3-4 二阶双曲方程
二阶双曲方程显、隐差分法
一、研究对象
1. 研究的对象——二阶双曲型方程.
2 2 u( x , t ) 2 u( x , t ) a f ( x , t ), 0 x 1, 0 t T , 2 2 x t u u ( x , 0) ( x ), ( x , 0) ( x ), 0 x 1, t u(0, t ) ( t ), u(1, t ) ( t ), 0 t T ,
k u 将数值解 i 代替精确解 u( xi , tk ) 并忽略高阶小项， 则第四步，可以建立以下显差分格式：
k k k uik 1 2uik uik 1 2 ui 1 2ui ui 1 a f ( xi , t k ), 1 i m 1, 1 k n 1, 2 2 h 0 ui1 ui0 ( xi ), 0 i m , ui ( xi )， k k u0 ( t k )，um ( t k ), 1 k n.
从而得增长因子为
G 1 2r sin
2
h
2
4r sin
2
h
2
( r sin
2
h
2
1)
如果 r 1 ，则
G 1 2r sin
2
h
2
i 4r sin
2
h
2
(1 r sin
2
h
2
)
从而 | G | 1 ，满足Von Neumann 条件。 但此时由于 | G | 1 ，所以Von Neumann条件只 是差分格式稳定的必要条件而非充分条件。当 r <1
二阶线性微分方程的分类
b1 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y b 2 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y c c, f f
如果选取合适的变换
1 (x, y),
2 ( x, y)
做变换
2 x y ) , 3
3 2
原方程化为
2u 1 u u 0. 6( )
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性(看其系数是否和未知函数有关)，分为线性微分 方程和非线性微分方程；
a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f 都是变量 x, y 在区域 上的实函数
2、两个自变量方程的化简
令 ( x, y), ( x, y)
D( , ) x y 且 在( x0 , y0 )处不为零。 D( x, y) x y
由于
2
(1.7 ')
如果(1.7’)存在一个解 ( x, y ) c ,根据隐函数存在定理, 有
x dy dx y
2
所以(1.7’)可以化为
dy dy a11 2a12 a22 0, dx dx
这样(1.7)的求解就化为下述常微分方程在 积分曲线问题:
a12 a11 xx a12 ( x y yx ) a22 y y 0
方程化为：
u u Au Bu Cu D.
例2：将弦振动方程化为标准形式。
解：方程 utt
特征方程:
a uxx 0 的特征线族是
2
【国家自然科学基金】_二阶双曲方程_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
2014年 科研热词 非线性偏微分方程 精确解 收敛阶 差分格式 双曲守恒律 交错网格 riccati方程 (g′/g)展开法 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词 推荐指数 齐次平衡 1 逼近分析 1 行波解 1 自适应方法 1 粘弹性方程 1 有限元 1 数学分析 1 数学 1 双曲守恒律方程 1 双函数展开法 1 二阶非协调 1 mkdv方程 1 lax-wendroff间断有限元方法 1
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
科研热词 推荐指数 误差估计 1 最优误差估计 1 扩展混合有限元 1 半离散和全离散格式 1 伪双曲方程 1 二阶双曲方程 1 h2-galerkin方法 1 h1-galerkin扩展混合有限元方法 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
科研热词 推荐指数 高精度分析 1 非行波解 1 非线性发展方程(组) 1 非协调旋转q1rot元 1 超收敛 1 计算气动声学 1 色散耗散特性 1 类wilson元 1 熵相容格式 1 最优误差估计 1 新混合元格式 1 拟线性双曲方程 1 广义(g'/g)-展开法 1 双曲守恒律 1 二阶双曲方程 1 whitham-broer-kaup-like方程组 1 weno重构 1 nodal-dg方法 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2011年 科研热词 误差估计 退化抛物-双曲方程 褶积微分算子 稳定性 熵解 数值模拟 弹性波 并行差分 各向异性介质 分裂正定式混合方法 分离算子 伪双曲方程 交替方向 三对角矩阵 kuznetsov方法 推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
双曲型方程求解方法及其应用
双曲型方程求解方法及其应用一、双曲型方程简介双曲型方程是一类二阶偏微分方程，其基本形式为:$$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$$双曲型方程的特点是存在两个独立的传播方向，解的形式通常是由两个波的叠加而成。
由于双曲型方程与空间和时间的关系有关，因此在物理、工程和科学领域中有着广泛的应用。
其中，双曲型方程的求解方法是求解偏微分方程的重要研究内容之一。
二、双曲型方程的求解方法对于双曲型方程，我们需要采取适当的数学工具来解决。
下面介绍几种常用的双曲型方程求解方法。
1. 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的常用方法之一，对于双曲型方程也可以采用分离变量法求解。
例如，我们可以假设$u(x,t)=X(x)T(t)$，将偏微分方程代入得到：$$\dfrac{T''}{T}=\dfrac{X''}{X}=-k^2$$这是两个常微分方程，可以通过求解得到$T(t)$和$X(x)$的通解，再合并得到$u(x,t)$的通解。
其中，使用的边界条件和初值条件对应具体问题的不同而有所不同。
2. 特征线法特征线法是一种求解双曲型偏微分方程的有效方法。
其基本思想是沿着方程组的特征线进行积分，将原方程转化为一维常微分方程。
例如，对于双曲型方程$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$，经过变换得到：$$\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=0$$将$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1$和$\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}=1$代入得到方程:$$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}=\dfrac{1}{2},\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{ d}u}=-\dfrac{1}{2}$$由此可以得到$x=t+c_1,u=c_2$为特征线，设$u=f(x-t)$，则原方程变成$\dfrac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d} x^2}=0$，通解为$f(x-t)=k_1 x+k_2$，因此原方程的通解为$u(x,t)=k_1 x+k_2$。
二阶双曲方程的各向异性Adini元的高精度分析
则相 应 的有 限元空 间
＝
｛ ＝。 卢 Ｊ，Ｑ ０ Ｖ Ｖ ∈， ∈ ｌ＝） Ｉ Ｖ ｈ ． Ｖ
—
ｉ ｉ ａ ＋１
，
参考单元 ，其 四个顶点坐标分别为 ｆ（ １ １ ，ａ （ 一 ） ｉ（ １和 ａ （ １１ ，四条边分别记为 ｉ 一 ， ） ２ ， １ ，ｆ １ ） ４一 ， ｌ 一 １ ３， ）
ｆ ＝
， ＝，３ ， ａ 那 ｉ１，４ａ＝１ 么， ２， ．
＋
Ｋ的 射 换 是： 仿 变
中图分 类号 ： １４ ０ ７
文献 标识 码 ：Ａ
文章编 号 ： ６ ２— ３ ２ ２０ ） １ ０２ — ４ １７ ０４ （０７ ０ — ０ １ ０
一
、
引言
二 阶双 曲方程
－
Ａ ｕ＝ｆ，
ｉ ｇｘ（，］ ｎ ２ ＯＴ ，
ｏ Ｑ×（，］ ｎａ ＯＴ ，
０，
Ｘ０＝ ） ，＝ｏ ） ｉ Ｑ ， （ ，“ Ｘ ）ｗ（ ， ｎ ． ） （Ｏ ｘ
（ ２ ）
Ｌ Ｙ ｙ／ ｏ＋ｈ ｒ
收 稿 日期 ：０６一ｌ ２０ ０一ｌ ２ 作者简介 ： 马秀芬 （９ ３一）女 ， １７ ， 河南濮阳人 ， 济源 职业技术 学院基础 部讲师 ； 石东伟 （９ ５一） 男 ， １７ ， 河南鲁 山人 ， 云南
师范大学数学学院在读硕士 。
２１
２０ ０ ７年 ３月
二阶双 曲方程的各向异性 Ａ ｉ 元的高精度分析 ｄｉ ｎ
二阶双曲方程Raviart_Thomas混合元解的整体超收敛分析_梁庆利
第２６卷第７期２００８年７月河南科学ＨＥＮＡＮＳＣＩＥＮＣＥＶｏｌ．２６Ｎｏ．７Ｊｕｌ．２００８收稿日期：２００８－０１－２１基金项目：河南省自然科学基金（０７２３００４４０１９０）作者简介：梁庆利（１９６６－），男，河南光山人，讲师，主要从事有限元方法及其研究．文章编号：１００４－３９１８（２００８）０７－０７５７－０４二阶双曲方程Ｒａｖｉａｒｔ－Ｔｈｏｍａｓ混合元解的整体超收敛分析梁庆利，张亚东（许昌学院数学科学学院，河南许昌４６１０００）摘要：利用积分恒等式和插值后处理技术，对具有Ｄｉｒｃｈｌｅｔ边值问题的二阶双曲方程，采用一阶Ｒａｖｉａｒｔ－Ｔｈｏｍａｓ混合有限元，得到了整体超收敛，并给出了后验误差估计．其收敛于精确解的速度由二阶提高到四阶．关键词：积分恒等式；二阶双曲方程；Ｒａｖｉａｒｔ－Ｔｈｏｍａｓ元；超收敛；后验误差估计中图分类号：Ｏ２４２．２１文献标识码：Ａ混合有限元方法是有限元领域中最活跃的研究分支之一，其变分形式是通过把一个高阶问题用低阶方程组代替而产生．关于二阶双曲方程以及二阶椭圆型方程的有限元方法收敛性分析已有一些研究［１－７］．但关于二阶双曲方程的混合元方法，尤其是后验误差估计还不多见．本文利用积分恒等式和插值后处理技术，对具有Ｄｉｒｃｈｌｅｔ边值问题的二阶双曲方程，采用一阶Ｒａｖｉａｒｔ－Ｔｈｏｍａｓ［８－１１］混合有限元，得到整体超收敛，并给出了后验误差估计．为了方便起见，设!是Ｒ２的有界矩形区域，其边平行于两坐标轴ｘ轴与ｙ轴．现考虑如下二阶双曲模型方程：ｕｔｔ（ｘ，ｔ）－"ｕ（ｘ，ｔ）＝ｆ，在!×（０，Ｔ］内，ｕ（ｘ，０）＝ｕ０（ｘ），ｕｔ（ｘ，０）＝ｕ１（ｘ），在!内，ｕ（ｘ，ｔ）＝０，在#!×（０，Ｔ］上!##"###$．（１）引进新变量：ｐ＝"ｕ＝（#ｕ#ｘ，#ｕ#ｙ），则（１）可重写成：ｐ－"ｕ（ｘ，ｔ）＝０，在!×（０，Ｔ］内，ｕｔｔ（ｘ，ｔ）－ｄｉｖｐ＝ｆ，在!×（０，Ｔ］内，ｕ（ｘ，０）＝ｕ０（ｘ），ｕｔ（ｘ，０）＝ｕ１（ｘ），在!内，ｕ（ｘ，ｔ）＝０，在#!×（０，Ｔ］上!####"####$，（２）其中ｄｉｖｐ＝#ｐ１#ｘ１＋#ｐ２#ｘ２，ｐ＝（ｐ１，ｐ２）．令Ｈ０（ｄｉｖ；!）＝｛ｖ∈（Ｌ２（!））２，ｄｉｖｖ∈Ｌ２（!），ｖ・ｎ＝０在#!上｝，其上范数为&ｖ&Ｈ０（ｄｉｖ；!）＝｛&ｖ&２０＋&ｄｉｖｖ&２０｝１／２．相应于（２）的变分问题为：求（ｐ，ｕ）∈Ｈ０（ｄｉｖ；!）×Ｌ２（!），使得（ｐ，ｑ）＋（ｕ，ｄｉｖｑ）＝０，’ｑ∈Ｈ０（ｄｉｖ；!），（ｕｔｔ，ｗ）－（ｄｉｖｐ，ｗ）＝（ｆ，ｗ），’ｗ∈Ｌ２（!），ｕ（ｘ，０）＝ｕ０（ｘ），ｕｔ（ｘ，０）＝ｕ１（ｘ），在!内!##"##$．（３）设Ｖｈ×Ｗｈ(Ｈ０（ｄｉｖ；!）为有限元空间．则（３）的有限元解为：求（ｐｈ，ｕｈ）∈Ｖｈ×Ｗｈ使得（ｐｈ，ｖ）＋（ｕｈ，ｄｉｖｖ）＝０，’ｑ∈Ｈ０（ｄｉｖ；!），（ｕｈｔｔ，ｗ）－（ｄｉｖｐｈ，ｗ）＝（ｆ，ｗ），’ｗ∈Ｌ２（!），ｕｈ（ｘ，０）＝ｕＩ０（ｘ），ｕｈ（ｘ，０）＝ｕＩ１（ｘ），在!内!###"###$．（４）第２６卷第７期河南科学这里ｕＩ０（ｘ）及ｕＩ１（ｘ）为ｕ０及ｕ１在Ｗｈ中的有限元插值．设Ｔｈ＝｛ｅ｝是!的矩形网格剖分，满足正则性或拟一致假设［６］．考虑Ｔｈ上的满足Ｂａｂｕｓｋａ－Ｂｒｅｅｚｉ条件的一阶Ｒ－Ｔ（Ｒａｖｉａｒｔ－Ｔｈｏｍａｓ）混合有限元空间Ｖｈ×Ｗｈ定义如下：Ｖｈ＝｛ｖ∈Ｈ０（ｄｉｖ；!）；ｖ│ｅ∈Ｑ２，１（ｅ）×Ｑ１，２（ｅ），ｅ∈Ｔｈ｝，Ｗｈ＝｛ｗ∈Ｌ２（!）；ｗ│ｅ∈Ｑ１（ｅ），ｅ∈Ｔｈ｝，其中Ｑｉ，ｊ＝ｓｐａｎ｛ｘｌｙｓ，０≤ｌ≤ｉ，０≤ｓ≤ｊ｝，Ｑｉ＝Ｑｉ，ｉ，ｉ，ｊ＝１，２．定义插值函数（ｐＩ，ｕＩ）∈Ｖｈ×Ｗｈ满足下列条件：ｌｉ&（ｐ－ｐＩ）・ｎｑｄｓ＝０，’ｑ∈Ｐ１（ｌｉ），ｉ＝１，２，３，４，ｅ&（ｐ－ｐＩ）・!＝０，’!∈Ｑ０，１（ｅ）×Ｑ１，０（ｅ），ｅ&（ｕ－ｕＩ）・ｑ＝０，’ｑ∈Ｗｈ(*****)*****+．（５）其中：ｎ是"ｅ的单位外法向量；ｌｉ（ｉ＝１，２，３，４）为单元ｅ的４条边；Ｐ１（ｌｉ）是ｌｉ上的一次多项式集合．１超逼近对于上述定义的插值函数，我们有以下引理：引理１［１］’ｐ∈Ｈ０（ｄｉｖ；!），’ｕ∈Ｌ２（!）成立（ｄｉｖ（ｐ－ｐＩ），ｑ）＝０，’ｑ∈Ｗｈ，（ｕ－ｕＩ，ｄｉｖｖ）＝０，’ｖ∈Ｖｈ；进一步，若ｐ∈（Ｈ４（!））２∩Ｈ０（ｄｉｖ；!）为（２）的解，则（ｐ－ｐＩ，ｖ）＝Ｏ（ｈ４）-ｐ-４-ｖ-０，’ｖ∈Ｖｈ．有了以上准备工作，可以得到其超逼近性质．定理１设（ｐ，ｕ）∈Ｈ０（ｄｉｖ；!）×Ｌ２（!），（ｐｈ，ｕｈ）∈Ｖｈ×Ｗｈ分别为（３）式和（４）式得解，且ｐ，ｐｔ∈（Ｈ４（!））２，则-ｐｈ－ｐＩ-０≤Ｃｈ４｛-ｐ（０）-２４＋ｔ０&-ｐ-２４ｄｓ｝１／２，-ｕｈ－ｕＩ-０≤Ｃｈ４｛ｔ０&ｓ０&（-ｐ（０）-＋-ｐ-２４２４）ｄｔｄｓ＋ｔ０&ｓ０&ｒ０&-ｐｔ-２４ｄｔｄｒｄｓ｝１／２．证明由（３），（４）及（５）式得（ｕｈｔｔ－ｕＩｔｔ，ｗ）－（ｄｉｖ（ｐｈ－ｐＩ），ｗ）＝０，’ｗ∈Ｗｈ，（６）（ｐｈ－ｐＩ，ｑ）＋（ｕｈ－ｕＩ，ｄｉｖｑ）＝（ｐ－ｐＩ，ｑ），’ｑ∈Ｖｈ．（７）令"＝ｕｈ－ｕＩ，#＝ｐｈ－ｐＩ，并对（７）式两端微分得（#ｔ，ｑ）＋（"ｔ，ｄｉｖｑ）＝（ｐｔ－ｐＩｔ，ｑ），’ｑ∈Ｖｈ．（８）在（６）式及（７）式中，取ｗ＝"ｔ，ｑ＝#，两式相加１２ｄ-"ｔ-２０ｄｔ＋１２ｄ-#-２０ｄｔ＝（ｐｔ－ｐＩｔ，#），上式两端对ｔ积分，注意到"（０）＝ｕｈ（ｘ，０）－ｕＩ０（ｘ）＝０，"ｔ（０）＝ｕｈｔ（ｘ，０）－ｕＩ１（ｘ）＝０，-"ｔ-２０＋-#-２０≤Ｃｈ８ｔ０&-ｐｔ-２４ｄｓ＋-#（０）-２０＋Ｃｔ０&-#-２０ｄｓ．（９）在（７）式中，取ｔ＝０，ｑ＝#（０），则有-#（０）-０≤Ｃｈ４-ｐ（０）-４．（１０）由（９）及（１０）式和Ｇｒｏｎｗａｌｌ引理，得７５８－－２００８年７月梁庆利等：二阶双曲方程Ｒａｖｉａｒｔ－Ｔｈｏｍａｓ混合元解的整体超收敛分析!!ｔ!２０＋!!!２０≤Ｃｈ８｛!ｐ（０）!２４＋ｔ０#!ｐｔ!２４ｄｓ｝．（１１）在（６）及（７）式中，取ｗ＝!，ｑ＝!，两式相加ｄ（!ｔ，!）ｄｔ－!!ｔ!２０＋!!!２０＝（ｐｔ－ｐＩ，!）．（１２）在（１２）式中，利用Ｙｏｕｎｇ不等式，两端对ｔ积分得１２ｄ!!!２０ｄｔ≤Ｃｈ８ｔ０$%ｐ!２４ｄｓ＋ｔ０$!!ｔ!ｄｓ，两端再对ｔ积分得!!!２０≤Ｃｈ８ｔ０$ｓ０$!ｐ!２４ｄｔｄｓ＋ｔ０$ｓ０$!!ｔ!２０ｄｔｄｓ．（１３）由（１１）及（１３）式得!ｐｈ－ｐＩ!０≤Ｃｈ４｛!ｐ（０）!２４＋ｔ０$!ｐ!２４ｄｓ｝１／２，（１４）!ｕｈ－ｕＩ!０≤Ｃｈ４｛ｔ０$ｓ０$（!ｐ（０）!２４＋!ｐ!２４）ｄｔｄｓ＋ｔ０$ｓ０$ｒ０$!ｐｔ!２４ｄｔｄｒｄｓ｝１／２．（１５）注：直接由!＝!（０）＋ｔ０$!ｔ（）ｄ及（１１）式得（１５）式估计的另一种形式：!ｕｈ－ｕＩ!０≤Ｃｈ４｛ｔ０$!ｐ（０）!２４＋ｔ０$ｓ０$!ｐｔ!２４ｄｔｄｓ｝１／２．２整体超收敛在定理１整体超逼近的基础上，我们现在利用一种插值后处理方法来获得整体超收敛［１］．为了取得整体超收敛，构造如下插值后处理算子Ｉ２ｈ来实现．设Ｔ２ｈ是由Ｔｈ将相邻４个单元合并成一个大单元ｅ&＝４ｊ＝１’ｅｊ而得到的．Ｉ２ｈ定义如下：(ｖ∈Ｈ０（ｄｉｖ；ｅ&），Ｉ２ｈ由以下条件确定：Ｉ２ｈｖ│ｅ&∈Ｑ４，３×Ｑ３，４，ｌｉ$（Ｉ２ｈｖ－ｖ）・ｎｑｄｓ＝０，(ｑ∈Ｐ１（ｌｉ），ｉ＝１，２，…，１２，ｅｉ$（Ｉ２ｈｖ－ｖ）・"，("∈Ｑ０，１×Ｑ１，０，ｊ＝１，２，３，４+----,----.．（１６）其中ｌｉ（ｉ＝１，２，…，１２）是４个小单元ｅｊ（ｊ＝１，２，３，４）的所有边．这样构造的插值算子可以证明具有以下性质［８］：Ｉ２ｈｗＩ＝Ｉ２ｈｗ，%Ｉ２ｈｗ－ｗ%０≤Ｃｈ４%ｗ%４，%Ｉ２ｈｖ%０≤Ｃ%ｖ%０，(ｖ∈Ｖｈ+--,--.．（１７）定理２在定理１的假设下，设ｐ，ｐｔ∈（Ｈ４（#））２，则有下式成立：%Ｉ２ｈｐｈ－ｐ%０≤Ｃｈ４｛%ｐ（０）%２４＋ｔ０#%ｐｔ%２４ｄｓ｝１／２＋Ｃｈ４%ｐ%４，（１８）%ｐｈ－ｐ%０≤%ｐｈ－Ｉ２ｈｐｈ%０＋Ｏ（ｈ４）．（１９）证明注意到Ｉ２ｈｐｈ－ｐ＝Ｉ２ｈｐｈ－Ｉ２ｈｐＩ＋Ｉ２ｈｐＩ－ｐ及ｐｈ－ｐ＝ｐｈ－Ｉ２ｈｐｈ＋Ｉ２ｈｐｈ－ｐ，由（１７）式及（１５）式得%Ｉ２ｈｐｈ－ｐ%０≤%Ｉ２ｈ（ｐｈ－ｐＩ）%０＋%Ｉ２ｈｐＩ－ｐ%０≤Ｃ%ｐｈ－ｐＩ%０＋Ｃｈ４%Ｉ２ｈｐ－ｐ%０≤７５９－－第２６卷第７期河南科学Ｃｈ４｛!ｐ（０）!２４＋ｔ０"!ｐｔ!２４ｄｓ｝１／２＋Ｃｈ４!ｐ!４，（２０）由（２０）式得!ｐｈ－ｐ!０≤!ｐｈ－Ｉ２ｈｐｈ!０＋Ｏ（ｈ４）．从而定理得证．致谢：衷心感谢郑州大学数学系石东洋教授的悉心指导．参考文献：［１］林群，严宁宁．高效有限元构造与分析［Ｍ］．石家庄：河北大学出版社，１９９６．［２］ＣｉａｒｌｅｔＰＧ．Ｔｈｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｆｏｒｅｌｌｉｐｔｉｃｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｍ］．Ｎｏｒｔｈ－Ｈｏｌｌａｎｄ：Ａｍｓｔｅｒｄａｍ，１９７８．［３］林群，林甲富．二阶方程Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边值问题混合元的超收敛［Ｊ］．数学研究，２００１，３４（４）：３６０－３６４．［４］ＬｉｎＱ，ＹａｎＮ，ＺｈｏｕＡ．Ａｒｅｃｔａｎｇｌｅｔｅｓｔｆｏｒｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄｆｉｎｅｔｅｅｌｅｍｅｎｔｓ［Ｍ］．ＨｏｎｇＫｏｎｇ：ＰｒｏｃＳｃｉ＆ＳｙｓＥｎｇｒｇ，ＧｒｅａｔＷａｌｌＣｕｌｔｕｒｅＰｕｂｌＣｏ，１９９１．［５］王烈衡，许学军．有限元方法基础［Ｍ］．北京：科学出版社，２００４．［６］李开泰，黄艾香，黄庆怀．有限元方法及其应用［Ｍ］．西安：西安交通大学出版社，１９８４．［７］王瑞文．双曲型方程的Ｈ１－Ｇａｌｅｒｋｉｎ混合有限元法［Ｊ］．首都师范大学学报，２００６，２７（２）：５－１１．［８］ＴｈｏｍéｅＶ．Ｇａｌｅｒｋｉｎｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｔｈｏｄｓｆｏｒｐａｒａｂｉｌｉｃｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｍ］．ＢｅｒｌｉｎＨｅｉｄｅｌｂｅｒｇ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１９９７．［９］ＴｈｏｍéｅＶ，ＸｕＪ，ＺｈａｎｇＮ．Ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｔｈｅｇｒａｄｉｅｎｔｉｎｐｉｅｃｅｗｉｓｅｌｉｎｅａｒｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｔｏａｐａｒａｂｏｌｉｃｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．ＳＩＡＭＪＮｕｍｅｒＡｎａｌ，１９８９（２６）：５５３－５７３．［１０］ＴｈｏｍéｅＶ，ＺｈａｎｇＮ．Ｅｒｒｏｒｅｓｔｉｍａｔｅｓｆｏｒｓｅｍｉｄｉｓｃｒｅｔｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｐａｒａｂｏｌｉｃｉｎｔｅｒｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＭａｔｈＣｏｍｐ，１９８９（５３）：１２１－１３９．［１１］ＬｉｎＹ，ＴｈｏｍéｅＶ，ＷａｈｌｂｉｎＬ．Ｒｉｔｚ－Ｖｏｌｔｅｒｒａｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｏｎｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｓｐａｃｅｓａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏｉｎｔｅｒｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌａｎｄｒｅｌａｔｅｄｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭＪＮｕｍｅｒＡｎａｌ，１９９１（２８）：１０４７－１０７０．ＡｎａｌｙｓｉｓｆｏｒｔｈｅＧｌｏｂａｌＳｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｔｈｅＲａｖｉａｒｔ－ＴｈｏｍａｓＭｉｘｅｄＥｌｅｍｅｎｔＳｏｌｕｔｉｏｎｔｏＳｅｃｏｎｄＯｒｄｅｒＨｙｐｅｒｂｏｌｉｃＥｑｕａｔｉｏｎＬｉａｎｇＱｉｎｇｌｉ，ＺｈａｎｇＹａｄｏｎｇ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＸｕｃｈａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｕｃｈａｎｇ４６１０００，ＨｅｎａｎＣｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅｆｉｒｓｔｏｒｄｅｒＲａｖｉａｒｔ－ＴｈｏｍａｓｍｉｘｅｄｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｔｏｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈＤｉｒｃｈｌｅｔｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｉｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅｇｌｏｂａｌｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｉｓｏｂｔａｉｎｅｄａｎｄｔｈｅｐｏｓｔｅｒｉｏｒｉｅｒｒｏｒｅｓｔｉｍａｔｅｓａｒｅａｌｓｏｄｅｒｉｖｅｄｂｙｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｌｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓａｎｄｔｈｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄｐｏｓｔｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅ．Ａｓａｒｅｓｕｌｔ，ｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｒａｔｅｉｓｏｆｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎａｎｄｉｔｓｇｒａｄｉｅｎｔｏｆｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｉｍｐｒｏｖｅｄｆｒｏｍｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｔｏｆｏｕｒｔｈｏｒｄｅｒ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｎｔｅｇｒａｌｉｄｅｎｔｉｔｙ；ｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｒａｖｉａｒｔ－Ｔｈｏｍａｓｅｌｅｍｅｎｔ；ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ａｐｏｓｔｅｒｉｏｒｉｅｒｒｏｒｅｓｔｉｍａｔｅ７６０－－。
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。
说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。
2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。
其渐近线方程为y＝±x 。
等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。
5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。
高中数学双曲线知识点归纳总结
，
，
对称轴
轴 ， 轴；实轴长为 ,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标
焦点在实轴上， ；焦距：
顶点坐标
（ ,0） ( ,0)
(0, ,) (0， )
离心率
1)
准线方程
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
顶点到准线的距离
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点到准线的距离
8.
(
（2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .
（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .
9. 直线与双曲线的位置关系
直线 ： 双曲线C： （ ＞0， ＞0）
1)当 ，即 时，直线 与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C相交于一点；
2)当b2-a2k2≠0，即 时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)
仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;
俯视大地时，什么都比你低，你会自负;
只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，
才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
工作好，才有好的生活！）
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(1)点 在双曲线 的内部 .
(2)点 在双曲线 的外部 .
4. 形如 的方程可化为
当 ，双曲线的焦点在 轴上；
当 ，双曲线的焦点在 轴上；
5.求双曲线的标准方程，
应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
6.离心率与渐近线之间的关系
1） 2）
若2a=2 时，即 ,当 ，动点轨迹是以 为端点向右延伸的一条射线；当 时，动点轨迹是以 为端点向左延伸的一条射线；
双曲线的方程(基础)
双曲线的方程一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程；●掌握双曲线的定义和标准方程；●能利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题.学习策略：●学习双曲线的定义、标准方程时,要注意与椭圆的定义、标准方程进行类比,找出它们的不同点,对比记忆,以防混淆.●深刻理解双曲线的定义及标准方程是我们以后继续学习的基础及预备知识.二、学习与应用1、椭圆定义：平面内一个动点P到两个定点1F、2F的这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.2、椭圆的标准方程：当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：，其中222c a b=-.要点一、双曲线的定义在平面内，到两个定点1F、2F的（a大于0且122a F F<）的动点P的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F、2F叫双曲线的“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．要点梳理——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID：#29611#398986知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.要点诠释：1. 双曲线的定义中，常数2a 应当满足的约束条件：12122PF PF a F F -=<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=<（0a >），则动点轨迹仅表示 ；21122PF PF a F F -=<（0a >），则动点轨迹仅表示3. 若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -==，则动点轨迹是；4．若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=>，则动点轨迹不存在；5．若常数0a =，则动点轨迹为 .要点二、双曲线的标准方程标准方程的推导：如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1) 建系设点取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴（2）建立直角坐标系.设M(x ，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c ＞0)，那么F 1、F 2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数.(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：(3)代数方程∵222212||(),||(),MF x c y MF x c y =++=-+ ∴2222()()2x c y x c y a ++--+=±(4)化简方程将这个方程移项，两边平方得：2222222()44()()x c y a a x c y x c y ++=±-++-+化简得：两边再平方，整理得：(c 2-a 2)x 2-a 2y 2=a 2(c 2-a 2).(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.)由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设c 2-a 2=b 2(b ＞0)，代入上式得：b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2. 即22221x y a b -=(0,0)a b >>，其中c 2= ．这就是双曲线的标准方程.双曲线的标准方程：1.当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程：22221x y a b -=(0,0)a b >>，其中222c a b =+；2.当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：22221y x a b -=(0,0)a b >>，其中222c a b =+椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线根据根据a ＞c ＞0， a 2－c 2=b 2（b ＞0） 0＜a ＜c ，c 2－a 2=b 2（b ＞0）22221x y a b +=， 22221y x a b += （a ＞b ＞0） 22221x y a b -=，22221y x a b -=（a ＞0，b ＞0，a 不一定大于b ）2a = （a 最大） 2c = （c 最大）标准方程统一为：方程Ax 2+By 2=C （A 、B 、C 均不为零）表示双曲线的条件方程Ax 2+By 2=C 可化为221Ax By C C+=，即221x y C C A B +=， 所以只有 ，方程表示双曲线。
双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（ ）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m ， 代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ， 即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤． 题型四 已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0， 双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=， 所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =， 又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=， 故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=， 所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（ ）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六 求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+， 于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________． 【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ， 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=， 得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上， 设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ， 当2πθ=时，||||0ME NE -=； 当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a， 因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-， 分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立， 求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________． 【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）． 故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________． 【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可 【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=， 所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-， 与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =， 所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-， 化简得2121133k =-，即213k =， 因为0k >， 所以33k =， 故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩， 则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=， 又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+， 即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=， 则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-， 则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =， 又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。
双曲型方程的差分方法
4、Courant-Friedrichs-Lewy条件
由差分方程解的依赖区域与微分方程解的依赖区域 的关系导出的差分方程收敛的必要条件
一般的，双曲 差型 分方 格程 式 unj， 的 中会 的 涉及到初 u0jl,值 u0jl： 1,u0j,u0jm
那 么 x轴 上x的 jl,xjm内 的 节 点 ， 即程 是 差 分
程的特征线。
t
(x0 ,t0)
x –at=
0 (x0 -at0 ,0)
x
采用对流方程开始研究双曲型方程的数值解法的原因：
第一、对流方程非常简单，对它的研究是探讨更复杂 的双曲型方程（组）的基础。 第二、，尽管对流方程简单，但是通过它可以看到双 曲方程在数值计算中特有的性质和现象。 第三，利用它的特殊的、复杂的初值给定，完全可以 用来检验数值方法的效果和功能。 第四、它的差分格式可以推广到变系数双曲方程（组） 以及非线性双曲方程领域。
实际上| a | 1 也是稳定性的充分条件
5、 利用特征线构造差分格式
设ttn层上各网 A,B,格 C,D点 上得 un j已计算出 现 计t 算 tn1层 上 P点 的un j值 1：
设 a0，P 过 向 下 作 x特 a t x征 j a线 nt
交 ttn于 Q 点 ，U则 PU 有 Q。
AB CD Q
n
j-2 j-1 j j+1 j+2
a>0
a>0
若引入:
ama i,0 n 1 2aa 0 a
a0 a0
ama a ,0x 1 2aa 0 a
a0 a0
迎 风 格 式 可 统 一 成 ： 适 用 于 变 系 数 的 情 形
unj1unj aunj unj1aunj1unj 0,
双曲函数
(sinh(x))'=cosh(x) (cosh(x))'=sinh(x) (tanh(x))'=sech^2(x) (coth(x))'=-csch^2(x) (sech(x))'=-sech(x)tanh(x) (csch(x))'=-csch(x)coth(x) (arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1) (arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1) (x>1) (arctanh(x))'=1/(1-x^2) (|x|<1) (arccoth(x))'=1/(1-x^2) (|x|>1)
编辑本段双曲函数与三角函数的关系
双曲函数与三角函数有如下的关系: * sinh x = -i * sin(i * x) * cosh x = cos(i * x) * tanh x = -i * tan(i * x) * coth x = i * cot(i * x) * sech x = sec(i * x) * csch x = i * csc(i * x) i 为虚数单位,即 i * i = -1
编辑本段双曲函数与反双曲函数的不定积分
∫sinh(x)dx=cosh(x)+c ∫cosh(x)dx=sinh(x)+c ∫sech^2(x)dx=tanh(x)+c ∫csch^2(x)dx=-coth(x)+c ∫sech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+c ∫csch(x)coth(x)dx=-csch(x)+c ∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+c ∫coth(x)dx=ln|sinh(x)|+c ∫sech(x)dx=arctan(sinh(x))+c=2arctan(e^x)+c1=2arctan(tanh(x/2))+c2 ∫csch(x)dx=ln|coth(x)-csch(x)+c=ln|tanh(x/2)|+c ∫[1/sqrt(x^2+1)]dx=arcsinh(x)+c=ln(x+sqrt(x^2+1))+c ∫[1/sqrt(x^2-1)]dx=sgn(x)arccosh|x|+c=ln|x+sqrt(x^2-1)|+c (sgn是符号函数.sgn(x)=x/|x|,x≠0;sgn(x)=0,x=0)
第二章(2)双曲线知识梳理
6．如图所示，某农场在M处有一堆肥料沿道路MA或MB送到大田ABCD中去，已知|MA|=6，|MB|=8，|BC|=3， ，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿MA送肥料较近，而另一侧沿MB送肥料较近？若能，请建立适当的直角坐标系，求出这条界线的方程.
[能力提升]
1．若 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的( )
（2）若直线 与曲线 有两个公共点，求 的取值范围；
（3）若 ， 为曲线 上的点，求 的最小值.
例3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在 轴上，点 与其渐近线的距离为 ，过点P作斜率为 的直线交双曲线于 两点，交 轴于M，且 是 与 的等比中项.
（1）求双曲线 的渐近线方程；
（2）求双曲线 的方程.
［剖析］(1)由点 与其渐近线的距离为 ，借助于点到直线的距离公式可求得其渐近线方程；(2)由渐近线方程，可设双曲线方程，再借助于题条件，不难得到双曲线方程。
4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.
5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是 ± =0，则可把双曲线方程表示为 － = （ ≠0），再根据已知条件确定 的值，求出双曲线的方程.
［解］解：（I）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则
则
即A、C两个救援中心的距离为
（II） ，所以P在BC线段的垂直平分线上
又 ，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且
∴双曲线方程为
BC的垂直平分线的方程为 联立两方程解得：
双曲线及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
其中一个焦点F1的距离为10,点N是PF1的中点,O为坐标原点,则
|ON|=
.
2
(2)已知双曲线16
−
2
=1 上有一点
则△PF1F2 的面积 S 为
.
π
P,F1,F2 是双曲线的焦点,且∠F1PF2=3 ,
解析:(1)因为ON是△PF1F2的中位线,
1
所以|ON|= |PF2|.
2
因为||PF1|-|PF2||=8,|PF1|=10,
∴
解得
4 + 25 = 1,
=
∴双曲线的标准方程为
2
8
,
7
1
-7,
2
=1.
7 −
7
8
2
(2)设所求双曲线的方程为4-
4
∵双曲线过点(2,1),∴4-
−
2
=1(-2<λ<4).
2+λ
1
− 2+ =1,解得
2
∴所求双曲线的方程为
3
−
2
=1.
3
λ=-4(舍)或 λ=1,
探究二
双曲线的定义及其应用
k=4,故所求双曲线方程为12
2
− 8 =1.
反思感悟 1.求双曲线标准方程的步骤
(1)确定双曲线的类型,并设出标准方程.
(2)求出a2,b2的值.
2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时,需分焦点在x轴上和y轴上两种
情况讨论.特别地,当已知双曲线经过两个点时,可设双曲线方程为
Ax2+By2=1(AB<0)来求解.
因此所求动圆圆心 M 的轨迹方程为
2
x2- 8 =1(x≤1).
二阶双曲方程 差分格式 加权格式
二阶双曲方程是一类重要的偏微分方程，在波动传播、振动以及非线性动力学等领域中都有广泛的应用。
在数值计算中，为了模拟和解决这类方程，常常需要应用差分格式和加权格式进行离散化和数值求解。
我们来看看二阶双曲方程的基本形式。
二阶双曲方程通常可以表示为：\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2u}{\partial x^2}\]其中，\(u\) 是受扰动作用的物理量，\(t\) 和 \(x\) 分别表示时间和空间变量，\(c\) 为波速。
对于这样的方程，我们需要在计算中采用差分格式进行离散化，以便在计算机上进行数值求解。
差分格式是一种常用的数值计算方法，它通过将微分方程中的导数项用差分来近似，将连续的问题转化为离散的问题，从而可以利用计算机进行计算。
在处理二阶双曲方程时，我们可以采用中心差分、向前差分或向后差分等方法来进行离散化，从而得到关于时间和空间变量的差分方程。
在差分格式的基础上，加权格式则是一种更加精细的数值求解方法。
通过引入加权函数或权重，加权格式可以更好地控制误差，并提高数值计算的精度和稳定性。
在处理二阶双曲方程时，我们可以利用加权格式来进行数值求解，以获得更精确的计算结果。
在实际的数值计算和应用中，我们常常会遇到二阶双曲方程在波动传播、地震模拟、弹性波动、声波传播等领域的应用。
对于不同的问题和应用，我们需要选择合适的差分格式和加权格式，并结合具体的数值算法来进行求解。
这不仅需要对数值方法有深入的理解，还需要对待求解的问题有深入的认识和分析。
个人观点和理解是，二阶双曲方程的数值求解是一个非常重要且具有挑战性的问题。
差分格式和加权格式作为数值求解的基本方法，在解决二阶双曲方程时发挥着重要的作用。
在实际的科学计算和工程应用中，需要不断深化对此类方程和数值方法的研究，以便更好地解决实际问题并推动学科的发展。
通过对二阶双曲方程、差分格式和加权格式的全面评估和探讨，我们可以更深入地理解这些内容，并为今后的学习和应用奠定坚实的基础。
二阶退化双曲型方程组的darboux型问题
二阶退化双曲型方程组的darboux型问题
二阶退化双曲型方程组的Darboux型问题是指存在一种变换，将原方程组变换为一组具有特殊形式的方程组，这组方程组的解可以由原方程组的解和一些特殊解组合得到。
这个变换称为Darboux变换。
一般来说，二阶退化双曲型方程组的Darboux型问题的研究需要借助于Darboux变换的定义和性质，这些性质通常包括：可逆性、自消除性、可合并性等。
在研究中，需要构造一组符合要求的变量替换，然后通过这个替换将原方程组转化为一组新的方程组，从而得到Darboux型问题的解。
通常情况下，这种解可以表示为原方程组的解和一些特殊解的线性组合形式。
二阶退化双曲型方程组的Darboux型问题的研究对于深入理解方程组的解结构和特征起到了重要的作用。
同时，它也可以为相关领域的研究提供有力的数学工具和方法。
双曲线方程中abc的几何意义
双曲线方程中abc的几何意义1. “哎呀，你们知道双曲线方程里的 a 嘛，它就像一个超级英雄的力量值一样重要呢！比如说，就像我们跑步比赛，a 决定了我们能跑多快多远呀！”- 例子：在运动会上，我和小伙伴们都在准备跑步比赛，我就想着双曲线里的 a 呀，要是我能像它一样决定速度该多好。
2. “嘿，b 呀，那可是双曲线的独特标志呢！就好像我们每个人的特点一样，独一无二！比如我喜欢画画，这就是我的 b 呀！”- 例子：美术课上，我正专心画着画，突然想到了双曲线的 b，觉得它和我画画的爱好一样特别。
3. “哇塞，c 可厉害了！它就像是我们班级里的班长一样，有着重要的地位呢！好比选班长时，c 就是那个最关键的因素呀！”- 例子：班级竞选班长时，大家都很紧张，我就想到了双曲线的 c，感觉它也是决定很多东西的关键呢。
4. “你们想想，a 不就是我们的梦想嘛，有大有小，各不相同！像我梦想成为科学家，这就是我的大 a 啦！”- 例子：看着科技馆里的各种发明，我对小伙伴说我要当科学家，心里想着双曲线的 a 也是这样引领着曲线呢。
5. “b 不就像我们的小脾气嘛，每个人都不一样，还都挺有趣呢！就像我偶尔的小倔强，那就是我的 b 呀！”- 例子：和朋友闹别扭时，我撅着嘴，突然就想到了双曲线的 b，还挺有意思的。
6. “哎呀呀，c 简直就是我们的主心骨呀！就像我们的老师一样重要！比如老师指导我们学习，那就是 c 的作用呀！”- 例子：课堂上老师认真讲解知识，我一边听一边想着双曲线的 c 也是这样支撑着整个体系呢。
7. “你们说，a 是不是像我们的快乐呀，有时多有时少，但都很珍贵！像我得到喜欢的礼物时，那就是大大的 a 呀！”- 例子：生日收到心仪的礼物，我开心极了，这时候就觉得和双曲线的 a 一样让人开心。
8. “b 不就像我们的小秘密嘛，每个人都有呢！像我藏起来的糖果，那就是我的 b 哟！”- 例子：我偷偷把糖果藏起来，还想着这和双曲线的 b 一样是属于我自己的呢。
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a 0 S AS 0 a
1
故A是严格双曲型的。
§4.2 波动方程的显式差分格式
可以简单的用二阶中心差商近似方程：
1 n n 1 un 2 u u j j j
微分方程解的依赖区域： [ x j atn , x j atn ]
CFL条件：
| a | 1
显示格式的稳定性条件为：
| a | 1
注：CFL条件是稳定性的必要条件
§4.4 等价一阶齐次方程组的差分格式
2 2u u 2 对于原二阶波动方程： a 0 2 2 t x
u u 引入：v ，w a t x
2
a
n n n u 2 u u j 1 j j 1 2
h
2
0
这是一个二阶格式。称为显式差分格式。
初始条件的离散: 此时初始条件也应作二阶离散。
u 0 j f j f x j 1 1 u j u j gj 2
0
可设：
1 其中u j 是虚构的。
将差分格式写成矩阵形 式，有：
2 2 2 2 2 2 2 1 a 1 a 0 a 0 n n 1 n n uj u j 1 u j 1 uj 0 0 1 0 0 0
2 2 2 kh 2 4a sin 那么增长矩阵为：G ，k 2 1 特征值
n j
当a 1时，稳定。
v w T a 0 如果令： u v , w t x u u w a v 0 上述方程组可以写成： A 0 x t t x 0 a 其中：A a 0
且特征值1 a，2 a
于是得到传播矩阵G （,k）不是正规的。计算可得其特征值为
2 c 2 ic 4 c 2 1， 2 2
1：当a 1时，此时格式稳定的。
2：当a 1时，此时格式是不稳定的。
3:Lax-Friedrichs 格式
n1 1 n n n n u j u j 1 u j 1 u j 1 u j 1 2 A 0 2h
u 如果考虑初始条件：u x ,0 f x ， x ,0 g x t
则其解析解为： 1 1 x at u x , t f x at f x at g d 2 2a x at
解析解为： 1 1 x at u x, t f x at f x at g d 2 2a x at
1 wn j
1 n v a w n w j 1 j 1 2 1 2 2 n n a v j 1 2v n v j j 1 2 1 n n w j a v n v j 1 j 1 2 1 2 2 n n a wn 2 w w j 1 j j 1 2
直线族 x at const, x at const是方程的两族特征线
u x , t 的 依赖区间
化为等价一阶齐次方程组：
2 2u u 2 对于原二阶波动方程： a 0 2 2 t x u u 引入：v ，w a t x
则方程化为： w v a 0 t x w a v 0 x t
相应的特征方程为：d x a d t 0，利用特征方程可
2 2 2
以得到两族特征线：x at ，x at
如果u沿特征线的偏导数分别 表示为： u u u u u 2 u （ ） a（ 2 2 2） 2 t t t t
n un u j j 1
h
,
w v a 0 t x w a v 0 x t
将v关于t的偏导数用向前差商代替,v关于x的偏导数 用向后差商代替,w关于t的偏导数用向前差商代替 w关于x的偏导数用中心差商代替.于是有
n 1 n wn 1 wn 1 j j vj vj 2 2 a h n 1 n w w n 1 n 1 j1 1 j v v j j 1 2 2 a h
则方程化为： w v a 0 t x w a v 0 x t
0 a 其 中： A a 0 且特征值1 a，2 a
T 如果令： u v , w u u 上述方程组可以写成： A 0 t x
1 0
1,2
பைடு நூலகம்
kh 2 2 2 kh 2 2 2 kh 1 2a sin a sin 1 4a sin 2 2 2
2 2 2
当 |a | 1时，
结论:
1,2 1
当a 1时，格式稳定；
当a＝ 1 , 格式不稳定。
§4.3 波动方程的 C.F.L 条件
2 2 2 2
u u u u u u （ ） 2 2 2 2 x x x x
2 2 2 2
2u 从原微分方程可以得到： 0，
方程的通解形式： （ u x，t） （ f1 ） g （ （ f1 x at） g1 ( x at ) 1 ）
1 1 1 1 1 1 S , S 2 1 1 1 1
a 0 S AS 0 a
1
故A是严格双曲型的，第二节中方法可用。
1.显式格式
令v
n j n 1 un u j j
, w
n 1 j 2
a
但有
1 u1j u j
2
u 2 O t j
0 0 u0 2 u u j 1 j j 1
在差分方程中，令n 0，得：
0 1 u1 2 u u j j j
2
a2
h
2
0
0 1 u1 2 u u j j j
n 1 1 n n n n v v v j 1 j 1 w w j j 1 j 1 2 a 0 2h 具体地： w n 1 1 w n w n n n j j 1 j 1 v v j 1 j 1 2 a 0 2h
取
则有
n ikjx vn a e j n ikjx n w j b e
ic a n a n1 1 n1 2 n b ic 1 c b
kh 其中c 2a sin 2
第四节 二阶双曲型方程
§4.1 波动方程的初值问题
波动方程的初值问题：
2 2u u 2 t 2 a x 2 0 u x, 0 f x u x, 0 g x t
a 0, x R, t (0, T ] xR xR
2u 2 u 相应的差分格式为： LhU 0 对 于 方 程 ，2 a ， 2 t x
0 0 若第 n层的计算值，依赖于第 0层的 u0 , u , , u j m j m1 j l。
则区间x j m , x j l 称为 un j 的依赖区间。
x j , t n 的 两 条 特 征 值 经过点 x at x j atn 与x轴 的 交 点
n1
下面进行稳定性分析：
1 2 2 n n n n n 1 un a u 2 u u 2 u u j j 1 j j 1 j j
三层格式（方程）化为二层格式（方程组）
n n n T 令：w u ，u j u j , w j ,
n j n 1 j
与
1 j
2
a2
0 0 u0 2 u u j 1 j j 1
h
2
0
1 u1 u j j
2
g j联 立 ， 得
h
1 2 2 u a f j 1 f j 1 1 a 2 2 f j g j 2
故有差分方程：
1 2 2 n n n n n 1 un a u j 1 2 u j u j 1 2u j u j j 1 1 2 2 2 2 u a f f 1 a f j gj j j 1 j 1 2
落入依赖区间 x j m , x j l 是 格 式 稳 定 的 必 要 条 。 件
那么，
即： [x j -atn，x j +atn ] x j m , x j l
分析显示格式的CFL条件
差分方程解的依赖区域：x j n , x j n1 ,......., x j n1, x j n
当a 1时，稳定。
4:Lax-Wendroff格式
1 2 2 n n1 n 1 n n n n u j u j A( u j 1 u j 1 ) A ( u j 1 2u j u j 1 ) 2 2
分量形式： v
n 1 j