设计部门打算修建的两块相同的矩形绿地与原矩形空地相似，两块绿地之间及周边仍然留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度应改为多少米？
4．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
专题05 因式分解【2022春苏科版七下数学压轴题突破专练】(原卷版)
【2022春苏科版七下数学压轴题突破专练】
专题05 因式分解
一、选择题
1．（2021七下·镇海期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．241x - B ．2441x x +- C ．22
x xy y
-+
D ．2
1
4
x x -+
2．（2021七下·娄星期末）甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业.为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b ）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的长应该是（ ）米.
A ．a+b
B ．b+c
C ．a+c
D ．a+b+c
3．（2021七下·奉化期末）下列从左到右的变形正确的是（ ） A ．2
2
()()a b a b a b ---=- B ．
22
11
a a a a ---=-- C ．2
26(23)(2)x x x x --=+-
D ．2
2
2
469(23)m mn n m n -+=-
4．（2021七下·南浔期末）下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（ ） A ．4x 2
-1 B ．x 2
-2x-1
C ．4x 2
+2x+ 1
D ．4x 2
-
4x+1
5．（2021七下·上虞期末）下列多项式能用公式法分解因式的是( ）.
()2
2
2
2
2
2
442;x y x y a ab b ----+-①②③④2
14
x x ++⑤2244m n mn +-
A ．①③④⑤
B ．②③④
C ．②④⑤
D ．②③④⑤
6．（2020七下·温州期中）如图，在长方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG ，边 EF 交 CD 于点H ，在边 BE 上取点 M 使BM=BC ，作 MN∥BG 交 CD 于点 L ，交 FG 于点 N ．
专题05一元二次方程的概念及解法(知识点串讲)(解析版)
专题05一元二次方程的概念及解法
知识框架
重难突破
一、一元二次方程的有关概念
1．一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
备注：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．备注：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
4.一元二次方程根的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.
（2）若a -b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一
元二次方程
的一个根，则a -b+c=0.
（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二
次方程
必有一根为0.
例1．（2020·山东省初二期中）下列方程中，关于x 的一元二次方程是( ) A ．20ax bx c ++= B ．
211
20x x
中考数学复习考点题型专题练习05 一次方程(组)与一元二次方程
中考数学复习考点题型专题练习
专题05 一次方程（组）与一元二次方程
一．选择题
1．（2022·内蒙古包头）若12,x x 是方程2230x x --=的两个实数根，则2
12x x ⋅的值为（ ）
A ．3或9-
B ．3-或9
C ．3或6-
D ．3-或6
2．（2022·黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A ．8
B ．10
C ．7
D ．9
3．（2022·四川雅安）若关于x 的一元二次方程x 2+6x +c ＝0配方后得到方程（x +3）2＝2c ，则c 的值为（ ）
A ．﹣3
B ．0
C ．3
D ．9
4．（2022·贵州黔东南）已知关于x 的一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ，
若11x =-，则2212a x x --的值为（ ） A ．7 B ．7- C ．6 D ．6-
5．（2022·广西梧州）一元二次方程2310x x -+=的根的情况（ ）
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
6．（2022·湖北武汉）若关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ，2x ，且()()121222217x x x x ++-=，则m =（ ）
A ．2或6
B ．2或8
C ．2
D ．6
7．（2022·湖南郴州）一元二次方程2210x x +-=的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
专题05 一次方程(组)与一元二次方程中考数学真题分项汇编解析版)
专题05 一次方程（组）与一元二次方程
一．选择题
1．（2022·内蒙古包头）若12,x x 是方程2230x x --=的两个实数根，则2
12x x ⋅的值为（ ） A ．3或9- B ．3-或9 C ．3或6- D ．3-或6
【答案】A
【分析】结合根与系数的关系以及解出方程2230x x --=进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：∵2230x x --=， ∵123
31
x x -⋅=
=-， ()()130x x +-=,则两根为：3或-1，
当23x =时，2122
12239x x x x x x ==--⋅=，
当21x =-时，2
121222·
·33x x x x x x ⋅==-=，故选：A ． 【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．
2．（2022·黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ） A ．8 B ．10 C ．7 D ．9
【答案】B
【分析】设有x 支队伍，根据题意，得1
(1)452x x -=，解方程即可． 【详解】设有x 支队伍，根据题意，得1(1)452
x x -=， 解方程，得x 1=10，x 2=-9（舍去），故选B ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 3．（2022·四川雅安）若关于x 的一元二次方程x 2+6x +c ＝0配方后得到方程（x +3）2＝2c ，则c 的值为（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．3 D ．9
专题05《分式》(解析版)-期末挑重点之2021-2021学年上学期人教版八年级数学
专题05 分式
1．分式
一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子
A B 叫做分式．其中A 叫做分子，B 叫做分母．
分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式
A B 才有意义．
2．分式的基本性质
A A M
B B M ⨯=⨯ ，A A M B B M
÷=÷ （M 为不等于0的整式）． 3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简．
4．约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫 做分式的约分．
5．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的 分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
6．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似，具体运算法则如下：
（1）加减运算
a b a b c c c
±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． a c ad bc b d bd
±±=；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． （2）乘法运算
a c ac
b d bd
⋅= ，其中a b c d 、、、 是整式，0bd ≠． 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母．
（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc
÷=⋅= ，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠ ． 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（4）乘方运算()n
第15讲根与系数的关系问题-备战2021年中考数学一轮热点难点一网打尽(解析版)
【备战2021年中考数学一轮热点、难点一网打尽】
专题05 根与系数的关系问题
考纲要求:
1. 通过具体案例了解一元二次方程的根与系数的关系；
2. 能直接写出系数为数字的一元二次方程的两根之和与两根之积.
根底知识回忆:
1.一元二次方程的概念及一般形式
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 一般形式：()200.ax bx c a ++=≠ 2.一元二次方程的四种解法
直接开方法，配方法，公式法，因式分解法. 3.一元二次方程的根的判别式
判别式24b ac ∆=-与方程的根的关系：
Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
Δ＜0⇔方程没有实数根；
4.一元二次方程的根与系数的关系
韦达定理：对于一元二次方程()2
00,ax bx c a ++=≠ 如果方程有两个实数根12,.x x
那么1212,.b c x x x x a a
+=-
= 应用举例:
招数一、一元二次方程，求与两根有关的代数式的值..
直接利用韦达定理得出两根之和,两根之积.用整体代入法求代数式的值.
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－3 【答案】D ．
试题分析：方程的两根为1x ，2x ，根据题意得123c
x x a
==-．应选D ． 考点：根与系数的关系．
【例2】设一元二次方程2
310x x --=的两根分别是1x ，2x ，那么21222(3)x x x x +-= ．
【答案】3． 【解析】
考点：根与系数的关系．
招数二、关于两根关系式的值，求参数
利用韦达定理得出两根之和,两根之积.求得参数的值或取值范围.
专题05 用一元二次方程解决问题(基础)中考数学(解析版)
专题05 用一元二次方程解决问题（基础）
1．解方程
（1）（2x+3）2﹣81＝0；
（2）y2﹣7y+6＝0．
【分析】（1）先变形为（2x+3）2＝81，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（2x+3）2＝81，
2x+3＝±9，
所以x1＝3，x2＝﹣6；
（2）（y﹣1）（y﹣6）＝0，
y﹣1＝0或y﹣6＝0，
所以y1＝1，y2＝6．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程．
2．已知T＝（1+
2
m−1）÷
m2+2m+1
m−1．
（1）化简T；
（2）若m是一元二次方程m2+m﹣2＝0的解，求T的值．
【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案．
（2）根据一元二次方程的解法将m的值求出，然后代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）T=m+1
m−1•
m−1
(m+1)
=1
m+1．
（2）∵m2+m﹣2＝0，
∴m＝﹣2或m＝1，
由分式有意义的条件可知：m＝﹣2当m＝﹣2时，
∴T=
1
−2+1
=−1．
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
3．某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？
专题05 面积的最值问题(解析版)2021届中考数学压轴大题专项训练
专题05 面积的最值问题2021届中考数学压轴大题专项训练（解析版）1．如图三角形ABC，BC＝12，AD是BC边上的高AD＝10．P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC 上的点，连接PQ，MN，PN交AD于E．求
（1）若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN＝1：2．求PQ、PN的长；
（2）若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长．
【解析】解：（1）设PQ＝y，则PN＝2y，
∵四边形PQMN是矩形，
∵PN∵BC，
∵∵APN∵∵ABC，
∵AD∵BC，
∵AD∵PN，
∵PN
BC
＝
AE
AD
，即
2
12
y
＝
10
10
y
，
解得y＝15
4
，
∵PQ＝15
4，PN＝
15
2
．
（2）设AE＝x．
∵四边形PQMN是矩形，∵PN∵BC，
∵∵APN ∵∵ABC ，
∵AD ∵BC ，
∵AD ∵PN ， ∵PN BC ＝AE AD
， ∵PN ＝65
x ，PQ ＝DE ＝10﹣x ， ∵S 矩形PQMN ＝
65x （10﹣x ）＝﹣65（x ﹣5）2+30， ∵当x ＝5时，S 的最大值为30，
∵当AE ＝5时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积是30，
此时PQ ＝5，PN ＝6．
2．如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，10AC BD ，当AC 、BD 的长是多少时，
四边形ABCD 的面积最大？
【解析】解：设AC=x ，四边形ABCD 面积为S ，则BD=10-x ， 则：211125(10)(5)2222
S AC BD x x x =⋅=-=--+，
∵当x=5时，S最大=25 2
2020—2021学年贵州省遵义市播州区泮水中学中考总复习数学课件-专题05 因式分解
21.（2019 广东深圳）分解因式：ab2－a=___a_（__b_+_1_）_（__b．－1）
22.（2019 黑龙江哈尔滨）分解因式： a3 6a2b 9ab2 = a（a﹣3b．）2 23.（2019 贵州黔西南州）分解因式：9x2﹣y2＝ （3x+．y）（3x﹣y） 24.（2019·湖南张家界）因式分解：x2y－y＝ y(x＋1)(x－1．)
20
25.（2019 年陕西省）因式分解： x3 y 9xy3 xy(x 3)(x． 3) 26. (2019 黑龙江大庆)分解因式:a2b+ab2－a－b＝__(_a_+_b__)(_a.b－1) 2 7.（2 019·江苏常州） 分解因式：ax2－4a＝___a__(_x_＋__2_)．(x-2) 28.（2019 内蒙古赤峰）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝ x（x﹣．y）2
17
二、填空题
8．（2020•聊城）因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝（x﹣2）（．x﹣1） 9.（2 020•株洲模拟） 分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9=（x﹣3）（4x．+3） 10．（2020•绥化）因式分解：m3n2﹣m＝ m（mn+．1）（mn﹣1） 11．（2020•哈尔滨）把多项式 m2n+6mn+9n 分解因式的结果是 n（m+3）．2 12．（2020•黔东南州）在实数范围内分解因式：xy2﹣4x＝ x（y+2．）（y﹣2） 13．（2020•济宁）分解因式 a3﹣4a 的结果是 a（a+2）．（a﹣2）
中考数学专题05一元一次方程与二元一次方程组-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编
专题05.一元一次方程与二元一次方程组
一、单选题
1．（2021·湖南株洲市·中考真题）方程
122x -=的解是（ ） A ．2x = B ．3x = C ．5x = D ．6x =
2．（2021·浙江杭州市·中考真题）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次，设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x （0x >），则（ ）
A ．()60.5125x -=
B ．()25160.5x -=
C ．()60.5125x +=
D ．()25160.5x += 3．（2021·浙江温州市·中考真题）解方程()221x x -+=，以下去括号正确的是（ ）
A ．41x x -+=-
B ．42x x -+=-
C ．41x x --=
D ．42x x --=
4．（2021·安徽中考真题）设a ，b ，c 为互不相等的实数，且4155b a c =
+，则下列结论正确的是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．4()a b b c -=- D ．5()a c a b -=-
5．（2021·湖北武汉市·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x 人，物价是y 钱，则下列方程正确的是（ ） A ．()()8374x x -=+ B ．8374x x +=- C ．3487
专题05 因式分解(江苏精编)-2020-2021学年七年级数学下学期期中必刷题(苏科版)(原卷版)
专题05因式分解
一、单选题
1．（2020·南通市通州区兴仁中学八年级月考）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．3353()5x y x y +-=+
- B ．2(1)(1)1x x x +-=- C ．2221(1)x x x ++=+ D ．321
()x x x x x
+=+ 2．（2017·江苏南通市·）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A ．()222211a ab b a b -+-=--
B ．()()()421111x x x x -=++-
C ．()()2224x x x +-=-
D ．2212221x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
3．（2021·靖江外国语学校九年级月考）若a +b =3，a －b =7，则22b a -的值为 （ ）
A ．－21
B ．21
C ．－10
D ．10
4．（2020·江苏连云港市·七年级月考）分解因式34a a -的结果正确的是（ ）
A ．()24a a -
B ．()()22a a a -+
C ．()22a a -
D ．()2
2a a + 5．（2017·江苏常州市·七年级月考）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A ．()22a b +-
B ．25m -20mn
C ．22x y --
D ．225x -+
6．（2020·江苏扬州市·七年级期末）利用因式分解简便计算6999329999⨯+⨯-正确的是（ ）
A ．99(6932)991019999⨯+=⨯=
B ．99(69321)99109900⨯+-=⨯=
C ．99(69321)9910210096⨯++=⨯=
专题05 因式分解 专题训练 中考数学2023年真题 专项汇编(全国通用)(含答案)
专题05 因式分解专题训练中考数学2023年真题专项汇编
（全国通用）（含答案）
20．（2023·山东·统考中考真题）因式分解：______．21．（2023·浙江宁波·统考中考真题）分解因式：=__________22．（2023·云南·统考中考真题）分解因式：_____．23．（2023·浙江·统考中考真题）分解因式：x 2－9＝______．24．（2023·四川内江·统考中考真题）分解因式：x 3﹣xy 2=_____．25．（2023·江苏苏州·统考中考真题）因式分解：a 2+ab=_____．26．（2023·湖南怀化·统考中考真题）分解因式：_____．27．（2023·浙江金华·统考中考真题）因式分解：x 2+x =_____．28．（2023·四川宜宾·统考中考真题）分解因式：x 3﹣6x 2+9x =___．
24m m -=22x y -24m -=2242a a -+=
参考答案：
26．27．28．x （x ﹣3）2()221a -()1x x +
2024年中考数学压轴题型-专题05 与反比例函数有关问题的压轴题之三大题型(解析版)
专题05与反比例函数有关问题的压轴题之三大题型
目录
【题型一反比例函数与一次函数综合问题】 (1)
【题型二实际问题与反比例函数综合问题】 (10)
【题型三反比例函数与几何综合问题】 (18)
【题型一反比例函数与一次函数综合问题】(1)求k 的值，并在图中画出函数k y x =
的图象；(2)直接写出不等式24k x x
+>的解集．【答案】(1)6k =，画图见解析；
(2)30x -<<或1x >．
（2）解：由()1,6A ，()3,B n -，根据函数图象可得：
不等式24k x x
+>的解集为：30x -<<【变式训练】
1．
（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数图象交于1A a -（，），B 两点，与x 轴交于点
由图可知：当12y y >时，3x >或1x -<<（2）解：点()3,C k 在函数1y kx b =+的图像上，
得3k b k +=,
2b k =-,
12(2)y kx k k x =-=-,
当2x =时，10y =，即过定点(2,0)．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
(
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
4．（2023·浙江杭州·统考二模）设函数
(1)若函数1y和函数2y的图像交于点
①求b，n的值．
21
中考数学复习考点知识与题型专题讲解5---平面直角坐标系(解析版)
中考数学复习考点知识与题型专题讲解
专题05 平面直角坐标系
【思维导图】
【知识要点】
知识点一平面直角坐标系的基础
有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。
【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。
平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。
平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。
坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。
象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、
b 分别叫做点A 的横坐标和纵坐标，有序数对A(a ，b)叫做点A 的坐标，记作A(a ，b)。
知识点二 点的坐标的有关性质（考点） 性质一 各象限内点的坐标的符号特征
性质二 坐标轴上的点的坐标特征 1.x 轴上的点，纵坐标等于0； 2.y 轴上的点，横坐标等于0； 3.原点位置的点，横、纵坐标都为0. 性质三 象限角的平分线上的点的坐标
1．若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； 2．若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；
象限 横坐标x 纵坐标y 第一象限 正 正 第二象限 负 正 第三象限 负 负 第四象限
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021年中考数学·考点梳理专题05
因式分解
1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
2.分解因式的一般方法：
（1）提公共因式法.
（2）运用公式法.
①平方差公式：()()
22
a b a b a b -=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±（3）十字相乘法。利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
①对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b
=⎧⎨
+=⎩，则()()2x bx c x p x q ++=++②首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，
排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2
ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.
（4）分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
3.分解因式的步骤：
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
专题知识回顾
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b ),完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.
【例题1】（2019•江苏无锡）分解因式4x 2－y 2的结果是（）
A ．（4x +y ）（4x ﹣y ）
B ．4（x +y ）（x ﹣y ）
C ．（2x +y ）（2x ﹣y ）
D ．2（x +y ）（x ﹣y ）
【答案】C
【解析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式得出答案．4x 2
－y 2＝（2x ）2－y 2=（2x +y ）（2x ﹣y ）．
【例题2】（2019贵州省毕节市）分解因式：x 4﹣16＝．
【答案】（x 2+4）（x +2）（x ﹣2）．
【解析】运用公式法．
x 4﹣16＝（x 2+4）（x 2﹣4）＝（x 2+4）（x +2）（x ﹣2）．
【例题3】（2019广东深圳）分解因式：ab 2－a=____________．
【答案】a （b+1）（b －1）
【解析】提公因式法与公式法的综合运用
原式=a （b 2－1）=a （b+1）（b －1）．
【例题4】（2019黑龙江哈尔滨）分解因式：22396ab b a a +-=．
【答案】a （a ﹣3b ）2．
【解析】先提取公因式，再用完全平方公式。
a 3﹣6a 2
b +9ab 2
＝a （a 2﹣6ab +9b 2）
＝a （a ﹣3b ）2．
【例题5】（经典题）把下列各式分解因式：
（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-．
【答案】见解析。
【例题6】（2019山东东营）因式分解：x （x －3）－x+3=____________．
【答案】（x －3）（x －1）
专题典型题考法及解析
【例题7】（2019湖北咸宁）若整式x 2+my 2（m 为常数，且m ≠0）能在有理数范围内分解因式，则m 的值可以多少（写一个即可）．
【答案】﹣1
【解析】令m ＝﹣1，整式为x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）．故答案为：﹣1（答案不唯一）．
只要m 取负值，其绝对值一个有理数的平方数即可。比如：m=-4，-9，-16，-25等。
【例题8】（经典题）把ab ﹣a ﹣b+1分解因式。
【答案】（b ﹣1）（a ﹣1）．
【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题可采用两两分组的方法，一、三，二、四或一、二，三、四分组均可，然后再用提取公因式法进行二次分解。
ab ﹣a ﹣b+1=（ab ﹣a ）﹣（b ﹣1）=a （b ﹣1）﹣（b ﹣1）=（b ﹣1）（a ﹣1）．一、选择题
1.(2019黑龙江绥化)下列因式分解正确的是(
)A.x 2－x ＝x(x+1)
B.a 2－3a －4＝(a+4)(a －1)
C.a 2+2ab －b 2＝(a －b)2
D.x 2－y 2＝(x+y)(x －y)
【答案】D
【解析】
A.x 2－x ＝x(x －1),错误;
B.a 2－3a －4＝(a －4)(a+1),错误;
C.a 2+2ab －b 2不能因式分解,故错误;
D.x 2－y 2＝(x+y)(x －y),是平方差公式;
故选D
2.（2019广西贺州）把多项式241a -分解因式，结果正确的是(
)A ．(41)(41)
a a +-B ．(21)(21)a a +-C ．2
(21)a -D ．2(21)a +【答案】B
【解析】运用公式法241(21)(21)a a a -=+-，故选：B ．
专题典型训练题