36_常微分方程教程(第二版) 习题6.2 丁同仁 李承治,高等教育出版社
常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习第2章习题 第二章答案
习 题 ２-１判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解： １．0)12()13(2=++-dy x dx x解：13),(2-=x y x P ， 12),(+=x y x Q ，则0=∂∂y P ，2=∂∂x Q ， 所以 xQy P ∂∂≠∂∂ 即 原方程不是恰当方程．２．0)2()2(=+++dy y x dx y x解：,2),(y x y x P += ,2),(y x y x Q -=则,2=∂∂y P ,2=∂∂x Q 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程 则,0)22(=-++ydy xdy ydx xdx两边积分得：.22222C y xy x =-+ 3．0)()(=+++dy cy bx dx by ax （a,b 和c 为常数）． 解：,),(by ax y x P += ,),(cy bx y x Q +=则,b y P =∂∂,b x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程 则,0=+++cydy bxdy bydx axdx两边积分得：.2222C cy bxy ax =++ 4．)0(0)()(≠=-+-b dy cy bx dx by ax解：,),(by ax y x P -= ,),(cy bx y x Q -=则,b y P -=∂∂,b x Q =∂∂ 因为 0≠b , 所以xQ y P ∂∂≠∂∂，即 原方程不为恰当方程５．0sin 2cos )1(2=++udt t udu t解：,cos )1(),(2u t u t P += u t u t Q sin 2),(=则,cos 2u t t P =∂∂,cos 2u t x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则,0cos )sin 2cos (2=++udu udt t udu t两边积分得：.sin )1(2C u t =+ ６．0)2()2(2=++++dy xy e dx y e ye x x x解： xy e y x Q y e ye y x P x x x 2),(,2,(2+=++=，则,2y e y P x +=∂∂,2y e x Q x +=∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则,0])2()[(22=++++dy xy e dx y ye dx e x x x 两边积分得：.)2(2C xy e y x =++７．0)2(ln )(2=-++dy y x dx x xy解：,2ln ),(),(2y x y x Q x xy y x P -=+=则,1x y P =∂∂,1x x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则02)ln (2=-++ydy dx x xdy dx xy两边积分得：23ln 3y x y x -+.C = ８．),(0)(22为常数和c b a cxydy dx by ax =++解：,),(,),(22cxy y x Q by ax y x P =+=则,2by y P =∂∂,cy x Q =∂∂ 所以 当xQy P ∂∂=∂∂，即 c b =2时， 原方程为恰当方程则0)(22=++cxydy dx by dx ax两边积分得：233bxy ax +.C = 而当c b ≠2时原方程不是恰当方程．９．01222=-+-dt ts s ds t s 解：,),(,12),(22ts s s t Q t s s t P -=-= 则,212t s t P -=∂∂,212t s s Q -=∂∂ 所以xQ y P ∂∂=∂∂， 即原方程为恰当方程,两边积分得：C ts s =-2．10．,0)()(2222=+++dy y x yf dx y x xf 其中)(⋅f 是连续的可微函数．解：),(),(),(),(2222y x yf y x Q y x xf y x P +=+=则,2f xy y P '=∂∂,2f xy x Q '=∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂， 即原方程为恰当方程,两边积分得：22()f xy dx C +=⎰,即原方程的解为C y x F =+)(22 (其中F 为f 的原积分)．习 题 ２-2. 1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义 的区域:：（１）yx dx dy 2=解：原方程即为：dx x ydy 2= 两边积分得：0,2332≠=-y C x y ．（２）)1(32x y x dx dy += 解：原方程即为：dx xx ydy 321+=两边积分得：1,0,1ln 2332-≠≠=+-x y C x y ．（３）0sin 2=+x y dxdy解： 当0≠y 时原方程为：0sin 2=+xdx y dy两边积分得：0)cos (1=++y x c ．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为0)cos (1=++y x c ．（４）221xy y x dxdy+++=； 解：原方程即为：2(1)1dyx dx y=++ 两边积分得：c x x arctgy ++=22， 即 )2(2c x x tg y ++=． （５）2)2cos (cos y x dxdy= 解：①当02cos ≠y 时原方程即为：dx x y dy 22)(cos )2(cos = 两边积分得：2222sin 2tg y x x c --=． ②y 2cos =0，即42ππ+=k y 也是方程的解. （N k ∈） （６）21y dxdyx-= 解：①当1±≠y 时 原方程即为：xdx y dy =-21 两边积分得：c x y =-ln arcsin ． ② 1±=y 也是方程的解.（７）．yxe y e x dx dy +-=- 解．原方程即为：dx e x dy e y xy)()(--=+两边积分得：c e x e y x y ++=+-2222， 原方程的解为：c e e x y x y =-+--)(222.2. 解下列微分方程的初值问题．（１）,03cos 2sin =+ydy xdx 3)2(ππ=y ；解：两边积分得：c yx =+-33sin 22cos ， 即 c x y =-2cos 33sin 2因为 3)2(ππ=y , 所以 3=c .所以原方程满足初值问题的解为：32cos 33sin 2=-x y ．（２）．0=+-dy ye xdx x， 1)0(=y ；解：原方程即为：0=+ydy dx xe x，两边积分得：c dy y dx e x x=+-2)1(2， 因为1)0(=y ， 所以21-=c ， 所以原方程满足初值问题的解为：01)1(22=++-dy y dx e x x ．（３）．r d dr=θ， 2)0(=r ； 解：原方程即为：θd rdr=，两边积分得：c r =-θln ， 因为2)0(=r ， 所以2ln =c ，所以原方程满足初值问题的解为：2ln ln =-θr 即θe r 2=．（４）．,1ln 2yx dx dy+= 0)1(=y ; 解：原方程即为：dx x dy y ln )1(2=+,两边积分得：3ln 3y y x x x c ++-=, 因为0)1(=y ， 所以1=c ，所以原方程满足初值为：3ln 13y y x x x ++-=（５）．321xy dxdyx=+， 1)0(=y ； 解：原方程即为：dx xx y dy 231+=， 两边积分得：c x y ++=--22121， 因为1)0(=y ， 所以23-=c ，所以原方程满足初值问题的解为：311222=++yx ．１． 解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图． （１）．x dxdycos = 解：两边积分得：c x y +=sin ． 积分曲线的简图如下：（２）．ay dxdy=， （常数0≠a ）； 解：①当0≠y 时，原方程即为：dx aydy= 积分得：c x y a +=ln 1，即 )0(>=c ce y ax②0=y 也是方程的解． 积分曲线的简图如下：y（３）．21y dxdy-=； 解：①当1±≠y 时，原方程即为：dx y dy =-)1(2 积分得：c x yy+=-+211ln ，即 1122+-=x x ce ce y ．②1±=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：（４）．n y dx dy =， )2,1,31(=n ； 解：①0≠y 时，ⅰ）2,31=n 时，原方程即为 dx ydyn =， 积分得：c y n x n=-+-111．ⅱ）1=n 时，原方程即为dx ydy=积分得：c x y +=ln ，即)0(>=c ce y x．②0=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：4. 跟踪：设某A 从xoy 平面上的原点出发，沿x 轴正方向前进；同时某B 从点开始跟踪A ，即B 与A 永远保持等距b ．试求B 的光滑运动轨迹．解：设B 的运动轨迹为)(x y y =,由题意及导数的几何意义，则有22yb ydx dy --=，所以求B 的运动轨迹即是求此微分方程满足b y =)0(的解．解之得：222222ln 21y b y b b y b b b x ----++=．5. 设微分方程)(y f dxdy=（2.27），其中f(y) 在a y =的某邻域（例如，区间ε<-a y ）内连续，而且a y y f =⇔=0)(，则在直线a y =上的每一点，方程（2.27）的解局部唯一，当且仅当瑕积分∞=⎰±εa ay f dy)(（发散）． 证明：（⇒）首先经过域1R ：,+∞<<∞-x a y a <≤-ε 和域2R ：,+∞<<∞-x ε+≤<a y a内任一点（00,y x ）恰有方程（2.13）的一条积分曲线， 它由下式确定00)(x x y f dyyy-=⎰. （*） 这些积分曲线彼此不相交. 其次，域1R （2R ）内的所有 积分曲线c x y f dy +=⎰)(都可由其中一条，比如0)(c x y f dy+=⎰ 沿着 x 轴的方向平移而得到。
常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答
(３)． dy = 1 − y 2 ； dx
解：①当 y ≠ ±1时，
原方程即为： dy = dx 积分得： ln 1 + y = 2x + c ，
(1 − y 2 )
1− y
即
y
=
ce 2 x
−1
．
ce2x + 1
② y = ±1也是方程的解．
积分曲线的简图如下：
(４)． dy = y n ， (n = 1 , 1, 2) ；
内连续，而且 f ( y) = 0 ⇔ y = a ，则在直线 y = a 上的每一点，方程(2.27)的解局部唯一，
∫a±ε dy
当且仅当瑕积分
= ∞ (发散)．
a f (y)
证明：( ⇒ )
首 先 经 过 域 R1 ： − ∞ < x < +∞,
a − ε ≤ y < a 和 域 R2 ： − ∞ < x < +∞,
∂y
∂x
∂y ∂x
∫ 两边积分得： f (x2 + y2 )dx = C ,
即原方程的解为 F (x 2 + y 2 ) = C (其中 F 为 f 的原积分)．
-3-
常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
习题 2-2 1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：
(６) x dy = 1 − y 2 dx
解：①当 y ≠ ±1时 原方程即为： dy = dx
1− y2 x 两边积分得： arcsin y − ln x = c ． ② y = ±1也是方程的解.来自(７)．dy dx
=
x − e−x y +ey
《常微分方程》东师大第二版习题答案
(4) y′ = 2( y − 2 )2 x + y −1
解：令 u = x + 1, v = y − 2 则原方程变为 dv = 2( v )2 du u + v
再令 z = v ，则方程化为 z + u dz = 2( z )2
u
du 1 + z
分离变量 (1 + z)2 dz = − du (z ≠ 0)
ζ
dζ 1 + u
整理为
u + 1 du = − dζ (u ≠ 1,2)
(u −1)(u − 2)
ζ
积分，得 (u − 2)(u − 2)2 ζ = c u −1
5
代回变量，得通解 ( y − 2x)3 = c( y − x −1)2 , y = x + 1也是方程的解
(2) (2x + y + 1)dx − (4x + 2 y − 3)dy = 0
积分，得 ln ln y = x + c1, ln y = ±ec1 e x = ce x c ≠ 0 ，即 y = ecex (3) dy = e x−y
dx 解： 变形得 e y dy = e x dx 积分，得 e y − e x = c
(4) tan ydx − cot xdy = 0
解：变形得 dy = tan y ， y = 0 为特解，当 y ≠ 0 时， cos y dy = sin x dx .
dy 2x + y + 1
解：方程改写为
=
dx 4x + 2y − 3
令
u = 2x + y ，有
du 5u − 5 =
dx 2u − 3
《常微分方程》东师大第二版习题答案
y = 0 也是方程的解
y x dy y y 解：方程改写为 − = tan dx x x y du sin u 令 u = ，有 x = tan u = x dx cos u 积分，得 sin u = cx y 代回变量，得通解 sin = cx x
4
即 cot udu =
dx x
(sin u ≠ 0)
令⎨
⎧− 2α + 4β = 0 ，解得 α = 1, β = 2 ⎩α + β − 3 = 0
作变换 x = ζ + 1,
y =η + 2
有
dη 4η − 2ζ = dζ η +ζ du 4u − 2 = dζ 1+ u
(u ≠ 1,2)
再令 u =
η ζ
上方程可化为 u + ζ
整理为
u +1 dζ du = − (u − 1)(u − 2) ζ u−2 2 ) ζ =c u −1
q(5) = q0 e 5 k = 4 × 10 4
ln 4 2
3 ln 4 3k 比较两式得 k = ， 再由 q (3) = q 0 e = q 0 e 2
= 8q 0 = 10 4
得 q 0 = 1.25 × 10
3
3 1.3 习 题 1.
1 解下列方程： (2) ( y − 2 xy ) dx + x dy = 0 解：方程改写为
dy = 0
积分，得
1 − x 2 + 1 − y 2 = c(c > 0)
6．求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及 x 轴可围成 一个等腰三角形(以 x 轴为底)，且通过点(1,2). 解：设所求曲线为 y = y ( x) 对其上任一点 ( x, y ) 的切线方程：
《常微分方程》东师大第二版习题答案
《常微分方程》习题解答东北师范大学微分方程教研室(第二版)高等教育出版社习题 1.21求下列可分离变量微分方程的通解：(1)xdx ydy =解：积分，得1222121c x y +=即cy x =−22(2)y y dxdyln =解：1,0==y y 为特解，当1,0≠≠y y 时，dx yy dy=ln ，积分，得0ln ,ln ln 11≠=±=+=c ce e e y c x y xx c ，即xcee y =(3)y x e dxdy−=解：变形得dx e dy e xy=积分，得c e e xy =−(4)0cot tan =−xdy ydx 解：变形得x y dx dy cot tan =，0=y 为特解，当0≠y 时，dx xxdy y y cos sin sin cos =.积分，得11cos sin ln ,cos ln sin ln c x y c x y =+−=,即0,cos sin 1≠=±=c c ex y c 2．求下列方程满足给定初值条件的解：(1)1)0(),1(=−=y y y dxdy解：1,0==y y 为特解，当1,0≠≠y y 时，dx dy yy =−−111(，积分，得0,1,1ln11≠=±=−+=−c ce e e yy c x yy x x c 将1)0(=y 代入，得0=c ，即1=y 为所求的解。
(2)1)0(,02)1(22==+′−y xy y x 解：0,1222=−−=y x xy dx dy 为特解，当0≠y 时，dx x xy dy 1222−−=，积分，得c x y+−−=−1ln 12将1)0(=y 代入，得1−=c ，即11ln 12+−=x y 为所求的解。
(3)0)2(,332==′y y y 解：0=y 为特解，当0≠y 时，dx ydy =323，积分，得331)(,c x y c x y +=+=将0)2(=y 代入，得2−=c ，即3)2(−=x y 和0=y 均为所求的解。
常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)习题解答—— 第6章63
习 题 6—31．证明函数组 ，⎩⎨⎧<≥=000)(21x x x x 当当ϕ220 0()0x x x x ϕ≥⎧=⎨<⎩当 当，在区间上线性无关，但它们的朗斯基行列式恒等于零。
这与本节的定理 6.2*是否矛盾？如果并不矛盾，那么它说明了什么？),(+∞−∞证 设有 1122()0c x c ϕϕ+≡ +∞<<∞−x ，则当时，有，从而推得 。
而当 时，有0≥x 21200c x c +≡01=c 0<x 120c c x 0⋅+≡，从而推得 。
因此在02=c +∞<<∞−x 上，只有时，才有 021==c c 1122()()0c x c x ϕϕ+≡，故12(), ()x x ϕϕ在上线性无关。
又当时， ),(+∞−∞0≥x 0002)(2≡=x x x w ，当0<x 时，0200)(2≡=x x x w 故当+∞<<∞−x 时，有。
这与本节定理6.2不矛盾，因为定理6.2*成立对函数有要求，即0)(≡x w )(1x ϕ，)(2x ϕ是某个二阶齐次线性方程的解组。
这说明不存在一个二阶齐次线性方程，它以)(1x ϕ，)(2x ϕ为解组。
3．考虑微分方程''()0y q x y +=（1）设)(x y ϕ=与)(x y ψ=是它的任意两个解，试证)(x y ϕ=与)(x y ψ=的朗斯基行列式恒等于一个常数。
（2）设已知方程有一个特解为，试求这方程的通解，并确定 x e y =()?q x =证： （1）在解)(x y ϕ=，)(x y ψ=的公共存在区间内任取一点x 。
由刘维尔公式，有 （常数）[])()()(),(000x w ex w x x w odxx x=∫=−ψϕ（2）由于是方程的一个非零特解，故可借助刘维尔公式，求与之线性无关的特解 x e y =x odx xx e dx e ee y −∫−−=⋅=∫21122，故方程的通解为 xx e c e c y −+=21又由于是方程的解，故有x e y =()0x x e q x e +≡， 所以 ()1q x =−。
常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答_1
∂y
∂x
∂y ∂x
２． (x + 2 y)dx + (2x + y)dy = 0
解： P(x, y) = x + 2 y, Q(x, y) = 2x − y,
∂P
则
=
2,
∂Q
=
2,
所以 ∂P = ∂Q ，即
原方程为恰当方程
∂y ∂x
∂y ∂x
则 xdx + (2 ydx + 2xdy) − ydy = 0,
解： P(x, y = ye x + 2e x + y 2 , Q(x, y) = e x + 2xy ，
则 ∂P = e x + 2 y, ∂Q = e x + 2 y, 所以 ∂P = ∂Q ，即 原方程为恰当方程
∂y
∂x
∂y ∂x
则 2e x dx + [( ye x + y 2 )dx + (e x + 2xy)dy] = 0,
两边积分得： (2 + y)e x + xy 2 = C.
７． ( y + x2 )dx + (ln x − 2 y)dy = 0 x
解： P(x, y) = y + x2 Q(x, y) = ln x − 2 y, x
则 ∂P = 1 , ∂Q = 1 , 所以 ∂P = ∂Q ，即 原方程为恰当方程
(１) dy = x 2 dx y 解：原方程即为： ydy = x 2dx 两边积分得： 3y 2 − 2x3 = C, y ≠ 0 ．
dy
(２)
dx
=
x2 y(1 + x3 )
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案
习 题 1-11.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解: （１）,2221x xe c e c y -+= .04=-''y y 证明：,2221x x e c e c y -+=则y '=,222221x x e c e c --,442221x x e c e c y -+=''.04=-''y y ∴ （２）,sin xxy =x y y x cos =+'． 证明：∵,sin xx y =则2sin cos x x x x y -='x xxx x x x y y x cos sin sin cos =+-=+'（３）),(c dx xe x y x +=⎰ xxe y y x =-'．证明：∵),(c dx x e x y x +=⎰ 则 ,x e xc dx x e y xx ++='⎰ ∴=-'y y x x x e xc dx x e x x ++⎰x xxe c dx xe x =+-⎰)( （４） 2112221,,40,,2,,4()()x y x x x c c c c x c c ⎧⎪--∞<<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪<<+∞⎪⎩--'y =证明： （1）当1x c -∞<<时，y=214()x c --,'y =12x c --其他情况类似.２．求下列初值问题的解：（１）,x y =''' ,)0(0a y = ,)0(1a y =' 2)0(a y =''．解：∵,x y =''' ∴,2112c x y +='' ∵2)0(a y =''，∴21a c =， ∴3221,6y x a x c '=++ ∵,)0(1a y =' ∴12a c =，∴422111242y x a x a x c =+++，∵,)0(0a y = 满足初值问题的解为：4221011242y x a x a x a =+++．（２）),(x f dxdy= ,0)0(=y （这里)(x f 是一个已知的连续函数）解：∵),(x f dxdy= 即 ,)(dx x f dy = ∴c dt t f dy xx+=⎰⎰0)(,∴,)()0()(0c dt t f y x y x+=-⎰ ∵0)0(=y , ∴0=c∴ 满足初值问题的解为：dt t f x y x⎰=)()(.（３）,aR dtdR-= ,1)0(=R 解：① 若,0≠R 则 ∵adt RdR-=， 两边积分得：c at R +-=ln ∵1)0(=R ∴1=c∴满足初值问题的解为：ateR -=（４）21y dxdy+=， 00)(y x y =， 解：∵21y dxdy+=， ∴dx y dy =+21，两边积分得：c x arctgy +=.∵00)(y x y =， ∴00x y arctg c -=.∴满足初值问题的解为：)(00x y arctg x tg y -+=. ３．假设（１） 函数12(,,,,)n y x c c c φ=是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '=的通解，其中12,,n c c c 是独立的任意常数，（２） 存在一组常数12(,,,)n n c c c R ∈和空间中的点(1)0000(,,,,)n M x y y y-'（３） 满足001001(1)(1)0011(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n y x c c y x c c xy x c c x φφφ---=⎧⎪∂⎪'=⎪∂⎨⎪⎪∂=⎪∂⎩试证明：存在点0M 的某一邻域 U ，使得对任意一点(1)00000(,,,,)n M x y y y -',可确定一组数0(),1,2,,i i c c M i n ==，使得10200(,(),(),,())n y x c M c M c M φ=是初值问题(1)(1)000000(1)(),(),,()(,,,,)0n n n y x y y x y y x y F x y y y---'⎧===⎪⎨'=⎪⎩ 的解． 证明：因为12(,,,,)n y x c c c φ=是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '=的通解，所以初值问题(1)(1)000000(1)(),(),,()(,,,,)0n n n y x y y x y y x y F x y y y---'⎧===⎪⎨'=⎪⎩ 的解应具有形式12(,,,,)n y x c c c φ***=，其中12(,,,)n c c c ***应满足：001001(1)(1)0011(,,,)(,,,)(,,,)n nn n n n y x c c y x c c x y x c c x φφφ****--**-⎧=⎪∂⎪'=⎪∂⎨⎪⎪∂=⎪∂⎩，（*） 如何确定12(,,,)n c c c ***呢？由条件（２）及隐函数定理知，存在点 0M 的某一邻域U ，使得对任意一点(1)00000(,,,,)n M x y y y-'可确定一组数0(),1,2,,i i c c M i n **==，使得（*）成立．得证．4. 求出：（１） 曲线族2x cx y +=所满足的微分方程；解：2x cx y +=， x c y 2+='， 22x cx y x +='， 则有：y x y x =-'2.（２） 曲线族xx xe c e c y 21+=所满足的微分方程；解：由xx xe c e c y 21+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧++=''++='xx x xx x xec e c e c y xe c e c e c y 1211212,联立消去21,c c 得：02=+'-''y y y .(3) 平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程；解：平面上以原点为中心的圆的方程为)0(222≠=+r r y x 将视y 为x 的函数，对x 求导得：022='+y y x平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程为0='+y y x ．(4) 平面上一切圆所满足的微分方程．解：平面上圆的方程为：),0()()(222≠=-+-r r b y a x 将y 视为x 的函数，对x 求导得：()22()2()022()202()40'x a y b y y b y y b y y y '-+-=⎧⎪⎪''+-+=⎨⎪'''''-+=⎪⎩联立消去b a ,得，0)(3])(1[22='''-''''+y y y y ．习 题 1-2１．作出如下方程的线素场：（１）xyxy y ='（２）2)1(-='y y（３）22y x y +='2. 利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族：（１）xy y +='1。
[理学]常微分方程教程_丁同仁第二版_习题解答
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∂y x ∂x x
∂y ∂x
则 ( y dx + ln xdy) + x2dx − 2 ydy = 0 x
两边积分得： x3 + y ln x − y 2 = C. 3
８． (ax2 + by 2 )dx + cxydy = 0 (a,b和c为常数)
解： P(x, y) = ax2 + by 2 , Q(x, y) = cxy,
两边积分得： (2 + y)e x + xy 2 = C.
７． ( y + x2 )dx + (ln x − 2 y)dy = 0 x
解： P(x, y) = y + x2 Q(x, y) = ln x − 2 y, x
则 ∂P = 1 , ∂Q = 1 , 所以 ∂P = ∂Q ，即 原方程为恰当方程
常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-对恰当方程求解：
１． (3x2 −1)dx + (2x + 1)dy = 0
解： P(x, y) = 3x2 −1， Q(x, y) = 2x + 1 ，
则 ∂P = 0 ， ∂Q = 2 ，所以 ∂P ≠ ∂Q 即，原方程不是恰当方程．
则 ∂P = 2by, ∂Q = cy, 所以 当 ∂P = ∂Q ，即 2b = c 时， 原方程为恰当方程
∂y
∂x
∂y ∂x
-2-
常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
则 ax2dx + (by 2dx + cxydy) = 0
两边积分得： ax3 + bxy 2 = C. 3
∂y
∂x
常微分方程教程丁同仁第二版解答完整版
习题2-1判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：１．(3x 2 −1)dx +(2x +1)dy =0 解：P (x , y ) =3x 2 −1，Q (x , y ) =2x +1 ，则∂∂P y =0 ，∂∂Q x =2 ，所以∂∂P y ≠∂∂Q x即，原方程不是恰当方程．２．(x +2y )dx +(2x +y )dy =0 解：P (x , y ) =x +2y , Q (x , y ) =2x −y , 则∂∂P y =2, ∂∂Q x =2, 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则xdx +(2ydx +2xdy ) −ydy =0,2 2两边积分得：x +2xy −y =C . 2 23．(ax +by )dx +(bx +cy )dy =0 (a,b 和c 为常数)．解：P (x , y ) =ax +by , Q (x , y ) =bx +cy , 则∂∂P y =b , ∂∂Q x =b , 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则axdx +bydx +bxdy cydy =0,（）+两边积分得：ax 2 +bxy +cy 2=C . 2 24．(ax −by )dx +(bx −cy )dy =0(b ≠0) 解：P (x , y ) =ax −by , Q (x , y ) =bx −cy ,则∂∂P y=−b , ∂∂Q x =b , 因为 b ≠0, 所以∂∂P y ≠∂∂Q x ，即，原方程不为恰当方程５．(t 2 +1)cos udu +2 t sin udt =0 解：P (t ,u ) =(t 2 +1)cos u , Q (t ,u ) =2t sin u 则∂∂P t =2t cos u , ∂∂Q x =2t cos u , 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则(t 2 cos udu +2t sin udt ) +cos udu =0,两边积分得：(t 2 +1)sin u =C .６．( ye x +2e x +y 2)dx +(e x +2xy )dy =0 解：P (x , y =ye x +2e x +y 2, Q (x , y ) =e x +2xy ，则∂∂P y =e x +2y , ∂∂Q x =e x +2y , 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则2e x dx +[(ye x +y 2)dx +(e x +2xy )dy ] =0,两边积分得：(2 +y )e x +xy 2 =C .７．( y +x 2)dx +(ln x −2y )dy =0 x 解：P (x , y ) =y +x 2 Q (x , y ) =ln x −2y ,x则∂∂P y =1 x , ∂∂Q x =1 x , 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则( ydx +ln xdy ) +x 2 dx −2ydy =0 x 3两边积分得：x 3+y ln x −y 2 =C .８．(ax 2+by 2)dx +cxydy =0(a ,b 和c 为常数) 解：P (x , y ) =ax 2 +by 2, Q (x , y ) =cxy ,则∂∂P y =2by , ∂∂Q x =cy , 所以当∂∂P y =∂∂Q x，即2b =c 时，原方程为恰当方程则ax 2 dx +(by 2 dx +cxydy ) =0 3两边积分得：ax +bxy 2 =C .3而当2b ≠c 时原方程不是恰当方程．９．2s −1 ds +s −2 s 2 dt =0 t t解：P (t , s ) =2s −1, Q (t , s ) =s −2 s 2,t t则∂∂P t =1−t 22s , ∂∂Q s =1−t22s , 所以∂∂P y =∂∂Q x ，即原方程为恰当方程,两边积分得：s −s 2=C ．t10．xf (x 2 +y 2)dx +yf (x 2 +y 2)dy =0, 其中f (⋅)是连续的可微函数．解：P (x , y ) =xf (x 2 +y 2 ), Q (x , y ) =yf (x 2 +y 2 ), 则∂∂P y =2xyf ′, ∂∂Q x =2xyf ′, 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程,两边积分得：∫f (x 2 +y 2)dx =C ,即原方程的解为F (x 2 +y 2) =C (其中F 为f 的原积分)．习题2-2 1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：dy x 2(１) dx =y解：原方程即为：ydy =x 2 dx 两边积分得：3y 2 −2x 3 =C , y ≠0 ．dy x 2(２) dx =y (1+x )3 2解：原方程即为：ydy =1+x x 3dx 两边积分得：3y 2 −2ln1+x 3=C , y ≠0,x ≠−1 ．(３) dy +y 2 sin x =0dx解：当y ≠0时原方程为：dy +sin xdx =0y2 两边积分得：1+(c +cos x ) y =0 ．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为1+(c +cos x ) y =0 ．dy 22(４) dx=1+x +y +xy ；解：原方程即为：1+dy y 2=)(1+x dx 2两边积分得：arctgy =x +x 2+c ，即y =tg (x +x 22+c ) ．(５) dy =(cos x cos 2y )2 dx解：①当cos 2y ≠0 时原方程即为：(cos dy 2y )2 =(cos x )2 dx 两边积分得：2tg 2y −2x −2sin 2 x =c ．②cos 2y =0，即y =k π+π也是方程的解.( k ∈N )2 4 (６) x dy =1−y 2 dx解：①当y ≠±1时dydx 原方程即为：1−y 2 =x两边积分得：arcsin y −ln x =c ．②y =±1也是方程的解. dy x −e −x(７)．dx =y +e y解．原方程即为：( y +e y )dy =(x −e −x )dx 2 2两边积分得：y +e y =x +e −x +c ，22原方程的解为：y 2 −x 2 +2(e y −e −x ) =c .2. 解下列微分方程的初值问题．(１) sin 2xdx +cos3ydy =0, y (π) =π；2 3解：两边积分得：−cos 22x +sin 33y =c ，即2sin 3y −3cos 2x =c 因为y (π2) =π3,所以 c =3.所以原方程满足初值问题的解为：2sin 3y −3cos 2x =3．x (２)．xdx +ye −dy =0 ，y (0) =1；解：原方程即为：xe x dx +ydy =0 ，两边积分得：(x −1)e xdx +y 22dy =c ，因为y (0) =1，所以c =−12，所以原方程满足初值问题的解为：2(x −1)e x dx +y 2 dy +1 =0 ．(３)．dr =r ，r (0) =2 ；d θ解：原方程即为：dr =d θ，两边积分得：ln r −θ=c ，r因为r (0) =2 ，所以c =ln 2 ，所以原方程满足初值问题的解为：ln r −θ=ln 2 即r =2e θ．dy ln x (４)．dx =1+y2, y (1) =0;解：原方程即为：(1+y 2)dy =ln x dx , 两边积分得：y 3x x ln y ++−x =c ,3因为y (1) =0 ，所以c =1， 3 所以原方程满足初值为：y x x ln y ++−x =1 3 2 dy 3(５)．1+x dx=xy ，y (0) =1；dy x 解：原方程即为：y 3 =1+x 2 dx ，2两边积分得：−12y −2 =1+x +c ，因为y (0) =1，所以c =−3 ，2 所以原方程满足初值问题的解为：21+x 2 +y1 =3 ．2 3. 解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图．(１)．dy =cos x dx解：两边积分得：y =sin x +c ．积分曲线的简图如下：(２)．dxdy =ay ，(常数a ≠0 )；解：①当y ≠0时，原方程即为：aydy =dx 积分得：a 1ln y =x c +，即y =ce ax (c >0) ②y =0也是方程的解．积分曲线的简图如下：y(３)．dy =1−y 2 ；dx解：①当y ≠±1时，1+y 原方程即为：(1−dy y 2)=dx 积分得：ln =2x +c ，1−y 即y =ce 2 x −1 ．ce 2 x +1②y =±1也是方程的解．积分曲线的简图如下：dy n 1(４)．dx=y ，(n =3,1, 2) ；解：①当y ≠0时，1 dy ⅰ) n =3, 2 时，原方程即为yn =dx ，积分得：x +1y 1−n =c ．n −1ⅱ) n =1时，原方程即为dy y=dx 积分得：ln y =x +c ，即y =ce x(c >0) ．②y =0也是方程的解．积分曲线的简图如下：4. 跟踪：设某A 从xoy 平面上的原点出发，沿x 轴正方向前进；同时某B 从点开始跟踪A ，即B 与A 永远保持等距b ．试求B 的光滑运动轨迹．解：设B 的运动轨迹为y =y (x ),由题意及导数的几何意义，则有dy y dx b 2 −y2 ，所以求B 的运动轨迹即是求此微分方程满足y (0) =b 的解．=−解之得：x =12 b ln b b +−b b 22 +−y y 22 −b 2 −y 2 ．5. 设微分方程dy =f ( y ) (2.27)，其中f(y) 在y =a 的某邻域(例如，区间y −a <ε)dx 内连续，而且f ( y )=0 ⇔y =a ，则在直线y =a 上的每一点，方程(2.27)的解局部唯一，±εdy 当且仅当瑕积分=∞(发散)．∫a a f ( y )证明：( ⇒)首先经过域R 1：−∞<x <+∞, a −ε≤y <a 和域R 2：−∞<x <+∞,a <y ≤a +ε内任一点( x 0, y 0)恰有方程(2.13)的一条积分曲线，它由下式确定dy =x −x 0 . (*)∫y y 0 f ( y )这些积分曲线彼此不相交. 其次，域R 1( R 2)内的所有积分曲线∫f dy ( y )=x +c 都可由其中一条，比如∫f dy ( y ) =x +c 0 沿着x 轴的方向平移而得到。
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案篇一：常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)第四章奇解第四章奇异解习题4-11.求解以下微分方程：(1).2y?p2?4px?2x2,(p?解：y?p22dydx);2pxx2数据处理p?pdp?2p?2x?2x数据处理（p？2x）dp？（p？2x）？0（p？2x）（？1）？0a.p?2x?0?p??2x（特解）?y?2x2?4x2?x2??x2(特解）b.dp?1?0??x22数据处理1.P十、CY(?x?c)?2(?x?c)x?x2?y?二cx12c（通解）dydx(2). Ypxlnx？（xp）2，（p（lnx？2xp）（xdp？p）？0);Dp22解决方案：P？xlnxdp？p（lnx？1）？2xp？2xpxa。
lnx？2xp？0 lnx？？2xp？Pln2xxlnx2lnx？Ylnxlnx？[x（？2x2x）]？Y2.2ln2x4十、ln42b、 xxdp？P0便士？？Yclnx？c2cYc2xlnx？（xc）(3).2xp?2tany?p3cos2y.解：x?1tany?x?qtany?cos2y2q2p2cos2y问？1?dx，,2科西（？西尼）2q二2二q?tanydq?qsecy?2?tanydqdy?qtany?cos3Q2dq？舒适q22ycos3qdqdycosydqtany(dqqtany)(dyqtany)0dyq3cosy(dqqtany)(tanyq3)0二a.dqdy?qtany?0?b.tany?二dqdyqtany?q?ccosy?x?csiny?三cos3y2c2cos2yq0q二Qcosy伊辛？十、cosy辛塔尼？cos2t2舒适3Yy33sin3y2siny2siny2.用参数法求解下列微分方程： 2（1） 2y2？5（dy）？4dx解：令y?由p?dy2225cost,p?sintdy2525sint,y?2cost,p?二百五十五sint,x,a.当sint?0?dx??y?2sintd(2cost)2522辛特25辛特dt？十、dt?c（？x？c）]？2cos[（？x？c）] b当sint?0?cost??1?y??(2).x2?3( dy2)?1.dx嘘et?e?tet?e?t，红隧？，嘘？22解决方案：制造x？cht，p？dyshtshtshtsh2t阿迪？dx？d（xht）？Dtx333 ysh2t1c812t?2t(e?e?2)d(2t)?c?811t？（sh2t？）？C2422(3).(dy)?y?x?0.dx（e2t？e？2t？4t）？C解：令x?u,p?v,y?u2?v2,dy?pdx2udu?2vdv?vdu?(2u?v)du?2vdv? dvdu2u?v2vuv二2?uV2u齐次方程令v?t,u?vt,?dvt1二2t?12t？1.tdv?vdt?2dvvdtTvdv？dtvdv2.2t2？T2t?12t?12?2t2?tdtlnv??2t？一c2.2t2？T2t?12dt？C2t?t?22t?112tdt？？2t2？T2.2t2？T2dt2t2？T二 1dt12tdt222(t?2(t?4)?164)?16二)?171d[(t?11dt1dt]222171717 2（t？14？（t？12？（t？1）)?)?)?11171dtln(t?)?21724164（t？1）1dt12174.（t？14）？（t？4164？dt4)(t?4?444)4一百和二十一(4.T4.12磅？1.T1四|1t？4.)dtT一百一十七故??2t2dt??22ln(t?)?16??t?2二42ln|t?1?t??44一|.五、Ec一t?4?四t?4?4(t?4?t?4?)2121?121?21?12c（t？？）（t？？）4444确保你准备好了吗4. 1二4,4?一百四十四11四,v?c(t??)一1141122一,五、c（t？？）（t？？） uc（？？）四v14?u(??) 4vc（u？？v）v一441（u？？v）v144一11??4411??44?14411一44一故一1?c(u??v)（u？？v）1?44?1（u？？v）c(uv)c(uv)c(uv)1.44?? 141?? 44(u??v)4(u??v)1.44(u??v)??c(u??v)?Yx2？p2（通解）,（x？？p）？C（x×P）特解：2？2t2？T0吨？？Yx2？1?u1?4五、u4v41？16162? 二千二百二十二x?x(1?)?x22(1?) (1?) 18? 21? 9?? 1.22? 2a。
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案_0
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案篇一：常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案习题 1-11.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解: （１）y?c2x1e?c2e?2x, y???4y?0.证明：?y?cx1e2?c?2x2e,则y?=2c2x1e2x?2c2e?,y4cx1e2?4cx2e?2,y???4y?0.∴ y?sinxx, xy??y?cosx．证明：∵y?sinx, y??xcosx?sinxx则x2xy??y?xcosx?sinxx?sinxx?cosx（３）y?x(?exxdx?c), xy??y?xex．证明：∵y?x(?exxdx?c), 则 yexex x?c?xx, exex∴xy??y?x?x?c?xxx(?ex?x?c)?xex ??(x?2)（４） ??4,x?c1,y???0,cy’?1?x??c2,??(x?2)?4,c2?x,证明：（1）当x?c1时2y=?(x?)14,y’=?x?2其他情况类似.２．求下列初值问题的解：（１）yx, y(0)?a0, y?(0)?a1, y??(0)?a2．解：∵yx, ∴y12x2?c1, ∵y??(0)?a2，∴c1?a2，∴y??x3?a2x?c2, ∵y?(0)?a1, ∴c2?a1，（２），∴y?124x4?12a2x2?a1x?c，∵y(0)?a0, 满足初值问题的解为：y?14124x?2a22x?a1x?a0． dydx?f(x), y(0)?0, （这里f(x)是一个已知的连续函数）解：∵dydx?f(x), 即 dy?f(x)dx, ∴xx?dy??f(t)dt?c,x∴y(x)?y(0)??f(t)dt?c, ∵y(0)?0, ∴c?0 0x∴满足初值问题的解为：y(x)?f(t)dt.（３）dRdt??aR, R(0)?1,解：①若R?0, 则∵dRR??adt，两边积分得：lnR??at?c ∵R(0)?1 ∴c?1 ∴满足初值问题的解为：R?e?at（４）dydx?1?y2， y(x0)?y0，解：∵dydx?1?y2，∴dy1?y2?dx，两边积分得：arctgy?x?c.∵y(x0)?y0，∴c?arctgy0?x0.∴满足初值问题的解为：y?tg(x?arctgy0?x0). （１）函数y??(x,c1,c2,,cn)是微分方程F(x,y,y?,,y(n))?0的通解，其中c1,c2,cn是独立的任意常数，（２）存在一组常数(1,2,,cn)?Rn和空间中的点0(0,0,0,,y(n?1)0)（３）满足３．假设??0??(0,1,,cn)0?(0,1,,cn)???x??(n?1)?(n?1)??xn?1(0,1,,cn)试证明：存在点0的某一邻域 U，使得对任意一点M0(x?,(n?1)0,y0,y0,y0),可确定一组数ci?ci(M0),i?1,2,,n，使得y??(x,c1(M0),c2(M0),,cn(M0))是初值问题y(x,y?(x,y(n?1)(x1)0)?y00)?y0,0)?y(n?0??F(x,y,y?,,y(n?1))?0 的解．证明：因为y??(x,c1,c2,,cn)是微分方程F(x,y,y?, ,y(n))?0的通解，所以初值问题y(x(n?1)0)?y0,y?(x0)?y0,,y(x(n?1)0)?y0 ??F(x,y,y?,,y(n?1))?0的解应具有形式y??(x,c??1,c2,,c?，其中(c??n)1,c2,,c?n)应满足：??y0??(x0,c?1,,c?n)?y(x,c?1,,c??0??x0n)，（*） ??(n?1)?(n?1)??y0xn?1(x0,c?1,,c?n)如何确定(c?1,c?2,,c?n)呢？由条件（２）及隐函数定理知，存在点 0的某一邻域U，使得对任意一点M?1)0(x0,y0,y?0,,y(n0)可确定一组数c??i?ci(M0),i?1,2,,n，使得（*）成立．得证．4. 求出：（１）曲线族y?cx?x2所满足的微分方程；解：y?cx?x2， y??c?2x， xy??cx?2x2则有：xy??x2?y.（２）曲线族y?c1ex?cx2xe所满足的微分方程；xx解：由y?c??y??c1e?cx2e?c1xe1ex?c2xexy???cxxx, 1e?2c2e?c1xe联立消去c1,c2得：y2y??y?0.(3)平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程；解：平面上以原点为中心的圆的方程为x2?y2?r2(r?0)将视y为x的函数，对x求导得：2x?2yy??0平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程为x?yy??0．(4)平面上一切圆所满足的微分方程．解：平面上圆的方程为：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0),将y视为x 的函数，对x求导得：??2(x?a)?2(y?b)y??0?2?2?2(y?b)y2?y’??0联立消去a,b得，2(y?b)y?4y0[1?(y?)2]y3y?(y??)2?0．习题 1-2作出如下方程的线素场：（１）y??xyxy（２）y??(y?1)2（３）y??x2?y22. 利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族：（１）y??1?xy篇二：常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习第2章习题第二章答案习题２-１判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：１．(3x2?1)dx?(2x?1)dy?0解：P(x,y)?3x2?1， Q(x,y)?2x?1，则?P?y?0，?Q?x?2，所以 ?P?Q?y??x即原方程不是恰当方程．２．(x?2y)dx?(2x?y)dy?0解：P(x,y)?x?2y,Q(x,y)?2x?y,则?P?y?2,?Q?x?2, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则xdx?(2ydx?2xdy)?ydy?0,两边积分得：x222xy?y2?2?C. 3．(ax?by)dx?(bx?cy)dy?0 （a,b和c为常数）．解：P(x,y)?ax?by,Q(x,y)?bx?cy,则?P?y?b,?Q?x?b, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则axdx?bydx?bxdy?cydy?0,ax2cy2两边积分得：2?bxy?2?C. 4．(ax?by)dx?(bx?cy)dy?0(b?0)解：P(x,y)?ax?by,Q(x,y)?bx?cy,则?P?Q?y??b,?x?b, 因为 b?0, 所以?P?Q?y??x，即原方程不为恰当方程５．(t2?1)cosudu?2tsinudt?0解：P(t,u)?(t2?1)cosu,Q(t,u)?2tsinu则?P?t?2tcosu,?Q?x?2tcosu, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程则(t2cosudu?2tsinudt)?cosudu?0,两边积分得：(t2?1)sinu?C. ６．(yex?2ex?y2)dx?(ex?2xy)dy?0解： P(x,y?yex?2ex?y2,Q(x,y)?ex?2xy，则?P?y?ex?2y,?Q?x?ex?2y, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程则2exdx?[(yex?y2)dx?(ex?2xy)dy]?0, 两边积分得：(2?y)ex?xy2?C.７．(yx?x2)dx?(lnx?2y)dy?0 解：P(x,y)?yx?x2Q(x,y)?lnx?2y,则?P1?Q?y?x,?x?1x, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则(yxdx?lnxdy)?x2dx?2ydy?0两边积分得：x33?ylnx?y2?C. ８．(ax2?by2)dx?cxydy?0(a,b和c为常数) 解：P(x,y)?ax2?by2,Q(x,y)?cxy,则?P?Q?y?2by,?x?cy, 所以当?P?Q?y??x，即方程为恰当方程则ax2dx?(by2dx?cxydy)?0两边积分得：ax3?bxy23?C. 而当2b?c时原方程不是恰当方程．９．2s?1s?t?s2dst2dt?0 解：P(t,s)?2s?1t)?s?s2,Q(t,st2, 则?P?t?1?2s?Q1?2s?P?Qt2,?s?t2, 所以?y??x，方程,s?s2两边积分得：t?C． 2b?c时，原即原方程为恰当10．xf(x2?y2)dx?yf(x2?y2)dy?0, 其中f(?)是连续的可微函数．解：P(x,y)?xf(x2?y2),Q(x,y)?yf(x2?y2),则?P?Q?y?2xyf?,?x?2xyf?, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程,两边积分得：?f(x2?y2)dx?C,即原方程的解为F(x2?y2)?C (其中F为f的原积分)．习题２-2.1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：dyx2（１）dx?y解：原方程即为：ydy?x2dx 两边积分得：3y2 ?2x3?C,y?0．dyx2（２）dx?y(1?x3)解：原方程即为：ydy?x21?x3dx两边积分得：3y2?2ln?x3?C,y?0,x??1．（３）dydx?y2sinx?0解：当y?0时原方程为：dyy2?sinxdx?0 两边积分得：1?(c?cosx)y?0．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为1?(c?cosx)y?0．（４）dydx?1?x?y2?xy2；解：原方程即为：dy1?y2?(1?x)dx 两边积分得：arctgy?x?x22?c，即 y?tg(x?x22?c)．（５）dydx?(cosxcos2y)2 解：①当cos2y?0时原方程即为：dy(cos2y)2?(cosx)2dx 两边积分得：2tg2y?2x?2sin2x?c．②cos2y=0，即y? k?2??4也是方程的解. （６）xdx??y2解：①当y??1时原方程即为：dydx?y2?x两边积分得：arcsiny?lnx?c．② y??1也是方程的解. dyx?e?x（７）．dx?y?ey解．原方程即为：(y?ey)dy?(x?e?x)dxk?N）（22两边积分得：y2?ey?x2?e?x?c，原方程的解为：y2?x2?2(ey?e?x)?c.2. 解下列微分方程的初值问题．（１）sin2xdx?cos3ydy?0, y(?)??23解：两边积分得：?cos2x2?sin3y3?c，即 2sin3y?3cos2x?c因为 y(?2)??3, 所以 c?3.所以原方程满足初值问题的解为：2sin3y?3cos2x?3．（２）．xdx?ye?xdy?0， y(0)?1；解：原方程即为：xexdx?ydy?0，两边积分得：(x?1)exdx?y22dy?c，因为y(0)?1，所以c??12，所以原方程满足初值问题的解为：2(x?1)exdx?y2dy?1?0．（３）．d??r， r(0)?2；解：原方程即为：drr?d?，两边积分得：lc，因为r(0)?2，所以c?ln2，所以原方程满足初值问题的解为：lln2 即r?2e?．（４）．dydx?lnx1?y2,y(1)?0;解：原方程即为：(1?y2)dy?lnxdx,两边积分得：y?y33?x?xlnx?c, 因为y(1)?0，所以c?1，所以原方程满足初值为：y?y33?x?xlnx?1篇三：第2章习题 2第二章答案常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习（１）y?1)3. v?1?2， 2v?1ln1?u?1?u ?x?c，?8y??c． ?3 ,（２）, x2z?ce. ?x2?1(v?u)?2.（１）y??cos(x?y)2x?v,y2?u，①当cosu?11 两边积分得：ctg2 解：令u?x?y ②当cosu?1（２）(3uv?v)du?(u 解：方程两边同时乘以22?u??1 得?，令v??2?m?z，则m?zn，令n n，?2x2?y2?3)3.(3u2v?uv2)du?即 (3uvdu?u2322, u?y,v?xdy（３）(x?y?3)?dx22?m?n?，?udx＋p(x)ue?udx?q(x)e?udx．即有：u2?u??p(x)u5.c?2x)．45?．解：设此曲线为y?y(x)dyy?dxx?tg45??1dyy1?dxx6. 探照灯的反光镜（旋转面）反射成平行线束？维坐标系．设所求曲面由曲线??0；?3e3xy2)dy?0，?ey?c． 3x3?y??z?结为求 xy 平面上的曲线1?(2xe2y?)dy?0 y即(edx?2y1?)dy?0， y26（３）．(3x?)dxy?2dy)?0，y (3x2y即 (3x2x?c. （４）．ydx?(x2? 2)?dy?0， ylny?c（5）．2xydx?(x3 2?0 ，。
常微分方程教程_第二版_(丁同仁)版_khdaw
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常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答_5
习 题 6—31．证明函数组 ，⎩⎨⎧<≥=000)(21x x x x 当当ϕ220 0()0x x x x ϕ≥⎧=⎨<⎩当 当，在区间上线性无关，但它们的朗斯基行列式恒等于零。
这与本节的定理 6.2*是否矛盾？如果并不矛盾，那么它说明了什么？),(+∞−∞证 设有 1122()0c x c ϕϕ+≡ +∞<<∞−x ，则当时，有，从而推得 。
而当 时，有0≥x 21200c x c +≡01=c 0<x 120c c x 0⋅+≡，从而推得 。
因此在02=c +∞<<∞−x 上，只有时，才有 021==c c 1122()()0c x c x ϕϕ+≡，故12(), ()x x ϕϕ在上线性无关。
又当时， ),(+∞−∞0≥x 0002)(2≡=x x x w ，当0<x 时，0200)(2≡=x x x w 故当+∞<<∞−x 时，有。
这与本节定理6.2不矛盾，因为定理6.2*成立对函数有要求，即0)(≡x w )(1x ϕ，)(2x ϕ是某个二阶齐次线性方程的解组。
这说明不存在一个二阶齐次线性方程，它以)(1x ϕ，)(2x ϕ为解组。
3．考虑微分方程''()0y q x y +=（1）设)(x y ϕ=与)(x y ψ=是它的任意两个解，试证)(x y ϕ=与)(x y ψ=的朗斯基行列式恒等于一个常数。
（2）设已知方程有一个特解为，试求这方程的通解，并确定 x e y =()?q x =证： （1）在解)(x y ϕ=，)(x y ψ=的公共存在区间内任取一点x 。
由刘维尔公式，有 （常数）[])()()(),(000x w ex w x x w odxx x=∫=−ψϕ（2）由于是方程的一个非零特解，故可借助刘维尔公式，求与之线性无关的特解 x e y =x odx xx e dx e ee y −∫−−=⋅=∫21122，故方程的通解为 xx e c e c y −+=21又由于是方程的解，故有x e y =()0x x e q x e +≡， 所以 ()1q x =−。
常微分方程教程（丁同仁、李承治第二版）习题解答——第6章6-2
习题6—21．求出常系数齐次性微分方程组Ay dxdy=的通解，其中的矩阵A 分别为 1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2543 2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-o a a o 3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4010100114）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---942105520105 5）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------1111111111111111解：1） 特征方程3452λλ-- 即 0)2)(7(=+-λλ矩阵A 有特征根，71=λ 22-=λ对应于71=λ所有的特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21v v 满足0)7(21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-v v E A 即1244055v v -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。
取11=v ，则12=v 那么对应的实值解为xe y 7111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=；对应22-=λ的特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21v v 满足0)2(21=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+v v E A 即0454521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛v v ，取41=v ，则52-=v ，那么对应的实值解为 zxe y -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=542。
于是该方程组的通解为x x e c e c y y 2271215411-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2）特征方程为0=---λλa a即022=+a λ矩阵A 有特征根ai =1λ 2ai λ=-对应ai =1λ的特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21r r 应满足021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---v v ai aa ai取11=v ，则i v =2 即么对应的特解为1211(cos sin )aix y e ax i ax y i i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos sin sin cos ax ax i ax ax ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭由此得ai =1λ所对应的两个特解为（对2X2的方程组取一个特解的实部和虚部就可，因为虚根都是成对出现的。
）12cos sin y ax y ax ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 122sin cos y ax y ax ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 它们在),(+∞-∞上线性无关，故得方程组的通解：1122cos sin sin cos y ax ax c c y ax ax ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭3）0401010011=------λλλ即0)1)(4(2=++λλ 矩阵A 有特征根 41-=λ，121-==λλ。
常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答_2
常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
习题 4-1 1．求解下列微分方程 1） 2 y = p + 4 px + 2 x
y = xp + f ( p )
(p =
dy ) （1） dx
dp =0 dx
dp =0 dx
即 p = c时 （2）
代入（1）得（1）的通解
y = cx + f (c)
它的 C—判别式为
y = cx + f (c) x + f ' (c ) = 0
由此得
Λ:x = − f '(c)) = ϕ (c ) ， y = −cf '(c) + f (c) = ψ (c )
1 = dy 2 cos t 5
5 1 ( 2 sin t ) = d 2 cos t
5 dt 从而得 2
x=
5 2
t+c 5 t + c ， y = 2 sin t 2
x 因此方程的通解为 =
消去参数 t，得通解
= y
2 sin
2 (x − C) 5 dy = 0 ，显然 dx
对于方程除了上述通解，还有 y = ± 2 ，
检验知
y = 2x +
Fy' ( x, y, p) = 1 ，
" Fpp ( x, y , p ) = 2 p ，
Fp' ( x, y, p) =−1 + p 2
常微分方程教程（丁同仁、李承治第二版）习题解答——第3章
第三章习题习题3—11． 判断下列方程在什么区域上保证初值解存在且唯一.1）y x y sin '+=； 2）31'-=xy ； 3）y y ='. 解 1）因为y x y x f sin ),(+=及y y x f y cos ),('=在整个xOy 平面上连续，所以在整个xOy 平面上满足存在唯一性定理的条件，因此在整个xOy 平面上初值解存在且唯一.2）因为31),(-=x y x f 除y 轴外，在整个xOy 平面上连续，0),('=y x f y 在在整个xOy 平面上有界，所以除y 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一.3）设y y x f =),(，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->=∂∂,0,21,0,21),(y yy y y y x f 故在0≠y 的任何有界闭区域上，),(y x f 及yy x f ∂∂),(都连续，所以除x 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 2． 求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=,0)1(,22y y x dx dy R ：1,11≤≤+y x . 的解的存在区间.并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.解 设22),(y x y x f -=，则4),(m ax ),(==∈y x f M R y x ，1,1==b a ，所以41)41,1min(),min(===M b a h . 显然，方程在R 上满足解的存在唯一性定理，故过点)0,1(-的解的存在区间为：411≤+x . 设)(x ϕ是方程的解，)(2x ϕ是第二次近似解，则0)1()(0=-=y x ϕ，3131)0(0)(3121-=-+=⎰-x dx x x x ϕ，4211931863])3131([0)(34712322+-+--=--+=⎰-x x x x dx x x x x ϕ. 在区间411≤+x 上，)(2x ϕ与)(x ϕ的误差为 322)!12()()(h ML x x +≤-ϕϕ. 取22),(max max ),(),(=-=∂∂=∈∈y y y x f L R y x R y x ，故241)41()!12(24)()(322=+⨯≤-x x ϕϕ.3． 讨论方程3123y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件.并求通过点)0,0(O 的一切解.解 设3123),(y y x f =，则3221-=∂∂y y f )0(≠y .故在0≠y 的任何有界闭区域上),(y x f 及y y x f ∂∂),(都是连续的，因而方程在这种区域中满足解的存在唯一性定理的条件.显然，0=y 是过)0,0(O 的一个解.又由3123y dx dy =解得23)(C x y -±=.其中0≥-C x . 所以通过点)0,0(O 的一切解为0=y 及,,,)(,023C x C x C x y >≤⎪⎩⎪⎨⎧-=.,,)(,023C x C x C x y >≤⎪⎩⎪⎨⎧--=如图. 4． 试求初值问题 1++=y x dxdy ，0)0(=y ， 的毕卡序列，并由此取极限求解.解 按初值问题取零次近似为0)(0=x y ，一次近似为 20121)10()(x x ds s x y x +=++=⎰， 二次近似为 3220261]1)21([)(x x x ds s s s x y x ++=+++=⎰, 三次近似为 432320324131]1)61([)(x x x x ds s s s s x y x +++=++++=⎰, 四次近似为 !5)!5!4!3!2(2!5134131)(5543254324x x x x x x x x x x x x x y --++++=+⨯+++=， 五次近似为 !6)!6!5!4!3!2(2)(6654325x x x x x x x x x y --+++++=，一般地，利用数学归纳法可得n 次近似为)!1()!1(!4!3!22)(11432+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=++n x x n x x x x x x y n n n 2)!1()!1(!4!3!21211432-+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++=++n x x n x x x x x n n ， 所以取极限得原方程的解为22)()(lim --==+∞→x e x y x y x n n .5． 设连续函数),(y x f 对y 是递减的，则初值问题),(y x f dxdy =，00)(y x y =的右侧解是唯一的. 证 设)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是初值问题的两个解，令)()()(21x x x ϕϕϕ-=，则有0)(000=-=y y x ϕ.下面要证明的是当0x x ≥时，有0)(≡x ϕ.用反证法.假设当0x x ≥时，)(x ϕ不恒等于0，即存在01x x ≥，使得0)(1≠x ϕ，不妨设0)(1>x ϕ，由)(x ϕ的连续性及0)(0=x ϕ，必有100x x x <≤，使得0)(0=x ϕ，0)(>x ϕ，10x x x ≤<.又对于],[10x x x ∈，有00201)()(y x x ==ϕϕ，⎰+=x x dx x x f y x 0)](,[)(101ϕϕ，⎰+=x x dx x x f y x 0)](,[)(202ϕϕ，则有 )()()(21x x x ϕϕϕ-=⎰-=xx dx x x f x x f 0)]}(,[)](,[{21ϕϕ，10x x x ≤<.由0)()()(21>-=x x x ϕϕϕ（10x x x ≤<）以及),(y x f 对y 是递减的，可以知道：上式左端大于零，而右端小于零.这一矛盾结果，说明假设不成立，即当0x x ≥时，有0)(≡x ϕ.从而证明方程的右侧解是唯一的.习题3—31． 利用定理5证明：线性微分方程 )()(x b y x a dxdy += （I x ∈） )1( 的每一个解)(x y y =的（最大）存在区间为I ，这里假设)(),(x b x a 在区间I 上是连续的.证 )()(),(x b y x a y x f +=在任何条形区域{}∞<<-∞≤≤y x y x ,),(βα（其中I ∈βα,）中连续，取[])(max ,x a M x βα∈=，[])(max ,x b N x βα∈=，则有 N y M x b y x a y x f +≤+≤)()(),(.故由定理5知道，方程)1(的每一个解)(x y y =在区间],[βα中存在，由于βα,是任意选取的，不难看出)(x y 可被延拓到整个区间I 上.2． 讨论下列微分方程解的存在区间：1）)1(-=y y dx dy ； 2）)sin(xy y dx dy =； 3）21y dxdy +=. 解 1）因)1(),(-=y y y x f 在整个xOy 平面上连续可微，所以对任意初始点),(00y x ，方程满足初始条件00)(y x y =的解存在唯一.这个方程的通解为x Cey -=11.显然0=y ，1=y 均是该方程在),(∞-∞上的解.现以0=y ，1=y 为界将整个xOy 平面分为三个区域来讨论.ⅰ）在区域1R {}10,),(<<+∞<=y x y x 内任一点),(00y x ，方程满足00)(y x y =的解存在唯一.由延伸定理知，它可以向左、右延伸，但不能与0=y ，1=y 两直线相交，因而解的存在区间为),(∞-∞.又在1R 内，0),(<y x f ，则方程满足00)(y x y =的解)(x y ϕ=递减，当-∞→x 时，以1=y 为渐近线，当+∞→x 时，以0=y 为渐近线.ⅱ）在区域2R {}1,),(>+∞<=y x y x 中，对任意常数0>C ，由通解可推知，解的最大存在区间是)ln ,(C --∞，又由于0),(>y x f ，则对任意200),(R y x ∈，方程满足00)(y x y =的解)(x y ϕ=递增.当-∞→x 时，以1=y 为渐近线，且每个最大解都有竖渐近线，每一条与x 轴垂直的直线皆为某解的竖渐近线.ⅲ）在区域3R {}0,),(<+∞<=y x y x 中，类似2R ，对任意常数0>C ，解的最大存在区间是),ln (+∞-C ，又由于0),(>y x f ，则对任意300),(R y x ∈，方程满足00)(y x y =的解)(x y ϕ=递增.当+∞→x 时，以0=y 为渐近线，且每个最大解都有竖渐近线.其积分曲线分布如图（ ）.2）因)sin(),(xy y y x f =在整个xOy 平面上连续，且满足不等式y xy y y x f ≤=)sin(),(，从而满足定理5的条件，故由定理5知，该方程的每一个解都以+∞<<∞-x 为最大存在区间.3）变量分离求得通解)tan(C x y -=，故解的存在区间为)2,2(ππ+-C C . 3．设初值问题)(E ：2)(2)32(y x e y y dx dy +--=，00)(y x y = 的解的最大存在区间为b x a <<，其中),(00y x 是平面上的任一点，则-∞=a 和+∞=b 中至少有一个成立.证明 因2)(2)32(),(y x e y y y x f +--=在整个xOy 平面上连续可微，所以对任意初始点),(00y x ，方程满足初始条件00)(y x y =的解存在唯一.很显然3=y ，1-=y 均是该方程在),(∞-∞上的解.现以3=y ，1-=y 为界将整个xOy 平面分为三个区域来进行讨论.ⅰ）在区域1R {}31,),(<<-+∞<<∞-=y x y x 内任一点),(00y x ，方程满足00)(y x y =的解存在唯一.由延伸定理知，它可以向左、右延伸，但不能与3=y ，1-=y 两直线相交，因而解的存在区间为),(∞-∞.这里有-∞=a ，+∞=b .ⅱ）在区域2R {}1,),(-<+∞<<∞-=y x y x 中，由于0)1)(3(),(2)(>+-=+y x e y y y x f ，积分曲线单调上升.现设),(000y x P 位于直线1-=y 的下方，即10-<y ，则利用)(E 的右行解的延伸定理，得出)(E 的解Γ可以延伸到2R 的边界.另一方面，直线1-=y 的下方，积分曲线Γ是单调上升的，并且它在向右延伸时不可能从直线1-=y 穿越到上方.因此它必可向右延伸到区间+∞<<x a .故至少+∞=b 成立.类似可证，对3R {}3,),(>+∞<<∞-=y x y x ，至少有-∞=a 成立.4． 设二元函数),(y x f 在全平面连续.求证：对任何0x ，只要0y 适当小，方程),()(22y x f e y dxdy x -= )1( 的满足初值条件00)(y x y =的解必可延拓到+∞<≤x x 0.证明 因为),(y x f 在全平面上连续，令),()(),(22y x f e y y x F x -=，则),(y x F 在全平面上连续，且满足0),(),(≡-≡x x e x F e x F .对任何0x ，选取0y ，使之满足00xe y <.设方程)1(经过点),(00y x 的解为)(x y ϕ=，在平面内延伸)(x y ϕ=为方程的最大存在解时，它的最大存在区间为),[0βx ，由延伸定理可推知，或+∞=β或为有限数且+∞=-→)(lim 0x x ϕβ.下证后一种情形不可能出现. 事实上，若不然，则必存在β<x ，使βϕe x >)(.不妨设βϕe x >)(.于是必存在),(00βx x ∈，使00()x x e ϕ=，x e x <)(ϕ（00x x x <≤）.此时必有0)(000'>=≥x x x x e dx de x ϕ， 但0),())(,()(00000'===x x e x F x x F x ϕϕ，从而矛盾.因此，+∞=β，即方程)1(的解)(x y ϕ=（00)(y x y =）必可延拓到+∞<≤x x 0.。