2020届北师大版(文科数学) 函数与方程、不等式相结合问题 单元测试精品版

2020届北师大版（文科数学） 函数与方程、不等式相结合问题 单元测试1．【2018届安徽皖南八校高三第二次联考】已知函数()220{1120x mx m x f x x m x -+>=-++≤，，，，若关于x 的方程()0f x mx -=至少有两个不同的实数解,则实数m 的取值范围为（ ）A. ()1023⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦，，B. ()1113⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，，C. 13⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，D. ()1223⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，， 【答案】A【解析】令()2,0{11,0x mx x g x x x ->=-+≤,关于x 的方程()0f x mx -=至少有两个不同的实数解等价于,()()2g x m x =-至少有两个不同的实数解,即函数()g x 的图象与直线()2y m x =-至少有两个交点,作出函数()g x 的图象如图所示,直线()2y m x =-过定点()2,0A ,故可以寻找出临界状态下虚线所示,联立()22{y m x y x mx=-=-,故()22x mx m x -=-,即2220x mx m -+=,令2480m m ∆=-=,解得2m =, ()1,1B -,故13AB k =-,结合图象知,实数m 的取值范围为()1,02,3⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦,故选A.2．【2018届湖北省稳派教育高三上期第二次联考】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()(](]22log 1,1,00{ 173,,122x x f x f x f x x x x --∈--+==---∈-∞-，且,若关于x 的方程()()f x t t R =∈恰有5个不同的实数根12345,,,,x x x x x ,则12345x x x x x ++++的取值范围是 A. ()2,1-- B. ()1,1- C. (1,2) D. (2,3) 【答案】B3．【2018届山东省烟台高三上期第三次诊断】已知定义在R 的函数()f x 是偶函数,且满足()()[]2202f x f x +=-，在，上的解析式为()21,01{ 1,12x x f x x x -≤<=-≤≤,过点()3,0-作斜率为k 的直线l ,若直线l 与函数()f x 的图象至少有4个公共点,则实数k 的取值范围是A. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,6423⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C. 1,6423⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. 1642,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意知道函数()f x 是偶函数,且满足()()22f x f x +=-,故函数还是周期为4的函数,根据表达式画出图像是定义在R 上的周期性的图像,一部分是开口向下的二次函数,一部分是一次函数,当k>0时,根据题意知两图像有两个交点,当直线()3y k x =+和图像2y 1x =-,01x ≤<,相切时是一种临界,要想至少有4个交点,斜率要变小；故设切点为()2,1,x x -212,2322;264 2.3x y x x x k x x -=--=⇒=-+=-=+'-故得到 当k<0时,临界是过点（-6,1）时,此时13k =-,要想至少有4个交点需要逆时针继续旋转,斜率边大,直到和x 轴平行.故两种情况并到一起得到：实数k 的取值范围是1,6423⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：C.4．【2018届上海市浦东新区高三数一模】关于x 的方程()2arcsin cos 0x x a ++=恰有3个实数根1x 、2x 、3x ,则222123x x x ++=（ ）A. 1B. 2C. 22π D. 22π【答案】B5.【2017山西省运城市高三上期期中】函数()f x 是偶函数,且在(0,)+∞内是增函数,(3)0f -=,则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．{}|303x x x -<<>或 B ．{}|303x x x <-<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ．{}|303x x x -<<<<或0【答案】B【解析】函数()f x 为偶函数,故()xf x 为奇函数,()f x 在(0,)+∞内是增函数,()(3)30f f -==,所以()0,3x ∈时()0f x <,当()3,x ∈+∞时,()0f x >,根据对称性,有当()3,0x ∈-时()0f x <,当(),3x ∈-∞-时,()0f x >.由此可知()0xf x <即为两者异号的解集为{}|303x x x <-<<或.6.【2017湖北孝感高三上期第一次联考】定义域在R 上的奇函数()f x ,当0x ≥时,()()12log 1,0113,1x x f x x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪--≥⎩,则关于x 的方程()()001f x a a -=<<所有根之和为12-,则实数a的值为（ ） A ．22 B ．12 C. 23 D ．14【答案】B【解析】因为函数)(x f 为奇函数,所以可以得到当]0,1(-∈x 时,)1(log )1(log )()(221x x x f x f -=+--=--=,当]1,(--∞∈x 时,()()(1|3|)f x f x x -=-=----|3|1x =+-,所以函数)(x f 图象如下图,函数)(x f 的零点即为函数)(x f y =与a y =的交点,如上图所示,共5个,当]1,(--∞∈x 时,令a x =-+1|3|,解得：2,421-=--=a x a x ,当]0,1(-∈x 时,令a x =-)1(log 2,解得：a x 213-=,当),1[+∞∈x 时,令a |3-x |1=-,解得：2,454+=-=a x a x ,所以所有零点之和为：123454212421212aax x x x x a a a a ++++=--+-+-+-++=-=-,12a ∴=.故本题正确答案为B.7.【2017重庆八中高三上期二调】对于函数1()1x f x x -=+,设[]2()()f x f f x =,[]32()()f x f f x =,…,[]1()()n n f x f f x +=（*n N ∈,且2n ≥）,令集合{}2036|(),M x f x x x R ==∈,则集合M 为（ ）A ．空集B ．实数集C ．单元素集D ．二元素集【答案】B【解析】由题设可知()x x f 12-=,()113-+-=x x x f ,()x x f =4,()115+-=x x x f ,()xx f 16-=,故从()x f 2开始组成了一个以()x f 为首项,以周期为4重复出现一列代数式,由50942036⨯=得()()x x f x f ==42036,故x x =的解为R ,故选B ．8.【2017中原名校高三上期第三次质量考评】定义在实数集R 上的函数()f x ,满足()()()22f x f x f x =-=-,当[]0,1x ∈时,()2x f x x =⋅.则函数()()lg g x f x x =-的零点个数为（ ）A ．99B ．100 C.198 D ．200 【答案】B【解析】()f x 是偶函数,图象关于直线1x =对称,周期是2,画图可得,零点个数为100,故选B.9.【2017辽宁盘锦市高中11月月考】设函数31,1,()2,1,xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]0,1C ．2[,)3+∞ D ．[1,)+∞ 【答案】C【解析】令()t a f =,则()tt f 2=,当1<t 时,t t 213=-,由()tt t g 213--=的导数为()2ln 23tt g -=',在1<t 时,()0>'t g ,()t g 在()1,∞-递增,即有()()01=<g t g ,则方程t t 213=-无解；当1≥t 时,t t 22=成立,由()1≥a f ,即113≥-a ,解得32≥a ,且1<a ；或1≥a ,12≥a解得0≥a ,即为1≥a ．综上可得a 的范围是32≥a ．故选C. 10. 【2017湖北荆州高三上期第一次质量检测】已知函数()()2ln 1,23f x x g x x x =-=-++,用{}min ,m n 表示,m n 中最小值,设()()(){}min ,h x f x g x =,则函数()h x 的零点个数为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．4 【答案】C【解析】 由0)(=x f 可得ex e x 1,==；由0)(=x g 可得3,1=-=x x ,且当e x =时,0)(>e g ．当0<x 时无意义,结合函数的图象可知方程0)(=x h 有三个根.故应选C.Oyx11.【2017河南八市重点高中上期第三次测评】函数()221sin cos cos log 442f x x x xx ππ⎛⎫⎛⎫=+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的零点个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】由已知得2211cos 21()cos 2log cos 2log 222x f x x x x x +=+--=-,令()0f x =,即2cos 2log x x =,在同一坐标系内作出函数cos 2y x =与2log y x =的图象 两个函数有两个不同的交点,所以函数()f x 的零点的个数为2,故选B.12. 【2017河南百校联盟高三11月质检】已知函数()f x 满足()14f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭,当1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()ln f x x =,若在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,方程()f x kx =有三个不同的实根,则实数k 的取值范围是（ ）A.44ln 4,e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.[]4ln 4,ln 4--C.4,ln 4e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D. 4,ln 4e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】由题意,1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()ln f x x =,当(]1,4x ∈时,()1111,1,44ln 44f x f x x x x ⎡⎫⎛⎫∈===-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭,如图 4ln x kx -=在(]1,4x ∈有两解,4ln x k x -=有两解,设函数()()24ln 1n ,4x l x g x g x x x--'==-g x （）在(]1,e 上单调递减,在[],4e 上单调递增,4ln 4k e∴-≤≤-.故选：D ． 13.【河北石家庄2017届高三上期第一次质检,10】已知函数()132,1,1x e x f x x x x -⎧<=⎨+≥⎩,则()()2f f x <的解集为（ ）A ．()1ln 2,-+∞B ．(),1ln 2-∞- C. ()1ln 2,1- D ．()1,1ln 2+ 【答案】B【解析】因为当1x ≥时,3()2f x x x =+≥；当1x <时,1()22x f x e-=<,所以(())2f f x <,等价于()1f x <,即121x e -<,解得1ln 2x <-,所以(())2f f x <的解集为(,1ln 2)-∞-,故选B ． 14.【2017江苏徐州丰县民族中高三上期第二次月考】设函数()x f x e x a =+-（a R ∈,e 为自然对数的底数）,若曲线sin y x =上存在一点00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是 ． 【答案】[]1,e15.【2017江苏徐州丰县民族中高三上期第二次月考】已知函数()f x 为定义在[]2,3a -上的偶函数,在[]0,3上单调递减,并且22()(22)5af m f m m -->-+-,则m 的取值范围是 ． 【答案】1122m -≤<【解析】由题设可得032=+-a ,即5=a ,故)22()1(22-+->--m m f m f 可化为)22()1(22+->+m m f m f ,又3221,31122≤+-≤≤+≤m m m ,故2122122<⇒+-<+m m m m ,且21-≥m .故应填答案1122m -≤<.= 16．【2017届12月浙江省重点中期末热身联考】已知a R ∈,函数()1,0{ ,0x a x f x xe x -+><,若存在三个互不相等的实数123,,x x x ,使得()()()123123f x f x f x e x x x ===-成立,则a 的取值范围是__________．【答案】(),2e -∞-【解析】若存在三个互不相等的实数123,,x x x ,使得()()()123123f x f x f x e x x x ===-成立,则方程()f x ex =-存在三个不相等的实根,当0x <时, ()x f x e ex -==-,令()(0)x g x e ex x -=+<,则()x g x e e --'=+,令()0g x '=,得1x =-,当1x <-时, ()0g x '<,即()g x 在(),1-∞-上为减函数,当10x -<<时, ()0g x '>,即()g x 在()1,0-上为增函数,∴()()min 10g x g e e =-=-=,则()f x ex =-在(),0-∞上存在一个实根,∴()f x ex =-在()0,+∞上存在两个不相等的实根,即1a ex x+=-, 210ex ax ++=有两个不相等的实根,∴20{240a ea e ->∆=->,∴2a e <-,故答案为(),2e -∞-17．【2018届福建省闽侯高三12月月考】已知函数()()()2,0{0,0k x x f x k lnx x +≤=<->,若函数()()1y f f x =-有3个零点,则实数k 的取值范围为 __________ .【答案】k 1-＜18.【2017湖南百所重点中高三上期阶段诊测】已知定义在R 上的函数()f x 的周期为3.当13x ≤≤时,2()4f x x =+.（1）求(5)(7)f f +的值；（2）若关于x 的方程2()()f x mx m R =∈在区间[4,6]上有实根,求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(5)(7)13f f +=；（2）413[,]1336． 【解析】（1）∵函数()f x 的周期为3,∴(5)(2)8f f ==,(7)(4)(1)5f f f ===, ∴(5)(7)13f f +=.（2）设[4,6]x ∈,则3[1,3]x -∈,∵函数()f x 的周期为3, ∴2()(3)(3)4f x f x x =-=-+.方程2()f x mx =在[4,6]上有实根22(3)4x m x-+=⇔在[4,6]上有实根,设2222(3)4136134()113()1313x g x x x x x -+==-+=-+,∵[4,6]x ∈,∴111[,]64x ∈,∵311[,]1364∈, ∴min 4()13g x =,又∵1331||||413136-<-,∴max 13()(6)36g x g ==,∴413()[,]1336g x ∈, ∴实数m 的取值范围为413[,]1336.19.定义在(1,0)(0,)-+∞上的函数()f x 及二次函数()g x 满足：211()2()ln xf x f x x+-=,(1)(3)3,g g =-=,且()g x 的最小值是1-．（Ⅰ）求()f x 和()g x 的解析式；（Ⅱ）若对于12,[1,2]x x ∈,均有2112211()2()2ln 222g x ax x f x +≤++-成立,求实数a 的取值范围； （Ⅲ）设()()(),0(),(),0f x x x g x x ϕ>⎧⎪=⎨≤⎪⎩讨论方程[]()1x ϕϕ=-的解的个数情况．【答案】（Ⅰ）()ln(1)f x x =-+,2()2g x x x =+ （Ⅱ）(,4]-∞- （Ⅲ）三个解．【解析】（Ⅰ）∵211()2()lnx f x f x x +-=①,则1()2()ln[(1)]f f x x x x-=+②由①②联立解得： ()ln(1)f x x =-+；()g x 是二次函数,可设2()(),0g x A x m n A =-+≠又(1)(3)3,g g =-=,∴抛物线对称轴为1312x -==-．∴1m =-． 根据题意函数有最小值为1n =-,∴2()(1)1g x A x =+-． 又2(1)(11)131g A A =+-=⇒=,故22()(1)12g x x x x =+-=+ （Ⅱ）设()2()()2G x g x ax x a x =+=++,211()2ln(1)2ln 222F x x x =-++-, 依题意知：当12x ≤≤时, max min ()()G x F x ≤∵222(2)(1)()0111x x x x F x x x x x +-+-'=-==≥+++,()F x 在[1,2]上单调递增, min ()(1)0F x F ∴==()()1302280G a G a =+≤⎧⎪∴⎨=+≤⎪⎩,解得4a ≤-,∴实数a 的取值范围是(,4]-∞-；（Ⅲ）图像解法：()x ϕ的图象如图所示： 令()T x ϕ=,则()1T ϕ=-121,1T T e ∴=-=-而()1x ϕ=-有两个解, ()1x e ϕ=-有1个解．[]()1x ϕϕ∴=-有3个解．代数解法：令()T x ϕ=,则() 1.T ϕ=-（1）由()1T ϕ=-得：221(0)T T T +=-≤或ln(1)1(0)T T -+=->,解得121,1T T e =-=-．（2）若1()1x T ϕ==-,则221(0)x x x +=-≤或ln(1)1(0)x x -+=->,∴121,1x x e =-=-；若2()1x T e ϕ==-,则221(0)x x e x +=-≤或ln(1)1(0)x e x -+=->由221(0)x x e x +=-≤解得31x e =--,而ln(1)1(0)x e x -+=->无解 综上所述,方程[]()1x ϕϕ=-共有三个解．20.已知函数()()211ln ,2f x ax a x x a R =-+-+∈． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：当()0,1x ∈时,()()11f x f x -<+； （3）若函数()f x 有两个零点1x ,2x ,比较12+2x x f ⎛⎫' ⎪⎝⎭与0的大小,并证明你的结论. 【答案】（1）1a <-时,f （x ）在1(0,)a -上递增,1(1)a -，上递减,(1,)+∞上递增；1a =-时,f （x ）在(0,)+∞上递增；10a -<<时,f （x ）在(0,1)上递增,1(1)a -，上递减,1(,)a -+∞上递增；0a ≥时,f （x ）在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减；（2）见解析；（3）12+02x x f ⎛⎫'> ⎪⎝⎭．C ．1>1a -,即10a -<<时,f （x ）在(0,1)上递增,1(1)a -，上递减,1(,)a-+∞上递增； 且(1)102a f =-<,故此时f （x ）在(0,)+∞上有且只有一个零点． 综上所述：1a <-时,f （x ）在1(0,)a -上递增,1(1)a -，上递减,(1,)+∞上递增； 1a =-时,f （x ）在(0,)+∞上递增；10a -<<时,f （x ）在(0,1)上递增,1(1)a -，上递减,1(,)a -+∞上递增； 0a ≥时,f （x ）在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减；（2）()()11f x f x -<+⇔2211(1)(1)(1)ln(1)(1)(1)(1)ln(1)22a x a x x a x a x x --+--+-<-++-+++ ⇔2ln(1)ln(1)0x x x +--+<设()2ln(1)ln(1),(0,1)g x x x x x =+--+∈∴2112'()2011(1)(1)x g x x x x x --=+-=<-+-+ ∴()g x 在(0,1)x ∈上单调递减∴()g(0)0g x <=得证．（3）由（1）知,函数()f x 要有两个零点1x ,2x ,则0(1)102a a f >⎧⎪⎨=->⎪⎩ ∴2a >,不妨设1201x x <<<∴由（2）得222(2)(11)()=0f x f x f x -=+->∴212x x ->,∴12+12x x <,∴12+02x x f ⎛⎫'> ⎪⎝⎭ 21.已知函数2()3,()21()f x x a g x ax a =+=+∈R（1）若函数()f x 在(0,2)上无零点,请你探究函数()y g x =在(0,2)上的单调性；（2）设()()()F x f x g x =-,若对任意的(0,1)x ∈,恒有()1F x <成立,求实数a 的取值范围．【答案】（1）若0a =：在(0,2)上无单调性,若0a >：在(0,2)上单调递增,若12a ≤-：在1(0,)2a -上单调递减,在1(,)2a-+∞上单调递增；（2）[1,2]． 【解析】（1）令()0f x =,从而可知23a x =-,∵(0,2)x ∈,∴23(12,0)x -∈-,故满足()f x 在(0,2)上无零点的实数a 的取值范围是(,12][0,)-∞-+∞,若0a =：|()|1g x =,在(0,2)上无单调性,若0a >：|()||21|21g x ax ax =+=+,在(0,2)上单调递增,若12a ≤-：则110224a <-≤,∴|()|g x 在1(0,)2a -上单调递减,在1(,)2a-+∞上单调递增；（2）2()()()321(01)F x f x g x x ax a x =-=-+-≤≤,而|()|1F x ≤在(0,1)上恒成立等价于1(1)11(0)1121()13F F a a F ⎧⎪-≤≤⎪-≤≤⇒≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎩,∴实数a 的取值范围是[1,2]．22.【2018届海南省八校高三上期新起点联盟考试】设函数()32231,0{ 21,0x x x x f x axe x -->=-≤,其中0a >. (1)若直线y m =与函数()f x 的图象在(]0,2上只有一个交点,求m 的取值范围；(2)若()f x a ≥-对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围.(2)当0x ≤时, ()()'21xf x a x e =+, 0a >,令()'0f x =得1x =-； 令()'0f x >得10x -<≤, ()f x 递增；令()'0f x <得1x <-, ()f x 递减,∴()f x 在1x =-处取得极小值,且极小值为()211a f e -=--, ∵0a >,∴210a e --<, ∵当212a e --≥-即02e a <≤时, ()()min 12f x f ==-,∴2a -≤-,即2a ≥,∴无解, 当212a e --<-即2e a >时, ()()max 211a f x f e =-=--,∴21a a e -≤--,即2e a e ≥-,又22e e e >-,∴2e a e ≥-,综上, ,2e a e ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭.。