高中数学第二章章末检测A北师大版必修1
2021-2022学年高中数学北师大版必修1 第二章函数测评含解析
第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列函数中与函数y=x相同的是()A.y=x2B.y=C.y=D.y=解析:y==t,t∈R.答案:B2.函数f(x)=的图像是()解析:因为f(x)=所以其图像为C.答案:C3.函数f(x)=的定义域为()A.[-1,2)∪(2,+∞)B.(-1,+∞)C.[-1,2)D.[-1,+∞)解析:由解得x≥-1,且x≠2.答案:A4.已知f:x→x2是集合A到集合B={0,1,4}的一个映射,则集合A中的元素个数最多有()A.3个B.4个C.5个D.6个解析:令x2=0,1,4,解得x=0,±1,±2.故选C.答案:C5.(2017·山东高考)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=()A.2B.4C.6D.8解析:f(x)的图像如图所示.又f(a)=f(a+1),所以0<a<1,a+1>1,=2(a+1-1),所以a=.所以f=f(4)=2×(4-1)=6.答案:C6.已知二次函数f(x)=m2x2+2mx-3,则下列结论正确的是()A.函数f(x)有最大值-4B.函数f(x)有最小值-4C.函数f(x)有最大值-3D.函数f(x)有最小值-3解析:由题知,m2>0,所以f(x)的图像开口向上,函数有最小值f(x)min==-4,故选B.答案:B7.(2017·全国1高考)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.所以x的取值范围是[1,3].答案:D8.偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增,若f(-2)=1,则f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[0,2]B.[-2,2]C.[0,4]D.[-4,4]解析:因为函数f(x)是偶函数,f(-2)=1,所以f(2)=1.因为f(x-2)≤1,所以-2≤x-2≤2,解得0≤x≤4.故选C.答案:C9.函数f(x)=满足f(f(x))=x,则常数c等于()A.3B.-3C.3或-3D.5或-3解析:f(f(x))==x,即x[(2c+6)x+9-c2]=0,所以解得c=-3.故选B.答案:B10.已知函数f(x)=ax3+bx+7(其中a,b为常数),若f(-7)=-17,则f(7)的值为()A.31B.17C.-17D.15解析:令g(x)=ax3+bx,则g(x)为奇函数.因为f(-7)=g(-7)+7=-17,所以g(-7)=-17-7=-24,g(7)=24,f(7)=g(7)+7=31.答案:A11.已知函数f(x)=ax2-x,若对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,不等式>0恒成立,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.解析:不妨设x2>x1≥2,则=a(x1+x2)-1.∵对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,>0恒成立,∴x2>x1≥2时,a(x1+x2)-1>0,即a>恒成立.∵x2>x1≥2,∴.∴a≥,即a的取值范围为.故选D.答案:D12.已知f(x)=是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是()A. B.C. D.解析:由题意可得解得≤a<,故选A.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.已知幂函数y=(m∈N+)的图像关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减少的,则m=.解析:由题意m2-2m-3为负的偶数,由m2-2m-3=(m-1)2-4<0⇒|m-1|<2.∴-1<m<3.又m∈N+,∴m=1或m=2.代入m2-2m-3使其为偶数,只有m=1.答案:114.已知函数f(x+3)的定义域为[-2,4),则函数f(2x-3)的定义域为.解析:因为函数f(x+3)的定义域为[-2,4),所以x∈[-2,4),所以1≤x+3<7.对于函数f(2x-3),则1≤2x-3<7,即2≤x<5,所以函数y=f(2x-3)的定义域为[2,5).答案:[2,5)15.(2017·全国2高考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).又因为当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,所以f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=12.答案:1216.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2,已知定义在R上的函数g(x)=[x]+[2x],若A={y|y=g(x),0≤x≤1},则A中所有元素的和为.解析:当x∈时,0≤2x<1,g(x)=[x]+[2x]=0;当x∈时,1≤2x<2,g(x)=[x]+[2x]=1;当x=1时,2x=2,g(x)=[x]+[2x]=3,∴A={y|y=g(x),0≤x≤1}={0,1,3}.∴A中所有元素的和为4.答案:4三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-2x+1,求f(x)在x∈R上的表达式.解:因为f(x)是定义域在R上的奇函数,所以f(0)=0,当x<0时,-x>0,由已知得,f(-x)=(-x)2-2(-x)+1=x2+2x+1=-f(x),所以f(x)=-x2-2x-1,所以f(x)=18.(12分)设函数f(x)=-5x+a为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.(1)求实数a的值;(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义法证明f(x)在(0,+∞)上的单调性.解:(1)∵f(x)是奇函数,x≠0,∴f(-x)=-f(x).∴-+5x+a=-+5x-a,∴2a=0,∴a=0.经检验a=0为所求.(2)f(x)=-5x的单调减区间为(-∞,0)与(0,+∞),没有单调增区间,证明:当x>0时,设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=+5(x2-x1)=(x2-x1)+5>0,∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.19.(12分)函数f(x)的图像如图所示,曲线BCD为抛物线的一部分.(1)求f(x)解析式;(2)若f(x)=1,求x的值;(3)若f(x)>f(2-x),求x的取值范围.解:(1)当-1≤x≤0时,函数f(x)的图像为直线且过点(-1,0),(0,3),设函数f(x)的解析式为y=kx+b,则所以y=3x+3.当0≤x≤3时,函数f(x)的图像为抛物线,设函数f(x)的解析式为y=a(x-1)(x-3),当x=0时,y=3a=3,解得a=1,所以y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.所以y=(2)当x∈[-1,0]时,令3x+3=1,解得x=-;当x∈(0,3]时,令x2-4x+3=1,解得x==2±.因为0<x≤3,所以x=2-.所以x=-或x=2-.(3)当x=-1或x=3时,f(x)=f(2-x)=0;当-1<x<0时,2<2-x<3,由图像可知f(x)>0,f(2-x)<0,所以f(x)>f(2-x)恒成立;当0≤x≤2时,0≤2-x≤2,f(x)在[0,2]上单调递减,所以当x<2-x,即x<1时,f(x)>f(2-x),所以0≤x<1;当2<x<3时,-1<2-x<0,此时f(x)<0,f(2-x)>0,不合题意.所以x的取值范围为{x|-1<x<1}. 20.(12分)某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出;当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?解:(1)当每辆车的月租金定为3600元时,未租出的车辆数为=12,所以这时租出了88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x元,则租赁公司的月收益为f(x)=(x-150)-×50,整理,得f(x)=-+162x-21000=-(x-4050)2+307050.所以当x=4050时,f(x)最大,最大值为f(4050)=307050元,即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307050元. 21.(12分)已知f(x)对任意的实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时,有f(x)>1.(1)求f(0);(2)求证:f(x)在R上为增函数;(3)若f(1)=2,且关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x2)<3对任意的x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.(1)解:令m=n=0,则f(0)=2f(0)-1,∴f(0)=1.(2)证明:任取x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>1.∵f(m+n)=f(m)+f(n)-1,∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1>1+f(x1)-1=f(x1),∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在R上为增函数.(3)解:∵f(ax-2)+f(x-x2)<3,即f(ax-2)+f(x-x2)-1<2,∴f(ax-2+x-x2)<2.∵f(1)=2,∴f(ax-2+x-x2)<f(1).又f(x)在R上为增函数,∴ax-2+x-x2<1,∴x2-(a+1)x+3>0对任意的x∈[1,+∞)恒成立.令g(x)=x2-(a+1)x+3,当≤1时,g(1)>0,得a<3,∴a≤1;当>1时,Δ<0,即(a+1)2-3×4<0,∴-2-1<a<2-1,∴1<a<2-1.综上,实数a的取值范围为(-∞,2-1).22. (12分)已知二次函数f(x)的图像过点(0,4),对任意x满足f(3-x)=f(x),且有最小值是.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数h(x)=f(x)-(2t-3)x在区间[0,1]上的最小值,其中t∈R;(3)在区间[-1,3]上,y=f(x)的图像恒在函数y=2x+m的图像上方,试确定实数m的范围.解:(1)由题知二次函数图像的对称轴为x=,又最小值是,则可设f(x)=a(a≠0).又图像过点(0,4),则a=4,解得a=1,∴f(x)==x2-3x+4.(2)h(x)=f(x)-(2t-3)x=x2-2tx+4=(x-t)2+4-t2,其对称轴x=t.①t≤0时,函数h(x)在[0,1]上单调递增,最小值为h(0)=4;②当0<t<1时,函数h(x)的最小值为h(t)=4-t2;③当t≥1时,函数h(x)在[0,1]上单调递减,最小值为h(1)=5-2t, 所以h(x)min=(3)由已知,f(x)>2x+m对x∈[-1,3]恒成立,∴m<x2-5x+4对x∈[-1,3]恒成立,∴m<(x2-5x+4)min(x∈[-1,3]).∵g(x)=x2-5x+4在x∈[-1,3]上的最小值为-,∴m<-.。
第二章 函数 期末综合复习测评卷高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
第二章 函数 期末综合复习测评卷一、单选题 1．函数()g x =） A ．(2,0)(0,1)- B ．[2,0)(0,1]- C ．(1,0)(0,1]-⋃ D ．[1,0)(0,2]-⋃2．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，下列两个命题： ①若()f x 、()g x 都不是单调函数，则(())f g x 不是增函数． ①若()f x 、()g x 都是非奇非偶函数，则(())f g x 不是偶函数． 则（ ） A ．①①都正确B ．①正确①错误C ．①错误①正确D ．①①都错误3．设()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(4)f x f x =+，(1)1f =，则(1)(8)f f -+=（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．14．设函数17,0()20xx f x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨≥，若()1f a <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3)-∞-B ．(1,)+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞5．函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()21f =-，则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围为（ ）A ．[]22-,B ．[]1,3-C ．[]1,3D ．[]1,1-6．函数y ＝331x x -的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．7．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1,81=，[]1,82-=-.下面说法错误的是（ ）A ．当[)0,1x ∈时，()f x x =；B ．函数()y f x =的值域是[)0,1；C ．函数()y f x =与函数14y x =的图象有4个交点；D ．方程()40f x x -=根的个数为7个.8．黎曼函数()R x 是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，()R x 在[]0,1上的定义为：当qx p =（p q >，且p ，q 为互质的正整数）时，()1R x p=；当0x =或1x =或x 为()0,1内的无理数时，()0R x =.已知a ，b ，[]0,1a b +∈，则（ ）注：p ，q 为互质的正整数()p q >，即qp为已约分的最简真分数. A ．()R x 的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．()()()R a b R a R b ⋅≥⋅C ．()()()R a b R a R b +≥+D ．以上选项都不对二、多选题9．函数()y f x =的图象如图所示，则（ ）A ．函数()f x 的定义域为[－4，4）B ．函数()f x 的值域为[)0,+∞C ．此函数在定义域内是增函数D ．对于任意的()5,∈+∞y ，都有唯一的自变量x 与之对应10．某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如图8-3-1所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ）A ．①反映建议（1）B ．①反映建议（1）C ．①反映建议（2）D ．①反映建议（2）11．有下列几个命题，其中正确的是（ ） A ．函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上是增函数 B ．函数y ＝11x +在(－∞，－1)①(－1，＋∞)上是减函数C ．函数y [－2，＋∞)D ．已知函数g (x )＝23,0(),0x x f x x ->⎧⎨<⎩是奇函数，则f (x )＝2x ＋312．对于定义在 R 上的函数()f x ，下列判断错误的有（ ）． A ．若()()22f f ->，则函数()f x 是 R 的单调增函数 B ．若()()22f f -≠，则函数()f x 不是偶函数 C ．若()00f =，则函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 在区间 (−∞，0]上是单调增函数，在区间 (0,+∞)上也是单调增函数，则()f x 是 R 上的单调增函数三、填空题 13．若函数()2743kx f x kx kx +=++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________ .14．已知函数()()3,01,0x x f x f x x ≤⎧=⎨->⎩，则56f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_______ 15．已知函数()f x x=()2g x x ，则()()f x g x +=_________. 16．已知偶函数()y f x =定义在(1,1)-上，且在(1,0]-上是单调增加的.若不等式(1)(31)f a f a -<-成立，则实数a 的取值范围是___________.四、解答题17．已知幂函数22()(22)m f x m m x +=+-，且在(0,)+∞上是减函数． （1）求()f x 的解析式；（2）若(3)(1)m m a a ->-，求a 的取值范围．18．已知函数11()1(0)2f x x x =-+>．（1）若0m n >>时，()()f m f n =，求11m n+的值； （2）若0m n >>时，函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，求所有,m n 值．19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+.（1）求出函数()f x 在R 上的解析式，并补出函数()f x 在y 轴右侧的图像； （2）①根据图像写出函数()f x 的单调递减区间；①若[]1,x m ∈-时函数()f x 的值域是[]1,1-，求m 的取值范围.20．已知函数f (x )＝221x x +.（1）求f (2)＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，f (3)＋f 13⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）由（1）中求得的结果，你发现f (x )与f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭有什么关系？并证明你的发现.（3）求2f (1)＋f (2)＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f (2017)＋f 12017⎛⎫⎪⎝⎭＋f (2018)＋f 12018⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.21．已知函数2(1)(f x ax bx a b =++，均为实数)，x ∈R ， (),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩.（1）若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[0)+∞，，求()F x 的解析式； （2）在（1）的条件下，当2][2x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围； （3）设000mn m n a <+>>，，，且()f x 为偶函数，判断()()F m F n +是否大于零，并说明理由.22．已知函数()y x ϕ=的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是()()2a x a x b ϕϕ++-=．给定函数()61f x x x =-+． （1）求函数()f x 图象的对称中心；（2）判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性（只写出结论即可）；（3）已知函数()g x 的图象关于点()1,1对称，且当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+．若对任意[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，求实数m 的取值范围．参考答案1．B 【分析】首先根据题中所给的函数解析式，结合偶次根式和分式的要求列出不等式组求得结果.【解析】由题意得2200x x x ⎧--+≥⎨≠⎩，即2200x x x ⎧+-≤⎨≠⎩，解得21x -≤≤且0x ≠，所以函数()g x =[2,0)(0,1]-， 故选：B. 2．D【解析】解：：当1,0()()0,0x f x g x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩，则(())f g x x =，故①不正确；当2()(1)f x x =+，()1g x x =-，则2(())f g x x =，故①不正确. ①①①都错误. 故选：D ． 3．B 【解析】解：()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0f =，满足()(4)f x f x =+，(8)(4)(0)0f f f ∴===，又(1)(1)1f f -=-=-，(1)(8)1f f ∴-+=-.故选：B. 【点睛】本题考查了利用奇偶性和周期性求函数值，属于基础题. 4．C 【分析】0a <时，()1f a <即1()712a-<，0a1<，分别求解即可．【解析】0a <时，()1f a <即1()712a-<，解得3a >-，所以30a -<<；0a1，解得01a <综上可得：31a -<< 故选：C ． 【点睛】本题考查分段函数解不等式问题，考查了分类讨论思想的应用，属基本题，难度不大． 5．B【分析】根据函数的奇偶性以及函数的单调性求出x 的范围即可． 【解析】解：因为()f x 为奇函数， 所以()()221f f -=-=，于是()111f x -≤-≤等价于()()()212f f x f ≤-≤-， 又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，212x ∴-≤-≤，13x ∴-≤≤．故选：B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查转化思想，属于中档题． 6．C【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)①(0，＋∞)，故排除A ；取x ＝－1，y ＝1113--＝32＞0，故再排除B ；当x→＋∞时，3x－1远远大于x 3的值且都为正，故331xx -→0且大于0，故排除D ，选C. 7．C 【分析】作出函数()[]f x x x =-的图像，结合图像可判断A ，B 均正确，再作出14y x =，14y x =的图像，结合方程的根与函数零点的关系，可判断C ，D 是否正确.【解析】解：作出函数()[]f x x x =-的图像如图所示，显然A ，B 均正确； 在同一坐标系内作函数14y x =的图像(坐标系内第一象限的射线部分)， 作出14y x =的图像(图像中的折线部分)，可以得到C 错误，D 正确. 故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的应用，考查了函数值域的求解，考查了函数的零点与方程的根.本题的关键是由题目条件，作出()[]f x x x =-的图像.本题的难点是作图时，临界点空心圆､实心圆的标定. 8．B 【分析】设q A x x p ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，（p q >，且p ，q 为互质的正整数） ，B ＝{x |x ＝0或x ＝1或x 是[0，1]上的无理数}，然后对A 选项，根据黎曼函数()R x 在[]0,1上的定义分析即可求解；对B 、C选项：分①a A ∈，b A ∈；①a B ∈，b B ∈；①a A b B ∈⎧⎨∈⎩或a Bb A ∈⎧⎨∈⎩分析讨论即可．【解析】解：设q A x x p ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，（p q >，且p ，q 为互质的正整数），B ＝{x |x ＝0或x ＝1或x 是[0，1]上的无理数}，对A 选项：由题意，()R x 的值域为1110,,,,,23p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，其中p 是大于等于2的正整数， 故选项A 错误； 对B 、C 选项：①当a A ∈，b A ∈，则()()()R a b R a R b +≤+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅； ①当a B ∈，b B ∈，则()()()R a b R a R b +=+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅＝0；①当a A b B ∈⎧⎨∈⎩或a B b A ∈⎧⎨∈⎩，则()()()R a b R a R b +≤+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅，所以选项B 正确，选项C 、D 错误， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数()R x 在[]0,1上的定义去分析. 9．BD 【分析】结合函数图象一一分析即可；【解析】解：由题图可知，函数()f x 的定义域为[][)4,01,4-⋃，故A 错误； 函数()f x 的值域为[)0,+∞，故B 正确； 函数()f x 在定义域内不单调，故C 错误；对于任意的()5,∈+∞y ，都有唯一的自变量x 与之对应，故D 正确． 故选：BD ．【分析】由于图象表示收支差额y 与乘客量x 的函数关系，因此需要正确理解图中直线的倾斜角及纵截距的含义.同时对于建议（1）（2）前后图象的变化，也可以理解为对原图象做平移或旋转得到新的图象【解析】对于建议（1）因为不改变车票价格，故建议后的图象（虚线）与目前的图象（实线）倾斜方向相同（即平行），由于减少支出费用，收支差变大，则纵截距变大，相当于将原图象向上平移即可得到，故①反映建议（1）；对于建议（2）因为不改变支出费用，则乘客量为0时前后的收支差是相等的，即前后图象纵截距相等，由于提高车票价格，故建议后的图象（虚线）比目前的图象（实线）的倾斜角大.相当于将原图象绕与y 轴的交点按逆时针旋转一定的角度得到的图象，故①反映建议（2）. 故选：AC. 11．AD 【分析】根据简单函数的单调性，复合函数的单调性，以及由函数奇偶性求函数解析式，即可容易判断和选择.【解析】由y ＝2x 2＋x ＋1＝2217()48x ++在1[,)4-+∞上递增知，函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，故A 正确； y ＝11x +在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是减函数， 但在(－∞，－1)①(－1，＋∞)上不是减函数， 如－2<0，但112101<-++故B 错误；y [),(5,)2,1--+∞上无意义， 从而在[－2，＋∞)上不是单调函数，故C 错误； 设x <0，则－x >0，g (－x )＝－2x －3，因为g (x )为奇函数，所以f (x )＝g (x )＝－g (－x )＝2x ＋3，故D 正确． 故选：AD . 【点睛】本题考查函数单调区间的求解，复合函数的单调性判断以及利用函数奇偶性求函数解析式，属中档题. 12．ACD利用单调性的定义及性质，奇偶函数定义进行判断即可.【解析】A 选项，由()()22f f ->，则()f x 在 R 上必定不是增函数； B 选项，正确；C 选项，()2f x x =，满足()00f =，但不是奇函数；D 选项，该函数为分段函数，在x =0 处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，故错误． 故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的单调性的定义和性质，考查了函数奇偶性的性质，属于基础题. 13．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】分析可知，对任意的x ∈R ，2430kx kx ++≠恒成立，分0k =、0k ≠两种情况讨论，结合已知条件可求得实数k 的取值范围. 【解析】因为函数()2743kx f x kx kx +=++的定义域为R ，所以，对任意的x ∈R ，2430kx kx ++≠恒成立. ①当0k =时，则有30≠，合乎题意；①当0k ≠时，由题意可得216120k k ∆=-<，解得304k <<. 综上所述，实数k 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.14．12-【分析】利用函数()f x 的解析式可求得56f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【解析】因为()()3,01,0x x f x f x x ≤⎧=⎨->⎩，所以，511136662f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：12-.15．()0x x -> 【分析】求出函数()f x 、()g x 的定义域，将函数()f x 、()g x 解析式相加即可得解.【解析】函数()f x x =()2g x x =的定义域均为()0,∞+， 因此，()()()0f x g x x x +=->.故答案为：()0x x ->.16．1(0,)2【分析】由()y f x =在(1,0]-上为单调增，结合函数的奇偶性，可得()y f x =在[)0,1上为单调减，将(1)(31)f a f a -<-转化为131a a ->-，结合定义域，解不等式可得a 的取值范围. 【解析】偶函数()y f x =在(1,0]-上为单调增，∴()y f x =在[)0,1上为单调减，∴(1)(31)f a f a -<-等价于1311111311a a a a ⎧->-⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得：10202203a a a ⎧<<⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎩∴实数a 的取值范围是1(0,)2. 故答案为：1(0,)2. 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题,考查计算能力，属于中档题. 17．（1）()1f x x=；（2）{|23a a <<或1}a <． 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性建立条件关系即可得到结论，（2）令3()g x x -=，根据其单调性即可求解结论．【解析】解：（1）函数是幂函数，2221m m ∴+-=， 即2230m m +-=，解得1m =或3m =-，幂函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，20m ∴+<，即2m <-，3m ∴=-，（2）令3()g x x -=，因为()g x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，且在(,0)-∞和(0,)+∞上均为减函数，33(3)(1)a a --->-，310a a ∴-<-<或031a a <-<-或301a a ->>-，解得23a <<或1a <，故a 的取值范围为：{|23a a <<或1}a <．18．（1）2；（2）32m =，12n =． 【分析】（1）根据绝对值定义去掉绝对值，由()()f m f n =化简即可得出结果；（2）根据01n m <<≤，1m n >≥，01n m <<<三种情况去掉绝对值，根据函数的单调性，列出方程，计算求解即可得出结果.【解析】（1）因为()()f m f n =，所以11111122m n -+=-+ 所以1111m n -=-， 所以1111m n -=-或1111m n -=-，因为0m n >>，所以112m n+=． （2）1 当01n m <<≤时，11()2f x x =-在[],n m 上单调递减，因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，所以()()f n m f m n=⎧⎨=⎩，两式相减得1mn =不合，舍去． 2 当1m n >≥时，31()2f x x =-在[],n m 上单调递增，因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，所以()()f m m f n n =⎧⎨=⎩，无实数解. 3 当01n m <<<时，11,[,1],2()31,(1,],2x n x f x x m x⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩ 所以函数()f x 在[,1]n 上单调递减，在(]1,m 上单调递增．因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，所以1(1)2n f ==，13()22m f ==．综合所述，32m =，12n =． 【点睛】本题考查分段函数的单调性及值域问题，考查分类讨论的思想，属于中档题.19．（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩，图象答案见解析；（2）①减区间为：(),1-∞-和()1,+∞；①1m ⎡⎤∈⎣⎦.【分析】（1）由奇函数的定义求得解析式，根据对称性作出图象．（2）由图象的上升与下降得增减区间，解出方程221x x -+=-的正数解，可得结论．【解析】（1）当0x >，0x -<，则()()2222f x x x x x -=--=-因为()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即0x >时，()22f x x x =-+ 所以()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩， 图象如下：（2）如图可知，减区间为：(),1-∞-和()1,+∞()11f -=-，()11f =令22212101x x x x x -+=-⇒--=⇒==①1x >①1x =故由图可知1m ⎡⎤∈⎣⎦． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查图象的应用，由图象得单调区间，得函数值域．是我们学好数学的基本技能．20．（1）f （2）＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f （3）＋f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1；（2）f (x )＋f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1；证明见解析；（3）2018. 【分析】（1）根据函数解析式，代值计算即可；（2）观察（1）中所求()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合函数解析式，即可证明； （3）根据（2）中所求，两两配对，即可容易求得结果.【解析】（1）因为f (x )＝221x x +， 所以f （2）＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22212+＋2212112⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1 f （3）＋f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22313+＋2213113⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1. （2）由（1）可发现f (x )＋f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1.证明如下： f (x )＋f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝221x x +＋22111x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＝221x x +＋211x +＝2211x x ++＝1，是定值. （3）由（2）知，f (x )＋f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1， 因为f （1）＋f （1）＝1，f （2）＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1， f （3）＋f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1， f (4)＋f 14⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1， …f (2018)＋f 12018⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，所以2f （1）＋f （2）＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f （3）＋f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f (2017)＋f 12017⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (2018)＋f 12018⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2018.【点睛】本题考查函数值的求解，注意观察，属基础题.21．（1）22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>=⎨-+<⎩；（2）(][)26∞∞-，-，+；（3）大于零，理由见解析. 【分析】（1）由(1)0f -=，得10a b -+=及函数()f x 的值域为[0)+∞，，得240a b -=， 联立求解可得；（2）由222(2)()124()k k g x x --=++-，当2][2x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数，则222k -≤-或222k -≥得解； （3）()f x 为偶函数，则2()1f x ax =+，不妨设m n >，则0n <，由0m n +>，得0m n >->，则22m n >所以2222()()()()(1)(1)()0F m F n f m f n am an a m n +=-+-+=->＝得解【解析】（1）因为(1)0f -=，所以10a b -+= ①.又函数()f x 的值域为[0)+∞，，所以0a ≠. 由224()24b a b y a x a a-=++知2404a b a -=， 即240a b -=①.解①①，得12a b ==，. 所以22()21(1)f x x x x =++=+.所以22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>=⎨-+<⎩； （2）由（1）得2222(2()())()21()124k k g x f x kx x k x x --=-=-=++-++ 因为当2][2x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数， 所以222k -≤-或222k -≥， 即2k ≤-或6k ≥，故实数k 的取值范围为(][)26∞∞-，-，+（3）大于零.理由如下：因为()f x 为偶函数，所以2()1f x ax =+，所以221,0()1,0ax x F x ax x ⎧+>=⎨--<⎩不妨设m n >，则0n <由0m n +>，得0m n >->所以22m n >又0a >，所以2222()()()()(1)(1)()0F m F n f m f n am an a m n +=-+-+=->＝，所以()()F m F n +大于零.【点睛】本题考查函数性质的应用，涉及分段函数解析式、函数的值域，单调性，奇偶性，属于基础题.22．（1）()1,1--；（2）()f x 在区间()0,∞+上为增函数；（3）[]2,4-.【分析】（1）根据题意可知，若函数()f x 关于点(),a b 中心对称，则()()2f a x f a x b ++-=， 然后利用()61f x x x =-+得出()f a x +与()f a x -，代入上式求解； （2）因为函数y x =及函数61y x =-+在()0,∞+上递增，所以函数()61f x x x =-+在()0,∞+上递增； （3）根据题意可知，若对任意[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，则只需使函数()g x 在[]10,2x ∈上的值域为()f x 在[]21,5x ∈上的值域的子集，然后分类讨论求解函数()g x 的值域与函数()f x 的值域，根据集合间的包含关求解参数m 的取值范围．【解析】解：（1）设函数()f x 图象的对称中心为(),a b ，则()()20f a x f a x b ++--=． 即()()662011x a x a b x a x a +-+-+--=++-++， 整理得()()()()22161a b x a b a a -=-+-+，于是()()()()21610a b a b a a -=-+-+=，解得1a b ==-．所以()f x 的对称中心为()1,1--；（2）函数()f x 在()0,∞+上为增函数；（3）由已知，()g x 值域为()f x 值域的子集．由（2）知()f x 在[]1,5上单增，所以()f x 的值域为[]2,4-．于是原问题转化为()g x 在[]0,2上的值域[]2.4A ⊆-．①当02m ≤，即0m ≤时，()g x 在[]0,1单增，注意到()2g x x mx m =-+的图象恒过对称中心()1,1，可知()g x 在(]1,2上亦单增，所以()g x 在[]0,2上单增，又()0g m =，()()2202g g m =-=-，所以[],2A m m =-．因为[][],22,4m m -⊆-，所以224m m ≥-⎧⎨-≤⎩，解得20m -≤≤． ①当012m <<，即02m <<时，()g x 在0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，,12m ⎛⎫ ⎪⎝⎭单增， 又()g x 过对称中心()1,1，所以()g x 在1,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单增，2,22m ⎛⎤- ⎥⎝⎦单减； 此时()()min 2,,max 0,222m m A g g g g ⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭． 欲使[]2,4A ⊆-，只需()()222022224g g m m m g m ⎧=-=-≥-⎪⎨⎛⎫=-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎩且()2042224224g m m m m g g m ⎧=≤⎪⎨⎛⎫⎛⎫-=-=-+≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解不等式得24m -≤，又02m <<，此时02m <<．①当12m ≥，即2m ≥时，()g x 在[]0,1单减，在(]1,2上亦单减， 由对称性，知()g x 在[]0,2上单减，于是[]2,A m m =-．因为[][]2,2,4m m -⊆-，所以224m m -≥-⎧⎨≤⎩,解得24m ≤≤． 综上，实数m 的取值范围为[]2,4-。
高中数学第二章圆锥曲线章末复习课北师大版选择性必修第一册
跟踪训练3
顺次连接椭圆C：
x2 a2
+
y2 b2
＝1(a>b>0)的四个顶
点恰好构
成了一个边长为 7且面积为4 3的菱形．
原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对任意的直线l，OP⊥EQ
恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；
(3) 过 O 点 作 直 线 l 的 平 行 线 与 椭 圆 C 相 交 ， M 为 其 中 一 个 交 点 ， 求
OM 的最大值．
AD + AE
方法归纳
第二章 章末复习课
题型一 定点问题 例1 设椭圆C：xa22 + by22＝1(a>b>0)，F1，F2为左右焦点，B为短轴端 点，长轴长为4，焦距为2c，且b>c，△BF1F2的面积为 3. (1)求椭圆C的方程； (2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线 x＝4相交于点N.试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为 直径的圆恒过点P？若存在求出点P的坐标，若不存在．请说明理由．
方法归纳
求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程 中的变量x，y当作常数，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这 个方程就要对变量的任意一个值都成立，这时变量的系数就要全部等 于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的 点就是直线或曲线所过的定点．
跟踪训练1 已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E 上一点，且|AF|＝2.
数学北师大版高中必修1北师大版必修1第二章《函数》检测题
第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．下列函数在区间(0,3)内是增函数的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝x 12C ．y ＝(13)x D ．y ＝x 2－2x －15 2．设a ＝0.712 ，b ＝0.812 ，c ＝log 30.7，则( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．a <b <cD ．b <a <c3．下列各式：①n a n ＝a ；②(a 2－3a ＋3)0＝1 ③3－3＝6－2.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34．函数f (x )＝3x 21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( ) A ．(－13，＋∞) B ．(－13，1) C ．(－13，13) D ．(－∞，－13) 5．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )A ．y ＝x 12 B ．y ＝x 4C ．y ＝x －2D ．y ＝x 136．与函数f (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称的曲线C对应的函数为g (x )，则g (12)的值为( ) A. 2 B ．1C.12D ．－1 7．下列函数中，其定义域与值域相同的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x 2C ．y ＝log 2xD ．y ＝2x8．若函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，则y ＝f (log 12x )的定义域是( )A ．[12，1]B ．[116，14] C ．[4,16] D ．[2,4]9．幂函数y ＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m 的值为( )A ．m ＝2B ．m ＝－1C ．m ＝－1或2D ．m ≠1±5210．已知f (x n )＝ln x ，则f (2)的值为( ) A ．ln2 B.1nln2 C.12ln2 D ．2ln2 11．(2012·汉中高一检测)如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G (2，12)中，可以是“好点”的个数为( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个12．给出四个函数图象分别满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )；②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )；③u (x ·y )＝u (x )＋u (y )；④v (x ·y )＝v (x )·v (y )．与下列函数图象对应的是( )A ．①—a ，②—d ，③—c ，④—bB ．①—b ，②—c ，③—a ，④—dC ．①—c ，②—a ，③—b ，④—dD ．①—d ，②—a ，③—b ，④—c第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为________． 14．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则a ，b ，c 的大小关系是______________．15．函数y ＝lg(4＋3x －x 2)的单调增区间为________．16．(2012·全国高考数学山东卷)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2012·德州高一检测)(1)计算：2log 32－log 3329＋log 38－25log 53. (2)已知x ＝27，y ＝64.化简并计算：5x -23 y 12 －14x －1y 12 －56x 13 y -16.18．(本小题满分12分)(2012·福建省厦门市高一期中)已知函数f(x)＝(12)ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)．(1)求a的值；(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x 的值．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log a(x2＋1)(a>1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的值域．20．(本题满分12分)在已给出的坐标系中，绘出同时符合下列条件的一个函数f(x)的图象．(1)f(x)的定义域为[－2,2]；(2)f(x)是奇函数；(3)f(x)在(0,2]上递减；(4)f(x)是既有最大值，也有最小值；(5)f(1)＝0.21．(本小题满分12分)函数f(x)＝log a(1－x)＋log a(x ＋3)，(0<a<1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．22．(本小题满分12分)f(x)是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)是R上的减函数；(3)求f(x)在[－2,4]上的最值．详解答案1[答案] B[解析] 由幂函数、指数函数性质即得．2[答案] B[解析] 由幂函数性质有b >a >0>c .3[答案] B[解析] 当n 为偶数时，n a n ＝|a |，故①错；a 2－3a ＋3＝(a －32)2＋34>0，故(a 2－3a ＋3)0＝1，故②对；6－2＝33，3－3＝－33，故③错．4[答案] B[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，3x ＋1>0，∴－13<x <1. 5[答案] B[解析] y ＝x 12 定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，y ＝x －2不过原点，y ＝x 13 是奇函数．6[答案] D[解析] 依题意，得g (x )＝log 2x ，∴g (12)＝log 22－1＝－1.7[答案] D8[答案] B[解析] 2≤log 2x ≤4，即log 12 14≤log 12 x ≤log 12116， ∴116≤x ≤14，故选B. 9[答案] A[解析] ∵y ＝(m 2－m －1) x m 2－2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，y ＝x －3在(0，＋∞)上为减函数；当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，y ＝x 0＝1(x ≠0)在(0，＋∞)上为常数函数(舍去)，∴m ＝2.10[答案] B[解析] 令t ＝x n ，则x ＝t 1n ，f (t )＝ln t 1n ＝1nln t ，则f (2)＝1nln2. 11[答案] C[解析] 设此函数为y ＝a x (a >0，a ≠1)，显然不过点M 、P ，若设对数函数为y ＝log b x (b >0，b ≠1)，显然不过N 点，选C.12[答案] D[解析] 显然满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )的函数应是y ＝kx 这种类型，故对应的图象应是d ；满足②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )应该是指数函数，故对应的图象应是a ；满足③u (x ·y )＝u (x )＋u (y )的应是对数函数，故对应的图象应是b ；满足④v (x ·y )＝v (x )·v (y )的应是幂函数y ＝x n ，故对应的图象应是c .13[答案] {x |－3≤x ≤1}[解析] 不等式2 x 2＋2x －4≤12可化为2 x 2＋2x －4≤2－1.即x 2＋2x －4≤－1，解得－3≤x ≤1.[答案] b <a <c14[解析] 由x ∈(e －1,1)得－1<ln x <0，从而b ＝2ln x <ln x ＝a ，c ＝ln 3x >ln x ＝a .15[答案] (－1，32] [解析] 函数y ＝lg(4＋3x －x 2)的增区间即为函数y ＝4＋3x －x 2的增区间且4＋3x －x 2>0，因此所求区间为(－1，32]．16[答案] 14[解析] 当a >1时，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，则a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意． 17[解析] (1)原式＝log 34－log 3329＋log 38－52log 53 ＝log 3(4×932×8)－5 log 59 ＝log 39－9＝2－9＝－7.(2)原式＝5x -23 y 12 －14－56x －1＋13 y 12 －16 ＝5x -23 ·y 12 524×x -23 ·y 13 ＝24y 16 又y ＝64， ∴原式＝24×(26) 16 ＝48.18[解析] (1)由已知得(12)－a ＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝(12)x ，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝(12)x ，即(14)x －(12)x －2＝0，即[(12)x ]2－(12)x －2＝0， 令(12)x ＝t ，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t >0，故t ＝2，即(12)x ＝2，解得x ＝－1. 19[解析] (1)已知函数f (x )＝log a (x 2＋1)(a >1)，且x 2＋1>0恒成立，因此f (x )的定义域为R ，关于坐标原点对称，又f (－x )＝log a [(－x )2＋1]＝log a (x 2＋1)＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(2)∵x 2≥0，∴x 2＋1≥1，又∵a >1，∴log a (x 2＋1)≥log a 1＝0，故f (x )＝log a (x 2＋1)(a >1)的值域为[0，＋∞)．20[解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称，∵f (x )的定义域为[－2，2]，∴f (0)＝0，由f (x )在(0,2]上递减知f (x )在[－2,0)上递减，由f (1)＝0知f (－1)＝－f (1)＝0，符合一个条件的一个函数的图象如图．[点评] 符合上述条件的函数不只一个，只要画出符合条件的一个即可，再结合学过的一次、二次、幂、指、对函数可知，最简单的为一次函数．下图都是符合要求的．21[解析] (1)要使函数有意义：∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，由log a 4＝－2，得a －2＝4，∴a ＝4-12 ＝12.则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ＋3>0，解得：－3<x <1，所以定义域为(－3,1)．(2)函数可化为：f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4，22[解析] (1)f (x )的定义域为R ，令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0，令y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＋f (x )＝f (0)＝0，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)设x 2>x 1，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1) ∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0，∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，∴f(x)在R上为减函数．(3)∵f(－1)＝2，∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝4，∵f(x)为奇函数，∴f(2)＝－f(－2)＝－4，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－8，∵f(x)在[－2,4]上为减函数，∴f(x)max＝f(－2)＝4，f(x)min＝f(4)＝－8.。
北师大版高中数学选择性必修第一册 第二章 章末整合
在同一条直线上时,可化为求线段长度之积|AB||CD|的问题,只是要注意正
负号即可)
③有关线段长的定值问题,包括线段的长为定值,线段长之间的关系式(如
1
1
+ ,AB+PQ,AB·
PQ 等)为定值.
方法”法
求弦长),然后代入式子化简求得定值.
变式训练 5(2020 河南洛阳高考模拟)已知 O 为坐标原点,过点 M(1,0)的直线 l
与抛物线 C:y2=2px(p>0)交于 A,B 两点,且 ·=-3.
cos∠F1PF2=
=
= 3.
2|1 ||2 |
2×( 6+ 3)×( 6- 3)
反思感悟 (1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题,常
用定义来解决.(2)涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者,
常用定义解决问题.(3)求轨迹问题、最值问题,曲线方程也常常结合定义
求解.
索直线过定点时,可设直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立关于b,k的等
量关系进行消元,借助直线系方程找出定点.
(2)从特殊情况入手,先探求定点(值),再证明此定点(值)与变量无关.
①有关斜率的定值问题,包含证明动直线的斜率为定值,不同直线斜率的关
1
1
1
系 比如说:1 + 2 ,1 2 ,
M,则动圆P的圆心P的轨迹方程是
.
2
答案 x2- =1(x≤-1)
3
解析 由已知,圆E半径为r=2,设圆P的半径为R,
则|PF|=|PM|=R,|ME|=r=2,|PE|=|PM|-|ME|=R-2,
高中数学 第二章 函数章末综合测评(含解析)北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学试题
章末综合测评(二) 函数(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f ()x ＝x ＋12－x的定义域为( ) A ．[－1，2)∪(2，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．[－1，2)D ．[－1，＋∞)A [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解得x ≥－1，且x ≠2.]2．函数f (x )＝x|x |的图象是( )A B C DC [因为f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，－1，x ＜0，所以其图象为C.]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤12x ，x >1 ，则f (f (3))＝( )A ．15B ．3C ．23D ．139D [因为f (3)＝23，所以f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝49＋1＝139，故选D.]4．函数f (x )＝||x 3＋1＋||x 3－1，则函数f (x )图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称D [函数f (－x )＝|(－x )3＋1|＋|(－x )3－1|＝|1－x 3|＋|－x 3－1|＝|x 3＋1|＋|x 3－1|＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，由函数性质知选项D 正确．]5．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，23B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23A [由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23，故选A.]6．函数f (x )＝11－x （1－x ）的最大值是 ( )A ．45B ．54C ．34D ．43D [∵1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －12＋34≥34，∴11－x （1－x ）≤43.]7．已知函数f (x )＝ax 2－x ，若对任意x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，不等式f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D ．⎣⎡⎭⎫14，＋∞ D [不妨设x 2>x 1≥2，则f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝（ax 21－x 1）－（ax 22－x 2）x 1－x 2＝a （x 21－x 22）－（x 1－x 2）x 1－x 2＝a （x 1－x 2）（x 1＋x 2）－（x 1－x 2）x 1－x 2＝a (x 1＋x 2)－1.∵对任意x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0恒成立，∴x 2>x 1≥2时，a (x 1＋x 2)－1>0，即a >1x 1＋x 2恒成立．∵x 2>x 1≥2，∴1x 1＋x 2＜14.∴a ≥14，即a 的取值X 围为⎣⎡⎭⎫14，＋∞.故选D.] 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a （x ＜1），－ax （x ≥1）是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值X 围是( )A ．⎣⎡⎭⎫18，13B ．⎝⎛⎦⎤18，13 C ．⎝⎛⎭⎫0，13 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，13 A [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，－a ＜0，－a ≤3a －1＋4a ，解得18≤a <13，故选A.]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列函数中与函数y ＝x 不相同的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝3t 3 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 2xACD [y ＝3t 3＝t ，t ∈R ，故只有B 选项相同，故选ACD.] 10．下列函数中，是奇函数( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |CD [根据奇函数的定义知：C 、D 中函数是奇函数．]11．设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数0，x 为无理数，则下列结论正确的是( )A ．D ()x 的定义域为RB ．D ()x 的值域为{0，1}C ．D ()x 是偶函数 D ．D ()x 是单调函数ABC [A ，B ，C 正确，由D ()0＝D ()1知，D ()x 不是单调函数．]12．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A．b＝－2a B．a＋b＋c＜0 C．a－b＋c＞0 D．abc＜0AD[由图象知a＜0，对称轴x＝－b2a＝1，则b＝－2a，则b＞0.由x＝0时，y＝c＞0，∴abc＜0，由x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0，由x＝1时，y＞0，则a＋b＋c＞0，故选AD.]三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．13．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减少的，则m＝________.1[由题意知m2－2m－3为负的偶数，由m2－2m－3＝(m－1)2－4<0⇒|m－1|<2.∴－1<m<3.又m∈N＋，∴m＝1或m＝2.代入m2－2m－3使其为偶数，只有m＝1.]14．函数f()x＝x＋1－x－1的值域为________．(]0，2[由f()x＝2x＋1＋x－1，知f()x是减函数．又f()x的定义域是[)1，＋∞，所以，f()x的最大值是f()1＝2，又f()x>0，所以，f()x的值域为(]0，2.]15．若函数f()x＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值X围为________．[]－1，0[函数f ()x 的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即x 2＋2ax－a ≥0恒成立，因此有Δ＝()2a ＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.]16．设函数f (x )＝（x ＋1）2＋a 2xx 2＋1，a ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．2[f (x )＝（x ＋1）2＋a 2x x 2＋1＝1＋（2＋a 2）xx 2＋1，令g (x )＝（2＋a 2）xx 2＋1，则y ＝g (x )是奇函数，所以g (x )max ＋g (x )min ＝0.所以M ＋m ＝[1＋g (x )max ＋[1＋g (x )min ]＝2.]四、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋1，求f (x )在x ∈R 上的表达式．[解] 因为f (x )是定义域在R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 当x <0时，－x >0，由已知得，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋1＝x 2＋2x ＋1＝－f (x )， 所以f (x )＝－x 2－2x －1， 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2x －1，x ＜0.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x ＋ax 的图象过点A ⎝⎛⎭⎫2，52. (1)某某数a 的值；(2)证明函数f (x )在(0，1)上是减函数．[解](1)因为函数f (x )＝x ＋a x 的图象过点A ⎝⎛⎭⎫2，52，所以52＝2＋a2⇒a ＝1. 于是，f (x )＝x ＋1x.(2)证明：设x 1，x 2是(0，1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝x 1－x 2＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2.由x 1，x 2∈(0，1)，得0<x 1x 2<1，x 1x 2－1<0，又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). 所以函数f (x )在(0，1)上是减函数．19．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的图象过点(0，4)，对任意x 满足f (3－x )＝f (x )，且有最小值是74.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数h (x )＝f (x )－(2t －3)x 在区间[0，1]上的最小值，其中t ∈R ；(3)在区间[－1，3]上，y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的X 围．[解](1)由题知二次函数图象的对称轴为x ＝32，又最小值是74，则可设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －32＋74(a ≠0).又图象过点(0，4)，则a ⎝⎛⎭⎫0－32＋74＝4，解得a ＝1， ∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －32＋74＝x 2－3x ＋4. (2)h (x )＝f (x )－(2t －3)x ＝x 2－2tx ＋4＝(x －t )2＋4－t 2，其对称轴x ＝t . ①t ≤0时，函数h (x )在[0，1]上单调递增，最小值为h (0)＝4； ②当0<t <1时，函数h (x )的最小值为h (t )＝4－t 2；③当t ≥1时，函数h (x )在[0，1]上单调递减，最小值为h (1)＝5－2t ，所以h (x )min＝⎩⎨⎧4，t ≤0，4－t 2，0＜t ＜1，5－2t ，t ≥1.(3)由已知，f (x )>2x ＋m 对x ∈[－1，3]恒成立， ∴m <x 2－5x ＋4对x ∈[－1，3]恒成立，∴m <(x 2－5x ＋4)min (x ∈[－1，3]).∵g (x )＝x 2－5x ＋4在x ∈[－1，3]上的最小值为－94，∴m <－94.20．(本小题满分12分)如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，且上底CD 的端点在圆周上，写出梯形周长y 关于腰长x 的函数关系式，并求出它的定义域．[解]AB ＝2R ，C 、D 在⊙O 的半圆周上，设腰长AD ＝BC ＝x ，作DE ⊥AB ， 垂足为E ，连接BD ，则∠ADB 是直角，∴Rt △ADE ∽Rt △ABD . AD 2＝AE ×AB ，即AE ＝x 22R，∴CD ＝AB －2AE ＝2R －x 2R ，所以y ＝2R ＋2x ＋⎝⎛⎭⎫2R －x2R ， 即y ＝－x 2R＋2x ＋4R .再由⎩⎪⎨⎪⎧x >0x 22R >02R －x 2R >0，解得0＜x ＜2R .所以y ＝－x 2R＋2x ＋4R ，定义域为(0，2R ).21．(本小题满分12分)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f ()x 1－f ()x 2，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. [解](1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f ()x 1－f ()x 2得f ⎝⎛⎭⎫93＝f ()9－f ()3，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. 由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， 由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9. 因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a .(1)当a ＝2时，求f (x )的定义域、值域；(2)若存在x 1≠x 2，使f (x 1)＝f (x 2)，求a 的取值X 围． [解](1)f (x )的定义域为(－∞，a ]∪(a ，＋∞)＝R . 当a ＝2时，y ＝x 3在(－∞，2]上是增加的， ∴x 3∈(－∞，8].y ＝x 2在(2，＋∞)上是增加的，∴x 2∈(4，＋∞). ∴f (x )的值域为(－∞，8]∪(4，＋∞)＝R . (2)当a <0时，f (x )在(a ，＋∞)上不单调，∴存在x1≠x2使f(x1)＝f(x2).当a＝0时，f(x)在R上是增函数，∴不存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2).当a>0时，f(x)在(－∞，a]，(a，＋∞)上都是增加的，要使x1≠x2时，f(x1)＝f(x2)，需a3>a2，即a>1.综上，a的取值X围是(－∞，0)∪(1，＋∞).。
2022新教材高中数学第二章函数章末检测含解析北师大版必修第一册
函数(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x ＋1)＝ex －1，则f (2)＝( )A ．1B ．0C ．eD ．e 2解析：选A ∵f (x ＋1)＝e x －1，∴f (2)＝f (1＋1)＝e1－1＝1.2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选A ∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，∴k ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2，∴α＝－12，∴k ＋α＝1－12＝12.3．函数f (x )＝3－x2x 2－9x ＋4的定义域是( )A ．(－∞，3]B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3 D ．(3，4)∪(4，＋∞)解析：选C 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，2x 2－9x ＋4≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ≠12且x ≠4，即x <12或12<x ≤3.故选C.4．已知函数f (x )＝x k(k ∈Q)，在下列函数图象中，不是函数y ＝f (x )的图象的是( )解析：选C 函数f (x )＝x k(k ∈Q)为幂函数，图象不过第四象限，所以C 中函数图象不是函数y ＝f (x )的图象．故选C.5．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地前往B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x (千米)表示为时间t (时)的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150－50t ，t >3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5<t ≤3.5，150－50（t －3.5），3.5<t ≤6.5解析：选D 由于在B 地停留1小时期间，距离x 不变，始终为150千米，故选D. 6．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且对任意x 1，x 2∈(－∞，0]，当x 1≠x 2时总有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则满足f (1－2x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13>0的x 的范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：选A 由题意，f (x )在(－∞，0]上是增函数，又f (x )是定义域为R 的偶函数，故f (x )在[0，＋∞)上是减函数．由f (1－2x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13>0可得f (1－2x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f (|1－2x |)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以|1－2x |<13，解得13<x <23.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是R 上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(0，3]C ．(0，2)D ．(0，2]解析：选D ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是R 上的减函数，∴x ≤1时，f (x )单调递减，即a －3<0，①x >1时，f (x )单调递减，即a >0，②且(a －3)×1＋5≥2a1，③联立①②③解得0<a ≤2，故选D.8．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.已知函数f (x )＝(1⊕x )x －2(2⊕x )(x ∈[－2，2])，则满足f (m ＋1)≤f (3m )的实数的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23 解析：选C 当－2≤x ≤1时，f (x )＝1·x －2×2＝x －4； 当1<x ≤2时，f (x )＝x 2·x －2×2＝x 3－4.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，－2≤x ≤1，x 3－4，1<x ≤2.易知，f (x )＝x －4在区间[－2，1]上单调递增，f (x )＝x 3－4在区间(1，2]上单调递增，且－2≤x ≤1时，f (x )max ＝－3，1<x ≤2时，f (x )min ＝－3，则f (x )在区间[－2，2]上单调递增，所以由f (m ＋1)≤f (3m )得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ＋1≤2，－2≤3m ≤2，m ＋1≤3m ，解得12≤m ≤23，故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9.已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )A ．这个函数有两个单调递增区间B ．这个函数有三个单调递减区间C ．这个函数在其定义域内有最大值7D ．这个函数在其定义域内有最小值－7解析：选BC 根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选B 、C.10．若函数y ＝ax ＋1在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值可以是( )A ．2B ．－2C ．1D ．0解析：选AB 显然a ≠0，当a >0时，y ＝ax ＋1在x ＝2取得最大值，在x ＝1取得最小值，所以2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a <0时，y ＝ax ＋1在x ＝1取得最大值，在x ＝2取得最小值，所以a ＋1－(2a ＋1)＝2，即a ＝－2.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2.x ≤－1，x 2，－1<x <2，关于函数f (x )的结论正确的是( )A ．f (x )的定义域为RB ．f (x )的值域为(－∞，4)C ．若f (x )＝3，则x 的值是 3D ．f (x )<1的解集为(－1，1)解析：选BC 由题意知函数f (x )的定义域为(－∞，2)，故A 错误；当x ≤－1时，f (x )的取值范围是(－∞，1]，当－1<x <2时，f (x )的取值范围是[0，4)，因此f (x )的值域为(－∞，4)．故B 正确；当x ≤－1时，x ＋2＝3，解得x ＝1(舍去)．当－1<x <2时，x 2＝3，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)．故C 正确；当x ≤－1时，x ＋2<1，解得x <－1，当－1<x <2时，x 2<1，解得－1<x <1，因此f (x )<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D 错误，故选B 、C.12．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝x ＋1xC ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，1x ，x >1解析：选AC 对于A ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1x＝－f (x )，满足“倒负”变换．对于B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝x ＋1x ＝f (x )≠－f (x )，不满足“倒负”变换．对于C ，当0<x <1时，1x >1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－11x＝－x ＝－f (x )；当x ＝1时，1x ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0＝－f (x )；当x >1时，0<1x <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－f (x )，满足“倒负”变换．对于D ，当0<x <1时，1x >1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝11x＝x ≠－f (x )，不满足“倒负”变换．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋7x －4，x >0，g （x ），x <0为奇函数，则f (g (－1))＝________．解析：当x <0时，－x >0.因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝2(－x )2－7x －4＝2x 2－7x －4， 所以f (x )＝－2x 2＋7x ＋4.即g (x )＝－2x 2＋7x ＋4， 因此，f (g (－1))＝f (－5)＝－50－35＋4＝－81. 答案：－8114．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x (1－x )，则当x <0时，f (x )＝________． 解析：因为x <0，所以－x >0，所以f (－x )＝(－x )(1＋x )，又函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(－x )(1＋x )＝x (1＋x )，所以当x <0时，f (x )＝x (1＋x )．答案：x (1＋x )15．已知二次函数f (x )＝2x 2－4x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上的最大值为________．解析：二次函数f (x )＝2x 2－4x 图象的对称轴为直线x ＝1，因此函数f (x )在区间[－1，1]上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32上单调递增．因为f (－1)＝6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－32，所以f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上的最大值为f (－1)＝6.答案：616．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________．若f (x )在[3，＋∞)为增函数，则a 的范围为________．解析：由题得函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞上单调递增，则－a2＝3，即a ＝－6.由f (x )在[3，＋∞)为增函数，故－a2≤3，∴a ≥－6.答案：－6 [－6，＋∞)四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x >0，2，x ＝0，1－2x ，x <0.(1)画出函数f (x )的图象；(2)求f (a 2＋1)(a ∈R)，f [f (3)]的值； (3)当f (x )≥2时，求x 的取值范围． 解：(1)图象如图所示：(2)f (a 2＋1)＝3－(a 2＋1)2＝－a 4－2a 2＋2，f [f (3)]＝f (－6)＝13. (3)当x >0时，3－x 2≥2，解得0<x ≤1； 当x ＝0时，满足f (x )＝2； 当x <0时，1－2x ≥2，解得x ≤－12.综上，当f (x )≥2时，x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或0≤x ≤1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，且满足下列条件：①f (x )为奇函数；②f (x )在定义域上是减函数；③f (1－a )＋f (1－a 2)<0.求实数a 的取值范围．解：∵f (x )为奇函数，∴f (1－a 2)＝－f (a 2－1)，∴f (1－a )＋f (1－a 2)<0⇒f (1－a )<－f (1－a 2)⇒f (1－a )<f (a 2－1)． ∵f (x )在定义域(－1，1)上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a >a 2－1，－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，解得0<a <1， 故实数a 的取值范围为(0，1)．19．(本小题满分12分)已知定义在R 上的偶函数f (x )，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝－x 2＋4x －1.(1)求函数f (x )在(0，＋∞)上的解析式； (2)求函数f (x )在[－2，3]上的最大值和最小值． 解：(1)设x >0，则－x <0，∴f (－x )＝－x 2－4x －1. ∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝－x 2－4x －1(x ∈(0，＋∞))．(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x －1，x >0，－x 2＋4x －1，x ≤0. ∴f (x )在[－2，0]上单调递增，在[0，3]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝－1，f (x )min ＝min{f (－2)，f (3)}＝f (3)＝－22.∴函数f (x )在[－2，3]上的最大值是－1，最小值是－22. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋1x2(x ≠0，a ∈R)．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当a ＝0时，f (x )＝1x2，对定义域内的任意x ，都有f (－x )＝f (x )，所以当a ＝0时，函数f (x )是偶函数． 当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a . 因为a ＋1≠1－a ，且1－a ≠－(a ＋1)， 所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (2)任取x 1>x 2>2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1x 22＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫a －x 1＋x 2x 21x 22. 因为x 1－x 2>0，f (x )在(2，＋∞)上单调递增， 所以a >x 1＋x 2x 21x 22恒成立，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2恒成立． 又x 1>x 2>2， 所以1x 1x22＋1x 21x 2<18＋18＝14，所以a ≥14. 故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. 21．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝－2x ＋1，且f (2)＝15.(1)求函数f (x )的解析式； (2)令g (x )＝(1－2m )x －f (x )．①若函数g (x )在区间[0，2]上不是单调函数，求实数m 的取值范围； ②求函数g (x )在区间[0，2]上的最小值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (x ＋1)－f (x )＝2ax ＋b ＋a ＝－2x ＋1，∴2a ＝－2，a ＋b ＝1，∴a ＝－1，b ＝2.又f (2)＝15，∴c ＝15，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋15.(2)g (x )＝(1－2m )x －f (x )＝x 2－(2m ＋1)x －15，其图象的对称轴为直线x ＝m ＋12.①∵g (x )在[0，2]上不单调，∴0<m ＋12<2，∴m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. ②当m ＋12≤0，即m ≤－12时，g (x )min ＝g (0)＝－15；当0<m ＋12<2，即－12<m <32时，g (x )min＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12＝－m 2－m －614；当m ＋12≥2，即m ≥32时，g (x )min ＝g (2)＝－4m －13.综上，g (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ≤－12，－m 2－m －614，－12<m <32，－4m －13，m ≥32.22．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数x ，y 满足f (xy )＝f (x )＋f (y )．(1)求f (1)，f (－1)的值； (2)证明：f (x )为偶函数；(3)若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，求不等式f (3－x )≤f (2)＋f (3)的解集． 解：(1)在f (xy )＝f (x )＋f (y )中，令x ＝y ＝1，得f (1)＝f (1)＋f (1)，得f (1)＝0； 再令x ＝y ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (－1)， 得f (－1)＝0.(2)证明：在f (xy )＝f (x )＋f (y )中， 令y ＝－1，得f (－x )＝f (x )＋f (－1)， 即f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)f (2)＋f (3)＝f (6)，不等式f (3－x )≤f (2)＋f (3)， 即f (3－x )≤f (6)．当3－x >0时，根据函数的单调性和不等式f (3－x )≤f (6)，得3－x ≤6，解得－3≤x <3； 当3－x <0时，f (3－x )＝f (x －3)≤f (6)，由函数单调性，得x －3≤6，解得3<x ≤9.综上，不等式f (3－x )≤f (2)＋f (3)的解集为[－3，3)∪(3，9]．。
北师大版高一数学必修一第二章函数检测题含答案
高一数学必修一第二章检测题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋1(x <1)－2x ＋3(x ≥1)，则f (f (2))＝( ) A ．－7 B ．2 C ．－1 D ．5解析： f (2)＝－2×2＋3＝－1，f (f (2))＝f (－1)＝(－1)2＋1＝2.答案： B2．下列四个函数：①y ＝x ＋1；②y ＝2x －1；③y ＝x 2－1；④y ＝3x .其中定义域与值域相同的是( )A ．①②B ．①②④C ．②③D ．①③④解析： ①②定义域、值域均为R ，④定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)．而③的定义域为R ，值域为[－1，＋∞)．答案： B3．函数f (x )＝6－x 2x 的图像关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称解析： f (x )的定义域为[－3,0)∪(0,3]关于原点对称，且f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图像关于原点对称．答案： B4．设集合A ＝{－1,3,5}，若f ：x →2x －1是集合A 到集合B 的映射，则集合B 可以是( )A ．{0,2,3}B ．{1,2,3}C ．{－3,5}D ．{－3,5,9}解析： 注意到题目中的对应法则，将A 中的元素－1代入得－3，3代入得5,5代入得9，故选D.答案： D5．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析： α＝－1时，y ＝1x 定义域为{x |x ≠0}；α＝12时，y ＝x 的定义域为{x |x ≥0}．答案： A6．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)解析： 因为当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，所以有f (2)<f (3)<f (π)．又f (x )是R 上的偶函数，故f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，从而有f (－2)<f (－3)<f (π)．答案： A7．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )解析： A 项，由图像开口向下知a <0，由对称轴位置知－b 2a <0，∴b <0.又∵abc >0，∴c >0.而由图知f (0)＝c <0.B 项，由图知a <0，－b 2a >0，∴b >0.又∵abc >0，∴c <0，而由图知f (0)＝c >0.C 项，由图知a >0，－b 2a <0，∴b >0.又∵abc >0，∴c >0，而由图知f (0)＝c <0.D 项，由图知a >0，－b 2a >0，∴b <0.又∵abc >0，∴c <0，由图知f (0)＝c <0.答案： D8．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98解析： 由f (x ＋4)＝f (x )，得f (7)＝f (3)＝f (－1)．又∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝－2.故选A.答案： A9．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，那么( )A ．f (2)＜f (1)＜f (4)B ．f (1)＜f (2)＜f (4)C ．f (2)＜f (4)＜f (1)D ．f (4)＜f (2)＜f (1)解析： 由f (2＋x )＝f (2－x )可知：函数f (x )的对称轴为x ＝2，由二次函数f (x )开口方向，可得f (2)最小，又f (4)＝f (2＋2)＝f (2－2)＝f (0)．在x ＜2时，y ＝f (x )为减函数，∵0＜1＜2，∴f (0)＞f (1)＞f (2)，即f (2)＜f (1)＜f (4)．答案： A10．若函数f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f (3)＝0，则f (x )＋f (－x )2x<0的解集为( )A ．(－3,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,0)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析： ∵f (x )为偶函数，f (－x )＝f (x )，故f (x )＋f (－x )2x <0可化为f (x )x <0，而f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (3)＝0，故当x >3时，f (x )<0，当－3<x <0时，f (x )>0，故f (x )x <0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．f (x )＝x 1－1－x的定义域是________． 解析： 由题意得⎩⎨⎧1－1－x ≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠0，故函数的定义域有(－∞，0)∪(0,1]．答案： (－∞，0)∪(0,1]12．已知函数f (x )，g (x当g [f (x )]＝2时，x ＝解析： ∵g [f (x )]＝2，∴f (x )＝2，∴x ＝1.答案： 113．若f [g (x )]＝9x ＋3，g (x )＝3x ＋1，则f (x )的解析式为________________． 解析： f [g (x )]＝f (3x ＋1)＝9x ＋3＝3(3x ＋1)，∴f (x )＝3x .答案： f (x )＝3x14．已知f (x )＝ax 2＋bx (ab ≠0)，若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，则f (x 1＋x 2)＝________.解析： f (x )＝ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b a ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝0 由二次函数的性质知x 1＋x 2＝－b a∴f (x 1＋x 2)＝0答案： 0三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知二次函数y ＝f (x )的最大值为13，且f (3)＝f (－1)＝5，求f (x )的解析式，并求其单调区间．解析： ∵f (3)＝f (－1)＝5，∴对称轴为x ＝1，又∵最大值为13，∴开口向下，设为f (x )＝a (x －1)2＋13(a ＜0)，代入x ＝－1，∴4a ＋13＝5，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －1)2＋13.函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．16．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋a x ，且f (1)＝2，(1)证明函数f (x )是奇函数；(2)证明f (x )在(1，＋∞)上是增函数；(3)求函数f (x )在[2,5]上的最大值与最小值．解析： (1)证明：f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，因为f (1)＝2所以1＋a ＝2，即a ＝1f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1xf (－x )＝－x －1x ＝－f (x )所以f (x )是奇函数．(2)证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2) ＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2∵x 1<x 2，且x 1x 2∈(1，＋∞)∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1，∴f (x 1)－f (x 2)<0所以f (x )在(1，＋∞)上为增函数．(3)由(2)知，f (x )在[2,5]上的最大值为f (5)＝265，最小值为f (2)＝52.17．(12分)已知函数f (x )＝1x 2＋1，令g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . (1)如图，已知f (x )在区间[0，＋∞)的图像，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图像，并说明你的作图依据；(2)求证：f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)．解析： (1)∵f (x )＝1x 2＋1，所以f (x )的定义域为R. 又任意x ∈R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故f (x )的图像关于y 轴对称，补全图像如图所示．(2)证明：∵g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＝x 21＋x 2(x ≠0)， ∴f (x )＋g (x )＝11＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋x 21＋x 2＝1， 即f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)．18．(14分)已知函数f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上的最大值为1，求实数a 的值．解析： 当a ＝0时，f (x )＝－x －3，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上不能取得1，故a ≠0. ∴f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3(a ≠0)的对称轴方程为x 0＝1－2a 2a .(1)令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝1，解得a ＝－103， 此时x 0＝－2320∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2， 因为a <0，f (x 0)最大，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝1不合适； (2)令f (2)＝1，解得a ＝34，此时x 0＝－13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2， 因为a ＝34>0，x 0＝－13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2，且距右端点2较远， 所以f (2)最大，合适；(3)令f (x 0)＝1，得a ＝12(－3±22)，验证后知只有a ＝12(－3－22)才合适．综上所述，a ＝34或a ＝－12(3＋22)．。
高一数学北师大版必修1练习第二章 章末检测 Word版含解析
第二章章末检测班级姓名考号分数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷分，第Ⅱ卷分，共分，考试时间分钟．第Ⅰ卷(选择题共分)一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．．已知集合＝，：→是到的映射，则在中的对应元素为( )．±．±．答案：解析：()＝.．函数＝＋的定义域是( )．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－)．(－∞，－)∪(－]．(－∞，－)∪(－)答案：解析：－≥且＋≠，∴<－或－<≤.．已知()＝(∈，≠)，()＝＋(∈)，则[()]＝( )．－．．答案：解析：[()]＝()＝－.．若函数()＝(＋)(－)为奇函数，则＝( )．．．－．－答案：解析：∵()＝＋(－)－，∴(－)＝－＋(－)＋，∴－－(－)＋＝－＋(－)＋，∴＝.．已知函数()＝＋－在[－，－]上单调递减，则实数的取值范围是( )．(－∞，] ．[，＋∞)．(－∞，] ．[，＋∞)答案：解析：∵＝＝－，∴－≥－，≤.．如果()是定义在上的偶函数，且在[，＋∞)上是减函数，那么下述式子中正确的是( )．(－)≥(－＋)．(－)≤(－＋)．(－)＝(－＋)．以上关系均不成立答案：解析：根据偶函数的性质判断．．如果函数()＝＋＋对任意实数，都有(＋)＝(－)，则( )．()<()<()．()<()<()．()<()<()．()<()<()答案：解析：由(＋)＝(－)知二次函数图像的对称轴为直线＝.．函数(－)的图像，可由(＋)的图像经过下述变换得到( )．向左平移个单位．向右平移个单位．向左平移个单位．向右平移个单位答案：解析：(－)＝[(＋－)]．．下列函数中定义域和值域不同的是( )．＝．＝．＝．＝答案：解析：∵＝＝的定义域为，值域为[，＋∞)，故选.．已知定义在实数上的函数＝()不恒为零，同时满足(＋)＝()()，且当>时，()>，那么当<时，一定有( )．()<－．－<()<．()>．<()<答案：解析：由(＋)＝()()，用赋值法．．已知函数()是定义在上的偶函数，当>时，()＝(－)，则当<时，()＝( )．－－．＋．－＋．－答案：解析：令<，则－>，∴(－)＝(＋)，又(－)＝()，∴()＝(＋)＝＋.．已知函数()＝(\\(－＋(<(，,－－(≥())若(－)>()，则的取值范围是( )．(－，＋∞) ．(－∞，－)．(，＋∞) ．(－∞，)答案：解析：由题意知()在上是减函数，∴－<，∴>.第Ⅱ卷(非选择题共分)二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上．．函数＝－＋－在区间[]上的最小值是．答案：－解析：求二次函数在给定区间上的最值，先求其图像的对称轴，再看给定区间和对称轴的关系．．函数()＝＋－－，∈[－]，若()≥恒成立，则的最小值是．答案：解析：本题考查函数的单调性问题，>，()单调递增，<，()单调递减，＝，()为常数函数．．已知函数()＝，那么()＋()＋()＋()＋()＋()＋()＝.答案：解析：观察取值的规律，自变量取和取时函数值和为.．下列说法正确的有．①函数＝的定义域为{≥}；②函数＝＋＋在(，＋∞)上是增函数；③函数()＝＋(∈)，若()＝，则(－)＝－；④已知()是上的增函数，若＋>，则有()＋()>(－)＋(－)．答案：②④解析：①中定义域为{>}；③中()＝＋＝，所以＝，所以(－)＝(－)＝.三、解答题：本大题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．(分)在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点()，其轨迹方程为＝＋(<)，给定区间＝()．。
北师大版数学必修一章末检测卷(第二章 函 数) Word版含解析
章末检测卷(第二章)一、选择题(×分＝分)．下列能表示是的函数的是( )①－＝②＋＝③＋＝④＝．①②③．①③④．③④．①②④【解析】判断是否为的函数，主要看是否满足函数的定义，即一对一或多对一、不能一个自变量对应多个值，故③错，选①②④.故选.【答案】．如图是张大爷晨练时离家距离()与行走时间()之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )【解析】由与的关系知，在中间时间段值不变，只有符合题意．【答案】．已知幂函数()＝α的图象过点()，若()＝，则实数的值为( )．±．±．【解析】由函数()＝α过点()，可得α＝α＝，所以α＝，所以()＝＝，故()＝＝⇒＝.【答案】．设()＝(\\(＋，>，((＋((，≤，))则()的值是( )．．．．【解析】()＝(())＝((()))＝(())＝()＝.【答案】. 定义在上的偶函数()，对任意，∈[，＋∞)(≠)，有<，则( ) ．()<(－)<()．()<(－)<()．(－)<()<()．()<()<(－)【解析】由已知<，得()在∈[，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得()<(－)<()，故选.【答案】．给定映射：(，)→(＋－)，在映射下，()的原像为( ) ．() ．()．() ．(，)【解析】由(\\(＋＝，－＝，))得(\\(＝，＝.))【答案】．设>，二次函数()＝＋＋的图像可能是( )【解析】项，由图像开口向下知<，由对称轴位置知－<，∴<.又∵>，∴>.而由图知()＝<.项，由图知<，－>，∴>.又∵>，∴<，而由图知()＝>.项，由图知>，－<，∴>.又∵>，∴>，而由图知()＝<.项，由图知>，－>，∴<.又∵>，∴<，由图知()＝<.【答案】．已知()＝＋＋(≠)，若( )＝，则(－ )＝( )．．－。
高中数学 第二章 函数章末检测A 北师大版必修1
第二章章末检测(A) (时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若f(x)＝ax2－2(a>0)，且f(2)＝2，则a等于( )A．1＋22B．1－22C．0 D．22．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是( )A．f(x)＝9x＋8B．f(x)＝3x＋2C．f(x)＝－3x－4D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－43．下列说法正确的是( )A．幂函数一定是奇函数或偶函数B．任意两个幂函数图像都有两个以上交点C．如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个幂函数相同D．图像不经过(－1,1)的幂函数一定不是偶函数4．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是( ) A．∅B．∅或{1}C．{1} D．∅5．函数f(x)＝11－x1－x的最大值是( )A.45B.54C.34D.436．函数y＝9nx(n∈N，n>9)的图像可能是( )7．函数f (x )＝1x－x 的图像关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称8．已知函数f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤ 3 B ．－3≤a ≤ 3 C ．0<a ≤ 3 D ．－3≤a <09．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3 x >10f f x ＋5 x ≤10，则f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．1610．f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(2,5)上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．有增有减D ．增减性不确定11．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，那么( ) A ．f (2)<f (1)<f (4) B ．f (1)<f (2)<f (4) C ．f (2)<f (4)<f (1) D ．f (4)<f (2)<f (1)12．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝f (x )＋g (x )＋2，在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F (x )有( )A ．最小值－8B ．最大值－8C ．最小值－题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案二、填空题(13．已知函数y ＝f (x )是R 上的增函数，且f (m ＋3)≤f (5)，则实数m 的取值范围是________．14．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________．15．若函数f (x )＝x 2＋a ＋1x ＋ax为奇函数，则实数a ＝________.16．如图，已知函数f (x )的图像是两条直线的一部分，其定义域为(－1,0]∪(0,1)，则不等式f (x )－f (－x )>－1的解集是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝{12}时，求p 、q 的值和A ∪B .18．(12分)已知函数f (x )＝x ＋2x －6， (1)点(3,14)在f (x )的图像上吗？ (2)当x ＝4时，求f (x )的值； (3)当f (x )＝2时，求x 的值．19．(12分)函数f (x )是R 上的偶函数，且当x >0时，函数的解析式为f (x )＝2x－1.(1)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上是减函数； (2)求当x <0时，函数的解析式．20．(12分)函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．21．(12分)已知函数f (x )对一切实数x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )<0，又f (3)＝－2. (1)试判定该函数的奇偶性；(2)试判断该函数在R 上的单调性；(3)求f (x )在[－12,12]上的最大值和最小值．22．(12分)已知函数y ＝x ＋t x有如下性质：如果常数t >0，那么该函数在(0，t ]上是减函数，在[t ，＋∞)上是增函数．(1)已知f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，求实数a 的值．第二章 章末检测(A)1．A [f(2)＝2a －2＝2，∴a＝1＋22.]2．B [f(3x ＋2)＝9x ＋8＝3(3x ＋2)＋2， ∴f(t)＝3t ＋2，即f(x)＝3x ＋2.]3．D [举反例：y ＝x 12不具有奇偶性，排除A ；y ＝x －1和y ＝x －2图像的交点只有(1,1)，排除B ；y ＝x 3与y ＝x 13图像的交点为(－1，－1)，(0,0)，(1,1)，排除C .]4．B [由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2.所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合． 无论含有几个元素，A∩B＝∅或{1}．]5．D [f(x)＝1x －122＋34≤43.]6．C [∵f(－x)＝9nx ＝9nx ＝f(x)，∴函数为偶函数，图像关于y 轴对称，故排除A 、B .令n ＝18，则y ＝12x ，当x≥0时，y ＝12x ，由其在第一象限的图像知选C .] 7．C [∵x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x ， 都有f(－x)＝－1x ＋x ＝－f(x)，∴该函数f(x)＝1x－x 是奇函数，其图像关于坐标原点对称．]8．D [由题意知a<0，－a 3－a2a≥－1，－a 22＋12≥－1，即a 2≤3. ∴－3≤a<0.]9．A [f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15))) ＝f(f(18))＝f(21)＝24.]10．B [f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m ＝0，所以f(x)＝－x 2＋3，画出函数f(x)＝－x 2＋3的图像知，f(x)在区间(2,5)上为减函数．] 11．A [由f(2＋x)＝f(2－x)可知：函数f(x)的对称轴为x ＝2，由二次函数f(x)开口方向，可得f(2)最小；又f(4)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)， 在x<2时y ＝f(x)为减函数． ∵0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)， 即f(2)<f(1)<f(4)．]12．D [由题意知f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，因f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，即f(x)＋g(x)也是奇函数，所以f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－4.] 13．m≤2解析 由函数单调性可知，由f(m ＋3)≤f(5)有m ＋3≤5， 故m≤2. 14．－1解析 f(x)＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∵1∈[－2,3]，∴f(x)max ＝4，又∵1－(－2)>3－1，由f(x)图像的对称性可知， f(－2)的值为f(x)在[－2,3]上的最小值， 即f(x)min ＝f(－2)＝－5，∴－5＋4＝－1. 15．－1解析 由题意知，f(－x)＝－f(x)， 即x 2－a ＋1x ＋a －x ＝－x 2＋a ＋1x ＋a x，∴(a＋1)x ＝0对x≠0恒成立， ∴a＋1＝0，a ＝－1.16．(－1，－12)∪[0,1)解析 由题中图像知，当x≠0时，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)－[－f(x)]>－1，∴f(x)>－12，由题图可知，此时－1<x<－12或0<x<1.当x ＝0时，f(0)＝－1，f(0)－f(－0)＝－1＋1＝0，0>－1满足条件．因此其解集是{x|－1<x<－12或0≤x<1}．17．解 ∵A∩B＝{12}，∴12∈A.∴2(12)2＋3p(12)＋2＝0.∴p＝－53.∴A＝{12，2}．又∵A∩B＝{12}，∴12∈B.∴2(12)2＋12＋q ＝0.∴q＝－1.∴B＝{12，－1}．∴A∪B＝{－1，12，2}．18．解 (1)∵f(3)＝3＋23－6＝－53≠14.∴点(3,14)不在f(x)的图像上．(2)当x ＝4时，f(4)＝4＋24－6＝－3.(3)若f(x)＝2，则x ＋2x －6＝2，∴2x－12＝x ＋2，∴x＝14. 19．(1)证明 设0<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝(2x 1－1)－(2x 2－1)＝2x 2－x 1x 1x 2，∵0<x 1<x 2，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0， ∴f(x 1)－f(x 2)>0， 即f(x 1)>f(x 2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．(2)解 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－2x－1，又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝－2x －1，即f(x)＝－2x －1(x<0)．20．解 ∵f(x)＝4(x －a 2)2－2a ＋2，①当a2≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数．∴f(x)min ＝f(0)＝a 2－2a ＋2.由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1± 2.∵a≤0，∴a＝1－ 2.②当0<a2<2，即0<a<4时，f(x)min ＝f(a2)＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去．③当a2≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，f(x)min ＝f(2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10. ∵a≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.21．解 (1)令x ＝y ＝0，得f(0＋0)＝f(0)＝f(0)＋f(0) ＝2f(0)，∴f(0)＝0.令y ＝－x ，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．(2)任取x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f(x 2－x 1)<0， ∴f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2－x 1)<0， 即f(x 2)<f(x 1)．∴f(x)在R 上是减函数．(3)∵f (x )在[－12,12]上是减函数， ∴f (12)最小，f (－12)最大．又f (12)＝f (6＋6)＝f (6)＋f (6)＝2f (6) ＝2[f (3)＋f (3)]＝4f (3)＝－8， ∴f (－12)＝－f (12)＝8.∴f (x )在[－12,12]上的最大值是8，最小值是－8.22．解 (1)y ＝f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8，设u ＝2x ＋1，x ∈[0,1]，1≤u ≤3，则y ＝u ＋4u－8，u ∈[1,3]．由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f (x )单调递减，所以减区间为[0，12]；当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f (x )单调递增，所以增区间为[12，1]；由f (0)＝－3，f (12)＝－4，f (1)＝－113，得f (x )的值域为[－4，－3]． (2)g (x )＝－x －2a 为减函数，故g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0,1]． 由题意，f (x )的值域是g (x )的值域的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－2a ≤－4－2a ≥－3∴a ＝32.。
北师大版数学高一必修1章末检测卷 第二章 函数
章末检测卷(第二章)一、选择题(12×5分＝60分)1．下列能表示y 是x 的函数的是( )①x －2y ＝6 ②x 2＋y ＝1 ③x ＋y 2＝1 ④x ＝yA ．①②③B ．①③④C ．③④D ．①②④【解析】 判断y 是否为x 的函数，主要看是否满足函数的定义，即一对一或多对一、不能一个自变量对应多个y 值，故③错，选①②④.故选D.【答案】 D2．如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )【解析】 由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意．【答案】 D3．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A. 3 B ．±3C ．±9D ．9【解析】 由函数f (x )＝x α过点(4,2)，可得4α＝22α＝2，所以α＝12，所以f (x )＝x 12＝x ，故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9.【答案】 D4．设f (x )＝{ x ＋3，x >10，f (f (x ＋5))，x ≤10，则f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．16 【解析】 f (5)＝f (f (10))＝f (f (f (15)))＝f (f (18))＝f (21)＝24.【答案】 A5. 定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)【解析】 由已知f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0， 得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (3)<f (－2)<f (1)，故选A.【答案】 A6．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y,2x －y )，在映射f 下，(3,1)的原像为( )A ．(1,3)B ．(1,1)C ．(3,1)D ．(12，12)【解析】 由⎩⎨⎧ x ＋2y ＝3，2x －y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1. 【答案】 B7．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，显然在(－∞，4]上为减函数．【答案】 B10．已知函数f (x )＝{ x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[－2,2]【解析】 依题意可得⎩⎨⎧ a ≥0，a 2－2a ＋(－a )2＋2(－a )≤0 或⎩⎨⎧a <0，(－a )2－2(－a )＋a 2＋2a ≤0，解得a ∈[－2,2]． 【答案】 D11．如果奇函数f (x )在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f (x )在区间[－5，－1]上是( )A ．增函数且最小值为3B ．增函数且最大值为3C ．减函数且最小值为－3D ．减函数且最大值为－3【解析】 当－5≤x ≤－1时1≤－x ≤5，∴f (－x )≥3，即－f (x )≥3.从而f (x )≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f (x )在[－5，－1]是减函数．故选D.【答案】 D12．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为( )A ．{x |－1<x <0或x >1}B ．{x |x <－1或0<x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |－1<x <0或0<x <1}【解析】 因为函数f (x )是奇函数且在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )在(－∞，0)上也是增函数．因为f (－x )＝－f (x )，所以f (－1)＝－f (1)＝0，不等式x [f (x )－f (－x )]<0可化为2xf (x )<0，即xf (x )<0.当x <0时，可得f (x )>0＝f (－1)，所以x >－1，所以－1<x <0，当x >0时，可得f (x )<0＝f (1)，所以x <1，所以0<x <1.综上，原不等式的解集为{x |－1<x <0或0<x <1}．【答案】 D二、填空题(4×5分＝20分)13．f (x )＝x 1－1－x的定义域是________． 【解析】 由题意得⎩⎨⎧1－1－x ≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠0，故函数的定义域有(－∞，0)∪(0,1]．【答案】 (－∞，0)∪(0,1]14．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________. 【解析】 令t ＝1x ，∴x ＝1t .∴f (t )＝1t 2＋5t .∴f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．【答案】 5x ＋1x 2(x ≠0)15．已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝________.【解析】 由函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，则f (－2)－2＝f (2)＋2＝3，所以f (－2)＝5.【答案】 516．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为__________________．【解析】 由奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，得函数y ＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴x >12或－12<x <0. 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <0或x >12 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【解析】 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y ＝f (x )当x ＝3时取得最大值，最大值是3.当x ＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．18．(12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．【解析】 由f (m )＋f (m －1)>0，得f (m )>－f (m －1)，即f (1－m )<f (m )．又因为f (x )在[0,2]上单调递减且f (x )在[－2,2]上为奇函数，所以f (x )在[－2,2]上为减函数．所以1－m >m ，又－2≤m －1≤2，－2≤m ≤2，所以解得－1≤m <12.故m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.19．(12分)已知函数f (x )＝{ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1， 所以1<a ≤3.故实数a 的取值范围是(1,3]．20．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[－1,2]时，求函数的最大值和最小值．【解析】 (1)由f (0)＝2，得c ＝2，又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎨⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得：a ＝1，b ＝－2.所以f (x )＝x 2－2x ＋2.(2)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1函数，图象的对称轴为x ＝1，且开口向上，所以f (x )单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)．(3)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，对称轴为x ＝1∈[－1,2]，故f min (x )＝f (1)＝1，又f (－1)＝5，f (2)＝2，所以f max (x )＝f (－1)＝5.21．(12分)李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择： 方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．方案二：不收管理费，每度0.58元．(1)求方案一收费L (x )元与用电量x (度)间的函数关系；(2)李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？(3)李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？【解析】 (1)当0≤x ≤30时，L (x )＝2＋0.5x .当x >30时，L (x )＝2＋30×0.5＋(x －30)×0.6＝0.6x －1. 所以L (x )＝⎩⎨⎧2＋0.5x ，0≤x ≤30，0.6x －1，x >30(注：x 也可不取0)(2)当0≤x ≤30时，由L (x )＝2＋0.5x ＝35得x ＝66，舍去． 当x >30时，由L (x )＝0.6x －1＝35得x ＝60，所以李刚家该月用电60度．(3)设按方案二收费为F (x )元，则F (x )＝0.58x .当0≤x ≤30时，由L (x )<F (x )，得2＋0.5x <0.58x ，所以x >25，所以25<x ≤30；当x >30时，由L (x )<F (x )，得0.6x －1<0.58x ，所以x <50，所以30<x <50.综上，25<x <50，故李刚家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时，选择方案一比方案二更好．22．(12分)定义在(－1,1)上的函数f (x )满足：对任意x ，y ∈(－。
高中数学 第二章 函数质量评估卷练测评(含解析)北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学试题
第二章 单元质量评估卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝x －1x －2的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞)C ．[1,2)D ．[1,2)∪(2，＋∞)2．函数y ＝x 2－4x ＋1，x ∈[2,5]的值域是( )A ．[1,6]B ．[－3,1]C ．[－3,6]D ．[－3，＋∞)3．函数f(x)＝|x －1|的图象是( )4．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，2x ，x ≥2，若f(x)＝3，则x 的值是( )A ．2B ．－ 3C .3D .32 5．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f(－1)＜f(2)B ．f(－1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f(2) C ．f(2)＜f(－1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32D ．f(2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f(－1) 6．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在R 上的解析式是( )A ．f (x )＝－x (x －2)B ．f (x )＝x (|x |－2)C ．f (x )＝|x |(x －2)D ．f (x )＝|x |(|x |－2)7．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f (－1)＝0，则不等式f (2x －1)＞0的解集为( )A ．(－∞，0)∪(1，＋∞)B ．(－6,0)∪(1,3)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)8．如图，点P 在边长为1的正方形边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿A －B －C －M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 之间的函数y ＝f (x )的图象大致是( )二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．有关函数单调性的叙述中，正确的是( )A ．y ＝－2x 在定义域上为增函数B ．y ＝1x 2＋1在[0，＋∞)上为减函数 C ．y ＝－3x 2－6x 的减区间为[－1，＋∞)D ．y ＝ax ＋3在(－∞，＋∞)上必为增函数10．f (x )，g (x )都是定义在R 上且不恒为0的函数，下列说法正确的是( )A ．若f (x )为奇函数，则|f (x )|为偶函数B ．若f (x )为偶函数，则y ＝－f (－x )为奇函数C ．若f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则y ＝f [g (x )]为偶函数D ．若f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则y ＝f (x )＋g (x )非奇非偶11．函数f (x )＝(m 2－m －1)x 23m m ＋－是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0.若a ，b ∈R ，且f (a )＋f (b )的值为负值，则下列结论可能成立的是( )A ．a ＋b ＞0，ab ＜0B ．a ＋b ＞0，ab ＞0C ．a ＋b ＜0，ab ＜0D ．a ＋b ＜0，ab ＞012．已知函数f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，f (x )≥g (x )，f (x )，g (x )＞f (x )，则( ) A ．F (x )最小值为1 B ．F (x )无最小值C ．F (x )的最大值为7－27D ．F (x )的最大值为3第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝－x 2－2x ＋3的定义域为________，单调递减区间是________．14．奇函数f (x )在区间[3,10]上单调递增，在区间[3,9]上的最大值为6，最小值为－2，则2f (－9)＋f (－3)＝________.15．已知函数f (x )为定义在[2－a,3]上的偶函数，在[0,3]上单调递减，并且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－a 5＞f (－m 2＋2m －2)，则m 的取值X 围是________． 16．对任意的实数x 1，x 2，min{x 1，x 2}表示x 1，x 2中较小的那个数，若f (x )＝2－x 2，g (x )＝x ，则min{f (x )，g (x )}的最大值是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数(1)在图中画出函数f (x )的大致图象；(2)写出函数f (x )的最大值和单调递减区间.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2ax －1.(1)若f (1)＝2，某某数a 的值，并求此时函数f (x )的最小值；(2)若f (x )为偶函数，某某数a 的值；(3)若f (x )在(－∞，4]上单调递减，某某数a 的取值X 围．19．(本小题满分12分)已知f (x )＝ax x 2－1(a ≠0)，x ∈(－1,1)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若a ＝1，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上的最大值和最小值．20．(本小题满分12分)某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：(1)确定x 与y ＝f (x )(注明函数定义域)；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－4x －4.(1)若x ∈[0,5]，求f (x )的值域；(2)若x ∈[t ，t ＋1](t ∈R )，求函数f (x )的最小值g (t )的解析式．22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，某某数a 的取值X 围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1图象的上方，试确定实数m 的取值X 围．第二章 单元质量评估卷1．解析：根据题意有⎩⎨⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2. 答案：D2．解析：因为y ＝(x －2)2－3，函数在[2，＋∞)上单调递增，又f (2)＝－3，f (5)＝6，所以x ∈[2,5]的值域是[－3,6]．答案：C3．解析：因为f (x )＝|x －1|＝⎩⎨⎧ x －1，x ≥11－x ，x ＜1，由分段函数的作图方法可知B 正确．答案：B4．解析：由f (x )＝3得⎩⎨⎧ x ≤－1x ＋1＝3或⎩⎨⎧ －1＜x ＜2x 2＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥22x ＝3，解得x ＝ 3.故选C.答案：C 5．解析：因为f (x )为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，又－2＜－32＜－1，且函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，所以f (－2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (－1)，即f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (－1)，故选D. 答案：D6．解析：∵f (x )在R 上是偶函数，且x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ， ∴当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )2＋2x ＝x 2＋2x ，则f (x )＝f (－x )＝x 2＋2x ＝－x (－x －2)．又当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ＝x (x －2)，因此f (x )＝|x |(|x |－2)．答案：D7．解析：∵f (－1)＝0，∴不等式f (2x －1)＞0等价为f (2x －1)＞f (－1)，∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，∴不等式等价于f (|2x －1|)＞f (1)，即|2x －1|＞1，即2x －1＞1或2x －1＜－1，即x ＞1或x ＜0，则不等式的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选A.答案：A8．解析：依题意，当0＜x ≤1时，S △APM ＝12×1×x ＝12x ；当1＜x ≤2时，S △APM ＝S 梯形ABCM －S △ABP －S △PCM ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×1－12×1×(x －1)－12×12×(2－x )＝－14x ＋34；当2＜x ≤2.5时，S △APM ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x ＝－12x ＋54. ∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ，0＜x ≤1－14x ＋34，1＜x ≤2－12x ＋54，2＜x ≤2.5.再结合图象知应选A.答案：A 9．解析：对于A ，其定义域为不含0的两个区间，在各自的区间上都是增函数，但不能说在整个定义域上为增函数；对于B ，在[0，＋∞)上为减函数；对于C ，因为y ＝－3x 2－6x ＝－3(x ＋1)2＋3，可求得减区间为[－1，＋∞)；对于D，增减性与a的取值有关．故选BC.答案：BC10．解析：若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，令F(x)＝|f(x)|，则|F(－x)|＝|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|＝F(x)，所以|f(x)|为偶函数，所以A正确；若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，令F(x)＝－f(－x)，则F(－x)＝－f(x)＝－f(－x)＝F(x)，所以y＝－f(－x)为偶函数，所以B不正确；若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]，所以y＝f[g(x)]为偶函数，所以C正确；若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)，所以y＝f(x)＋g(x)非奇函数，非偶函数，所以D正确，故选ACD.答案：ACD11．解析：由函数f(x)为幂函数可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝1x3；当m＝2时，f(x)＝x3.由题意可知函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，f(x)＝x3，在R上单调递增，且满足f(－x)＝－f(x)．结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)＜0可知f(a)＜－f(b)＝f(－b)，所以a＜－b，即b＜－a，所以a＋b＜0.当a＝0时，b＜0，ab＝0；当a＞0时，b＜0，ab＜0；当a＜0时，ab＜0(0＜b＜－a)，ab＝0(b＝0)，ab ＞0(b ＜0)均有可能成立．故选CD. 答案：CD12．解析：由F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )f (x )≥g (x )f (x )，g (x )＞f (x )知， 当3－2|x |≥x 2－2x ，即当2－7≤x ≤3时，F (x )＝x 2－2x ；当x 2－2x ＞3－2|x |，即当x ＜2－7或x ＞3时，F (x )＝3－2|x |，因此F (x )＝⎩⎨⎧ x 2－2x ，2－7≤x ≤33－2|x |，x ＜2－7或x ＞3＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，2－7≤x ≤33＋2x ，x ＜2－73－2x ，x ＞3，作出其图象如图所示，观察图象可以发现，F (x )max ＝F (2－7)＝7－27，无最小值，故选BC.答案：BC 13．解析：由题意，得－x 2－2x ＋3≥0.解得－3≤x ≤1，所以f (x )的定义域为[－3,1]．设t ＝－x 2－2x ＋3，y ＝f (x )，则y ＝t 为增函数；所以t ＝－x 2－2x ＋3在[－3,1]上的单调递减区间，便是f (x )在[－3,1]上的单调递减区间；t ＝－x 2－2x ＋3的对称轴为x ＝－1；所以f (x )的单调递减区间为[－1,1]．答案：[－3,1] [－1,1]14．解析：因为函数在区间[3,10]上单调递增，所以在区间[3,9]上单调递增．所以函数在区间[3,9]上的最小值为f (3)＝－2，最大值为f (9)＝6.又因为函数f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝2，f (－9)＝－f (9)＝－6.所以2f (－9)＋f (－3)＝2×(－6)＋2＝－10.答案：－1015．解析：由偶函数的定义可得2－a ＋3＝0，则a ＝5，因为m 2＋1＞0，m 2－2m ＋2＝(m －1)2＋1＞0，且f (－m 2－1)＝f (m 2＋1)，f (－m 2＋2m －2)＝f (m 2－2m ＋2)，所以m 2＋1＜m 2－2m ＋2≤3，解得1－2≤m ＜12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－2，12 16．解析：不妨设h (x )＝min{f (x )，g (x )}，当2－x 2＞x ，即－2＜x ＜1时，h (x )＝x .当2－x 2≤x ，即x ≥1或x ≤－2时，h (x )＝2－x 2.故h (x )＝⎩⎨⎧ x ，－2＜x ＜12－x 2，x ≥1或x ≤－2.其图象如图实线部分，当x ≤－2或x ≥1时，为抛物线的一部分，当－2＜x ＜1时，为线段．由图象可知，当x 取1时，h (x )取最大值1.所以min{f (x )，g (x )}的最大值为1.答案：117．解析：(1)函数f (x )的大致图象如图所示．(2)由函数f (x )的图象得出，f (x )的最大值为2，函数的单调递减区间为[2,4]．18．解析：(1)由题意可知，f (1)＝1＋2a －1＝2，即a ＝1， 此时函数f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2≥－2，故当x ＝－1时，函数f (x )min ＝－2.(2)若f (x )为偶函数，则有对任意x ∈R ，f (－x )＝(－x )2＋2a (－x )－1＝f (x )＝x 2＋2ax －1，即4ax ＝0，故a ＝0.(3)函数f (x )＝x 2＋2ax －1的单调递减区间是(－∞，－a ]， 而f (x )在(－∞，4]上单调递减，∴4≤－a ，即a ≤－4，故实数a 的取值X 围为(－∞，－4]．19．解析：(1)设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1) ＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＋1＞0，(x 21－1)(x 22－1)＞0，∴当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，f (x )在(－1,1)上是减函数；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x )在(－1,1)上是增函数，(2)当a ＝1，f (x )＝xx 2－1，由(1)知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上是减函数， 故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－23. 20．解析：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b ，由表格得方程组⎩⎨⎧ 45a ＋b ＝2750a ＋b ＝12，解得⎩⎨⎧ a ＝－3b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162.又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]．(2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860＝－3(x －42)2＋432，x ∈[30,54]．当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．21．解析：(1)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8，对称轴x ＝2，开口向上，f (x )在[0,2)上递减，在[2,5]上递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－8，f (x )的最大值是f (5)＝1，故f (x )的值域为[－8,1]．(2)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8，即抛物线开口向上，对称轴为x ＝2，最小值为－8，过点(0，－4)， 结合二次函数的图象可知：当t ＋1＜2，即t ＜1时，f (x )＝x 2－4x －4，x ∈[t ，t ＋1](t ∈R )， 在x ＝t ＋1处取最小值f (t ＋1)＝t 2－2t －7；当⎩⎨⎧ t ＋1≥2t ≤2，即1≤t ≤2时，f (x )＝x 2－4x －4，x ∈[t ，t ＋1](t ∈R )在x ＝2处取最小值－8；当t ＞2时，f (x )＝x 2－4x －4，x ∈[t ，t ＋1](t ∈R )在x ＝t 处取最小值f (t )＝t 2－4t －4.综上可得，g (t )＝⎩⎨⎧t 2－2t －7，t ∈(－∞，1)，－8，t ∈[1，2]，t 2－4t －4，t ∈(2，＋∞). 22．解析：(1)由题意设f (x )＝a (x －1)2＋1，将点(0,3)的坐标代入得a ＝2，所以f (x )＝2(x －1)2＋1＝2x 2－4x ＋3.(2)由(1)知f (x )的对称轴为直线x ＝1，所以2a ＜1＜a ＋1，所以0＜a ＜12.即实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (3)f (x )－2x －2m －1＝2x 2－6x －2m ＋2，由题意得2x 2－6x －2m ＋2＞0对于任意x ∈[－1,1]恒成立， 所以x 2－3x ＋1＞m 对于任意x ∈[－1,1]恒成立， 令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]，则g (x )min ＝g (1)＝－1，所以m ＜－1，故实数m 的取值X 围为(－∞，－1)．。
北师大版高中数学必修1第二章函数章末综合测试题【含答案】
高中数学必修1 第二章函数 本章测试题（时间120分钟 满分150分）一、选择题(每小题5分,共50分） 1、函数y =)A 。
)43,21(-B 。
]43,21[- C. ),43[]21,(+∞⋃-∞D 。
),0()0,21(+∞⋃-2、下列对应关系f 中，不是从集合A 到集合B 的映射的是（ ）A 。
A=}{是锐角x x ，B=（0，1），f ：求正弦;B 。
A=R ，B=R ，f:取绝对值 C. A=+R ，B=R ，f ：求平方； D 。
A=R,B=R ，f ：取倒数 3、函数32－＝x y 的单调增区间是 ( ） A. （－∞，－3] B 。
［23，＋∞) C. （－∞，1) D 。
[－1，＋∞) 4、已知函数2)(x x f ＝,那么)1(＋x f 等于 （ ）A. 22＋＋x xB. 12＋x C 。
222＋＋x x D. 122＋＋x x 5、若函数)1(＋x f 的定义域是[－2，3］,则函数)12(－x f 的定义域是 （ ） A. ［0，25] B 。
［－1，4］ C. ［－5，5] D 。
［－3，7］ 6、向高为H 的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V 与水深h 的函数关系式如图所示，那么水瓶的形状是（ ）(A ） (B） (C) （D ）7、已知偶函数)(x f在区间［0,＋∞)上单调增加，则满足)12(－x f ＜)31(f 的x 的取值范围是 （ ）A 。
（31,32） B 。
[31，32 ） C. （21，32） D 。
［21，32） 8、定义在[1＋a ，2］上的偶函数2)(2－＋＝bx ax x f 在区间［1，2］上是 （ ) A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减函数 D 。
先减后增函数9、已知函数)(x f y ＝是偶函数,)2(－＝x f y 在［0，2]上是单调减函数，则下列不等式正确的是 （ ) A. )0()2()1(f f f ＞＞－ B. )2()0()1(f f f ＜＜－ C 。
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【学案导学设计】2015-2016学年高中数学 第二章章末检测A 北师大版必修1(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若f(x)＝ax 2－2(a>0)，且f(2)＝2，则a 等于( )A ．1＋22B ．1－22C ．0D ．22．若函数f(x)满足f(3x ＋2)＝9x ＋8，则f(x)的解析式是( ) A ．f(x)＝9x ＋8 B ．f(x)＝3x ＋2 C ．f(x)＝－3x －4D ．f(x)＝3x ＋2或f(x)＝－3x －4 3．下列说法正确的是( ) A ．幂函数一定是奇函数或偶函数B ．任意两个幂函数图像都有两个以上交点C ．如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个幂函数相同D ．图像不经过(－1,1)的幂函数一定不是偶函数4．设f ：x→x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A∩B 一定是( ) A ．∅ B ．∅或{1} C ．{1} D ．∅5．函数f(x)＝11－－的最大值是( )A .45B .54C .34D .43 6．函数y ＝9nx (n ∈N ，n >9)的图像可能是( )7．函数f (x )＝1x－x 的图像关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称8．已知函数f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤ 3 B ．－3≤a ≤ 3 C ．0<a ≤ 3 D ．－3≤a <09．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x f f x ＋x ，则f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．1610．f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(2,5)上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．有增有减D ．增减性不确定11．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，那么( ) A ．f (2)<f (1)<f (4) B ．f (1)<f (2)<f (4) C ．f (2)<f (4)<f (1) D ．f (4)<f (2)<f (1)12．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝f (x )＋g (x )＋2，在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F (x )有( )A ．最小值－8B ．最大值－8C ．最小值－二、填空题(13．已知函数y ＝f (x )是R 上的增函数，且f (m ＋3)≤f (5)，则实数m 的取值范围是________．14．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________．15．若函数f (x )＝x 2＋a ＋x ＋ax为奇函数，则实数a ＝________.16．如图，已知函数f (x )的图像是两条直线的一部分，其定义域为(－1,0]∪(0,1)，则不等式f (x )－f (－x )>－1的解集是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝{12}时，求p 、q 的值和A ∪B .18．(12分)已知函数f (x )＝x ＋2x －6，(1)点(3,14)在f (x )的图像上吗？ (2)当x ＝4时，求f (x )的值；(3)当f (x )＝2时，求x 的值．19．(12分)函数f (x )是R 上的偶函数，且当x >0时，函数的解析式为f (x )＝2x－1.(1)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上是减函数； (2)求当x <0时，函数的解析式．20．(12分)函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．21．(12分)已知函数f(x)对一切实数x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(3)＝－2.(1)试判定该函数的奇偶性；(2)试判断该函数在R上的单调性；(3)求f(x)在[－12,12]上的最大值和最小值．22．(12分)已知函数y＝x＋tx有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，t]上是减函数，在[t，＋∞)上是增函数．(1)已知f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，求实数a 的值．第二章 章末检测(A)1．A [f(2)＝2a －2＝2，∴a＝1＋22.]2．B [f(3x ＋2)＝9x ＋8＝3(3x ＋2)＋2， ∴f(t)＝3t ＋2，即f(x)＝3x ＋2.]3．D [举反例：y ＝x 12不具有奇偶性，排除A ；y ＝x －1和y ＝x －2图像的交点只有(1,1)，排除B ；y ＝x 3与y ＝x 13图像的交点为(－1，－1)，(0,0)，(1,1)，排除C .]4．B [由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2.所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合． 无论含有几个元素，A∩B＝∅或{1}．]5．D [f(x)＝1－122＋34≤43.]6．C [∵f(－x)＝9n x ＝9nx ＝f(x)，∴函数为偶函数，图像关于y 轴对称，故排除A 、B .令n ＝18，则y ＝12x ，当x≥0时，y ＝12x ，由其在第一象限的图像知选C .] 7．C [∵x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x ， 都有f(－x)＝－1x ＋x ＝－f(x)，∴该函数f(x)＝1x－x 是奇函数，其图像关于坐标原点对称．]8．D [由题意知a<0，－a 3－a2a≥－1，－a 22＋12≥－1，即a 2≤3. ∴－3≤a<0.]9．A [f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15))) ＝f(f(18))＝f(21)＝24.]10．B [f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m ＝0，所以f(x)＝－x 2＋3，画出函数f(x)＝－x 2＋3的图像知，f(x)在区间(2,5)上为减函数．] 11．A [由f(2＋x)＝f(2－x)可知：函数f(x)的对称轴为x ＝2，由二次函数f(x)开口方向，可得f(2)最小；又f(4)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)， 在x<2时y ＝f(x)为减函数． ∵0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)， 即f(2)<f(1)<f(4)．]12．D [由题意知f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，因f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，即f(x)＋g(x)也是奇函数，所以f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－4.] 13．m≤2解析 由函数单调性可知，由f(m ＋3)≤f(5)有m ＋3≤5， 故m≤2. 14．－1解析 f(x)＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∵1∈[－2,3]，∴f(x)max ＝4，又∵1－(－2)>3－1，由f(x)图像的对称性可知， f(－2)的值为f(x)在[－2,3]上的最小值， 即f(x)min ＝f(－2)＝－5，∴－5＋4＝－1. 15．－1解析 由题意知，f(－x)＝－f(x)， 即x 2－＋＋a －x ＝－x 2＋＋＋a x，∴(a＋1)x ＝0对x≠0恒成立， ∴a＋1＝0，a ＝－1.16．(－1，－12)∪[0,1)解析 由题中图像知，当x≠0时，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)－[－f(x)]>－1，∴f(x)>－12，由题图可知，此时－1<x<－12或0<x<1.当x ＝0时，f(0)＝－1，f(0)－f(－0)＝－1＋1＝0，0>－1满足条件．因此其解集是{x|－1<x<－12或0≤x<1}．17．解 ∵A∩B＝{12}，∴12∈A.∴2(12)2＋3p(12)＋2＝0.∴p＝－53.∴A＝{12，2}．又∵A∩B＝{12}，∴12∈B.∴2(12)2＋12＋q ＝0.∴q＝－1.∴B＝{12，－1}．∴A∪B＝{－1，12，2}．18．解 (1)∵f(3)＝3＋23－6＝－53≠14.∴点(3,14)不在f(x)的图像上．(2)当x ＝4时，f(4)＝4＋24－6＝－3.(3)若f(x)＝2，则x ＋2x －6＝2，∴2x－12＝x ＋2，∴x＝14. 19．(1)证明 设0<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝(2x 1－1)－(2x 2－1)＝2－x 1x 1x 2，∵0<x 1<x 2，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0， ∴f(x 1)－f(x 2)>0， 即f(x 1)>f(x 2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．(2)解 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－2x－1，又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝－2x －1，即f(x)＝－2x －1(x<0)．20．解 ∵f(x)＝4(x －a 2)2－2a ＋2，①当a2≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数．∴f(x)min ＝f(0)＝a 2－2a ＋2.由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1± 2. ∵a≤0，∴a＝1－ 2.②当0<a2<2，即0<a<4时，f(x)min ＝f(a2)＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去．③当a2≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，f(x)min ＝f(2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10. ∵a≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.21．解 (1)令x ＝y ＝0，得f(0＋0)＝f(0)＝f(0)＋f(0) ＝2f(0)，∴f(0)＝0.令y ＝－x ，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．(2)任取x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f(x 2－x 1)<0， ∴f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2－x 1)<0， 即f(x 2)<f(x 1)．∴f(x)在R 上是减函数．(3)∵f (x )在[－12,12]上是减函数，∴f (12)最小，f (－12)最大．又f (12)＝f (6＋6)＝f (6)＋f (6)＝2f (6) ＝2[f (3)＋f (3)]＝4f (3)＝－8， ∴f (－12)＝－f (12)＝8.∴f (x )在[－12,12]上的最大值是8，最小值是－8.22．解 (1)y ＝f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8，设u ＝2x ＋1，x ∈[0,1]，1≤u ≤3，则y ＝u ＋4u－8，u ∈[1,3]．由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f (x )单调递减，所以减区间为[0，12]；当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f (x )单调递增，所以增区间为[12，1]；由f (0)＝－3，f (12)＝－4，f (1)＝－113，得f (x )的值域为[－4，－3]． (2)g (x )＝－x －2a 为减函数，故g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0,1]． 由题意，f (x )的值域是g (x )的值域的子集， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－2a ≤－4－2a ≥－3∴a ＝32.。