高考数学一轮复习函数及其表示专题检测(带答案)

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高考数学一轮复习函数概念及其表示练习题(附答案解析)

高考总复习函数概念及其基本性质一、选择题1.已知函数()2,0{1,0x x f x x x >=+≤,若()(1)0f a f +=,则实数a 的值等于( )A. 3−B. 1−C. 1D. 32.设函数y =的定义域A ,函数()ln 1y x =−的定义域为B ,则A B ⋂= ()A. ()1,2B. (]1,2C. ()2,1−D. [2,1)−3.已知函数12log y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则函数(2)xy f =的定义域为( )A. []1,0−B. []0,2C. []1,2−D. []0,14.已知函数()()()2240,{40.x x x f x x x x +≥=−<,若()22()f a f a −>,则实数a 的取值范围是( )A. ()(),12,−∞−⋃+∞B. ()1,2−C. ()2,1−D. ()(),21,−∞−⋃+∞5.定义在R 上的奇函数() f x 满足()()4f x f x −=−,且在区间[]0,2上是增函数,则( )A. ()()()258f f f <<B. ()()()825f f f <<C. ()()()528f f f <<D. ()()()582f f f <<6.已知函数() f x 是定义在R 上的奇函数,且当0?x ≥时, ()22?f x x x =−,则当()y f x =在R 上的解析式为( )A. ()()2f x x x =+B. ()()2f x x x =+C. ()()2f x x x =−D. ()()2f x x x =−7.函数()f x 在(),−∞+∞单调递减,且为奇函数.若(1)1f =−,则满足1(2)1f x −≤−≤的 x 的取值范围是( )A. []2,2−B. []1,1−C. []0,4D. []1,38.设偶函数()f x 对任意x R ∈都有()()13f x f x +=−,且当[]3,2x ∈−−时, ()4f x x =,则()107.5f = ( )A. 10B. 110C. 10−D. 110− 9.若偶函数()f x 在区间(],0−∞上单调递减,且()30f =,则不等式()()10x f x −>的解集是( )A. (,1)(1,)−∞−⋃+∞B. ()()3,13,−⋃+∞C. ()(),33,−∞−⋃+∞D. (]()3,13,−⋃+∞10.已知函数(1)y f x =+是定义域为R 的偶函数,且f ()x 在[)1,+∞上单调递减,则不等式(21)(2)f x f x −>+的解集为( ) A. 1,13⎛⎫− ⎪⎝⎭B. [)1,3C. 1,33⎛⎫− ⎪⎝⎭ D. 1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭11.设()(32log f x x x =++,则对任意实数,?a b ,若0a b +≥,则( ) A. ()()0f a f b +≤B. ()()0f a f b +≥C. ()()0f a f b −≤D. ()()0f a f b −≥二、填空题12.若函数y =R ,则a 的取值范围为__________.13.已知函数()()2x af x x a −=+,若对于定义域内的任意1x ,总存在2x 使得()()21f x f x <,则满足条件的实数a 的取值范围是__________.14.若函数()f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞,则a =__________.15.已知224,0(),0x x x f x ax bx x ⎧−≥=⎨+<⎩为偶函数,则ab =__________三、解答题16.已知二次函数2316y x bx c =−++的图象经过()90,3,4,2A B ⎛⎫−− ⎪⎝⎭两点（1）求,b c 的值（2）2316y x bx c =−++的图象与x 轴是否有公共点?若有,求公共点的坐标;若没有,请说明情况17.已知二次函数2()f x ax bx =+ (,a b 为常数,且0a ≠)满足条件: (1)(3)f x f x −=−,且方程()2f x x =有两等根.（1）求()f x 的解析式;（2）求()f x 在[0,]t 上的最大值.18.已知函数()f x 对一切实数,x y 都有()()(21)f x y f y x x y +−=++成立,且(1)0f =.（1）.求(0)f 的值;（2）求()f x 的解析式;（3）.设:P 当102x <<时,不等式()32f x x a +<+恒成立; :Q 当[2,2]x ∈−时, ()()g x f x ax =−是单调函数.若P 、Q 至少有一个成立,求实数a 的取值范围.19.已知函数()f x 定义域为[1,1]−,若对于任意的[],1,1x y ∈−,都有()()()f x y f x f y +=+,且0x >时,有()0f x >.1.判断并证明函数()f x 的奇偶性;2.判断并证明函数()f x 的单调性;3.若()221f x m am <−+,对所有[]1,1x ∈−,[]1,1a ∈−恒成立,求a 的取值范围.20.已知函数()f x =（1）并证明函数f ()x 的奇偶性（2）求函数f ()x 的值域.21.已知函数2()2f x x mx =−+的两个零点为1?x =和x n =.1.求,m n 的值;2.若函数2()2()g x x ax a R =−+∈在(,1]−∞上单调递减,解关于x 的不等式log (2)0a nx m +−<参考答案一、选择题1.答案：A解析：()(1)0f a f +=∴()(1)2f a f =−=−当0a >时, 22a =−,∴1a =−,舍去当0a ≤时, 12a +=−,∴3a =−.2.答案：D解析：由240x −≥得22x −≤≤,由10x −>得1x <,故{}|22A B x x ⋂=−≤≤{}{}|1|21x x x x ⋂<=−≤<,选D.3.答案：D解析：由题意得,因为函数12log y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以121log 2x ≤≤,令122x ≤≤,解得01x ≤≤,即函数(2)x y f =的定义域为[]0,1,故选D.4.答案：C解析：22224(2)4,0(){4(2)4,0x x x x f x x x x x +=+−≥=−=−−+<,由()f x 的图象可知()f x 在(),−∞+∞上是单调增函数,由()()22f a f a −>得22a a −>,即220a a +−<,解得21a −<<.5.答案：D解析：奇函数() f x 在区间[]0,2上单调递增且()()00f x f ≥=,已知奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性,故奇函数() f x 在区间[]2,0−上单调递增且()()00f x f ≤=,从而函数() f x 在[]2,2−上单调递增.由奇函数() f x 中任意 x 满足()()f x f x −=−,且题设()()4f x f x −=−,故()()()()()8844440f f f f f =−−=−=−=;()()()()55411f f f f =−−=−=−由102−<<,故()()()102f f f −<<,即()()()582f f f << 6.答案：C7.答案：D解析：因为()f x 为奇函数且在(),−∞+∞单调递减,要使()11f x −≤≤成立,则x 满足121x −≤−≤,解得13x ≤≤,所以满足()121f x −≤−≤的x 的取值范围为[]1,3.8.答案：B9.答案：B10.答案：D11.答案：B解析：()(32log f x x x =+定义域为R ,∵()(32log f x x x −=−+− 32log x =−+(()32log x x f x =−−+=−∴() f x 是奇函数,∵() f x 在()0,?+∞上是增函数,故() f x 在R 上为增函数,而0a b a b +≥⇒≥−,所()()()()0f a f b f a f b ≥−⇒+≥,故选B.二、填空题12.[1,9]解析：函数y =R , ∴()2221(1)01a x a x a −+−+≥+恒成立, 当210a −=时, 1a =±,当1a =时不等式恒成立,当1a =−时,无意义当210a −≠时, ()()22210214101a a a a ⎧−>⎪⎨∆=−−−⋅≤⎪+⎩. 综上所述, a 的取值范围为[1,9]13.答案：0a ≥解析：由题意函数()f x 无最小值, 22221()()()x a a a f x x a x a x a +−==−++++, 令1t x a=+,则0t ≠,2()2f x y at t ==−+,0a =时, 函数为y t =,符合题意, 0a ≠时, 20a −<,即0a >,综上有a 的取值范围是0a ≥.14.答案：-3解析：当x a <−时, ()()f x x a x a =−+=−−为减函数;当x a ≥−时, ()f x x a =+为增函数,结合已知有3,3a a −==−.15.答案：4三、解答题16.答案：1.把()90,3,4,2A B ⎛⎫−− ⎪⎝⎭分别代入2316y x bx c =−++,得339164162c b c =⎧⎪⎨−⨯−+=−⎪⎩,解得983b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩; 2.由1可得,该抛物线解析式为:2393168y x x =−++,29322543081664⎛⎫⎛⎫∆=−⨯−⨯=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以二次函数2316y x bx c =−++的图象与x 轴有公共点. ∵23930168x x −++=的解为: 122,8x x =−= ∴公共点的坐标是()2,0−或()8,017.答案：1.∵方程()2f x x =有两等根,即()220ax b x +−=有两等根,∴()22? 0b ∆=−=,解得2b =; ∵()()13f x f x −=−,得1312x x −+−=, ∴1x =是函数图象的对称轴.而此函数图象的对称轴是直线2b x a =−∴12b a−=,∴1a =−,故()22f x x x =−+ 2.∵函数()22f x x x =−+的图象的对称轴为[]1,0,x x t =∈,∴当1t ≤时, ()f x 在[0,]t 上是增函数,∴()2max 2f x t t =−+, 当1t >时, ()f x 在[]0,1上是增函数,在[]1,t 上是减函数,∴()()max 11f x f ==,综上, ()2max 1,1{2,1t f x t t t >=−+≤18.答案：1.令1x =−,1y =,则由已知(0)(1)1(121)f f −=−−++,有(0)2f =−2.令0y =,则()(0)(1)f x f x x −=+,又∵(0)2f =−,∴2()2f x x x =+−3.不等式()32f x x a +<+,即2232x x x a +−+<+,即21x x a −+<. 当102x <<时, 23114x x <−+<, 又21324x a ⎛⎫−+< ⎪⎝⎭恒成立,故{|1}A a a =≥ 22()2(1)2g x x x ax x a x =+−−=+−−,又()g x 在[2,2]−上是单调函数,故有122a −≤−,或122a −≥, ∴{|3B a a =≤−或5}a ≥∴P 、Q 至少有一个成立时a 的取值范围{|1A B a a ⋃=≥或3}a ≤−19.答案：1.因为有()()()f x y f x f y +=+,令0x y ==,得(0)(0)(0)f f f =+,所以(0)0f =,令y x =−可得: (0)()()0f f x f x =+−=,所以()()f x f x −=−,所以()f x 为奇函数2.∵()f x 是定义在[1,1]−上的奇函数,由题意设1211x x −≤<≤,则212121()()()()()f x f x f x f x f x x −=+−=−,由题意0x >时,有()0f x >,∴21()()f x f x >,∴()f x 是在[1,1]−上为单调递增函数.3.因为()f x 在[1,1]−上为单调递增函数,所以()f x 在[1,1]−上的最大值为(1)1f =, 所以要使2()21f x m am <−+,对所有[]1,1x ∈−,[]1,1a ∈−恒成立,只要2211m am −+>,即220m am −>恒成立.令22()22g a m am am m =−=−+,(1)0{(1)0g g −>>得2220{20m m m m +>−+>, ∴2?m >或2?m <−20.答案：1. sin 10x −≠⇒定义域: {|,}x R x k k Z π∈≠∈ ()()0f x f x +−=奇函数 2.()f x ===令sin ,[1,0)(0,1]t x t =∈−⋃当(0,1]t ∈时, 11y t t +==,因为211,t t单调递减故值域为: (,1[1)−∞−⋃++∞21.答案：1.根据题意, 1x =和x n =是方程220x mx −+=的两个解由根和系数的关系可知112n m n +=⎧⎨⋅=⎩ ∴3,2m n ==2.函数()g x 的对称轴为2a x = ∵()g x 在(],1−∞上单调递减 ∴12a ≥ ∴2a ≥ ∴由()log 210a x +<得0211x <+< ∴102x −<< ∴不等式的解集为1,02⎛⎫−⎪⎝⎭。

2021高三数学(理)一轮复习专练4函数及其表示含解析

2021高三数学（理）人教版一轮复习专练4函数及其表示含解析专练4函数及其表示命题范围：函数的概念及其表示、映射、函数的对应法则、函数的定义域、值域．[基础强化]一、选择题1．已知集合A到集合B的映射f：（x，y)→(x＋2y，2x－y）,在映射f下对应集合B中元素(3，1)的A中元素为(）A．(1,3) B．（1，1）C．（3，1）D．（5,5)2．下列各组函数中，表示同一函数的是（)A．f（x）＝|x｜,g（x)＝错误!B．f（x）＝错误!,g（x）＝（错误!)2C．f（x)＝x2－1x－1，g(x）＝x＋1D．f（x）＝x＋1·错误!，g(x）＝错误!3．已知函数f（错误!＋1）＝x＋1,则函数f(x)的解析式为（）A．f(x）＝x2B．f（x）＝x2＋1（x≥1)C．f(x）＝x2－2x＋2(x≥1）D．f（x)＝x2－2x（x≥1)4．函数y＝错误!的定义域为（)A．(－∞，1］B．［－1，1]C．［1,2）∪(2，＋∞）D。

错误!∪错误!5．若函数y＝f（x）的定义域为［1,2 019］,则函数g（x）＝错误!的定义域为（）A．［0，2 018］B．［0,1）∪(1，2 018］C．(1,2 018] D．[－1,1)∪(1，2 018]6．[2020·葫芦岛一中测试]已知f(x）是一次函数,且f［f(x)］＝x＋2，则函数f(x)＝()A．x＋1 B．2x－1C．－x＋1 D．x＋1或－x－17．[2020·邢台一中测试]如图所表示的函数解析式为(）A．y＝错误!｜x－1｜,0≤x≤2B．y＝错误!－错误!|x－1|,0≤x≤2C．y＝32－|x－1|,0≤x≤2D．y＝1－|x－1｜，0≤x≤28．已知函数f（x)＝错误!若f(a）＋f(1)＝0，则实数a的值等于（)A．－4 B．－1C．1 D．49．已知函数f(x）＝－x2＋4x，x∈[m，5］的值域是［－5，4]，则实数m的取值范围是(）A．（－∞,－1) B．（－1,2]C．[－1，2］D．［2，5]二、填空题10．函数f（x)＝错误!的定义域为________．11．[2020·广东珠海测试］已知函数f（x）＝错误!且f(a)＝－3，则f（6－a)＝________。

高三一轮复习函数全章练习(11套)+易错题+答案

第二章函数第1节函数概念及其表示方法一、选择题1.下列集合A到集合B的对应f是函数的是( A )(A)A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方(B)A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方(C)A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数(D)A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值解析:按照函数定义,选项B中集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D中,集合A中的元素0在集合B 中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A符合函数定义.2.已知f（x-1）=2x-5,且f(a)=6,则a等于( B )(A)- (B) (C) (D)-解析:令t=x-1,则x=2t+2,f(t)=2(2t+2)-5=4t-1,又由f(a)=6,则4a-1=6,解得a=.3.若f(1-2x)=(x≠0),那么f（）等于( C )(A)1 (B)3 (C)15 (D)30解析:法一令1-2x=t,则x=(t≠1),则f(t)=-1,则f（）=16-1=15.法二令1-2x=,得x=,则f（）=16-1=15.4.已知f(x)=的值域为R,那么a的取值范围是( C )(A)(-∞,-1] (B)（-1,）(C)[-1,) (D)(0,)解析:要使函数f(x)的值域为R,需使则则-1≤a<.即a的取值范围是[-1,).5.已知函数f(x)=且f(a)=-1,则f(6-a)等于( A )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意,知a>0,则由-log2(a+1)+2=-1,解得a=7,所以f(6-a)= f(-1)=2-1+1=1,故选A.6.设函数y=f(x)在R上有定义,对于任一给定的正数p,定义函数f p(x)=则称函数f p(x)为f(x)的“p界函数”,若给定函数f(x)=x2-2x-1,p=2,则下列结论不成立的是( B )(A)f p[f(0)]=f[f p(0)] (B)f p[f(1)]=f[f p(1)](C)f p[f p(2)]=f[f(2)] (D)f p[f p(3)]=f[f(3)]解析:给定函数f(x)=x2-2x-1,p=2,则f(1)=-2,f p(1)=-2,所以f[f p(1)]=f(-2)=7,f p[f(1)]=f p(-2)=2,所以f p[f(1)]≠f[f p(1)],故选B.二、填空题7.函数y=的定义域是.解析:要使函数有意义,需满足即x<且x≠-1.答案:(-∞,-1)∪(-1,)8.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(5-a)= . 解析:若a≤1,则2a-2=-3,即2a=-1,不合题设;故a>1,即-log2(a+1)=-3,解之得a=7,代入f(5-a)=f(-2)=-2=-.答案:-9.已知f(2x-2)的定义域是[1,2],则f(2x+1)的定义域为.解析:由题知f(2x-2)中1≤x≤2,则0≤2x-2≤2,即f(x)的定义域为[0,2],所以0≤2x+1≤2,得-≤x≤,故f(2x+1)的定义域为[-,].答案:[-,]10.定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=2f(x),若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当1≤x≤2时,f(x)= .解析:由f(x-1)=2f(x),则f(x)=f(x-1).由1≤x≤2,则0≤x-1≤1.又当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则f(x-1)=(x-1)[1-(x-1)]=(x-1)(2-x),则f(x)=f(x-1)=(x-1)(2-x).答案:(x-1)(2-x)11.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R), f(1)=2,则f(-3)= .解析:令x=1,y=1,则f(2)=f(1)+f(1)+2=6,令x=2,y=1,则f(3)=f(2)+f(1)+4=12,令x=0,y=0,则f(0)=0,令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)-2x2,则f(-x)=f(0)-f(x)+2x2,则f(-3)=f(0)-f(3)+2×32=0-12+18=6.答案:612.设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围为.解析:由f(f(a))=2f(a)得,f(a)≥1.当a<1时,有3a-1≥1,则a≥,则≤a<1;当a≥1时,有2a≥1,则a≥0,则a≥1.综上,a≥.答案:[,+∞)三、解答题13.设函数f(x)满足2f()+f()=1+x,其中x≠0,x∈R,求f(x). 解:令x=t,则2f()+f()=1+t,①令x=-t,则2f()+f()=1-t,②由①②得f()=t+,令=x可得f(x)=+,x≠1.14.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠0,若f()=0,求f(π)及f(2π)的值.解:令x=y=0,则f(0)+f(0)=2[f(0)]2,则f(0)[f(0)-1]=0,由f(0)≠0,则f(0)=1,令x=y=,则f(π)+f(0)=2[f()]2=0,则f(π)=-1;令x=y=π,则f(2π)+f(0)=2[f(π)]2=2,则f(2π)=1.第2节二次函数一、选择题1.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当x∈(-∞,-2]时,f(x)是减函数,则f(1)的值为( B )(A)-3 (B)13 (C)7 (D)5解析:函数f(x)=2x2-mx+3图象的对称轴为直线x=,由函数f(x)的增减区间可知=-2,所以m=-8,即f(x)=2x2+8x+3,所以f(1)=2+8+3=13.2.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是( C )(A)[0,+∞) (B)(-∞,0](C)[0,4] (D)(-∞,0]∪[4,+∞)解析:由f(2+x)=f(2-x)可知,函数f(x)图象的对称轴为x==2,又函数f(x)在[0,2]上单调递增,所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.3.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax-5)的图象关于直线x=0对称,则f(x)的最大值是( B )(A)-4 (B)4 (C)4或-4 (D)不存在解析:依题意,函数f(x)是偶函数,则y=x2+ax-5是偶函数,故a=0,则f(x)=(1-x2)(x2-5)=-x4+6x2-5=-(x2-3)2+4,当x2=3时,f(x)取最大值为4.4.设函数f(x)=x2-23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,则g(1)+g(2)+…+g(20)等于( B )(A)56 (B)112 (C)0 (D)38解析:由二次函数图象的性质得,当3≤x≤20时,f(x)+|f(x)|=0,所以g(1)+g(2)+…+g(20)=g(1)+g(2)=f(1)+|f(1)|+f(2)+|f(2)|=112.5.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则x1+x2+…+x m等于( B )(A)0 (B)m (C)2m (D)4m解析:由f(x)=f(2-x)知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又y=|x2-2x-3|的图象也关于直线x=1对称,所以这两函数的交点也关于直线x=1对称.不妨设x1<x2<…<x m,则=1,即x1+x m=2,同理x2+x m-1=2,x3+x m-2=2,…,设S m=x1+x2+…+x m,则S m=x m+x m-1+ (x1)所以2S m=(x1+x m)+(x2+x m-1)+…+(x m+x1)=2m,所以S m=m.6.设函数f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0),若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( D )(A)当a<0时,x1+x2<0,y1+y2<0(B)当a<0时,x1+x2>0,y1+y2>0(C)当a>0时,x1+x2>0,y1+y2<0(D)当a>0时,x1+x2<0,y1+y2>0解析:当a<0时,作出两个函数的图象,如图,因为函数f(x)是奇函数,所以A与A′关于原点对称,显然x2>-x1>0,即x1+x2>0,-y1>y2,即y1+y2<0;当a>0时,作出两个函数的图象,同理有x1+x2<0,y1+y2>0.二、填空题7.二次函数的图象与x轴只有一个交点,对称轴为x=3,与y轴交于点(0,3).则它的解析式为 .解析:由题意知,可设二次函数的解析式为y=a(x-3)2,又图象与y轴交于点(0,3),所以3=9a,即a=,所以y=(x-3)2=x2-2x+3.答案:y=x2-2x+38.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= .解析:由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称,所以b=-2,所以f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-∞,4],所以2a2=4,故f(x)=-2x2+4.答案:-2x2+49.若关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立,则m的取值范围为.解析:只需要在x∈(0,1]时,(x2-4x)min≥m即可.因为函数f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,所以当x=1时,(x2-4x)min=1-4=-3,所以m≤-3.答案:(-∞,-3]10.若函数f(x)=x2-x+a的定义域和值域均为[1,b](b>1),则a= ,b= .解析:因为f(x)=(x-1)2+a-,所以其对称轴为x=1,即[1,b]为f(x)的单调递增区间.所以f(x)min=f(1)=a-=1,①f(x)max=f(b)=b2-b+a=b,②由①②解得答案: 311.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为.解析:由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象如图所示,结合图象可知,当x∈[2,3]时,y=x2-5x+4∈[-,-2],故当m∈(-,-2]时,函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象有两个交点.答案:(-,-2]12.若函数f(x)=cos 2x+asin x在区间(,)上是减函数,则a的取值范围是.解析:f(x)=cos 2x+asin x=-2sin2x+asin x+1,令sin x=t,则f(x)=-2t2+at+1,因为x∈(,),所以t∈(,1).因为f(x)在x∈(,)上是减函数,所以y=-2t2+at+1在t∈(,1)上是减函数,又对称轴是t=,所以≤,所以a≤2.答案:(-∞,2]三、解答题13.已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且f(x)>-2x的解集为{x|1<x<3},方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式. 解:设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)(a<0),则f(x)=ax2-4ax+3a-2x,因为f(x)+6a=ax2-(4a+2)x+9a=0有两个相等的实根,所以Δ=(4a+2)2-36a2=0,解得a=-,或a=1(舍去).因此f(x)的解析式为f(x)=-x2-x-.14.已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.解:因为f(x)的对称轴方程为x=a,且f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,所以a≥2.又x∈[1,a+1],且(a+1)-a≤a-1,所以f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2.因为对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,所以f(x)max-f(x)min≤4,得-1≤a≤3.又a≥2,所以2≤a≤3.所以a的取值范围是[2,3].15.已知函数f(x)= (k∈Z)满足f(2)<f(3).(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式;(2)对于(1)中得到的函数f(x),试判断是否存在q>0,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为[-4,]?若存在,求出q;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知,f(x)在第一象限是增函数.故-k2+k+2>0,解得-1<k<2.又因为k∈Z,所以k=0或k=1.当k=0或k=1时,-k2+k+2=2,所以f(x)=x2.(2)假设存在q>0满足题设,由(1)知g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2].因为g(2)=-1,所以两个最值点只能在端点(-1,g(-1))和顶点(,)处取得.所以-1<<2,q>0,g(x)max==,g(x)min=g(-1)=2-3q=-4.解得q=2,所以存在q=2满足题意.第3节二次函数与不等式一、选择题1.已知不等式2x≤x2的解集为P,不等式(x-1)(x+2)<0的解集为Q,则集合P∩Q等于( B )(A){x|-2<x≤2} (B){x|-2<x≤0}(C){x|0≤x<1} (D){x|-1<x≤2}解析:P={x|x2-2x≥0}={x|x≤0或x≥2},Q={x|-2<x<1},所以P∩Q={x|-2<x≤0}.2.使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是( C )(A)x≥0 (B)x<0或x>2(C)x∈{-1,3,5} (D)x≤-或x≥3解析:不等式2x2-5x-3≥0的解集是{x|x≥3或x≤-}.由题意,选项中x的范围应该是上述解集的真子集,只有C满足. 3.已知函数f(x)=-x2-mx+1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)>0成立,则实数m的取值范围是( B )(A)[-,0] (B)(-,0)(C)[0,] (D)(0,)解析:函数f(x)=-x2-mx+1的图象开口向下,且过点(0,1),所以为使对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)>0,须即所以-<m<0.4.若关于x的不等式ax-b>0的解集是(-∞,-2),则关于x的不等式>0的解集为( B )(A)(-2,0)∪(1,+∞)(B)(-∞,0)∪(1,2)(C)(-∞,-2)∪(0,1)(D)(-∞,1)∪(2,+∞)解析:关于x的不等式ax-b>0的解集是(-∞,-2),所以a<0,=-2,所以b=-2a,所以=>0,因为a<0,所以<0,解得x<0或1<x<2.5.若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是( A )(A)(-,+∞) (B)[-,1](C)(1,+∞) (D)(-∞,-]解析:由Δ=a2+8>0,知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一正根、一负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0,解得a>-,故a的取值范围为(-,+∞).6.已知f(x)=不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是( A )(A)(-∞,-2) (B)(-∞,0)(C)(0,2) (D)(-2,0)解析:f(x)为R上的减函数,故f(x+a)>f(2a-x)⇔x+a<2a-x,即2x<a在[a,a+1]上恒成立,所以(2x)max=2(a+1)<a,得a<-2.二、填空题7.不等式<4的解集为.解析:由题意得x2-x<2⇒-1<x<2,解集为(-1,2).答案:(-1,2)8. 若“x∈{a,3}”是“不等式2x2-5x-3≥0成立”的一个充分不必要条件,则实数a的取值范围是.解析:由题设2a2-5a-3≥0,解得a≥3或a≤-,由集合中元素的互异性可得a≠3.答案:(-∞,-]∪(3,+∞)9.设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2)=,则实数a的取值范围是.解析:因为f(x+3)=f(x),所以f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)<-1. 所以<-1⇔<0⇔(3a-2)(a+1)<0,所以-1<a<.答案:(-1,)10.在R 上定义运算:( a b c d )=ad-bc,若不等式(121 x a a x --+　)≥1对任意实数x 恒成立,则实数a 的最大值为 .解析:由定义知,不等式（121 x a a x --+　）≥1等价于x 2-x-(a 2-a-2)≥1, 所以x 2-x+1≥a 2-a 对任意实数x 恒成立.因为x 2-x+1=（x-）2+≥,所以a 2-a ≤,解得-≤a ≤,则实数a 的最大值为.答案:11.对于实数x,规定[x]表示不大于x 的最大整数,那么不等式4[x]2-36[x]+45<0的解集为 .解析:由题意解得<[x]<,所以[x]的取值为2,3,4,5,6,7,又[x]表示不大于x 的最大整数,故2≤x<8.答案:[2,8)12.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x -2.若同时满足条件: ①对任意x ∈R,f(x)<0或g(x)<0;②存在x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0.则m的取值范围是.解析:当x<1时,g(x)<0,当x>1时,g(x)>0,当x=1时,g(x)=0,m=0不符合要求;当m>0时,根据函数f(x)和函数g(x)的单调性,一定存在区间[a,+∞)使f(x)≥0且g(x)≥0,故m>0时不符合第①条的要求;当m<0时,如图所示,如果符合①的要求,则函数f(x)的两个零点都得小于1,如果符合第②条要求,则函数f(x)至少有一个零点小于-4,问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点,其中较大的零点小于1,较小的零点小于-4,函数f(x)的两个零点是2m,-(m+3),故m满足或解第一个不等式组得-4<m<-2,第二个不等式组无解,故所求m的取值范围是(-4,-2).答案:(-4,-2)三、解答题13.已知函数f(x)=x2-(a+1)x+b.(1)若f(x)<0的解集为(-1,3),求a,b的值;(2)当a=1时,若对任意x∈R,f(x)≥0恒成立,求实数b的取值范围;(3)当b=a时,解关于x的不等式f(x)<0(结果用a表示).解:(1)由已知,x2-(a+1)x+b=0的两个根为-1和3,所以解得a=1,b=-3.(2)当a=1时,f(x)=x2-2x+b,因为对任意x∈R,f(x)≥0恒成立,所以Δ=(-2)2-4b≤0,解得b≥1,所以实数b的取值范围是[1,+∞).(3)当b=a时,f(x)<0,即x2-(a+1)x+a<0,所以(x-1)(x-a)<0,所以当a<1时,不等式f(x)<0的解集为{x|a<x<1};当a=1时,不等式f(x)<0的解集为 ;当a>1时,不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<a}.14.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在[-1,1]上恒小于零,求实数a的取值范围.解:由题可知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.当x=0时,有-3<0恒成立;当x≠0时,a<（-）2-,因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当=1,即x=1时,不等式右边取最小值,所以a<.实数a的取值范围是(-∞,).15.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2.所以f(x)=(x+1)2.所以F(x)=所以F(2)+F(-2)=(2+1)2-(-2+1)2=8.(2)由题可知,f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.又-x的最小值为0,--x的最大值为-2,所以-2≤b≤0.故b的取值范围是[-2,0].第4节函数的单调性与最值一、选择题1.给定函数①y=,②y=lo(x+1),③y=,④y=2x+1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( B )(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④解析:①y=在(0,1)上递增;②因为t=x+1在(0,1)上递增,且0<<1,故y=lo(x+1)在(0,1)上递减;③结合图象可知y=|x-1|在(0,1)上递减;④因为u=x+1在(0,1)上递增,且2>1,故y=2x+1在(0,1)上递增.故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则( A )(A)f(-1)<f(3) (B)f(0)>f(3)(C)f(-1)=f(3) (D)f(0)=f(3)解析:依题意得f(3)=f(1),且-1<1<2,于是由函数f(x)在(-∞,2)上是增函数得f(-1)<f(1)=f(3).同理f(0)<f(3).3.函数y=()的单调递增区间为( B )(A)(1,+∞) (B)（-∞,](C)(,+∞) (D)[,+∞)解析:令u=2x2-3x+1=2(x-)2-.因为u=2(x-)2-在(-∞,]上单调递减,函数y=()u在R上单调递减.所以y=()在(-∞,]上单调递增,即该函数的单调递增区间为(-∞,].4.已知f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是( C )(A)(0,1) (B)(0,)(C)[,) (D)[,1)解析:当x=1时,log a1=0,若f(x)为R上的减函数,则(3a-1)x+4a>0在x<1时恒成立,令g(x)=(3a-1)x+4a,则必有即解得≤a<.此时,log a x是减函数,符合题意.5.已知a>0,设函数f(x)=(x∈[-a,a])的最大值为M,最小值为N,那么M+N等于( D )(A)2 016 (B)2 018(C)4 032 (D)4 034解析:由题意得f(x)==2018-.因为y=2 018x+1在[-a,a]上是单调递增的,所以f(x)=2018-在[-a,a]上是单调递增的,所以M=f(a),N=f(-a),所以M+N=f(a)+f(-a)=4 036--=4 034.6.已知函数f(x)的图象关于(1,0)对称,当x>1时,f(x)=log a(x-1),且f(3)=-1,若x1+x2<2,(x1-1)(x2-1)<0,则( B )(A)f(x1)+f(x2)<0 (B)f(x1)+f(x2)>0(C)f(x1)+f(x2)可能为0 (D)f(x1)+f(x2)可正可负解析:因为当x>1时,f(x)=log a(x-1),f(3)=log a2=-1,所以a=,故函数f(x)在(1,+∞)上为减函数,若x1+x2<2,则x2<2-x1,又(x1-1)(x2-1)<0,不妨令x1<1,x2>1,所以f(x2)>f(2-x1),又因为函数f(x)的图象关于(1,0)对称,所以f(x1)=-f(2-x1),此时f(x1)+f(x2)=-f(2-x1)+f(x2)>0.二、填空题7.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是.解析:y=画图象如图所示,可知递增区间为[0,].答案:[0,]8.已知函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a 的取值范围为.解析:由已知可得解得-3<a<-1或a>3.答案:(-3,-1)∪(3,+∞)9.函数f(x)=lg(9-x2)的定义域为;其单调递增区间为.解析:对于函数f(x)=lg(9-x2),令9-x2>0,解得-3<x<3,即函数的定义域为(-3,3).令g(x)=9-x2,则函数f(x)=lg(g(x)),又函数g(x)在定义域内的增区间为(-3,0].所以函数f(x)=lg(9-x2)在定义域内的单调递增区间为(-3,0].答案:(-3,3) (-3,0]10.已知函数f(x)=则f(x)的最小值是.解析:当x≥1时,x+-3≥2-3=2-3,当且仅当x=,即x=时等号成立,此时f(x)min=2-3<0;当x<1时,lg(x2+1)≥lg(02+1)=0,此时f(x)min=0.所以f(x)的最小值为2-3.答案:2-311.设0<x<1,则函数y=+的最小值是.解析:y=+=,当0<x<1时,0<x(1-x)=-(x-)2+≤.所以y≥4.答案:412.已知f(x)=不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是.解析:作出函数f(x)图象的草图如图,易知函数f(x)在R上为减函数,所以不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立等价于x+a<2a-x,即x<在[a,a+1]上恒成立,所以只需a+1<,即a<-2.答案:(-∞,-2)三、解答题13.求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.解:f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为x=a.(1)当a<0时,由图①可知,f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.(2)当0≤a<1时,由图②可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.(3)当1<a≤2时,由图③可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0)=-1.(4)当a>2时,由图④可知,f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.综上,当a<0时,f(x)min=-1,f(x)max=3-4a;当0≤a<1时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=3-4a;当1<a≤2时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=-1;当a>2时,f(x)min=3-4a,f(x)max=-1.14.已知f(x)=(x≠a).(1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.(1)证明:任取x1<x2<-2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增.(2)解:任取1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1.综上所述,a的取值范围是(0,1].15.函数y=f(x)的定义域为R,若存在常数M>0,使得|f(x)|≥M|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为“圆锥托底型”函数.(1)判断函数f(x)=2x,g(x)=x3是否为“圆锥托底型”函数?并说明理由.(2)若f(x)=x2+1是“圆锥托底型”函数,求出M的最大值.解:(1)对于函数f(x)=2x,因为|2x|=2|x|≥2|x|,即对于一切实数x使得|f(x)|≥2|x|成立,所以函数f(x)=2x是“圆锥托底型”函数.对于g(x)=x3,如果存在M>0满足|x3|≥M|x|,而当x=时,由||3≥M||,所以≥M,得M≤0,矛盾,所以g(x)=x3不是“圆锥托底型”函数.(2)因为f(x)=x2+1是“圆锥托底型”函数,故存在M>0,使得|f(x)|=|x2+1|≥M|x|对于任意实数恒成立.所以x≠0时,M≤|x+|=|x|+,此时当x=±1时,|x|+取得最小值2,所以M≤2.而当x=0时,也成立.所以M的最大值等于2.第5节函数的奇偶性与周期性一、选择题1.在函数y=xcos x,y=e x+x2,y=lg,y=xsin x中,偶函数的个数是( B )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0解析:y=xcos x是奇函数,y=lg和y=xsin x是偶函数,y=e x+x2是非奇非偶函数,所以偶函数的个数是2.2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( B )(A)y=cos 2x,x∈R(B)y=log2|x|,x∈R且x≠0(C)y=,x∈R(D)y=x3+1,x∈R解析:选项A中函数y=cos 2x在区间(0,)上单调递减,不满足题意;选项C中的函数为奇函数;选项D中的函数为非奇非偶函数.3.设f(x)=x+sin x(x∈R),则下列说法错误的是( D )(A)f(x)是奇函数(B)f(x)在R上单调递增(C)f(x)的值域为R(D)f(x)是周期函数解析:因为f(-x)=-x+sin(-x)=-(x+sin x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,故A正确;因为f′(x)=1+cos x≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,故B正确;f(x)的值域为R,故C正确;f(x)不是周期函数,D错误. 4.已知定义域为{x|x≠0}的函数f(x)为偶函数,且f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,若f(-3)=0,则<0的解集为( D )(A)(-3,0)∪(0,3) (B)(-∞,-3)∪(0,3)(C)(-∞,-3)∪(3,+∞) (D)(-3,0)∪(3,+∞)解析:由已知条件,可得函数f(x)的图象大致如图,故<0的解集为(-3,0)∪(3,+∞).5.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时,f(x)=0,则f()等于( A )(A) (B) (C)0 (D)-解析:因为f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x)+sin x-sin x=f(x),所以f(x)的周期T=2π,又因为当0≤x<π时,f(x)=0,所以f()=f(-+π)=f(-)+sin(-)=0,所以f(-)=,所以f()=f(4π-)=f(-)=.6.已知定义在R上的奇函数f(x)在x>0时满足f(x)=x4,且f(x+t)≤4f(x)在x∈[1,16]时恒成立,则实数t的最大值是( A )(A)-1 (B)16(-1)(C)+1 (D)16(+1)解析:因为f(x)在x>0时满足f(x)=x4,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)在R上为奇函数,所以f(x)在R上单调递增,而f(x+t)≤4f(x)(x∈[1,16])等价于f(x+t)≤f(x)(x∈[1,16]),即当x∈[1,16]时,x+t≤x恒成立,即t≤(-1)x,x∈[1,16],所以只需t≤-1,故t的最大值为-1.二、填空题7.设函数f(x)=x(e x+a)(x∈R)是偶函数,则实数a的值为.解析:因为f(x)是偶函数,所以恒有f(-x)=f(x),即-x(e-x+ae x)=x(e x+ae-x),化简得x(e-x+e x)(a+1)=0.因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1.答案:-18.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)= .解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,因此f(-x)+f(x)=0.当x=0时,可得f(0)=0,可得b=-1,此时f(x)=2x+2x-1,因此f(1)=3.又f(-1)=-f(1),所以f(-1)=-3.答案:-39.奇函数f(x)的周期为4,且x∈[0,2],f(x)=2x-x2,则f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)的值为.解析:函数f(x)是奇函数,则f(0)=0,由f(x)=2x-x2,x∈[0,2]知f(1)=1,f(2)=0,又f(x)的周期为4,所以f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)=f(2)+f(3)+f(0)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-1.答案:-110.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)满足f(x+3)=f(x),且f(1)≥1,f(2)=,则m的取值范围是.解析:因为f(x+3)=f(x),所以f(2)=f(-1+3)=f(-1).因为f(x)为奇函数,且f(1)≥1,所以f(-1)=-f(1)≤-1,所以≤-1.解得-1<m≤.答案:(-1,]11.已知函数f(x)满足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2 018)= .解析:法一令x=1,y=0时,4f(1)·f(0)=f(1)+f(1),解得f(0)=,令x=1,y=1时,4f(1)·f(1)=f(2)+f(0),解得f(2)=-,令x=2,y=1时,4f(2)·f(1)=f(3)+f(1),解得f(3)=-,依次求得f(4)=-,f(5)=,f(6)=,f(7)=,f(8)=-,f(9)=-,…可知f(x)是以6为周期的函数,所以f(2 018)=f(336×6+2)=f(2)=-.法二因为f(1)=,4f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),所以构造符合题意的函数f(x)=cos x,所以f(2 018)=cos(×2 018)=-.答案:-12.已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为.解析:易知f(x)在R上为单调递增函数,且f(x)为奇函数,由f(mx-2)+ f(x)<0,得f(mx-2)<-f(x)=f(-x),所以mx-2<-x,即mx+x-2<0对所有m∈[-2,2]恒成立,令h(m)=mx+x-2,此时,只需解得x∈(-2,).答案:(-2,)三、解答题13.已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围. 解:(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)由(1)及已知,f(x)在(-∞,-1]上是减函数,在[-1,1]上是增函数,在[1,+∞)上是减函数,要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,必需且只需所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].14.已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,求满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围.解:因为f(x)的定义域为[-2,2],所以解得-1≤m≤. ①又f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减,所以f(x)在[-2,2]上递减,所以f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),即1-m>m2-1,解得-2<m<1. ②综合①②可知,-1≤m<1.即实数m的取值范围是[-1,1).第6节函数单调性、奇偶性与周期性综合运用一、选择题1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=-,当1≤x≤2时,f(x)=x-2,则f(6.5)等于( D )(A)4.5 (B)-4.5 (C)0.5 (D)-0.5解析:由f(x+2)=-,得f(x+4)=-=f(x),所以f(x)的周期是4,得f(6.5)=f(2.5).因为f(x)是偶函数,则f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5).而1≤x≤2时,f(x)=x-2,所以f(1.5)=-0.5.由上知f(6.5)=-0.5.2.设函数f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函数,则f(-1)与f(2)的大小关系是( A )(A)f(-1)>f(2) (B)f(-1)<f(2)(C)f(-1)=f(2) (D)无法确定解析:由y=f(x+1)是偶函数,得到y=f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(-1)=f(3).又f(x)在[1,+∞)上为单调增函数,所以f(3)>f(2),即f(-1)>f(2).3.已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f(x+)=f（x-）.则f(6)等于( D ) (A)-2 (B)-1 (C)0 (D)2解析:因为当x>时,f（x+）=f（x-）,所以x>1时,f(x)=f(x-1),即f(6)=f(1).因为当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1).因为当x<0时,f(x)=x3-1,所以f(6)=f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.4.定义在R上的函数f(x)既是奇函数,又是周期函数,T是它的一个正周期.若将方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数记为n,则n可能为( D )(A)0 (B)1 (C)3 (D)5解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.又因为T是函数f(x)的一个正周期,所以f(T)=f(-T)=f(0)=0,又f（-）=f（T-）=f（）,且f（-）=-f（）,所以f（）=0,于是可得f（-）=f（）=0.所以方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数可能为5.5.已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+ f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是( C )(A)(B)(C)- (D)-解析:令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,且f(x)是奇函数,则f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),又因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ只有一个根,即2x2-x+1+λ=0只有一个根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.6.记max{x,y}=若f(x),g(x)均是定义在实数集R上的函数,定义函数h(x)=max{f(x),g(x)},则下列命题正确的是( C )(A)若f(x),g(x)都是单调函数,则h(x)也是单调函数(B)若f(x),g(x)都是奇函数,则h(x)也是奇函数(C)若f(x),g(x)都是偶函数,则h(x)也是偶函数(D)若f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则h(x)既不是奇函数,也不是偶函数解析:对于A,如f(x)=x,g(x)=-2x都是R上的单调函数,而h(x)=不是定义域R上的单调函数,故A错误;对于B,如f(x)=x,g(x)=-2x都是R上的奇函数,而h(x)=不是定义域R上的奇函数,故B错误;对于C,当f(x),g(x)都是定义域R上的偶函数时,h(x)=max{f(x),g(x)}也是定义域R上的偶函数,故C正确;对于D,如f(x)=sin x是定义域R上的奇函数,g(x)=x2+2是定义域R 上的偶函数,而h(x)=g(x)=x2+2是定义域R上的偶函数,故D错误.二、填空题7.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),且f(x)=f(x+6),当x∈[0,3]时,f(x)单调递增,则f(x)在[4,5]上单调.(递增,递减)解析:由已知,f(x)在[-3,0]上单调递减,又周期为6,所以f(x)在[3,6]上单调递减,在[4,5]上单调递减.答案:递减8.已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2 018)的值为.解析:由g(x)=f(x-1),得g(-x)=f(-x-1),又g(x)为R上的奇函数,所以g(-x)=-g(x),所以f(-x-1)=-f(x-1),即f(x-1)=-f(-x-1),用x+1替换x,得f(x)=-f(-x-2).又f(x)是R上的偶函数,所以f(x)=-f(x+2).所以f(x)=f(x+4),即f(x)的周期为4.所以f(2 018)=f(4×504+2)=f(2)=2.答案:29.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)= 4x,则f（-）+f(2)= .解析:因为f(x)是周期为2的函数,所以f(x)=f(x+2).又f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),f(0)=0.所以f（-）=f（-）=-f（）=-4×=-2,f(2)=f(0)=0,所以f（-）+f(2)=-2.答案:-210.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0),在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= .解析:因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(4-x)=f(x).因此,函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数,如图所示,方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1+x4=-4,x2+x3=-4.所以x1+x2+x3+x4=-8.答案:-811.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=(),则①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;④当x∈(3,4)时,f(x)=()x-3.其中所有正确命题的序号是.解析:由已知条件:f(x+1)=f(x-1)得f(x+2)=f(x),则y=f(x)是以2为周期的周期函数,①正确;当-1≤x≤0时0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=()1+x,函数y=f(x)的图象如图所示,当3<x<4时,-1<x-4<0,f(x)=f(x-4)=()x-3,因此②④正确.③不正确. 答案:①②④三、解答题12.已知函数f(x)=x2+(x≠0).(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若f(1)=2,试判断f(x)在[2,+∞)上的单调性.解:(1)当a=0时,f(x)=x2,f(-x)=f(x),函数是偶函数.当a≠0时,f(x)=x2+(x≠0),取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0;f(-1)-f(1)=-2a≠0,所以f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,此时f(x)=x2+.任取x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(+)-(+)=(x1+x2)(x1-x2)+=(x1-x2)(x1+x2-).由于x1≥2,x2≥2,且x1<x2,所以x1-x2<0,x1+x2>,所以f(x1)<f(x2),故f(x)在[2,+∞)上是增函数.13.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.解:(1)因为对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.(2)f(x)为偶函数.证明如下:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x-1)<2⇔f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0,+∞)上是增函数.所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1.所以x的取值范围是(-15,1)∪(1,17).14.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2 018,2 018]上根的个数,并证明你的结论.解:(1)若y=f(x)为偶函数,则f(-x)=f[2-(x+2)]=f[2+(x+2)]=f(4+x)=f(x),所以f(7)=f(3)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0 矛盾;因此f(x)不是偶函数.若y=f(x)为奇函数,则f(0)=f(-0)=-f(0),所以f(0)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是奇函数.综上可知:函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)因为f(x)=f[2+(x-2)]=f[2-(x-2)]=f(4-x),f(x)=f[7+(x-7)]=f[7-(x-7)]=f(14-x),所以f(14-x)=f(4-x),即f[10+(4-x)]=f(4-x),所以f(x+10)=f(x),即函数f(x)的周期为10.对于区间[7,10],令7+x∈[7,10],则x∈[0,3],7-x∈[4,7],又f(7-x)=f(7+x),f(x)在[4,7]内无零点,所以f(x)在[7,10]内无零点.又因为f(1)=f(3)=0,所以f(1)=f(1+10n)=0(n∈Z),f(3)=f(3+10n)=0(n∈Z),即只有x=1+10n和x=3+10n(n∈Z)是方程f(x)=0的根.由-2 018≤1+10n≤2 018及n∈Z可得n=0,±1,±2,±3,…,±201,共403个;由-2 018≤3+10n≤2 018及n∈Z可得n=0,±1,±2,±3,…,±201,-202,共404个;所以方程f(x)=0在闭区间[-2 018,2 018]上的根共有807个.第7节函数的图象一、选择题1.函数f(x)=的图象大致为( A )解析:因为f(x)=,所以f(0)=0,排除选项C,D;当0<x<π时,sin x>0,所以当0<x<π时,f(x)>0,排除选项B.2.(2016·浙江卷)函数y=sin x2的图象是( D )解析:因为y=sin x2为偶函数,所以它的图象关于y轴对称,排除A,C 选项;当x=时,y=sin ≠1,排除B选项,故选D.3.函数y=的图象大致是( C )解析:由题意得,x≠0,排除A;当x<0时,x3<0,3x-1<0,所以>0,排除B;又因为x→+∞时,→0,所以排除D.4.函数f(x)=的图象如图所示,则下列结论成立的是( C )(A)a>0,b>0,c<0(B)a<0,b>0,c>0(C)a<0,b>0,c<0(D)a<0,b<0,c<0解析:函数定义域为{x|x≠-c},结合图象知-c>0,所以c<0.令x=0,得f(0)=,又由图象知f(0)>0,所以b>0.令f(x)=0,得x=-,结合图象知->0,所以a<0.5.已知函数y=f(x)及y=g(x)的图象分别如图所示,方程f(g(x))=0和g(f(x))=0的实根个数分别为a和b,则ab等于( A )(A)24 (B)15 (C)6 (D)4解析:由图象知,f(x)=0有3个根,分别为0,±m(m>0),其中1<m<2, g(x)=0有2个根n,p,-2<n<-1,0<p<1,由f(g(x))=0,得g(x)=0或±m,由图象可知当g(x)所对应的值为0,±m时,其都有2个根,因而a=6;由g(f(x))=0,知f(x)=n或p,由图象可以看出当f(x)=n时,有1个根,而当f(x)=p时,有3个根,即b=1+3=4.所以ab=24.6.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,点P以1 cm/s 的速度沿A→B→C的路径向C移动,点Q以2 cm/s的速度沿B→C→A 的路径向A移动,当点Q到达A点时,P,Q两点同时停止移动.记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为S=f(t),则f(t)的图象大致为( A )解析:当0≤t≤4时,点P在AB上,点Q在BC上,此时PB=6-t,QC=8-2t,则S=f(t)=QC×BP=(8-2t)×(6-t)=t2-10t+24;当4≤t≤6时,点P 在AB上,点Q在CA上,此时AP=t,P到AC的距离为t,QC=2t-8,则S=f(t)=QC×t=(2t-8)×t=(t2-4t);当6≤t≤9时,点P在BC上,点Q在CA上,此时CP=14-t,QC=2t-8,则S=f(t)=QC×CPsin ∠ACB= (2t-8)·(14-t)×=(t-4)·(14-t).综上,函数f(t)对应的图象是三段抛物线,依据开口方向得图象是A.二、填空题7.若函数y=f(x)的图象过点(1,1),则函数y=f(4-x)的图象一定经过点.解析:由于函数y=f(4-x)的图象可以看作y=f(x)的图象先关于y轴对称,再向右平移4个单位长度得到.点(1,1)关于y轴对称的点为(-1,1),再将此点向右平移4个单位长度,可推出函数y=f(4-x)的图象过定点(3,1).答案:(3,1)8.函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0), (1,2),(3,1),则f()= .解析:由已知f(3)=1,所以=1.所以f()=f(1)=2.答案:29.给定min{a,b}=已知函数f(x)=min{x,x2-4x+4}+4,若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有3个交点,则实数m的取值范围为.解析:设g(x)=min{x,x2-4x+4},则f(x)=g(x)+4,故把g(x)的图象向上平移4个单位长度,可得f(x)的图象,函数f(x)=min{x,x2-4x+4}+4的图象如图所示,由于直线y=m与函数y=f(x)的图象有3个交点,数形结合可得m的取值范围为(4,5).答案:(4,5)10.函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式<0的解集为.解析:在[0,)上y=cos x>0,在(,4]上y=cos x<0.由f(x)的图象知在(1,)上<0,因为f(x)为偶函数,y=cos x也是偶函数,所以y=为偶函数,所以<0的解集为(-,-1)∪(1,).答案:(-,-1)∪(1,)11.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为.解析:令g(x)=log2(x+1),作出函数g(x)的图象如图.由得所以结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1≤x≤1}.答案:{x|-1≤x≤1}12.若当x∈(1,2)时,函数y=(x-1)2的图象始终在函数y=log a x的图象的下方,则实数a的取值范围是.解析:如图,在同一平面直角坐标系中画出函数y=(x-1)2和y=log a x的图象.由于当x∈(1,2)时,函数y=(x-1)2的图象恒在函数y=log a x的图象的下方,则解得1<a≤2.答案:(1,2]三、解答题13.讨论方程|1-x|=kx的实数根的个数.解:可以利用函数图象确定方程实数根的个数.设y1=|1-x|,y2=kx,则方程的实根的个数就是函数y1=|1-x|的图象与y2=kx的图象交点的个数.由图象可知:当-1≤k<0时,方程没有实数根;当k=0或k<-1或k≥1时,方程只有一个实数根;当0<k<1时,方程有两个不相等的实数根.14.已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.(1)求实数m的值;(2)作出函数f(x)的图象;(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间;(4)若方程f(x)=a只有一个实数根,求a的取值范围.解:(1)因为f(4)=0,所以4|m-4|=0,即m=4.(2)f(x)=x|x-4|=f(x)的图象如图所示.(3)f(x)的单调递减区间是[2,4].(4)从f(x)的图象可知,当a<0或a>4时,f(x)的图象与直线y=a只有一个交点,即方程f(x)=a只有一个实数根,所以a的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).15.设函数f(x)=x+的图象为C1,C1关于点A(2,1)的对称图象为C2,C2对应的函数为g(x).(1)求函数g(x)的解析式;(2)若直线y=b与C2有且仅有一个公共点,求b的值,并求出交点的坐标.解:(1)设曲线C2上的任意一点为P(x,y),则P关于A(2,1)的对称点P′(4-x,2-y)在C1上,所以2-y=4-x+,即y=x-2+=,。

高考数学一轮复习函数的概念专题测试题(带答案)

高考数学一轮复习函数的概念专题测试题（带答案）在一个变化进程中，有两个变量x、y，假设给定一个x 值，相应的就确定独一的一个y，那么就称y是x的函数，以下是2021高考数学一轮温习函数的概念专题测试题，请大家细心停止检测。

一、选择题1.(文)(2021朝阳一模)函数y=f(x)是奇函数，当x0时，f(x)=lgx，那么f(f())的值等于()A. lg1B.-lg1C.lg2D.-lg2[答案] D[解析] 当x0时，-x0，那么f(-x)=lg(-x).又函数为奇函数，f(-x)=-f(x)，f(x)=-lg(-x).f()=lg=-2，f(f())=f(-2)=-lg2.(理)(2021辽宁文，7)函数f(x)=ln(-3x)+1，那么f(lg2)+f(lg)=()A.-1B.0C.1D.2[答案] D[解析] 此题主要考察函数的性质与换底公式.f(x)=ln(-3x)+1=-ln(+3x)+1，f(-x)=ln(+3x)+1，f(x)+f(-x)=2，又lg=-lg2，f(lg2)+f(lg)=2，应选D.2.f(x)=2x，那么函数y=f(|x-1|)的图象为()[答案] D[解析] 法一：f(|x-1|)=2|x-1|.当x=0时，y=2.可扫除A、C.当x=-1时，y=4.可扫除B.法二：y=2xy=2|x|y=2|x-1|，经过图象的对称、平移可失掉所求.3.(2021新课标文，5)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，那么以下结论中正确的选项是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数[答案] C[解析] 此题考察函数的奇偶性.由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，得f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x).f(x)g(x)是奇函数，|f(x)|g(x)是偶函数，f(x)|g(x)|是奇函数，|f(x)g(x)|是偶函数，选C.4.(2021山东文，5)函数f(x)=+的定义域为()A.(-3,0]B.(-3,1]C.(-，-3)(-3,0]D.(-，-3)(-3,1][答案] A[解析] 此题考察了定义域的求法.由题意知即即30，00，所以f(-x)=-x(1-x)，又f(x)为奇函数，所以当x0时有f(x)=x(1-x)，当a0时，f(a)=a(a+1)=-2，无解;当a0时，f(a)=a(1-a)=-2，得a2-a-2=0，解得a=-1或a=2(舍去)，综上知a=-1.8.(2021吉林市质检)函数f(x)=，那么f[f()]=________. [答案][解析] f()=log4=-1，f[f()]=f(-1)=3-1=.9.(2021唐山市一模)函数y=log3(2cosx+1)，x(-，)的值域为________.[答案] (-，1][解析] x(-，)，cosx(-，1]，2cosx+1(0,3]，log3(2cosx+1)log33=1.10.(2021北京海淀区期中)函数f(x)=有三个不同的零点，那么实数a的取值范围是________.[答案] 1时，f(x)g(x)恒成立，应选C.12.(文)(2021湖南理，3)f(x)、g(x)区分是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，那么f(1)+g(1)=() A.-3 B.-1C.1D.3[答案] C[解析] 此题考察函数的奇偶性.区分令x=1和x=-1可得f(1)-g(1)=3且f(-1)-g(-1)=1f(1)+g(1)=1，那么f(1)+g(1)=1，应选C.(理)(2021江西八校联考)f(x)=，那么f(2021)等于()A.-1B.2C.0D.1[答案] D[解析] 2021=4035-2，f(2021)=f(-2)=log22=1.13.(文)(2021福建质检)函数f(x)=logcosx(-0，扫除D，应选C.解法2：应用复合函数单调性的判别方法，由于u=cosx在区间(-，0)、(0，)上区分为增函数和减函数，而y=logu为减函数，故复合函数f(x)=logcosx在区间(-，0)、(0，)上区分为减函数和增函数，应选C.(理)(2021北京东城训练)定义在R上的函数f(x)的对称轴为x=-3，且当x-3时，f(x)=2x-3.假定函数f(x)在区间(k-1，k)(kZ)上有零点，那么k的值为()A.2或-7B.2或-8C.1或-7D.1或-8[答案] A[解析] f(1)=-10，f(2)=10，f(x)在(1,2)上有零点，又f(x)的图象关于直线x=-3对称，f(x)在(-8，-7)上有零点，k=2或-7.14.(2021豫东、豫北十所名校联考)f(x+1)为偶函数，且f(x)在区间(1，+)上单调递减，a=f(2)、b=f(log32)、c=f()，那么有 ()A.alog32，f(2)0时，y=f(x)与y=lnx的图象有4个交点.应选D.(理)(2021河北衡水中学模拟)设f(x)是定义在R上的函数，假定f(0)=2021，且对恣意xR，满足f(x+2)-f(x)32x，f(x+6)-f(x)632x，那么f(2021)=()A.22021+2021B.22021+2021C.22021+2021D.22021+2021[答案] C[解析] 由题意f(2021)f(2021)+322021f(2021)+322021+322021f(0)+3(22 021+22021++22+20)=2021+3=2021+22021f(2021)f(2021)+6322021f(2021)+6322021f(4)+63(22021+ 22021++24)=f(4)+63=f(4)+22021-24又由条件f(x+2)-f(x)32x，f(x+6)-f(x)632x，可得f(x+6)-f(x+2)602x=152x+2即f(x+4)-f(x)152x再由f(x+2)-f(x)32x得f(x+4)-f(x+2)32x+2两式相加得f(x+4)-f(x)152x，f(x+4)-f(x)=152xf(4)-f(0)=15，f(4)=f(0)+15=2023，代入解得f(2021)2021+22021由得f(2021)=2021+22021.二、填空题17.(文)设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，假定f(1)1，f(2)=，那么实数a的取值范围是________.[答案] (-1，)[解析] f(x+3)=f(x)，f(-x)=-f(x)，得f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1)，又f(1)1，所以f(2)-1，即-1，解得-10)上的奇函数，令g(x)=af(x)+b，并有关于函数g(x)的四个结论：假定a0，关于[-1,1]内的恣意实数m、n(m0恒成立;函数g(x)是奇函数的充要条件是b=0;aR，g(x)的导函数g(x)有两个零点;假定a1，b0，那么方程g(x)=0必有3个实数根;其中一切正确结论的序号是________.[答案][解析] g(x)=af(x)+b，=，由图知关于f(x)在[-1,1]上恣意两点A(m，f(m))，B(n，f(n))，有kAB=0，又a0恒成立，故正确;g(x)为奇函数g(-x)=-g(x)af(-x)+b=-af(x)-b2b=-a[f(-x)+f(x)]，f(x)为奇函数，f(-x)+f(x)=0，故g(x)为奇函数b=0，故正确; g(x)=af (x)，由图知f(x)在[-c，c]上减、增、减，f (x)在[-c，c]上取值为负、正、负，从而当a0时，g(x)=0在[-c，c]上与x轴必有两个交点，又a=0时，g(x)=0在[-c，c]上恒成立，aR，g(x)在[-c，c]上有两个零点，故正确;取a=1，b=-5，那么g(x)=f(x)-5与x轴无交点，方程g(x)=0无实根，错误.三、解答题19.函数f(x)的定义域为R，对恣意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+，且f()=0，当x时，f(x)0.(1)求f(1);(2)判别f(x)的增减性并证明.[解析] (1)令x=y=，得f(1)=f()+f()+=.(2)f(x)为增函数，证明：任取x1、x2R，且x2x1，x=x2-x10，那么：y=f(x2)-f(x1)=f(x1+x)-f(x1)=f(x)+f(x1)+-f(x1)=f(x)+ =f(x)+f()+=f(x+)，又0，x+，f(x+)0，f(x2)f(x1)，f(x)在R上是增函数.2021高考数学一轮温习函数的概念专题测试题及答案的全部内容就是这些，查字典数学网希望对考生温习函数的知识有协助。

高三数学一轮复习典型题专题训练：函数(含解析)

高三数学一轮复习典型题专题训练：函数(含解析)1.函数y=log7(x^2-4x+3)的定义域为(x3)。

2.若函数f(x)=a+x是奇函数，则实数a的值为0.3.函数f(x)=lg(2-x)+2+x的定义域是(x<2)。

4.已知8a=2，loga(x)=3a，则实数x=64.5.已知奇函数y=f(x)是R上的单调函数，若函数g(x)=f(x)+f(a-x^2)只有一个零点，则实数a的值为1.6.已知函数f(x)=(x+m)e^(x/2-(m+1)/2)在R上单调递增，则实数m的取值集合为(m>-1)。

7.已知函数f(x)为偶函数，且x>0时，f(x)=x+x，则f(-1)=2.8.已知函数f(x)=(x-1)(px+q)为偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则f(x-3)<0的解集为(x∈(1,3))。

9.函数y=1-lnx的定义域为(x>0)。

10.已知函数f(x)=logx，x>2或3x-4，xa的解集为(x∈(e^(a+1)/3.+∞))，实数a的所有可能值之和为(e^2-1)/2.11.已知y=f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=ex+1，则f(-ln2)=1/e。

12.函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围为(a∈(-∞,1/3)或(1.+∞))。

13.已知a,b∈R，函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，则关于x的不等式f(2-x)>0的解集为(x∈(0,2-b/a)∪(2+b/a,+∞))。

14.设函数f(x)=2x^2，x≤0，-x^2+2x，x>0，则实数k的取值范围为(k∈(-∞,2))。

15.已知函数f(x)＝若存在唯一的整数x，－3|x－1|＋3，x＞0.要使得f(x)－a＞0成立，即要求f(x)＞a，因为f(x)是整数，所以a的取值范围为a≤2.16.已知函数f(x)＝x＋(a−1)lnx，当x∈[1,3]时，函数f(x)的值域为[f(1),f(3)]。

高三数学一轮复习《函数及其性质》专项练习题(含答案)

高三数学一轮复习《函数及其性质》专项练习题（含答案）一、单选题1．在下列函数中，函数y x =表示同一函数的（）A ．2y x =（） B ．33y x = C ．00x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，，，D ．2x y x=2．函数()12x f x x -=-的定义域为（） A ．[)()1,22,⋃+∞ B ．()1,+∞ C ．[)2,+∞ D ．[)1,23．函数()221xf x x =-的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．4．函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对任意x ∈R 满足()()0f x f x '+<，则下列结论一定正确的是（）A ．()()23e 2e 3f f >B ．()()23e 2e 3f f <C ．()()32e 2e 3f f >D ．()()32e 2e 3f f <6．已知()22143f x x -=+，则()f x =（）．A ．224x x -+B ．22x x +C ．221x x --D ．224x x ++7．若函数2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且()4f m =，则实数m 的值为（）A ．6B ．6或6-C ．6-D ．38．已知全集{}2|A y y x x ==-，集合{}2|1B x x =<，则A B =（）A ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， B ．[)1+∞， C ．()1+∞， D ．102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9．已知函数()231,03,0x x f x x x a x ⎧+≥=⎨-++<⎩的值域为[)1,+∞，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．()3,+∞D ．[)3,+∞10．2sin ()cos x xf x x x --=+在[,]-ππ的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．11．若()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是单调函数，又(2)0f =，则关于x 的不等式()0xf x <的解集是（） A ．{|20x x -<<或2}x > B ．{|2x x <-或02}x << C ．{|20x x -<<或02}x <<D ．{|2x x <-或2}x >12．设0.02e 1a =-，()0.012e 1b =-，sin0.01tan0.01c =+，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>二、填空题13．函数()f x =__________．14．已知函数(21)y f x =+的定义域为[]1,2-，则函数(1)=-y f x 的定义域为_________.15．已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a ______.16．已知函数2()ln 3f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围为________.三、解答题17．已知函数()f x 是二次函数，(1)0f -=，(3)(1)4f f -==． (1)求()f x 的解析式； (2)解不等式(1)4f x -≥．18．已知函数()32f x x ax =-，a ∈R ，且()11f '=．求：(1)a 的值及曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)函数()f x 在区间[]0,2上的最大值．19．()2e 1xf x a =-+是奇函数 (1)求a(2)判断并证明()f x 的单调性(3)若()()220f t f t -+>，求t 的取值范围20．已知函数()21x mf x nx -=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()112f =. (1)求,m n 的值；(2)判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并用定义证明；21．已知函数()2f x x x=-. (1)判断()f x 在区间(),0-∞上的单调性，并用定义证明； (2)判断()f x 的奇偶性，并求()f x 在区间[]1,2上的值域.22．已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦．(1)当2k =时，求函数()f x 在[0,)+∞的值域；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围．23．如图，在半径为6 m 的14圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC ，其中点B 在圆弧上，点A ，C 在两半径上，现将此矩形铝皮OABC 卷成一个以AB 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长|AB |=x m ，圆柱的体积为V m 3.(1)写出体积V 关于x 的函数关系式，并指出定义域；(2)当x 为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V 最大? 最大体积是多少?24．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为()f x ，双曲余弦函数为()g x ，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质： ①定义域均为R ，且()f x 在R 上是增函数； ②()f x 为奇函数，()g x 为偶函数；③()()e xf xg x +=（常数e 是自然对数的底数，e 2.71828=）．利用上述性质，解决以下问题：(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； (2)证明：对任意实数x ，()()22f xg x -⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦为定值； (3)已知m ∈R ，记函数()()224y m g x f x =⋅-，[]0,ln 2x ∈的最小值为()m ϕ，求()m ϕ参考答案1．C2．A3．A4．A5．A6．D7．B8．D9．D10．C12．A13．)(⎡⋃⎣ 14．[]0,6 15．1 16．10,6⎛⎫⎪⎝⎭17．（1）由(3)(1)f f -=，知此二次函数图象的对称轴为=1x -，又因为(1)0f -=，所以()1,0-是()f x 的顶点，所以设2()(1)f x a x =+ 因为(1)4f =，即2 (11)4a += 所以得1a = 所以2()(1)f x x =+（2）因为2()(1)f x x =+所以2(1)f x x -= (1)4f x -≥化为24x ≥，即2x ≤-或 2x ≥不等式的解集为(,2][2,)-∞-+∞ 18．（1）()32f x x ax =-()'232f x x ax ∴=-()'1321f a ∴=-=，解得：1a =故()32f x x x =-，(1)0f =曲线()y f x =在点()()1,1f 处的斜率为1k =，切线方程(1)(1)y f k x -=- 即1y x =- （2）由（1）可知：()32f x x x =-，()'232f x x x =- 令()'2320f x x x =-=，解得1220,3x x ==故当2[0,)3x ∈时，()'0f x <，所以()f x 单调递减；当2[,2]3x ∈时，()'0f x >，所以()f x 单调递增；()f x 区间[]0,2内，当2x =时取最大值，最大值为(2)4f =19．（1）利用奇函数定义可直接构造方程求得结果；（2）设12x x <，由()()()()()1221212e e 0e1e 1x x x x f x f x --=<++可得单调性；（3）利用奇偶性和单调性将不等式化为22t t <-，解不等式即可求得结果. （1）()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，即()()0f x f x +-=，()21e 222220e 1e 1e 1xx x x a a a a -+∴-+-=-=-=+++，解得：1a =；（2）()f x 在R 上单调递减，证明如下：设12x x <，则()()()()()()122121212e 12e 12211e 1e 1e 1e 1x x x x x x f x f x +-+-=--+=++++()()()12212e e e 1e 1x x x x -=++； x y e =为R 上的增函数，12e e x x ∴<，又2e 10x +>，110x e +>，()()210f x f x ∴-<，f x 在R 上单调递减；（3）由()()220f t f t -+>得：()()22f t f t >--， ()f x 为奇函数， ()()22f t f t ∴--=-， ()()22f t f t ∴>-；由（2）知：()f x 在R 上单调递减，22t t ∴<-，解得：21t -<<，即t 的取值范围为()2,1-.20．（1）()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，()00f m ∴=-=，解得：0m =；()11112f n ==+，1n ∴=；经检验：当0m =，1n =时，()21xf x x =+，则()()21x f x f x x -=-=-+，f x 为奇函数；0m ∴=，1n =.（2）()f x 在[]1,1-上单调递增，证明如下：设1211x x ，()()()()()()()()()()222112121221212122222221212111111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-+-∴-=-==++++++()()()()12122221111x x x x xx --=++；121x x <，120x x -<，2210x +>，2110x +>，()()210f x f x ∴->，f x 是在[]1,1-上单调递增.21．（1）()f x 在区间()0-∞，上单调递减，证明如下： 1x ∀，()20x ∈-∞，，且12x x <，有()()()12122112122222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()21212112121222x x x xx x x x x x x x --=+-=+. 因为1x ，()2,0x ∈-∞，且12x x <，所以120x x >，210x x ->. 于是()21121220x x x x x x -+>，即()()12f x f x >. 所以()f x 在区间()0-∞，上单调递减. （2）()f x 的定义域为()()，00，-∞⋃+∞. 因为()()2f x x f x x-=-+=-，所以()f x 为奇函数.由（1）知()f x 在区间()0-∞，上单调递减，结合奇偶性可得()f x 在区间()0+∞，上单调递减，故()f x 在区间[]12，上单调递减.又因为()11f =，()21f =-，所以()f x 在区间[]12，上的值域为[]11-，. 22．（1）当2k =时，25()log 2422x xf x ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭，[0,)x ∈+∞令[)21,xt ∞=∈+，则22225119()log 2log 2248g t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，根据复合函数单调性可知，22119()log 248g t t ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦在[)1,t ∈+∞上单调递增，故()27()1log 2g t g ≥=，所以函数()f x 在[0,)+∞的值域为27log ,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（2）因为函数()f x 的定义域为[],a b ，令2x t =，则22,2x a bt ⎡⎤=∈⎣⎦，则()()2112h t kt k t k =--++因为01k <<，所以对称轴102k t k-=<，故()()2112h t kt k t k =--++在2,2a b ⎡⎤⎣⎦上单调递增，则()f x 单调递增，因为()f x 的值域为[1,1]a b ++，所以()()22log 21log 21a b h a h b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即()()2121121222121222a a a b b b k k k k k k ++⎧⋅--++=⎪⎪⎨⎪⋅--++=⎪⎩，故2,2a b 可看作方程()21102k t k t k ⋅-+++=的两个根，由于,a b 为正数，所以21,21a b >>，则要满足()Δ010h >⎧⎨>⎩，解得：12k <<故实数k的取值范围是12⎛ ⎝⎭23．（1）连接OB ，在Rt OAB 中，AB x =，OA ∴设圆柱底面半径为r2r π=，即222436r x π=-，32364x x V r x ππ-∴⋅==，其中06x <<．（2）由236304x V π-'==及06x <<，得23x =，列表如下： x(0,23) 23 (23，6)V '+- V↗极大值123π↘∴当23x =时，V 有极大值，也是最大值为123πm 3．24．（1）解：由性质③知()()e xf xg x +=，所以()()e x f x g x --+-=，由性质②知，()()f x f x -=-，()()g x g x -=，所以()()e xf xg x --+=，即()()()()e e xx f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得()e e 2x xf x --=，()e e 2x xg x -+=. 因为函数1e xy =、e x y -=-均为R 上的增函数，故函数()f x 为R 上的增函数，合乎题意.（2）证明：由（1）可得：()()22222222e e e e e e 2e e 212244x x x x x x x x f x g x ----⎛⎫⎛⎫-++-++-=-=-=-⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭. （3）解：函数()()()()22224e e 2e e x x x xy m g x f x m --=⋅-=+--，设e e x x t -=-，由性质①，()e e 2x xf x --=在R 是增函数知，当[]0,ln 2x ∈时，30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以原函数即222y mt t m =-+，30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设()222h t mt t m =-+，30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当0m =时，()2h t t =-在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()min 332h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．当0m ≠时，函数()h t 的对称轴为1t m=，当0m <时，则10m <，()h t 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()min 317324m h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当1302m <<时，即23m >时，()h t 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在13,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，此时()min 112h t h m m m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．当132m ≥时，即203m <≤时，()h t 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()min 317324m h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．综上所述，()1723,43122,3m m m m m m ϕ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩.。

高三数学专题复习-函数概念及其表示专题练习带答案

04 函数概念及其表示1．函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．(－1，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12 【答案】D.要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＞0，x ＋1≠0，解得x ＜12且x ≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，12)．2.已知集合A={x|x 2-2x ≤0},B={y|y=log 2(x+2),x ∈A },则A ∩B 为( ) A.(0,1) B.[0,1] C.(1,2) D.[1,2]【答案】D由题意,集合A={x|x 2-2x ≤0}=[0,2], 因为x ∈A ,则x+2∈[2,4],所以B={y|y=log 2(x+2),x ∈A }=[1,2], 所以A ∩B=[1,2].故选D .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （－x ），x ＞2，ax ＋1，－2≤x ≤2，f （x ＋5），x ＜－2，若f (2 019)＝0，则a ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2【答案】B.由于f (2 019)＝f (－2 019)＝f (－404×5＋1)＝f (1)＝a ＋1＝0，故a ＝－1.4.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y=【答案】Dy=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞).A 项中,y=x 的定义域和值域均为R;B 项中,y=lg x 的定义域为(0,+∞),值域为R;C 项中,y=2x 的定义域为R,值域为(0,+∞);D 项中,y=的定义域与值域均为(0,+∞).故选D . 5．若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x，则f (2)等于( )A.12 B ．e C.1e D ．－1【答案】B.解法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e1－t ，即f (x )＝1e1－x ，故f (2)＝e.解法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.6.若函数y=f (x )的值域是[1,3],则函数F (x )=1-f (x+3)的值域是( ) A.[-8,-3] B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]【答案】C∵1≤f (x )≤3,∴1≤f (x+3)≤3,-3≤-f (x+3)≤-1,∴-2≤1-f (x+3)≤0.故F (x )的值域为[-2,0].7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ， x ＜1，2x ， x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B ．78C.34 D ．12【答案】D.f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ，当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝252－b ，即252－b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝12；当52－b ＜1，即b ＞32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝152－3b －b ＝152－4b ，即152－4b ＝4，得到b ＝78＜32，舍去．综上，b ＝12，故选D.8. 若任意都有，则函数的图象的对称轴方程为A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】A令，代入则联立方程得解方程得=所以对称轴方程为解得所以选A 。

高三数学一轮复习《函数的概念与性质》练习题 (含答案)

高三数学一轮复习《函数的概念与性质》练习题（含答案）函数的概念及其表示一、单选题1.函数11y x =-的定义域是( )A. (0,2]B. (,1)(1,2]-∞⋃C. (1,)+∞D. [1,2]2.设函数21,1()2,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则[(3)]f f =( )A ．15 B.3 C. 23 D. 1393.已知函数f (x +1)=3x +2,则f (x )的解析式( )A.3x -1B. 3x +1C. 3x +2D. 3x +44.下列各对函数表示同一函数的是( )(1) ()f x x =与2()g x =；(2) ()2f x x =-与()g x =(3) 2()(0)f x x x π=≥与2()(0)g r r r π=≥； (4) ()f x x =与,0(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩.A.(1)(2)(4)B.(2)(4)C.(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)5.已知函数y = f (x )的定义域是[-2,3], 则y =f (2x -1)的定义域是() A. 5[0,]2 B. [1,4]- C. 1[,2]2- D. [5,5]-6.已知函数221,0()3,0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩,且0()3f x =,则实数0x 的值为( )A.-1B.1C.-1或1D.-1或-3二、多选题7.关于函数y =f (x ),以下说法正确的是( )A.y 是关于x 的函数B.对于不同的x ,y 的值也不同C.f (a )表示当x =a 时函数f (x )的值,是一个常量D.f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来8.若函数2(),(,0)(0,)1x f x x x =∈-∞⋃+∞+,则下列等式成立的是( ) A. 1()()f x f x = B. 1()()f x f x -= C.11()()f f x x = D. ()()f x f x -=- 三、填空题9.已知函数()1f x ax =+,且(2)1f =-,则(2)f -=_______.10.若函数2(21)2f x x x +=-,则(3)f =_______,()f x =___________.11.已知函数22,2()21,2x ax x f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩,若[(1)]0f f >,则实数a 的取值范围是___________.函数的基本性质一、单选题1. 下列函数中,值域为(,0)-∞的是( )A. 2y x =-B. 131()3y x x =-<C. 1y x =D. y =2.下列函数是偶函数，且在(,0]-∞上是增函数的是( )A ．1y x =- B. 2()f x x = C. 3y x = D. ,0,0x x y x x -≥⎧=⎨<⎩3.已知()f x 是实数集上的偶函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，则(2)f -，()f π-，(3)f 的大小关系是( )A. ()(2)(3)f f f π->->B. (3)()(2)f f f π>->-C. (2)(3)()f f f π->>-D. ()(3)(2)f f f π->>-4.函数()y f x =在R 上是增函数，且(2)(9)f m f m >-+，则实数m 的取值范围是( )A. (,3)-∞-B. (0,)+∞C. (3,)+∞D. (,3)(3,)-∞-⋃+∞5.函数()y f x =是以3为周期的偶函数，且当(0,1)x ∈时，()21f x x =+，则2021()2f =( ) A.2022 B.2 C.4 D.66.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是( ) A. 12(,)33 B. 12[,)33 C. 12(,)23 D. 12[,)23二、多选题7.如果函数()f x 在[a ,b ]上是减函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，那么下列结论正确的是( ) A. 1212()()0f x f x x x -<- B. 1212()[()()]0x x f x f x --< C. 12()()()()f a f x f x f b ≥>≥ D. 12()()f x f x <8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是( )A. (0)0f =B.若()f x 在[0,)+∞上有最小值-1，则()f x 在(,0]-∞上有最大值1C. 若()f x 在[1,)+∞上为增函数，则()f x 在(,1]-∞-上为减函数D.若0x >时，2()2f x x x =-，则0x <时，2()2f x x x =--三、填空题9.如图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的部分图像，根据图像可知函数()y f x =的单调递增区间是_______,单调递减区间是______.10.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且1(2)()f x f x +=，则(8)f 的值为___. 11.若2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且定义域为[1,2]a a -，则a =_____,b =______.本章检测函数的概念和性质一、单选题1. 已知函数2()23f x x mx =-+在[-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2]上单调递减，则f (1)的值为( )A.-3B.13C.7D.52.已知f (x )为奇函数,且在(-∞,0)上为增函数,g (x )为偶函数,且在(-∞,0)上为增函数,则在(0,+∞)_上，下列结论正确的)A.两个都是增函数B.两个都是减函数C. f (x )为增函数,g (x )为减函数D. f (x )为减函数,g (x )为增函数3.已知函数g (x )= f (2x )-x 2是奇函数,且f (1)=2,则f (-1)=( ) _3 A. 32- B.-1 C. 32 D. 744.已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x -+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是(-∞,+∞)上的减函数，则a 的取值范围是( )A. (0,3)B. (0,3]C. (0,2)D. (0,2]5.已知函数g (x )是定义在[a -16,3a ]上的奇函数,且21,0()(),0x x f x f x a x -≥⎧=⎨+<⎩, 则f (-2020)=( )A.2B. 7C. 10D.-16. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足当x >0时，f(x )=x 2-2x ,则关于x的不等式f (x )<0的解集为( )A. (-2,2)B. (2,0)(0,2)-⋃C. (,2)(2,)-∞-⋃+∞D. (,2)(0,2)-∞-⋃二、多选题7.已知定义在区间[-3,3]上的一个偶函数,它在[-3,0]上的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A.这个函数有两个单调递增区间B.这个函数有三个单调递减区间C. f (2)<2D.这个函数的值域为[-2,2]8.已知定义域为R 的函数f (x )是奇函数,且满足f (1-x )=f (1+x ),当0<x ≤1时,f (x )=2x ,则下列结论正确的是( )A. f (x )的最小正周期为2B.当-1<x ≤1时,f (x )=2xC. f (x )在[11,13]上单调递增D. f (x )的最大值为2,最小值为-2三、填空题9.已知函数,0(),0x x f x x x ⎧≥⎪=-<若f (a )+f (-1)=2,则a =_______.10.已知函数f (x )=x 5+ax 3+bx +2,且f (2)=3,则f (-2)=________.11.函数f (x )为奇函数,定义域为R ,若f (x +1)为偶函数,且f (1)=1,则f (2020)+f (2021)=_______。

高考数学一轮复习《函数》复习练习题(含答案)

高考数学一轮复习《函数》复习练习题（含答案）一、单选题1．函数ln e x y =的单调增区间是（）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(,)e +∞D ．(,)-∞+∞2．若函数1311()log [(23]2)f x a x a ⎛⎫=-+≠ ⎪⎝⎭的定义域为R ，则下列叙述正确的是 A ．()f x 在R 上是增函数B ．()f x 在R 上是减函数C ．()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x 在[0,)+∞上单调递减，在(,0]-∞上单调递增3．已知函数()2e e x x f x ax =--有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．()()0,11,+∞D ．(]{},01-∞4．下列函数中，是奇函数且在区间(0,)+∞上单调递增的是 A ．x y e -= B ．||y x = C ．tan y x =D ．1y x x =- 5．已知函数，如果关于x 的方程只有一个实根，那么实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．6．函数34()e ex x x x f x --=+的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．7．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A ．1y x =+B ．()30y x x =>C ．1y x x =+D ．y x x = 8．使212x x +-有意义的实数x 的取值范围是（）A ．(][),43,-∞-+∞ B ．(-∞，-4)∪(3，+∞) C ．(-4，3)D ．[-4，3]9．函数2cos y x x =的部分图象是（） A ． B ．C ．D ．10．设函数3,10,()((5)),10,x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(7)f 的值为（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．811．下列函数中与y x =具有相同图象的一个函数是A ．B ．C ．ln x y e =D ．ln x y e = 12．函数sin (0)ln x y x x=≠的部分图象大致是 A ． B ．C ．D ．二、填空题13．已知集合{|12}A x x =<<，集合2{|}B x y m x ==-，若A B A =，则m 的取值范围是______14．如图所示，,OA OB 是两个不共线向量（AOB ∠为锐角），N 为线段OB 的中点，M 为线段OA 上靠近点A 的三等分点，点C 在MN 上，且OC xOA yOB =+(,)x y R ∈，则22x y +的最小值为______.15．函数2(2)3,[,]y x a x x a b =+++∈的图像关于直线1x =对称，则b 的值为________. 16．定义在R 上的函数f （x ）满足f （2+x ）=f （2﹣x ），若当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，则f （3）=_____．17．已知函数()()()333322f x x a x b x a x =++-+--有五个不同的零点，且所有零点之和为52，则实数b 的值为______． 18．已知常数0a >，函数2()2xx f x ax =+的图象经过点6()5P p ，、1()5Q q -，，若216p q pq += ，则a =___19．函数()21f x x --的定义域为______. 20．已知函数()()233424x log x x f x x -⎧-≥⎪=⎨⎪⎩，，＜，若方程()3f x m =-有两个根，则实数m 的取值范围为_____．三、解答题21．已知函数()1log (01amx f x a x -=>-且1)a ≠的图象关于原点对称. （1）求m 的值；（2）判断函数()f x 在区间()1,+∞，上的单调性并加以证明；（3）当()1,,a x t a >∈时，()f x 的值域是()1,+∞，求a 与t 的值.22．已知函数()log (23)1(0,1)a f x x a a =-+>≠.（1）当2a =时，求不等式()3f x <的解集；（2）当10a =时，设()()1g x f x =-，且(3),(4)==g m g n ，求6log 45（用,m n 表示）；（3）在（2）的条件下，是否存在正整数．．．k ，使得不等式22(1)lg()+>g x kx 在区间[]3,5上有解，若存在，求出k 的最大值，若不存在，请说明理由.23．判断下列函数的奇偶性：（1）()f x =（2）()f x =（3）2()2||1,[1,1]f x x x x =-+∈-．（4）22(0)()(0).x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩，24．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：①对任意,(1,1)x y ∈-都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭；②当0x <，()0f x >.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 在(0,1)上的单调性，并说明理由；（3）若11()52f =，试求111()()()21119f f f --的值.25．某商场销售一种水果的经验表明，该水果每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式()22115a y x x =+--，其中511x <<，a 为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该水果52千克.（1）求a 的值；（2）若该水果的成本为5元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该水果所获得的利润最大，并求出最大利润.26．已知()21f x x =-，()()()1020x x g x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩. （1）求()g f x ⎡⎤⎣⎦；（2）设()()(){}max ,F x f x g x =，作函数()F x 的图象，并由此求出()F x 的最小值．27．已知函数()()2f x x x a =-， ()()21g x x a x a =-+-+ (其中a R ∈).（Ⅰ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并直接写出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()F x f x g x =-，讨论函数()y F x =在区间[]1,3-上零点的个数。

2024_2025学年高三数学新高考一轮复习专题函数真题汇编含解析

函数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共26小题，共130.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知函数f(x )=,则对随意的实数x,有（）A. f(-x)+f(x)=0B. f(-x)-f(x)=0C. f(-x)+f(x)=1D. f(-x)-f(x )=2.已知=5,3=b,则=( )A. 25B. 5C.D.3.下列函数中是增函数的为（）A. f（x）=-xB. f（x）=（）xC. f（x）=x2D. f（x）=4.设，则=（）A. B. C. D.5.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力状况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满意L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（≈1.259）A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.66.设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）=f（-x）.若f（-）=，则f （）=（）.A. -B. -C.D.7.函数y =的图象大致为（）A. B.C. D.8.设a=30.7，b=（）-0.8，c=log0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )1A. a＜b＜cB. b＜a＜cC. b＜c＜aD. c＜a＜b9.已知，，，则下列推断正确的是( )A. B. C. D.10.函数f（x）=的图象大致为（）A. B.C. D.11.设a=log20.3，b=，c=0.40.3，则三者大小关系为（）A. a＜b＜cB. c＜a＜bC. b＜c＜aD. a＜c＜b12.若2a=5b=10，则+=（）A. -1B. lg7C. 1D. log71013.已知函数f(x)=+，g(x)=sin x，则为如图的函数可能是（）A. B.C. D.14.Logistic 模型是常用数学模型之一, 可应用于流行病学领域.有学者依据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标记着已初步遏制疫情, 则t*约为（）(ln193)A. 60B. 63C. 66D. 6915.若函数f(x)的定义域为R, 且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则=（）A. -3B. -2C. 0D. 116.设函数的定义域为R ，为奇函数，为偶函数，当时，若，则A. B. C. D.17.设函数f（x）=，则下列函数中为奇函数的是( )A. f（x-1）-1B. f（x-1）+1C. f（x+1）-1D. f（x+1）+118.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则( )A. B. C. D.19.若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)单调递减，且f(2)=0,则满意xf(x-1)≥0的x的取值范围是（）A. [-1,1][3,+)B. [-3,-1][0,1]C. [-1,0][1,+)D. [-1,0][1,3]20.已知函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A. （2，+∞）B. [2，+∞）C. （5，+∞）D. [5，+∞）21.若+a =+2b,则( )A. a>2bB. a<2bC. a >D. a <22.设函数，则( )A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减23.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7,若y=g(x)的图像关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)=( )A. -21B. -22C. -23D. -2424.已知，设a =3,b =5,c =8，则（）A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b325.已知函数f（x）=若函数g（x）=f（x）-|kx2-2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）A. （-∞，-）∪（2，+∞）B. （-∞，-）∪（0，2）C. （-∞，0）∪（0，2）D. （-∞，0）∪（2，+∞）26.设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）27.函数f(x)=+的定义域是.28.函数f（x）=+ln x的定义域是．29.已知函数f（x）=x3（a•2x-2-x）是偶函数，则a= .30.已知a R，函数f(x)=，若f(f())=3，则a= ．31.已知f(x)=||--2，给出下列四个结论：(1)若=0,则f(x)有两个零点；(2)<0,使得f(x)有一个零点；(3)<0,使得f(x)有三个零点；(4)>0,使得f(x)有三个零点；以上正确结论的序号是．32.已知函数f(x)=则f(f())= ;若当x[a,b]时,1f(x)3,则b-a的最大值是.33.若f(x)=|a+|+b是奇函数,则a= ,b= .34.设函数f(x )=，若f(x)存在最小值，则a的一个取值为，a的最大值为51.【答案】C2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】C10.【答案】B11.【答案】D12.【答案】C13.【答案】D14.【答案】C15.【答案】A16.【答案】D17.【答案】B18.【答案】B19.【答案】D20.【答案】D21.【答案】B22.【答案】D23.【答案】D24.【答案】A25.【答案】D26.【答案】A27.【答案】(-,0)(0,1]28.【答案】{x|x＞0}29.【答案】130.【答案】231.【答案】(1)(2)(4)32.【答案】3+33.【答案】34.【答案】0（答案不唯一）17。

高考数学一轮复习定时检测 2.1函数及其表示(带详细解析)文新人教A版

高考数学一轮复习定时检测 2.1函数及其表示（带详细解析）文新人教A版一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2009·江西改编)函数y＝－x2－3x＋4x的定义域为________________．解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x2－3x＋4≥0，x≠0，因此－4≤x≤1且x≠0.答案[－4,0)∪(0,1]2．(2009·福建改编)下列函数中，与函数y＝1x有相同定义域的是________．①f(x)＝ln x②f(x)＝1x③f(x)＝|x| ④f(x)＝e x解析y＝1x定义域为(0，＋∞)，f(x)＝ln x定义域为(0，＋∞)，f(x)＝1x定义域为{x|x≠0}．f(x)＝|x|定义域为R，f(x)＝e x定义域为R.答案①3．(2010·广州模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x，x>0，2x，x≤0.若f(a)＝12，则a＝________. 解析当a>0时，log2a＝12，∴a＝2，当a≤0时，2a＝12＝2－1，∴a＝－1.∴a＝－1或 2.答案－1或 24．(2008·陕西理，11)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)＝________.解析f(1)＝f(0＋1)＝f(0)＋f(1)＋2×0×1＝f(0)＋f(1)，∴f(0)＝0.f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＋2×(－1)×1＝f(－1)＋f(1)－2，∴f(－1)＝0.f(－1)＝f(－2＋1)＝f(－2)＋f(1)＋2×(－2)×1＝f(－2)＋f(1)－4，∴f(－2)＝2.f(－2)＝f(－3＋1)＝f(－3)＋f(1)＋2×(－3)×1第二编函数与导数§2.1 函数及其表示＝f (－3)＋f (1)－6，∴f (－3)＝6.答案 65．(2009·金华模拟)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为__________．解析令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t 1＋t，因此f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2，因此f (x )的解析式为f (x )＝2x 1＋x2. 答案 f (x )＝2x 1＋x2 6．(2009·江苏海安高级中学)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧1 (－1<x ≤0)－1 (0<x ≤1)，则f (3)＝________. 解析 f (3)＝f (2＋1)＝－f (2)＝－f (1＋1)＝f (1)＝－1.答案－17．(2010·泉州第一次月考)已知函数φ(x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x的反比例函数，且φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，φ(1)＝8，则φ(x )＝____________. 解析设f (x )＝mx (m 是非零常数)， g (x )＝n x (n 是非零常数)，则φ(x )＝mx ＋n x，由φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，φ(1)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧16＝13m ＋3n 8＝m ＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3n ＝5. 故φ(x )＝3x ＋5x .答案 3x ＋5x8．(2010·宿迁模拟)如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x=t (0≤t ≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图形的面积为f(t)，则函数y=f(t)的图象(如下图所示)大致是 (填序号)．解析首先求出该函数的解析式．当0≤t ≤1时，如下图甲所示，有f (t )＝S △MON ＝32t 2. 当1≤t <2时，如下图乙所示，有f (t )＝S △AOB －S △MNB ＝－32(2－t )2＋3， .)21(3)2(23)10(23)(22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+--≤≤=∴t t t t t f答案 ④9．(2009·浙江温州十校联考)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．有下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝(13)x ； ④φ(x )＝ln x ，其中是一阶整点函数的是____________________________________．解析对于函数f (x )＝sin 2x ，它只通过一个整点(0,0)，故它是一阶整点函数；对于函数g (x )＝x 3，当x ∈Z 时，一定有g (x )＝x 3∈Z ，即函数g (x )＝x 3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数h (x )＝(13)x ，当x ＝0，－1，－2，…时，h (x )都是整数，故函数h (x )通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数φ(x )＝ln x ，它只通过一个整点(1,0)，故它是一阶整点函数．答案 ①④二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)(2009·泰州二模)(1)已知f (x )的定义域是[0,4]，求①f (x 2)的定义域；②f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域．(2)已知f (x 2)的定义域为[0,4]，求f (x )的定义域．解 (1)∵f (x )的定义域为[0,4]，①f (x 2)以x 2为自变量，∴0≤x 2≤4，∴－2≤x ≤2，故f (x 2)的定义域为[－2,2]．②f (x ＋1)＋f (x －1)以x ＋1，x －1为自变量，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4，∴1≤x ≤3.故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]．(2)∵f (x 2)的定义域为[0,4]，∴0≤x ≤4，∴0≤x 2≤16，故f (x )的定义域为[0,16]．11．(16分)(2010·徐州模拟)已知f (x )＝x 2－2x ＋1，g (x )是一次函数，且f [g (x )]＝4x 2，求g (x )的解析式．解设g (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [g (x )]＝(ax ＋b )2－2(ax ＋b )＋1＝a 2x 2＋(2ab －2a )x ＋b 2－2b ＋1＝4x 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，2ab －2a ＝0，b 2－2b ＋1＝0.解得a ＝±2，b ＝1.∴g (x )＝2x ＋1或g (x )＝－2x ＋1.12．(16分)(2009·广东三校一模)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 (1)当每辆车的月租金为3 600元时，未租出的车辆数为3 600－3 00050＝12，所以这时租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50，整理得f (x )＝－x 250＋162x －21 000 ＝－150(x －4 050)2＋307 050. ∴当x ＝4 050时，f (x )最大，最大值为f (4 050)＝307 050.答 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆车；(2)当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307 050元．。

高考数学一轮复习课时规范练5函数及其表示(文含解析)北师大版

课时规范练5 函数及其表示基础巩固组1.下面可以表示以M={x|0≤x ≤1}为定义域,以N={x|0≤x ≤1}为值域的函数图像的是( )2.(2020河北邢台模拟,理2)已知集合A={x|lg(x 2-x-1)>0},B={x|0<x<3},则A ∩B=( )A.{x|0<x<1}B.{x|x<-1}∪{x|x>0}C.{x|2<x<3}D.{x|0<x<1}∪{x|2<x<3}3.(2020广东华南师大附中月考,理4)已知函数f (x )的定义域是[-1,1],则函数g (x )=f (2x -1)ln (1-x )的定义域是( )A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]4.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A.f (x )=e ln x ,g (x )=xB.f (x )=x 2-4x+2,g (x )=x-2C.f (x )=sin2x2cosx ,g (x )=sin x D.f (x )=|x|,g (x )=√x 25.若函数y=f (x )的值域是[1,3],则函数F (x )=1-f (x+3)的值域是( ) A.[-8,-3] B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]6.(2020重庆模拟,理13)已知函数f (x )=ln(-x-x 2),则函数f (2x+1)的定义域为 .7.已知函数f (x )={(1-2a )x +3a ,x <1,lnx ,x ≥1的值域为R ,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.(-1,12)C.[-1,12)D.(0,12)8.(2020辽宁大连一中6月模拟,文3)设f (x )={a x ,x ≥0,log 2(x 2+a 2),x <0,且f (2)=4,则f (-2)= .9.设函数f (x )={x 2+2,x ≥0,2x +2,x <0,若f (t+1)>f (2t-4),则实数t 的取值范围是 .10.已知函数f (x )满足2f (x )+f (-x )=3x ,则f (x )= .综合提升组11.(2020广东华师大附中月考)已知函数f (x )的定义域是[-1,1],则函数g (x )=f (2x -1)ln (1-x )的定义域是( ) A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]12.(2020河北衡水中学检测)已知函数f (x )={√x +1,-1<x <0,2x ,x ≥0,若实数a 满足f (a )=f (a-1),则f1a=( )13.(2020山东济南三模,5)“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值,其计算方法是将每一期增长量相加后,除以期数,即∑i=2n(a i -a i -1)n -1.国内生产总值(GDP)被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标,下表是我国2015—2019年GDP 数据:根据表中数据,2015—2019年我国GDP 的平均增长量为( ) .03万亿.04万亿 .55万亿.07万亿14.已知函数f (x )={4x 2-1,x ≤0,sin 2x -cos 2x ,x >0,则f (f (π12))= . 创新应用组15.(2020河北张家口二模,理6)已知定义在R 上的函数f (x )满足对其定义域内任意x 1,x 2,都有f (x 1x 2)=f (x 1)+f (x 2)-2成立,则f 18+f14+f12+f (1)+f (2)+f (4)+f (8)=( )16.已知函数f (x )的定义域为R ,且对任意x 均有2f (x )+f (x 2-1)=1,则f (-√2)= . 17.已知f (x )=22x +1+sin x ,则f (-2)+f (-1)+f (0)+f (1)+f (2)= .参考答案课时规范练5 函数及其表示1.C 选项A 中的值域不符合,选项B 中的定义域不符合,选项D 不是函数的图像.由函数的定义可知选项C 正确.2.C 由lg(x 2-x-1)>0,可得x 2-x-1>1,即(x-2)(x+1)>0,解得x<-1或x>2,故A={x|x<-1或x>2}.因为B={x|0<x<3},所以A ∩B={x|2<x<3}.故选C .3.B 由题意,函数f (x )的定义域为[-1,1],即-1≤x ≤1,令-1≤2x-1≤1,解得0≤x ≤1,又因为g (x )满足1-x>0且1-x ≠1,解得x<1且x ≠0,所以函数g (x )的定义域为(0,1),故选B .4.D A,B,C 的定义域不同,所以答案为D .5.C ∵1≤f (x )≤3,∴1≤f (x+3)≤3,-3≤-f (x+3)≤-1,∴-2≤1-f (x+3)≤0.故F (x )的值域为[-2,0].故选C .6.-1,-12 由题意知,-x-x 2>0,∴-1<x<0,即f (x )的定义域为(-1,0).∴-1<2x+1<0,则-1<x<-12.7.C 由题意知y=ln x (x ≥1)的值域为[0,+∞),故要使f (x )的值域为R ,则必有y=(1-2a )x+3a 为增函数,且1-2a+3a ≥0,所以1-2a>0,且a ≥-1,解得-1≤a<12,故选C .8.3 由f (2)=4,得a 2=4,f (-2)=log 2(4+4)=3.9.(-∞,5) 如图,画出函数f (x )={x 2+2,x ≥0,2x +2,x <0的大致图像,可知函数f (x )是增函数,若f (t+1)>f (2t-4),则只需要t+1>2t-4,解得t<5. 10.3x 因为2f (x )+f (-x )=3x ,① 所以将x 用-x 替换,得2f (-x )+f (x )=-3x , ②由①②解得f (x )=3x.11.B 由函数f (x )的定义域为[-1,1],可得-1≤2x-1≤1,解得0≤x ≤1,又由1-x>0且1-x ≠1,解得x<1且x ≠0,所以函数g (x )的定义域为(0,1).12.D 由f (x )的定义域知a>0.当0<a<1时,由f (a )=f (a-1),即2a=√a ,解得a=14,则f1a=f (4)=8;当a ≥1时,由f (a )=f (a-1),得2a=2(a-1),不成立.综上知,f1a=8.13.C 由题意得,2015—2019年我国GDP 的平均增长量为(74.64-68.89)+(83.20-74.64)+(91.93-83.20)+(99.09-91.93)5-1=99.09-68.894=7.55(万亿).故选C .14.2 f (π12)=sin 2π12-cos 2π12=-cos π6=-√32,f (-√32)=4×34-1=2. 15.A 令x 1=x 2=1,则f (1)=f (1)+f (1)-2,解得f (1)=2,令x 1=t ,x 2=1t ,可得f (1)=f (t )+f1t-2,整理可得f (t )+f1t=4,所以f18+f14+f12+f (1)+f (2)+f (4)+f (8)=3×4+2=14,故选A .16.13取x=-√2,则有2f (-√2)+f (1)=1,① 取x=1,则有2f (1)+f (0)=1, ② 取x=0,则有2f (0)+f (-1)=1, ③ 取x=-1,则有2f (-1)+f (0)=1,④解由③④组成的方程组,得f (0)=13,代入②,得f (1)=13,再将f (1)=13代入①,得f (-√2)=13. 17.5 ∵f (x )+f (-x )=22x +1+sin x+22-x +1-sin x=22x +1+2x+11+2x=2,且f (0)=1,∴f (-2)+f (-1)+f (0)+f (1)+f (2)=5.。

高考数学复习函数及其表示专题训练(含答案)

2019-2019高考数学复习函数及其表示专题训练（含答案）函数名称出自数学家李善兰的著作《代数学》，下面是函数及其表示专题训练，请考生及时练习。

一、选择题.下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为().A.y=B.y=C.y=xexD.y=解析函数y=的定义域为{x|x0，xR}与函数y=的定义域相同，故选D.答案D.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为同族函数，则函数解析式为y=x2+1，值域为{1,3}的同族函数有().A.1个B.2个C.3个D.4个解析由x2+1=1，得x=0.由x2+1=3，得x=，所以函数的定义域可以是{0，}，{0，-}，{0，，-}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个.答案C.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-22}，值域为N={y|02}，则函数y=f(x)的图象可能是().解析根据函数的定义，观察得出选项B.答案B.已知函数f(x)=若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是().A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)解析a，b，c互不相等，不妨设ag[f(x)]的x的值是________.解析g(1)=3，f[g(1)]=f(3)=1，由表格可以发现g(2)=2，f(2)=3，f(g(2))=3，g(f(2))=1.答案1 2.已知函数f(x)=则满足不等式f(1-x2)f(2x)的x的取值范围是________.解析由题意有或解得-11时，函数g(x)是[1,3]上的减函数，此时g(x)min=g(3)=2-3a，g(x)max=g(1)=1-a，所以h(a)=2a-1;当01时，若x[1,2]，则g(x)=1-ax，有g(2)g(1);要练说，得练看。

看与说是统一的，看不准就难以说得好。

练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。

2025高考数学一轮复习-第6讲-函数的概念及其表示方法-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-第6讲-函数的概念及其表示方法-专项训练（原卷版）一、单项选择题1．下列选项中表示同一个函数的是()A．f(x)＝x0与g(x)＝1B．f(x)＝x与g(x)＝x2xC．f(x)＝(x－1)2与g(x)＝x－1D．f(x)，x≥0，1，x＜0与g(x)x≠0，x＝02．已知函数f(x)x＋1，x＜1，x－3)，x≥1，则f(9)＝()A．2B．9 C．65D．513 3．函数y＝log2(2x＋1)＋3－4x 的定义域为()A－12，B－12，34C∞，12D－12，(0，＋∞) 4．若函数f(x)＝lg(ax2－2x＋a)的定义域为R，则实数a的取值范围为() A．(－1，0)B．[－1，1]C．(0，1)D．(1，＋∞)二、多项选择题5．下列是函数图象的是()A B C D6．已知符号函数sgn(x)，x＞0，，x＝0，1，x＜0，则下列说法正确的是() A．函数y＝sgn(x)的图象关于y轴对称B．对任意x∈R，sgn(e x)＝1C．对任意的x∈R，|x|＝－x sgn(－x)D．函数y＝x sgn(－ln x)的值域为(－∞，－1)∪[0，1)三、填空题7．若f(x＋1)＝x＋1，则f(x)的解析式为f(x)＝___．8．已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋x＋2的定义域为__．9．已知函数x2＋1x2，则__229__；若函数g(x)满足2g(x)＋＝x，则g(2)＝_．四、解答题10．(1)已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求函数f(x－5)的定义域；(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0，3]，求函数f(x)的定义域；(3)若函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)(m＞0)的定义域．11．小明家院子中有块不规则空地，如图所示，小明测量并计算得出空地边缘曲线拟合函数f(x)0≤x≤4，x－10)，4＜x≤10.小明的爸爸打算改造空地，用家中现有的8米长的栅栏如图围一面靠墙矩形空地ABCD用来铺设草皮，请问小明的爸爸需要购买多少平方米的草皮才能铺满矩形草地？(栅栏全部用完，不考虑材料的损耗)B组滚动小练12．已知函数y＝ln(x2－3x)的定义域为A，集合B＝{x|1≤x≤4}，则(∁R A)∪B 等于()A．[0，4]B．(0，4]C．[1，3)D．[1，3]13．(多选)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质．对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，则下列说法正确的有()A．φ(5)＝φ(10)B．φ(2n－1)＝1C．φ(32)＝16D．φ(2n＋2)＞φ(2n)，n是正整数14．已知函数f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1.(1)若不等式f(x)＜1的解集为R，求实数m的取值范围；(2)解关于x的不等式f(x)≥(m＋1)x.2025高考数学一轮复习-第6讲-函数的概念及其表示方法-专项训练（解析版）一、单项选择题1．下列选项中表示同一个函数的是(D)A．f(x)＝x0与g(x)＝1B．f(x)＝x与g(x)＝x2xC．f(x)＝(x－1)2与g(x)＝x－1D．f(x)，x≥0，1，x＜0与g(x)x≠0，x＝0【解析】对于A，因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一个函数；对于B，因为f(x)的定义域为R，而g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一个函数；对于C，易知函数f(x)＝(x－1)2和g(x)＝x－1的定义域为R，而f(x)＝(x－1)2的值域为[0，＋∞)，g(x)＝x－1的值域为R，两函数值域不同，故不能表示同一个函数；对于D，易知函数f(x)和g(x)的定义域为R，值域为{－1，1}，且g(x)x≠0，x＝0，x≥0，1，x＜0，所以是同一个函数．2．已知函数f(x)x＋1，x＜1，x－3)，x≥1，则f(9)＝(A)A．2B．9C．65D．513【解析】f(9)＝f(9－3)＝f(6)＝f(3)＝f(0)＝20＋1＝2. 3．函数y＝log2(2x＋1)＋3－4x的定义域为(B)A－12，B－12，34C∞，12D－12，(0，＋∞)【解析】x＋1＞0，－4x≥0，解得－12＜x ≤34，故定义域为－12，34.4．若函数f(x)＝lg(ax2－2x＋a)的定义域为R，则实数a的取值范围为(D)A．(－1，0)B．[－1，1]C．(0，1)D．(1，＋∞)【解析】由函数f(x)＝lg(ax2－2x＋a)的定义域为R，所以ax2－2x＋a＞0恒成立，令h(x)＝ax2－2x＋a.当a＝0时，ax2－2x＋a＝－2x，显然－2x＞0不恒成立，舍去；当a≠0时，若h(x)＝ax2－2x＋a＞0恒成立，＞0，＝4－4a2＜0，解得a＞1.综上，实数a的取值范围为(1，＋∞).二、多项选择题5．下列是函数图象的是(ABD)A B C D6．已知符号函数sgn(x)，x＞0，，x＝0，1，x＜0，则下列说法正确的是(BCD) A．函数y＝sgn(x)的图象关于y轴对称B．对任意x∈R，sgn(e x)＝1C．对任意的x∈R，|x|＝－x sgn(－x)D．函数y＝x sgn(－ln x)的值域为(－∞，－1)∪[0，1)【解析】对于A，若y＝sgn(x)的图象关于y轴对称，则y＝sgn(x)为偶函数，应该满足sgn(－1)＝sgn(1)，但sgn(－1)＝－1，sgn(1)＝1，即sgn(－1)≠sgn(1)，故A错误；对于B，因为e x＞0，所以对任意x∈R，sgn(e x)＝1，故B正确；对于C，当x＜0时，sgn(－x)＝1，当x＝0时，sgn(－x)＝0，当x＞0时，sgn(－x)＝－1，则－x sgn(－x)x，x＜0，，x＝0，，x＞0，即－x sgn(－x)＝|x|，故C正确；对于D，当x∈(0，1)时，－ln x＞0，y＝x sgn(－ln x)＝x∈(0，1)，当x＝1时，－ln x＝0，y＝x sgn(－ln x)＝0，当x∈(1，＋∞)时，－ln x＜0，y＝x sgn(－ln x)＝－x∈(－∞，－1)，即函数y＝x sgn(－ln x)的值域为(－∞，－1)∪[0，1)，故D正确．三、填空题7．若f(x＋1)＝x＋1，则f(x)的解析式为f(x)＝__x2－2x＋2(x≥1)__．【解析】令x＋1＝t，t≥1，则x＝(t－1)2，则f(t)＝(t－1)2＋1＝t2－2t＋2，t≥1，所以f(x)＝x2－2x＋2(x≥1).8．已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋x＋2的定义域为__[－2，－1)__．【解析】因为f(x)的定义域为(－4，－2)，要使g(x)＝f(x－1)＋x＋2有意义，4＜x－1＜－2，＋2≥0，解得－2≤x＜－1，所以函数g(x)的定义域为[－2，－1).9．已知函数x2＋1x2，则__229__；若函数g(x)满足2g(x)＋＝x，则g(2)＝__76__．【解析】因为x2＋1x2＝＋2，所以f(x)＝x2＋2，＝49＋2＝22 9.g(x)＋x，g(x)＝1x，解得g(x)＝2x2－13x，其中x≠0，因此，g(2)＝7 6 .四、解答题10．(1)已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求函数f(x－5)的定义域；【解答】因为f(x)的定义域为[－1，5]，所以f(x－5)需满足－1≤x－5≤5，解得4≤x≤10，所以f(x－5)的定义域为[4，10].(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0，3]，求函数f(x)的定义域；【解答】因为f(x－1)的定义域为[0，3]，所以0≤x≤3，－1≤x－1≤2，所以f(x)的定义域为[－1，2].(3)若函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)(m＞0)的定义域．【解答】因为f(x)的定义域为[0，1]，所以g(x)≤x＋m≤1，≤x－m≤1，解m≤x≤1－m，≤x≤m＋1.当1－m＜m，即m＞12时，g(x)的定义域为∅；当1－m＝m，即m＝12时，g(x)当1－m＞m，即0＜m＜12时，g(x)的定义域为[m，1－m].11．小明家院子中有块不规则空地，如图所示，小明测量并计算得出空地边缘曲线拟合函数f(x)0≤x≤4，x－10)，4＜x≤10.小明的爸爸打算改造空地，用家中现有的8米长的栅栏如图围一面靠墙矩形空地ABCD用来铺设草皮，请问小明的爸爸需要购买多少平方米的草皮才能铺满矩形草地？(栅栏全部用完，不考虑材料的损耗)【解答】设A(t2，t)，0＜t＜4，因为f(x)0≤x≤4，x－10)，4＜x≤10，则B(10－3t，t)，所以10－3t－t2＋2t＝8，解得t＝1，即A(1，1)，B(7，1)，此时矩形ABCD的面积为6×1＝6m2，即小明的爸爸需要购买6平方米的草皮才能铺满矩形草地．B组滚动小练12．已知函数y＝ln(x2－3x)的定义域为A，集合B＝{x|1≤x≤4}，则(∁R A)∪B 等于(A)A．[0，4]B．(0，4]C．[1，3)D．[1，3]【解析】由题意可知，x2－3x＞0，所以x＜0或x＞3，所以A＝{x|x＜0或x ＞3}，故∁R A＝{x|0≤x≤3}．因为B＝{x|1≤x≤4}，所以(∁R A)∪B＝[0，4].13．(多选)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质．对于正整数n，φ(n )是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的个数，函数φ(n )以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，则下列说法正确的有(AC )A ．φ(5)＝φ(10)B ．φ(2n －1)＝1C ．φ(32)＝16D ．φ(2n ＋2)＞φ(2n )，n 是正整数【解析】由题意得φ(5)＝φ(10)＝4，故A 正确；当n ＝4时，φ(2n －1)＝φ(15)＝8≠1，故B 不正确；因为小于或等于32的正整数中与32互质的实数为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，共有16个，所以φ(32)＝16，故C 正确；当n ＝2时，φ(4)＝φ(6)＝2，故D 不正确．14．已知函数f (x )＝(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋m －1.(1)若不等式f (x )＜1的解集为R ，求实数m 的取值范围；【解答】根据题意，当m ＋1＝0，即m ＝－1时，f (x )＝2x －2，不合题意；当m ＋1≠0，即m ≠－1时，f (x )＜1的解集为R ，即(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋m －2＜0的解集为R ，所以＋1＜0，＝(m －1)2－4(m ＋1)(m －2)＜0，即＜－1，m 2－2m －9＞0，解得m ＜1－273，故m ∞(2)解关于x 的不等式f (x )≥(m ＋1)x .【解答】f (x )≥(m ＋1)x ，即(m ＋1)x 2－2mx ＋m －1≥0，即[(m ＋1)x －(m －1)](x －1)≥0.①当m ＋1＝0，即m ＝－1时，解集为{x |x ≥1}；②当m ＋1＞0，即m ＞－1时，(x －1)≥0，因为m －1m ＋1＝1－2m ＋1＜1，所以解集为x |x ≤m －1m ＋1或x ≥③当m ＋1＜0，即m ＜－1x －1)≤0，因为m －1m ＋1＝1－2m ＋1＞1x |1≤x 综上，当m ＜－1时，解集为x |1≤x ；当m ＝－1时，解集为{x |x ≥1}；当m ＞－1时，解集为x|x≤m－1m＋1或x≥。

高三数学一轮复习练习题函数及其表示有详细答案

课时作业(二) 函数及其表示A 级1．函数y ＝1x 2＋2值域为( )A ．RB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | y ≥12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | y ≤12D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | 0<y ≤122．(2021·江西卷)以下函数中，与函数y ＝13x定义域一样函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx3．(2021·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0－x ，x <0，假设f (a )＋f (－1)＝2，那么a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±14．(2021·安徽卷)以下函数中，不满意f (2x )＝2f (x )是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， x <0f (x －1)＋1， x ≥0，那么f (2 013)＝( )A ．2 010B ．2 011C ．2 012D ．2 0136．函数f (x )＝x －4|x |－5定义域为________． 7．f (x )＝x 2＋px ＋q 满意f (1)＝f (2)＝0，那么f (－1)＝________. 8．图中图象所表示函数解析式f (x )＝________.9．(2021·珠海模拟)假设函数y ＝f (x )值域是[1,3]，那么函数F (x )＝1－2f (x ＋3)值域是________．10．函数f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0－1， x <0，求f (g (x ))和g (f (x ))解析式．11．设x ≥0时，f (x )＝2；x <0时，f (x )＝1，又规定：g (x )＝3f (x －1)－f (x －2)2(x >0)，试写出y ＝g (x )解析式，并画出其图象．B 级1．函数f (x )满意f (x )＋2f (3－x )＝x 2，那么f (x )解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋32．(2021·枣庄模拟)对于实数x ，y ，定义运算x *y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y (xy >0)x ＋by (xy <0)，1]2)序号为________．(填写全部正确结果序号)①2*2 ②－2*2 ③－32*2 2 ④32*(－22)3．规定[t ]为不超过t 最大整数，例如[]＝12，[－]＝－4，对随意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)假设x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)假设f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满意，求x 取值范围．详解答案课时作业(二) A 级1．D ∵x 2＋2≥2，∴0<1x 2＋2≤12.∴0<y ≤12.2．D 函数y ＝13x定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x ＞0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，应选D.3．D ∵f (a )＋f (－1)＝2，且f (－1)＝1＝1，∴f (a )＝1，当a ≥0时，f (a )＝a ＝1，∴a ＝1，当a <0时，f (a )＝－a ＝1，∴a ＝－1.4．C A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )，满意要求； B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )，满意要求； C ，f (2x )＝2x ＋1≠2(x ＋1)＝2f (x )，不满意要求； D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，满意要求．5．C 由得f (0)＝f (0－1)＋1＝f (－1)＋1＝－1－1＋1＝－1，f (1)＝f (0)＋1＝0， f (2)＝f (1)＋1＝1， f (3)＝f (2)＋1＝2， …f (2 013)＝f (2 012)＋1＝2 011＋1＝2 012.6．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0∴x ≥4且x ≠5.答案： {x |x ≥4且x ≠5}7．解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝022＋2p ＋q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3q ＝2，∴f (x )＝x 2－3x ＋2.∴f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案： 68．解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入求解 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案： f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1<x ≤29．解析： ∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )值域为[－5，－1]．答案： [－5，－1]10．解析：当x ≥0时，g (x )＝x 2，f (g (x ))＝2x 2－1；当x <0时，g (x )＝－1，f (g (x ))＝－2－1＝－3；∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥0，－3， x <0.又∵当2x －1≥0，即x ≥12时，g (f (x ))＝(2x －1)2；当2x －1<0，即x <12时，g (f (x ))＝－1；∴g (f (x ))＝⎩⎨⎧(2x －1)2，x ≥12，－1， x <12.11．解析：当0<x <1时，x －1<0，x －2<0，∴g (x )＝3－12＝1. 当1≤x <2时，x －1≥0，x －2<0，∴g (x )＝6－12＝52；当x ≥2时，x －1>0，x －2≥0，∴g (x )＝6－22＝2.故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (0<x <1)52 (1≤x <2)2 (x ≥2)，其图象如下图．B 级1．B 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝13x 2－4x＋6，应选B.2．解析： ∵1]2x ＋y (xy >0) x ＋3y (xy <0)∴①2*2＝22＋2＝3 2 ②－2*2＝－2＋32＝2 2 ③－32*22＝－32＋3×22＝3 2 ④32*(－22)＝32＋3×(－22)＝－3 2. 答案： ①③3．解析： (1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎡⎦⎤74＝1，g (x )＝74－⎣⎡⎦⎤74＝34. ∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝⎛⎭⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4.∴716≤x <12.。

一轮复习精题组函数及其表示(有详细答案)

§2.1 函数及其表示1．函数的基本概念 (1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 2．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x α的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f (x )＝x 2x 与g (x )＝x 是同一个函数．( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × )(3)若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．( × )(4)f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2 (－1≤x ≤1)x ＋1 (x >1或x <－1)，则f (－x )＝⎩⎨⎧1－x 2 (－1≤x ≤1)－x ＋1 (x >1或x <－1).( √ ) (5)函数f (x )＝x 2＋4＋1的值域是{y |y ≥1}．( × ) (6)函数是特殊的映射．( √ ) 2．(2013·江西)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ≥0得，函数定义域为[0,1)．3．(2012·安徽)下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是 ( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x答案 C解析将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等．对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )；对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )；对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C. 4．(2012·福建)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π答案 B解析根据题设条件，∵π是无理数，∴g (π)＝0， ∴f (g (π))＝f (0)＝0. 5．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合．其中正确命题的序号有________．答案 ①②解析对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数；对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图象不是一条直线；对于④由于函数的关系可以用列表的方法表示，有些用列表法表示的函数的定义域和值域都不是无限集合.题型一函数的概念例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．思维启迪可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断．答案 ②③解析对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．(1)下列四个图象中，是函数图象的是( )A ．(1)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(3)D ．(3)(4)(2)下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 答案 (1)B (2)A解析 (1)由一个变量x 仅有一个f (x )与之对应，得(2)不是函数图象．故选B. (2)A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同．C 中，f (x )＝x ＋1 (x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )， ∴两函数的定义域不同．D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}； g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选A.题型二求函数的解析式例2 (1)如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1 (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.思维启迪 (1)令t ＝1x ，反解出x ，代入f (1x )＝x1－x ，求f (t )的表达式．(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，结合条件列出关于x 的方程求参数a ，b .(3)用1x代替x ，通过解方程组求f (x )．答案 (1)B (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴f (t )＝1t 1－1t ＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7， ∴f (x )＝2x ＋7.(3)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x －1，将f (1x )＝2f (x )x－1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x)＝3x ，求f (x )的解析式．解 (1)∵f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＝(x ＋1x)2－2，且x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2,∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．(2)∵2f (x )＋f (1x )＝3x ，①把①中的x 换成1x，得2f (1x )＋f (x )＝3x.②①×2－②得3f (x )＝6x －3x，∴f (x )＝2x －1x(x ≠0)．题型三求函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝ln (2＋x －x 2)|x |－x 的定义域为( )A ．(－1,2)B ．(－1,0)∪(0,2)C ．(－1,0)D ．(0,2)(2)已知函数f (x )的定义域为[1,2]，则函数g (x )＝f (2x )(x －1)0的定义域为________．思维启迪函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；抽象函数的定义域要注意自变量的取值和各个字母的位置．答案 (1)C (2)[12，1)解析 (1)f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x －x 2>0，|x |－x ≠0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，x <0，∴－1<x <0，∴f (x )的定义域为(－1,0)．(2)要使函数g (x )＝f (2x )(x －1)0有意义，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤2x －1≠0，∴12≤x <1，故函数g (x )的定义域为[12，1)．思维升华 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．(2)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是________． (2)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为________________________________________________________________________．答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得：12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.题型四分段函数例4 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为 ( )A ．2B ．1 C. 2 D ．－ 2思维启迪 (1)应对a 分a >0和a ≤0进行讨论，确定f (a )． (2)可以根据给定函数f (x )和M 确定f M (x )，再求f M (0)．答案 (1)A (2)B解析 (1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. (2)由题设f (x )＝2－x 2≤1，得当x ≤－1或x ≥1时， f M (x )＝2－x 2；当－1<x <1时，f M (x )＝1.∴f M (0)＝1.思维升华 (1)应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论． (2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1(－1≤x <0)，－x ＋1(0<x ≤1)，则f (x )－f (－x )>－1的解集为 ( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．[－1，－12)∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．[－1，－12]∪(0,1)答案 B解析 ①当－1≤x <0时，0<－x ≤1，此时f (x )＝－x －1，f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1， ∴f (x )－f (－x )>－1化为－2x －2>－1，解得x <－12，则－1≤x <－12.②当0<x ≤1时，－1≤－x <0，此时，f (x )＝－x ＋1，f (－x )＝－(－x )－1＝x －1， ∴f (x )－f (－x )>－1化为－2x ＋2>－1，解得x <32，则0<x ≤1.故所求不等式的解集为[－1，－12)∪(0,1]．分段函数意义理解不清致误典例：(5分)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．易错分析本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论直接代入求解． (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误．解析当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.答案－34温馨提醒 (1)分类讨论思想在求函数值中的应用：对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解．(2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求.方法与技巧1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．分段函数问题要分段求解．失误与防范求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f (x 0)时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.A 组专项基础训练一、选择题1．函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0ln (x ＋1)≠04－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2．(2012·江西)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23 D.139 答案 D解析由题意知f (3)＝23，f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫23＝139.3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．4．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2答案 B解析根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x .5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]答案 B解析方法一取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B.方法二设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N )，当0≤α≤6时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1，所以选B.二、填空题6．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是________.x 0<x <5 5≤x <1010≤x <1515≤x ≤20y2345答案 {2,3,4,5}解析函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}．7．已知f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________.答案 11解析 ∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x )2＋2，∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)，∴f (3)＝32＋2＝11.8．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．答案 [－1,0]解析由题意知2x 2＋2ax －a －1≥0恒成立．∴x 2＋2ax －a ≥0恒成立，∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0.三、解答题9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式．解设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝12. ∴f (x )＝12x 2＋12x . 10．某人开汽车沿一条直线以60 km/h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离x (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象．解x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t 0≤t ≤52150 52<t ≤72150－50(t －72) 72<t ≤132. 图象如右图所示． B 组专项能力提升 1．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析由已知可得M ＝N ，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋6，x ≤0－x ＋6，x >0，则不等式f (x )<f (－1)的解集是 ()A ．(－3，－1)∪(3，＋∞)B ．(－3，－1)∪(2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1,3)答案 A解析 f (－1)＝3，f (x )<3，当x ≤0时，x 2＋4x ＋6<3，解得x ∈(－3，－1)；当x >0时，－x ＋6<3，解得x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)，故选A.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，－2x ，x <0，则关于x 的方程f (f (x ))＋k ＝0，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有1个实根；②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根；③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是________．(把所有满足要求的命题序号都填上)答案 ①②解析依题意，知函数f (x )>0，又f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ee x ，x ≥0，e －2x ，x <0，依据y ＝f (f (x ))的大致图象(如右图所示)，知存在实数k ，使得方程f (f (x ))＋k ＝0恰有1个实根或恰有2个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根或恰有4个不相等的实根．4.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解 (1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x 100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．5．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)行车所用时间为t ＝130x(h)， y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．。