河北省石家庄市五校联合体2015届高三基础知识摸底考试 数学(理)试题 Word版含答案
河北省石家庄市2015届高三复习教学质量检测二数学理
石家庄市2015届高三复习教学质量检测(二)高三数学（理科）(时间120分钟，满分150分) 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷(选择题，60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数iiz 42+=(i 为虚数单位)对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是A ．11a b-<- B ．2ab b < C ．2ab a -<- D ．b a < 3．某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算069.7=k ，则认为“学生性别与支持活动有关系”的犯错误的概率不超过A ．0.1%B ．1%C ．99%D ．99.9% 附：4．已知实数,x y 满足条件11y xx y x ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．3B ．2C ．32D ．0 5．运行如图所示的程序框图，如果输出的(2,2]t ∈-，则输入x 的范围是A ．[-B ．(-C ．[4]D ．(4]6．已知等差数列{}n a 中，100720144,2014a S ==，则2015S =A ．2015-B ．2015C ．4030-D ．40307．一排有6个座位，三个同学随机就坐，任何两人不相邻的坐法种数为A ．120B ．36C ．24D ．728．若圆222)1()5(r y x =-+-上有且仅有两点到直线0234=++y x 的距离等于1，则r 的取值范围为A ．[4,6]B ．(4,6)C ．[5,7]D ．(5,7)10．某几何体的三视图如图所示（网格中的小正方形边长为1），则该几何体的表面积为B ．4+C ．2+D ．4+11.已知函数()f x 的定义域为2(43,32)a a --，且(23)y f x =-是偶函数．又321()24x g x x ax =+++，存在0x 1(,),2k k k Z ∈+∈，使得00)(x x g =，则满足条件的k 的个数为A ．3B ．2C ．4D ．112．已知定义在R 上的函数()f x 满足：21)()()1(2+-=+x f x f x f ，数列{}n a 满足 *2),()(N n n f n f a n ∈-=，若其前n 项和为1635-，则n 的值为 A ．16 B ．17 C ．18 D ．19第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．双曲线2241x y -=的渐近线方程为_____.14．已知212(1)4k dx ≤+≤⎰，则实数k 的取值范围是_____.15．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，2=AB ，3=AC ，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u r u u r u u u r________.16．三棱锥中有四条棱长为4，两条棱长为a ，则a 的取值范围为_____.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边长，且222cos ()a bc A b c -=+. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1,2B C b +==，试求ABC ∆的面积． 18.（本小题满分12分）我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表：我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A 类天，101--200时称作B 类天，大于200时称作C 类天．下图是某市2014年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本，其茎叶图如下：（百位为茎，十、个位为叶）80907873635267934738386730121290683243210（Ⅰ）从这18天中任取3天，求至少含2个A 类天的概率；（Ⅱ）从这18天中任取3天，记X 是达到A 类或B 类天的天数，求X 的分布列及数学期望．19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A AB =，90ABC ∠=︒，侧面11A ABB ⊥底面ABC ． （I ）求证：1AB ⊥平面1A BC ；（II ）若5AC =，3BC =，160A AB ∠=︒，求二面角11B A C C --的余弦值．B 1C 120.（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)4x y C b b b+=>，抛物线22:4()C x y b =-．过点(01)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线2C 在第一象限的交点为G ，且该抛物线在点G 处的切线经过坐标原点O ． （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx =与椭圆1C 相交于两点C 、D 两点，其中点C 在第一象限，点A 为椭圆1C 的右顶点，求四边形ACFD 面积的最大值及此时l 的方程．21.（本小题满分12分） 已知21()ln ,2f x x x mx x m R =--∈． (Ⅰ)当2m =-时，求函数()f x 的所有零点；(Ⅱ)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：212x x e >(e 为自然对数的底数).请考生在22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.几何证明选讲（本小题满分10分）如图：已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B C 、，APC ∠的平分线分别交AB AC 、于点D E 、，.点G 是线段ED 的中点,AG 的延长线与CP 相交于点F ．（Ⅰ）证明：AF ED ⊥；（Ⅱ）当F 恰为PC 的中点时，求PCPB的值.C23．坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24(4x t y t⎧=⎨=⎩其中t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线2C 的极坐标方程为cos()42πρθ+=．(Ⅰ)把曲线1C 的方程化为普通方程，2C 的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C ，2C 相交于B A ,两点，AB 的中点为P ，过点P 做曲线2C 的垂线交曲线1C 于F E ,两点，求PE PF ⋅.24.不等式选讲（本小题满分10分） 已知1()33f x x x a a=++-. (Ⅰ)若1a =，求8)(≥x f 的解集；（Ⅱ）对任意()+∞∈,0a ，任意R x ∈，()m x f ≥恒成立，求实数m 的最大值.2014-2015学年度高三数学质检二答案（理科）一、 选择题1-5 DABAD 6-10 CCBCB 11-12 AB 二、填空13. 20x y ±= 14. ［1，3］ 15 -1016. ()2262,0+ 注意：此题如果写成(也可以 三、解答题（解答题如果和标准答案不一样，可依据本标准酌情给分） 17．解：（Ⅰ）∵222cos ()a bc A b c -=+， 又根据余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，∴22222cos 2cos 2b c bc A bc A b bc c +--=++，…………………………2分 化简得4cos 2bc A bc -=，可得1cos 2A =-， ……………………………………………………………………4分 ∵0A π<<，∴23A π=.……………………………………………………………………5分（Ⅱ）∵1sin sin =+C B ， ∴1)3sin(sin =-+B B π，∴1sin 3cos cos 3sin sin =-+B B B ππ， ∴1sin 3cos cos 3sin=+B B ππ，∴1)3sin(=+πB ， ……………………………………………………………………8分又∵B 为三角形内角， 故6B C π==,所以2==c b ， ……………………………………………………………………………10分所以3sin 21==∆A bc S ABC . …………………………………………………………12分18. 解：（Ⅰ） 从这18天中任取3天，取法种数有 318816C =，3天中至少有2个A 类天的取法种数213315346C C C += ， ..... ....2分 所以这3天至少有2个A 类天的概率为23408； .............................. ..4分 （Ⅱ）X 的一切可能的取值是3,2,1,0. ……………… 5分当X=3时，1027)3(31838===C C X P …………………… 6分当X=2时，10235)2(31811028===C C C X P …………………… 7分 当X=1时，341510245)1(31821018====C C C X P ……………… 8分 当X=0时，34510215)0(318310====C C X P …………… 9分数学期望为34102136102457021==++ ． ……………12分 19.解：（Ⅰ）证明：在侧面A 1ABB 1中，因为A 1A=AB ，所以四边形A 1ABB 1为菱形，所以对角线AB 1⊥A 1B ，…………………………………2分 因为侧面A 1ABB 1⊥底面ABC ，∠ABC=900，所以CB ⊥侧面A 1ABB 1， 因为AB 1⊂平面A 1ABB 1内，所以CB ⊥AB 1，…………………………4分又因为A 1B ∩BC=B ，所以AB 1⊥平面A 1BC ． …………………………………6分（Ⅱ）在Rt △ABC 中, AC=5, BC=3, 所以AB=4, 又菱形A 1ABB 1中,因为∠A 1AB=600，所以△A 1AB 为正三角形,如图，以菱形A 1ABB 1的对角线交点O 为坐标原点OA 1方向为x 轴，OA 方向为y 轴，过O 且与BC 平行的方向为z 轴建立如图空间直角坐标系， 则1(2,0,0)A ，(2,0,0)B -，(2,0,3)C -，1(0,B -，1(0,C -，所以1(C C =-，113)C A =-，设(,,)n x y z =为平面11ACC 的法向量，则11100n C C n C A ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以20230x x z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，令3x =，得(3,3,4)n =为平面11ACC 的一个法向量，…………………………………9分又1(0,OB =-为平面1A BC 的一个法向量，111cos ,142723n OB n OB n OB <>===-，……………………………11分所以二面角B —A 1C —C 1的余弦值为12分法2：在平面BC A 1中过点O 作OH ⊥C A 1于H ，连接AH ，则C A 1⊥平面AOH ，所以∠AHO 即为二面角B —A 1C —A 的平面角，……………………………………………………8分在△BC A 1中5611=⋅=C A BC O A OH ， 又Rt △AOH 中32=AO ，所以521422=+=OH AO AH ， 所以1421cos =∠AHO ， (11)分 ABCA 1C 1B 1OH因为二面角B —A 1C —C 1与二面角B —A 1C —A 互补，所以二面角B —A 1C —C 1的余弦值为二面角B —A 1C —A 的余弦值的相反数， 则二面角B —A 1C —C 1的余弦值为1421-．………………………………12分 20.解：（Ⅰ）由24()x y b =-得214y x b =+，当1y b =+得2x =±， ∴ G 点的坐标为(2,1)b +，则1'2y x =，2'|1x y ==，过点G 的切线方程为(1)2y b x -+=-即1y x b =+-，………………………2分 令0y =得10x b =-=，∴ 1b =。
2015高考数学模拟试卷及答案解析-理科
2015高考数学模拟试卷及答案解析（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-2．设全集U=R ，A={x|2x （x-2）<1}，B={x|y=1n （l －x ）}，则右图中阴影部分表示的集合为 A ．{x |x≥1} B ．{x |x≤1} C ．{x|0<x≤1} D ．{x |1≤x<2}3．等比数列{a n }的各项均为正数，且564718a a a a +=，则log 3 a 1+log 3a 2+…+log 3 a l0= A ．12 B ．10C ．8D ．2+log 3 54．若x=6π是f （x ）=3sin x ω+cos x ω的图象的一条对称轴，则ω可以是 A ．4 B ．8 C ．2 D ．15．己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．233π+ B ．2323π+ C ．232π+ D ．23π+6．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有’5架舰载机准备着舰．如果甲乙2机必须相邻着舰，而丙丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）种 A ．12 B ．18 C ．24 D ．487．已知M=3(,)|3,{(,)|20}2y x y N x y ax y a x -⎧⎫==++=⎨⎬-⎩⎭且M N =∅I ，则a= A ．-6或-2 B ．-6 C ．2或-6 D ．-28．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸（单位：毫克／升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为：P= P 0e －kt ，（k ，P 0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（ ）时间过滤才可以排放．A ．12小时 B ．59小时 c ．5小时 D ．10小时9．己知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为 A ．2+1B ．2C ．2D ．2－110．实数a i （i =1,2,3,4,5,6）满足（a 2－a 1）2+（a 3－a 2）2+（a 4－a 3）2+（a 5－a 4）2+（a 6－a 5）2=1则（a 5+a 6）－（a 1+a 4）的最大值为A ．3B ．22C ．6D ．1二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题．每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）（一）必考题．（11－14题） 11．己知0(sin cos )xa t t dt =+⎰，则（1x ax-）6的展开式中的常数项为 。
河北省石家庄市2015届高三下学期二模考试数学(理)试题
2015届石家庄高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21{|log ,1},{|,2}U y y x x P y y x x==>==>，则U C P = （ ） A ．1(0,)2 B ．(0,)+∞ C ．1[,)2+∞ D ．1(,0)[,)2-∞+∞【答案】C 【解析】试题分析：由题意{|0}U y y =>，1{|0}2P y y =<<，则1{|}2U C P y y =≥，选C. 考点：集合的运算.2.下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是 （ ） A ．2xy -= B ．tan y x = C ．3y x = D ．3log y x = 【答案】C考点：函数的奇偶性与单调性.3.已知复数z 满足2015(1)i z i --0= (其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为 （ ） A ．12 B ．12- C ．12i D ．12i - 【答案】A 【解析】试题分析：由题意2015(1)1111(1)(1)22i i i i z i i i i i --+====----+，1122z i =+，z 虚部为12.考点：复数的概念与运算.4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32175,2S a a a =+=，则5a = （ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【答案】A 【解析】试题分析：3211235S a a a a a =+=++，所以314a a =，即24q =，所以7522142a a q ===. 考点：等比数列的性质.5.设变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．23 【答案】B 【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:230l x y +=，平移直线l ，当l 过点(2,1)C 时，z 取得最小值7.考点：线性规划.6.投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为 （ ） A ．536B ．16C ．215D ．112【答案】A【解析】试题分析：投掷两枚骰子，点数形成的事件空间有6636⨯=种，其中点数和为8的事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)共5种，因此所求概率为536P=.考点：古典概型.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．103B．53C．203D．4【答案】A【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个三棱柱截去了一块，如图，它可以看作是一个三棱柱ABC MNF-与四棱锥F MNDE-组合而成，1110221212233V=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.NFD考点：三视图，几何体的体积.8.执行下方的程序框图，如果输入的4N=，那么输出的S的值为（）A ．1111234+++ B ．1111232432+++⨯⨯⨯ C ．111112345++++ D ．111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图，每次循环中，参数,,T S k 的值依次为(1,1,2)，11(,1,3)22+，111(,1,4)23223++⨯⨯，1111(,1,5)234223234+++⨯⨯⨯⨯⨯，这里54k =>结束循环，输出结果为B. 考点：程序框图.9.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(sin,cos )88P ππ，则sin(2)12πα-= （ ）A ．．12 D ．12-【答案】A 【解析】试题分析：由已知得cos sin8πα=，sin cos8πα=，所以32,8k k Z παπ=+∈，所以32sin(2)sin[2(2)]sin 1281232k ππππαπ-=+-==. 考点：三角函数的定义与求值.10.在四面体S-ABC 中，SA ⊥平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠====，则该四面体的外接球的表面积为 （ ） A ．11π B ．7π C ．103π D ．403π【答案】D 【解析】试题分析：设ABC ∆的外心为1O ，222222cos 12212cos120BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯︒7=，BC =12sin120BC O A ==︒，该四面体外接球半径为R ，由于SA ⊥平面ABC ，则有22222140(2)(2)23R SA O A =+=+=，所以24043S R ππ==球.考点：球与多面体，球的表面积.11.已知F 是抛物线24x y =的焦点，直线1y kx =-与该抛物线交于第一象限内的点,A B ，若3AF FB =，则k 的值是 （ ）A C【答案】D 【解析】试题分析：设1122(,),(,)A x y B x y ，由241x yy kx ⎧=⎨=-⎩消去x 得22(24)10y k y +-+=，则21224y y k +=-①，121y y =②，又11AF y =+，21BF y =+，由已知1213(1)y y +=+③，由②③得1213,3y y ==，代入①得3k =（,A B 在第一象限）. 考点：直线和抛物线位置关系. 12.设函数()()2212,2(),,0,1,2,,9999i if x x f x x x a i ==-==，记102|()()||()()|k kkkkS f a f a fa f a =-+- 9998|()()|,1,2k k f a f a k ++-=，则下列结论正确的是 （ ）A ．121S S =<B ．121S S =>C ．121S S >>D ．121S S << 【答案】B考点：函数的单调性，比较大小．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2,1),(,1)a b x ==-，且a b -与b 共线，则x 的值为 【答案】2- 【解析】试题分析：a b -(2,2)x =-，由a b -与b 共线得2(2)x x =--，解得2x =-． 考点：向量的共线．14.已知8280128(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-，则7a =【答案】8 【解析】试题分析：88880[1(1)](1)k k k x x Cx ==+-=-∑，7788a C ==.考点：二项式定理.15.设点P 、Q 分别是曲线(xy xe e -=是自然对数的底数）和直线3y x =+上的动点，则P 、Q两点间距离的最小值为试题分析：'(1)x x x y e xe x e ---=-=-，令(1)1x x e --=，即1xe x =-，10xe x +-=，令()1x h x e x =+-，显然()h x 是增函数，且(0)0h =，即方程10x e x +-=只有一解0x =，曲线x y xe -=在0x =处的切线方程为y x =，两平行线0x y -=和30x y -+=间的距离为2d ==. 考点：导数与切线，方程的解，平行线间的距离. 16.在平面直角坐标系中有一点列111222(,),(,),,(,),n n n P a b P a b P a b 对n N *∀∈，点n P 在函数(01)xy a a =<<的图象上，又点1(,0),(,),(1,0)n n n n n A n P a b A n ++构成等腰三角形，且1n n n n P A P A +=若对n N *∀∈，以12,,n n n b b b ++为边长能构成一个三角形，则a 的取值范围是【答案】1215<<-a 【解析】试题分析：由题意点1(,0),(,),(1,0)n n n n n A n P a b A n ++构成以(,)n n n P a b 为顶点的等腰三角形，则(1)2122n n n n a +++==，212n n b a +=，以12,,n n n b b b ++为边长能构成一个三角形，因为01a <<，则有212325222n n n a a a +++<+，210a a +->1a <<. 考点：等腰三角形的性质，解一元二次不等式.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos (2)cos()b A c a B π=+- （1）求角B 的大小；（2）若4,b ABC =∆a c +的值.【答案】（1）23B π=；（2）试题分析：（1）题设已知条件是边角的关系，要求的是角，因此利用正弦定理把边化为角，得sin cos (2sin sin )cos B A C A B ∴=--（同时用诱导公式化简），整理得sin()2sin cos A B C B +=-，在三角形中有sin()sin 0A B C +=≠，因此得1cos 2B =-，23B π=；（2）由面积公式有1sin 2S ac B ==4ac =，再结合余弦定理可得a c +=试题解析：（1） ()cos (2)cosb Ac a B π=+-Q cos (2)cos b A c a B ∴=--…………………………1分sin cos (2sin sin )cos B A C A B ∴=--…………………………3分 sin()2sin cos A B C B ∴+=- ∴ 1cos 2B =-…………………………5分 ∴ 23B π=…………………………6分(2) 由1=sin 2ABC S ac B ∆= a c ＝4…………………………8分. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2+ac216(a+c )ac -==…………………10分∴ a ＋c =…………………………12分考点：正弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理. 18.（本小题满分12分）4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面22⨯的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E （X ）和方差D （X ）【答案】（1）见解析，与性别有关； （2）分布列为期望为5，方差为25【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图,读书迷占比为40%，非读书迷占比为60%，再由表格中的两个数字可填全表格，根据计算公式得28.249K ≈ 6.635>，因此有99%的把握认为“读书迷”与性别有关；（2）题意可知X ～B （3，52），P(x=i)=3323()()55i i i-ð （i=0，1，2，3），可得X 的分布列，由公式可得期望与方差.试题解析：（1）完成下面的22⨯列联表如下……………… 3分22100(40251520)60405545K ⨯-⨯=⨯⨯⨯≈8.2498.249 > 6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.……………..6分 （2）视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为52. 由题意可知X ～B （3，52），P(x=i)=3323()()55i i i -ð （i=0，1，2，3）………………8分 从而分布列为.……………… 10分 E(x)=np=56 (或0.6)，D(x)=np(1-p ）=2518 (或0.72) ……………… 12分 考点：（1）频率分布直方图，独立性检验，随机变量的分布列，数学期望与方差. 19.（本小题满分12分）已知PA ⊥平面,,,4,1ABCD CD AD BA AD CD AD AP AB ⊥⊥====. （1）求证：CD ⊥平面ADP ；（2）M 为线段CP 上的点，当BM AC ⊥时，求二面角C AB M --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）102.【解析】试题分析：（1）证线面垂直，就是要证线线垂直，已有CD AD ⊥，寻找题设条件还有PA ⊥平面ABCD ，从而有PA CD ⊥，因此可以证得线面垂直；（2）要求二面角的大小，由于图形中有,,AB AD AP 三直线两两垂直，因此可以以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角，建立如图所示的坐标系后，关键是要求出点M 的坐标（因为其它点.,,,A B C D P 的坐标都易得），设(,,)M x y z ，利用PM 与PC 共线，及BM PC ⊥就能求出M 点的坐标，然后求出平面ABC 平面ABM 的法向量，由法向量夹角求得相应的二面角. 试题解析：（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面ADP ，所以平面ADP ⊥平面ABCD. …………………………………………2分 又因为平面ADP ∩平面ABCD=AD ，CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面ADP. ……………………………………………………4分（2）AD ，AP ，AB 两两垂直，建立如图所示空间坐标系，则A （0，0，0），B （0，0，1），C （4，0，4），P （0，4，0），则)1,0,0(=，)4,0,4(=，)0,4,0(=，)4,4,4(-=PC .………………………………6分设M （x, y , z), λ=)10(≤≤λ，则),4,(z y x -=.zxy所以),4,(z y x -λ=)4,4,4(-，⎪⎩⎪⎨⎧=-==λλλ4444z y x ，)4,44,4(λλλ-M ，)14,44,4(--=λλλBM .因为BM ⊥AC ，所以0=⋅，⋅--)14,44,4(λλλ0)4,0,4(=，解得81=λ，法2：在平面ABCD 内过点B 作BH ⊥AC 于H ，在平面ACP 内过点H 作HM ∥AP 交PC 于点M ，连接MB ………6分， 因为AP ⊥平面ABCD ， 所以HM ⊥平面ABCD. 又因为AC ⊂平面ABCD ， 所以HM ⊥AC.又BH ∩HM=H, BH ⊂平面BHM ，HM ⊂平面BHM ， 所以AC ⊥平面BHM.所以AC ⊥BM ，点M 即为所求点. …………………………………………8分 在直角ABH ∆中，AH=2222=AB ， 又AC=2422=+DA CD ，所以81=AC AH . 又HM ∥AP ，所以在ACP ∆中，81=PC PM . 在平面PCD 内过点M 作MN ∥CD 交DP 于点N ，则在PCD ∆中， 81=PD PN . 因为AB ∥CD ，所以MN ∥BA.连接AN ，由（1）知CD ⊥平面ADP ，所以AB ⊥平面ADP. 所以AB ⊥AD ，AB ⊥AN.所以∠DAN 为二面角C —AB —M 的平面角.………………………10分在PAD ∆中，过点N 作NS ∥PA 交DA 于S ，则81=AD AS ， 所以AS=21，2787==PA NS ，所以NA=225.所以102cos cos ==∠=∠NA AS SAN DAN .所以二面角C —AB —M 的余弦值为102. …………………………………………12分 考点：线面垂直，二面角. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点. （1）求椭圆C 的方程；（2）不垂直与坐标轴的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)3P ，若1cos 3APB ∠=，求直线l 的方程.【答案】（1）2214x y +=；（2）1y =-或1y =-. 【解析】试题分析：（1）本题求椭圆的标准方程比较简单，只要把坐标代入椭圆方程22221x y a b +=，再由离心率c e a ==222a b c =+联立方程组可解得；（2）本题属于直线与椭圆相交问题，主要考查学生的运算能力，及分析问题解决问题的能力，这类问题的一般方法都是设直线AB 方程为为y kx t =+，设交点为1122(,),(,)A x y B x y ，把直线方程与椭圆方程联立2214y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(14)8440k x ktx t +++-= 则有122814kt x x k -+=+，21224414t x x k-=+，同时有22041k t ∆>⇒+>；从而有12121222()214ty y kx t kx t k x x t k+=+++=++=+ ，目的是为了表示出中点坐标，设,A B 的中点为(),D m n ，则1224214x x kt m k +-==+，122214y y tn k +==+，因为直线PD 于直线l 垂直，所以113PD nk k m -=-=-得21149t k =-+ ，结合2204190k t t ∆>⇒+>⇒-<<，由条件1cos3APB∠=可得t a n2APD∠=，2tanABAPDPD∠=，其中AB==，PD为点P到直线AB的距离，由引可求得()19,0t=-∈-，k=试题解析：（1）由1题意得22=21314caa b⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a，1b=．所以椭圆C的方程是2214xy+=．……………………… 4分（2）设直线l的方程设为y kx t=+，设1122(,),(,)A x yB x y，联立2214y kx txy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y得222(14)8440k x ktx t+++-=则有122814ktx xk-+=+，21224414tx xk-=+，由22041k t∆>⇒+>；12121222()214ty y kx t kx t k x x tk+=+++=++=+…………… 6分设,A B的中点为(),D m n，则1224214x x ktmk+-==+，122214y y tnk+==+因为直线PD于直线l垂直，所以113PDnkk m-=-=-得21149tk=-+………… 8分2204190k t t∆>⇒+>⇒-<<因为21cos2cos13APB APD∠=∠-=-所以cos3APD∠=,tan APD⇒∠=所以2ABPD=PD=，AB===………10分由2ABPD==21149tk=-+解得()19,0t=-∈-，k=直线l的方程为1y=-或1y=-. ………… 12分解法二（2）设直线l的斜率为k，设1122(,),(,)A x yB x y，,A B的中点为()00,D x y，所以1212y ykx x-=-，1202x xx+=，1202y yy+=由题意221122221(1)41(2)4xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，(1)式(2)-式得()()()()121212124x x x xy y y y-++-+=⇒()()()()1212121214y y y yx x x x-++=⇒-+14ykx+=又因为直线PD与直线l垂直，所以131ykx-=-由0000104131y k x y k x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩解得001949y x k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………… 6分 因为21cos 2cos 13APB APD ∠=∠-=-所以cos APD ∠=,tan APD ⇒∠=所以2ABPD= ………8分PD ==设直线l 的方程设为()200419k y y k x x y kx +-=-⇒=-，联立22241914k y kx x y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()2222284141(14)44099k k k k x x +⎛⎫++-+-= ⎪⎝⎭ 120829x x x k +==，221224144914k x x k⎛⎫+- ⎪⎝⎭=+， 由2020k ∆>⇒<AB ==………10分2AB PD==k =2020k ∆>⇒<.由2419k y kx +=-得直线l的方程为1y =-或1y =-. ……… 12分考点：椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系. 21.（本小题满分12分）已知函数()2,(x f x e ax e =--是自然对数的底数，)a R ∈. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若k 为整数，1a =，且当0x >时，()11k xf x x -'<+恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，求k 的最大值.故)(/x g 在()+∞,0上存在唯一的零点. .............................8分设此零点为α，则()2,1∈α.当()α,0∈x 时，0)(/<x g ；当()+∞∈,αx 时，0)(/>x g ；所以，)(x g 在()+∞,0上的最小值为)(αg .由,0)(/=αg 可得,2+=ααe ........10分所以，().3,21)(∈+=ααg 由于①式等价于)(αg k <.故整数k 的最大值为2. ....................................12分 考点：导数与单调性，不等式恒成立，函数的零点.请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图：O 的直径AB 的延长线于弦CD 的延长线相交于点P ，E 为O 上一点，,AE AC DE =交AB 于点F. （1）求证：,,,O C D F 四点共圆； （2）求证：PF PO PA PB ⋅=⋅.【答案】证明见解析. 【解析】试题分析：（1）证四点共圆，可证明四边形的对角互补或外角等于内对角等，本题中，由于AE AC =，因此有12CDE EOC AOE ∠=∠=∠，从而得证四点共圆；（2）有了（1）中的四点共圆，由割线定理得PF PO PD PC ⋅=⋅，又在圆O 中有PD PC PB PA ⋅=⋅，故结论成立.试题解析：（1）连接OC ，OE ， 因为AE AC =，所以12AOC AOE COE ∠=∠=∠，.................2分 又因为12CDE COE ∠=∠， 则AOC CDE ∠=∠，所以,,,O C D F 四点共圆.………………5分（2）因为PBA 和PDC 是O 的两条割线，所以PD PC PA PB =⋅，……………7分因为,,,O C D F 四点共圆,所以PDF POC ∠=∠，又因为DPF OPC ∠=∠，则PDF ∆∽POC ∆， 所以PD PF PO PC=，即PF PO PD PC =⋅ 则PF PO PA PB =⋅.………………10分考点：四点共圆，切割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程122(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=.（1）直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l 的曲线C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）【答案】（1cos sin 0θρθ--=；（2）5(2,)3π，)6π 【解析】试题分析：（1）首先消去参数方程的参数，可把参数方程化为普通方程，然后利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可把直角坐标方程化为极坐标方程；（2）可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，然后把直线与圆的直角坐标方程联立解得交点坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标，也可把直线与圆的两个极坐标方程联立方程组解得交点的极坐标.试题解析：（1）将直线:l 122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去参数t ，化为普通方程0y --=，……………………2分将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩0y --=cos sin 0θρθ--=.…………4分 （2）方法一：C 的普通方程为2240x y x +-=.………………6分由22040y x y x --=+-=⎪⎩解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩8分 所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,)3π，)6π.………………10分方法二：由cos sin 04cos θρθρθ--==⎪⎩，……………6分 得：sin(2)03πθ-=，又因为0,02ρθπ≥≤<………………8分 所以253ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩或6ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,)3π，)6π.………………10分 考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线与圆交点.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()()221(0),2f x x a x a g x x =-++>=+.（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2{0}3x x ≤≤；（2）2a ≥.【解析】试题分析：（1）不等式为|21||21|2x x x -++≤+，用分类讨论的思想可求得解集，分类讨论的标准由绝对值的定义确定；（2）不等式()()f x g x ≥恒成立，同样不等式为|2||21|2x a x x -++≥+，转化为|2||21|20x a x x -++--≥，令()|2||21|2h x x a x x =-++--，因为0a >,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩，只要求出()h x 最小值()h x 最小值，然后解不等式()0h x 最小值＞得所求范围.试题解析：（1）当1a =时，|21||21|2x x x -++≤+，1242x x x ⎧≤-⎪⇒⎨⎪-≤+⎩无解， 111022222+x x x ⎧-<<⎪⇒≤<⎨⎪≤⎩， 11222342x x x x ⎧≥⎪⇒≤≤⎨⎪≤+⎩………………………3分 综上，不等式的解集为2{0}3x x ≤≤.………………5分（2）|2||21|2x a x x -++≥+，转化为|2||21|20x a x x -++--≥， 令()|2||21|2h x x a x x =-++--， 因为a>0,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩， ………………8分在a>0下易得min ()12a h x =-,令10,2a -≥a 得 2.a ≥a ………………10分 考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值.。
2015届高三模拟演练数学(理)试题 Word版含答案
2015年高三模拟演练理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、在复平面内，复数31ai i+-对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,2) B ．(2,)+∞ C ．(,0)-∞ D ．(]0,2 2、设全集为R ，集合1{|1},{|(2)(21)0}1A xB x x x x =≤=-+<+，则()RC A B =( )A ．1{|2}2x x -<<-B ．1{|1}2x x -<<-C ．1{|2}2x x -≤<-D ．1{|1}2x x -≤<-3、在ABC ∆中，3,4,AB BC D ==是BC 的中点，且,36B CAD ππ=∠=，则sin ADC ∠=（ ）A ．4 B ．4 C ．26．284、设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，有以下四个命题： ①若//,//m n αα，则//m n ②若,m ααβ⊥⊥，则//m β ③若//,m ααβ⊥，则m β⊥ ④若//,m ααβ⊥，则//m β 其中，真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35、已知数列{}n a 为等比数列，且143,,a a a 成等差数列，则201320142012()a a a =（ ） A ．1a B ．1 C ．201422a D ．20141a6、设,a b 为非零向量，则以下说法不正确的是（ ） A ．“a b -”是“//a b ”的充分不必要条件B ．“A BCD =”是“//AB CD ”的必要不充分条件C ．“a b a b +=-”是“存在R λ∈，使得a b λ=”的充分不必要条件D ．“a b a b +=-”是“a b ⊥”的既不充分也不必要条件7、已知2n a an n =+，若数列{}n a 为递增数列，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．[0,)+∞ C ．1(,)3-+∞ D ．1(,][0,)2-∞-+∞ 8、如图，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为1的正三角形， 俯视图是一个圆，那么这个几何体的内切球表面积为（ ） A ．4π B ．6πC D ．3π 9、已知25,23a b a b +=-=且()(2)a b a b +⋅-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．0 B ．4π C ．2πD ．π 10、设关于,x y 的不等式组321000x y x m y m -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，且使2z x y =-取得最大值为2，则实数m 的值为（ ）A ．43B ．13C ．53-D ．23- 11、已知关于x 的不等式0x a x cx b x d++->++的解集为()(,2)1,2-∞-，在关于x 的不等式ln 1ln 10ln 1ln 1a x c xb x d x --->--的解集为（ ） A ．11(1,)(0,)22-- B ．1((1,)e e C ．11(,)(,1)22-∞- D ．((,)e e -∞ 12、已知函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()212xf x f x x '+=且()11f =，则函数()fx 的最大值为（ ）A ．0B ．2eD ．2e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测数学理试卷(解析版)
河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测数学理试卷（解析版）一、选择题1．设集合{}0232<+-=x x x A ，{}822<<=x x B ，则（ ） A.B A = B.B A ⊆ C.B A ⊇ D.∅=⋂B A 【答案】B 【解析】试题分析：由题知A=（1,2），B=（1,3），所以B A ⊆，故选B. 考点：一元二次不等式解法，指数不等式解法，集合间关系与集合运算 2．已知复数i z 2321+-=，则 =+||z z （ ） A.i 2321--B.i 2321+-C.i 2321+D.i 2321- 【答案】D 【解析】试题分析：由题知z =12-，所以=+||z z 12-，故选D. 考点：共轭复数概念，复数的模公式，复数加法运算 3．已知113::<+≥x q k x p ，，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（ ） A.),2[+∞ B.),2(+∞ C.),1[+∞ D.]1,(--∞ 【答案】B 【解析】试题分析：由311x <+得，321011x x x --=<++，即(2)(1)0x x -+>，解得1x <-或2x >，由p 是q 的充分不必要条件知，2k >，故选B.考点：分式不等式解法，充要条件 4．在等差数列{}n a 中，9a =12162a +,则数列{}n a 的前11项和11S =（ ） A ．24 B ．48 C ．66 D ．132 【答案】D 【解析】 试题分析：由9a =12162a +及等差数列通项公式得，112(8)1112a d a d +=++，解得6a =15a d +=12，所以11S =11111()2a a +=61122a ⨯=11×12=132，故选D. 考点：等差数列通项公式，等差数列前n 项和公式，等差数列性质 5．在154)212(+x 的展开式中，系数是有理数的项共有（ ） A.4项 B.5项 C.6项 D.7项 【答案】A 【解析】试题分析：由二项展开式的通项知，1r T +=1515r rr C -=1531544152r rrC x --，由系数是有理数知，1534r -是整数，r =0,1, ，15，则r =1,5,9,13，共4项，故选A.考点：二项式定理6．b a ,2,1=b 且⊥+)(，则与的夹角为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 【答案】C 【解析】试题分析：由⊥+)(知，()a b a +⋅=2a ab +⋅=0，所以2a b a ⋅=-=-1，所以cos ,a b =||||a b a b ⋅=12-，所以与的夹角为 120，故选C.考点：平面向量垂直的充要条件，向量数量积7．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 （ ） A.36种 B.30种 C.24种 D.6种 【答案】B 【解析】试题分析：先将语文、数学、英语、理综4科分成3组，每组至少1科，则不同的分法种数为24C ，其中数学、理综安排在同一节的分法种数为1，故数学、理综不安排在同一节的分法种数为24C -1，再将这3组分给3节课有33A 种不同的分配方法，根据分步计数原理知，不同的安排方法共有(24C -1)33A =30，故选B.考点：分步计数原理，排列组合知识 8．如图给出的是计算1111352013+++的值的一个程序框图，则判断框内应填人的条件是 （ ）A ．1006≤iB ．1006>iC ．1007≤iD ．1007>i 【答案】C 【解析】试题分析：由题知，本题的框图作用是1111352013+++，其分母的通项为21i -，令21i -=2013，解得i=1007，由此知,i ≤1007，循环，当i ＞1007时，结束，故判断框内应填人的条件是1007≤i ，故选C.考点：程序框图9．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x 2+y 2的取值范围是（ ）A. B. C.( 1 , 16 ) D.【答案】B 【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由22z x y =+表示原点与可行域内任意一点距离的平方，由图可知，当此距离为原点到直线220x y +-=时最小，min z = 2=45，为点（4，0）时，z 取最大值，z 的最大值为16，所以目标函数z=x 2+y 2的取值范围是（45，16），故选B.考点：简单线性规划解法，点到直线距离公式10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为 （ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC ，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4．设其外接球的球心为O ，O 点必在高线PE 上，外接球半径为R ，则在直角三角形BOE 中，BO 2=OE 2+BE 2=（PE-EO ）2+BE 2，即R 2=（4-R ）2+（）2，解得：R=174，故选C.考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力11．若圆C 222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）A.2B. 4C.3D.6 【答案】B 【解析】试题分析：由题知圆C 的圆心C （-1,2，因为圆C 关于直线260ax by ++=对称，所以圆心C 在直线260ax by ++=上，所以2260a b -++=，即3a b =+，所以由点(,)a b 向圆所作的切线长为=，当1b =-时，切线长最小，最小值为4，故选B.考点：圆的标准方程，圆的切线问题，二次函数最值12．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n n S an n=⨯+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则=+)()(65a f a f ( )． A ．3- B ．2- C ．3 D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-知，3()2f x -=3[()]2f x -- =3()2f x --=()f x -，所以(3)f x -= 33[()]22f x --= 3()2f x --= (())f x --=()f x ，所以)(x f 的周期为3，由21n n S an n=⨯+得，2n n S a n =+，当n ≥2时，n a =1122(1)n n n n S S a n a n ---=+---，所以n a =121n a --，所以2a =-3，3a =-7，4a =-15，5a =-31，6a =-63，所以=+)()(65a f a f (31)(63)f f -+-=(3101)(3210)f f -⨯+-⨯+=(1)(0)f f --=(13)0(2)f f ---=--=3，故选C. 考点：函数的奇偶性、周期性，数列的递推公式，转化与化归思想二、填空题 13．直线x y 31=与抛物线2x x y -=所围图形的面积等于_____________． 【答案】481【解析】试题分析：由213y x y x x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得0x =或23x =，所以其围成图形的面积为22301()3x x x dx --⎰=223301()|3x x - =481. 考点：定积分的应用14．已知函数1)(+-=mx e x f x的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线x y 21=垂直的切线，则实数m 的取值范围是_____________． 【答案】（2，+∞） 【解析】试题分析：设切点横坐标为0x ，因为()f x '=x e m -，所以函数()f x 在（0x ，0()f x ）的切线斜率为x e m -，由题知，x e m -=-2，所以02xm e =+＞2，所以实数m 的取值范围为（2，+∞）. 考点：函数的切线，两直线垂直的充要条件15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 _______ ．【解析】试题分析：F （c,0），双曲线一条渐近线方程为b y x a =，则过F 与该渐近线垂直的直线方程为()ay x c b=--，联立解得P(2a c ，ab c ),所以PF 的中点（222a c c +，2ab c ），代入双曲线方程求得ca，所以双曲线的离心率考点：双曲线的性质，两直线的位置关系16．已知函数()sin 2x f x x =∈R ，，将函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短为原的12倍（纵坐不变），得到函数()g x 的图象，则关于()()f x g x ⋅有下列命题 ①函数()()y f x g x =⋅是奇函数； ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数；③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点(π，0)中心对称；④ 函数()()y f x g x =⋅其中真命题为____________． 【答案】③ 【解析】 试题分析：由题知()g x =sin x，所以()()f x g x ⋅=sin sin 2xx ，因为()()f x g x -⋅-=sinsin()2x x --=sin sin 2xx =()()f x g x ⋅是偶函数，故①错， 因为(2)(2)f x g x ππ+⋅+ =4sin()sin(4)2x x ππ++=sin sin 2xx =()()f x g x ⋅，周期为4π，故②错，因为设（00,x y ）是函数()()y f x g x =图像上任意一点，则000()()y f x g x =，该点关于(π，0)的对称点为（002,x y π--），所以00(2)(2)f x g x ππ-⋅-=002sinsin(2)2x x ππ--=00sin sin 2xx - =-00()()f x g x =0y ，即点（002,x y π--）也在函数()()y f x g x =图像上，故()()y f x g x =图像关于(π，0)对称，③正确； 因为()()f x g x ⋅=22sin cos 22x x =22(1cos )cos 22x x -，令cos 2xt =，则-1≤t ≤1，()()y f x g x ==22(1)t t -=322t t -（-1≤t ≤1），所以y '=226t -=6(t t -+-，当-1≤≤≤≤1时，y '＜0，当y '＞0，所以该函数在（-1，，1）上是减函数，在（时，()()f x g x ⋅，因为当=-1时，y=0，所以()()f x g x ⋅的命题为③.考点：周期变换，函数的周期性、奇偶性、对称性，函数最值，转化与化归思想三、解答题17．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，已知3,2π==C c .（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）2,2（Ⅱ）332 【解析】试题分析：（Ⅰ）由3,2π==C c ，运用余弦定理可得2242cos3a b ab π=+-，由ABC ∆的面积等于3，运用三角形面积公式可得，1sin 23ab π=，联立即可解得b a ,；（Ⅱ）利用三角形内角和定理先将A A B C 2sin 2)sin(sin =-+化为sin[()]sin()2sin 2A B B A A π-++-=，利用诱导公式及两角和与差的正弦公式将上式化为A A A B cos sin 2cos sin =，分两种情况，若cos 0A =，则求出A ，B ，C 三角，利用解直角三角形求出b a ,，从而求出面积，若cos 0A ≠，求出A ，B 关系，利用正弦定理求出b a ,关系，结合（Ⅰ）中结果2242cos3a b ab π=+-求出b a ,，从而求出三角形面积.试题解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得422=-+ab b a 又3sin 21=C ab，得4=ab 3分 联立⎩⎨⎧==-+4422ab ab b a 解得2,2==b a 5分（Ⅱ）由题意得，A A A B A B cos sin 4)sin()sin(=-++即A A A B cos sin 2cos sin =. 7分332,334,6,2,0cos =====b a B A A ππ时当 ABC ∆的面积33221==bc S 9分当A B A sin 2sin ,0cos =≠得时，由正弦定理得a b 2=，联立方程⎩⎨⎧==-+ab ab b a 2422解得334,332==b a 所以ABC ∆的面积332sin 21==C ab S ，综上，ABC ∆的面积为332. 12分 考点：正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角变换，运算求解能力18．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432，乙队每人答对的概率都是23．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分． （I ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率． 【答案】（Ⅰ）分布列见解析，期望为2312；（Ⅱ）16【解析】试题分析：（Ⅰ）先分析ξ的所有可能取值，再分析ξ取每一个可能值时每个人的答题情况，将若干个简单互斥事件的和，再分析每个简单事件的中每个人的答题情况，将其表示成若干个相互独立事件的积，再用互斥事件的积概率公式和相互独立事件的和概率公式，求出ξ每种取值情况的概率，列出分布列，再代入期望公式求出ξ的期望；（Ⅱ）先分析甲乙两队分数之和为4的甲乙两队的得分情况，将其分成若干个互斥事件的和，再根据每个互斥事件甲乙的两队的得分情况，化为相互独立事件的积，利用互斥事件的和概率公式和相互独立事件的积概率公式求出甲乙两队的分值和为4的概率，在计算出甲队比乙队得分高的概率，利用条件概率公式即可所求事件的概率.试题解析：（1）ξ的可能取值为0，1，2，31111(0)43224P ξ==⨯⨯=;3111211111(1)4324324324P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=;32112131111(2)43243243224P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=;3211(3)4324P ξ==⨯⨯= 4分 ξ∴的分布列为1111123()012324424412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=6分 (2)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件B则32132123331211211211()()4324334333P A C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 8分 11231211()()43318P AB C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭10分 ∴1()118()1()63P AB P B A P A === 12分 考点：随机变量分布列与期望，互斥事件的概率计算，相互独立事件概率，独立重复试验，条件概率，应用意识 19．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，11AA =，3AB k =， 456(0)AD k BC k DC k k ===>，，．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；（Ⅱ）若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1 【解析】试题分析：（Ⅰ）取CD 的中点为E ，连结BE ，则ADEB 为平行四边形，所以AD //BE=4k ，所以BC 2=BE 2+EC 2，所以BE ⊥DC ，所以AD 与BC 垂直，AA 1⊥面ABCD ，所以AA 1⊥CD ，所以CD 垂直面AA 1D 1D ；（Ⅱ）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，写出A 、A 1，B 1，C 的坐标，求出面AB 1C 的一个法向量，算出向量1AA 坐标，计算出这两个向量的夹角，再利用向量夹角与线面角关系，列出关于k 的方程，若能解出k 值.. 试题解析：（Ⅰ）取CD 的中点E ，连结BE.∵AB ∥DE ，AB =DE =3k ，∴四边形ABED 为平行四边形， 2分 ∴BE ∥AD 且BE =AD =4k.在△BCE 中，∵BE =4k ，CE =3k ，BC =5k ，∴BE 2＋CE 2=BC 2， ∴∠BEC =90°，即BE ⊥CD ，又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD. 4分 ∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥CD ．又AA 1∩AD =A ，平面⊥∴CD ADD 1A 1. 6分（Ⅱ）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()11400(060)431401A k C k B k k A k ，，，，，，，，，，，， 所以AC (460)k k =-，，，1AB ()031k =，，，1AA ()001=，，． 设平面AB 1C 的法向量n =(x ，y ，z)， 则由100AC AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取y =2，得(326)(0)k k =->，，n . 9分 设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则 sin θ=|cos 〈1AA ，n 〉|=11||||AA AA ⋅⋅nn =67=， 解得k =1，故所求k 的值为1. 12分考点：面面垂直的性质，线面垂直的判定，线面角的计算，推理论证能力，运算求解能力，空间想象能力20．已知椭圆C 1：1422=+y x 和动圆C 2：)0(222>=+r r y x ，直线m kx y l +=:与C 1和C 2分别有唯一的公共点A 和B ．（I ）求r 的取值范围；（II ）求|AB|的最大值，并求此时圆C 2的方程．【答案】（Ⅰ）[1，2）（Ⅱ）1，x 2+y 2=2 【解析】试题分析：（Ⅰ）将直线方程与椭圆方程联立消去y 整理成关于x 的一元二次方程，因为直线与椭圆只有一个公共点，则判别式为0，列出关于m ，k 的方程，再由直线与圆只有一个公共点知，直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径找出r,m,k 关系，将这两个关于m,k 的方程联立，消去m ，将r 表示成k 的函数，利用函数求值域的方法，求出r 范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得A,B 两点的横坐标，利用弦长公式将AB 用r 表示出，利用函数求最值的方法，求出|AB|的最大值及取最大值时的r 值，从而写出圆的方程.试题解析：（Ⅰ）由，得（1+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣1）=0．由于l 与C 1有唯一的公共点A ，故△1=64k 2m 2﹣16（1+4k 2）（m 2﹣1）=0， 2分从而m 2=1+4k 2 ① 由，得（1+k 2）x 2+2kmx+m 2﹣r 2=0．由于l 与C 2有唯一的公共点B ，故△2=4k 2m 2﹣4（1+k 2）（m 2﹣r 2）=0， 4分从而m 2=r 2（1+k 2） ②由①、②得k 2=． 由k 2≥0，得1≤r 2＜4，所以r 的取值范围是[1，2）． 6分（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由（Ⅰ）的解答可知x 1=﹣=﹣，x 2=﹣=﹣．|AB|2=（1+k 2）（x 2﹣x 1）2=（1+k 2）•=•k 2•（4﹣r 2）2=•（4﹣r 2）2=， 9分 所以|AB|2=5﹣（r 2+）（1≤r＜2）． 因为r 2+≥2×2=4，当且仅当r=时取等号，所以当r=时，|AB|取最大值1，此时C 2的方程为x 2+y 2=2． 12分考点：直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系，最值问题，转化与化归思想，运算求解能力21．已知函数x ax x x f 221ln )(2--=（0<a ）. （Ⅰ）若函数)(x f 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若21-=a ，且关于x 的方程b x x f +-=21)(在[]4,1上恰有两个不等的实根，求实数b 的取值范围； （Ⅲ）设各项为正数的数列{}n a 满足11=a ，2ln 1++=+n n n a a a （*∈N n ），求证：12-≤n n a .【答案】（Ⅰ）(]1,-∞-；（Ⅱ）5ln 22,4⎛⎤-- ⎥⎝⎦；（Ⅲ）见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()f x 的定义域及导函数()f x '，由函数)(x f 在定义域内单调递增知，()f x '≥0在定义域内恒成立，通过参变分离化为()a g x ≤在定义域内恒成立，求出()g x 的最小值，即a ≤min [()]g x 即为a 的取值范围；（Ⅱ）先将关于x 的方程b x x f +-=21)(在[1,4]上恰有两个不等实根转化为方程1()2f x x + =b 在[1,4]上恰有两个不等实根，即函数y=1()2f x x +（x ∈[1,4]）图像与y=b 恰有两个不同的交点，利用导数通过研究函数y=1()2f x x +（x ∈[1,4]）的单调性、极值、最值及图像，结合y=1()2f x x +（x ∈[1,4]）的图像，找出y=1()2f x x +（x ∈[1,4]）与y=b 恰有两个交点时b 的取值范围，即为所求;（Ⅲ）利用ln 1x x <-（x ≠1），将2ln 1++=+n n n a a a 放缩为),1(211+≤++n n a a 即11021n n a a -+<<+，通过累积，求出n a 的范围，即为所证不等式.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为()+∞,0，)0(12)(2>-+-='x xx ax x f ，依题意0)(≥'x f 在0>x 时恒成立， 则1)11(2122--=-≤x x x a 在0>x 时恒成立，即[])0(1)11(min 2>--≤x xa ， 当1=x 时，1)11(2--x取最小值-1，所以a 的取值范围是(]1,-∞- 4分 （Ⅱ）21-=a ，由b x x f +-=21)(得0ln 23412=-+-b x x x 在[]4,1上有两个不同的实根， 设[]4,1,ln 2341)(2∈+-=x x x x x g xx x x g 2)1)(2()(--='，[)2,1∈x 时，0)(<'x g ，(]4,2∈x 时，0)(>'x g 22ln )2()(min -==g x g ，22ln 2)4(,45)1(-=-=g g ， 0)4ln 43(412ln 243)4()1(<-=-=-g g ，得)4()1(g g <则⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈45,22ln b 8分 （Ⅲ）易证当0>x 且1≠x 时，1ln -<x x .由已知条件12212ln ,01+=++-≤++=>+n n n n n n n a a a a a a a ，故),1(211+≤++n n a a 所以当2≥n 时，,21101≤++<-n n a a ,211021≤++<--n n a a ⋅⋅⋅，,211012≤++<a a 相乘得,211011-≤++<n n a a 又,11=a 故n n a 21≤+，即12-≤n n a 12分 考点：常见函数的导数，导数的运算法则，导数函数单调性关系，导数的综合应用，利用导数证明不等式，运算求解能力.22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ,BD 是⊙O 的直径，CD AE ⊥于点E ,DA 平分BDE ∠.（Ⅰ）证明：AE 是⊙O 的切线（Ⅱ）如果24==AE AB ，,求CD .【解析】试题分析：（Ⅰ）连结OA ，由OA=AD 知∠OAD ＝∠ODA ，由DA 平分BDE ∠知，∠BDA=∠ADE ，所以∠ADE ＝∠OAD ，由内错角相等两直线平行得OA ∥CE ，因为AE ⊥CE ，所以OA ⊥AE ，故AE 是圆O 的切线；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE ∽△BDA ，所以AE AD ＝AB BD，即BD ＝2AD ，所以所以∠ABD ＝30︒，从而∠DAE ＝30︒，在直角三角形AED 中，求出DE ，再由切割线定理得AE 2＝ED ·EC=ED ·（CD+DE ），即可求得CD 的值.试题解析：（Ⅰ）连结OA ，则OA ＝OD ，所以∠OAD ＝∠ODA ，又∠ODA ＝∠ADE ，所以∠ADE ＝∠OAD ，所以OA ∥CE ．因为AE ⊥CE ，所以OA ⊥AE ．所以AE 是⊙O 的切线. 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE ∽△BDA ， 所以AE AD ＝AB BD ，即2AD ＝4BD，则BD ＝2AD ， 所以∠ABD ＝30︒，从而∠DAE ＝30︒， 所以DE ＝AEtan 30︒． 由切割线定理，得AE 2＝ED ·EC ，所以4CD )，所以CD. 10分 考点：切线的判定，相似三角形的判定与性质，切割线定理.23．已知曲线1C 的直角坐标方程为1422=+y x ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.P 是曲线1C 上一点，)0(παα≤≤=∠xOP ，将点P 绕点O 逆时针旋转角α后得到点Q ,2=,点M 的轨迹是曲线2C .（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程. （Ⅱ）求OM 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）21ρ＝2cos 216θ＋2sin 24θ，（Ⅱ）[2，4] 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先将曲线1C 的直角坐标方程化为极坐标方程，设M (ρ，θ)，根据OQ OM 2=知，Q （2ρ，θ)，由P 是曲线1C 上一点，)0(παα≤≤=∠xOP ，将点P 绕点O 逆时针旋转角α后得到点Q 知，P （2ρ，2θ），代入曲线1C 的极坐标方程即得到曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线2C 的极坐标方程为）21ρ＝2cos 216θ＋2sin 24θ，所以21OM =21||OP ＝116 (1＋3sin 22θ)，先求21||OM 的取值范围，利用不等式的性质，即可求出|OM|的取值范围.试题解析：（Ⅰ）曲线C 1的极坐标方程为22cos 4ρθ＋ρ2sin 2θ＝1，即2cos 4θ＋sin 2θ＝21ρ．在极坐标系中，设M (ρ，θ)，P (ρ1，α)，则题设可知，ρ1＝2ρ，α＝2θ. ①因为点P 在曲线C 1上，所以2cos 4α＋sin 2α＝211ρ ② 由①②得曲线C 2的极坐标方程为21ρ＝2cos 216θ＋2sin 24θ. 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 21OM ＝116 (1＋3sin 22θ)． 因为21OM 的取值范围是[116，14]，所以|OM|的取值范围是[2，4]. 10分 考点：直角坐标方程与极坐标方程互化，相关点法求曲线方程，函数的值域24．设不等式0212<+--<-x x 的解集为M ,M b a ∈,. （Ⅰ）证明：416131<+b a ； （Ⅱ）比较ab 41-与b a -2的大小，并说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）|1－4ab|＞2|a －b|【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将f (x)＝|x －1|－|x ＋2|化为分段函数，根据分段函数的值域，将不等式0212<+--<-x x 化为不等式－2＜－2x －1＜0，解得集合M ，由M b a ∈,从而得出,a b 的取值范围，利用含绝对值不等式性质及,a b 的取值范围，利用放缩法，即可推出所证不等式416131<+b a ；（Ⅱ）先用作出比较法比较|1－4ab|2与4|a －b|2的大小，再利用不等式的开方性质，即可比较出ab 41-与b a -2的大小. 试题解析：（Ⅰ）记f (x)＝|x －1|－|x ＋2|＝3,121,113,1x x x x ≤-⎧⎪---<<⎨⎪-≥⎩由－2＜－2x －1＜0解得－12＜x ＜12，则M ＝(－12，12). 3分 所以|13a ＋16b |≤13|a|＋16|b|＜13×12＋16×12＝14. 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得a2＜14，b2＜14．因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0， 9分所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|. 10分考点：含绝对值不等式解法，含绝对值不等式性质，放缩法，比较法，不等式性质，运算求解能力,转化与化归思想，分类整合思想。
河北省石家庄市2015届高三下学期一模考试数学(理)试题 (Word版含答案)
2015届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)A 卷（时间120分钟，满分150分）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第1卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则复数131ii-+= A.2+i B.2-i C.-l-2i D.-1+2i2．已知集合 {}{}0,1,2,|3xP Q y y ===，则 错误！未定义书签。
A. {}0,1B.{}1,2C. {}0,1,2D. ∅ 3.已知 cos ,,(,)2a k k R a ππ=∈∈，则 sin()a π+=A ．B ．C ．D ． k - 4．下列说法中，不正确的是A ．已知 ,,a b m R ∈，命题“若 22am bm <，则a<b ”为真命题； B ．命题“ 2000,0x R x x ∃∈->”的否定是：“ 2,0x R x x ∃∈-≤”； C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和q 命题均为真命题； D ．“x>3”是“x>2”的充分不必要条件．5．已知偶函数f(x)，当 [)0,2x ∈时， ()sin f x x =，当 [)2,x ∈+∞时， 2()log f x x =则 ()(4)3f f π-+=A ．2 B.1 C ．3 D ． 26．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S 为A ．2B ．C ．4D ．67．如图，在三棱柱 111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为 2的正三角形，侧棱长为3，则 1BB 与平面 11ABC 所成的角的大 小为 A ．6π B ． 4π C ． 3π D ．2π8．已知O 、A 、B 三地在同一水平面内，A 地在D 地正东方向2km 处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘．O的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确．则该测绘队员能够得到准确数据的概率是A ．12 B ． 2 c ． 12- D ． 12- 9．已知抛物线 22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为A ．B ．C 1+D 1+10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.64B.72C.80D.11211.已知平面图形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形 一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4， CD=5．DA =3，则四边形ABCD 面积．s 的最大值为A ．B ．C ．D ． 12．已知函数 ln x>0()241,0x f x x x x ⎧⎪=⎨++≤⎪⎩，若关于戈的方程 2()()0f x bf x c -+=(,b c R ∈）有8个不同的实数根，则由点(b ，c)确定的平面区域的面积为 A ．16 B ． 13 C ． 12 D ． 23第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知平面向量a ，b 的夹角为22,13a b π==，，则 a b +=__________． 14.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为_________（用数字作答）． 15.设过曲线 ()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 1l ，总存在过曲线 ()2cos g x ax x =+上一点处的切线 2l ，使得 12l l ⊥，则实数a 的取值范围为______．16.已知椭圆 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为 12,F F ，设P 为椭圆上一点，12F PF ∠的外角平分线所在的直线为 l ，过 1,F F 分别作 l 的垂线，垂足分别为R ，S ，当P 在椭圆上运动时，R ，S 所形成的图形的面积为_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 设数列{}n a 的前n 项和为 11,1,1(,1)n n n S a a S n N λλ*+==+∈≠-，且12323a a a +、、为等差数列 {}n b 的前三项．(I)求数列 {}n a 、 {}n b 的通项公式； (II)求数列 {}n n a b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）集成电路E 由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为112,,223，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E 所需费用为100元． (I)求集成电路E 需要维修的概率；(II)若某电子设备共由2个集成电路E 组成，设X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X 的分布列和期望． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，∠BAC=∠BAD=90，∠PAB=∠PAD=α(I)当 t =试在棱PA 上确定一个点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时 AEEP的值； (II)当α=60 时，若平面PAB ⊥平面PCD ，求此时棱BC 的长．20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点 1(,0)2且与直线 12x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.(I)求曲线E 的方程；(II)设P 是曲线E 上的动点，点B 、C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为 22(1)1x y -+= 求△PBC 面积的最小值． 21.（本小题满分12分） 已知函数 22()ln f x x a x x=++ (I)若以 ()f x 在区间[2，3]上单调递增，求实数a 的取值范围；(II)设 ()f x 的导函数 '()f x 的图象为曲线C ，曲线C 上的不同两点 1111(,)(,)A x y B x y 、所在直线的斜率为k ，求证：当 4a ≤时 1k >.请考生在第22—24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，已知O 和 M 相交于A 、B 两点，AD 为 M 的直径，延长DB 交 O 于C ，点G 为弧BD 中点，连结AG 分别交 O 、BD 于点E 、F ，连结CE. (I)求证： AG EF CD GD ⋅=⋅(II)求证： 22GF EF AG CE =23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线 1C 的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为ρ=2. (I)分别写出 1C 的普通方程， 2C 的直角坐标方程．(n)已知M ，N 分别为曲线 1C 的上、下顶点，点P 为曲线 2C 上任意一点，求 PM PN +的最大值．24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数()f x =R ．(I)求实数m 的取值范围．(II)若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足 2132n a b a b+=++时，求7a+4b 的最小值．2015年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试高三数学(理科答案)一、 选择题（A 卷）1-5 CBACD 6-10 BADCB 11-12BA 一、选择题（B 卷）1-5 DBADC 6-10 BACDB 11-12BA 二、 填空题1314 815 []1,2- 16 2aπ三、 解答题（阅卷时发现的正确解答，请教师参阅此评分标准酌情给分）17解：（1）解法1∵11(),n n a S n N λ*+=+∈∴11n n a S λ-=+(2)n ≥∴1n n n a a a λ+-=，即1(1)n n a a λ+=+(2),10n λ≥+≠， 又1211,11,a a S λλ==+=+∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，…………………………………2分 ∴23(1)a λ=+，∴24(1)1(1)3λλ+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=……………………4分∴12n n a -=，13(1)32n b n n =+-=-………………………………………………6分解法2：∵111,1(),n n a a S n N λ*+==+∈∴2111,a S λλ=+=+2321(11)121,a S λλλλλ=+=+++=++∴24(1)1213λλλ+=++++，整理得2210λλ-+=，得1λ=………………………2分∴11(),n n a S n N *+=+∈ ∴11n n a S -=+(2)n ≥∴1n n n a a a +-=，即12n n a a +=(2)n ≥， 又121,2a a ==∴数列{}n a 为以1为首项，公比为2的等比数列，………………………………………4分 ∴12n n a -=，13(1)32n b n n =+-=- (6)分（2）1(32)2n n n a b n -=-∴121114272(32)2n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅………………………①∴12312124272(35)2(32)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅………②…………8分 ① —②得12111323232(32)2n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅12(12)13(32)212n n n -⋅-=+⋅--⋅-…………………………………10分整理得：(35)25nn T n =-⋅+…………………………………………………………12分18解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件,,A B C ，则112(),(),()223p A p B p C ===. 依题意，集成电路E 需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为11111()()()()22312p p ABC p A p B p C ===⨯⨯=； …………2分②3个元件中的2个不能正常工作，概率为2()()()()p p ABC ABC AB C p ABC p ABC p AB C =++=++11111111241223223223123=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯== ……………5分 所以,集成电路E 需要维修的概率为1211512312p p +=+=． ……………6分 （Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则5(2,)12B ξ，而100X ξ=，2257(100)()()(),0,1,2.1212k k kP X k P k C k ξ-===== (9)分X 的分布列为：………………10分4935252500100200144721443EX ∴=⨯+⨯+⨯= 或52501001002123EX E ξ==⨯⨯=. …………12分19解：X 0100200p49144 3572 25144AD 因为∥,BC 1,3A F A D F CBC ==所以因为EF ∥PC ,1=.3AE AF EP FC =所以-------------4证明二在棱PA 上取点E ，使得13AE EP =,------------2 连接AC BD ，交于点F ,AD 因为∥,BC 1,2,AF AD FC BC AE AF EP FC ===所以所以 所以，EF ∥PC 因为PC ⊄平面BDE ，EF⊂平面BDE所以PC ∥平面BDE -------------4(2)取BC 上一点G 使得BG =连结DG ,则ABGD 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O . 连结,,,OA OB OD OG .0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=，所以PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，因此PA PB PD ==, 所以OA OB OD ==,即点O 为正方形ABGD 对角线的交点,---------------7（或取BC 的中点G ,连结DG ,则ABGD 为正方形. 连接,AG BD 交于点O ，连接PO ，0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=，00,,,90,90.PAB PAD PA PB PD OD OB POB POD POB POD POA POB POA PO ABCD ∆∆===∆≅∆∠=∠=∆≅∆∠=⊥所以和都是等边三角形，因此又因为所以得到，同理得，所以平面-----------7）,,OG OB OP 因为两两垂直，以O 坐标原点，分别以,,OG OB OP 的方向为x 轴，y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.000001100010010100O P A B D G --则（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）（，，）设棱BC 的长为t ，则,1,0)C ,22(1,0,1),(0,1,1),(,1,1),(0,1,1)t tPA PB PC PD =--=-=--=-- --------------9 ,111(,,),00,001,(1,1,1)PABx y z PA x z yz PB x PAB =⎧=--=⎧⎪⎨⎨-==⎩⎪⎩=-=-设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.m m m m -----------10222(,,),0(1)0,001,(11)PCD x y z PC y z PD y z y PCD =⎧=+-=⎪⎨=⎪⎪⎩--=⎩==-设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.n n n n-----------110,=m n 解得t=BC 即棱的长为20解：（1）由题意可知圆心到1(,0)2的距离等于到直线12x =-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：22y x =.………………………4分 （2）设00(,)P x y ，(0,),(0,)B b C c ，直线PB 的方程为：000()0y b x x y x b --+=， 又圆心（1，0）到PB 的距离为1，1=，整理得：2000(2)20x b y b x -+-=， …………………………6分同理可得：2000(2)20x c y c x -+-=，所以，可知,b c 是方程2000(2)20x x y x x -+-=的两根， 所以：00002,,22y x b c bc x x --+==--……………………8分 依题意0bc <，即02x >，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-，因为2002y x =，所以： 0022x b c x -=-，………………10分所以00014(2)482(2)S b c x x x =-=-++≥-，当04x =时上式取得等号，所以PBC ∆面积最小值为8.………………………12分 解二：（2）设00(,)P x y ，直线PB ：00()y y k x x -=-与圆D 相切，则1=，整理得：22200000(2)2(1)10x x k x y k y -+-+-=，……………………6分20001212220002(1)1,22x y y k k k k x x x x--+=-=--,………………………8分 依题意02x >那么010020120()()B C y y y k x y k x k k x -=---=-， 由韦达定理得：12022k k x -=-，则0022B Cx y y x -=-，…………………10分所以00014()(2)482(2)B C S y y x x x =-=-++≥-当04x =时上式取得等号，所以PBC ∆面积最小值为8.…………………12分 21. 解：（1）由()22ln f x x a x x =++，得()'222af x x x x =-+．因为()f x 在区间[]2,3上单调递增，则()'2220a f x x x x=-+≥在[]2,3上恒成立，………………2分即222a x x ≥-在[]2,3上恒成立，设22()2g x x x =-，则22()40g x x x'=--<，所以()g x 在[]2,3上单调递减，故max ()(2)7g x g ==-，所以7a ≥-．……………4分 （2）解法一：12121212()()11()()f x f x k f x f x x x x x ''-''>⇔>⇔->--而()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-故欲证()()''1212f x f x x x ->- ，只需证()12221212221x x ax x x x ++->…………………6分 即证()1212122x x a x x x x +<+成立∵()121212122x x x x x x x x ++>…………………8分设t =()()240u t t t t =+>，则()242u t t t'=-令()0u t '=得t =()4u t a ≥=>≥ ………………………10分∴()1212122x x x x a x x ++> ∴()()''1212f x f x x x ->-， 即1212()()1f x f x x x ''->- t()+∞()'u t_0 +()u t极小值∴当4a ≤时，1k >…………………12分 解法二：对于任意两个不相等的正数1x 、2x 有()1212122x x x x x x ++>12x x＝12x x +3≥3 4.5a >> …………………8分 ∴ ()12221212221x x a x x x x ++-> 而()'222a f x x x x =-+ ∴()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-12x x >-…………………10分 故：()()''1212fx f x x x ->- ，即1212()()1f x f x x x ''->- ∴当4a ≤时，1k >………12分22. 证明：（1）连结AB ，AC ，∵AD 为M 的直径，∴090ABD ∠=，∴AC 为O 的直径, ∴0=90CEF AGD ∠=∠,∵DFG CFE ∠=∠，∴ECF GDF ∠=∠, ∵G 为弧BD 中点，∴DAG GDF ∠=∠， ∴DAG ECF ∠=∠,ADG CFE ∠=∠ ∴CEF ∆∽AGD ∆，……………3分∴CE AGEF GD=， ∴GD CE EF AG ⋅=⋅。
2015年河北省石家庄市高考数学一模试卷(理科)
2015年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题1．已知i 为虚数单位，则复数13i1i-=+（ ）A ．2i +B ．2i -C ．12i --D ．12i -+ 答案：C考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：()()()()13i 1i 13i 24i12i 1i 1i 1i 2-----===--++-，故选：C ．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题． 2．已知集合{}0,1,2P =，{}3x Q y y ==，则P Q ⋂=（ ） A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．∅答案：B考点：交集及其运算． 专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：{}{}30x Q y y y y ===>，则{}1,2P Q ⋂=， 故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．已知cos k α=，k ∈R ，π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin π+α=（ ）A ．C ．D ．k -答案：A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值． 专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sin α，从而由诱导公式即可得解．解答：解：cos k α=，k ∈R ，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α∴=()sin π+sin αα∴=-=故选：A ．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查． 4．下列说法中，不正确的是（ ）A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题“若22am bm <，则a b <”为真命题B ．命题“0x ∃∈R ，2000x x ->”的否定是：“x ∀∈R ，20x x -≤”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和q 命题均为真命题D ．“3x >”是“2x >”的充分不必要条件 答案：C考点：命题的真假判断与应用． 专题：简易逻辑．分析：A ．利用不等式的基本性质即可判断出正误； B ．利用命题的否定定义即可判断出正误；C ．利用复合命题的真假判定方法即可判断出正误；D ．“3x >”⇒“2x >”，反之不成立，即可判断出正误．解答：解：A ．若22am bm <，利用不等式的性质可得：a b <，因此为真命题；B ．命题“0x ∃∈R ，2000x x ->”的否定是：“x ∀∈R ，20x x -≤”，正确； C ．“p 或q ”为真命题，则命题p 和q 命题至少有一个为真命题，因此不正确；D ．“3x >”⇒“2x >”，反之不成立，因此“3x >”是“2x >”的充分不必要条件，正确． 故选：C ．点评：本题考查了简易逻辑的判定、不等式的基本性质，考查了推理能力，属于基础题．5．设函数()f x 为偶函数，且当[)0,2x ∈时，()2sin f x x =，当[)2,x ∈+∞时()2log f x x =，则()π43f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（ ） A．2 B ．1 C ．3 D2=答案：D考点：函数的值． 专题：计算题．分析：函数()f x 为偶函数，可得ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再将其代入()2sin f x x =，进行求解，再根据[)2,x ∈+∞时()2log f x x =，求出()4f ，从而进行求解；解答：解：函数()f x 为偶函数， ππ33f f ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当[)0,2x ∈时()2sin f x x =，()π2sin23f x ∴=== 当[)2,x ∈+∞时()2log f x x =，()24log 42f ∴==，()π423f f ⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，故选D ；点评：此题主要考查函数值的求解问题，解题的过程中需要注意函数的定义域，是一道基础题； 6．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S 为（ ）A ．2B ．．4 D ．6答案：B考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，i 的值，当5i =时，不满足条件4i ≤，退出循环，输出S的值为解答：解：模拟执行程序框图，可得 1S =，1i =满足条件4i ≤，1S =，2i = 满足条件4i ≤，S =3i = 满足条件4i ≤，2S =，4i = 满足条件4i ≤，S =5i =不满足条件4i ≤，退出循环，输出S的值为 故选：B ．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的S 的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 7．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1BB 与平面11AB C 所成的角是（ ）ACBC 1A 1B 1A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π2 答案：A考点：直线与平面所成的角． 专题：计算题． 分析：以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用1BB 与平面11AB C 所的一个法向量的夹角，求出则1BB 与平面11AB C 所成的角．解答：解：以B 为坐标原点，以与BC 垂直的直线为x 轴，BC 为y 轴，建立空间直角坐标系，则)1,0A，()10,0,3B ，()10,2,3C，()11,3AB =-，()110,2,0B C =，()10,0,3BB =．设平面11AB C 所的一个法向量为(),,n x y z =则11100AB n B C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3020y z y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，取1z =，则得()3,0,1n =，1cos BB <，1131322BB n n BB n⋅>===⨯，1BB ∴与平面11AB C 所成的角的正弦值为12， 1BB ∴与平面11AB C 所成的角为π6故选A ．点评：本题考查线面角的计算，利用了空间向量的方法．要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系．8．已知O 、A 、B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2km 处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 地为一磁场，的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ）A．1 BC．1- D ．12答案：A考点：解三角形的实际应用． 专题：应用题；概率与统计．分析：作出图形，以长度为测度，即可求出概率．解答：解：由题意，AOB △是直角三角形，2OA OB ==，所以AB =，O的范围为14个圆，与AB 相交于C ，D 两点，作OE AB ⊥，则OE =2CD =，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是11=．故选：A ．A点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，正确确定CD 是关键．9．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰好是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为（ ） ABC．1 D．1+ 答案：C考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把2pc =代入整理得422460c a c a -+=等式两边同除以4a ，得到关于离心率e 的方程，进而可求得e ． 解答：解：由题意，两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线方程得222241p p a b-=， 又2pc =，代入化简得422460c a c a -+= 42e 6e 10∴-+=(22e 31∴=+1∴ 故选：C ．点评：本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：222c a b =+注意与椭圆的区别．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）正视图侧视图俯视图A ．64B ．72C ．80D ．112 答案：B考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题．分析：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可解答：解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为3464=，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积21143832⨯⨯⨯=，故该几何体的体积是64872+=． 故选B ．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．11．已知平面图形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，则四边形ABCD 面积S 的最大值为（ ） A．C．D．答案：B考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：设AC x =，在ABC △和ACD △中，由余弦定理可得，15cos 8cos 7D B -=，再由三角形的面积公式可得8sin 15sin 2B D S +=，两式两边平方结合两角和的余弦公式和余弦函数的值域，即可求得最大值．解答：解：设AC x =，在ABC △中，由余弦定理可得， 22224224cos 2016cos x B B =+-⨯⨯=-，在ACD △中，由余弦定理可得，22235235cos 3430cos x D D =+-⨯⨯=-， 即有15cos 8cos 7D B -=，又四边形ABCD 面积1124sin 35sin 22S B D =⨯⨯+⨯⨯()18sin 15sin 2B D =+， 即有8sin 15sin 2B D S +=，又15cos 8cos 7D B -=，两式两边平方可得，()264225240sin sin cos cos 494B D B D s ++-=+， 化简可得， ()2240cos 4240B D S -+=-， 由于()1cos 1B D -+≤≤，即有S ≤． 当()cos 1B D +=-即πB D +=时，24240240S -=，解得S =S的最大值为 故选B ．点评：本题考查三角形的面积公式和余弦定理的运用，同时考查两角和的余弦公式的运用和余弦函数的最值的求法，属于中档题．12．已知函数()2ln ,041,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++⎪⎩≤，若关于x 的方程()()()20,f x bf x c b c -+=∈R 有8个不同的实数根，则由点(),b c 确定的平面区域的面积为（ ）A ．16 B ．13 C ．12 D ．23 答案：A考点：分段函数的应用． 专题：函数的性质及应用．分析：题中原方程()()20f x bf x c -+=有8个不同实数解，即要求对应于()f x =某个常数K ，有2个不同的K ，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x 与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出()f x 的简图，由图可知，只有满足条件的K 在开区间()0,1时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案． 解答：解：根据题意作出()f x 的简图：由图象可得当()(]0,1f x ∈时，有四个不同的x 与()f x 对应．再结合题中“方程()()20f x bf x c -+=有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k 的方程20k bx c -+=有两个不同的实数根1K 、2K ，且1K 和2K 均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：2224001200010b c b b c b c ⎧->⎪⎪<<⎪⎨⎪-⨯+>⎪⎪-+⎩≥，化简得2410002b c b c c b ⎧<⎪⎪⎪-+⎨⎪>⎪<<⎪⎩≥， 此不等式组表示的区域如图：则图中阴影部分的面积即为答案，由定积分的知识得22011111426S b db ⎛⎫=-⨯⨯= ⎪⎝⎭⎰ 故选：A点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查定积分等知识，较为综合；采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解． 二、填空题：13．已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，2a =，1b =，则a b +=．考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用．分析：运用数量积的定义求解得出2πcos 3a b a b ⋅=⋅，结合向量的运算，与模的运算转化：()22222a b a ba b a b +=+=++⋅，代入数据求解即可．解答：解：平面向量a ，b 的夹角为2π3，2a =，1b =， 2π1cos=21132a b a b ⎛⎫∴⋅=⋅⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， ()222224123a b a ba b a b ∴+=+=++⋅=+-=，即3a b +=．故答案为：点评：本题考查了平面向量的数量积的运用，应用求解向量的模，计算简单，属于容易题．14．将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为 ． 答案：8考点：计数原理的应用． 专题：计算题．分析：分法包括两种情况：两个班分别为1人和3人，两个班各2个人，据此解答．解答：解：每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，设两个班为1班和2班， ∴分法包括两种情况：两个班分别为1人和3人，两个班各2个人， 若两个班分别为1人和3人，则1人只能为甲或乙，单独的1人可以在1班或2班，因此分法为：224⨯=，若两个班各2个人，则为总的分法减去甲乙在同一个班（都在1班或都在2班）的情况，即分法为：24C 24-=，因此不同的分法的总数为：448+=． 故答案为：8．点评：本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题．15.设过曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 ．答案：[]1,2-考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：求出函数()e x f x x =--的导函数，进一步求得()10,1e 1x ∈+，再求出()g x 的导函数的范围，然后把过曲线()e xf x x =--上任意一点的切线为1l ，总存在过曲线()2cosg x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥转化为集合间的关系求解．解答：解：由()e x f x x =--，得()'e 1x f x =--，e 11x +>，()10,1e 1x∴∈+， 由()2cos g x ax x =+，得()'2sin g x a x =-， 又[]2sin 2,2x -∈-，[]2sin 2,2a x a a ∴-∈-++， 要使过曲线()e x f x x =--上任意一点的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥， 则2021a a -+⎧⎨+⎩≤≥，解得12a -≤≤． 即a 的取值范围为12a -≤≤． 故答案为： []1,2-．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，设P 为椭圆上一点，12F PF ∠的外角平分线所在的直线为l ，过1F ，2F 分别作l 的垂线，垂足分别为R ，S ，当P 在椭圆上运动时，R ，S 所形成的图形的面积为 ． 答案：2πa考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：延长2F S 交1F P 的延长线于Q ，可证得2PQ PF =，且S 是2PF 的中点，由此可求得OS 的长度是定值，即可求点S 的轨迹的几何特征．解答：解：由题意，P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为S ，延长2F S 交1F P 的延长线于Q ，得2PQ PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PQ QF a +==， 连接OS ，知OS 是三角形12F F Q 的中位线，OS a ∴=，即点SM 到原点的距离是定值a ，由此知点S 的轨迹是以原点为圆心、半径等于a 的圆． 同理可得，点R 的轨迹是以原点为圆心、半径等于a 的圆． 故点R ，S 所形成的图形的面积为2πa ．点评：本题考查求轨迹方程，关键是证出OS 是中位线以及利用题设中所给的图形的几何特征求出1QF 的长度，进而求出OS 的长度，再利用圆的定义得出点M 的轨迹是一个圆，属于难题． 三、解答题：17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()11N ,1n n a S n λλ+=+∈≠-*，且1a 、22a 、33a +为等差数列{}n b 的前三项．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和． 考点：数列的求和；数列递推式． 专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由()11N ,1n n a S n λλ+=+∈≠-*，当2n ≥时，11n n a S λ-=+，可得()11n n a a λ+=+，利用等比数列的通项公式可得3a ，再利用等差数列的通项公式即可得出； （2）利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可得出． 解答：解：（1）()11N ,1n n a S n λλ+=+∈≠-*，∴当2n ≥时，11n n a S λ-=+，1n n n a a a λ+∴-=，即()11n n a a λ+=+，又11a =，2111a a λλ=+=+，∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，()231a λ∴=+， 1a 、22a 、33a +为等差数列{}n b 的前三项．()()241113λλ∴+=+++，整理得()210λ-=，解得1λ=． 12n n a -∴=，()13132nb n n =+-=-．（2）()1322n n n a b n -=-⋅，∴数列{}n n a b 的前n 项和()2114272322n n T n -=+⨯+⨯++-⋅， ()()231224272352322n n n T n n -=+⨯+⨯++-⨯+-⨯，()()()()121221132323232213322532521n n nn n n T n n n --⨯-∴-=+⨯+⨯+⨯--⨯=+⨯--⨯=-⨯--()3525n n T n ∴=-⨯+．点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．集成电路E 由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为12，12，23，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E 所需费用为100元． （Ⅰ）求集成电路E 需要维修的概率； （Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E 组成，设X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X 的分布列和期望．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差． 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得3个元件都不能正常工作的概率1P 的值，3个元件中的2个不能正常工作的概率2P 的值，再把1P 和2P 相加，即得所求．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从52,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得()()100P X P k ξξ===的值，可得X 的分布列，从而求得X 的期望．解答：解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A ，B ，C ，则()12P A =，()12P B =，()23P C =．依题意，集成电路E 需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为()()()()1111122312P P ABC P A P B P C ===⨯⨯=． ②3个元件中的2个不能正常工作，概率为()()()211111111212232232233P P ABC P ABC P ABC ++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以，集成电路E 需要维修的概率为1211512312P P +=+=． （Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从52,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而100X ξ=，()()2257100C 1212k kk P X P k ξξ-⎛⎫⎛⎫====⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2k =．010*******721443EX ∴=⨯+⨯+⨯=． 点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的分布列，属于中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，AP AD AB ==BC t =，PAB PAD α∠=∠=．（Ⅰ）当t =PA 上确定一个点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时AEEP的值；（Ⅱ）当60α=︒时，若平面PAB ⊥平面PCD ，求此时棱BC 的长．BAPDC考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质． 专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）在棱PA 上取点E ，使得13AE EP =，连接AC ，BD 交于点F ，证明EF PC ∥，即可证明PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）取BC 上一点G 使得BG =DG ，则ABGD 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ．连结OA ，OB ，OD ，OG ，以O 坐标原点，分别以OG ,OB ,OF 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量()π1,1,1=-、同平面PCD 的法向量21,1,1n t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，由0m n ⋅=，解得BC 的长． 解答：解：（1）在棱PA 上取点E ，使得13AE EP =，连接AC ，BD 交于点F ，因为AD BC ∥，所以12AF AD FC BC ==，所以AE AFEP AC=，所以，EF PC ∥ 因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE 所以PC ∥平面BDE（Ⅱ）取BC 上一点G 使得BG =DG ，则ABGD 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ．连结OA ，OB ，OD ，OG ． AP AD AB ==，60PAB PAD ∠=∠=︒，所以PAB △和PAD △都是等边三角形，因此PA PB PD ==， 所以OA OB OD ==，即点O 为正方形ABGD 对角线的交点，以O 坐标原点，分别以OG ,OB ,OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．则()0,0,0O ，()0,0,1P ，()1,0,0A -，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()1,0,0G设棱BC 的长为t ，则,1,0C ⎫⎪⎪⎝⎭， ()1,0,1PA =--，()0,1,1PB =-，2,1,1PC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()0,1,1PD =--设平面PAB 的法向量为()π,,x y z =，则 00x z y z --=⎧⎨-=⎩，取()π1,1,1=- 同理平面PCD 的法向量21,1,1n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭由0m n ⋅=，解得t =BC 的长为点评：本题主要考查了线面平行的判定定理及性质，考查向量方法的运用，正确建立坐标系，求出平面的法向量是关键．20．在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭且与直线12x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）设P 是曲线E 的动点，点B 、C 在y 轴上，PBC △的内切圆的方程为()2211x y -+=，求PBC △面积的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（Ⅰ）运用抛物线的定义，可得轨迹为抛物线，进而得到方程；（Ⅱ）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ，求得直线PB 的方程，运用直线和圆相切的条件：d r =，求得b ，c 的关系，求得PBC △的面积，结合基本不等式，即可得到最小值．解答：解：（Ⅰ）由题意可知圆心到1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离等于到直线12x =-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：22y x =． （Ⅱ）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ， 直线PB 的方程为：()0000y b x x y x b --+=， 又圆心()1,0到PB 的距离为11=，整理得：()2000220x b y b x -+-=，同理可得：()2000220x c y c x -+-=，所以，可知b ，c 是方程()2000220x x y x x -+-=的两根，所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，依题意0bc <，即02x >， 则()()222000204482x y x c b x +--=-，因为2002y x =，所以：0022x b c x -=- 所以()0001424822S b c x x x =-⋅=-++-≥ 当04x =时上式取得等号，所以PBC △面积最小值为8．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和圆相切的条件：d r =，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．已知函数()22ln f x x a x x=++．（Ⅰ）若()f x 在区间[]2,3上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设()f x 的导函数()'f x 的图象为曲线C ，曲线C 上的不同两点()11,A x y 、()22,B x y 所在直线的斜率为k ，求证：当a ≤4时，1k >．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由函数单调性，知其导函数0≥在[]2,3上恒成立，将问题转化为()222g x x x=-在[]2,3上单调递减即可求得结果；（2）根据题意，将()()12''f x f x -写成()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-利用不等式的性质证明()12221212221x x ax x x x ++->，所以()()1212''f x f x x x ->-，即得1k >． 解答：解：（1）由()22ln f x x a x x =++，得()22'2a f x x x x=-+． 因为()f x 在区间[]2,3上单调递增，所以()22'20af x x x x =-+≥在[]2,3上恒成立，即222a x x -≥在[]2,3上恒成立， 设()222g x x x =-，则()22'40g x x x=--<，所以()g x 在[]2,3上单调递减，故()()max 27g x g ==-，所以7a -≥； （2）对于任意两个不相等的正数1x 、2x 有 ()121212122x x x x x x x x ++>+12x x =≥4.5a =>>，()12221212221x x ax x x x +∴+->， 而()22'2a f x x x x=-+， ()()121222112222''22a a f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12121222121222x x ax x x x x x x x +=-⋅+->-， 故：()()1212''f x f x x x ->-，即()()1212''1f x f x x x ->-，∴当4a ≤时，1k >．点评：本题考查导数及基本不等式的应用，解题的关键是利用不等式得到函数值的差的绝对值要大于自变量的差的绝对值．四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，已知O 和M 相交于A 、B 两点，AD 为M 的直径，直线BD 交O 于点C ，点G 为BD 中点，连接AG 分别交O 、BD 于点E 、F 连接CE ． （1）求证：AG EF CE GD ⋅=⋅；（2）求证：22GF EF AG CE =．考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段． 专题：证明题；压轴题． 分析：（1）要证明AG EF CE GD ⋅=⋅我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．（2）由（1）的推理过程，我们易得DAG GDF ∠=∠，又由公共角G ∠，故DFG AGD △∽△，易得2DG AG GF =⋅，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论． 解答： 证明：（1）连接AB ，AC ，AD 为M 的直径，90ABD ∴∠=︒，AC ∴为O 的直径，CEF AGD ∴∠=∠， DFG CFE ∠=∠，ECF GDF ∴∠=∠， G 为弧BD 中点，DAG GDF ∴∠=∠， ECB BAG ∠=∠，DAG ECF ∴∠=∠，CEF AGD ∴△∽△， CE AGEF GD∴=，AG EF CE GD ∴⋅=⋅ （2）由（1）知DAG GDF ∠=∠，G G ∠=∠，DFG AGD ∴△∽△，2DG AG GF ∴=⋅,由（1）知2222EF GD CE AG =，22GF EF AG CE ∴=. 点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线1C 的参数方程为2cosx y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）分别写出1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M 、N 分别为曲线1C 的上、下顶点，点P 为曲线2C 上任意一点，求PM PN +的最大值． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）根据题意和平方关系求出曲线1C 的普通方程，由222x y ρ=+和题意求出2C 的直角坐标方程；（2）方法一：求出曲线2C 参数方程，设P 点的参数坐标，求出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式求出PM PN +并化简，再化简()2PM PN +，利用正弦函数的最值求出()2PM PN +的最值，即可求出PM PN +的最大值；方法二：设P 点坐标为(),x y ，则224x y +=，求出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式求出PM PN +并化简，再化简()2PM PN +，再求出()2PM PN +的最值，即可求出PM PN +的最大值．解答：解：（1）因为曲线1C 的参数方程为2cosx y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为22143x y +=，…由曲线2C 的极坐标方程为2ρ=得， 曲线2C 的普通方程为224x y +=；…（2）方法一：由曲线222:4C x y +=，可得其参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，所以P 点坐标为()2cos ,2sin αα，由题意可知(0,M ，(0,N ．因此PM PN +==则()214PM PN +=+ 所以当sin 0α=时，()2PM PN +有最大值28，因此PM PN +的最大值为方法二：设P 点坐标为(),x y ，则224x y +=，由题意可知(0,M ，(0,N ．因此PM PN +=则()214PM PN +=+ 所以当0y =时，()2PM PN +有最大值28,因此PM PN +的最大值为点评：本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，两点间的距离公式，以及求最值问题，考查化简、计算能力．四、请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数()f x =R ．（Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．考点：基本不等式；函数的定义域及其求法． 专题：不等式的解法及应用． 分析：（1）由函数定义域为R ，可得130x x m ++--≥恒成立，设函数()13g x x x =++-，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知4n =，变形()12174622432a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++⎝⎭，利用基本不等式的性质即可得出． 解答：解：（1）函数定义域为R ，130x x m ∴++--≥恒成立， 设函数()13g x x x =++-，则m 不大于函数()g x 的最小值，又()()13134x x x x ++-+--=≥，即()g x 的最小值为4，m ∴≤4． （2）由（1）知4n =，()()()23221211746225432423a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫∴+=++++=++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭195244⎛+⨯= ⎝≥, 当且仅当23a b a b +=+，即3210b a ==时取等号． 74a b ∴+的最小值为94． 点评：本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
河北省石家庄市2015届高三下学期二模考试数学(理)试题(含答案)
X
的分布列，期望 E（X）和方程 D（ X）
19、（本小题满分 12 分）
已知 PA 平面 ABCD ,CD AD , BA AD ,CD AD AP 4, AB 1 。 （ 1）求证： CD 平面 ADP ； （ 2） M为线段 CP上的点，当 BM AC 时，求二面角 C AB M 的余弦值。
11
1
．1
2 32 432
11
1
1
．1
2 32 4 32 5 432
9、在平面直角坐标系中，角
的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半
轴重合，终边过点 P(sin ,cos ) ，则 sin(2
)
88
12
A． 3 2
B ．3 2
1
C．
2
D ．1 2
10、在四面体 S-ABC中， SA 平面 ABC, BAC 120 , SA AC 2, AB 1，
如图： O 的直径 AB 的延长线于弦 CD的延长线相交于 点 P， E 为 O 上一点， AE AC, DE 交 AB 于点 F。 （ 1）求证： O , C , D , F 四点共圆； （ 2）求证： PF PO PA PB .
23、（本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
若将日均课外阅
读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书谜” ，低于 60 分钟的学生称为“非读书谜”
（ 1）根据已知条件完成下面 2 2 的列联表，并据此判断是否有
与性别有关？
99%的把握认为“读书谜”
（ 2）将频率视为概率， 现在从该校大量学生中， 用随机抽样的方法每次抽取 1 人，共抽取
3 次，记被抽取的 3 人中的“读书谜”的人数为 X，若每次抽取的结果是相互独立的，求
河北省石家庄市2015届高三第二次模拟考试数学(理)试卷(扫描版答案Word版)
2015年石家庄市高三数学第二次模拟考试 （理科答案） 选择题： 1-5 CCAAB 6-10 AABAD 11-12 DB 填空题： 13. 14. 15 16. 三、解答题： 17.解: （） …………………………1分…………………………3分 ∴…………………………5分…………………………6分(Ⅱ) 由得 a c ＝…………………………8分. 由得b2＝a2＋c2ac…………………10分…………………………12分 18．解（1）完成下面的列联表非读书迷读书迷合计男40 15 55 女20 25 45 合计 60 40 100 ……………… 3分 ≈8.249 8.249 > 6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关。
...……………..6分 （2）视频率为概率.从该中抽取1名（i=0，1，2，3）………………8分 从而分布列为 X 0 1 2 3 P .……………… 10分 E(x)=np=(或0.6)，D(x)=np(1-p）……………… 12分 19.（1）证明： 因为PA⊥平面ABCD，PA平面ADP， 所以平面ADP⊥平面ABCD. …………………………………………2分 又因为平面ADP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD， 所以CD⊥平面ADP. ……………………………………………………4分 （2）AD，AP，AB两两垂直，建立如图所示空间坐标系， 则A（0，0，0），B（0，0，1）， C（4，0，4），P（0，4，0），则，，，.………………………………6分 设M（x, y , z), ，则. 所以，， ，. 因为BM⊥AC，所以，，解得， 所以M，. …………………………………………8分 设为平面ABM的法向量， 则，又因为， 所以. 令得为平面ABM的一个法向量. 又因为AP⊥平面ABC，所以为平面ABC的一个法向量.…………………10分 ， 所以二面角C—AB—M的余弦值为.…………………………12分 法2： 在平面ABCD内过点B作BH⊥AC于H， 在平面ACP内过点H作HM∥AP交PC于点M，连接MB ………6分， 因为AP⊥平面ABCD， 所以HM⊥平面ABCD. 又因为AC平面ABCD， 所以HM⊥AC. 又BH∩HM=H, BH平面BHM，HM平面BHM， 所以AC⊥平面BHM. 所以AC⊥BM，点M即为所求点. …………………………………………8分 在直角中，AH=， 又AC=，所以. 又HM∥AP，所以在中，. 在平面PCD内过点M作MN∥CD交DP于点N，则在中， . 因为AB∥CD，所以MN∥BA. 连接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP. 所以AB⊥AD，AB⊥AN. 所以∠DAN为二面角C—AB—M的平面角.………………………10分 在中，过点N作NS∥PA交DA于S，则， 所以AS=，，所以NA=. 所以. 所以二面角C—AB—M的余弦值为. …………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）由题意得，解得，． 所以椭圆的方程是． 4分（Ⅱ）直线的方程设为，联立消去 则有，； …………… 6分的中点为，则， 因为直线于直线得 ………… 8分 因为所以, 所以，由点到直线距离公式和弦长公式可得， ………10分和解得 ， 直线或. ………… 12分（Ⅱ）直线的为，， 所以，， 由题意式式得 又因为直线与直线 由解得 …………… 6分所以, 所以， ………8分 设直线的方程设为，联立消去 ， ………10分，解得，满足. ，由得直线或. ……… 12分（）. 若，则恒成立，所以，在区间上单调递增. 若，当时，，在上单调递增. 时，的增区间为；当时，的增区间为 . ........................................................ 4分 （）由于，所以， 时， ————①......6分 令，则 函数在上单调递增，而 所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点. 设此零点为，则.当时，；当时，； 所以，在上的最小值为.由可得 所以，由于式等价于. 故整数的最大值为2. 22．解析：（1）连接，， 因为，所以，.................2分 又因为， 则， 所以四点共圆.………………5分 （2）因为和是的两条割线， 所以，……………7分 因为四点共圆, 所以，又因为， 则∽， 所以，即 则.………………10分 23．解析：（1）将直线（为参数）消去参数，化为普通方程，……………………2分 将代入得.…………4分 （2）方法一：的普通方程为.………………6分 由解得：或………………8分 所以与交点的极坐标分别为：，.………………10分 方法二：由，……………6分 得：，又因为………………8分 所以或 所以与交点的极坐标分别为：，.………………10分 24．解析：（1）当时， 无解， ， ………………………3分 综上，不等式的解集为.………………5分 （2），转化为 令， 因为a>0,所以， ………………8分 在a>0下易得,令得………………10分 y x z。
河北省石家庄市2015届高三下学期二模考试数学(理)试题-Word版含答案
2015届石家庄高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合21{|log ,1},{|,2}U y y x x P y y x x==>==>，则U C P = A ．1(0,)2 B ．(0,)+∞ C ．1[,)2+∞ D ．1(,0)[,)2-∞+∞2、下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是A ．2xy -= B ．tan y x = C ．3y x = D ．3log y x = 3、已知复数z 满足2015(1)i z i --(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为A ．12 B ．12- C ．12i D ．12i - 4、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32175,2S a a a =+=，则5a = A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 5、设变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为A ．6B ．7C ．8D ．23 6、投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为 A ．536 B ．16 C ．215 D ．112 7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．103 B ．53 C ．203D ．4 8、执行右下方的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S 的值为A ．1111234+++ B ．1111232432+++⨯⨯⨯ C ．111112345++++ D ．111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 9、在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(sin,cos )88P ππ，则sin(2)12πα-=A B ．．12 D ．12- 10、在四面体S-ABC 中，SA ⊥平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠====， 则该四面体的外接球的表面积为 A ．11π B ．7π C ．103π D ．403π11、已知F 是抛物线24x y =的焦点，直线1y kx =-与该抛物线交于第一象限 内的零点,A B ，若3AF FB =，则k 的值是A ．2 C ．3 D ．312、设函数()()2212,2(),,0,1,2,,9999i if x x f x x x a i ==-==，记1021|()()||()()|k k k k k S f a f a f a f a =-+- 9998|()()|,1,2k k f a f a k ++-=，则下列结论正确的是A ．121S S =<B ．121S S =>C ．121S S >>D ．121S S <<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
(推荐)河北省石家庄市2015届高三复习教学质量检测二数学理
石家庄市2015届高三复习教学质量检测(二)高三数学（理科）(时间120分钟，满分150分) 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷(选择题，60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数iiz 42+=(i 为虚数单位)对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是A ．11a b-<- B ．2ab b < C ．2ab a -<- D ．b a < 3．某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算069.7=k ，则认为“学生性别与支持活动有关系”的犯错误的概率不超过A ．0.1%B ．1%C ．99%D ．99.9% 附：4．已知实数,x y 满足条件11y xx y x ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．3B ．2C ．32D ．0 5．运行如图所示的程序框图，如果输出的(2,2]t ∈-，则输入x 的范围是A ．[4,2]-B ．(4,2]-C ．[2,4]-D ．(2,4]-6．已知等差数列{}n a 中，100720144,2014a S ==，则2015S =A ．2015-B ．2015C ．4030-D ．40307．一排有6个座位，三个同学随机就坐，任何两人不相邻的坐法种数为 A ．120 B ．36 C ．24 D ．728．若圆222)1()5(r y x =-+-上有且仅有两点到直线0234=++y x 的距离等于1，则r 的取值范围为A ．[4,6]B ．(4,6)C ．[5,7]D ．(5,7)9．函数⎩⎨⎧∈-∈=]2,1[,24)1,0[,2)(x x x x f x ，若23)(0≤x f ，则0x 的取值范围是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛45,23log 2B ．2350,log ,24⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4523log ,02D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛2,451,23log 2 10．某几何体的三视图如图所示（网格中的小正方形边长为1），则该几何体的表面积为 A ．623+ B ．442+ C ．24223+ D ．423+11.已知函数()f x 的定义域为2(43,32)a a --，且(23)y f x =-是偶函数．又321()24x g x x ax =+++，存在0x 1(,),2k k k Z ∈+∈，使得00)(x x g =，则满足条件的k 的个数为A ．3B ．2C ．4D ．112．已知定义在R 上的函数()f x 满足：21)()()1(2+-=+x f x f x f ，数列{}n a 满足 *2),()(N n n f n f a n ∈-=，若其前n 项和为1635-，则n 的值为 A ．16 B ．17 C ．18 D ．19第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．双曲线2241x y -=的渐近线方程为_____. 14．已知212(1)4k dx ≤+≤⎰，则实数k 的取值范围是_____.15．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，2=AB ，3=AC ，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=________.16．三棱锥中有四条棱长为4，两条棱长为a ，则a 的取值范围为_____.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边长，且222cos ()a bc A b c -=+. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1,2B C b +==，试求ABC ∆的面积． 18.（本小题满分12分）我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表：我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A 类天，101--200时称作B 类天，大于200时称作C 类天．下图是某市2014年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本，其茎叶图如下：（百位为茎，十、个位为叶）80907873635267934738386730121290683243210（Ⅰ）从这18天中任取3天，求至少含2个A 类天的概率；（Ⅱ）从这18天中任取3天，记X 是达到A 类或B 类天的天数，求X 的分布列及数学期望． 19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A AB =，90ABC ∠=︒，侧面11A ABB ⊥底面ABC ． （I ）求证：1AB ⊥平面1A BC ；（II ）若5AC =，3BC =，160A AB ∠=︒，求二面角11B A C C --的余弦值．B 1C 120.（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)4x y C b b b+=>，抛物线22:4()C x y b =-．过点(01)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线2C 在第一象限的交点为G ，且该抛物线在点G 处的切线经过坐标原点O ．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx =与椭圆1C 相交于两点C 、D 两点，其中点C 在第一象限，点A 为椭圆1C 的右顶点，求四边形ACFD 面积的最大值及此时l 的方程． 21.（本小题满分12分） 已知21()ln ,2f x x x mx x m R =--∈． (Ⅰ)当2m =-时，求函数()f x 的所有零点；(Ⅱ)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：212x x e >(e 为自然对数的底数).请考生在22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.几何证明选讲（本小题满分10分）如图：已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B C 、，APC ∠的平分线分别交AB AC 、于点D E 、，.点G 是线段ED 的中点,AG 的延长线与CP 相交于点F ． （Ⅰ）证明：AF ED ⊥；（Ⅱ）当F 恰为PC 的中点时，求PCPB的值.C23．坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24(4x t y t⎧=⎨=⎩其中t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线2C 的极坐标方程为cos()42πρθ+=．(Ⅰ)把曲线1C 的方程化为普通方程，2C 的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C ，2C 相交于B A ,两点，AB 的中点为P ，过点P 做曲线2C 的垂线交曲线1C 于F E ,两点，求PE PF ⋅.24.不等式选讲（本小题满分10分） 已知1()33f x x x a a=++-. (Ⅰ)若1a ，求8)(≥x f 的解集；（Ⅱ）对任意()+∞∈,0a ，任意R x ∈，()m x f ≥恒成立，求实数m 的最大值.2014-2015学年度高三数学质检二答案（理科）一、 选择题1-5 DABAD 6-10 CCBCB 11-12 AB 二、填空13. 20x y ±= 14. ［1，3］ 15 -1016. ()2262,0+ 注意：此题如果写成(也可以 三、解答题（解答题如果和标准答案不一样，可依据本标准酌情给分） 17．解：（Ⅰ）∵222cos ()a bc A b c -=+， 又根据余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，∴22222cos 2cos 2b c bc A bc A b bc c +--=++，…………………………2分 化简得4cos 2bc A bc -=，可得1cos 2A =-， ……………………………………………………………………4分 ∵0A π<<，∴23A π=.……………………………………………………………………5分（Ⅱ）∵1sin sin =+C B ， ∴1)3sin(sin =-+B B π，∴1sin 3cos cos 3sin sin =-+B B B ππ， ∴1sin 3cos cos 3sin=+B B ππ，∴1)3sin(=+πB ， ……………………………………………………………………8分又∵B 为三角形内角， 故6B C π==,所以2==c b ， ……………………………………………………………………………10分所以3sin 21==∆A bc S ABC . …………………………………………………………12分18. 解：（Ⅰ） 从这18天中任取3天，取法种数有 318816C =，3天中至少有2个A 类天的取法种数213315346C C C += ， ..... . (2)分所以这3天至少有2个A 类天的概率为23408； .............................. ..4分 （Ⅱ）X 的一切可能的取值是3,2,1,0. ……………… 5分当X=3时，1027)3(31838===C C X P …………………… 6分当X=2时，10235)2(31811028===C C C X P …………………… 7分 当X=1时，341510245)1(31821018====C C C X P ……………… 8分 当X=0时，34510215)0(318310====C C X P …………… 9分数学期望为34102136102457021==++ ． ……………12分19.解：（Ⅰ）证明：在侧面A 1ABB 1中，因为A 1A=AB ，所以四边形A 1ABB 1为菱形，所以对角线AB 1⊥A 1B ，…………………………………2分因为侧面A 1ABB 1⊥底面ABC ，∠ABC=900，所以CB ⊥侧面A 1ABB 1， 因为AB 1⊂平面A 1ABB 1内，所以CB ⊥AB 1，…………………………4分又因为A 1B ∩BC=B ，所以AB 1⊥平面A 1BC ． …………………………………6分 （Ⅱ）在Rt △ABC 中, AC=5, BC=3, 所以AB=4,又菱形A 1ABB 1中,因为∠A 1AB=600，所以△A 1AB 为正三角形, 如图，以菱形A 1ABB 1的对角线交点O 为坐标原点OA 1方向为x 轴，OA方向为y 轴，过O 且与BC 平行的方向为z 轴建立如图空间直角坐标系，则1(2,0,0)A ，(2,0,0)B -，(2,0,3)C -，1(0,B -，1(0,C -，所以1(C C =-，113)C A =-，设(,,)n x y z =为平面11ACC 的法向量，则1110n C C n C A ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以20230x x z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，令3x =，得(3,3,4)n =为平面11ACC 的一个法向量，…………………………………9分 又1(0,OB =-为平面1A BC 的一个法向量，111cos ,142723n OB n OB n OB <>===-，……………………………11分所以二面角B —A 1C —C 1的余弦值为14-． (12)分 法2：在平面BC A 1中过点O 作OH ⊥C A 1于H ，连接AH ，则C A 1⊥平面AOH ，所以∠AHO 即为二面角B —A 1C —A 的平面角，BCA 1C 1B 1OH……………………………………………………8分 在△BC A 1中5611=⋅=C A BC O A OH ，又Rt △AOH 中32=AO ，所以521422=+=OH AO AH ， 所以1421cos =∠AHO ，………………………………………………………………11分 因为二面角B —A 1C —C 1与二面角B —A 1C —A 互补，所以二面角B —A 1C —C 1的余弦值为二面角B —A 1C —A 的余弦值的相反数， 则二面角B —A 1C —C 1的余弦值为1421-．………………………………12分 20.解：（Ⅰ）由24()x y b =-得214y x b =+，当1y b =+得2x =±， ∴ G 点的坐标为(2,1)b +，则1'2y x =，2'|1x y ==，过点G 的切线方程为(1)2y b x -+=-即1y x b =+-，………………………2分 令0y =得10x b =-=，∴ 1b =。
河北省2015届高三数学教学质量监测试卷 理(一)
河北省“五个一名校联盟” 2015届高三教学质量监测（一）数学（理科）试卷（满分：150分，测试时间：120分钟） 第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}0232<+-=x x x A ，{}822<<=xx B ，则 （ ）A.B A =B.B A ⊆C.B A ⊇D.∅=⋂B A2．已知复数iz 2321+-=，则 =+||z z （ ）A.i 2321--B.i 2321+-C. i 2321+D. i 2321-3．已知113::<+≥x q k x p ，，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是 （ ） A. ),2[+∞B. ),2(+∞C. ),1[+∞D. ]1,(--∞4．在等差数列{}n a 中，9a =12162a +,则数列{}n a 的前11项和11S = （ ）A ．24B ．48C ．66D ．1325．在154)212(+x 的展开式中，系数是有理数的项共有 （ ）A.4项B.5项C.6项D.7项6．b a ,2,1==b 且a b a ⊥+)(，则a 与b 的夹角为（ ）A.30 B.60 C.120 D.1507．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 （ ） A.36种 B. 30种 C. 24种 D. 6种8．如图给出的是计算1111352013+++的值的一个程序框图，则判断框内应填人的条件是 （ ）A ．1006≤iB ．1006>iC ．1007≤iD ．1007>i9．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的取值范围是（ ）A. B. C. ( 1 , 16 ) D.10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示， 则该几何体的外接球半径为 （ ） A. B.C. D.11．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是 （ ）开始,1==s i 否结束输出s是121-+=i s s 1+=i i 5 5 6 5 56626俯视图 侧视图A. 2B. 4C. 3D.612．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n nS a n n =⨯+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则=+)()(65a f a f ( )．A ．3-B ．2-C ．3D ．2第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分 。
河北省石家庄市2015届高三一模考试数学试题(理科扫描版)
p
0 100 200
49 144
35 72
25 144
………………10 分
49 35 25 250 100 200 144 72 144 3 5 250 或 EX 100 E 100 2 . 12 3 EX 0
…………12 分
因为 EF ∥ PC , 所以
AE AF 1 = . -------------4 EP FC 3
证明二 在棱 PA 上取点 E ，使得 连接 AC，BD 交于点 F ,
AE 1 ,------------2 EP 3
因为AD ∥ BC,
AF AD 1 , FC BC 2 AE AF 所以 , EP FC 所以
所以， EF ∥ PC 因为 PC 平面 BDE ， EF
平面 BDE
所以 PC ∥平面 BDE -------------4 (2)取 BC 上一点 G 使得 BG 2, 连结 DG ,则 ABGD 为正方形. 过 P 作 PO ⊥平面 ABCD ,垂足为 O . 连结 OA, OB, OD, OG .
2
2 2 ∴ 4( 1) 1 ( 1) 3 ，整理得 2 1 0 ，得 1 ……………………4 分
∴ an 2
n 1
， bn 1 3(n 1) 3n 2 ………………………………………………6 分
解法 2：∵ a1 1, an1 Sn 1(n N ), ∴ a2 S1 1 1, a3 S2 1 (1 1) 1 2 1,
n
( ) , pB () 18 解： （Ⅰ） 三个电子元件能正常工作分别记为事件 A, B, C ， 则 pA
河北省石家庄市五校联合体2015届高三基础知识摸底考试数学(理)试题 Word版含答案
高三基础知识摸底考试数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
第I 卷一、选择题（每小题5分，共计60分）1、已知集合{}|13A x x =-≤≤，集合1|0B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则AB =（ ）A . {}|10x x -<<B . {}|10x x -≤<C . {}|0x x <D . {}|3x x ≤ 2、若各项均为正数的等比数列{}n a 满足23751,56,a a a a =-=其前n 项的和为n S ，则5S =（ ）A .31B .292 C . 312D .以上都不对 3、“2a =-”是“直线()12:30:2140l ax y l x a y -+=-++=与互相平行”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件 4、若抛物线2y ax =的准线的方程是2y =，则实数a 的值是（ ）A . 18B . 18- C . 8 D .8-5、若定义在R 上的偶函数()y f x =是[)0,+∞上的递增函数，则不等式()()2log 1f x f <-的解集是（ ）A . 1,22⎛⎫⎪⎝⎭ B . ()(),22,-∞-+∞ C . R D .()2,2-6、计算()221cos x dx ππ--⎰=（ ）A .2π+B . 2π-C .πD . 2-7、某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ）ABCD 8、将函数()y f x =的图象按向量,212a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后，得到函数()sin 226g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，则函数()f x 的解析式为（ ）.sin 2A y x =.B sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.sin 212C y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.sin 212D y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9、已知不等式组0,360,60,x y k x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域恰好被圆C ：()()22233x y r -+-=所覆盖，则实数k 的值是（ ）A . 3B .4C .5D .610、直线l：(y k x =与曲线()2210x y x -=>相交于A 、B 两点，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ）A . [)0,πB . 3,,4224ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C .0,,22πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ D .3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭11、设()()()()lg 1,0,,f x x a b f a f b =-<<=若且则ab 的取值范围是（ ）[].1,2A ().1,2B ().4,C +∞ ().2,D +∞ 12、已知函数()122,0,log ,0.x a x f x x x ⎧⋅≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是（ ）().,0A -∞ ().0,1B ()().,00,1C -∞ ()().0,11,D +∞二、填空题（每小题5分，共计20分）13、函数()x f x xe =在点()()1,1f 处的切线的斜率是 .14、数列2141n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭()n N *∈的前n 项的和n S = .15、在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 .○1函数3231y x x =-+的图象关于点()0,1成中心对称； ○2对,,x y R ∀∈若0x y +≠，则1,1x y ≠≠-或； ○3若实数,x y 满足221,x y +=则2yx +；○4若ABC ∆为钝角三角形，则sin cos .A B < 16、在ABC ∆中，16,7,cos ,5AC BC A O ABC ===∆是的内心，若OP xOA yOB =+01,01x y ≤≤≤≤其中，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为 .三、解答题（17题10分，其它各题均为12分，共计70分） 17、已知函数()()22sin cos 2cos .f x x x x =++（1）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的递减区间.18、在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3,4a b ==，.2B A π=+（1）求cos B 的值； （2）求sin 2sin A C +的值. 19、已知数列{}n a 满足()111,0.3nn na a n N a a *++=∈=-且 （1）求23,a a 的值；（2）是否存在一个实常数λ，使得数列1n a λ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，请说明理由. 20、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=E 、F 分别是PB 、CD 的中点，且4PB PC PD ===. （1）求证：PA ABCD ⊥平面；（2）求证：//EF 平面PAD ; （3）求二面角A PB C --的余弦值.21、已知椭圆的两个焦点坐标分别是()),，并且经过点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为k 的直线l 经过点()0,2-，且与椭圆交于不同的两点,A B ,求OAB ∆面积的最大值.22、设函数()()2ln 1f x x x a x =+++，其中0.a ≠（1）若6a =-，求()f x 在[]0,3上的最值；（2）若()f x 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围；（3）当1a =-时，令()()3g x x x f x =+-，试证：()311ln n n n N n n*+-⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭恒成立.高三五县联考数学（理）测试题答案一、（每小题5分，共计60分） DCABA BDADB CC 二、（每小题5分，共计20分）13、2e ；14、21nn +；15、①②③；16三、解答题（共计70分，17题10分，其它各题每小题12分）18、解（1）,cos cos sin ,sin sin .22B A B A A A B ππ⎛⎫=+∴=+=-=- ⎪⎝⎭即…2分 又3,4,a b ==所以由正弦定理得34sin sin A B =，所以34cos sin B A=-,…4分 所以3sin 4cos B B -=,两边平方得229sin 16cos B B =,又22sin cos 1B B +=所以3cos ,5B =±而2B π>，所以3cos .5B =-……………………………6分（2）34cos ,sin 55B B =-∴=……………………7分(),22,sin 2sin 2sin 22B A A B A B B πππ=+∴=-∴=-=-=43242sin cos 25525B B ⎛⎫-=-⨯⨯-= ⎪⎝⎭…………………………………9分又3,22A B C C B ππ++=∴=-,2sin cos 212cos C B B ∴=-=-=725…11分 24731sin 2sin 252525A C ∴+=+=…………………………………12分 19、解 （1）2311,32a a ==…………………………4分 （2）假设存在一个实常数λ，使得数列1n a λ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，则123111,,a a a λλλ---成等差数列，所以213211a a a λλλ=+---，……6分 所以21111032λλλ=+---，解之得1λ=.……………8分 因为()()131111111111121121213n n n n n n n n n na a a a a a a a a a +---=-=-==-+--------…11分又1111a =--，所以存在一个实常数λ=1，使得数列1n a λ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1-， 公差为12-的等差数列.…12分20、（1）证明 取BC 的中点,M 连结,.AM PM,60AB BC ABC =∠=,ABM ∴∆为正三角形，.AM BC ∴⊥又 ,,PB PC PM BC =∴⊥,AMPM M =BC ∴⊥平面PAM ,PA ⊂平面PAM ,同理可证 ,PA CD ⊥又,BC CD C PA =∴⊥平面.ABCD …4分.（2）取PA 的中点N ，连结,.EN ND,,//,PE EB PN NA EN AB ==∴且1.2EN AB =又//,FD AB 且1,2FD AB = //EN DF ∴，∴四边形ENDF 是平行四边形，//,EF ND ∴而EF ⊄平面,PAD ND ⊂平面,//PAD EF ∴平面.PAD …………………8分（3）取AB 的中点,G 过G 作GH PB ⊥于点,H 连结,.HC GC 则,CG AB ⊥又,,CG PA PAAB A CG ⊥=∴⊥平面.PAB ,HC PB ∴⊥GHC ∴∠是二面角A PB C --的平面角. 在Rt PAB ∆中，2,4,AB PB PA ==∴= 又Rt BHG ∆∽Rt BAP ∆,,HG BG HG PA PB ∴=∴=. 在Rt HGC ∆中，可求得GC HC =∴=cos GHC ∴∠=故二面角A PB C --………………12分. （注：若（2）、（3）用向量法解题，证线面平行时应说明EF ⊄平面PAD 内，否则扣1分；求二面角的余弦值时，若得负值，亦扣1分.） 21、解（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，有椭圆的定义可得2a ==a ∴=又1,c b =∴=故椭圆的标准方程为22 1.3x y +=…………………………4分.（2）设直线l 的方程为2y kx =-，由221,32x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22131290k x kx +-+=，依题意236360k ∆=->，()21k ∴>*…………………………6分 设()()1122,,,A x y B x y ， 则121222129,1313k x x x x k k+==++，………………7分2AB x ∴=-=，……………8分 由点到直线的距离公式得d =，………………9分12S ∆∴==……………10分()220,1,t t k t =>=+则()2216664341313OAB t t S t t t t ∆∴=⨯=⨯=⨯≤++++，当且仅当t =时，上式取等号，所以，OAB ∆…………………12分 22、解（1）由题意知，()f x 的定义域为()1,-+∞，6a =-时，由()26235210,11x x f x x x x +-'=+-==++得512x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭舍去…2分当()0,1x ∈时，()()()0,1,30f x x f x ''<∈>当时，，()0,1x ∴∈当，()f x 单调递减，当()1,3x ∈时，()f x 单调递增.。
河北省石家庄市2015届高三数学下学期复习模拟试卷二理含解析
2015年河北省石家庄市高考数学复习试卷（理科）（1）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数=（）A．1+i B．i﹣1 C．1﹣i D．1﹣2i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2}3．已知向量=（﹣2，﹣6），||=，•=10，则向量与的夹角为（）A．150°B．﹣30°C．120°D．60°4．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，f（x）=，则f（）=（）A．﹣1 B．1 C．D．06．设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β7．已知函数f（x）=asin3x+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）=（）A．8 B．2014 C．2015 D．08．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度9．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．1110．二项式（2x+）7的展开式中的系数是（）A．42 B．168 C．84 D．2111．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．πC．πD．20π12．设函数f（x）=e x+2x﹣a（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）A．[﹣1+e﹣1，1+e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[1，e]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．曲线y=e2x+3（e为自然对数的底数）在x=0处的切线方程为．14．实数x，y满足条件，则x﹣y的最小值为．15．已知圆C：x2+y2=1，过第一象限内一点P（a，b）作圆C的两条切线，切点分别为A、B，若∠APB=60°，则a+b的最大值为．16．观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且a=3，b=2，A=2B，求cosB和c 的值．18．已知{a n}为公差不为0的等差数列，a1=3，且a1、a4、a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2n a n，求数列{b n}的前n项和．19．某学校为了解学生身体发育情况，随机从高一年级中抽取40人作样本，测量出他们的身高（单位：cm），身高分组区间及人数见表：分组[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180]人数 a 8 14 b 2（Ⅰ）求a、b的值并根据题目补全频率分布直方图；（Ⅱ）在所抽取的40人中任意选取两人，设Y为身高不低于170cm的人数，求Y的分布列及期望．20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线EF与平面ABE所成角的大小．21．定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足=2．（Ⅰ）求点P的轨迹曲线C的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C交于M、N两点，求•的最大值．22．已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1、x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=﹣？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．2015年河北省石家庄市高考数学复习试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数=（）A．1+i B．i﹣1 C．1﹣i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：原式===1﹣i．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集的性质求解．解答：解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，B={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1，2，3}．故选：B．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意不等式性质的合理运用．3．已知向量=（﹣2，﹣6），||=，•=10，则向量与的夹角为（）A．150°B．﹣30°C．120°D．60°考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设向量与的夹角为θ，则由cosθ=的值，求得θ的值．解答：解：设向量与的夹角为θ，∴cosθ===，∴θ=60°，故选：D．点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，根据三角函数的值求角，属于基础题．4．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先求出抛物线y2=12x的焦点坐标，由此得到双曲线的右焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率．解答：解：∵抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），∴双曲线的c=3，a2=9﹣4=5，∴e=．故选：B．点评：本题考查双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力．解题时要抛物线的性质进行求解．5．设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，f（x）=，则f（）=（）A．﹣1 B．1 C．D．0考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）是定义在R上的周期为3的函数，得f（）=f（﹣），再由分段函数的性质能求出结果．解答：解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，f（x）=，∴f（）=f（﹣）=4×（﹣）2﹣2=﹣1．故选：A．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数的周期性和分段函数的性质的合理运用．6．设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面垂直与线线垂直的几何特征，可判断A；根据面面垂直及面面平行的几何特征，可判断B；根据线面平行的几何特征，及面面位置关系的定义，可判断C；根据面面平行的几何特征，可判断D．解答：解：若a⊥α且a⊥b，则b∥α或b⊂α，故A错误；若γ⊥α且γ⊥β，则α与β可能平行也可能相交（此时两平面的交线与γ垂直），故B错误；若a∥α且a∥β，则与β可能平行也可能相交（此时两平面的交线与a平行），故C错误；若γ∥α且γ∥β，则α∥β，故D正确；故选：D点评：本题考查的知识点是空间直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系，面面关系，线线关系的定义，几何特征及性质和判定方法是解答的关键．7．已知函数f（x）=asin3x+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）=（）A．8 B．2014 C．2015 D．0考点：导数的运算．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：观察已知解析式f（x）=asin3x+bx3+4，构造g（x）=f（x）﹣4=asin3x+bx3是奇函数，而它的导数是偶函数，利用奇偶函数的性质解答．解答：解：由已知，设函数g（x）=f（x）﹣4=asin3x+bx3是奇函数，由g（﹣x）=﹣g（x），∴g（x）为奇函数，f′（x）=3acos3x+3bx2为偶函数，∴f′（﹣x）=f′（x），∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）=g（2014）+4+g（﹣2014）+4+f′（2015）﹣f′（2015）=g（2014）﹣g（2014）+f′（2015）﹣f′（2015）+8=8．故选A．点评：本题考查了导数的运算以及函数奇偶性的运用，灵活构造函数g（x）是解答本题的关键．8．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：函数y=3cos2x=3sin（2x+），把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，可得函数y=3sin[2（x+）+]=3sin（2x+）的图象，故选：D．点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．9．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．10．二项式（2x+）7的展开式中的系数是（）A．42 B．168 C．84 D．21考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于﹣3，求得r的值，即可求得展开式中的的系数．解答：解：二项式（2x+）7的展开式的通项公式为 T r+1=•27﹣r•x7﹣2r，令7﹣2r=﹣3，求得r=5，故展开中的系数是×22=84，故选：C．点评：题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．11．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．πC．πD．20π考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．解答：解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．点评：本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键．12．设函数f（x）=e x+2x﹣a（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）A．[﹣1+e﹣1，1+e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[1，e]考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：曲线y=sinx上存在点（x0，y0），可得y0=sinx0∈[﹣1，1]．函数f（x）=e x+2x﹣a 在[﹣1，1]上单调递增．利用函数f（x）的单调性可以证明f（y0）=y0．令函数f（x）=e x+2x ﹣a=x，化为a=e x+x．令g（x）=e x+x （x∈[﹣1，1]）．利用导数研究其单调性即可得出．解答：解：曲线y=sinx上存在点（x0，y0），∴y0=sinx0∈[﹣1，1]．函数f（x）=e x+2x﹣a在[﹣1，1]上单调递增．下面证明f（y0）=y0．假设f（y0）=c＞y0，则f（f（y0））=f（c）＞f（y0）=c＞y0，不满足f（f（y0））=y0．同理假设f（y0）=c＜y0，则不满足f（f（y0））=y0．综上可得：f（y0）=y0．令函数f（x）=e x+2x﹣a=x，化为a=e x+x．令g（x）=e x+x（x∈[﹣1，1]）．g′（x）=e x+1＞0，∴函数g（x）在x∈[﹣1，1]单调递增．∴e﹣1﹣1≤g（x）≤e+1．∴a的取值范围是[﹣1+e﹣1，e+1]．故选：A．点评：本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．曲线y=e2x+3（e为自然对数的底数）在x=0处的切线方程为y=2x+4 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出导数，求出切线的斜率和切点，由斜截式方程，即可得到切线方程．解答：解：y=e2x+3的导数y′=2e2x，则在x=0处的切线斜率为2e0=2，切点为（0，4），则在x=0处的切线方程为：y=2x+4．故答案为：y=2x+4．点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．14．实数x，y满足条件，则x﹣y的最小值为﹣1 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，设z=x﹣y，利用z的几何意义即可得到结论．解答：解：设z=x﹣y，即y=x﹣z作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当直线y=x﹣z过点A（0，1）时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，此时z=0﹣1=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15．已知圆C：x2+y2=1，过第一象限内一点P（a，b）作圆C的两条切线，切点分别为A、B，若∠APB=60°，则a+b的最大值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：先求出|PO|，根据∠APB=60°可得∠AP0=30°，判断出|PO|=2|OB|，把|PO|代入整理，再利用基本不等式可得结论．解答：解：∵P（a，b），∴|PO|=（a＞0，b＞0）∵∠APB=60°∴∠AP0=30°∴|PO|=2|OB|=2∴=2即a2+b2=4，∴（a+b）2≤2（a2+b2）=8，∴a+b的最大值为．故答案为：．点评：本题主要考查了求轨迹方程的问题，考查基本不等式的运用，属基础题．16．观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数是3602 ．考点：数列的应用．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数为3+3+5+7+…+[2（61﹣1）+1]，利用等差数列的求和公式，即可得出结论．解答：解：观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数为3+3+5+7+…+[2（61﹣1）﹣1]=3602．故答案为：3602．点评：本题考查数列的应用，考查等差数列的求和公式，比较基础．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且a=3，b=2，A=2B，求cosB和c 的值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理，求出cosB=，再用余弦定理求出c的值．解答：解：∵A=2B，，a=3，b=2，∴，∴cosB=，∴=，∴2c2﹣9c+10=0，∴c=2或2.5，因为c=2，不合题意舍去，所以…（10分）点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中，常需要用正弦定理和余弦定理完成边角互化，来解决问题．18．已知{a n}为公差不为0的等差数列，a1=3，且a1、a4、a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2n a n，求数列{b n}的前n项和．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由a1、a4、a13成等比数列可得关于d的方程，解出d，利用等差数列的通项公式可得结果；（Ⅱ）若b n=2n a n，可得数列{b n}的通项，利用错位相减法，求前n项和．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，由题意得（3+3d）2=3（3+12d），得d=2或d=0（舍），…（2分）所以{a n}的通项公式为a n=3+（n﹣1）•2=2n+1…（4分）（Ⅱ）…①…②…（6分）①﹣②得…（8分）…（10分）∴…（12分）点评：该题考查等差数列的通项公式、求和公式，考查错位相减法，属于中档题．19．某学校为了解学生身体发育情况，随机从高一年级中抽取40人作样本，测量出他们的身高（单位：cm），身高分组区间及人数见表：分组[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180]人数 a 8 14 b 2（Ⅰ）求a、b的值并根据题目补全频率分布直方图；（Ⅱ）在所抽取的40人中任意选取两人，设Y为身高不低于170cm的人数，求Y的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图知身高分组区间[155，160）的频率为0.15，由此能求出a，b，补全频率分布直方图．（2）由题意知Y=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出Y 的分布列和E（Y）．解答：解：（1）由频率分布直方图知身高分组区间[155，160）的频率为：0.03×5=0.15，∴a=0.15×40=6，∴b=40﹣6﹣8﹣14﹣2=10．…（2分）∴频率分布表为：分组[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180]人数 6 8 14 10 2频率0.15 0.2 0.35 0.25 0.05∴频率分布图为：…．（5分）（2）由题意知Y=0，1，2，P（Y=0）=P（Y=1）=P（Y=2）=Y的分布列为：Y 0 1 2P…（11分）E（Y）==．…（12分）点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线EF与平面ABE所成角的大小．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PA中点M，AB中点N，连接MN，NF，ME，容易证明四边形MNFE为平行四边形，所以EF∥MN，所以得到EF∥平面PAB；（Ⅱ）分别以向量的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A ﹣xyz．可以确定点P，A，B，C，D，E，F的坐标，从而确定向量的坐标，设平面ABE的法向量为，根据即可求得一个法向量，根据法向量和向量的夹角和EF与平面ABE所成的角的关系即可求出所求的角．解答：解：（Ⅰ）证明：分别取PA和AB中点M，N，连接MN、ME、NF，则NF∥AD，且NF=，ME∥AD，且ME=，所以NF∥ME，且NF=ME所以四边形MNFE为平行四边形；∴EF∥MN，又EF⊄平面PAB，MN⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）由已知：底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AP，AB，AD两两垂直；如图所示，以A为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz，所以：P（0，0，1），A（0，0，0，），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），；∴，；设平面ABE法向量，则；∴令b=1，则c=﹣1，a=0；∴为平面ABE的一个法向量；设直线EF与平面ABE所成角为α，于是：；所以直线EF与平面ABE所成角为．点评：考查线面平行的判定定理，通过建立空间直角坐标系，用向量的方法求一直线和平面所成的角，以及两非零向量垂直的充要条件．21．定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足=2．（Ⅰ）求点P的轨迹曲线C的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C交于M、N两点，求•的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设A（x0，0），B（0，y0），P（x，y），由得，（x，y﹣y0）=2（x0﹣x，﹣y），由此能求出点P的轨迹方程．（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化简得：（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积结合已知条件能求出的最大值为．解答：解：（Ⅰ）设A（x0，0），B（0，y0），P（x，y），由得，（x，y﹣y0）=2（x0﹣x，﹣y），即，（2分）又因为，所以（）2+（3y）2=9，化简得：，这就是点P的轨迹方程．（4分）（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化简得：（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由韦达定理得：，，（6分）又由△=4t2+12（t2+4）=16t2+48＞0恒成立，（10分）得t∈R，对于上式，当t=0时，综上所述的最大值为．…（12分）点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1、x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=﹣？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=3时，，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（Ⅱ）令u（x）=2x2﹣ax+1，则△=a2﹣8，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出是否存在a，使k=﹣．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=3时，当或x＞1，时，f'（x）＞0，…（2分）当时，f'（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为…（4分）（Ⅱ）令u（x）=2x2﹣ax+1，则△=a2﹣8，1°当△＜0，即时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值；…（5分）2°当△=0，即时，f'（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值…（6分）3°当△＞0，即或时，方程u（x）=0有两个实数根若，两个根x1＜x2＜0，此时，则当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值…（7分）若，u（x）=0的两个根x1＞0，x2＞0，不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）和（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（0，x1）和（x2，+∞）单调递增，当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）在区间（x1，x2）上单调递减，则f（x）在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且，==即…（*）…（9分）即令，则上式等价于：令g（t）=（t+1）lnt﹣t+1则令，∴m（t）在区间（0，1）上单调递减，且m（t）＞m（1）=1＞0，即g'（t）＞0在区间（0，1）恒成立，∴g（t）在区间（0，1）上单调递增，且g（t）＜g（1）=0，∴对∀t∈（0，1），函数g（t）没有零点，即方程在t∈（0，1）上没有实根，…（11分）即（*）式无解，∴不存在实数a，使得…（12分）点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力，分类讨论等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．。
河北省石家庄市五校联合体2015届高三基础知识摸底考试 语文英语数学物理化学生物6份 Word版含答案
目录河北省石家庄市五校联合体2015届高三基础知识摸底考试语文试题河北省石家庄市五校联合体2015届高三基础知识摸底考试英语试题河北省石家庄市五校联合体2015届高三基础知识摸底考试理数试题河北省石家庄市五校联合体2015届高三基础知识摸底考试物理试题河北省石家庄市五校联合体2015届高三基础知识摸底考试化学试题河北省石家庄市五校联合体2015届高三基础知识摸底考试生物试题高三基础知识摸底考试语文试题注意事项：1．本试卷分第I卷（阅读题）和第II卷（表达题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时请认真阅读答题卡上的注意事项，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
第I卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面文字，完成1~3题。
文明是文化的内在价值，文化是文明的外在形式。
文明的内在价值通过文化的外在形式得以实现，文化的外在形式借助文明的内在价值而有意义。
文明是一元的，是以人类基本需求和全面发展的满足程度为共同尺度的；文化是多元的，是以不同民族、不同地域、不同时代的不同条件为依据的。
所谓“文明”，是指人类借助科学、技术等手段来改造客观世界，通过法律、道德等制度来协调群体关系，借助宗教、艺术等形式来调节自身情感，从而最大限度地满足基本需要、实现全面发展所达到的程度。
人类只有在对真、善、美的探索、追求、创造之中，才能最大限度地满足自身的基本需要、实现自身的全面发展。
在这一点上，任何时代、任何地域、任何种族的人类群体概莫能外。
从这一意义上讲，人类文明有着统一的价值标准。
所谓“文化”，是指人在改造客观世界、在协调群体关系、在调节自身情感的过程中所表现出来的时代特征、地域风格和民族样式。
由于人类文明是由不同的民族、在不同的时代和不同的地域中分别发展起来的，因而必然会表现出不同的特征、风格和样式。
考古学家对“文化”一词的经典使用方式，就是从不同地域的出土文物在建筑、工具、器皿的风格和样式上入手的。
高考模拟卷石家庄市高三一模理科数学试题
高考模拟卷：2015年河北省石家庄市高三一模理科数学试题一、选择题（本题共12道小题）1. 已知i 为虚数单位，则复数131i i-=+（ ） A. 2i + B. 2i - C. 12i -- D. 12i -+2. 已知集合{}0,1,2P =，{}|3x Q y y ==，则P Q ⋂=（ ）A. {}0,1B. {}1,2C. {}0,1,2D. ∅3. 已知cos ,,(,)2k k R πααπ=∈∈，则()sin πα+=（ ）A. B. C. D. k -4. 下列说法中，不正确的是（ ）A. 已知,,a b m R ∈，命题“若22am bm <，则a b <”为真命题 B. 命题“2000,0x R x x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”C. 命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D. “3x >”是“2x >”的充分不必要条件5. 已知偶函数()f x ，当[0,2)x ∈时，()2sin f x x =，当[2,)x ∈+∞时，()2log f x x =，则()()43f f π-+=（ ）A. 2B. 1C. 3D. 26. 执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S 为（ ）A. 2B.C. 4D. 67. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1BB 与平面11AB C 所成的角的大小为（ ）A. 6πB. 4πC. 3πD. 2π 8. 已知O 、A 、B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2km 处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘.O 地为一磁场，距离的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确.则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ）A. 12B. 2C. 12-D. 12- 9. 已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰好是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线经过点F ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 1 D. 1+10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A. 64B. 72C. 80D. 11211. 已知平面图形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，则四边形ABCD 面积S 的最大值为（ ）A. B. C. D. 12. 已知函数()2|ln |,041,0x x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c -+=(),b c R ∈有8个不同的实数根，则由点(,)b c 确定的平面区域的面积为（ ） A. 16 B. 13 C. 12 D. 23二、填空题（本题共4道小题）13. 已知平面向量,a b 的夹角为23π，||2,||1a b ==，则||a b +=______. 14. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为_____（用数字作答）.15. 设过曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为_____.16. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，设P 为椭圆上一点，12F PF ∠的外角平分线所在的直线为l ，过12,F F 分别作l 的垂线，垂足分别为R 、S ，当P 在椭圆上运动时，R 、S 所形成的图形的面积为_____.试卷答案1. 答案：C 分析：13(13)(1)211(1)(1)i i i i i i i ---==--++-，选C ． 2. 答案：B分析： {|3}{|0}xQ y y y y ===>， 则{1,2}P Q ⋂=，故选：B ．3. 答案：A分析：sin()sin παα+=-==，故选A ．4. 答案：C分析：对于A ，因为22am bm <，所以20m >，所以a b <，正确； 对于B ，由特称命题否定的定义知正确；对于C ，因为“p 或q “为真命题，所以p ，q 中至少有一个为真命题，错误；对于D ，若3x >，则一定有2x >；若2x >，则不一定有3x >，故“3x >”是“2x >”的充分不必要条件，正确；故选C ．5. 答案：D分析：()()2sin 333f f πππ-===2(4)log 42f ==，所以()(4)23f f π-+=，故选D ． 6. 答案：B分析：第一次循环： 1111111,2S i -=⋅==， 第二次循环： 2111222122,3S i -=⋅==，第三次循环： 3111332(2)42,4S i -=⋅==，第四次循环： 41144(2)85S i -=⋅==，不满足条件4i ≤，退出循环，输出S =，故选B ．7. 答案：A分析：分别取BC ，11B C 的中点E ，F ，则EF ∥1BB ，所以EF 与平面11AB C 所成的角即为1BB 与平面11AB C 所成的角，连接AE ，AF ，过F 作FG AE ⊥ 于G ，因为侧棱垂直于底面，所以11B C EF ⊥ ，因为11AB AC = ，所以11B C AE ⊥ ，所以11B C ⊥平面11AB C ，所以11B C FG ⊥ ，而FG AE ⊥，所以FG ⊥平面11AB C ，所以FEA ∠ 即为EF 与平面11AB C 所成的角，tan FEA ∠=， 所以6FEA π∠=， 即1BB 与平面11AB C 所成的角为6π，故选A ．8. 答案：D分析：如图，2OA OB == ，所AB =，以O 为半径作圆，交AB 于E ，F 两点，在OAE ∆ 内有2222cos OE OA AE OA AE OAE =+-⋅∠，即2 34AE=+-，所以210AE-+=，解得1AE=，同理1BF=，12=-，故选D．9. 答案：C分析：由已知，得2pc=，设两曲线的两个交点分别为A，B，依题意AB垂直于x轴，对于抛物线，令2px=，则有y p=，即AF p=，对于双曲线，令x c=，则有2bya=，即2bAFa=，所以2bpa=，联立方程22pcbpa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22b ac=，222c a ac-=，所以2210e e--=，解得1e=，故选C．10. 答案：C分析：根据三视图，该几何体为下面是一个立方体、上面四棱锥构成的组合体，所以1444344803V=⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选C．11. 答案：B分析：方法一：由222222cos 2cos BD AD AB AD AB A CB CD CB CD C =+-⋅=+-⋅得10cos 3cos 7C A -=， 又11sin sin 3sin 10sin 22S AB AD A CB CD C A C =⋅+⋅=+， ∴22227(10cos 3cos )(3sin 10sin )10960cos()S C A A C A C +=-++=-+ ∴26060cos()120S A C =-+≤∴S ≤，选B .方法二：如图，11232435222ABC ACD S S S ∆∆=+≤⨯⨯+⨯⨯=， 故排除,C D ，又题90CAD ︒∠=有解，此时6ACD S S ∆>=>A ，选B ．12. 答案：A分析：设()f x m = ，则方程20m bm c -+= 有8个不同的实数根， 所以方程()f x m =有4个不同的实根，函数()f x 的图象如下图：所以01m <<， 依题意方程20m bm c -+=在区间(0,1) 内有两个不同的实根，所以201001240c b c b b c >⎧⎪-+>⎪⎪⎨<<⎪⎪->⎪⎩， 即2010024c b c b b c >⎧⎪--<⎪⎨<<⎪⎪>⎩， 所以由点(,)b c 确定的平面区域如下图：所以面积为223200111111|421226b S db b =-⨯⨯=-=⎰ ，故选A ． 13.分析：222||()2a b a ba b ab +=+=++==． 14. 答案：8分析：由已知可分三步：①排甲、乙有22A 种，②排丙有2种，③排丁有2种，故共有2228⨯⨯=种.15. 答案：[]1,2-分析：因为()1x f x e '=-- ，所以1l 的斜率为11x l k e =--，所以1111x l k e -=+， 而0x e >，所以1011x e <<+， 而()2sin g x a x '=- ，所以22sin l k a x =-，因为sin [1,1]x ∈- ，所以2sin [2,2]a x a a -∈-+，依题意(0,1)[2,2]a a ⊆-+ ，所以2021a a -≤⎧⎨+≥⎩，即12a -≤≤．16. 答案：2a π分析：如图，延长2F S 交1F P 于M ，则2PM PF =因为122PF PF a +=，所以12F M a =，连接OS ，则112OS F M a ==，所以S 的轨迹是以O 为圆心，a 为半径的为圆， 同理，R 的轨迹也是以O 为圆心，a 为半径的圆，所以形成的图形面积2a π ．。
河北石家庄五校联合体2015届高三上基础知识摸底考试地理试题及答案
石家庄市五校联合体2015届高三上学期基础知识摸底考试地理试题一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题2分，共50分）下图示意北半球低纬度某地某日（晴天）建筑各朝向墙面太阳辐射强度值的差异。
读下图完成1—3题。
1．该地的经度是（）A．105°E B．131°E C．135°E D．101°E2．四条曲线中，代表北墙的是（）A．①B．②C．③D．④3．该日最可能是（）A．4月5日B．6月8日C．9月10日D．10月1日下图是我国某地等高线地形图。
读图完成4—5题。
4．图中山峰与甲村的相对高度可能是（）A．350米B．450米C．650米D．750米5．该区域适合开发的旅游资是（）A．急流飞瀑B．险滩峡谷C．湖光山色D．幽谷藏寺2013年6月19日一场罕见雾霾袭击新加坡。
读右图回答下题。
6．罕见雾霾袭击新加坡，雾霾烟尘自（）A. 加里曼丹岛B. 苏门答腊岛C. 爪哇岛D. 马半岛2013年11月我国开始启动“单独二孩” 政策，即夫妻双方一人为独生子女，第一胎非多胞胎，即可生二胎。
据此回答下题。
7．到2030年，此项政策将使我国（）A. 就学与就业压力减轻B.养老金支付总额减少C. 劳动力人口减幅放缓D. 男多女少的情况加剧赤道附近南、北纬5°之间的地带，温度的水平分布比较均匀，水平气压梯度很小，气流以辐合上升为主，风速微弱，故称为赤道无风带。
读南美洲东北部简图，回答8—10题。
8．关于赤道无风带的说法正确的是（）A．位置相对固定B．南美大陆分布最广C．天气状况单一D．气温年较差大9．图中K地盛行（）A．东南风B．东北风C．西南风D．西北风10．据图中信息判断，此时下列地理现象可能发生的是（）A．北京昼长比上海短B．西欧受暴雪袭击C．北印度洋洋流自东向西流D．天山雪线升高如图中甲为我国某城市，实线为锋线，虚线范围内为雨区，此时该天气系统正向甲城市移动。
2015届河北省石家庄市五校联合体高三基础知识摸底考试物理试卷
A．150 m
B．75 m
C．15 m
D．7.5 m
难度：0.64 组卷：118 题型：单选题 更新：2014/12/5
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7 . 如图所示，长为L的通电直导体棒放在光滑水平绝缘轨道上，劲度系数为k的水平轻弹簧一端固定，另一端拴在棒的中点，且与棒垂 直，整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，弹簧伸长x，棒处于静止状态．则：
A．导体棒中的电流方向从b流向a B．导体棒中的电流大小为 C．若只将磁场方向缓慢顺时针转过一小角度，x变大 D．若只将磁场方向缓慢逆时针转过一小角度，x变大
难度：0.64 组卷：195 题型：单选题 更新：2014/12/5
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8 . “快乐向前冲”节目，中有这样一种项目，选手需要借助悬挂在高处的绳飞跃到鸿沟对面的平台上，如果已知选手的质量为m，选手抓 住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角为 ，绳的悬挂点O距平台的竖直高度为H，绳长为L，不考虑空气阻力和绳的质量，下列 说法正确的是
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3 . 2010年1月17日，我国成功发射北斗COMPASS—G1地球同步卫星．据了解这已是北斗卫星导航系统发射的第三颗地球同步卫星，则 对于这三颗已发射的同步卫星，下列说法中正确的是（ ） A．它们的运行速度大小相等，且都小于7.9 km/s B．它们运行周期可能不同 C．它们离地心的距离可能不同 D．它们的向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
A．选手摆到最低点时处于失重状态 B．选手摆到最低点时所受绳子的拉力为 C．选手摆到最低点时所受绳子的拉力大小大于选手对绳子的拉力大小
D．选手刚开始运动时加速度为
难度：0.64 组卷：189 题型：单选题 更新：2014/12/5
河北省石家庄市五校联合体高三数学上学期摸底试卷 理(
河北省石家庄市五校联合体2015届高三上学期摸底数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共计60分）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，集合B={x|＜0}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣1≤x＜0} C．{x|x＜0} D．{x|x≤3}2．（5分）若各项均为正数的等比数列{a n}满足a2=1，a3a7﹣a5=56，其前n项的和为S n，则S5=（）A．31 B．C．D．以上都不对3．（5分）“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8 D．﹣85．（5分）若定义在R上的偶函数y=f（x）是[0，+∞）上的递增函数，则不等式f（log2x）＜f（﹣1）的解集是（）A．（，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．R D．（﹣2，2）6．（5分）计算（1﹣cosx）dx=（）A．π+2B．π﹣2 C．πD．﹣27．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．（5分）将函数y=f（x）的图象按向量=（﹣，2）平移后，得到函数g（x）=sin（2x+）+2的图象，则函数f（x）的解析式为（）A．y=sin2x B．y=sin（2x+）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）9．（5分）已知不等式组表示的平面区域恰好被圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2所覆盖，则实数k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．610．（5分）直线l：y=k（x﹣）与曲线x2﹣y2=1（x＞0）相交于A、B两点，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．{0，π）B．（，）∪（，）C．[0，）∪（，π）D．（，）11．（5分）设f（x）=|lg（x﹣1）|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则ab的取值范围是（）A．[1，2] B．（1，2）C．（4，+∞）D．（2，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）函数f（x）=xe x在点（1，f（1））处的切线的斜率是．14．（5分）数列{}（n∈N*）的前n项的和S n=．15．（5分）在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为．①函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称；②对∀x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1，或y≠﹣1；③若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；④若△ABC为钝角三角形，则sinA＜cosB．16．（5分）在△ABC中，AC=6，BC=7，，O是△ABC的内心，若，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积为．三、解答题（17题10分，其它各题均为12分，共计70分）17．（10分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（1）求f（）的值；（2）求f（x）的递减区间．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．19．（12分）已知数列{a n}满足a n+1=（n∈N*），且a1=0．（1）求a2，a3的值；（2）是否存在一个实常数λ，使得数列为等差数列，请说明理由．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E、F 分别是PB、CD的中点，且PB=PC=PD=4．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求证：EF∥平面PAD；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．21．（12分）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（﹣，0），（，0），并且经过点（，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为k的直线l经过点（0，﹣2），且与椭圆交于不同的两点A、B，求△OAB面积的最大值．22．（12分）设函数f（x）=x2+x+aln（x+1），其中a≠0．（1）若a=﹣6，求f（x）在[0，3]上的最值；（2）若f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；（3）求证：不等式（n∈N*）恒成立．河北省石家庄市五校联合体2015届高三上学期摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共计60分）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，集合B={x|＜0}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣1≤x＜0} C．{x|x＜0} D．{x|x≤3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由求出集合B，再由并集的运算求出A∪B．解答：解：由得，x＜0，则集合B={x|x＜0}，又集合A={x|﹣1≤x≤3}，所以A∪B={x|x≤3}，故选：D．点评：本题考查并集及其运算，属于基础题．2．（5分）若各项均为正数的等比数列{a n}满足a2=1，a3a7﹣a5=56，其前n项的和为S n，则S5=（）A．31 B．C．D．以上都不对考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等比数列的性质可得a5=8，进而可得公比q，代入求和公式可得．解答：解：由等比数列的性质可得a3a7=a52，∵a3a7﹣a5=56，∴a52﹣a5=56，结合等比数列{a n}的各项均为正数可解得a5=8，∴公比q满足q3==8，∴q=2，∴a1=，∴S5===，故选：C点评：本题考查等比数列的前n项和，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案．解答：解：当a=﹣2时，l1：2x+y﹣3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件；若直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：a=﹣2，或a=1，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题．4．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8 D．﹣8考点：抛物线的定义．分析：首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式，再根据其准线方程为y=﹣即可求之．解答：解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．故选B．点评：本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式．5．（5分）若定义在R上的偶函数y=f（x）是[0，+∞）上的递增函数，则不等式f（log2x）＜f（﹣1）的解集是（）A．（，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．R D．（﹣2，2）考点：对数函数的单调性与特殊点；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：因为y=f（x）是定义在R上的偶函数，所以在[0，+∞）上单调递增，则在对称区间（﹣∞，0）上单调递减．所以f（﹣1）=f（1），所以讨论log2x在区间[0，+∞）和（﹣∞，0）两种情况，所以log2x≥0即x≥1时，为了用上函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增的条件，将原不等式变成，f（log2x）＜f（1），根据单调性，所以得到log2x＜1，x＜2，所以1≤x＜2，同样的办法，求出log2x＜0时的原不等式的解，这两种情况所得的解求并集即可．解答：解：根据已知条件知：y=f（x）在（﹣∞，0）是减函数，f（﹣1）=f（1）；∴①若log2x≥0，即x≥1，由原不等式得：f（log2x）＜f（1）；∴log2x＜1，x＜2；∴1≤x＜2；②若log2x＜0，即0＜x＜1，f（log2x）＜f（﹣1）；∴log2x＞﹣1，x；∴；综上得原不等式的解集为．故选A．点评：考查偶函数的概念，偶函数在对称区间上的单调性的特点，以及对数函数的单调性．6．（5分）计算（1﹣cosx）dx=（）A．π+2B．π﹣2 C．πD．﹣2考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出原函数，即可求得定积分．解答：解：（1﹣cosx）dx=（x﹣sinx）=（﹣sin）﹣[﹣﹣sin（﹣）]=π﹣2，故选：B．点评：本题考查定积分，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，分别求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，其底面面积S=2×2=4，高h=2×=，故该几何体的体积V=Sh=×4×=，故选：D点评：根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是2015届高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．8．（5分）将函数y=f（x）的图象按向量=（﹣，2）平移后，得到函数g（x）=sin（2x+）+2的图象，则函数f（x）的解析式为（）A．y=sin2x B．y=sin（2x+）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求出向量的相反向量﹣，然后将函数y=sin（x+）+2按照﹣的方向进行平移整理，即可得到答案．解答：解：∵=（﹣，2），∴﹣=（，﹣2），将y=sin（2x+）+2按照向量﹣平移后得到，y=sin[2（x﹣）+]=sin2x的图象，故选：A．点评：本题主要考查三角函数按向量的方向进行平移．属基础题．9．（5分）已知不等式组表示的平面区域恰好被圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2所覆盖，则实数k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，则可知，（0，﹣6）关于（3，3）的对称点（6，12）在x﹣y+k=0上，从而解出k．解答：解：由题意作出其平面区域，由平面区域恰好被圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2所覆盖可知，平面区域所构成的三角形的三个顶点都在圆上，又∵三角形为直角三角形，∴（0，﹣6）关于（3，3）的对称点（6，12）在x﹣y+k=0上，解得k=6，故选D．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．10．（5分）直线l：y=k（x﹣）与曲线x2﹣y2=1（x＞0）相交于A、B两点，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．{0，π）B．（，）∪（，）C．[0，）∪（，π）D．（，）考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：首先根据题意直线l：y=k（x﹣）与曲线x2﹣y2=1（x＞0）相交于A、B两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．解答：解：曲线x2﹣y2=1（x＞0）的渐近线方程为：y=±x直线l：y=k（x﹣）与相交于A、B两点所以：直线的斜率k＞1或k＜﹣1由于直线的斜率存在：倾斜角故选：B点评：本题考查的知识要点：直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系．11．（5分）设f（x）=|lg（x﹣1）|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则ab的取值范围是（）A．[1，2] B．（1，2）C．（4，+∞）D．（2，+∞）考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：f（x）是含有绝对值的函数，结合函数的图象或通过去绝对值考查f（x）的单调性，找出a和b的关系，结合基本不等式求范围即可．解答：解：先画出函数f（x）=|lg（x﹣1）|的图象，如图：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴1＜a＜2，b＞2，∴﹣lg（a﹣1）=lg（b﹣1），∴=b﹣1，∴a=1+，∴ab=b+=b+=b﹣1++2＞2=4，∴ab的取值范围是（4，+∞），故选：C点评：本题考查函数的性质、基本不等式等，去绝对值是解决本题的关键，综合性强．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法设t=f（x），则方程等价为f（t）=0，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得出此题的关键是a•2x取不到1和0．解答：解：设t=f（x），则f（t）=0，若a＜0时，当x≤0，f（x）=a•2x＜0．由f（t）=0，即，此时t=1，当t=1得f（x）=1，此时x=有唯一解，此时满足条件．若a=0，此时当x≤0，f（x）=a•2x=0，此时函数有无穷多个点，不满足条件．若a＞0，当x≤0，f（x）=a•2x∈（0，a]．此时f（x）的最大值为a，要使若关于x的方程f（f（x））=0有且仅有一个实数解，则a＜1，此时0＜a＜1，综上实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1），故选：B点评：本题主要考查函数方程根的个数的应用，利用换元法，结合数形结合是解决本题的关键．二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）函数f（x）=xe x在点（1，f（1））处的切线的斜率是2e．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，在导函数解析式中取x=1得答案．解答：解：∵f（x）=xe x，∴f′（x）=e x+xe x，则f′（1）=2e．故答案为：2e．点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查了基本初等函数的导数公式，是基础题．14．（5分）数列{}（n∈N*）的前n项的和S n=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：a n==，利用“裂项求和”即可得出．解答：解：a n==，∴S n=…+==．故答案为：．点评：本题考查了“裂项求和”求数列的前n项和，属于基础题．15．（5分）在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为①②③．①函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称；②对∀x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1，或y≠﹣1；③若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；④若△ABC为钝角三角形，则sinA＜cosB．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题考查的知识点是判断命题真假，比较综合的考查了函数的性质，我们可以根据对称性等函数的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．解答：解：①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的斜率，其最大值为，③正确；④若△ABC为钝角三角形，若A为锐角，B为钝角，则sinA＞cosB，④错误．故答案为：①②③点评：③的判断中使用了数形结合的思想，是数学中的常见思想，要加深体会．16．（5分）在△ABC中，AC=6，BC=7，，O是△ABC的内心，若，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积为．考点：平面向量的综合题．专题：平面向量及应用．分析：根据，其中0≤x≤1，0≤y≤1，可得动点P的轨迹所覆盖的面积是以OA，OB为邻边的平行四边形，S=AB×r，r为△ABC的内切圆的半径，计算AB及r，即可得到结论．解答：解：∵，其中0≤x≤1，0≤y≤1，∴动点P的轨迹所覆盖的面积是以OA，OB为邻边的平行四边形∴S=AB×r，其中r为△ABC的内切圆的半径在△ABC中，由余弦定理可得cosA=∴5AB2﹣12AB﹣65=0∴AB=5∴∵O是△ABC的内心，∴O到△ABC各边的距离均为r，∴∴r=∴S=AB×r==．故答案为：．点评：本题考查向量知识的运用，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，属于中档题．三、解答题（17题10分，其它各题均为12分，共计70分）17．（10分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（1）求f（）的值；（2）求f（x）的递减区间．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）首先利用三角关系式的恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（2）根据（1）的结论，利用整体思想求单调区间．解答：解：（1）f（x）=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+2=所以：+2=（2）令：（k∈Z）（k∈Z）所以f（x）的单调减区间是点评：本题考查的知识要点：三角关系式的恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出函数的值，利用整体思想求单调区间．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cosB；（2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到．解答：解（1）∵，∴cosB=cos（+A）=﹣sinA，又a=3，b=4，所以由正弦定理得，所以=，所以﹣3sinB=4cosB，两边平方得9sin2B=16cos2B，又sin2B+cos2B=1，所以，而，所以．（2）∵，∴，∵，∴2A=2B﹣π，∴sin2A=sin（2B﹣π）=﹣sin2B=又A+B+C=π，∴，∴sinC=﹣cos2B=1﹣2cos2B=．∴．点评：本题考查正弦定理和运用，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和诱导公式，以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}满足a n+1=（n∈N*），且a1=0．（1）求a2，a3的值；（2）是否存在一个实常数λ，使得数列为等差数列，请说明理由．考点：等差数列的性质；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由数列{a n}的递推关系a n+1=（n∈N*）及a1=0即可求得a2，a3的值；（2）假设存在一个实常数λ，使得数列为等差数列，依题意可求得λ，再利用等差数列的定义即可证得猜想成立．解答：解（1）…（4分）（2）假设存在一个实常数λ，使得数列为等差数列，则成等差数列，所以，…（6分）所以，解之得λ=1．…（8分）因为…（11分）又，所以存在一个实常数λ=1，使得数列是首项为﹣1，公差为的等差数列．…（12分）点评：本题考查数列{a n}的递推关系及等差关系的确定，考查运算与推理能力，属于难题．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E、F 分别是PB、CD的中点，且PB=PC=PD=4．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求证：EF∥平面PAD；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取BC的中点M，连结AM，PM，由已知条件推导出PA⊥BC，PA⊥CD，由此能证明PA⊥平面ABCD．（2）取PA的中点N，连结EN，ND，由已知得四边形ENDF是平行四边形，由此能证明EF∥平面PAD．（3）取AB的中点G，过G作GH⊥PB于点H，连结HC，GC，由已知得∠GHC是二面角A﹣PB﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PB﹣C的余弦值．解答：（1）证明：取BC的中点M，连结AM，PM．∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，∴AM⊥BC．又PB=PC，∴PM⊥BC，AM∩PM=M，∴BC⊥平面PAM，PA⊂平面PAM，∴PA⊥BC，同理可证PA⊥CD，又BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．…（4分）．（2）证明：取PA的中点N，连结EN，ND．∵PE=EB，PN=NA，∴EN∥AB，且．又FD∥AB，且，∴，∴四边形ENDF是平行四边形，∴EF∥ND，而EF⊄平面PAD，ND⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD．…（8分）（3）解：取AB的中点G，过G作GH⊥PB于点H，连结HC，GC．则CG⊥AB，又CG⊥PA，PA∩AB=A，∴CG⊥平面PAB．∴HC⊥PB，∴∠GHC是二面角A﹣PB﹣C的平面角．在Rt△PAB中，AB=2，PB=4，∴．又Rt△BHG∽Rt△BAP，∴，∴．在Rt△HGC中，可求得，∴，∴，故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．…（12分）．点评：本题考查PA⊥平面ABCD的证明，考查EF∥平面PAD的证明，考查二面角A﹣PB﹣C 的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．21．（12分）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（﹣，0），（，0），并且经过点（，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为k的直线l经过点（0，﹣2），且与椭圆交于不同的两点A、B，求△OAB面积的最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用待定系数法求椭圆的标准方程，在求a时利用椭圆的定义比较简单；（2）利用弦长公式先求出|AB|，然后利用面积公式构建关于斜率k的函数，通过换元法利用基本不等求△OAB面积的最大值．解答：解：（1）设椭圆的标准方程为，由椭圆的定义可得．∴，又，∴b=1，故椭圆的标准方程为．（2）设直线l的方程为y=kx﹣2，由，得（1+3k2）x2﹣12kx+9=0，依题意△=36k2﹣36＞0，∴k2＞1（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴，由点到直线的距离公式得，∴．设，∴，当且仅当时，上式取等号，所以，△OAB面积的最大值为．点评：第（1）问用待定系数法求椭圆的方程时，也可以把点代入方程求解，但这种方法计算量大；第（2）问得到的面积表达式比较复杂，当函数表达式比较复杂时，考虑用换元法转化成简单函数，但要注意转化后函数的定义域．22．（12分）设函数f（x）=x2+x+aln（x+1），其中a≠0．（1）若a=﹣6，求f（x）在[0，3]上的最值；（2）若f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；（3）求证：不等式（n∈N*）恒成立．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=﹣6时，由f′（x）=0得x=2，可判断出当x∈（0，1）时，f（x）单调递减；当x∈（1，3]时，f（x）单调递增，从而得到f（x）在[0，3]上的最值．（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点，即使f′（x）=0在（﹣1，+∞）有两个不等实根，即2x2+3x+1+a=0在（﹣1，+∞）有两个不等实根，可以利用一元二次函数根的分布，即可求a的范围．（3）先构造函数h（x）=x3﹣x2+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的单调性，求出函数h（x）的最小值，从而得到ln（x+1）＞x2﹣x3，最后令x=，即可证得结论．解答：解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（﹣1，+∞），a=﹣6时，由f'（x）=2x+1﹣==0，得x=1（x=﹣舍去），当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，3]时，f′（x）＞0，所以当x∈（0，1）时，f（x）单调递减；当x∈（1，3]时，f（x）单调递增，所以f（x）min=f（1）=2﹣6ln2，f（x）max=f（3）=12﹣12ln2，（2）由题意f'（x）=2x+1+==0在（﹣1，+∞）有两个不等实根，即2x2+3x+1+a=0在（﹣1，+∞）有两个不等实根，设g（x）=2x2+3x+1+a，则，解之得0＜a＜；（3）对于函数g（x）=x2﹣ln（x+1），令函数h（x）=x3﹣g（x）=x3﹣x2+ln（x+1）则h′（x）=3x2﹣2x+=，∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0即x2＜x3+ln（x+1）恒成立．取x=∈（0，+∞），则有ln（+1）＞﹣恒成立．即不等式（n∈N*）恒成立点评：本题以函数为载体，考查函数的最值，考查函数的单调性．第一问判断f（x）在定义域的单调性即可求出最小值．第二问将f（x）在定义域内既有极大值又有极小值问题转化为f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点是解题的关键，第三问的关键是构造新函数，利用导数证明不等式．。
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高三基础知识摸底考试数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
第I 卷一、选择题（每小题5分，共计60分）1、已知集合{}|13A x x =-≤≤，集合1|0B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则AB =（ ）A . {}|10x x -<<B . {}|10x x -≤<C . {}|0x x <D . {}|3x x ≤ 2、若各项均为正数的等比数列{}n a 满足23751,56,a a a a =-=其前n 项的和为n S ，则5S =（ ）A .31B .292 C . 312D .以上都不对 3、“2a =-”是“直线()12:30:2140l ax y l x a y -+=-++=与互相平行”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件 4、若抛物线2y ax =的准线的方程是2y =，则实数a 的值是（ ）A . 18B . 18- C . 8 D .8-5、若定义在R 上的偶函数()y f x =是[)0,+∞上的递增函数，则不等式()()2log 1f x f <-的解集是（ ）A . 1,22⎛⎫⎪⎝⎭ B . ()(),22,-∞-+∞ C . R D .()2,2-6、计算()221cos x dx ππ--⎰=（ ）A .2π+B . 2π-C .πD . 2-7、某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ）ABCD 8、将函数()y f x =的图象按向量,212a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后，得到函数()sin 226g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，则函数()f x 的解析式为（ ）.sin 2A y x =.B sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.sin 212C y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.sin 212D y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9、已知不等式组0,360,60,x y k x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域恰好被圆C ：()()22233x y r -+-=所覆盖，则实数k 的值是（ ）A . 3B .4C .5D .610、直线l：(y k x =与曲线()2210x y x -=>相交于A 、B 两点，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ）A . [)0,πB . 3,,4224ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C .0,,22πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ D .3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭11、设()()()()lg 1,0,,f x x a b f a f b =-<<=若且则ab 的取值范围是（ ）[].1,2A ().1,2B ().4,C +∞ ().2,D +∞ 12、已知函数()122,0,log ,0.x a x f x x x ⎧⋅≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是（ ）().,0A -∞ ().0,1B ()().,00,1C -∞ ()().0,11,D +∞二、填空题（每小题5分，共计20分）13、函数()x f x xe =在点()()1,1f 处的切线的斜率是 .14、数列2141n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭()n N *∈的前n 项的和n S = .15、在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 .○1函数3231y x x =-+的图象关于点()0,1成中心对称； ○2对,,x y R ∀∈若0x y +≠，则1,1x y ≠≠-或； ○3若实数,x y 满足221,x y +=则2yx +；○4若ABC ∆为钝角三角形，则sin cos .A B < 16、在ABC ∆中，16,7,cos ,5AC BC A O ABC ===∆是的内心，若OP xOA yOB =+01,01x y ≤≤≤≤其中，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为 .三、解答题（17题10分，其它各题均为12分，共计70分） 17、已知函数()()22sin cos 2cos .f x x x x =++（1）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的递减区间.18、在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3,4a b ==，.2B A π=+（1）求cos B 的值； （2）求sin 2sin A C +的值. 19、已知数列{}n a 满足()111,0.3nn na a n N a a *++=∈=-且 （1）求23,a a 的值；（2）是否存在一个实常数λ，使得数列1n a λ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，请说明理由. 20、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=E 、F 分别是PB 、CD 的中点，且4PB PC PD ===. （1）求证：PA ABCD ⊥平面；（2）求证：//EF 平面PAD ; （3）求二面角A PB C --的余弦值.21、已知椭圆的两个焦点坐标分别是()),，并且经过点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为k 的直线l 经过点()0,2-，且与椭圆交于不同的两点,A B ,求OAB ∆面积的最大值.22、设函数()()2ln 1f x x x a x =+++，其中0.a ≠（1）若6a =-，求()f x 在[]0,3上的最值；（2）若()f x 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围；（3）当1a =-时，令()()3g x x x f x =+-，试证：()311ln n n n N n n*+-⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭恒成立.高三五县联考数学（理）测试题答案一、（每小题5分，共计60分） DCABA BDADB CC 二、（每小题5分，共计20分）13、2e ；14、21nn +；15、①②③；16三、解答题（共计70分，17题10分，其它各题每小题12分）18、解（1）,cos cos sin ,sin sin .22B A B A A A B ππ⎛⎫=+∴=+=-=- ⎪⎝⎭即…2分 又3,4,a b ==所以由正弦定理得34sin sin A B =，所以34cos sin B A=-,…4分 所以3sin 4cos B B -=,两边平方得229sin 16cos B B =,又22sin cos 1B B +=所以3cos ,5B =±而2B π>，所以3cos .5B =-……………………………6分（2）34cos ,sin 55B B =-∴=……………………7分(),22,sin 2sin 2sin 22B A A B A B B πππ=+∴=-∴=-=-=43242sin cos 25525B B ⎛⎫-=-⨯⨯-= ⎪⎝⎭…………………………………9分又3,22A B C C B ππ++=∴=-,2sin cos 212cos C B B ∴=-=-=725…11分 24731sin 2sin 252525A C ∴+=+=…………………………………12分 19、解 （1）2311,32a a ==…………………………4分 （2）假设存在一个实常数λ，使得数列1n a λ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，则123111,,a a a λλλ---成等差数列，所以213211a a a λλλ=+---，……6分 所以21111032λλλ=+---，解之得1λ=.……………8分 因为()()131111111111121121213n n n n n n n n n na a a a a a a a a a +---=-=-==-+--------…11分又1111a =--，所以存在一个实常数λ=1，使得数列1n a λ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1-， 公差为12-的等差数列.…12分20、（1）证明 取BC 的中点,M 连结,.AM PM,60AB BC ABC =∠=,ABM ∴∆为正三角形，.AM BC ∴⊥又 ,,PB PC PM BC =∴⊥,AMPM M =BC ∴⊥平面PAM ,PA ⊂平面PAM ,同理可证 ,PA CD ⊥又,BC CD C PA =∴⊥平面.ABCD …4分.（2）取PA 的中点N ，连结,.EN ND,,//,PE EB PN NA EN AB ==∴且1.2EN AB =又//,FD AB 且1,2FD AB = //EN DF ∴，∴四边形ENDF 是平行四边形，//,EF ND ∴而EF ⊄平面,PAD ND ⊂平面,//PAD EF ∴平面.PAD …………………8分（3）取AB 的中点,G 过G 作GH PB ⊥于点,H 连结,.HC GC 则,CG AB ⊥又,,CG PA PAAB A CG ⊥=∴⊥平面.PAB ,HC PB ∴⊥GHC ∴∠是二面角A PB C --的平面角. 在Rt PAB ∆中，2,4,AB PB PA ==∴= 又Rt BHG ∆∽Rt BAP ∆,,HG BG HG PA PB ∴=∴=. 在Rt HGC ∆中，可求得GC HC =∴=cos GHC ∴∠=故二面角A PB C --………………12分. （注：若（2）、（3）用向量法解题，证线面平行时应说明EF ⊄平面PAD 内，否则扣1分；求二面角的余弦值时，若得负值，亦扣1分.） 21、解（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，有椭圆的定义可得2a ==a ∴=又1,c b =∴=故椭圆的标准方程为22 1.3x y +=…………………………4分.（2）设直线l 的方程为2y kx =-，由221,32x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22131290k x kx +-+=，依题意236360k ∆=->，()21k ∴>*…………………………6分 设()()1122,,,A x y B x y ， 则121222129,1313k x x x x k k+==++，………………7分，……………8分 由点到直线的距离公式得d =，………………9分12S ∆∴==……………10分()220,1,t t k t =>=+则()2216664341313OAB t t S t t t t ∆∴=⨯=⨯=⨯≤++++，当且仅当t =时，上式取等号，所以，OAB ∆…………………12分 22、解（1）由题意知，()f x 的定义域为()1,-+∞，6a =-时，由()26235210,11x x f x x x x +-'=+-==++得512x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭舍去…2分当()0,1x ∈时，()()()0,1,30f x x f x ''<∈>当时，，()0,1x ∴∈当，()f x 单调递减，当()1,3x ∈时，()f x 单调递增.。