新版【冀教版适用】初二数学上册《【教案】二次根式的混合运算》
冀教版数学八年级上册《15.4 二次根式的混合运算》教学设计1
冀教版数学八年级上册《15.4 二次根式的混合运算》教学设计1一. 教材分析冀教版数学八年级上册《15.4 二次根式的混合运算》是本册教材中的一个重要内容。
学生在学习了二次根式的性质和运算方法后，本节课将引导学生进行二次根式的混合运算。
教材通过例题和练习题，使学生掌握二次根式混合运算的法则，提高学生的运算能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的性质和运算方法，具备了一定的数学基础。
但学生在进行混合运算时，可能会遇到一些困难，如对运算法则理解不深，运算过程复杂等。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解运算法则，培养学生熟练的运算能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次根式的混合运算方法，提高学生的运算能力。
2.过程与方法：通过例题和练习题，培养学生独立解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的混合运算方法。
2.难点：对运算法则的理解和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动思考问题，提高学生的解决问题的能力。
2.用例题和练习题，进行循序渐进的教学，使学生掌握二次根式的混合运算方法。
3.通过小组讨论，培养学生的合作意识，提高学生的沟通能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示例题和练习题。
2.练习题：准备一些二次根式的混合运算题目，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，检查学生对二次根式运算的掌握情况。
如：二次根式的加减法、乘除法等。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示例题，引导学生思考如何进行二次根式的混合运算。
例如：已知 a+bi（a，b∈R）是一个复数，求（2+3i）^2 展开后的虚部。
学生独立思考后，教师进行讲解，讲解过程中强调运算法则。
3.操练（10分钟）学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，解答学生的问题。
冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》教学设计
冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》是本册教材中关于二次根式的一个重要内容。
在此之前，学生已经学习了二次根式的性质和运算方法，为本节课的混合运算打下了基础。
本节课主要让学生掌握二次根式的混合运算方法，提高学生的运算能力，培养学生的逻辑思维能力。
二. 学情分析1.知识基础：学生已掌握二次根式的性质、运算方法，为本节课的学习提供了基础。
2.学习能力：学生具备一定的数学运算能力，但混合运算中涉及到的步骤较多，需要学生在理解的基础上，逐步提高运算速度和准确性。
3.学习兴趣：学生对数学运算感兴趣，但部分学生可能对复杂的混合运算感到困惑，需要教师引导学生克服困难，提高学习积极性。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次根式的混合运算方法，能够准确、熟练地进行相关运算。
2.过程与方法：培养学生的逻辑思维能力，提高学生的运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生克服困难、自主学习的意识。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的混合运算方法。
2.难点：理解并掌握混合运算中的步骤，提高运算速度和准确性。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式的混合运算，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：教师引导学生发现混合运算的规律，培养学生自主学习的能力。
3.练习法：通过大量练习，提高学生的运算速度和准确性。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
2.学具：练习本、尺子、圆规。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如计算一个物体的体积，引入二次根式的混合运算。
引导学生回顾二次根式的性质和运算方法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）展示一组二次根式的混合运算题目，让学生观察并尝试解答。
教师引导学生总结混合运算的步骤和方法。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一组混合运算题目，教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
冀教版数学八年级上册《15.4二次根式的混合运算》说课稿
冀教版数学八年级上册《15.4 二次根式的混合运算》说课稿一. 教材分析冀教版数学八年级上册《15.4 二次根式的混合运算》这一节，是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行授课的。
教材通过引入实际问题，让学生进一步理解和掌握二次根式的混合运算，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次根式的性质和运算法则，具备了一定的数学基础。
但部分学生在进行混合运算时，仍然存在对运算法则理解不深，运算顺序混乱的问题。
因此，在教学过程中，需要针对这些问题进行讲解和辅导。
三. 说教学目标1.让学生理解和掌握二次根式的混合运算规则；2.培养学生解决实际问题的能力；3.提高学生对数学知识的运用和运算能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的混合运算规则；2.教学难点：如何运用混合运算规则解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用案例教学法，以实际问题引导学生进行二次根式的混合运算；2.利用多媒体辅助教学，展示运算过程，帮助学生理解和掌握；3.采用分组讨论法，让学生分组解决实际问题，培养学生的合作能力；4.进行课堂练习，及时巩固所学知识。
六. 说教学过程1.引入实际问题，引导学生进行二次根式的混合运算；2.讲解混合运算的规则，让学生理解并掌握；3.分组讨论，让学生运用混合运算规则解决实际问题；4.利用多媒体展示运算过程，帮助学生理解和掌握；5.课堂练习，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计包括以下几个部分：1.二次根式的混合运算规则；2.实际问题的引入和解决；3.混合运算的步骤和注意事项；4.课堂练习题目。
八. 说教学评价教学评价主要包括以下几个方面：1.学生对二次根式混合运算规则的掌握程度；2.学生解决实际问题的能力；3.学生对数学知识的运用和运算能力。
九. 说教学反思在教学过程中，教师需要不断反思以下几个问题：1.学生对二次根式混合运算规则的掌握情况，是否需要重复讲解和辅导；2.实际问题的引入和解决是否恰当，是否有助于学生理解和掌握；3.教学方法和手段是否有效，是否需要调整和改进；4.课堂练习是否充足，是否需要增加难度和拓展。
最新冀教版八年级数学上册《二次根式的混合运算》教案(优质课一等奖教学设计)
《二次根式的混合运算》教案教学目标知识与技能：1、使学生理解实数范围内的运算律和运算顺序在二次根式的混合运算中仍然适用.2、会利用乘法公式进行二次根式的乘法运算及分母有理化.3、使学生会熟练进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.过程与方法讲练结合，通过例题由浅入深，层层深入，从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法、规律及注意点.情感态度与价值观1、培养学生进行类比的学习思想和理解运算律、乘法公式的广泛意义.2、激发学生的求知欲和提高学生的运算能力.教学重点二次根式的混合运算.教学难点利用乘法公式进行计算及分母有理化.教学过程一、复习引入1、对于实数我们学过哪些运算定律？分别用式子表示出来.(1)加法交换律：a +b =b +a ；(2)加法结合律：(a +b )+c =a +(b +c )；(3)乘法交换律：ab =ba ；(4)乘法结合律：(ab )c =(ac )b ；(5)乘法对加法的分配律：(a +b )c =ac +bc .1、单项式乘以多项式的法则是什么？(a +b )c =ac +bc ； 多项式乘以多项式的法则是什么？(a +b )(c +d )=ac +a d +bc +bd .2、二次根式的加减法怎样计算？乘除法怎样计算？(口述)(1)加减法：先化简每一个二次根式，再把被开数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变.(2)乘除法：利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质.a b =ab (a ≥0.，b ≥0)a b =a b (a >0，b ≥0)1、以前我们学过哪些乘法公式？平方差公式b a b a b a 22))((-=-+完全平方公式b a b a ab 2222)(+±=±二、探究新知识 让学生阅读教材“做一做”，解决下面的问题.(1)在梯形面积的计算中，包含二次根式的哪几种运算？按什么顺序运算的？(2)计算过程中，每一步的依据是什么？(3)整个计算运算运用了哪些运算律和二次根式的哪些性质？引导学生归纳：二次根式的混合运算是根据实数的运算律和运算顺序进行的.三、例题讲解教材P147例3分析：(1)小题类似单项式乘以多项式，应用分配律后，先做乘法，再做减法，按法则进行，注意化简二次根式；(2)小题类似多项式乘以多项式，利用多项式的乘法法则进行计算.解：(1)2836⨯-）（32323322832628326=-=⨯-⨯=⨯-⨯=(2)()()2-1232+242322622323222223-2322-2+-=+--=⨯-+-=⨯+= 例2．教材P148例4分析：(1)小题可利用平方差公式计算；(2)小题可利用完全平方差公式计算.解：略 思考：由11212=-+））（（，你发现)12(+与)12(-是什么关系？ 由此可知怎样计算1212-+？ 让学生完成P148的“动脑筋”活动.例3．教材P148例5分析：分子51-与分母51+有什么关系呢？与动脑筋中的问题类似，分子、分母都乘以51-，不该变原式的值，而分母中却不再含有根号.四、应用新知识教材P149练习1、2.五、小结这节课主要学习了二次根式的混合运算，对于以前学过的运算律、运算顺序和整式的乘法在二次根式的混合运算中仍然适用.。
冀教版数学八年级上册《15.4 二次根式的混合运算》教学设计
冀教版数学八年级上册《15.4 二次根式的混合运算》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册《15.4 二次根式的混合运算》这一节主要让学生掌握二次根式的混合运算的法则，学会如何正确进行二次根式的加、减、乘、除等运算。
教材通过例题和练习，使学生熟练掌握二次根式的混合运算，提高他们的数学运算能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次根式的基本运算，对二次根式的性质和运算法则有一定的了解。
但学生在处理混合运算时，可能会遇到一些困难，如对运算顺序的掌握，对运算符号的理解等。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生理清运算思路，明确运算规则。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次根式的混合运算的法则，能正确进行二次根式的加、减、乘、除等运算。
2.过程与方法目标：通过例题和练习，培养学生独立解决数学问题的能力，提高学生的数学运算能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学的美。
四. 教学重难点1.教学重点：二次根式的混合运算的法则，二次根式的加、减、乘、除运算。
2.教学难点：二次根式混合运算的顺序，运算符号的理解。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考；通过案例分析，使学生理解运算规则；通过小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、例题、练习题。
2.学生准备：课本、笔记本、文具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次根式的基本运算，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的混合运算的法则，让学生初步了解二次根式混合运算的规则。
3.操练（10分钟）教师给出一些简单的二次根式混合运算题目，让学生独立完成，检验学生对运算规则的理解。
4.巩固（10分钟）教师通过PPT呈现一些典型的例题，引导学生分析解题思路，巩固所学知识。
冀教版数学八上15.4《二次根式的混合运算》word学案
测试题
1、计算：
（1） （2）
（3） （a>0,b>0）（4）2、已知 ， Nhomakorabea 的值。
提高题
1、计算：（1） （2）
。
（4）写出已经学过的乘法公式：
①②
2、计算：
（1） · · （2） （3）
（二）合作交流
1、探究计算：
（1）（ ）× （2）
2、探究计算：
（1） （2）
（三）展示反馈
计算： （1） （2）
（3） （4）（ - ）（- - ）
注：整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。
（四）拓展延伸
同学们，我们以前学过完全平方公式 ，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（ ）2，5=（ ）2，下面我们观察：
反之，
∴
∴ = -1
仿上例，求：（1）；
（2）你会算 吗？
（3）若 ，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
15.4 二次根式的混合运算
学习目标
熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。
学习重点、难点
重点：熟练进行二次根式的混合运算。
难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。
归纳指导
（一）复习回顾：
1、填空
（1）整式混合运算的顺序是：
。
（2）二次根式的乘除法法则是：
。
（3）二次根式的加减法法则是：
冀教版数学八年级上册《15.4 二次根式的混合运算》教学设计
冀教版数学八年级上册《15.4 二次根式的混合运算》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册《15.4 二次根式的混合运算》是学生在学习了二次根式的性质和运算规律之后的内容。
本节内容主要让学生掌握二次根式的混合运算方法，培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握二次根式的混合运算方法，并加以巩固。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次根式的性质、运算规律以及实数的运算。
但部分学生在解决实际问题时，对于运用二次根式仍感困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，提高学生运用二次根式解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次根式的混合运算方法，掌握相关运算法则。
2.培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的混合运算方法。
2.运用二次根式解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的混合运算方法。
2.运用实例分析法，让学生通过解决实际问题，掌握二次根式的运用。
3.采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.利用多媒体辅助教学，提高课堂趣味性和教学效果。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次根式的混合运算方法及实例。
2.练习题：准备相关练习题，巩固学生对二次根式混合运算的掌握。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节内容，引导学生思考如何运用二次根式解决问题。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示二次根式的混合运算方法，让学生了解并掌握相关运算法则。
3.操练（10分钟）教师引导学生进行二次根式的混合运算练习，及时纠正学生在运算过程中出现的错误。
4.巩固（10分钟）教师给出一些实际问题，让学生运用二次根式解决。
通过小组合作学习，培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。
冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》教学设计
冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》是学生在学习了二次根式的性质和运算法则的基础上进行学习的。
这一节内容主要让学生掌握二次根式的混合运算方法，提高学生解决实际问题的能力。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握二次根式的混合运算方法，培养学生的运算能力和思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次根式的性质和运算法则，具备了一定的数学基础。
但部分学生在进行混合运算时，容易混淆运算法则，对于复杂的二次根式混合运算，可能会出现错误。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，进行针对性的指导和训练。
三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的混合运算方法。
2.提高学生解决实际问题的能力。
3.培养学生的运算能力和思维能力。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的混合运算方法。
2.难点：对于复杂二次根式混合运算的计算方法和思路。
五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法、分组讨论法等，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握二次根式的混合运算方法。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、黑板、粉笔等。
2.学生准备：教材、笔记本、文具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引入二次根式的混合运算。
例如：一个正方体的体积是8立方厘米，求这个正方体的棱长。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的混合运算的例题和练习题，让学生观察和分析，引导学生发现二次根式混合运算的规律和方法。
3.操练（10分钟）教师引导学生进行二次根式的混合运算的练习，让学生在实践中掌握运算方法。
教师可适时给予提示和指导，帮助学生克服困难。
4.巩固（10分钟）教师通过一些具有代表性的题目，让学生进行二次根式的混合运算，巩固所学知识。
教师可学生进行交流和讨论，分享各自的解题思路和方法。
5.拓展（10分钟）教师给出一些综合性的题目，让学生进行二次根式的混合运算，提高学生的解决问题的能力。
冀教版初二数学上册二次根式的混合运算教案
冀教版初二数学上册15教学目标：（1）能进行二次根式的混合运算；（2）乘法公式在二次根式中的运用.教学重点：正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算.教学难点：二次根式运算的应用.自主探究：请同学们完成下列各题:1．运算（1）()2x y z +⋅ （2）22(23)x y xy xy +÷2．运算（1）(23)(23)x y x y +- （2）22(21)(21)x x ++-老师点评：这些内容是对整式运算的再现．它要紧有：（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．假如把上面的x 、y 、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x 、y 、z 是一种字母，它的意义十分广泛，能够代表所有一切，•因此也能够代表二次根式，因此，整式中的运算规律也适用于二次根式．二、自主合作仿照课本例题．运算下面各题:（1）(3+ (2)（3）÷ (4) （5）（62)523(+ 三、自主展现1.2的运算结果（用最简根式表示）是________．2．若x =2y =，3z =+x y z ，，的大小关系是____________．3．若，则x2+2x+1=________．4．已知x =y =，则33x y xy +=____________.5.运算 ③⨯20102010 ④)()3(33ab ab ab b a ÷+-（a ＞0，b ＞0）6．先化简在求值：222222(1)2a b a b a b ab ab-+÷+-，其中53a b ==-+四．自主拓展1. ()())()222x x =++1已知..2. 已知8,8,a b ab +=-=将. 教学反思：。
冀教版数学八年级上册15.1《二次根式》教学设计
冀教版数学八年级上册15.1《二次根式》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.1《二次根式》是学生在掌握了实数、有理数、无理数等基础知识后的进一步学习。
这部分内容主要介绍了二次根式的概念、性质和运算。
通过这部分的学习，学生能够更好地理解实数体系，提高解决实际问题的能力。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识点，提高解题技巧。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备一定的逻辑思维和运算能力。
但部分学生对二次根式的理解可能还存在困难，因此在教学过程中需要关注这部分学生的学习情况，加强引导和辅导。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念和性质；2.掌握二次根式的运算方法；3.能够运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质；2.二次根式的运算方法；3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、引导法、实践法、讨论法等多种教学方法，关注学生的学习情况，充分调动学生的积极性，引导学生主动探索、积极思考。
六. 教学准备1.教学课件；2.练习题；3.教学用具（如黑板、粉笔等）。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，引发学生对二次根式的兴趣，如：求一个正方形的对角线长度。
引导学生回顾实数、有理数、无理数等基础知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过举例让学生理解二次根式的含义，掌握二次根式的基本性质。
如：√4=2，√9=3，√a2=|a|等。
3.操练（15分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如：√16+√25，√9−√4等。
教师引导学生总结运算规律，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）通过解决实际问题，运用二次根式进行计算，如：一个正方体的体积是64立方厘米，求它的棱长。
让学生运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。
5.拓展（10分钟）讲解二次根式的混合运算，引导学生掌握混合运算的顺序和法则。
15.4二次根式的混合运算教案2022-2023学年冀教版八年级数学上册
15.4 二次根式的混合运算教案2022-2023学年冀教版八年级数学上册二、教学重点1.能够正确理解和运用二次根式的概念；2.能够灵活运用二次根式的运算规律进行混合运算；3.能够解决实际生活问题，将数学知识应用到实际中。
四、教学过程1. 复习•复习二次根式的基本概念，并提问学生，回顾二次根式的化简和合并运算方法。
2. 引入•向学生提出一个有关房子地基的问题：假设一个房子的地基长度为√18米，宽度为√27米，求其面积是多少？3. 学习•让学生以小组为单位进行讨论，找出解决问题的思路，并尝试解答问题。
4. 汇报•随机选取一些小组进行汇报，并引导学生以二次根式的运算规律来解答问题。
5. 深化•导入新概念：二次根式的乘方。
引导学生思考如何对二次根式进行乘方运算。
6. 拓展•提供更多的混合运算题目，让学生尝试解答。
7. 实际应用•以实际生活问题为例，让学生将所学知识应用到实际中。
例如：一个房子的地面积为√50 米，房屋周长为3√2 米，求房屋的长度和宽度。
8. 总结与小结•对本节课内容进行总结，强调二次根式混合运算的重要性，并提醒学生运用所学知识解决实际问题时要注意单位的转换。
六、板书设计### 15.4 二次根式的混合运算教案#### 2022-2023学年冀教版八年级数学上册一、教学目标- 理解二次根式的概念，并能正确求解二次根式的混合运算；- 掌握二次根式的运算规律，能够熟练进行二次根式的化简和合并运算；- 运用所学知识解决日常生活中的实际问题。
二、教学重点- 能够正确理解和运用二次根式的概念；- 能够灵活运用二次根式的运算规律进行混合运算；- 能够解决实际生活问题，将数学知识应用到实际中。
三、教学内容1. 复习二次根式的基本概念和运算方法；2. 探究二次根式的混合运算规律；3. 解决实际问题，运用所学知识。
四、教学过程1. 复习- 复习二次根式的基本概念，并提问学生，回顾二次根式的化简和合并运算方法。
八年级数学上册 15.4 二次根式混合运算学案(新版)冀教版
八年级数学上册 15.4 二次根式混合运算学案
（新版）冀教版
1、知识目标：理解和掌握二次根式的加减混合运算和乘法、乘方公式运算。
2、能力目标：会二次根式的加减混合运算，能通过运算解决实际问题。
3、情感态度：培养学生善于思考，认真细致，一丝不苟的科学精神学习过程学法指导
一、预习导航计算二次根式的加减主要归纳为两个步骤：
第一步，先将二次根式化成最简二次根式；
第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并
二、自主学习，合作探究
1、教师展示例3，学生思考应先计算什么呢？
2、学生竞答，与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；
对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；
对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式、3、学生板演并向全班展示：每一步的依据是什么？
1、教师引导：平方差公式和完全平方公式是否使用二次根式的运算？
2、学生小组讨论，并举例说明。
教师予以肯定。
3、教师展示例3，学生思考应先计算什么呢？
4、学生板演并向全班展示：每一步的依据是什么？（1）中，第一步的依据是：多项式乘多项式法则；第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数相同的二次根式（依据是：分配律）；第三步的依据是：合并同类项、（2）中的依据是：平方差公式、
三、检查反馈
1、计算: （1）（+）（2）（4-3）2（3）（+6）（3-）（4）（+）（-）
2、（1）已知≈
2、236，求下面式子的值（结果精确到0、01），求
四、自我反思
五、教学后记。
冀教版八年级数学上册【教案】二次根式的混合运算【新版】
二次根式的混合运算一、教学目标知识与技能：二次根式的加减乘除混合运算．过程与方法：复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的加减乘除混合运算．情感态度与价值观：学会知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性。
二、教学重、难点重点：二次根式的加减乘除混合运算；难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．三、教学过程（一）、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．（二）、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）（2）（分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）解：（-3 2例2．计算：（1）+6）（） （2）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1）+6）（）-）2（2）=2- 2=10-7=3（三）、巩固练习课本练习（四）、应用拓展例3．已知x b a-=2-x a b -，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，分析：由于（（=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式22=2(1)x x +-+2(1)x x+-=（x+1）=4x+2∵x b a-=2-x a b - ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ）∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2∴（a+b ）x=（a+b ）2∵a+b≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b）+2（五）、归纳小结本节课应掌握二次根式的加减乘除混合运算．（六）、布置作业。
冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》教学设计
冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》是对二次根式混合运算的系统讲解。
本节内容是在学生已经掌握了二次根式的性质、二次根式的乘除运算、二次根式的加减运算的基础上进行学习的，是进一步培养学生解决实际问题能力的重要环节。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次根式的性质和运算方法，但对于混合运算可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将已知的二次根式运算方法运用到混合运算中，并通过具体的例子让学生理解混合运算的规律。
三. 教学目标1.理解二次根式混合运算的定义和规律。
2.能够正确进行二次根式混合运算。
3.能够运用二次根式混合运算解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：二次根式混合运算的定义和规律。
2.难点：如何将已知的二次根式运算方法运用到混合运算中。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握二次根式混合运算的方法。
六. 教学准备1.教案和课件。
2.练习题和答案。
3.教学视频或案例。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式复习二次根式的性质和运算方法，引导学生回顾已学知识，为新课的学习打下基础。
呈现（10分钟）教师通过课件或板书，给出二次根式混合运算的定义和规律，让学生初步了解混合运算的概念。
操练（10分钟）教师给出一些二次根式混合运算的例子，引导学生运用已知的二次根式运算方法进行计算，并通过小组合作交流，探讨计算过程中的规律。
巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，检验学生对二次根式混合运算的掌握程度，并对学生的错误进行及时纠正。
拓展（5分钟）教师通过教学视频或案例，展示二次根式混合运算在实际问题中的应用，让学生感受数学与生活的联系，提高学生解决实际问题的能力。
小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，回顾二次根式混合运算的定义、规律及应用，加深学生对知识的理解。
【冀教版八年级数学上册教案】15.4二次根式的混合运算
15.4二次根式的混合运算教学目标【知识与能力】1.理解和掌握二次根式的混合运算的运算顺序.2.会运用乘法公式进行二次根式的乘法运算.【过程与方法】1.通过二次根式的混合运算,培养学生的运算能力和探索精神.2.培养学生积极的学习态度,克服困难的精神.【情感态度价值观】经历观察、比较等过程,让学生感受到数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的乐趣,并提高应用意识.教学重难点【教学重点】二次根式的混合运算的计算.【教学难点】能正确地进行二次根式的混合运算.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:问题1:二次根式有哪些性质和公式?性质:(1)a≥0时,=a;(2)()2=a(a≥0);(3)·(a≥0,b≥0);(4)或(a≥0,b>0).公式:(1)·(a≥0,b≥0);(2)(或)(a≥0,b>0).问题2:已学过的整式的乘法公式和法则有哪些?在整式乘法中,单项式与多项式相乘的法则是什么?多项式与多项式的乘法法则是什么?什么是完全平方式?分别用式子表示出来.答:单项式与多项式相乘的法则是,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表示为m(a+b+c)=ma+mb+mc.多项式与多项式相乘的法则是先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,其中a,b,m,n都是单项式.完全平方式:(a±b)2=a2±2ab+b2;平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.在实数范围内,整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用,运用乘法法则及乘法公式可以进行二次根式的混合运算.问题3:怎样化简二次根式?【课件1】化简下列二次根式.,3,,,.学生独立完成,指名板演.[设计意图]进一步梳理和巩固已学过的知识,纵览公式之间的区别与联系,为学习新知识做好铺垫,同时体验公式与性质的准确应用.导入二:一个正方形的边长是,现将它的一边长增加,另一边长减少,你能计算出变化之后的图形的面积吗?变化之后的图形的面积和原来正方形的面积相差多少?引导学生分析:(1)变化后的图形的长为,宽为-,面积为()(-);(2)变化之后图形的面积和原来正方形的面积相差:()(-)-()2.说明:怎样计算上面的两个算式呢?板书课题:15.4二次根式的混合运算.[设计意图]情境导入,抽象出二次根式的混合运算,从而引入到本节课所要学习的内容,为学生学习二次根式的混合运算做好铺垫.二、新知构建：活动一:大家谈谈——感知方法【课件2】(教材第101页大家谈谈)计算下列各式.(1)();(2)(6+3);(3)(-2)(+2);(4)(-)().观察各算式的特点,说一说你在运算过程中,用到了哪些运算律和乘法公式.分析:第(1)题可直接运用乘法分配律进行计算;第(2)题用括号内的每一项分别除以;(3)和(4)利用平方差公式直接计算.学生在练习本上完成.解:(1)()==3.(2)(6+3)=6+3=6+9=15.(3)(-2)(+2)=()2-22=3-4=-1.(4)(-)()=()2-()2=6-3=3.教师强调:计算的结果要化为最简二次根式,对于(2)你还有其他方法吗?鼓励学生可以将3化成最简二次根式,再求值.[设计意图]通过计算让学生认识到二次根式的一些计算与整式的一些运算类似,也可以利用整式的乘法公式进行计算,从而让学生领悟二次根式的乘除法的计算方法.活动二:例题讲解【课件2】计算下列各式.(1)(-);(2)().〔解析〕(1)把乘法运算的结果化成最简二次根式,再进行加减运算;(2)不是最简二次根式的可以先化简,再进行计算.学生独立思考后完成,教师指两名学生板演,全班讲评.解:(1)思路一:(-)=-=4-2.思路二:(-)=(2-)=4-2.(2)思路一:()=2+5.思路二:()=(2+5)=2+5=2+5.计算下列各式.(1)()(-);(2)(+1)2.想一想:(1)()2(a≥0)的值是多少?(2)本题中的(1)(2)怎样计算比较简便?分析:可以利用平方差公式和完全平方公式进行计算.解:(1)原式=()2-()2=5-2=3.(2)原式=()2+21+12=3+2+1=4+2.注意:在计算过程中,有同类项或被开方数相同的最简二次根式要进行合并.乘法公式在实数范围内也是成立的.【课件4】(教材第102页做一做)计算下列各式.(1)(2-3);(2)(-1)2;(3)(-)().学生独立完成,指三名同学板演过程,然后教师集体讲评.解:(1)(2-3)=2-3=10-15.(2)(-1)2=()2-21+12=7-2+1=8-2.(3)(-)()=--=6+2-2-4=2.【课件5】计算下列各式.(1);(2)(5+)(-3).-引导学生思考:(1)中怎样能把其分母有理化?(2)应采用哪种方法计算.学生思考后得出(1)中分子、分母同时乘(+1);(2)利用多项式乘多项式的法则进行计算.教师巡视指导后展示答案,分析过程.+1.解:(1)---(2)(5+)(-3)=5-15+()2-3=2-12.[知识拓展]二次根式的混合运算实质上就是有理数的混合运算与无理数的混合运算,是对前面学过的二次根式的乘除法和加减法的运算法则的综合应用.在进行二次根式的运算时,能用乘法公式的要尽量使用乘法公式,这样可以使计算过程大大简化.[设计意图]进一步体会整式的乘法法则和公式对二次根式的一些计算同样适用,提高学生的分析能力和对知识的整合能力.三、课堂小结：1.在实数范围内,乘法分配律、乘法法则及乘法公式仍然成立,在二次根式的混合运算中均可运用.2.在进行二次根式的加减乘除混合运算时,先运用乘法法则进行二次根式的乘法运算,再进行二次根式的加减运算.在进行二次根式的和与差的乘法运算时,可以直接运用公式进行计算.3.在进行二次根式的混合运算时,先进行乘法运算,再进行加减运算,有括号时,先算括号里面的.4.一般地,二次根式运算结果中的二次根式应化为最简二次根式.。
冀教版八年级数学上册《二次根式的混合运算》
变式练习2 计算下列各式：
(1) 5 2 5 3 15 ;
2
(2) 7 1 ;
(3) 3 2 12 8 .
解： (1) 5 2 5 3 15 5 2 5 5 3 15
10 15 3.
2
2
(2) 7 1 7 2 7 1 12 7 2 7 1
第八页，共二十六页。
变式练习1 计算： 3( 8 50) 30 45.
解： 3( 8 50) 30 45
3(2 2 5 2) 30 3 5 37 2 6 53 5 7 6 6
3 20 6 .
3
第九页，共二十六页。
知识点 2 乘法公式在二次根式中的应用
例2 计算下列各式：
(1) 5 2
母中不含二次根式； (2)进行二次根式的开方运算时应使开出的因数(式)是非负数(式)．
第五页，共二十六页。
例题讲解
例 1 计算下列各式:
(1) 2 8 10 ;
(2) 24 50 2;
解：(1) 2 8 10 16 20 4 2 5.
还可以：
2 8 10 2 2 2 2 5 4 2 5.
2 3
2
40 2
;
解：原式 2 80 2 6 2 1 20
32
4 10 2 2 6 5 4 10 4 3 5;
2 5 62 5;
解：原式 5 2
2
5 626 5
2 5 5 12 6 5 7 4 5;
3 20 3 32 5 27 .
解： 原式 2 5 3 3 2 5 3 3
2 4 3 2 3 4 3 3+ 3 2 3
=224 12+6 84cm2 .
八年级数学上册 15 二次根式教学案 (新版)冀教版
第十五章二次根式1.结合实际问题,了解二次根式、最简二次根式的概念,会辨别一个根式是否为最简二次根式.2.掌握二次根式的性质,会根据它们熟练地进行二次根式的化简.3.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算,会将分母中含有一个二次根式(根号下仅限于数)的式子进行分母有理化.1.借助二次根式的化简与运算,提高运算能力.2.能运用类比和转化的数学思想讨论、探究二次根式的有关性质和运算法则.3.能将二次根式的计算问题转化为利用二次根式的性质进行化简的问题,理解“从特殊到一般”,再“从一般到特殊”的探究事物规律的方法.1.通过探究活动,培养学生探求知识的欲望,让学生体验成功的乐趣.2.引导学生适时地运用“逆向思维”和“类比思维”提出问题与解决问题,以提高学生的数学基本素养.(1)在第十四章已经学习了平方根、算术平方根的概念,还学习了借助于平方运算来求非负数的平方根、算术平方根.本章是在此基础上,结合实际问题的需要,引入二次根式的概念,并以“同一个非负数的算术平方根是唯一的”为依据,得到二次根式的基本性质.(2)二次根式的基本性质是二次根式化简的基本依据,用它可将任何一个二次根式化成与之等值的最简二次根式,教材既突出了化简的依据,又突出了化简的实施方法.(3)二次根式基本性质的逆向应用,便可实施二次根式的乘除运算.教材以学生操作为主,辅以例示解析的过程,引导学生掌握二次根式的乘除运算(包括简单的分母有理化);二次根式的加减运算,实际上是以二次根式的化简为前提,而后合并“同类的最简二次根式”.教材借助于和“整式加减的合并同类项”的类比,启发学生自主地理解并掌握这类运算;在二次根式的混合运算中,使学生认识到:与数、整式和分式的混合运算一样,二次根式的混合运算也是先算乘除,后算加减,有括号时,先算括号内的.(4)通过对本章的学习,可以更概括、更统一地认识“式”的意义和发展层次,可以更概括、更统一地认识“式的化简”与“式的运算”的依据和实施的共性,从而更好地提高运算能力.【重点】1.二次根式的加减运算.2.二次根式的乘除运算.【难点】二次根式的化简与计算.1.注重概念的形成过程,让学生在概念形成的过程中,逐步理解所学的概念.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析,综合去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学对提高学生思维水平是十分有必要的.如二次根式的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入的必要性,初步认识二次根式所表示的意义.2.鼓励学生探索与交流.教学中应当让学生进行充分的探索和交流,给学生充分的活动时间与空间,如最简二次根式是一个怎样的式子,教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动,从中感受最简二次根式应满足的条件;再如二次根式的性质,在教学过程中应当让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程,并鼓励学生用自己的语言清楚地表达.3.注意运用类比的方法,使学生认识到新旧知识间的区别与联系.在二次根式的加、减、乘、除运算的教学中,应注意通过类比使学生认识到新旧知识的区别与联系.二次根式与以前学过的数、整式和分式一样,有关的化简与运算,相应的运算律、运算法则、运算顺序,乘法公式同样适用.15.1二次根式1.了解二次根式、最简二次根式的概念.2.了解,()2,(其中a≥0)的意义.3.理解二次根式的性质.1.体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.2.经历二次根式概念的形成过程,体会用类比的思想研究二次根式及其性质.1.为学生创造操作、思考和交流的机会,关注学生思考问题的过程.2.鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑,激发学生应用数学的热情.3.培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.【重点】二次根式的概念与性质.【难点】二次根式基本性质的灵活应用.第课时1.了解二次根式的概念和二次根式的非负性.2.理解和掌握二次根式的简单性质,并能利用它们进行化简和计算.1.经历观察、比较、总结的过程,培养学生的归纳能力.2.感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识和对数学的探究能力.1.通过探究学习,培养学生应用数学的热情.2.培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.【重点】二次根式的概念和简单性质.【难点】二次根式的简单性质.【教师准备】课件1~7.【学生准备】复习平方根与算术平方根的知识.导入一:1.回顾:什么叫平方根?什么叫算术平方根?2.【课件1】填空.(1)的平方根是;(2)一个圆的面积为S,这个圆的半径是;(3)若正方形的面积为a-4,则边长为.学生思考并回答.3.提问:你能发现它们有什么共同的特征吗?学生观察,总结共同特征并表述意见.[设计意图]唤起学生对于平方根和算术平方根的记忆,使学生认识到学习根式的必要性.通过观察、归纳,为后面学习二次根式的概念及其基本性质做好铺垫.导入二:1.已知一个正方形的面积为a,则正方形的边长是.2.提问:你认为所得的代数式有什么特点?(教师鼓励学生用自己的语言总结出特征,鼓励学生大胆表述意见,然后作适当点评,板书本课课题)[设计意图]让学生在实际情境中写出表示算术平方根的式子,一方面复习了旧知识,另一方面为接下来学习新课做准备.通过问题引入,调动了学生的积极性.导入三:在第十四章,我们学习了平方根及算术平方根,知道当a≥0时,表示非负数a的算术平方根,±表示非负数a的平方根;,±都表示非负数a的开平方,中“”表示一种运算,因此,(a ≥0)还有一个名字,你知道吗?[设计意图]通过复习平方根和算术平方根的表示方法和意义,引出的另一个名称,引起学生思考,激发学生的学习热情.活动一:二次根式的概念思路一【课件2】(教材第90页一起探究)1.(1)2,18,,的算术平方根是怎样表示的?(2)非负数m,p+q,t2-1的算术平方根又是怎样表示的?2.学校要修建一个占地面积为S m2的圆形喷水池,它的半径应为多少米?如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a m2的环形绿化带,那么所成大圆的半径应为多少米?引导学生分析得出:1.解:(1),,,. (2),,.2.解:,.引导学生概括二次根式的定义:在上面的问题中,我们得到了,,,,,,,,等式子,它们分别表示某个非负数的算术平方根.一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.[知识拓展](1)二次根式的被开方数a可能为整式,也可能为分式,因此要分清a所代表的式子类型.(2)本身作分母时,要注意只能大于0,不能等于0.(3)要注意,等,这时无论a取何值都有意义.[设计意图]让学生通过自己思考,得出表示这些数的一般形式,体会概念是由具体到抽象、由特殊到一般的过程形成的,进而给出二次根式的概念.【课件3】判断下列各式是二次根式吗?;②6;;(m≤0);(x,y异号);;+1;.学生快速回答,共同分析.[设计意图]通过小练习及时检验学生对二次根式概念的理解和把握,二次根式根号内被开方数的取值范围一定要大于或等于0.思路二活动:(引导学生概括二次根式的定义:像,这样表示一个非负数的算术平方根的式子叫做二次根式)概念深化:提问:+1是不是二次根式?呢?议一议:二次根式表示什么意义?此算术平方根的被开方数是什么?被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义?其中字母a要满足什么条件?为什么?【展示点评】经学生讨论后,让学生回答,并让其他的学生点评.最后教师归纳:一个非负数的算术平方根才是二次根式,如果无法判断被开方数是非负数,那么这个式子就不能说是二次根式.+1中的a可能为正,也可能为负,所以不能说这个式子是二次根式,中的a+1也可能为正,也可能为负,所以也不能说这个式子是二次根式.【反思小结】教师总结:从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件:(1)必须有二次根号;(2)被开方数不能小于0.[设计意图]通过探究促使学生独立思考、合作探讨,并最终获得结论,有利于帮助学生从被动地接受知识到主动地探索新知,满足学生的多样化学习需求,通过学生自己归纳总结,让学生经历二次根式概念的形成过程,符合学生的认知规律,避免了概念教学的机械记忆,同时提高学生的概括总结能力,培养了学生思维的严谨性.【课件4】(教材第90页大家谈谈)小亮和小颖对二次根式“(a≥0)”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗?请举例说明.小亮的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根的意义,有≥0.小颖的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根和被开方数的意义,有()2=a.学生讨论举例后得出小亮和小颖的观点都正确.教师总结:(1)(a≥0)是一个非负数,即具有双重非负性,一是被开方数是非负数,二是它的结果是非负数;(2)()2=a(a≥0),即非负数a的算术平方根的平方等于a.【课件5】做一做:=;=;=;=;=.教师点评:根据算术平方根的意义,我们可以得到:=2;=0.01;;;=0.想一想:根据上面的计算,你能得到什么结论?学生讨论得出,一般地,=a(a≥0).【课件6】(教材第91页做一做)化简.(1)()2;(2);(3);(4).教师指名回答,公布答案.解:(1)()2=3. (2). (3)=5. (4).思路二我们知道非负数有算术平方根,所以根据算术平方根的意义,我们不难得到非负数的算术平方根还是非负数,即≥0(a≥0).1.性质1:()2=a(a≥0).(1)观察:22=4,即()2=4;32=9,即()2=9……(2)提问:观察上述等式的两边,你得到什么启示?(3)板书:当a≥0时,=a.[设计意图]通过观察、思考、解答,培养学生自己发现问题、分析问题和解决问题的能力,使学生真正成为知识的主动建构者.2.性质2:=a(a≥0).(1)提问:等于什么?(2)举例:=2;=2;=3;=3……(3)发现:当a≥0时,=a;当a<0时,=-a.(4)归纳:3.比较()2和的区别.学生讨论,回答.说明:关键抓住被开方数的非负性和(a≥0)的非负性.[知识拓展]理解()2和时应注意以下几点:(1)从a的取值范围理解:中的a为全体实数,而()2中的a为非负数.(2)从所得的结果理解:,而()2=a,也就是说当a≥0时,=()2.[设计意图]通过比较、讨论、试做的教学方式,加深学生对两个性质的认识,同时,也关注了学生学习方式的个性化,做到既着眼于共同发展,又关注于个性差异.活动三:例题讲解【课件7】化简.(1);(2).〔解析〕0.04=0.22,,可以利用=a(a≥0)化简.解:(1)=0.2. (2)=12=1.[设计意图]尽管问题相对简单,但规范的解答还是非常有必要的,要养成学生学习一个新概念时稳扎稳打的态度,这样对于概念才会认识得更深更透.1.二次根式的定义一般地,把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.判断一个式子是不是二次根式,一定要紧扣定义,看所给的式子是否同时具备如下两个特征:(1)带有二次根号“”,即根指数是2;(2)被开方数不小于零.只有同时满足上述两个特征,才是二次根式,如果不满足其中任何一个特征,就不是二次根式.2.二次根式的基本性质(1)当a≥0时,()2=a;(2)当a≥0时,=a.1.下列各式中,不是二次根式的是()A. B. C. D.解析:根据二次根式的定义,可知二次根式的被开方数是非负数,因为的被开方数小于零,故B错误.故选B.2.如果是二次根式,那么a应满足()A.a≥0B.a≠3C.a=3D.a≥3解析:∵是二次根式,∴a-3≥0,解得a≥3.故选D.3.若a为实数,则化简的结果是 ()A.-aB.aC.a2D.|a|解析:∵当a<0时,=|a|=-a.当a≥0时,=|a|=a.故选D.4.下列四个等式:=4;②(-)2=16;③()2=4;=-4.其中正确的是 ()A.①②B.③④C.②④D.①③解析:=4,正确;②(-)2=4≠16,不正确;③()2=4,符合二次根式的意义,正确;=4≠-4,不正确.①③正确.故选D.5.如果=2-x,那么x的取值范围是()A.x≤2B.x<2C.x≥2D.x>2解析:根据二次根式的结果是非负数,可得不等式2-x≥0,解得x≤2.故选A.6.计算-的结果是 ()A.-3B.3C.-9D.9解析:-=-=-3.故选A.7.探究发现.(1)完成下列填空:=,=,=,④ =.(2)利用(1)中发现的规律计算:①若x>2,则=;=.解析:根据即可得解.答案:(1)①3②0.5③6(2)①x-2②π-3.148.当x取何值时,下列各式为二次根式?(1);(2).解析:根据二次根式的被开方数是非负数,可得答案.解:(1)由-3x≥0,得x≤0,所以当x≤0时,是二次根式.(2)根据题意得2-x<0,得x>2,所以当x>2时,是二次根式.9.判断下列各式,哪些是二次根式,哪些不是,为什么?,-,,,(a≥0),.解析:二次根式要满足两个条件:(1)带有二次根号“”,即根指数是2;(2)被开方数不小于零.解:,-,(a≥0),符合二次根式的形式,故是二次根式;的根指数是3,故不是二次根式;的被开方数小于0,无意义,故不是二次根式.10.根据材料回答问题.x为何值时,有意义?解:根据题意得x(x-1)≥0,由乘法法则得或解得x≥1或x≤0,即当x≥1或x≤0时,有意义.体会解题思想后,求当x为何值时,有意义.解析:根据题目信息进行解答.解:要使有意义,则≥0,所以或解得x≥2或x<-,即当x≥2或x<-时,有意义.11.已知y=-3,求(x+y)4的值.解析:先根据二次根式有意义的条件求出x的值,进而得出y的值,代入代数式进行计算即可.解:∵与有意义,∴解得x=2,∴y=-3,∴(2-3)4=1.第1课时活动一:二次根式的概念活动二:二次根式的简单性质活动三:例题讲解例题一、教材作业【必做题】1.教材第91页练习.2.教材第92页习题A组第1,2题.【选做题】教材第92页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.化简,正确的结果是 ()A.±72B.72C.432D.以上答案都不是2.下列各式中不是二次根式的是()A. B.C. D.3.下列各式:;;;;.其中二次根式的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知是二次根式,则a的值可能是 ()A.-2B.-1C.2D.-75.要使二次根式有意义,则x的取值范围是()A.x≥B.x≤C.x≥D.x≤6.要使代数式有意义,则x的()A.最大值是B.最小值是C.最大值是D.最小值是【能力提升】7.实数a,b的对应点在数轴上的位置如图所示,则+a的化简结果为()A.2a+bB.-bC.bD.2a-b8.下列各式哪些一定是二次根式?(1);(2);(3);(4);(5).9.当x是怎样的实数时,下列各式有意义?(1);(2) ;(3)+1;(4) ;(5);(6).【拓展探究】10.化简.11.已知实数a,b的对应点在数轴上的位置如图所示,化简+2-.【答案与解析】1.B(解析:=72.故选B.)2.B(解柏:二次根式成立的条件是被开方数是非负数,而的被开方数是负数,所以不是二次根式.故选B.)3.B(解析:根据二次根式的定义,一般地,形如(a≥0)的式子叫做二次根式,可知和是二次根式.故选B.)4.C(解析:根据二次根式的被开方数是非负数,可知C选项正确.故选C.)5.B(解析:依题意得3-2x≥0,解得x≤.故选B.)6.A(解析:∵代数式有意义,∴2-3x≥0,解得x≤.∴x的最大值为.故选A.)7.B(解析:由数轴可知b<0<a,|b|>|a|,∴+a=|a+b|+a=-a-b+a=-b.故选B.)8.解:(1)∵m2≥0,∴m2+1>0,∴是二次根式. (2)∵a2≥0,∴是二次根式. (3)∵n2≥0,∴-n2≤0,∴当n=0时,才是二次根式,故不一定是二次根式. (4)当a-2≥0时是二次根式,当a-2<0时不是二次根式,即当a≥2时是二次根式,当a<2时不是二次根式,故不一定是二次根式. (5)当x-y≥0时是二次根式,当x-y<0时不是二次根式,即当x≥y时是二次根式,当x<y时不是二次根式,故不一定是二次根式.9.解:(1)5-3x≥0,解得x≤. (2)->0,解得x<. (3)x2≥0,x取全体实数. (4)-1≥0,解得x≥3. (5)(x-2)2≥0,x取全体实数. (6)x+8≥0且x-4≠0,解得x≥-8且x≠4.10.解:原式=|3-a|+|a-7|.①当a<3时,原式=3-a+7-a=10-2a;②当3≤a≤7时,原式=4;③当a>7时,原式=a-3+a-7=2a-10.11.解:由数轴可知-2<a<-1,1<b<2,b>a,故a+1<0,b-1>0,a-b<0,原式=|a+1|+2|b-1|-|a-b|=-(a+1)+2(b-1)+(a-b)=b-3.在授课过程中,首先教师让学生回顾了算术平方根与平方根的概念,并且通过一些思考题,得出二次根式的定义.通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的方法,通过“大家谈谈”让学生得出二次根式的两个性质,体会从特殊到一般的思维过程,进而掌握公式的一般推导方法.本节课大部分时间都是引导学生边学边做,让学生经历了整个学习过程.同时在学习过程中,引导学生自己得出结论及二次根式的两个性质,在学生举例讨论之后,让学生自己初步得出了结论.整个教学过程,体现了“从特殊到一般”“由具体到抽象”的过程.1.在实际教学中,仍然存在着对课堂时间把握不精确的问题,出现了前松后紧的现象,以致有深度的练习没时间完成,结束得也比较仓促.2.在引导学生探索求知和互动学习方面还有欠缺.3.新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习,在课堂教学中,对学生探索求知进行了引导,并且鼓励大家自己得出结论,但在互动方面做得还不够,大部分学生都是独立思考,很少与同学合作交流.1.在今后教学中,应注意时间的掌控,合理地安排好每个环节的时间,事先应做好预设.2.在教学中应多培养学生合作交流的意识,这样有助于他们今后的生活和学习.练习(教材第91页)解:(1)2. (2)0.04. (3)0.8. (4).习题(教材第92页)A组1.解:(1). (2)11. (3)15.2.解:(1). (2)169. (3).B组1.解:设镜框的宽为2x cm,则长为3x cm.由题意得3x·2x=300,x2=50.解得x=5或x=-5(舍),所以2x=10.答:镜框的宽为10 cm.2.解:设大正方形的边长为x cm.由题意得x2=a2+b2,取正值解得x=.当a=3,b=4时,x=5.答:大正方形的边长为5 cm.对于二次根式的定义可以从以下几个方面理解:(1)从形式上看,二次根式必须含“”.(2)二次根式的被开方数a既可以表示一个数,也可以表示一个代数式,但必须保证有意义,即a若表示一个数,则a必须是非负数;若a表示一个代数式,则这个代数式的值必须是非负数.也就是说当a≥0时,才是二次根式;当a<0时,无意义.对于二次根式的被开方数是非负数,是指整个代数式是非负数,而不是其中的字母表示的数为非负数.为了求出使二次根式有意义的字母的取值范围,只需解不等式(组)即可.先化简a+,然后再分别求出a=-2和a=3时,原代数式的值.解:a+=a+=a+|a+1|.当a=-2时,原式=-2+|-2+1|=-2+1=-1;当a=3时,原式=3+|3+1|=3+4=7.[解题归纳]本题考查了二次根式的性质,解决本题的关键是先化简,再求值.已知a,b,c均为实数,且+a=0,=1,=c,化简--.〔解析〕首先根据已知条件确定a,b,c的符号,从而确定a+b,a-c,c-b的符号,然后根据二次根式的性质、绝对值的意义即可化简求解.解:∵+a=0,∴=-a,∴a≤0,∵=1,∴ab>0,则a,b同号,∴a<0,b<0.∵=c,∴c≥0.∴a+b<0,a-c<0,c-b>0.∴原式=-b+(a+b)+(c-a)-(c-b)=-b+a+b+c-a-c+b=b.[解题归纳]本题考查了二次根式的定义以及绝对值的意义,正确确定a,b,c的符号是关键.实数x在什么范围内取值时,下列各式才有意义?(1);(2);(3).〔解析〕根据二次根式有意义的条件进行解答.解:(1)若有意义,则3x+7≥0,解得x≥-.(2)若有意义,则2x-1>0,解得x>.(3)若有意义,则解得-1≤x≤2.[解题归纳]本题主要考查了二次根式有意义的条件,解答本题的关键是要使二次根式有意义,被开方数不能小于0.第课时1.理解和掌握积(商)的算术平方根的性质.2.会利用积(商)的算术平方根的性质对根式进行化简.3.理解最简二次根式的概念,并能把一个不是最简二次根式的二次根式化为最简二次根式.1.运用类比的方法,学习积(商)的算术平方根的性质.2.采用从具体到抽象的方法增强学生对两公式的理解.培养学生探索事物之间内在联系的学习习惯,使学生获得成功的喜悦.【重点】1.积(商)的算术平方根的性质.2.最简二次根式的概念.【难点】能利用积(商)的算术平方根的性质化简二次根式.【教师准备】课件1~13.【学生准备】二次根式的简单性质.导入一:【课件1】一块正方形木板面积为200 cm2,你能在不用计算器的情况下,以最快的速度求出正方形木板的边长吗?[设计意图]学生在已有经验的基础上直接开平方,发现200直接开平方不是整数,从而无法确定具体数值,引出问题,为学习后面的内容创设情境.导入二:教师提问:【课件2】(1)什么是二次根式?二次根式的被开方数需满足什么条件?(2)我们学过二次根式的哪些简单性质?学生回答.[设计意图]简单回顾上节所学内容,既起到了巩固的作用,又为本节课性质的学习做好铺垫,进而让学生体会到知识之间的联系.活动一:一起探究——二次根式的性质思路一探究点1:积的算术平方根问题1:【课件3】计算下列各式,并观察结果,你能发现什么规律?(1)与;(2)与.学生计算,得出(1)(2)中两式均相等.问题2:【课件4】猜想:与有什么关系?组织学生计算,验证猜想:(分组尝试,讨论交流)方法一:事实上,根据积的乘方法则,有()2=()2×()2=2×5,并且>0,所以是2×5的算术平方根,即.方法二:因为()2=()2×()2=2×5,()2=2×5,且>0,>0,所以.问题3:【课件5】当a≥0,b≥0时,对和·的关系提出你的猜想,并说明理由.指导学生仿照问题2的证明过程加以证明.解:因为当a≥0,b≥0时,()2=a·b,(·)2=()2·()2=a·b,所以·.引导学生进行归纳得出:积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即·(a≥0,b≥0).[知识拓展]积的算术平方根的性质可以推广到多个非负因数的情况.如···(a≥0,b ≥0,c≥0,d≥0).[设计意图]尽管学生能够猜想出结果,但还是缺乏必要的说理,再次引出问题,让学生交流讨论,碰撞出火花,体会数学的严谨性与科学性.探究点2:商的算术平方根问题1:【课件6】与是否相等?与呢?学生经过计算得出两个式子均相等.问题2:【课件7】对照刚才得到的结论,当a≥0,b>0时,与有什么关系?并说明理由.学生不难猜想得到(a≥0,b>0).引导学生根据刚才的证明过程加以证明.解:因为当a≥0,b>0时,,,所以.问题3:对照积的算术平方根的性质,你能总结出商的算术平方根的性质吗?引导学生归纳:商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即(或)(a≥0,b>0)[设计意图]培养学生用类比的思想和方法探究新知及从特殊到一般的归纳概括的能力.思路二问题1:【课件8】计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)=;=.(2)=;=.(3)=;=.(4)=;=.师:出示问题,引导学生观察计算结果,总结式子的规律.生:学生计算、观察、分组讨论,发现上述每组中的两个式子相等.问题2:【课件9】根据上面的探究,下列式子是否也存在类似关系,猜想你的结论并用计算器验证.(1)=;=.(2)=;=.(3)=;=.(4)=;=.学生经过计算得出上述每组中的两个式子也相等.问题3:【课件10】猜想:(1)当a≥0,b≥0时,和·有什么关系?(2)当a≥0,b>0时,和有什么关系?请你说明理由.引导学生小组讨论,利用算术平方根的简单性质进行证明.[设计意图]引导学生体会知识的形成过程,通过观察、猜想、证明、归纳,让学生得到积(商)的算术平方根的性质.化简.(1);(2);(3);(4).〔解析〕(1)(2)直接利用·(a≥0,b≥0)进行化简;(3)(4)利用(a≥0,b>0)进行化简.解:(1)=3.(2)=4.(3).(4).【课件12】观察例题中每个小题化简前后被开方数的变化,请思考:(1)化简前,被开方数是怎样的数?(2)化简后,被开方数是怎样的数?它们还含有能开得尽方的因数吗?归纳:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.说明:二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程.提出问题:在,3,,,,3,中,哪些是最简二次根式?为什么?把“提出问题”中不是最简二次根式的化成最简二次根式.指一名同学到黑板上板书,其他学生在练习本上完成.出示“做一做”.【课件13】(教材第94页做一做)化简.(1);(2);(3);(4).解:(1)=3.(2)=4.(3).(4).[设计意图]巩固积(商)的算术平方根的性质,通过对最简二次根式的探究,培养学生探索数学规律的能力,强化训练,提高能力.1.(2015·扬州中考)下列二次根式中是最简二次根式的是()A. B.C. D.。
冀教初中数学八上《15.4二次根式的混合运算》word教案
设计意图
（纠错与拓展）
教
学
过
程
教学过程
教学过程
合作探究展示交流
合作探究交流
效果评价
二、新授
二次根式的混合运算（板书）
<一>导入新课
二次根式的加、减、乘、除混合运算，类似于整式的混合运算，从本节开始学习二次根式的混合运算，在进行混合运算时，实数范围内运算律仍然适用，如分配律，是把二次根式乘法转化为加减法的根本依据，而在进行二次根式加减运算时，为了合并同类二次根式，还要应用交换律和结合律
对于诊测性测试，要求同学们少做思考后回答出答案，每个小题至少选两名同学回答，教师做小结。
学习整理
课后反思
（用一个多项每一项分别乘以另一个多项
式的每一项,再把所得的积相加.）
（用式子表(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd）
4、完全平方公式：回答出字母表达式.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a－b)2=a2－2ab+b2.
5、二次根式的混合运算与整式的混合运算
有没有联系？
（在实数范围内，整式的乘法法则及乘法公
例1、计算：（1）（- 5）.
(2)(5+ )(5 -2 )
分析：用分别乘以括号内各项，使原式转化为两项差的形式.然后,根据根式计算法
解:(1) ( - 5）.
= . -5 . (分配律)
= -15
(2) (5+ )(5 -2 )
=25 -10 + 5 -2与多项式乘法类似)
=25 -10 + 10 -6
=19
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二次根式的混合运算
一、教学目标
知识与技能：二次根式的加减乘除混合运算．
过程与方法：复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的加减乘除混合运算．
情感态度与价值观：学会知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性。
二、教学重、难点
重点：二次根式的加减乘除混合运算；
难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
三、教学过程
（一）、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题:
1．计算
（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy
2．计算
（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2
老师点评：这些内容是对整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．
（二）、探索新知
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．
整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:
（1）（2）（
分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．
解：（1）
解：（
3 2
例2．计算：
（1））（ （2）
分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
解：（1））（
2
（2）=2- 2
=10-7=3
（三）、巩固练习
课本练习
（四）、应用拓展
例3．已知x b a
-=2-x a b -，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，
，并求值．
分析：由于（=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．
解：原式2
2
=2(1)x x +-+2
(1)x x
+-
=（x+1）
=4x+2
∵x b a
-=2-x a b - ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ）
∴bx-b 2=2ab-ax+a 2
∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2
∴（a+b ）x=（a+b ）2
∵a+b≠0
∴x=a+b
∴原式=4x+2=4（a+b）+2
（五）、归纳小结
本节课应掌握二次根式的加减乘除混合运算．（六）、布置作业。