《三角形的中位线》ppt
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三角形中位线课件.ppt
B
F
C
探究活动
1、 三角形三条中位线围成的三角 形的周长与原三角形的周长有什么 关系？ 2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F （中点）
C
例 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线 互相平分.
已知：△ABC中,AD=DB，BE=EC，AF=FC. 求证：AE与DF互相平分.
A
B
中位线定理应用
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC， P是对角线BD的中点，M是DC的中点， N是AB的中点．求证∠1＝∠2．
典例示范
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点. 猜想四边形EFGH的形状并证明。
A E H
答： 四边形EFGH为平行四边形。
65 度，为什么？ ①若∠ ADE=65°，则∠ B= ③ 若AC=4cm,BC=6cm ，AB=8cm ， 9cm 则△DEF的周长=______ BC=8cm，则DE= 4 cm，为什么？ E ②若 12 ④ 若△ABC的周长为24，△DEF的周长是_____
3 个平行四边形 ⑤ 图中有_____ 6 ⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_____
1 ∴DE∥BC且DE= 2 BC
B B A E D E
C
D
F
C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
E
C
D
B
∵DE是△ABC的中位线 （或AD=BD,AE=CE) 1 DE// BC 2
用 途
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
三角形中位线ppt
01
总结了中位线定理在各种几何问题中的应用，包括平行四边形
、矩形、菱形和梯形等。
中位线定理在代数中的应用
02
讲解了中位线定理在代数问题中的应用，包括线性方程组、矩
阵和多项式等。
中位线定理的推广和变式
03
探讨了中位线定理的推广和变式，包括中位线定理的推广定理
和各种变式，如梯形中位线定理等。
数学学习的个人建议
THANKS
要点二
利用中位线定理解决立体几何问 题
例如在四面体ABCD中，E、F、G分别为AB、AC、AD 的中点，求证$EG \perp BF$。由中位线定理可知$EG = \frac{1}{2}BC$，进而由勾股定理可知$\angle EGF = 90^{\circ}$，即$EG \perp BF$。
中位线定理的应用拓展
中位线定理的推广
设D、E、F为$\bigtriangleup ABC$三边的中点
中位线定理在现代数学中的应 用
例如在微积分学中，可以利用中位线定理证明一些与面 积和长度有关的定理，如Green公式、Gauss-Bonnet 积分公式等。此外，在代数学和线性代数中，中位线定 理也有广泛的应用。
05
总结与展望
三角形中位线的性质
三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
三角形中位线的平方等于两边平方和减去底边平方的1/4.
三角形中位线定理
三角形中位线定理是指一个三角形任意两边中点的连线平 行于第三边且等于第三边的一半。
三角形中位线定理可以用于证明一些关于三角形中位线的 问题，例如两个三角形相似或者一个四边形是平行四边形 等结论。
本课程主要内容总结
三角形的定义和分类
总结了三角形的定义、分类和常用性质。
三角形的中位线课件(共22张PPT)
D
A E F
C
DF//BC DE// 1 BC
2
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
1 DE // BC 求证： 2
证法三：延长DE到点F，使EF=DE，
A
D E
连结AF、CF、CD
∵AE=EC∴DE=EF F ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD∥=FC
C 又D为AB中点，∴DB∥=FC 所以，四边形BCFD是平行四边形
菱形
A
什么叫三 角形的中位 线呢？
D B
E C
三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线。 画出△ABC中所有的中位线
画出三角形的所有中线并说 出中位线和中线的区别.
D B A F C
E
结论：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半.A
D E
B
C
三角形的中位线与第三边有什么关系?
正方形
（4）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是什 么？
平行四边形
（5）顺次连结等腰梯形 各边中点所得的四边形 是什么？
菱形
平行四边形
平行四边形
于但得 什它到 么是的 顺 呢否四 次 ？特边 连 殊形接 的一四 平定边 行是形 四平各 边行边 形四中 取边点 决形所 ，
菱形
菱形
矩形
正方形
（ 6 ）顺次连结对角线相 等的四边形各边中点所得 的四边形是什么？ （ 7 ） 顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？ （8）顺次连结对角线相等 且垂直的四边形各边中点 所得的四边形是什么？
例1、如图，在四边形中，E、F、G、H 分 别 是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的 中 点 。 四 边 形 EFGH是平行四边形吗？为什么？
A E F
C
DF//BC DE// 1 BC
2
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
1 DE // BC 求证： 2
证法三：延长DE到点F，使EF=DE，
A
D E
连结AF、CF、CD
∵AE=EC∴DE=EF F ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD∥=FC
C 又D为AB中点，∴DB∥=FC 所以，四边形BCFD是平行四边形
菱形
A
什么叫三 角形的中位 线呢？
D B
E C
三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线。 画出△ABC中所有的中位线
画出三角形的所有中线并说 出中位线和中线的区别.
D B A F C
E
结论：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半.A
D E
B
C
三角形的中位线与第三边有什么关系?
正方形
（4）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是什 么？
平行四边形
（5）顺次连结等腰梯形 各边中点所得的四边形 是什么？
菱形
平行四边形
平行四边形
于但得 什它到 么是的 顺 呢否四 次 ？特边 连 殊形接 的一四 平定边 行是形 四平各 边行边 形四中 取边点 决形所 ，
菱形
菱形
矩形
正方形
（ 6 ）顺次连结对角线相 等的四边形各边中点所得 的四边形是什么？ （ 7 ） 顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？ （8）顺次连结对角线相等 且垂直的四边形各边中点 所得的四边形是什么？
例1、如图，在四边形中，E、F、G、H 分 别 是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的 中 点 。 四 边 形 EFGH是平行四边形吗？为什么？
三角形中位线定理PPT教学课件
三角形的中位线定理
2021/01/21
1
什么叫三角形的中位线？
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
如图： D、E分别是AB、AC边的中点， DE就是△ABC的中位线。
A
一个三角形共有几条中位线？ D
E
答：三条
2021/01/21
B
F
C
2
三角形的中位线与三角形的中线有
什么区别？ A
A
D
E
B
CB
边形是平行四边形。
已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中
AB、BC、CD、DA的中点。求证：EFGH是平
行四边形。
A
H
D
E
G B
F
2021/01/21
C
5
任意四边形四边中点连线所得的四边形 一定是平行四边形。
2021/01/21
6
例2：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是 菱形。
已知：E、F、G、H分别是矩形ABCD中 AB、BC、CD、DA边的中点。求证：EFGH是 菱形。
A
H
D
2021/01/21
E G
B
F
C
7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于点 O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的 中点。求 证：∠HEF＝ ∠FGH。
A
E F
B
D H
O
G
C
2021/01/21
8
例4：已知如图：在△ABC中，AB、BC、
CA的中点分别是E、F、G，AD是高。求 证：
∠EDG＝ ∠EFG。
分析：EF是△ABC的中位线
EF 1 AC
2021/01/21
1
什么叫三角形的中位线？
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
如图： D、E分别是AB、AC边的中点， DE就是△ABC的中位线。
A
一个三角形共有几条中位线？ D
E
答：三条
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B
F
C
2
三角形的中位线与三角形的中线有
什么区别？ A
A
D
E
B
CB
边形是平行四边形。
已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中
AB、BC、CD、DA的中点。求证：EFGH是平
行四边形。
A
H
D
E
G B
F
2021/01/21
C
5
任意四边形四边中点连线所得的四边形 一定是平行四边形。
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6
例2：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是 菱形。
已知：E、F、G、H分别是矩形ABCD中 AB、BC、CD、DA边的中点。求证：EFGH是 菱形。
A
H
D
2021/01/21
E G
B
F
C
7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于点 O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的 中点。求 证：∠HEF＝ ∠FGH。
A
E F
B
D H
O
G
C
2021/01/21
8
例4：已知如图：在△ABC中，AB、BC、
CA的中点分别是E、F、G，AD是高。求 证：
∠EDG＝ ∠EFG。
分析：EF是△ABC的中位线
EF 1 AC
三角形中位线ppt课件
如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、 BC上截取EF＝MN，连接EM、FN，EM和 FN有怎样的关系？为什么？
AEF
D
B
MN
C
22
小结
1、三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2、三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于 第三边的一半
3、两条平行线间的距离 一条直线上的任一点到另一条直线的距离， 叫做这两条平行线间的距离
⑤ 图中有__3___个平行四边形 ⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是__6___
C
探究活动
1、 三角形三条中位线围成的三角 形的周长与原三角形的周长有什么 关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
10
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F
C
（中点）
2
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A 你还能画出几条三角形的中位线？
D
E
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
3
A 概念对比 A
D
E
D 中线DC
中位线DE
B
C
B
C
（1）相同之处——都和边的中点有关； （2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点；
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点
18
如图，l1 // l2 ， 线段AB//CD//EF, 且 点A、C、E在l1上，B、D、F在l2上，则AB、
CD、EF的长短相等吗？为什么？
三角形的中位线ppt课件
3 三角形的中位线
第六章 平行四边形
学习目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理的内容； 2.经历探索，猜想，证明三角形的中位线定理的过程，进一步发展 推理论证的能力． 重点：探索并证明三角形中位线定理．
新知探究 你能将一个三角形分成四个全等的三角形吗？你能通过剪拼的方式 将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
课堂小结
1.三角形中位线定理： 连接三角形两边中点的线段平行于第三边，且等于第三边的一半． 2.我们既可以用三角形知识研究平行四边形的问题，又可以用平行四边形 知识研究三角形的问题.
谢谢观看
新知探究
①△ABC中，连接每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形. ②将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置，这样就得到 了一个与△ABC面积相等的平行四边形.
新知探究
我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形转化为三角形的问题，
能否用平行四边形研究三角形呢？
如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC 的中点，连接DE.
在△ABC中，
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，且DE=
1 2
BC
.Hale Waihona Puke ADEB
C
知识训练 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，D，E，F分别是BC， AC，AB的中点，则四边形AEDF的周长为____1_8___；Rt△ABC的中位线 分别是___D_E_，__D__F__；斜边上的中线是___C_F___，其长为___5___.
像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
看一看，量一量，猜一猜：
A
DE与BC之间有什么位置关系和数量关系？
第六章 平行四边形
学习目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理的内容； 2.经历探索，猜想，证明三角形的中位线定理的过程，进一步发展 推理论证的能力． 重点：探索并证明三角形中位线定理．
新知探究 你能将一个三角形分成四个全等的三角形吗？你能通过剪拼的方式 将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
课堂小结
1.三角形中位线定理： 连接三角形两边中点的线段平行于第三边，且等于第三边的一半． 2.我们既可以用三角形知识研究平行四边形的问题，又可以用平行四边形 知识研究三角形的问题.
谢谢观看
新知探究
①△ABC中，连接每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形. ②将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置，这样就得到 了一个与△ABC面积相等的平行四边形.
新知探究
我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形转化为三角形的问题，
能否用平行四边形研究三角形呢？
如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC 的中点，连接DE.
在△ABC中，
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，且DE=
1 2
BC
.Hale Waihona Puke ADEB
C
知识训练 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，D，E，F分别是BC， AC，AB的中点，则四边形AEDF的周长为____1_8___；Rt△ABC的中位线 分别是___D_E_，__D__F__；斜边上的中线是___C_F___，其长为___5___.
像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
看一看，量一量，猜一猜：
A
DE与BC之间有什么位置关系和数量关系？
三角形的中位线.ppt
第六章 平行四边形
3 三角形的中位线
第六章 平行四边形
3 三角形的中位线
教学目标
1、知道三角形中位线的概念，明确三角形 中位线与中线的不同。 2、理解三角形中位线定理，并能运用它进 行有关的论证和计算。 3、通过对问题的探索及进一步变式，发展 演绎推理能力及分解构造基本图形解决 较复杂问题的能力．
F
三角形的中位线平行于第三 边，并且等于它的一半。
A 几何表示： ∵ DE是△ABC的中位线
E
D C B BC
1 ∴ DE∥BC,DE= 2
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
1 求证:DE∥BC,DE= 2 BC
A D E
F
B
C
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半。
中位线定理的证明
已知：如图6-20（1），DE是△ABC的中位线.
A、B两点被池塘隔开，在没有任何测量工具的 情况下，小明通过下面的方法估测出了A,B间 的距离：在AB外选一点C，连结AC和BC，并分 别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN = 20m， 那么A、B两点的距离是多少？为什么 ？
若把“中点”改为“四等分点”, 如图,D、F、H与E、G、I分 别是△ABC边AB、AC的四 等分点即AD=DF=FH=HB, AE=EG=GI=IC,则DE与FG、 FG与BC、DE与BC之间有 何关系?
A D F I H C E G
B
1、作业本：教科书P152 习题6.6 2、《资评》P168-170 1、2
A D F
E
G
I
H B C
两边中点 的______ 线段 叫做三角形的中 连接三角形________
位线。
对边中点 的线段 顶点 与它_________ 在三角形中，连接一个_____
3 三角形的中位线
第六章 平行四边形
3 三角形的中位线
教学目标
1、知道三角形中位线的概念，明确三角形 中位线与中线的不同。 2、理解三角形中位线定理，并能运用它进 行有关的论证和计算。 3、通过对问题的探索及进一步变式，发展 演绎推理能力及分解构造基本图形解决 较复杂问题的能力．
F
三角形的中位线平行于第三 边，并且等于它的一半。
A 几何表示： ∵ DE是△ABC的中位线
E
D C B BC
1 ∴ DE∥BC,DE= 2
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
1 求证:DE∥BC,DE= 2 BC
A D E
F
B
C
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半。
中位线定理的证明
已知：如图6-20（1），DE是△ABC的中位线.
A、B两点被池塘隔开，在没有任何测量工具的 情况下，小明通过下面的方法估测出了A,B间 的距离：在AB外选一点C，连结AC和BC，并分 别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN = 20m， 那么A、B两点的距离是多少？为什么 ？
若把“中点”改为“四等分点”, 如图,D、F、H与E、G、I分 别是△ABC边AB、AC的四 等分点即AD=DF=FH=HB, AE=EG=GI=IC,则DE与FG、 FG与BC、DE与BC之间有 何关系?
A D F I H C E G
B
1、作业本：教科书P152 习题6.6 2、《资评》P168-170 1、2
A D F
E
G
I
H B C
两边中点 的______ 线段 叫做三角形的中 连接三角形________
位线。
对边中点 的线段 顶点 与它_________ 在三角形中，连接一个_____
《三角形的中位线》PPT教学课件
知识点 1 三角形的中位线性质
知1－导
什么叫三角形的中位线？ 连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线. 如图：点 D、E分别是AB、AC边的中点，线段DE就 是△ABC的中位线。 一个三角形共有几条中位线？ 答：三条知1－导A源自思考：三角形的中位线与三角形的
中线有什么区别与联系？
D
E
区别：中位线：中点--------中点
1 2
BD，
∴EH＝FG，同理可得EF＝HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（来自教材）
知1－练
5 【中考·宜昌】如图，要测定被池塘隔开的A，B两
点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，
并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC
＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝( B )
知1－导
2. 如图，DE是△ABC的中位线，将△ADE以点E为中 心顺时针旋转180°，使点A和点C重合.四边形 DBCF是平行四边形吗？由此发现DE与BC的位置关 系和数量关系与上面的发现是否相同？
知1－导
通过探究，我们发现：三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半.
现在，我们来证明这个结论.
∴AE＝
1 2
AD，BF＝
1 2
BC，∴AE
＝∥BF.
∴四边形ABFE是平行四边形，∴MB＝ME.
同理，四边形EFCD是平行四边形，∴NC＝NE.
∴MN是△EBC的中位线．∴MN ＝∥
1 2
BC.
（来自《点拨》）
知2－讲
总结
(1)证明两直线平行的常用方法： ①利用同平行(垂直)于第三条直线；②利用同位角、 内错角相等，同旁内角互补；③利用平行四边形 的性质；④利用三角形的中位线定理．
《三角形的中位线定理》PPT课件 (共28张PPT)
6 ⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_____
探究活动
1、三角形三条中位线围成的三角形 的周长与原三角形的周长有什么关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F （中点）
C
A、B两点被池塘隔开，如何才 能知道它们之间的距离呢？
（4）顺次连结矩形各边中点所得的四 边形是什么？
菱形
例2已知：如图，四边形ABCD中，E、F、 G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证(1)四边形EFGH是平行四边形。
(2)请增加一个条件使得四 边形ADFE为菱形。 (3)请增加一个条件使得四 边形ADFE为矩形。
A
H D E G F C
四边形BCFD是平行四边形吗?说 说你的理由!
F
已知： 如图：在△ABC中，D是AB的中点， E是AC的中点。 1 求证： DE∥BC, DE= BC.
A
E B D C
2
分析:
延长ED到F,使DF=ED , 连接CF
易证△ADE≌△CFE，
F
得CF=AE , ∠A=∠ACF
又可得CF=BE,CF//BE
在AB外选一点C，连结AC和 BC，并分别找出AC和BC的中点M、 N，如果测得MN = 20m，那么A、 B两点的距离是多少？为什么？
M 20 C
A
40
N
B
A
E
F
C
D
H G
B
在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边 形EFGH的周长是 11 。
三角形中位线定理完整ppt课件
是平行四边形。
已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中AB、
BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
A
H
注：1.有中点连 D 线而无三角形，
E
要作辅助线产生
三角形
B
精选ppt
F
2.有三角形而无
G
中位线，要连接
两边中点得中位
9
线
连接任意四边形四边中点所得的四边形 一定是平行四边形。
精选ppt
10
例：已知 ABCD中，AC、BD相交于点O，E、 F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点。求 证：∠HEF＝ ∠FGH。
A
E F
B
D H
O
G
C
精选ppt
11
A
D
F
B
精选ppt
E6 C
2.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选 一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点 的实际距离？根据是什么？
A
C
精选ppt
B
7
三角形的中位线与三角形的中线有
什么区别？ A
A
D
E
B
C
B
F
C
中位线是两个中点的连线，而中线是一个
顶点和对边中点的连线。
精选ppt
8
例：求证顺次连结四边形各边中点所得的四边形
Ｂ Ｃ∵AB=CD,AD= BC
∴…是平行四边形
ＢＣ ∵OA=OC,OB=
O
OD ∴…是平行四
Ｂ 边形
Ｃ∵AB∥DC，AB=DC
∴…是平行四边形
3
精选ppt
Ａ
Ｂ
2
例题：如图，点D、E分别是△ABC的边AB、
相关主题
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练一练：
• 1.已知三角形的三边长分别为6、8、10，顺 次连接各边中点所得的三角形周长是多少？
• 2.如果⊿ABC的三边长分别为a,b,c, AB,BC,AC各边中点分别是D，E，F，则 ⊿DEF的周长是多少？
• 3.取任意一张三角形纸片，你能否把它剪成 四个全等的三角形？怎么剪？
A D B F E C
A E C
（1）要保证剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片，剪
痕的位置有什么要求？
（2）若要使△ADE与梯形DBCE能拼成平行四边形， 剪痕的位置有什么要求？ （3）要把所剪得的两个图形拼成 一个平行四边形，可将其中的三角
D A E F
形作怎样的图形变换？
B C
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 A
∴四边形DBFE是平行四边形 ∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC 即DE=1/2BC
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言表述：
E
C
D
B
∵DE是△ABC的中位线 （或AD=BD,AE=CE)
1 DE// BC 2 适用范围
① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
∵D、 E分别为AB、AC的中点 D E
∴DE为△ABC的中位线
同理DF、EF也为△ ABC的中位线 三角形有三条中位线
B 注意
F
C 三角形的中位线和三角形的中线不同 三角形的中位线与第三边有什么关系?
三角形的中位线平行且等于第三边的一半
证明命题：三角形的中位线平行且等于第三边的一半
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
B
证法四：如图，过E作AB的平行线交BC于 F，自A作BC的平行线交FE于G ∵AG∥BC ∴∠EAG=∠ECF ∴AG=FC，GE=EF
A
D
∴△AEG≌△CEF
G E
又∵AB∥GF，AG∥BF ∴四边形ABFG是平行四边形 ∴BF=AG=FC，AB=GF 又∵D为AB中点，E为GF中点，
B
F
C
∴DB∥=EF
B
C
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
1 DE // BC 求证： 2 证明二：如图，延长DE到F， 使EF=DE，连接CF B ∵DE=EF,AE=EC, ∠AED= ∠CEF
∴⊿ADE≌⊿CFE ∴∠ADE=∠F，AD=CF， ∴AB∥CF 又∵BD=AD=CF, ∴四边形BCFD是平行四边形
D
A E F
C
DF//BC DE// 1 BC
2
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
1 DE // BC 求证： 2
证法三：延长DE到点F，使EF=DE，
A
D E
连结AF、CF、CD
∵AE=EC∴DE=EF F ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD∥=FC
C 又D为AB中点，∴DB∥=FC 所以，四边形BCFD是平行四边形
A
分析：填表
次序
所得三角形 周长 得三角形面 积所
1
2
3
……
n
A１
C
２
C１ B２
1 2 1 4
a s
1 4 1 16
a s
1 8 1 64
a s
…… ……
1 n 2 1 n 4
a
s
B
A２ B１
C
顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平 例1、已知：如图，在四边形 ABCD中，E、F、G、H分别
是 AB、BC、CD、DA的中点. 行四边形 求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明：如图，连接AC E
练一练
3、为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选
一点A,再分别找出线段AB，AC的中点D、E，若测出
DE=15m，就能求出池塘BC的长吗？
C
B
E D
A
练一练
1.已知: 如图,DE,EF是⊿ABC的两条中位线.求证: 四边形BFED是平行四边形.
A A
D
B F
( 第 1题 )
E
C B
D
F
O
• 4.如图，三角形ADE的面积与三角形ABC的 面积之比是多少？
练一练
D。 B
A
1.如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
。E C 图1 则∠B=
60 4
度，为什么？
（2）若BC=8cm，
B
则DE=
cm，为什么？
2.如图2：在△ABC中，D、E、F
D。 4
分别是各边中点AB=6cm，AC=8cm， 。F BC=10cm，则△DEF的周长= 3 5 。 12 cm A C E 图2 三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形 的周长的关系？ 面积呢？
想一想
B、C两点被池塘隔开如何测量B、C两点距离？
C
B
想一想
为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选
一点A,再分别找出线段AB能求出池塘BC的长，你知道为什么吗？
C
B
E D
A
合作学习
剪一刀，将一张三角形纸片剪成 一张三角形纸片和一张梯形纸片. B D
（2）顺次连结矩形各边中点 所得的四边形是_______？
菱形
（3）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是________？
矩形
想一想
（ 4 ）顺次连结正方 形各边中点所得的四 边形是 ___________ ？ 正方形
1 DE // BC 求证： 2
证明：如图，以点E为旋转中心，把⊿ADE绕点E， 按顺时针方向旋转180゜，得到⊿CFE 得到⊿CFE，⊿ADE≌⊿CFE. A D E
∴∠ADE=∠F，AD=CF，DE=EF
∴AB∥CF
又∵BD=AD=CF,
∴四边形BCFD是平行四边形
F
DF//BC
DE//
1 BC 2
∵EF是△ABC的中位线 1 EF// AC B F 2 1 同理得： GH// AC 2 GH//EF ∴四边形EFGH是平行四边形
A H D G C
温馨提示：
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线
想一想
（ 1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 _________？ 平行四边形
E C
( 第 2题 )
2.如图,DE是⊿ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE 和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分.
探索研究：
已知：△ABC的周长为a，面积为s，连接各边中点得 △A1B1C1，再连接△A1B1C1各边中点得△A2B2C2 ……， 1 则（１）第３次连接所得 1 s a 64 8 △A3B3C3的周长＝＿＿＿＿ ,面积＝＿＿＿＿ 1 （２）第n次连接所得 1 n a n s 2 4 △AnBnCn的周长＝＿＿＿＿，面积＝＿＿＿＿