高中数学 1.1第1课时 集合的含义课时作业 新人教A版必修1
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(62)
1.1 集合的概念一、单选题1．已知3a =，{|2}A x x =≥，则（ ）A ．a A ∈B ．a A ∉C ．{}a A =D ．{}a a ∉答案：A解析：根据元素与集合的关系，即可求解.详解：由题意，集合{|2}A x x =≥，且3a =，因为32>，所以a A ∈.故选：A.2．设集合{1}A x Z x =∈-，则A ．A ∅∉B ．C ．2A ∈D ．{}2⊆A 答案：B详解：试题分析：集合A 表示大于1-的正数，因此B 项正确 考点：元素与集合的元素3．下列所给关系正确的个数是①π∈R 3Q ；③0∈*N ；④|−4|∉*N ．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B详解：由R(实数集)、Q(有理数集)、*N (正整数集)的含义知，①②正确，③④不正确．4．对于任意实数x x ，表示不小于x 的最小整数，如1.220.20=-=，．定义在R 上的函数()2f x x x =+，若集合(){}|10A y y f x x ==-，≤≤，则集合A 中所有元素的和为（ ）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-答案：B解析：根据x 的范围即可求出2x 的范围，根据x <>的定义即可求出2x x <>+<>的值，即得出集合A 的所有元素，从而得出集合A 的所有元素的和．详解：因为10x -，∴①1x =-时，22x =-，则：1x <>=-，22x <>=-；23x x ∴<>+<>=-；②10x -<时，220x -<，则：0x <>=，21x <>=-，或0； 21x x ∴<>+<>=-，或0；{3A ∴=-，1-，0}；∴集合A 中所有元素和为4-．故选：B点睛：本题主要考查对x <>的定义的理解，以及不等式的性质，意在考查学生对这些．5．集合5793,,,,234⎧⎫⎨⎬⎩⎭用描述法可表示为（ ） A ．*21|,2n n x x n N +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ B ．*23|,n x x n N n +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ C ．*21|,n x x n N n -⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ D ．*21|,n x x n N n +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭答案：D 解析：找出集合中元素的规律通式即可.详解： 由5793,,,,234，即3579,,,,1234，从中发现规律*21,n x n N n +=∈， 故可用描述法表示为*21|,n x x n N n +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭. 故选：D.点睛：本题考查集合的描述法，属于基础题.6．已知集合A 中元素x 满足x x N *∈，则必有（ ）A ．－1∈AB ．0∈ACD ．1∈A答案：D解析：利用列举法求解即可.详解：因为x ≤≤又x N *∈，所以x 的可能取值1,2.故选：D.点睛：本题主要考查了列举法.属于容易题.7．集合{1,2,3,5}A = ，当x A ∈时，若1,1x A x A -∉+∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A解析：根据“孤立元素”的定义，依次研究各元素即可得答案.详解：解：对于元素1，112A +=∈，故不满足孤立元素的定义；对于元素2，213A +=∈，故不满足孤立元素的定义；对于元素3，312A -=∈，故不满足孤立元素的定义；对于元素5，514A -=∉，516A +=∉，故满足孤立元素的定义；故A 中孤立元素的个数为1个.故选：A.点睛：本题考查集合新定义问题，正确理解新定义是解题的关键，是基础题.8．已知集合{1,,1}A a a =-，若2A -∈，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1-或2-D ．2-或3-答案：C解析：由已知得2a =-或12a -=-，解之并代入集合中验证可得选项.详解：因为集合{1,,1}A a a =-，且2A -∈，所以2a =-或12a -=-，当2a =-时，{1,2,3}A =--，适合题意；当12a -=-时，1a =-，{1,1,2}A =--，也适合题意，所以实数a 的值为1-或2-.故选：C.点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题.9．设集合222,3,3,7A a a a a⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，{}|2|,0B a =-，已知4A ∈且4B ∉,则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}-1，-2B ．{}-1，2C ．{}-2，4D ．{}4答案：D解析：由234a a -=或274a a ++=解出a 的值，再验证集合中元素的互异性.详解：当234a a -=时，可得4a =或1a =-，若1a =-，则274a a ++=，不合题意；若4a =，则2711.5a a ++=，|2|2a -=符合题意； 当274a a++=，可得1a =-或2a =-，若1a =-，则234a a -=，不合题意；若2a =-，则|2|0a -=，不合题意.综上所述：4a =.故选：D.点睛：本题考查了集合中元素的互异性，考查了分类讨论思想，属于基础题.二、填空题1．已知集合{}2|60A x x px =-+=，若3A ∈，则方程15x p -=的解为__________.答案：2x =解析：由题意可知，3是方程260x px -+=的根，解得5p =.方程15x p -=等价变形为155x -=，解得，即可.详解：3A ∈∴3是方程260x px -+=的根，即23360p -+=，解得5p =. 又方程155x p -==11x ∴-=，解得2x =.故答案为：2x =点睛：本题考查元素与集合的关系以及实数指数幂的运算，属于较易题.2．若－3∈x－2，2x 2－5x ，12}，则x ＝________．答案：－1，32，1解析：由已知得x －2＝－3或2x 2－5x ＝－3，解之再代入集合中检验集合的元素是否互异，可得答案.详解：由题意知，x －2＝－3或2x 2－5x ＝－3.①当x －2＝－3时，x ＝－1.把x ＝－1代入，得集合的三个元素为－3，7，12满足集合中元素的互异性；②当2x 2－5x ＝－3时，x ＝32或x ＝1，当x ＝32时，集合的三个元素为－12，－3，12，满足集合中元素的互异性；当x ＝1时，集合的三个元素为－1，－3，12，满足集合中元素的互异性，由①②知x ＝－1，32，1.故答案为：－1，32，1.点睛：本题考查由集合与元素的关系求参数的值，注意集合中的元素需互异，属于基础题.3．设集合{}2|20x x x a ++=有且只有两个子集，则a =______________.答案：1a =解析：本题先将条件“集合{}2|20x x x a ++=有且只有两个子集”转化为“方程220x x a ++=有且仅有1个解”，再建立方程求a 的值.详解：解：因为集合{}2|20x x x a ++=有且只有两个子集，所以集合{}2|20x x x a ++=有且只有一个元素，所以方程220x x a ++=有且仅有1个解，所以2240a ∆=-=，解得1a =.故答案为：1a =.点睛：本题考查根据集合中元素的个数求参数的值，是基础题.4．若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________答案：12(,]23解析：由f （x ）＝x 2﹣（a+2）x+2﹣a ＜0可得x 2﹣2x+1＜a （x+1）﹣1，即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1，则满足题意，结合图象即可求出．详解：f （x ）＝x 2﹣（a+2）x+2﹣a ＜0，即x 2﹣2x+1＜a （x+1）﹣1，分别令y ＝x 2﹣2x+1，y ＝a （x+1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1），分别画出函数的图象，如图所示：∵集合A ＝x∈Z|f（x ）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得∴10{120 311a a a -≤--≤＜，解得12＜a 23≤故答案为（12，23]点睛：本题考查了二次函数的性质以及参数的取值范围，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题5．设,a b ∈R ，集合{}{}2,0,a b a =，则b a -=_____________答案：1-解析：根据集合的互异性原则,可求得a 与b 的值,即可求得b a -的值.详解：因为集合{}{}2,0,a b a = 所以0a =或0b =当0a =时,集合20a =,因而元素重复,与集合的互异性原则相悖,所以舍去0a =当0b =时,可得2a a =,解得0a =(舍)或1a =综上可知, 1a =,0b =所以011b a -=-=-故答案为: 1-点睛：本题考查了集合的互异性原则及集合相等的应用,属于基础题.三、解答题1．写出集合2|,3n x x n ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N 中最小的3个元素.答案：240,,33解析：让n 取自然数集中最小3个数代入即可得．详解：0,1,2n =时，三个元素为24033，，． 点睛：根据集合中元素的性质，取n 为自然数集中最小3个数代入可求得集合A 中最小的三个元素．2．已知数集{}()1212,,,0,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的i、()1j i j n ≤≤≤，i j a a +，与j i a a -两数中至少有一个属于A ．（1）分别判断数集{}0,1,3,4与{}0,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（2）证明：10a =，且()122n n na a a a =+++； （3）当5n =时，若22a =，求集合A ．答案：（1）集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .（2）证明见解析. （3）{0,2,4,6,8}A =.解析：（1）利用i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .即可判断出结论.（2）先由0n na a A =-∈，得出10a =，令“,1j n i =>,由“i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ”可得n i a a -属于A .令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,1a 不符合不符合题意,2a 符合.同理可得:令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,倒序相加即可.（3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,由A 具有性质P,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,可得51i a a Ai -∈=51525354550a a a a a a a a a a ->->->->-=,则515533524a a a a a a a a a -=-=-= ,又34245a a a a a +>+=,可得34a a A +∉,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-.可得即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列是首项为0,公差为22a =等差数列.详解：解：（1）在集合{}0,1,3,4中，设{}0,1,3,4A =①011,101A A +=∈-=∈,具有性质P②033,303A A +=∈-=∈,具有性质P③044,404A A +=∈-=∈,具有性质P④134,312A A +=∈-=∉,具有性质P⑤145,413A A +=∉-=∈,具有性质P⑥347,431A A +=∉-=∈,具有性质P综上所述：集合{}0,1,3,4具有性质P ；在集合{}0,2,3,6中，设{}0,2,3,6B =,①022,202B B +=∈-=∈,具有性质P②033,303B B +=∈-=∈,具有性质P③066,606B B +=∈-=∈,具有性质P④235,321B B +=∉-=∉,不具有性质P⑤267,624B B +=∉-=∉,具有性质P⑥368,633B B +=∉-=∈,具有性质P综上所述：集合{}0,2,3,6不具有性质P .故集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .（2）证明:令,1j n i =>由于120n a a a ≤<<<，则n n n a a a +>，故2n a A ∉ 则0n n a a A =-∈，即10a =i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ,i j a a ∴+不属于A ,n i a a ∴-属于A .令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,10a =不符合题意,2a 可以.如果是3a 或者4a ,那么可知31n n a a a --=那么231n n n a a a a a -->-=,只能是等于n a ,矛盾.所以令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,同理,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,∴倒序相加即可得到1232n n n a a a a a +++⋯+= 即()122n n na a a a a =+++⋯+（3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,由A 具有性质P ,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,51,2,3,4,5i a a Ai ∴-∈=123451234500a a a a a a a a a a =<<<<=<<<<,51525354550a a a a a a a a a a ∴->->->->-=,则515524a a a a a a -=-=,533a a a -=,从而可得245532a a a a a +==,故2432a a a +=,即433230a a a a a <-=-<,又3424534a a a a a a a A +>+=∴+∈/ ,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-又54221a a a a a -==-544332212a a a a a a a a a ∴-=-=-=-=,即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列,{0,2,4,6,8}A ∴=点睛：（1）本问采用举反例的方法证明A 不具有P 性质;（2）采用极端值是证明这类问题的要点,一个数集满足某个性质,则数集中的特殊的元素（比如最大值、最小值）也满足这个性质;本问的第二个要点是集合的元素具有互异性,由互异性及题中给的性质P ,可得出等式;（3）利用在（2）中得到的结论得出12345,,,,a a a a a 之间的关系，再结合A 中元素所具有的P 性质即可得到结论.3．分别用列举法和描述法表示方程x 2+x –2=0的所有实数解的集合．答案：1，–2}，x|x=1或x=–2}解析：根据列举法和描述法的定义分别进行表示即可． 详解：由220x x +-= 得1x = 或2x =- ，所以用列举法表示解集为}{1,2- ，用描述法表示为}{{}22012.x x x x x x +-===-=-或点睛：本题主要考查集合表示的两种方法：列举法和描述法，比较基础，要注意两者之间的区别．。
集合-人教A版高中数学必修1课时训练(含答案)
1.1.1.1集合的含义双基达标(限时20分钟)1．下列几组对象可以构成集合的是()．A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．某校高一所有聪明的同学D．某单位所有身高在1.7 m以上的人解析A、B、C中标准皆不明确，故选D.答案 D2．下面有四个语句：①集合N*中最小的数是0；②－a∉N，则a∈N；③a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；④x2＋1＝2x的解集中含有2个元素．其中正确语句的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析N*是不含0的自然数，所以①错；取a＝2，则－2∉N，2∉N，所以②错；对于③，当a＝b＝0时，a＋b取得最小值是0，而不是2，所以③错；对于④，解集中只含有元素1，故④错．答案 A3．下列所给关系正确的个数是()．①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2 C．3 D．4解析∵π是实数，3是无理数，∴①②正确，又∵N*表示正整数集，而0不是正整数，故③不正确；又|－4|是正整数，故④不正确，∴正确的共有2个．答案 B4．设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p________M，q________M.解析矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q∉M.答案∈∉5．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．解析方程x2－5x＋6＝0的解是2,3，方程x2－x－2＝0的解为－1,2，故以两方程的解为元素的集合中共有3个元素．答案 36．设1,0，x三个元素构成集合A，若x2∈A，求实数x的值．解①若x2＝0，则x＝0，此时A中只有两个元素1,0，这与已知集合A中含有三个元素矛盾，故舍去．②若x2＝1，则x＝±1.当x＝1时，集合A中的元素有重复，舍去；当x＝－1时，集合A中的元素为1,0，－1，符合题意．③若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合集合中元素的互异性，都舍去．综上可知：x＝－1.综合提高(限时25分钟)7．已知x、y、z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()．A．0∉M B．2∈M C．－4∉M D．4∈M解析分类讨论：x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0，－4，∴4∈M.答案 D8．满足“a∈A且4－a∈A”，a∈N且4－a∈N的有且只有2个元素的集合A 的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析 ∵a ∈N ，a ∈A 且4－a ∈A ，且A 中只含2个元素，∴集合A 中元素可能为0,4或1,3，共2个．答案 C9．已知集合A 中只含有1，a 2两个元素，则实数a 不能取的值为________． 解析 由a 2≠1，得a ≠±1.答案 ±110．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1，若t ∈A ，则t 的值为________． 解析 ∵y ＝－x 2＋1≤1，且y ∈N ，∴y 的值为0,1.答案 0或111．已知集合M 中含有三个元素2，a ，b ，集合N 中含有三个元素2a,2，b 2，且M ＝N ，求a ，b 的值．解 由题意得⎩⎨⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎨⎧ a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝12.由集合元素的互异性，知⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝12.12．(创新拓展)设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性，知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．1.1.1.2集合的表示双基达标(限时20分钟)1．下列集合表示法正确的是()．A．{1,2,2} B．{全体实数} C．{有理数} D．{祖国的大河}解析选项A不符合集合中元素的互异性；选项B中“{}”的意义就是全体的意思，两者重复；选项D不具备确定性，不能用集合的表示．答案 C2．集合M＝{(x，y)|xy>0，x∈R，y∈R}是指()．A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第一、三象限内的点集D．第二、四象限内的点集解析因为xy>0，所以x与y同号．答案 C3．下列语句：①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．正确的是()．A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上语句都不对答案 C4．集合A＝{a，b，(a，b)}含有________个元素．解析集合A中含有3个元素，分别是a，b，(a，b)．答案 35．用列举法表示集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ∈Z ，86－x ∈N ＝________. 解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ，∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}．答案 {5,4,2，－2}6．用另一种方法表示下列集合．(1){绝对值不大于2的整数}；(2){能被3整除，且小于10的正数}；(3){x |x ＝|x |，x <5且x ∈Z }；(4){(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N *，y ∈N *}；(5){－3，－1,1,3,5}．解 (1){－2，－1,0,1,2}．(2){3,6,9}．(3)∵x ＝|x |，∴x ≥0，又∵x ∈Z 且x <5，∴x ＝0或1或2或3或4.∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}．(4){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．(5){x |x ＝2k －1，－1≤k ≤3，k ∈Z }． 综合提高 (限时25分钟)7．直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合为( )．A ．{0,1}B ．{(0,1)}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫－12，0 解析 把x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，∴交点为(0,1)，选B.答案 B8．集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A 、B 中x ∈R ，y ∈R )．选项中元素与集合的关系都正确的是( )．A ．2∈A ，且2∈BB．(1,2)∈A，且(1,2)∈BC．2∈A，且(3,10)∈BD．(3,10)∈A，且2∈B解析集合A中元素y是实数，不是点，故选B、D不对，集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以选项A错．答案 C9．已知集合{－1,0,1}与集合{0，a，b}相等，则a2 010＋b2 011的值等于________．解析由题意，得a＝－1，b＝1或a＝1，b＝－1，即a2 010＋b2 011＝0或2.答案0或210．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}中所有元素之和为________．解析由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，∴(－5)2＋5a－5＝0，解得a＝－4.则方程x2＋ax＋3＝0即为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.∴{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}，所以元素之和为1＋3＝4.答案 411．用适当的方法表示下列对象构成的集合．(1)绝对值不大于3的整数；(2)平面直角坐标系中不在第一、三象限内的点；(3)方程2x＋1＋|y－2|＝0的解．解(1)用列举法：{－3，－2，－1,0,1,2,3}；或用描述法：{绝对值不大于3的整数}，或写成{x||x|≤3，x∈Z}．(2)因为在第一、三象限内的点(x，y)的横坐标x、纵坐标y同正(第一象限)或同负(第三象限)，即xy >0，所以不在第一、三象限内的点(x ，y )满足xy ≤0，因此该集合可用描述法表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }．(3)由算术平方根及绝对值的意义，若干个非负数的和为零，则这几个非负数均为零，则必有⎩⎨⎧ 2x ＋1＝0，y －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－12，y ＝2.因此该方程的解的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|(－12，2). 12．(创新拓展)已知集合M ＝{0,2,4}，定义集合P ＝{x |x ＝ab ，a ∈M ，b ∈M }，求集合P .解 ∵a ∈M ，b ∈M ，∴a ＝0,2,4，b ＝0,2,4.当a ，b 至少有一个为0时，x ＝ab ＝0；当a ＝2且b ＝2时，x ＝ab ＝4；当a ＝2且b ＝4时，x ＝ab ＝8；当a ＝4且b ＝2时，x ＝ab ＝8；当a ＝4且b ＝4时，x ＝ab ＝16.根据集合中元素的互异性，知P ＝{0,4,8,16}．1.1.2集合间的基本关系双基达标 (限时20分钟)1．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A ，则A ≠∅.其中正确的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 ①空集是其自身的子集；②当集合为空集时说法错误；③空集不是空集的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错，④正确． 答案 B2．如果A＝{x|x>－1}，那么正确的结论是()．A．0⊆A B．{0}AC．{0}∈A D．∅∈A解析由于0>－1，所以{0}A.答案 B3．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是()．A．5 B．6 C．7 D．8解析∵A＝{x|0≤x<3且x∈Z}＝{0,1,2}，∴集合A有3个元素，故集合A有23－1＝7(个)真子集．答案 C4．下列关系中正确的是________．①∅∈{0}；②∅{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．解析∵∅{0}，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确；{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a，b)}与{(b，a)}是两个不相等的点集，④错误．故正确的是②.答案②5．集合U、S、T、F的关系如图所示，下列关系错误的有________．①S U；②F T；③S T；④S F；⑤S F；⑥F U.解析根据子集、真子集的Venn图，可知S U，S T，F U正确，其余错误．答案②④⑤6．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．解∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．综合提高(限时25分钟)7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 3，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 6，k ∈Z ，则( )．A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A 与B 关系不确定解析 对B 集合中，x ＝k 6，k ∈Z ，当k ＝2m 时，x ＝m 3，m ∈Z ；当k ＝2m －1时，x ＝m 3－16，m ∈Z ，故按子集的定义，必有AB .答案 A8．满足{a }⊆M {a ，b ，c ，d }的集合M 共有( )．A ．6个B ．7个C ．8个D ．15个解析 集合M 必含元素a ，且为{a ，b ，c ，d }的真子集，可按元素个数分类依次写出集合M ：{a }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，c ，d }．答案 B9．设A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，若B A ，则a 的值为________． 解析 ∵B A ，∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .若a 2－a ＋1＝3，则a 2－a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－1，符合题意；若a 2－a ＋1＝a ，则a ＝1.此时A ＝{1,3,1}，不符合题意，舍去．综上可知a 的值为2或－1.答案 2或－110．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么a 的取值是________．解析 P ＝{－1,1}，∵Q ⊆P若Q ＝∅，则a ＝0，此时满足Q ⊆P ，若Q ≠∅，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝1a ，由题意知，1a ＝1或1a ＝－1，解得a ＝±1.综上可知，a 的取值是0，±1.答案 0，±111．已知M ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}，N ＝{－2,4a －3,3a －1}，若M ＝N ，求实数a 的值．解 因为M ＝N ，所以(a －3)＋(2a －1)＋(a 2＋1)＝－2＋(4a －3)＋(3a －1)，即a 2－4a ＋3＝0.解得a ＝1或a ＝3.当a ＝1时，M ＝{－2,1,2}，N ＝{－2,1,2}，满足M ＝N ；当a ＝3时，M ＝{0,5,10}，N ＝{－2,9,8}，不满足M ＝N ，舍去．故所求实数a 的值为1.12．(创新拓展)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)若x ∈Z ，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若没有元素使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，则⎩⎨⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得－3≤m ≤3，则2≤m ≤3. 综上可得m ≤3时，有B ⊆A .(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A 的非空真子集的个数为28－2＝254.(3)由于x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且没有元素使x ∈A 与x ∈B 同时成立，①若B ＝∅，则由m ＋1>2m －1，得m <2，满足条件；②若B ≠∅，则要满足条件⎩⎨⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎨⎧ m ＋1≤2m －1，2m －1<－2. 解得m >4.综上，m<2或m>4.1.1.3集合的基本运算（并集、交集）双基达标(限时20分钟)1．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于()．A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}解析结合数轴得：M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．答案 A2．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4解析由已知得M＝{2,3}或{1,2,3}，共2个．答案 B3．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N等于()．A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}解析M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{－1,0,1}．答案 B4．若集合P＝{x|x2＝1}，集合M＝{x|x2－2x－3＝0}，则P∩M＝________.解析P＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，所以P∩M＝{－1}．答案{－1}5．设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B＝________.解析结合数轴得：A∪B＝{x|x>－2}．答案{x|x>－2}6．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B. 解∵B⊆(A∪B)，∴x2－1∈(A∪B)．∴x2－1＝3或x2－1＝5.解得x＝±2或x＝± 6.若x2－1＝3，则A∩B＝{1,3}．若x2－1＝5，则A∩B＝{1,5}．综合提高(限时25分钟)7．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4解析由于{1,3}∪A＝{1,3,5}，所以A⊆{1,3,5}，且A中至少有一个元素为5，从而A中其余的元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4，它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．答案 D8．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{x|y＝x－1}，则A∩B＝()．A．{－2} B．{(－2，－3)}C．∅D．{－3}解析由于A是点集，B是数集，∵A∩B＝∅.答案 C9．满足{0,1}∪A＝{0,1,2}的所有集合A是________．解析∵{0,1}∪A＝{0,1,2}，∴2∈A.∴A＝{2}或{0,2}或{1,2}或{0,1,2}．答案{2}或{0,2}或{1,2}或{0,1,2}10．集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∩B＝{1}，则a＝________.解析∵A∩B＝{1}，∴1∈A，∴a2＝1，a＝±1.又a≠1，∴a＝－1.答案－111．若A∩B＝A，A∪C＝C，B＝{0,1,2}，C＝{0,2,4}，写出满足上述条件的所有集合A.解∵A∩B＝A，A∪C＝C，∴A⊆B，A⊆C.又B＝{0,1,2}，C＝{0,2,4}，故A⊆(B∩C)＝{0,2}，所以满足条件的集合A有∅，{0}，{2}，{0,2}．12．(创新拓展)设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．解符合条件的理想配集有①M＝{1,3}，N＝{1,3}．②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．共3个．1.1.3集合的基本运算（补集及其综合应用）双基达标(限时20分钟)1．设全集U＝R，A＝{x|0≤x≤6}，则∁R A＝()．A．{0,1,2,3,4,5,6} B．{x|x<0或x>6}C．{x|0<x<6} D．{x|x≤0或x≥6}解析∁R A＝{x|x<0或x>6}．答案 B2．已知全集U＝{2,5,8}，且∁U A＝{2}，则集合A的真子集个数为()．A．3 B．4 C．5 D．6解析由∁U A＝{2}，则A＝{5,8}∴集合A的真子集为∅，{5}，{8}，共3个．答案 A3．若A为全体正实数的集合，B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论中正确的是()．A．A∩B＝{－2，－1} B．(∁R A)∪B＝{－2，－1,1}C．A∪B＝{1,2} D．(∁R A)∩B＝{－2，－1}解析∵∁R A＝{x|x≤0}，∴(∁R A)∩B＝{－2，－1}．答案 D4．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁A B＝{5}，则实数m＝________. 解析∵∁A B＝{5}，∴A＝B∪∁A B＝{3,4,5}．∴m＝5.答案 55．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|0<x<10}，若A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.解析由题意，得U＝A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁U B)＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．答案{2,4,6,8}6．在如图中，用阴影表示出集合(∁U A)∩(∁U B)．解∵(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，∴如图所示为所求．综合提高(限时25分钟)7．已知U为全集，集合M、N是U的子集，若M∩N＝N，则()．A．(∁U M)⊇(∁U N) B．M⊆(∁U N)C．(∁U M)⊆(∁U N) D．M⊇(∁U N)解析利用韦恩图，如图所示：可知(∁U M)⊆(∁U N)．答案 C8．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是()．A．a≤2 B．a<1 C．a≥2 D．a>2解析∵B＝{x|1<x<2}，∴∁R B＝{x|x≥2或x≤1}．如图，若要A∪(∁R B)＝R，必有a≥2.答案 C9．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________. 解析∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴m＝－3.故填－3.答案－310．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁U A与∁U B的包含关系是________．解析先求出∁U A＝{x|x<0}，∁U B＝{y|y<1}＝{x|x<1}．∴∁U A∁U B.答案∁U A∁U B11．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝{x|x≤0或x≥5 2}，(1)求A∩B；(2)求(∁U B)∪P；(3)求(A∩B)∩(∁U P)．解借助数轴，如下图．。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含解析)(10)
1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合{}0,1,2A =，那么（ ）A ．0A ⊆B ．0A ∈C ．1AD ．{}0,1,2A ⋃2．已知集合{}1,A x x x Z =≤∈，则满足条件BA 的集合B 的个数为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．83．已知集合{}14A x Z x =∈-<<，则集合A 的非空子集个数是（ ）A ．7B ．8C ．15D ．16 4．集合{,,}a b c 的真子集共有（ ）个 A ．5 B ．6C ．7D ．8 5．下列表示正确的是 A ．0∈N B ．27∈NC ．–3∈ND ．π∈Q 6．设集合{|21,},5A x x k k Z a ==+∈=，则有（ ） A ．a A ∈ B ．a A -∈ C ．{}a A ∈ D ．{}a A ⊇7．下列关于空集∅的叙述：①0∈∅；②{}∅∈∅；③{}0∅=.正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 85R ；②14Q ∉；③1.5Z ∈.其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．09．方程组2219x y x y +=-=⎧⎨⎩的解集是（ ） A ．()5,4B ．()5,4-C ．(){}5,4-D ．(){}5,4-二、填空题 1．如果有一集合含有两个元素：x ，2x x -，则实数x 的取值范围是________．2．已知集合A ＝0, 1}, B ＝2{,2}a a ，其中a R ∈, 我们把集合1212{|,,}x x x x x A x B =+∈∈记作A ＋B ，若集合A ＋B 中的最大元素是21a +，则a 的取值范围是______.3．一元二次方程x 2+4x+3=0的解集为________（用列举法）4．已知集合2{|320,,}A x ax x x R a R =-+=∈∈，若集合A 中只有一个元素，则实数a 的取值为______ ．5．若不等式组120161x x a-≥⎧⎨+⎩的解集中的元素有且仅有有限个数，则a =________． 三、解答题 1．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎧⎫=⎨⎨⎬+=⎩⎭⎩表示什么？集合C ，D 之间有什么关系？2．已知集合2{|210}A x ax x =∈++=R ，其中a ∈R ．（1）若12A ∈，用列举法表示集合A ；（2）若集合A 中有且仅有一个元素，求a 的值组成的集合B ．3．用列举法表示下列集合．（1）x|x 2－2x －8＝0}．（2）x|x 为不大于10的正偶数}．（3）a|1≤a<5，a∈N}．（4）169A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭∣ （5）(x ，y)|x∈1，2}，y∈1，2}}．参考答案一、单选题1．B解析：根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.详解：由{}0,1,2A =，则0A ∈，{}1A ⊆故选：B2．C解析：先确定集合A 中元素，再由真子集个数的计算公式，即可得出结果.详解： 因为{}{}1,101A x x x Z =≤∈=-，，，所以满足条件B A 的集合B 的个数为3217-=，故选：C ．3．C解析：利用列举法表示集合A ，确定集合A 中元素的个数，进而可求得集合A 的非空子集个数.详解：{}{}140,1,2,3A x Z x =∈-<<=，集合A 中共4个元素，因此，集合A 的非空子集个数是42115-=.故选：C.4．C解析：直接根据含有n 个元素的集合，其子集个数为2n ，真子集为21n -个；详解：解：因为集合{,,}a b c 含有3个元素，故其真子集为3217-=个故选：C5．A解析：根据自然数集以及有理数集的含义判断数与集合关系. 详解：N表示自然数集，在A中，0∈N，故A正确；在B中，27N∉，故B错误；在C中，–3∉N，故C错误；Q表示有理数集，在D中，π∉Q，故D错误．故选A．点睛：本题考查自然数集、有理数集的含义以及数与集合关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.6．A解析：5221a==⨯+,结合集合A,即可得出结果.详解：5221a A==⨯+∈．故选:A点睛：本题考查元素和集合的关系,考查学生对基本概念的理解,属于基础题.7．B解析：直接根据∅中没有任何中元素，∅是{}∅的元素，且是{}0的真子集即可判断.详解：∵∅中没有任何中元素，0∉∅，故①错误；{}∅∈∅，故②正确；{}0≠∅，故③错误.故正确的只有②.故选：B.点睛：本题考查命题真假的判断，考查元素与集合、空集和单元素集合{}0关系等基础知识，是基础题.8．A解析：根据元素和常用数集之间的关系，直接判定，即可得出结果.详解：R R，即①正确；Q 为有理数集，故14Q ∈，即②错； Z 为整数集，故1.5Z ∉，即③错；故，正确的个数为1个.故选：A.点睛：本题主要考查元素与集合之间关系的判定，属于基础题型.9．D解析：解出方程组的解，然后用集合表示.详解：因为()()229x y x y x y -==+-，将1x y +=代入得，得9x y -=.210x y x y x ++-==，解得5x =.代入得4y =-.所以方程组2219x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集(){}5,4-. 故选：D.点睛： 本题考查集合的表示，考查用列举法表示方程组解的集合，注意解的表示形式，属于基础题.二、填空题1．0x ≠且2x ≠解析：根据集合的元素的互异性列出不等式，解之即得.详解：由集合元素的互异性可得2x x x -≠，解得0x ≠且2x ≠.故答案为：0x ≠且2x ≠.2．(0, 2)解析：只要解不等式2121a a +<+即得．详解：由题意2121a a +<+，解得02a <<，即a 的取值范围是(0,2)．故答案为(0,2)．点睛：本题考查集合的创新问题，解题中需要理解新概念，转化为旧知识．如本题转化为解不等式2121a a +<+．3．{}1,3--解析：求出方程的解，用列举法表示出即可.详解：由2430x x ++=解得1x =-或3-，2430x x +∴+=的解集为{}1,3--.故答案为：{}1,3--.点睛：本题考查列举法表示集合，属于基础题.4．0或98解析：由题意，集合A 中只有一个元素，转化为方程2320ax x -+=只有一个解，分类讨论，即可得到答案．详解：因为集合2A {x |ax 3x 20,x R,a R}=-+=∈∈有且只有一个元素，当a 0=时，2ax 3x 20-+=只有一个解2x 3=，当a 0≠时，一元二次方程有重根，即98a 0=-=即9a 8=．所以实数a 0=或98．点睛：本题主要考查了集合中元素个数的判定与应用，其中根据题意把集合A 中只有一个元素，转化为方程2320ax x -+=只有一个解，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了转化思想，及分类讨论数学思想的应用．5．2018解析：若不等式组120161x x a -≥⎧⎨+⎩的解集中有且仅有有限个数，则12017a -=，进而得到答案． 详解：解12016x -≥得：2017x ≥，解1x a +≤得：1x a ≤-，若12017a -<，则不等式的解集为空集，不满足条件；若12017a -=，则不等式的解集有且只有一个元素，满足条件，此时2018a =；若12017a ->，则不等式的解集为无限集，不满足条件；综上可得：2018a =，故答案为：2018点睛：本题主要考查集合中元素的个数，同时考查了不等式组的解法，属于简单题.三、解答题1．D C解析：集合表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系.详解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎧⎫=⎨⎨⎬+=⎩⎭⎩表示直线21x y -=与直线45x y +=交点的集合， 即{(1,1)}D =. D C点睛：本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握.2．(1) 11,42A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭(2) {0,1}B = 解析：（1）由题,将12x =代入方程中,进而得到8a =-,再解得方程,并用列举法表示解的集合即可；（2）当0a =时,解得12x =-,即为一个解,当0a ≠时,令0∆=,求解即可详解：（1）∵12A ∈, ∴12是方程2210ax x ++=的根, ∴21121022a ⎛⎫⨯+⨯+= ⎪⎝⎭,解得8a =-, ∴方程为28210x x -++=, ∴112x =,214x =-,此时11,42A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭（2）若0a =,则方程为210x +=,解得12x =-,此时A 中仅有一个元素,符合题意；若0a ≠,A 中仅有一个元素,那440a ∆=-=,即1a =,方程有两个相等的实根,即121x x ==- ∴所求集合{0,1}B =点睛：本题考查列举法表示集合, 考查由元素的个数求参数,考查分类讨论的思想,考查解方程，属于中档题.3．（1）｛4，-2｝；（2）｛2，4，6，8，10｝；（3）｛1，2，3，4｝；（4）｛1，5，7，8｝；(5)｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝解析：根据题意，列举出集合中所有的元素，即可求得结果.详解：（1）2280x x--=，解得4x=或2-，故x|x2－2x－8＝0}=｛4，-2｝；（2）x|x为不大于10的正偶数}=｛2，4，6，8，10｝；（3）a|1≤a<5，a∈N}，故1,2,3,4a=，则a|1≤a<5，a∈N}=｛1，2，3，4｝；（4）169A x N Nx⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭∣=｛1，5，7，8｝；（5）(x，y)|x∈1，2}，y∈1，2}}=｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝点睛：本题考查用列举法表示集合，属简单题.。
高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.1集合的含义人教A版必修1
解 (1)因为－3∈A，所以 a－2＝－3 或 2a2＋5a＝－3， 解得 a＝－1 或 a＝－32.
当 a＝－1 时，A 中三个元素分别为－3，－3,12，不符 合集合中元素的互异性，舍去．
【跟踪训练 2】 (1)用符号“∈”或“∉”填空． ①0.3· ____∉____N*；②1____∈____N； ③1.5_____∉___Z；④2 2____∉____Q； ⑤2＋ 3____∈____R；⑥若 x2＋1＝0，则 x____∉____R. (2)设 x∈R，集合 A 中含有三个元素 3，x，x2－2x. ①求实数 x 应满足的条件； ②若－2∈A，求实数 x 的值．
集合，且 2∈A，则实数 m 为( )
A．2
B．3
C．0 或 3 D．0,2,3 均可
解析 ∵2∈A，∴m＝2 或 m2－3m＋2＝2，当 m＝2 时， m2－3m＋2＝0 与集合互异性矛盾．当 m2－3m＋2＝2 时，m ＝0(舍去)或 m＝3，符合题意，故 m＝3.
4．m，n∈R，由两个数mn ，1 组成的集合 P 与由两个 元素 n,0 组成的集合 Q 相等，则 m＋n 的值等于____1____．
解 (1)由－3∈A 且 a2＋1≥1，可知 a－3＝－3 或 2a －1＝－3，
当 a－3＝－3 时，a＝0；当 2a－1＝－3 时，a＝－1. 经检验，0 与－1 都符合要求． ∴a＝0 或－1. (2)当 x＝0,1，－1 时，都有 x2∈B， 但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故 x＝－1.
或a＝14， b＝12.
解法二：∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含解析)(99)
1.1 集合的概念一、单选题1．设集合2{|2}M x R x =∈，1a =，则下列关系正确的是（ ）A ．a MB ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M2．以下六个命题中：0{0}∈；{0}⊇∅；0.3Q ∉；0N ∈；{,}{,}a b b a ⊆；{}220,xx x Z -=∈∣是空集.正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．5D ．2 3．已知集合{(2)(2)0}M x x x x =+-=∣，则M =（ ） A ．{0,2}-B ．{0,2}C ．{0,2,2}-D ．{2,2}- 4．下列集合表示正确的是A ．2，4}B ．2，4，4}C ．1，3，3}D ．漂亮女生} 5．已知集合{}1,2A =，{}1,1,1B a =-+且A B ⊆，则a =A ．1B ．0C ．1-D ．2 6．设集合A ＝（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝（x ，y ）|x+y ＝1}，则A∩B 中元素的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集不能表示为． A ．()3,1x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=-⎩⎪⎪⎩⎭ B ．()1,2x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭ C ．{}1,2 D ．(){},1,2x y x y ==8．下列对象能确定为一个集合的是（ ）A ．第一象限内的所有点B ．某班所有成绩较好的学生C ．高一数学课本中的所有难题D ．所有接近1的数9．给出下列关系，其中正确的个数为（ ）①0N ∈Q ⊄；③{}0=∅；④(),R =-∞+∞A ．1B ．0C ．2D ．3二、填空题1．已知集合{}2,1,0,1A =--，集合{},B y y x x A ==∈，则B =_______________.2．由||||(,)a b a b R a b +∈所确定的实数集合是________．3．给出下列关系：①12R ∈Q ；③3N *∈；④0Z ∈．其中正确的序号是______．4．若a∈1，a 2﹣2a+2}，则实数a 的值为___________.5．已知集合A=1，2，a 2-2a}，若3∈A，则实数a=______．三、解答题1．（1）已知{}221,251,1A a a a a =-+++，2A -∈，求实数a 的值； （2）已知集合{}2340A x R ax x =∈--=，若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围．2．集合{|12}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<．（1）若A B A =，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围．3．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a+∈-．若2a =，求出A 中其他所有元素．参考答案一、单选题1．D解析：先求解集合M ，即可确定a 与M 的关系．详解：解：22x ，22x，{|22}M x R x ∴=∈， 又1a =，a M ∴∈，{}a M ．故选：D.2．C解析：根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定排除得到答案.详解：根据元素与集合间的关系可判定0{0}∈、0N ∈正确，0.3Q ∉不正确，根据集合与集合之间的关系可判定{0}⊇∅、{,}{,}a b b a ⊆、{}220,x x x Z -=∈∣是空集正确. 故选：C ．3．C解析：直接利用方程的解法化简求解.详解：因为集合{(2)(2)0}{2,0,2}M xx x x =+-==-∣， 故选：C4．A解析：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，利用元素的三个特性对四个命题逐一的进行判断，能够得到答案．详解：对于选项A ，由集合的定义可知，一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合，显然A 项符合定义．故A 项正确．对于B 项和C 项，根据集合中元素的互异性可知，对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，故B 项和C 项错误．对于D 项，根据集合中元素的确定性可知，作为一个集合中的元素，必须是确定的，而D项中的元素显然不是确定的．故D项错误．点睛：本题主要考查集合的含义与表示，以及集合中元素的特性．5．A解析：由题知：12a+=，解得：1a=.详解：因为A B⊆，所以，解得：1a=.故选：A点睛：本题考查集合的子集关系，理解子集的概念是关键，属于简单题.6．C解析：可画出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出A∩B中的元素个数．详解：画出x2+y2＝1和x+y＝1的图象如下：可看出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1有两个交点，∴A∩B的元素个数为2.故选：C．点睛：考查了描述法的定义，交集的定义及运算，数形结合解题的方法，考查了计算能力，属于容易题．7．C解析：由方程组31x yx y+=⎧⎨-=-⎩，解得12xy=⎧⎨=⎩，得到解集中只含有一个元素，根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解．详解：由题意，方程组31x yx y+=⎧⎨-=-⎩，解得12xy=⎧⎨=⎩，其解集中只含有一个元素，根据集合的表示方法，其中A，B．D项表示都是正确的，其中选项C是表示由两个元素组成的熟记，不符合要求，所以不能表示为{}1,2．故选C．点睛：本题主要考查了集合的表示方法，其中解答中正确理解集合的表示方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．8．A解析：根据元素是否具备确定性逐项分析即可.详解：A ．具备集合中元素的确定性，可以构成一个集合，故正确；B．“较好”不满足集合中元素的确定性，故错误；C．“难题”不满足集合中元素的确定性，故错误；D．“接近”不满足集合中元素的确定性，故错误.故选：A.点睛：本题考查集合中元素的特征，着重考查了集合中元素的确定性，难度较易.集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性.9．C解析：根据元素与集合的关系，逐一分析①②③④，即可得答案.详解：对于①：0为自然数，所以0N∈，故①正确；Q，故②错误；对于③：0含有元素0，不是空集，故③错误；对于④：R为实数集，所以④正确；故选：C二、填空题1．{}0,1,2解析：根据题意，由列举法，即可得出结果.详解：因为{}2,1,0,1A =--， 所以{}{},0,1,2B y y x x A ==∈=. 故答案为：{}0,1,2.点睛：本题主要考查列举法表示集合，属于基础题型.2．{}202-，， 解析：根据a b 、的正负性分类讨论进行求解即可.详解：当0,0a b >>时，||||2a b a b a b a b +=+=； 当0,0a b ><时，||||0a b a b a b a b +=-=； 当0,0a b <>时，||||0a b a b a b a b +=-+=； 当0,0a b <<时，||||2a b a b a b a b+=--=-， 故答案为：{}202-，，3．①③④解析：根据元素与集合间的关系和特殊集合：有理数集，自然数集，整数集，实数集所含的元素可得选项.详解： 对于①: 12是分数，所有的分数都是实数，故①正确；对于③：3是自然数，故③正确；对于④：0是整数，故④正确；所以①③④正确，故选①③④．点睛：本题考查特殊集合：有理数集，自然数集，整数集，实数集所含的元素和元素与集合的关系，属于基础题.4．2解析：利用集合的互异性，分类讨论即可求解详解：因为a∈1，a 2﹣2a+2}，则：a=1或a=a 2﹣2a+2，当a=1时：a 2﹣2a+2=1，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当a≠1时：a=a 2﹣2a+2，解得：a=1(舍去)或a=2；故答案为：2点睛：本题考查集合的互异性问题，主要考查学生的分类讨论思想，属于基础题5．3或-1解析：根据3∈A 即可得出a 2-2a=3，解方程得到a 即可．详解：∵3∈A，A=1，2，a 2-2a}，∴a 2-2a=3，解得a=-1或3故答案为-1或3．点睛：本题考查了列举法的定义，元素与集合的关系，考查了推理和计算能力，属于基础题．三、解答题1．（1）32a =-；（2）9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >． 解析：（1）分析可得12a -=-或22512a a ++=-，结合集合中元素的互异性可求得实数a 的值；（2）根据已知条件得出09160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩，即可解得实数a 的取值范围. 详解：（1）因为210a +>，故212a +≠-，因为2A -∈，则12a -=-或22512a a ++=-.①当12a -=-时，即当1a =-时，此时212512a a a -=++=-，集合A 中的元素不满足互异性；②当22512a a ++=-时，即22530a a ++=，解得32a =-或1a =-（舍）， 此时512a -=-，21314a +=，集合A 中的元素满足互异性. 综上所述，32a =-；（2）因为集合{}2340A x R ax x =∈--=中有两个元素，则09160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩， 解得916a 且0a ≠， 因此，实数a 的取值范围是9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >.2．（1）2a >；（2）1a ≤-解析：（1）由A B A =，可得A B ⊆，即可列出不等关系，求出a 的取值范围；（2）由A B =∅，且B ≠∅，可列出不等关系，求出a 的取值范围.详解：（1）由集合{|12}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<，因为A B A =，所以A B ⊆，则2a >，即实数a 的取值范围为2a >.（2）因为A B =∅，且B ≠∅，所以1a ≤-，故实数a 的取值范围为1a ≤-. 3．113,,23-- 解析：根据定义依次计算即可得答案.详解：解：因为若a A ∈，则11a A a +∈-， 所以当2a =时，11a a +=-12312A +=-∈-； 当3a =-时，11a a +=-131132A -=-∈+， 当12a =-时，11a a +=-11121312A -=∈+，当13a=时，11aa+=-1132113A+=∈-，综上A中其他所有元素为：11 3,,23 --.点睛：本题考查集合的元素的求解，是基础题.。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含解析)(53)
1.1 集合的概念一、单选题1．下列四个选项表示的关系正确的是（ ）A ．0Z ∉B ．Q π∈C ．{}R ϕ⊆D ．5N ∈2．定义集合运算：()2{|1,,}A B z z x y x A y B ⋅==-∈∈.设{}1,1A =-，{}0,2B =，则集合A B ⋅中的所有元素之和为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3．已知集合A=a-2，2a 2+5a ，12}，-3∈A，则a 的值为（ ） A ．1-B ．32- C ．1或32- D ．1-或32- 4．若元素{}21,a a ∈，则实数a 的值为（ ）．A ．1-B ．1,1-C ．1,0-D ．0,1 5．已知全集U =Z ，集合1}{2|,M x x x Z -<<∈=，{1,0,1,2}N =-，则()C U M N ⋂=（ ） A ．{1,2}- B ．{1,0}- C ．{0,1} D ．{1,2}6．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．9 7．已知集合223{()|}Ax y x y x N y Z ≤∈∈＝，＋，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 8．下列各组中的两个集合表示同一个集合的是（ ）A ．{}M π=，{3.1415926}N =B ．{0,1}M =，{(0,1)}N =C ．2{|1}M x x =∈=R ，{0,1}N =D ．*{|11}M x x =∈-<≤N ，{1}N = 9．下列说法正确的是A ．我校爱好足球的同学组成一个集合B ．{}1,2,3是不大于3的自然数组成的集合C ．集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一个集合D ．由1，0，12，325个元素 二、填空题1．已知集合{}221,(1),33A m m m m =+--+，若1A ∈，则2021m =__________. 2．设A ＝4，a}，B ＝2，ab}，若A 与B 的元素相同，则a ＋b ＝______．3．定义集合A 、B 的一种运算：{}1212*,,,A B x x x x x A x B ==+∈∈其中.若{}1,2,3A =，{}1,2B =，则A*B 中的所有元素数字之和为____.4．若集合{}240,A x x x k x R =++=∈中只有一个元素，则实数k 的值为_______．5．若集合{}{}1102A B =-=，，，，则集合{}z z x y x A y B =+∈∈，，中的元素个数为____________． 三、解答题1．用适当的方法表示下列集合：（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合；（2|2|0y -=的解集.2．已知集合(){},20A x y x y m =-+>，(){},0B x y x y n =+-≤，若()2,3A ∈，()2,3B ∉，试求实数m ，n 的取值范围．3．已知集合{}22,A y y x x x ==-∈R ，{}226,B y y x x x ==-++∈R ．（1）求A B ；（2）若集合A ，B 中的元素都为整数，求A B ．（3）若集合A 变为{}22,A x y x x x ==-∈R ，其他条件不变，求A B ；（4）若集合A ，B 分别变为(){}2,2,A x y y x x x ==-∈R ，(){}2,26,B x y y x x x ==-++∈R ，求A B ．参考答案一、单选题1．D解析：元素与集合的关系判断．详解：0是整数，π是无理数，R 与{}ϕ没有包含关系，而5是自然数，只有D 正确．故选：D ．2．A解析：根据定义，逐个分析,x y 的取值情况，由此得到z 的取值情况，从而集合A B ⋅可确定，则集合中所有元素的和可求.详解：当1,0x y =-=时，()()21011z =-⨯-=-；当1,2x y =-=时，()()21211z =-⨯-=；当1,0x y ==时，()21011z =⨯-=-；当1,2x y ==时，()21211z =⨯-=； 所以{}1,1A B ⋅=-，所以A B ⋅中所有元素之和为0，故选：A.点睛：关键点点睛：解答本题的关键是理解A B ⋅的运算方法，由此采用逐个列举的方法可完成结果的求解.3．B解析：根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果详解：∵-3∈A∴-3=a-2或-3=2a 2+5a∴a=-1或a=-32，∴当a=-1时，a-2=-3，2a 2+5a=-3，不符合集合中元素的互异性，故a=-1应舍去 当a=-32时，a-2=-72，2a 2+5a=-3，满足．∴a=-32．故选B ．点睛：本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.4．A解析：根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性,列出关于实数a 的方程,解方程并进行取舍即可.详解：因为元素{}21,a a ∈, 所以当21a =,即1a =±时,若1a =,此时集合为{}1,1,不符合集合中元素的互异性,故1a =不符合题意;若1a =-,此时集合为{}1,1-符合题意;综上可知,实数a 的值为1-.故选:A点睛：本题考查元素与集合的关系及集合中元素的互异性;利用集合中元素的互异性对实数a 进行取舍是本题的易错点;属于基础题、常考题型.5．A解析：根据集合M ，求出C U M ，然后再根据交集运算即可求出结果.详解：{|12,}{0,1}M x x x =-<<∈=Z∴()C {1,2}U M N ⋂=-.故选:A.点睛：本题主要考查集合的交集和补集运算，属于基础题.6．B解析：由,,x M y M x y M ∈∈+∈即可求解满足题意的点(),x y 的坐标.详解：解：由题意，满足条件的平面内以(),x y 为坐标的点集合()()(){}1,1,1,2,2,1N =，所以集合N 的元素个数为3.故选：B.7．D解析：根据223x y ≤＋知这个是一个圆,再根据x N y Z ∈∈，找到圆内满足条件的点即可. 详解：解：223{()|}Ax y x y x N y Z ≤∈∈＝，＋，，, 223x y ≤＋表示平面内圆心为(0,0),半径3r =的圆,又因为x N y Z ∈∈，,依题意画图,可得集合A 中元素的个数为6．故选D点睛：本题考查集合元素的个数,要知道集合是一个点集.8．D解析：判断两个集合为同一集合即判断集合中的元素是否一致,由此依次判断选项即可 详解：A 选项,集合M 中元素为无理数,集合N 中元素为有理数,故M 与N 不是同一个集合；B 选项,集合M 中元素为实数,集合N 中元素为有序数对,故M 与N 不是同一个集合；C 选项,集合M 中元素为1-,1,集合N 中元素为0,1,故M 与N 不是同一个集合；D 选项,集合M 中的元素为1,故M 与N 是同一个集合故选：D点睛：本题考查同一集合问题,考查描述法、列举法表示集合,属于基础题9．C解析：根据集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性对选项逐一判断可得正确选项. 详解：对于选项A:不满足集合中的元素的确定性，所以A 错误；对于选项B:不大于3的自然数组成的集合是{0,1,2,3},所以B 错误；对于选项C:由于集合中的元素具有无序性,所以集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一个集合，所以C 正确；；对于选项D 12，集合中的元素具有互异性，所以由1，0，12，32有4个元素, 所以D 错误；故选C.点睛：本题考查了集合中的元素的特征：确定性,无序性,互异性，属于基础题.二、填空题1．1解析：分别令三个元素为1，求m 后，验证互异性，即可求解.详解：依题意，分别令11m +=，得0m =，此时()211m -=，不满足互异性；当()211m -=，得0m =或2m =，检验后，都不满足互异性；当2331m m -+=，解得：1m =或2m =，经检验，1m =，成立，所以20211=m .故答案为：12．4解析：根据集合的元素相同，找到对应的相等关系，列出方程组求得,a b 的值，进而得解. 详解：因为A 与B 的元素相同，所以24a ab =⎧⎨=⎩, 即a ＝2，b ＝2,故a ＋b ＝4.答案：4.3．14.详解：A*B 中元素为2，3，4，5，故其所有元素数字之和为14.故答案为144．4解析：∵240x x k ++=由唯一的实根，∴164k 0=-=，解得：4k =故答案为：45．3解析：根据集合的元素关系确定集合即可．详解：解：A ＝﹣1，1}，B ＝0，2}，∵x∈A，y∈B，∴x＝1或x ＝﹣1，y ＝0或y ＝2，则z ＝x+y ＝﹣1，1，3，即为﹣1，1，3}．故答案为：3．点睛：本题主要考查集合元素个数的确定，利用条件确定集合的元素即可，比较基础．三、解答题1．（1）{12,21,13,31,23,32}（2）1(,)|22x x y y ⎧⎧⎫=-⎪⎪⎪⎨⎨⎬⎪⎪⎪=⎩⎭⎩解析：(1)由列举法对所求的集合一一列举即可；(2)由偶次方根和绝对值的非负性，且非负数的和为零，可得每个非负数均为零，则由020y =-=⎪⎩即可解得方程的解集. 详解：解析（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12,21,13,31,23,32}.（2|2|0y -=，得21020x y +=⎧⎨-=⎩所以1,22,x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩|2|0y -=的所有解组成的集合用描述法可表示为1(,)|22x x y y ⎧⎧⎫=-⎪⎪⎪⎨⎨⎬⎪⎪⎪=⎩⎭⎩. 点睛：本题考查了集合列举法的应用，考查了偶次方根和绝对值的非负性，属于一般难度的题.2．{}1m m >-，{}5n n <．解析：根据()2,3A ∈，()2,3B ∉，得到不等式2230m ⨯-+>和230n +->，即可求解，得到答案．详解：由题意，因为()2,3A ∈，可得2230m ⨯-+>，解得1m >-，又由()2,3B ∉，可得230n +->，解答5n <，所以实数m ，n 的取值范围分别是{}1m m >-，{}5n n <．点睛：本题主要考查了集合的表示方法，以及元素与集合的关系的应用，其中解答中熟练应用元素与集合的关系，代入运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．（1）{}17A B y y ⋂=-≤≤（2）{}1,0,1,2,3,4,5,6,7A B =-（3）{}7A B y y ⋂=≤（4）()(){}3,3,1,3A B =-解析：（1）将二次函数配方，得到其二次函数的值域，从而求得A B ；（2）由于集合A ，B 中的元素都为整数，所以题意就是求（1）中所得的A B 中的整数元素，可得解；（3）集合A 表示的是二次函数22,y x x x =-∈R 的定义域，所以得A =R ，再求A B ；（4）集合A 、B 表示的是二次函数图象上的点，求A B 实际上是求这两个二次函数的交点，联立其方程可得解.详解：（1）∵()222111y x x x =-=--≥-，()2226177y x x x =-++=--+≤， ∴{}1A y y =≥-，{}7B y y =≤，∴{}17A B y y ⋂=-≤≤．（2）由已知，得{}1A y y =∈≥-Z ，{}7B y y =∈≤Z ， 所以{}17A B y y ⋂=∈-≤≤Z∴{}1,0,1,2,3,4,5,6,7A B =-．（3）由已知，得A =R ，{}7B y y =≤，∴{}7A B y y ⋂=≤．（4）由22226y x x y x x ⎧=-⎨=-++⎩，得2230x x --=，解得3x =或1x =-．∴33x y =⎧⎨=⎩，或13x y =-⎧⎨=⎩， ∴()(){}3,3,1,3A B =-．故得解.点睛：本题考查集合的交集运算，求解的关键是理解集合中的元素具体含义，特别是分清集合表示的是点集还是数集，属于基础题.。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(98)
1.1 集合的概念一、单选题1．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．{}0B ．{8x x >∣，且}5x <C ．{}210x x ∈-=N ∣D ．{}4x x >答案：B解析：根据空集的定义判断．详解：A 中有元素0，B 中集合没有任何元素，为空集，C 中有元素1，D 中集合，大于4的实数都是其中的元素．故选：B ．2．下列常数集表示正确的是( )A ．实数集RB ．整数集QC ．有理数集ND ．自然数集Z答案：A解析：因为Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，N 表示自然数数集，所以A 正确，故选A.3．已知A 中元素x 满足x ＝3k －1，k∈Z，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A答案：C解析：判断一个元素是不是集合A 的元素，只要看这个元素是否满足条件31,x k k Z =-∈；判断一个元素是集合A 的元素，只需令这个数等于31k -，解出k ，判断k 是否满足k Z ∈，据此可完成解答.详解：当0k =时，311k -=-，故1A -∈，故选项A 错误；若11A -∈，则1131k -=-，解得103k Z =-∉，故选项B 错误； 令23131k k -=-，得0k =或1k =，即231k A -∈，故选项C 正确；当11k =-时，3134k -=-，故34A -∈，故选项D 错误；故选C.点睛：该题是一道关于元素与集合关系的题目，解题的关键是掌握集合的含义.4．若集合{}1,3A =，{}0,2B =-，则集合{}|,,z z x y x A y B =+∈∈中的元素的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2答案：C解析：根据题意求出{}{}|,,1,1,3z z x y x A y B =+∈∈=-即可得解.详解：集合{}1,3A =，{}0,2B =-，则集合{}{}|,,1,1,3z z x y x A y B =+∈∈=-共三个元素.故选：C点睛：此题考查求集合中的元素个数，关键在于读懂集合的新定义，根据题意求出集合中的元素.5．集合(){},0,,x y xy x y ≤∈∈R R 是指（ ）A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点答案：D解析：由0xy ≤，可知00x y ≤⎧⎨≥⎩或00x y ≥⎧⎨≤⎩，进而可选出答案. 详解：因为0xy ≤，所以00x y ≤⎧⎨≥⎩或00x y ≥⎧⎨≤⎩， 故集合(){},0,,x y xy x y ≤∈∈R R 是指第二象限和第四象限内的所有点，以及在,x y 轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点.故选：D.点睛：本题考查集合的表示方法，属于基础题.6．在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为（ ）A ．（x ，y ）|x ＝0，y≠0或x≠0，y ＝0}B ．（x ，y ）|x ＝0且y ＝0}C ．（x ，y ）|xy ＝0}D ．（x ，y ）|x ，y 不同时为零}答案：C解析：根据坐标轴上的点特征判断选项.详解：A.表示x 轴和y 轴上的点，但不包含原点，故A 错误；B.集合中只有一个元素，就是原点，故错误；C.00xy x =⇔=或0y =，即表示坐标轴上点的集合，故C 正确；D.表示平面中的点，但不包含原点，故错误.故选：C.7．用描述法表示奇数集合：①A＝a|a ＝2k+1，k∈Z}②B＝a|a ＝2k ﹣1，k∈Z}③C＝2b+1|b∈Z}④D＝d|d ＝4k±1，k∈Z}．上述表示方法正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：由整数的整除性，可得A 、B 都表示奇数集，D 表示除以4余1的整数或表示除以4余3的整数．由此不难得到本题的答案．详解：由题意得：①②表示奇数集合，③的表示方法错误，④D＝x|x ＝4k±1，k∈z}，表示除以4余1的整数或除以4余3的整数，∵一个奇数除以4之后，余数不是1就是3，故④表示奇数集合；故选：C ．8．已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．{0}C ．{0,1,1}-D ．{0,1}答案：D 解析：对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.详解：解：①当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件；②当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a =-=，解得1a =，综上，a 的取值集合为{0，1}．故选：D ．9．下列关系中正确的个数是（ ） ①12Q ∈ R ③*0N ∈ ④π∈ZA ．1B ．2C ．3D ．4答案：A解析：根据集合的概念、数集的表示判断．详解：120不是正整数，π是无理数，当然不是整数．只有①正确． 故选：A ．点睛：本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键．二、多选题1．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为（ ）A ．x|x ＝2k －1，k∈N}B ．x|x ＝2k ＋1，k∈N，k≥2}C ．x|x ＝2k ＋3，k∈N}D ．x|x ＝2k ＋5，k∈N}答案：BD解析：用列举法把四个选项对应的集合表示出来，即可验证.详解：对于A ：{}{|}1,1,321x x k k ∈=-N ＝－，对于B ：{}{|212}5,7,9x x k k k +∈≥=N ＝，， 对于C ：{}{|23}3,5,7x x k k +∈=N ＝， 对于D ：{}{|25}5,7,9x x k k +∈=N ＝，故选：BD 2．(多选题)已知集合A 中元素满足x ＝3k －1，k∈Z，则下列表示正确的是（ ）A ．－2∈AB ．－11∉AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A答案：BC解析：直接对四个选项代入x ＝3k －1进行计算，即可得到正确答案.详解：令3k－1＝－2，解得k＝－13，－13∉Z，∴－2∉A；令3k－1＝－11，解得k＝－103，－103∉Z，∴－11∉A；∵k2∈Z，∴3k2－1∈A；令3k－1＝－34，解得k＝－11，－11∈Z，∴－34∈A．故选：BC3．下列每组对象，能构成集合的是（）A．中国各地最美的乡村B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．一切很大的数D．清华大学2020年入学的全体学生答案：BD解析：根据集合中的元素具有确定性逐个判断即可详解：解：对于A，最美标准不明确，不具有确定性，所以不能构成集合；对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点就在一、三象限的平分线上，是确定的，所以可以构成集合；对于C，一切很大的数不具有确定性，所以不能构成集合；对于D，清华大学2020年入学的全体学生是确定的，能构成集合，故选：BD4．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法正确的是（）A．数域必含有0，1两个数；B．整数集是数域；C．若有理数集Q M⊆，则数集M必为数域；D．数域必为无限集．答案：AD解析：根据数域的定义逐项进行分析即可．详解：数集P有两个元素m，N，则一定有m－m＝0，mm＝1(设m≠0)，A正确；因为1∈Z，2∈Z，12Z∉，所以整数集不是数域，B不正确；令数集M Q =⋃，则1M ∈，但1M ，所以C 不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D 正确． 故选：AD5．（多选）已知集合{}220A x ax x a =-+=中至多含有一个元素，则实数a 可以取（ ）A ．1a ≥B ．0a =C ．1a ≤-D ．11a -≤≤答案：ABC 解析：根据集合至多含有一个元素，得到方程220ax x a -+=至多有一个根，讨论0a =，0a ≠两种情况，分别求出对应的a 的范围，即可得出结果.详解： 因为集合{}220A x ax x a =-+=中至多含有一个元素，即方程220ax x a -+=至多有一个根，当0a =时，方程可化为方程20x -=，解得0x =，满足题意；当0a ≠时，若方程无解，则()22224440a a ∆=--=-<，解得1a >或1a <-；若方程220ax x a -+=只有一个根，则()22224440a a ∆=--=-=，解得1a =±，综上实数a 的范围为1a ≥或0a =或1a ≤-；即ABC 都正确，D 错误.故选：ABC.点睛：本题主要考查集合中元素个数求参数的问题，属于基础题型.三、填空题1．下列说法中，正确的有________．(填序号)①单词book 的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M 中有3个元素a ，b ，c ，其中a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则△ABC 不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．答案：②解析：根据集合的元素的互异性判定①错误；根据集合的元素的互异性判定②正确；根据集合的元素的无序性可判定③错误.详解：①不正确. book 的字母o 有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.②正确. 集合M 中有3个元素a ，b ，c ，所以a ，b ，c 都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．故答案为：②.2．已知集合[][],14,9A t t t t =+⋃++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A a λ∈，则t 的值是____________答案：1或3-解析：根据t 所处的不同范围，得到[],1a t t ∈+和[]4,9a t t ∈++时，aλ所处的范围；再利用集合A 的上下限，得到λ与t 的等量关系，从而构造出方程，求得t 的值. 详解：0A ∉，则只需考虑下列三种情况：①当0t >时，[][],14,9a t t t t ∈+++ 11111,,941a t t t t ⎡⎤⎡⎤∴∈⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦又0λ> ,,941a t t t t λλλλλ⎡⎤⎡⎤⇒∈⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦A a λ∈ 914t t t t λλ⎧≥⎪⎪+∴⎨⎪≤+⎪+⎩且419t t t t λλ⎧≥+⎪⎪+⎨⎪≤+⎪⎩ 可得：()()()()()()991414t t t t t t t t λλ⎧+≤≤+⎪⎨++≤≤++⎪⎩ ()()()914t t t t λ∴=+=++ 1t ⇒=②当90t +<即9t <-时，与①构造方程相同，即1t =，不合题意，舍去③当1040t t +<⎧⎨+>⎩即41t -<<-时 可得：11t t t t λλ⎧≥⎪⎪+⎨⎪≤+⎪⎩且4994t t t t λλ⎧≥+⎪⎪+⎨⎪≤+⎪+⎩()()()149t t t t λ∴=+=++ 3t ⇒=-综上所述：1t =或3-点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过t 的不同取值范围，得到a 与a λ所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于λ的等量关系，从而构造出关于t 的方程；难点在于能够准确地对t 的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.3．如果集合A ＝x|ax 2－2x －1＝0}只有一个元素则a 的值是_____________答案：0或－1解析：当0a =时，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭符合题意；当0a ≠时，一元二次方程判别式440,1a a ∆=+==-.4．集合{}28160A x kx x =-+=∣，若集合A 中只有一个元素，则由实数k 的值组成的集合为________.答案：{}0,1解析：分0k =和0k ≠两种情况，分别讨论集合A ，进而可求出答案.详解：当0k =时，方程28160kx x -+=可化为8160x -+=，解得2x =，满足题意；当0k ≠时，要使集合{}28160A xkx x =-+=∣中只有一个元素， 则方程28160kx x -+=有两个相等的实数根，所以64640k ∆=-=，解得1k =，此时集合{4}A =，满足题意.综上所述，0k =或1k =，即实数k 的值组成的集合为{}0,1.故答案为：{}0,1.点睛：本题考查单元素的集合，注意讨论方程28160kx x -+=中k 是否为0，属于基础题.5．已知集合{}2,1,0,1P =--，集合{},Q y y x x P ==∈，则Q =______．答案：{}2,1,0解析：将2,1,0,1x =--分别代入y x =中，得到y 的值，即可求得集合Q ，得到答案． 详解：由题意，将2x =-，1-，0，1分别代入y x =中，得到2,1,0y =，所以{}2,1,0Q =．故答案为{}2,1,0．点睛：本题主要考查了集合的表示方法及应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．四、解答题1．试用恰当的方法表示下列集合.（1）使函数12y x =-有意义的x 的集合； （2）不大于12的非负偶数；（3）满足不等式*(3)2x x -≤∈N 的解集；（4）由大于10小于20的所有整数组成的集合.答案：（1）{|2}x x ∈≠R ；（2）{0,2,4,6,8,10,12}或{|2,x x n n =∈N 且7}n <；（3）{1,2,3,4,5}或{}*|5,x x x ≤∈N ；（4）{|1020}x x ∈<<Z 或{11,12,13,14,15,16,17,18,19}. 解析：（1）用描述法表示；（2）、（3）、（4）既可用描述法也可用列举法.详解：（1）要使函数12y x =-有意义，必须使分母20x -≠，即2x ≠. 因此所求集合用描述法可表示为{|2}x x ∈≠R .（2）∵不大于12是小于或等于12，非负是大于或等于0，∴不大于12的非负偶数集用列举法表示为{0,2,4,6,8,10,12}.用描述法表示为{|2,x x n n =∈N 且7}n <.（3）满足()*32x x -≤∈N 的解是1，2，3，4，5. 用列举法表示为{1,2,3,4,5}，用描述法表示为{}*|5,x x x ≤∈N . （4）设大于10小于20的整数为x ，则x 满足条件x ∈Z 且1020x <<.故用描述法可表示为{|1020}x x ∈<<Z ，用列举法表示为{11,12,13,14,15,16,17,18,19}.点睛：本题考查集合的表示方法，属于基础题.2．设2y x ax b =-+，{}|0A x y x =-=，{|0}B x y ax =-=，若{3,1}A =-，试用列举法表示集合B ．答案：{33B =---+解析：将2y x ax b =-+带入集合A 的方程化简整理，由{3,1}A =-利用韦达定理求出参数,a b ，再利用一元二次方程的解法求解集合B.详解：将2y x ax b =-+代入集合A 中的方程并整理得2(1)0x a x b -++=.因为{3,1}A =-，所以方程2(1)0x a x b -++=的两根为-3，1，由韦达定理得311,31,a b -+=+⎧⎨-⨯=⎩ 解得3,3,a b =-⎧⎨=-⎩所以233y x x =+-.将233y x x =+-，3a =-代入集合B 中的方程并整理得2630x x +-=，解得3x =--或3x =-+{33B =---+.点睛：本题考查了集合的表示方法，准确的利用韦达定理求参数是解题的关键，属于一般难度的题.3．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a+∈-．若2a =，求出A 中其他所有元素．答案：113,,23-- 解析：根据定义依次计算即可得答案.详解：解：因为若a A ∈，则11a A a +∈-， 所以当2a =时，11a a +=-12312A +=-∈-； 当3a =-时，11a a +=-131132A -=-∈+， 当12a =-时，11a a +=-11121312A -=∈+， 当13a =时，11a a +=-1132113A +=∈-， 综上A 中其他所有元素为：113,,23--. 点睛：本题考查集合的元素的求解，是基础题.。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含解析)(21)
1.1 集合的概念一、单选题1．若集合{}210b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，，，，，则20212020a b +的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．1±2．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( )A ．3.14B ．－2C ．78D 3．变量x 满足210x ,则x 的取值集合为 A ．12x <B ．12x >C ．12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭D ．12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭4．已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（ ）①1+A ．4B ．3C ．2D ．1 5．已知a=4，A=x|x≥3}，则以下选项中正确的是（ ） A ．a A ∉ B ．a∈A C ．a}=A D ．a ∉a} 6．下列写法正确的是（ ）.A ．(){}00,1∈B ．(){}10,1∈C ．()(){}0,10,1∈D ．(){}0,10,1∈7．下列选项能组成集合的是（ ） A ．兴趣广泛的同学 B ．个子较高的男生 C ．英文26个字母D ．非常大的数8．下列说法不正确的是（ ） A ．*0∈NB ．0∈NC ．0.1∉ZD ．2∈Q9．对于非空数集M ，定义()f M 表示该集合中所有元素的和.给定集合{2,3,4,5}S =，定义集合(){},T f A A S A =⊆≠∅，则集合T 的元素的个数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14二、多选题1．已知{}2A x x px q x =++=，()(){}2111B x x p x q x =-+-+=+，当{}2A =时，则集合B 中实数x可能的取值为（ ） A ．4B ．3C ．3D ．42．当一个非空数集G 满足“如果,a b G ∈,则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时,a G b∈”时,我们称G 就是一个数域,以下关于数域的说法:①0是任何数域的元素;②若数域G 有非零元素,则2019G ∈;③集合{}|2,P x x k k Z ==∈是一个数域;④有理数集是一个数域;⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中正确的选项有 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．④⑤ 3．(多选题)若集合A=x|kx 2+4x+4=0，x∈R}只有一个元素，则实数k 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．设集合{},,A x x m m n N *==∈，若1x A ∈，2x A ∈，12x x A ⊕∈，则运算⊕可能是（ ）A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法5．给出下列关系：其中不正确的是（ ） ①{}0∅⊆；②πQ ∈；③{}{}11,2∈；④0N ∉. A ．① B ．② C ．③ D ．④三、填空题1．已知集合A 含有两个元素a 和2a ，若1A ∈，则实数a 的值为________.2．已知集合()22,12516x y A x y ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，(){},B x y y x ==，则A B 的元素个数为______个3．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭又可表示成{}2,,0a a b +，20142015a b +=______. 4．已知集合(){}(){},|21,,|3A x y y x B x y y x ==+==+,若a A ∈且a B ∈则a 为__________. 5．设*6N ,2A xx Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法表示A=____________.四、解答题1．用列举法表示下列集合： （1）6|,2x Z x Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭； （2）(x ，y)|y ＝3x ，x∈N 且1≤x<5}．2．用适当的方法表示下列集合． （1）小于5的自然数构成的集合； （2）直角坐标系内第三象限的点集； （3）偶数集．3．已知集合{}2221,,M x x a a b a b Z ==+-=∈（1）证明：若x M ∈，则1x x+是偶数； （2）设m M ∈，且132m <<，求实数m 的值；（3）设n A ∈M 2(3n ≤<+的n 的值.参考答案一、单选题 1．C解析：由集合相等和集合中元素的互异性，可得出结果. 详解：由题意可知0a ≠，0,0∴=∴=b b a，21a ∴=且1a ≠，1a ∴=-2021202020212020(1)01+=-+=-a b故选：C 2．D解析：由题意知a 应为无理数，故a 选D. 3．D解析：解不等式210x ->得到12x >，写成集合的形式即为D 的形式. 详解：解不等式210x ->得到12x >，写成集合的形式，则得到选项为D.故选D. 点睛：本小题考查一元一次不等式的解法，考查解集要写成集合的形式.属于基础题. 4．C解析：①②③都可以写成m a =+的形式，验证,a b 的平方验证，判断. 详解：①当1a +时，可得1,a b π==，这与,a b Q ∈矛盾，3=3a ∴+=，可得3,1a b == ，都是有理数，所以正确，2122==-，1a∴+，可得11,2a b==-，都是有理数，所以正确，④2426 =+=而(22222a a b+=++，,a b Q∈，(2a∴+是无理数，M中的元素，只有②③是集合M的元素.故选：C点睛：本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型. 5．B解析：根据元素与集合的关系求解.详解：因为4≥3，所以a∈A.故选：B点睛：本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题.6．C解析：可判断0∉（0，1）}，1∉（0，1）}，（0，1）∉0，1}，（0，1）∈（0，1）}．详解：由元素与集合的关系知，（0，1）}中的元素为集合故0∉（0，1）}，1∉（0，1）}，（0，1）∉0，1}，（0，1）∈（0，1）}；故选：C．【点评】本题考查了元素与集合的关系的判断及有序数对与数的区别，属于基础题．7．C解析：根据集合中元素的确定性,逐项分析可得.详解：对于A ,兴趣广泛的标准不明确,不能组成集合; 对于B ,个子较高的标准不明确,不能组成集合; 对于C ,英文26个字母能组成集合;对于D ,非常大的标准不明确,不能组成集合. 故选C . 点睛：本题考查了集合中元素的确定性,属于基础题. 8．A解析：根据元素与集合的关系以及常见数集的符号表示即可得出选项. 详解：*N 为正整数集，则*0∉N ，故A 不正确；N 为自然数集，则0∈N ，故B 正确； Z 为整数集，则0.1∉Z ，故C 正确；Q 为有理数集，则2∈Q ，故D 正确；故选：A 点睛：本题考查了常见数集的符号表示，需熟记符号所表示的数集，属于基础题. 9．B解析：分别考虑集合A 为单元素集、双元素集、三元素集、四元素集，然后分别计算出()f A 的取值，由此确定出集合T 中的元素的个数. 详解：当集合A 为单元素集时，可取{}{}{}{}2,3,4,5，此时()f A 可取2,3,4,5；当集合A 为双元素集时，可取{}{}{}{}{}{}2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5，此时()f A 可取5,6,7,8,9； 当集合A 为三元素集时，可取{}{}{}{}2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5，此时()f A 可取9,10,11,12， 当集合A 为四元素集时，可取{}2,3,4,5，此时()f A 可取14，综上可知()f A 可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14，共12个值，所以T 的元素个数为12， 故选：B. 点睛：本题考查集合中的新定义问题，对学生的理解与分析问题的能力要求较高，难度较难.解答新定义的集合问题，首先要明确集合中表示元素的含义，其次才是解答问题.二、多选题 1．BC解析：由条件可知方程2x px q x ++=有两个相等的实根，并且2x =，列式求,p q 的值，再代入集合B ，求方程的实数根． 详解：由{}2A =，得方程2x px q x ++=有两个相等的实根，且2x =．从而有()2422140p q p q ++=⎧⎪⎨--=⎪⎩解得34p q =-⎧⎨=⎩ 从而()(){}213141B x x x x =---+=+．解方程()()213141x x x ---+=+，得3x =± 故选：BC 点睛：本题考查集合元素与一元二次方程实数根的关系，重点考查计算能力，属于基础题型. 2．AD解析：利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，题目给出了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证. 详解：①当a b =时，由数域的定义可知， 若,a b G ∈，则有a b G -∈，即0G ∈， 故①是真命题;②当0a b =≠时，由数域的定义可知， 若,a b G ∈，则有a G b∈，即1G ∈， 若1G ∈，则112G +=∈，则213G +=∈，则120182019G +=∈，故②是真命题； ③当2,4a b ==时，12a G b=∉，故③是假命题； ④若,a b Q ∈，则,,a b a b ab Q +-∈，且0b ≠时,aQ b∈，故④是真命题； ⑤0G ∈，当b G ∈且0b ≠时，则b G -∈，因此只要这个数不为0就一定成对出现，所以有限数域的元素个数必为奇数，所以⑤是真命题. 故选：AD .点睛：本题考查学生对新定义题型的理解和把握能力，理解数域的定义是解决该题的关键，题目着重考查学生的构造性思维，一定要读懂题目再入手，没有一个条件是多余的，是难题. 3．AB解析：根据给定条件按方程kx 2+4x+4=0的类型分类讨论求解即得. 详解：集合A 中只有一个元素，即方程kx 2+4x+4=0只有一个根， 当k=0时，方程为一元一次方程，只有一个根，当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一个根，则∆=16-16k=0，即k=1， 所以实数k 的值为0或1. 故选：AB 4．AC解析：先由题意设出111x m =，222x m =，然后分别计算12x x +，12x x -，12x x ，12x x ，即可得解. 详解：由题意可设111x m =，222x m =，其中1m ，2m ，1n ，2n N *∈， 则()1212x x m m +=+)12n n +，12x x A +∈，所以加法满足条件，A 正确；())121212x x m m n n -=--，当12n n =时，12x x A -∉，所以减法不满足条件，B 错误；)12121211213x x m m n n m n m n ==+，12x x A ∈，所以乘法满足条件，C正确；12x x =，当()11220m n m n λλ==>时，12x A x ∉，所以出发不满足条件，D 错误. 故选：AC. 5．BCD解析：根据空集是任何集合的子集，即可判断①；由于π是无理数，而Q 表示有理数集，即可判断②；根据集合间的关系及元素和集合的关系，即可判断③；由于0是自然数，N 表示自然数集，即可判断④；从而可判断得出答案. 详解：解：①由于空集是任何集合的子集，则{}0∅⊆正确，故①正确； ②因为π是无理数，而Q 表示有理数集，∴πQ ∉，故②不正确；③由于{}1和{}1,2均为集合，故{}{}11,2∈不正确，故③不正确； ④因为0是自然数，N 表示自然数集，∴0N ∈，故④不正确. 故选：BCD.三、填空题 1．1-解析：根据集合A 含有两个元素a 和2a ，且1A ∈，分类讨论，集合元素的互异性，即可求解. 详解：由题意，集合A 含有两个元素a 和2a ，且1A ∈，若1a =，则21a =，此时集合A 中两元素相同，与元素的互异性矛盾，故1a ≠； 若21a =，则1a =-或1a = (舍去)，此时集合A 中两元素为1,1-，故1a =-. 综上所述1a =-，即实数a 的值为1-. 故答案为：1- 点睛：本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合元素的互异性的应用，其中解答中熟记元素与集合的关系，以及合理利用元素的互异性判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 2．2解析：画出曲线和函数图像，根据交点个数即可判断A B 的元素个数. 详解：集合()22,12516x y A x y ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，(){},B x y y x ==， 画出椭圆的曲线及函数图像如下图所示：由图像可知，两个曲线有2个交点，因而A B 有2个元素， 故答案为：2. 点睛：本题考查了利用数形结合法求集合交集个数，属于基础题. 3．1解析：根据两个集合的相等关系，可求得,a b 的值，即可得解. 详解：由题意可知，两个集合相等，{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，由0a ≠所以只能是0b a=，即0b =，所以{}{}2,0,1,,0a a a =，由集合互异性可知1a ≠，则21a =，解得1a =-，符合题意， 所以20142015101a b +=+=， 故答案为：1. 点睛：本题考查了集合相等的应用，由集合互异性和相等求参数，属于基础题. 4．(2,5)解析：由213y x y x =+⎧⎨=+⎩，解方程组即可求出a 的值．详解：解：由213y x y x =+⎧⎨=+⎩，可得2,5x y ==．故a 为(2,5)，故答案为(2,5)．点睛：本题考查集合的含义，考查学生的计算能力，比较基础．5．{}4,1,0,1-- 解析：62x-为正整数且x 也为整数,可知2x -能够被6整除，逐个正因数计算即可． 详解： 由题意得,*6N ,2x Z x ∈∈-,故62x -为6的正因数,所以61,2,3,62x =-,故26,3,2,1x -=,故4,1,0,1x =--,列举法得出答案{}4,1,0,1--.故答案为{}4,1,0,1--.点睛：本题主要考查对因数的理解以及集合中的常用集合表示,N 表示自然数,*N 表示正自然数,即正整数.Z 表示整数.四、解答题1．（1）－4，－1，0，1，3，4，5，8}；（2）(1，3)，(2，6)，(3，9)，(4，12)}． 解析：根据条件，求出集合的所有元素，然后列举法表示即可．详解：(1)因为6,2Z x Z x∈∈-，所以2x -是6的因数， 则21,2,3,6x -=，即x ＝1，3，4，0，－1，5，－4，8.所以原集合可用列举法表示为－4，－1，0，1，3，4，5，8}；(2)因为x∈N 且1≤x<5，所以x ＝1，2，3，4，其对应的y 的值分别为3，6，9，12.所以原集合可用列举法表示为(1，3)，(2，6)，(3，9)，(4，12)}．2．（1）{0,1,2,3,4}；（2）{(,)|0,0}x y x y <<；（3）{|2,}x x k k Z =∈.解析：（1）用列举法表示集合，自然数集{}0,1,2,3,4,5N =; （2）用描述法表示集合，第三象限内上点横纵坐标都小于零；（3）用描述法表示集合，能被2整除的整数叫偶数.详解：（1）{}0,1,2,3,4；（2）{(,)|0,0}x y x y <<；（3）{|2,}x x k k Z =∈点睛：本题考查了用不同方法表示集合，其时用描述法表示集合时，也不是唯一的一种表示方法，比如本题的偶数集也可以表示为{|22,},{|22,}x x k k Z x x k k Z =-∈=+∈等等，再有本题的第一个集合也可以用描述法进行表示：{|04},{|05}x N x x N x ∈≤≤∈≤<等等.3．（1）证明见解析；（2）1m =；（3）证明见解析；3n =+解析：（1）将x a =+1x x+化简即可判断；（2）设m a =+，2221,,a b a b -=∈Z .由（1）可知12m a m +=，即5256a <<,1a =或2a =.再分别代入2221,,ab a b -=∈Z ，验证是否符合题意即可；（3）设2,na b 且2221,,a b a b -=∈Z 322n ()(3432a b b a =-+-代入2221,,a b a b -=∈Z 化简可得结论，等式同时除以3+可得324≤<,得1m =，可得结果.详解：（1）证明：若x M ∈，则x a =+2221,,a b a b -=∈Z .所以1x a x =++a =+222a a a b=-++-因为2221,a b -=所以原式2a a a =+-=.因为a ∈Z .所以2a ∈偶数.原式得证（2）因为m M ∈，且132m <<则1123m <<，所以5156m m<+<设m a =+，2221,,a b a b -=∈Z .由（1）可知12m a m +=，即5256a << 所以1a =或2a =.当1a =时，代入2221,,a b a b -=∈Z 可得0b =此时1m a =+=，满足132m <<，所以1m =成立当2a =时，代入2221,,a b a b -=∈Z 解得2b =±， 不满足b ∈Z ，所以不成立；综上，可知1m =（3）证明：因为n M ∈，所以可设2,na b 且2221,,a b a b -=∈Z 2(2)(322)322322(322)(322)na b a b ()(3432a b b a =-+-代入2221,,a b a b -=∈Z 得：22(34)2(32)a b b a ---22229241629124a ab b b ab a ⎡⎤=-+--+⎣⎦2221a b =-=()(),34,32a b Z a b Z b a Z ∈∴-∈-∈M 成立， 原式得证2(3n ≤<+，不等式同时除以3+可得324≤< 由（2）可知，在132m <<范围内，1m =，即3n =+点睛：本题主要考查集合与元素之间的关系，考查了函数与方程思想的应用，同时考查了不等式的解法，同时考查了计算能力，体现数学运算，逻辑推理等数学学科素养，属于难题.。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(73)
1.1 集合的概念一、单选题1．下列元素与集合的关系表示不正确的是（）A．0N∈B．0Z∈C．32Q∈D．Qπ∈答案：D解析：根据元素与集合的关系直接判断即可. 详解：根据元素与集合的关系可得0N∈，0Z∈，32Q∈，Qπ∉，故D不正确，符合题意.故选：D.2．已知集合M=－2，3}，N=－4,5,6}，依次从集合M，N中各取出一个数分别作为点P的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点P的个数是A．4 B．5 C．6 D．7答案：A解析：由对于集合M中的元素作为点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2个，在第二象限的点共有2个，由分类计数原理，即可求解．详解：由题意，要使得点P在平面直角坐标系中位于第一、二象限内，对于集合M中的元素作为点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有122⨯=个；在第二象限的点共有122⨯=个；由分类计数原理可得点的个数为224+=个，故选A．点睛：本题主要考查了分类计数原理的应用，其中解答中解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．3．已知2{1,0,}x x∈，则实数x的值为（）A．0B．1C．1-D．±1答案：C解析：根据集合元素和集合的关系确定x 的值，注意元素的互异性的应用．详解：解：{}21,0,x x ∈，21x ∴=，20x =，2x x =，由21x =得1x =±，由20x =，得0x =，由2x x =得0x =或1x =．综上1x =±，或0x =．当0x =时，集合为{}1,0,0不成立．当1x =时，集合为{}1,0,1不成立．当1x =-时，集合为{}1,0,1-，满足条件．故1x =-．故选C ．点睛：本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检验．4．设{|1},A a a =<则（ ）A ．0A ⊆B ．{0}A ∈C ．{0}A ⊆D ．A ∅∈答案：C解析：0A ∈,{} 0A ⊆, A ∅⊆,选C. 5．已知{}|330A x N x =∈->，则下列成立的是（ ）A ．1A ∈B ．0A ∈C ．1A -∈D ．0.5A ∈答案：B解析：集合{}|330A x N x =∈->＝0}，即可得出结论．详解：集合{}|330A x N x =∈->＝ x N ∈ |x ＜1}＝0}， 则0∈A，故选：B ．点睛：本题考查集合的含义与表示，考查了元素与集合的关系，比较基础．6．若用列举法表示集合26(,)|3x y A x y x y +=⎧⎧⎫=⎨⎨⎬-=⎩⎭⎩，则下列表示正确的是（ ） A ．{3,0}x y == B ．{(3,0)} C ．{3,0} D ．{0,3}答案：B解析：解方程组得30x y =⎧⎨=⎩，即可得到集合. 详解：由263x y x y +=⎧⎨-=⎩解得30x y =⎧⎨=⎩所以{(3,0)}A =. 故选：B点睛：此题考查集合概念理解，关键在于准确识别描述法表示的集合，根据题意求解方程组，准确表示成所求形式.7．下列表示正确的是（ ）A ．所有实数}R =B ．整数集ZC ．{}∅=∅D ．1∈有理数}答案：D解析：本题可根据集合的性质得出结果.详解：A 项：因为符号“{}” 已包含“所有”的含义，所以不需要再加“所有”，A 不正确；B 项：Z 表示整数集，不能加“{}”，B 不正确；C 项：∅表示空集，不能加“{}”，C 不正确；D 项：1∈有理数}，显然正确，D 正确，故选：D.8．已知集合(){}10A x x x =-=，那么下列结论正确的是（ ）A ．0A ∈B ．1A ∉C ．1A -∈D ．0A ∉答案：A解析：求解A 中的方程，得到集合A=0,1}，进而作出判定.详解： (){}{}100,1x x x -==，,1A A ∈∈∴0，故选A ．点睛：本题考查元素与集合的关系，是容易题.9．设集合A ＝0，1，2}，B ＝1，2}，C ＝x|x ＝ab ，a∈A，b∈B}，则集合C 中元素的个数为A ．3B ．4C ．5D ．6答案：B解析：按照集合C 的定义求得它的元素．详解：∵A＝0，1，2}，B ＝1，2}，C ＝x|x ＝ab ，a∈A，b∈B}，∴{0,1,2,4}C =，共4个元素． 故选：B.点睛：本题考查集合的定义，考查求集合中的元素．属于基础题．二、填空题1．下列四个说法中正确的个数是___________.①集合N 中最小数为1；②若a∈N，则-a ∉N ；③若a∈N，b∈N，则a+b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合.答案：0个解析：直接由元素与集合的关系逐一判断即可.详解：①集合N 中最小数为0，故①错误；②若0∈N，则-0∈N ，故②错误；③若a∈N，b∈N，则a+b 的最小值为2，错误，当0a b 时，0a b +=；④所有小的正数组成一个集合，不符合集合中元素的确定性.故答案为：0个2．已知{}20,1,x x ∈，则实数的值是________．答案：1-解析：试题分析:因,故,故应填答案. 考点：元素与集合的关系及运用．3．下列关系中 ①－433∉Q ；③|－20|∉N *2|∈Q；⑤－5∉Z ；⑥0∈N.其正确的是________.答案：①②⑥|－20|=20∈N * ,|∉Q ；－5∈Z；所以正确的是①②⑥4．若集合{}1,A a =，集合{}21,B a =，且A B =，则实数a =____________答案：0解析：根据集合相等和集合中元素的互异性，即可直接求解.详解： 解：集合{1A =，}a ，集合{1B =，2}a ，且A B =，∴21a a a ⎧=⎨≠⎩，解得：0a =. 故答案为：0.点睛：本题考查集合相等和集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．设集合{1,2,}A a a =-，若3A ∈，则实数a =_________．答案：5解析：推导出a ﹣2＝3或a ＝3，再由集合中元素的互异性，能求出结果．详解：解：∵集合{1,2,}A a a =-，3A ∈，∴23a -=或3a =，当23a -=时，5a =，成立；当3a =时，21a -=，不满足集合中元素的互异性，不成立．∴实数5a =故答案为：5．点睛：本题考查实数值的求法，考查集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题1．用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合；③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.答案：①*{|2,}x x n n N =∈； ②2,{|3}x x n n N =+∈；③{(,)|0}x y xy =. 解析：描述法表示集合即为{}()x p x ，()p x 为元素的性质，根据这个概念写出集合即可. 详解：①偶数可用2,x n n Z =∈表示，当x 为正偶数时，*n N ∈，所以正偶数集可表示为*{|2,}x x n n N =∈.②设被3除余2的数为x ，则32,x n n Z =+∈，但元素为正整数，故32,x n n N =+∈，所以被3除余2的正整数集合可表示为2,{|3}x x n n N =+∈.③坐标轴上的点(,)x y 的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即0xy =，故坐标轴上的点的集合可表示为{(,)|0}x y xy =.点睛：本题考查描述法表示集合，数集与点集，属于基础题.2．已知集合{}2210A x ax x =-+=.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A .答案：（1）1a >；（2）答案见解析.解析：（1）若A 是空集，则只需二次方程2210-+=ax x 无解，∆<0；（2）若A 为空集，当0a =时显然成立，当0a ≠时，只需0∆=.详解：解：（1）若A 是空集，则关于x 的方程2210-+=ax x 没有实数解.当0a =时，12x =，不满足题意，所以0a ≠，且440a ∆=-<，所以1a >. （2）若A 中只有一个元素. ①当0a =时，12x =，满足题意； ②当0a ≠时，440a ∆=-=，所以1a =.综上所述，a 的集合为{}0,1.若0a =，则有12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；若1a =，则有{}1A =. 点睛：本题考查根据集合中元素的个数求参数的取值范围，较简单，根据方程根的个数求解即可.3．用适当的方法表示下列集合.（1）小于5的自然数构成的集合；（2）直角坐标系内第三象限的点集；（3）偶数集.（4）如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M.答案：（1）{}01234，，，，；（2）(){|00}x y x y <<，，；（3）{|2}x x k k Z =∈，；（4）()5302122M x y xy x y ⎧⎫=≥-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭，，，.解析：（1）利用列举法表示集合；（2）利用描述法表示集合；（3）利用描述法表示集合；（4）根据图形利用描述法表示集合；详解：解：（1）小于5的自然数构成的集合，利用列举法表示为{}01234，，，，；（2）直角坐标系内第三象限的点集；利用描述法表示为(){},|00x y x y <<，；（3）偶数集.利用描述法表示为{}|2x x k k Z =∈，（4）由图形阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合表示为()53,02122M x y xy x y ⎧⎫=≥-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭，，点睛：本题考查集合的表示方法，属于基础题.。
高中数学 1.1.1第1课时 集合的含义课时作业(含解析)新人教A版必修1
课时作业(一) 集合的含义[学业水平层次]一、选择题1．(2014·遵义高一检测)以下各组对象不能组成集合的是( )A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程x2－1＝0的实数解D．周长为10cm的三角形【解析】因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合．【答案】 B2．设集合A只含有一个元素a，则有( )A．0∈A B．a∉A C．a∈A D．a＝A【解析】∵集合A中只含有一个元素a，故a属于集合A，∴a∈A.【答案】 C3．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含( )A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素【解析】由于|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．1【答案】 A4．集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( )A．2 B．2或4 C．4 D．0【解析】若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A若a＝6，则6－6＝0∉A，故选B【答案】 B二、填空题5．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．【解析】方程x2－5x＋6＝0的解是2，3；方程x2－x－2＝0的解是－1，2.由集合元素的互异性知，以这两个方程的解为元素的集合中共有3个元素．【答案】 36．(2014·石家庄高一检测)集合P中含有两个元素分别为1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等，则a＝________ 【解析】∵P与Q相等，∴a2＝4，∴a＝±2，经检验知a＝±2满足题意，故a＝±2，【答案】±27．(2014·天津高一检测)集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．【解析】因为y＝－x2＋1≤1，且y∈N，所以y的值为0，1，即集合A中的元素为0，1.又t∈A，所以t＝0或1.23 【答案】 0或1三、解答题8．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z，n ∈Z)的数构成的，判断12－3是不是集合 A 中的元素．【解】 由分母有理化，得12－3＝2＋ 3.由题意可知m ＝2，n ＝1，均有m ∈Z，n ∈Z ，∴2＋3∈A ，即12－3∈A .9．已知集合A 含有两个元素1，2，集合B 表示方程x 2＋ax ＋b ＝0的解的集合，且集合A 与集合B 相等，求a ，b 的值．【解】 ∵集合A 与集合B 相等，且1∈A ，2∈A ，∴1∈B ，2∈B ，∴1，2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－a ，1×2＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2.[能力提升层次]1．若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则此三角形一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解析】 △ABC 的三边长两两不等，故选D.【答案】 D2．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )4 A ．2 B ．3C ．0或3D ．0，2，3均可【解析】 由2∈A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与m 2－3m ＋2≠0相矛盾；若m 2－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，与m ≠0相矛盾，当m ＝3时，此时集合A 的元素为0，3，2，符合题意．【答案】 B3．已知集合A 中含有两个元素1和a 2，则a 的取值范围是________．【解析】 由集合中元素的互异性，可知a 2≠1，所以a ≠±1，即a ∈R 且a ≠±1.【答案】 a ∈R 且a ≠±14．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素．【解】 ∵2∈A ，由题意可知，11－2＝－1∈A .由－1∈A 可知，11－（－1）＝12∈A ；由12∈A 可知，11－12＝2∈A .故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，12，2.。
(新教材)【人教A版】高一数学《1.1.1集合的含义》
【解析】1.选A.A中a=0时,显然不成立. 2.选A.a= + < + =4<5, 所以a∈A. a+1< + 2 +1=35, 4 4 所以a+1∈A,
44
a2=( )2+2 × +( )2=5+2 >5,
所以a22∉A, 2 3 3
6
=
<5,
所1 以 ∈1A.
3 2
第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念
第1课时 集合的含义
1.元素与集合 (1)元素:把研究对象统称为元素,常用小写的拉丁字母 a,b,c,…表示. (2)集合:一些元素组成的总体,简称集,常用大写拉丁 字母A,B,C,…表示.
(3)集合相等:指构成两个集合的元素是一样的. (4)集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性.
【延伸·练】
数集A满足条件:若a∈A,则 ∈A(a≠1).若 ∈A,
求集合中的其他元素. 1 a
1
1 a
3
【解析】因为
1
∈A,所以
1
1 3
=2∈A,所以
1
2
=
3
1 1
1 2
-3∈A,所以1 3=-
1
∈A,所以
3 1
1 2
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1∈A.故当 1 ∈A
13 2
1 1 3
3
2
时,集合中的其他元素为2,-3,- 1 .
31 22
含有4个元素.其中正确的是 ( ) A.①②④ B.②③ C.③④ D.②④ 【解析】选B.①中的元素不能确定,④中的集合含有3 个元素,②③中的元素是确定的,所以②③能构成集合.
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念解答题练习(含解析)(14)
1.1 集合的概念1．用描述法表示下列集合：（1）小于1500的正偶数组成的集合；（2）所有矩形组成的集合.2．设全集为R ，{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<. （1）求A B ； （2）求()RA B ⋃.3．用列举法表示下列集合： （1）大于1且小于6的整数； （2）{}(1)(2)0A x x x =-+=； （3）{}3213B x Z x =∈-<-<．4．已知集合1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，与集合a 2，a+b ，0}是两个相等的集合，求a 2 020+b 2 020的值.5．设{}0,2,3,5,7A =，{}22,31B a a =++，已知5A ∈，5B ∉，求a 的值．6．已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A，求实数a 的值.7．若集合A 具有以下性质：①0A ∈，1A ∈；②若x 、y A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈，则称集合A 为“好集”．（1）试判断有理数集Q 和集合{}1,0,1B =-是不是“好集”，并说明理由； （2）设集合A 是“好集”，求证：若a 、b A ∈，则a b A +∈．8．用描述法表示下列集合： （1）正奇数集；（2）被3除余2的正整数的集合；（3）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合； （4）方程1x y -=-的所有解组成的集合．9．已知集合{}2|(1)320A x a x x =-+-=,{}2|320B x x x =-+=（1）若A ≠∅，求实数a 的取值范围； （2）若A B A ⋂=，求实数a 的取值范围．10．集合A 是由方程2210ax x -+=的实数解构成的. （1）若集合A 是空集,求a 的取值范围; （2）若集合A 中只有一个元素,求a 的值.11．试说明下列集合各表示什么？1|A y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y =；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.12．已知方程ax2－3x－4＝0的解组成的集合为A.（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．13．用列举法表示下列给定的集合：（1）不大于8的非负偶数组成的集合A；（2）小于10的质数组成的集合B；（3）方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；（4）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.14．下面三个集合：①x|y＝x2＋1}；②y|y＝x2＋1}；③(x，y)|y＝x2＋1}．（1）它们各自的含义是什么？（2）它们是不是相同的集合？15．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合（1）所有能被3整除的自然数（2）不等式²230+-<的解集x x（3）²230+-=的解集x x16．已知函数f（x）=2x-ax+b（a，b∈R）.集合A=x|f（x）-x=0}，B=x|f（x）+ax=0}，若A=1，-3}，试用列举法表示集合B.17．已知关于x 的方程2210-+=ax x 的实数解构成集合A ，若集合A 中仅有一个元素，求实数a 的值.18．已知集合2{2,25,12}A a a a =-+，且3A -∈，求a 的值.19．称正整数集合 A=a 1，a 2，…，a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥2）具有性质 P ：如果对任意的i ，j （1≤i≤j≤n），i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A.（1）分别判断集合1，3，6}与1，3，4，12}是否具有性质 P ；（2）设正整数集合 A=a 1，a 2，…，a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥2）具有性质 P.证明：对任意1≤i≤n（i∈N *），a i 都是a n 的因数； （3）求a n =30时n 的最大值.20．已知集合{}2|340A x R ax x =∈--=，①若A 是空集，求a 的范围； ②若A 中只有一个元素，求a 的值；参考答案1．（1）{|1500x x <且,}2x n n +=∈N ；（2）{|x x 是矩形}.解析：在花括号内先写上这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 详解：（1）小于1500的正偶数组成的集合为{|1500x x <且,}2x n n +=∈N ； （2）所有矩形组成的集合为{|x x 是矩形}. 点睛：本题考查描述法表示集合，属于基础题.2．（1）{|37}x x ≤<；（2）{|2x x ≤或10}x ≥. 解析：（1）画出数轴图，数形结合即可求出；（2）画出数轴图，数形结合可求出A B ，再利用补集定义即可求出. 详解：（1）画出集合A 和集合B 表示的数轴图， 则由图可得{}37A B x x ⋂=≤<； （2）观察图形可得{}210A B x x ⋃=<<∴()RA B ⋃={|2x x ≤或10}x ≥.3．（1）{}2,3,4,5；（2）{}1,2A =-；（3）{}0,1B = 解析：根据题意，求出集合的元素，用列举法表示出来即可． 详解：解：用列举法表示下列集合（1）大于1且小于6的整数，{}2,3,4,5； （2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；所以{}1,2A =- （3）{|3213}B x Z x =∈-<-<，由3213x -<-<解得12x -<<，x ∈Z ，故表示为{}0,1B =，4．a 2 020+b 2 020=1解析：先由集合相等及集合中元素的互异性求出a 、b ，代入求值即可. 详解： 由a ，b a ，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得ba＝0，即b ＝0，此时两集合中的元素分别为a ，0，1和a 2，a ，0，因此a 2＝1，解得a ＝－1 (a ＝1不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a ＝－1，且b ＝0，所以a 2 020＋b 2 020＝(－1)2 020＋0＝1.5．{a 32a --≠且32a -+≠且1a ≠且}4a ≠-解析：根据5B ∉，结合集合元素的互异性求得参数a 的取值. 详解：由5B ∉知，2315a a ++≠，即2340a a +-≠， 解得1a ≠且4a ≠-又集合元素具有互异性，知2312a a ++≠，即2310a a +-≠解得a ≠且a ≠综上所述，a 的取值为{a a ≠且a ≠1a ≠且}4a ≠-6．a ＝－1. 详解：试题分析：本题中已知集合A 中有两个元素且1∈A，据集合中元素的特点需分a ＝1和a 2＝1两种情况，最后注意集合中元素的互异性，进行验证. 试题解析：若1∈A，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 有重复元素，∴a≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合互异性. ∴a=-1.点睛：利用元素的性质求参数的方法，已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：(1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．(2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．7．（1）理数集Q 是“好集”，集合B 不是“好集”，理由见解析；（2）证明见解析解析：（1）利用举反例的方法，证明集合B 不是“好集”.根据“好集”的两个条件，证明有理数集Q 是“好集.（2）先判断出当b A ∈，则0b b A -=-∈，进而证得()a b a b A --=+∈，由此证得结论成立. 详解：（1）集合B 不是“好集”理由．假设集合B 是“好集”，则由1B -∈，1B ∈可得112B --=-∈，这与题设2B -∉矛盾；有理数集Q 是“好集”，0Q ∈，1Q ∈，对任意的m ，Q n ∈，有Q m n -∈，且0m ≠时，1Q m∈，故Q 是“好集” （2）集合A 是“好集”，0A ∴∈，若a ，b A ∈，则0b b A -=-∈，于是()a b a b A --=+∈，即a b A +∈，结论成立.．点睛：本小题主要考查新定义集合的概念理解和运用，考查分析与解决问题的能力，属于基础题.8．(1) *{|2}1,x x n n =-∈N (2) {|3,2}x n x n =+∈N (3) {(,)|0}x y xy =(4) {(,)|1}x y x y -=- 解析：描述法表示集合即为(){}|x p x ,()p x 为元素的性质,根据这个概念写出集合即可 详解：解：（1）正奇数集可表示为*{|2}1,x x n n =-∈N ； （2）被3除余2的正整数集可表示为{|3,2}x n x n =+∈N ；（3）平面直角坐标系中坐标轴上的点(,)x y 的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即0xy =,故平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合可表示为{(,)|0}x y xy =；（4）方程1x y -=-的解是满足方程的有序实数对(,)x y ,所以所有解组成的集合为{(,)|1}x y x y -=-点睛：本题考查描述法表示集合,考查数集与点集,属于基础题9．（1）18a ≥-，（2）18a <-或0a = 详解：试题分析：（1）对于字母系数的方程，一般先看最高项的系数是否为零，不要看到最高次数为2，就认为是一元二次方程，要分类讨论其系数；(2)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解 试题解析：（1） ①当1a =时，23A ⎧⎫=≠∅⎨⎬⎩⎭②当1a ≠时，0∆≥即18a ≥-且1a ≠ 综上：18a ≥- （2）①A =∅，18a <-②{}1,2A =,0a =，{}1A =或{}2A =时，a 无解，综上：18a <-或0a =.考点：集合的性质及运算.10．（1）（1，+∞）；（2）a=0或a=1.解析：（1）集合A 是空集，表示方程2210ax x -+=无实数解，根据一元二次方程根的个数与∆的关系，易得一个与a 的不等式，解得a 的取值范围；（2）若集合A 中只有一个元素，表示方程2210ax x -+=为一次方程或有两个相等实数根的二次方程，分别构造关于a 的方程，即可求得满足条件的a 值. 详解：（1）集合A 是空集,即方程2210ax x -+=无实数解. ∴ 2(2)40a --<且a≠0.解得a>1. ∴ 所求a 的范围是（1，+∞）（2）集合A 中只有一个元素,即方程2210ax x -+=只有一个实数解. ①0a =,方程为一元一次方程210x -+=,只有一个实数解. ②0a ≠,则一元二次方程2210ax x -+=有两个相等的. ∴()2240a --=解得a=1 综上可得a=0或a=1 点睛：本题考查元素与集合关系的判断，根据题目要求分析方程根的情况，属于基础题.11．答案见解析解析：根据集合的定义依次判断各个集合中的元素即可确定结果. 详解：A 表示y 的取值集合，由1y x=知：0y ≠，{}0A y y ∴=≠；B 表示x 的取值集合，由220x x -≥知：0x ≤或2x ≥，{0B x x ∴=≤或}2x ≥；C 的代表元素为(),x y ，表示反比例函数1y x=上的点构成的点集； D 的代表元素为(),x y ，由13yx =-知：()33y x x =-≠，D ∴表示直线3y x =-上除了()3,0以外的点构成的点集；E 表示以方程“0x =”和“1y =”为元素的一个二元集.F 表示以方程“1x y +=”和“1x y -=-”为元素的一个二元集.点睛：本题考查集合中的元素的确定，涉及到数集、点集及二元集等集合的类别，属于基础题.12．（1）()9,00,16⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）9|016a a a ⎧⎫≤-=⎨⎬⎩⎭或 解析：（1）利用方程有两个不等实根列不等式组，解出实数a 的取值范围； （2）利用方程有0个或1个实根列不等式，解出实数a 的取值范围. 详解：解：(1)因为A 中有两个元素，所以方程ax 2－3x －4＝0有两个不等的实数根，所以9160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩ 即a>－916且a≠0.所以实数a 的取值范围为()9,00,16⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.(2)当a ＝0时，由－3x －4＝0得x ＝－43；当a≠0时，若关于x 的方程ax 2－3x －4＝0有两个相等的实数根，则Δ＝9＋16a ＝0，即a ＝－916； 若关于x 的方程无实数根，则Δ＝9＋16a<0，即a<－916， 故所求的a 的取值范围是9|016a a a ⎧⎫≤-=⎨⎬⎩⎭或.13．（1）A ＝0，2，4，6，8}；（2）B ＝2，3，5，7}；（3）C ＝31,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（4）D ＝(1，4)}. 解析：由题意，依次求出（1）、（2）、（3）、（4）集合中的元素，再用列举法写出即可． 详解：解：（1）不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，所以A ＝0，2，4，6，8}． （2）小于8的质数有2，3，5，7，所以B ＝2，3，5，7}．（3）方程2x 2－x －3＝0的实数根为－1，32，所以C ＝31,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.（4）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点为(1，4)，所以D ＝(1，4)}．14．（1）各个含义见解析；（2）不同的集合.解析：（1）可以看出①函数21y x =+的自变量当元素，②的元素是该函数的因变量y ，而③的元素是x ，y 构成的点，从而得出这三个集合分别表示函数21y x =+的定义域，值域，以及函数图象上的点集．（2）是不是相同的集合，就要看它们的元素是否完全相同，容易判断这三个集合的元素是否相同，从而可得结论. 详解：解：（1）集合①x|y＝x 2＋1}的代表元素是x ，满足条件y ＝x 2＋1中的x∈R， 所以实质上x|y ＝x 2＋1}＝R ；集合②的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y≥1， 所以实质上y|y ＝x 2＋1}＝y|y≥1}；集合③(x，y)|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y)，可以认为是满足y ＝x 2＋1的数对(x ，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x ，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y ＝x 2＋1， 所以(x ，y)|y ＝x 2＋1}＝P|P 是抛物线y ＝x 2＋1上的点}． （2）由（1）中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．15．答案见解析．解析：根据集合的表示法求解． 详解：（1）{|3,}x x n n N =∈，集合中元素个数无穷，不能用列举法表示； （2）2230x x +-<，即(1)(3)0x x -+<，31x -<<，集合为{|31}x x -<<，集合中元素有无数个，不能用列举法表示； （3）集合可表示为2{|230}x x x +-=，列举法表示为{3,1}-．16．解析：由题意可得f （1）−1=0，f （−3）−（−3）=0，代入求出解析式，再解方程即可求解. 详解：：解答：A=1，-3}，∴f（1）−1=0，f （−3）−（−3）=0，即1−a+b −1=b −a=0，（9+3a+b ）+3=3a+b+12=0， 解得a=−3，b=−3.∴f（x ）+ax=2x +3x-3+（-3x ）=2x -3=0.∴B=17．1a =或0a =.解析：根据题意，分0a =，0a ≠两类情况分别讨论即可得答案.. 详解：解：当0a =时，方程化为210x -+=，解得12x =，则0a =符合题意； 当0a ≠时，关于x 的方程2210-+=ax x 是一元二次方程，由于集合A 中仅有一个元素，所以一元二次方程2210-+=ax x 仅有一个实数根， 所以440a ∆=-=，解得1a =. 综上所述，1a =或0a =. 点睛：本题考查根据集合的元素个数求参数的值，考查一元二次方程的根的问题，是基础题. 18．32-解析：根据题意可知23a -=-或2253a a +=-，解出a ，再由集合的性质确定符合条件的a 的值。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(10)
1.1 集合的概念一、单选题1．方程组5346x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是（ ） A ．{}2,3x y ==B ．{}2,3C ．(){}2,3D ．23x y =⎧⎨=⎩答案：C 解析：首先求出二元一次方程组的解，再写出其解集；详解：解：因为5346x y x y +=⎧⎨-=-⎩，所以23x y =⎧⎨=⎩所以方程组5346x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为(){}2,3 故选：C2．下列对象中，能组成集合的是（ ）A ．所有接近1的数的全体B ．某班高个子男生的全体C ．某校考试比较靠前的学生的全体D ．大于2小于7的实数的全体答案：D解析：根据集合元素的特性：确定性即可排除ABC ，进而得到正确选项.详解：由集合元素的特性：ABC 不符合确定性原则，D 可表示为{|27}x x <<，故选：D3．若集合{}2|10A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a =（ ） A ．4B ．2C ．0D ．0或4答案：A详解： 2=40,0 4.0.A a a a a A A ∴∆-=∴==集合中只有一个元素，或又当时集合中无元素，故选考点：该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系.4．已知a=4，A=x|x≥3}，则以下选项中正确的是（ ）A ．a A ∉B ．a∈AC ．a}=AD ．a ∉a}答案：B解析：根据元素与集合的关系求解.详解：因为4≥3，所以a∈A.故选：B点睛：本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题.5．设集合={1,2,3}A ，B={45}，，={x|x=a+b,a A,b B}M ∈∈，则M 中元素的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6答案：B详解： 由题意知x a b =+，,a A b B ∈∈，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素，故选B.【考点定位】集合的概念6．i 是虚数单位，若集合S ={}1,0,1-，则（ ）A ．10i S ∈B ．13i S ∈C ．15i S ∈D ．2i ∈3答案：A解析：利用虚数单位的性质化简选项中的复数,判断是否属于集合S 即可.详解：根据虚数单位的运算规律可知，10=-1i S ∈，13i i S =∉，153i =i =-i S ∉，那么22ii =-S ∉，故选A. 点睛：本题主要是考查了元素与集合关系，以及虚数单位性质的运用，属于基础题.7．下列四个集合中，不同于另外三个的是（ ）A ．{}2y y =B ．{}2x =C ．{}2D ．{}2440x x x -+=答案：B解析：选项A ，C ，D 中元素都是实数2，而选项B 中元素为等式2x =，即可得到答案. 详解：对选项A ，{}{}22y y ==，元素为实数2；对选项B ，{}2x =，元素为等式2x =；对选项C ，{}2，元素为实数2；对选项D ，{}{}24402x x x -+==，元素为实数2. 故选：B点睛：本题主要考查集合的概念，属于简单题.8．下列集合中是有限集的是（ ）③方程21x =-的所有实数解组成的集合.④15的质因数的全体构成的集合A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④答案：B解析：根据有限集的知识进行分析，由此确定正确选项.详解：①，202x x -≥⇒≥，[)2,+∞为无限集，不符合题意，①错误，所以选B.②，30,N 0,1,2,3x x x -≥∈⇒=，{}0,1,2,3为有限集，符合题意，②正确.③，方程21x =-的所有实数解组成的集合为空集，为有限集，符合题意，③正确. ④，15的质因数的全体构成的集合为{}3,5，为有限集，符合题意，④正确.故选：B9．设集合M=x|x 2-3x≤0}，则下列关系式正确的是（ ）A ．2⊆MB ．2∉MC ．2∈MD ．2}∈M答案：C解析：本题已知集合M ，先将相应的不等式化简，得到集合中元素满足的条件，再看元素2是否满足条件，可得到正确选项．详解：230x x -，03x ∴，2{|30}{|03}M x x x x x ∴=-=．又023<<，2M ∴∈．故选：C ．点睛：本题考查的是集合知识，重点是判断元素与集合的关系，难点是对一元二次不等式的化简．计算量较小，属于容易题．二、多选题1．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5|Z k n k n =+∈，0k =，1，2，3，4，给出如下四个结论，其中，正确结论的是（ ）A ．[]20211∈B ．[]33-∈C ．若整数a ，b 属于同一“类”，则[]0a b -∈D ．若[]0a b -∈，则整数a ，b 属于同一“类”答案：ACD解析：根据“类”的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项．详解：对于A ：因为202140451=⨯+，所以[]20211∈，故选项A 正确；对于B ：因为()3512-=⨯-+，所以[]32-∈，故选项B 错误；对于C ：若a 与b 属于同一类，则15a n k =+，25b n k =+，()[]1250(a b n n -=-∈其中1n ，2Z)n ∈，故选项C 正确；对于D ：若[]0a b -∈，设5,Z a b n n -=∈，即5,Z a n b n =+∈，不妨令5,Z b m k m =+∈，0k =，1，2，3，4，则()555a m n k m n k =++=++，m ∈Z ，Z n ∈，所以a 与b 属于同一类，故选项D 正确；故选：ACD.2．实数1是下面哪个集合的元素（ ）A ．整数集ZB ．{}|x x x =C ．{}N|11x x ∈-<<D ．1R |01x x x -⎧⎫∈≤⎨⎬+⎩⎭答案：ABD解析：分别求出每个选项中的集合的元素，即可判断1是否为集合中的元素，进而可得正确选项.详解：对于A ：1是整数，因此实数1是整数集Z 中的元素，故选项A 正确；对于B ：由x x =得0x ≥，因此实数1是集合{}|x x x =中的元素，故选项B 正确； 对于C ：{}{}N|110x x ∈-<<=，因此实数1不是集合{}N|11x x ∈-<<中的元素；故选项C 不正确；对于D ：()(){}1101R |0R ||11110x x x x x x x x x ⎧⎫⎧-+≤-⎪⎪⎧⎫∈≤=∈=-<≤⎨⎬⎨⎨⎬++≠⎩⎭⎪⎪⎩⎩⎭，因此实数1是集合1|01x x R x -⎧⎫∈≤⎨⎬+⎩⎭中的元素，故选项D 正确； 故选：ABD.3．集合{}2210A x a x x =++=中有且仅有一个元素，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．2答案：AC 解析：分0a =，和0a ≠两种情况讨论，可得0a =，或1a =.详解：当0a =时，可得1={}2A -，符合题意； 当0a ≠时，因为方程210ax x ++=有唯一解，所以440,1a a ∆=-=∴=.故选：AC.点睛：此题的关键是a 是否为零决定方程是一次方程还是二次方程，影响到根的个数.4．集合{},0,1,20,}1{A B == 且元素,a A b B ∈∈，则a 的取值范围为（ ）A ． 2B ．1C ． 0D ． 1-答案：ABC解析：根据集合与元素的关系即可得答案.详解：因为a A ∈，{0,1,2}A =所以a 的取值范围为0,1,2．故选：ABC5．已知x∈1，2，x 2}，则有（ ）A ．1x =B ．2x =C ．0x =D ．x答案：BC解析：利用集合中元素的互异性，分三种情况讨论即可.详解：由x∈1，2，x 2}，当21,1x x ==，不满足集合中元素的互异性；当22,4x x ==，满足集合中元素的互异性，符合题意；当20x x x =⇒=或1x =（舍），当0x =满足集合中元素的互异性，符合题意；故选：BC.点睛：本题主要考查了集合中元素的互异性，考查了分类讨论，属于较易题.三、填空题1．已知集合A 中有且仅有2个元素，并且实数a 满足a∈A，4-a∈A，且a∈N，4-a∈N，则A=__.答案：1，3}或0，4}解析：依题意首先确定a 的取值情况，再一一列举出来即可；详解：因为a N ∈，4a N -∈，所以0a =，1，2，3，4.当0a =时，44a N -=∈，集合{}0,4满足题意;当1a =时，43a N -=∈，集合{}1,3满足题意;当2a =时，42a N -=∈，这时不存在满足题意的集合A.当3a =时，41a N -=∈，集合{}1,3满足题意;当4a =时，40a N -=∈，集合{}0,4满足题意;综上所述{}0,4A =或{}1,3.故答案为：{}1,3或{}0,42．已知{}2,P x x a x N =<<∈，已知集合P 中恰有3个元素，则整数a = .答案：6解析：根据题意得出3、4、5P ∈，6P ∉，从而可得出实数a 的不等式，解出即可得出整数a 的值.详解：根据题意得出3、4、5P ∈，6P ∉，56a a >⎧∴⎨≤⎩，即56a <≤. 因此，整数a 的值为6.点睛：本题考查利用集合元素的个数来求参数，解题的关键就是要结合题意列出不等式组进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.3．已知30ax A xx a ⎧-⎫=>⎨⎬+⎩⎭，若1A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围为______．答案：[)3,1--解析：由于1A ∈，3A ∉，所以30,1{330,30,3a a a a a ->+-≤+=+或，从而可求出a 的取值范围 详解：因为1A ∈，3A ∉，所以30,1{330,30,3a a a a a->+-≤+=+或解得31a -≤<-． 故答案为：[)3,1--点睛：此题考查元素和集合的关系，考查分式不等式的解法，属于基础题4．用符号“∈”或“∉”填空：①{}2|0A x x x =-=，则1_______A ，1-______A ；②(1,2)______{(,)|1}x y y x =+.答案：∈∉∈解析：利用元素与集合的关系填空即可.详解：①将1代入方程成立，将1-代入方程不成立，故1A ∈,1A -∉.②将1,2x y ==代入1y x =+成立，故填∈.故答案为：,,∈∉∈点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题.5．已知集合2{1,1,4}M m m =++，如果5M ∈且2M -∉，那么m =________答案：4或1或1-解析：根据元素与集合的关系,可得关于m 的方程,解方程且满足5M ∈且2M -∉,即可求得m 的值．详解：集合2{1,1,4}M m m =++,5M ∈且2M -∉所以若15m +=,解得4m =若245m ,解得1m =±所以m 的值为4或1或1-故答案为: 4或1或1-点睛：本题考查了元素与集合的关系,根据元素属于集合求参数,属于基础题.四、解答题1．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值.答案：1,0x y ==解析：根据集合相等的含义，结合集合中元素的互异性，即可得出结论．详解：因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.①当x ＝0时，x 2＝0，B 中元素为0，0，不满足集合中元素的互异性，故舍去.②当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由①知x ＝0应舍去.综上知：x ＝1，y ＝0.点睛：本题考查集合相等的含义，考查集合中元素的互异性，属于基础题．2．已知{}{},,1,2,3,5,0,2,4,8,A B A C B C ⊆⊆==求A ．答案：{}2或φ解析：,A B A C ⊆⊆，则A B C ⊆，可得集合A ． 详解：{}{}1,2,3,5,0,2,4,8B C ==，则{}2B C ⋂=，则{}2A =或A φ=．3．已知集合{}2|320A x R ax x =∈-+=，其中a 为常数，且a R ∈.①若A 是空集，求a 的范围；②若A 中只有一个元素，求a 的值；③若A 中至多只有一个元素，求a 的范围.答案：①98a >；②0a =或98a =；③0a =或98a ≥. 解析：①只需方程2320ax x -+=无解即可；②当0a =成立，当0a ≠时，只需0∆=；③由题意可知0a =时成立，当0a ≠时，只需0∆≤即可. 详解：①若A 是空集，则方程2320ax x -+=无解，此时980a ∆=-<，即98a >， ②若A 中只有一个元素，则方程2320ax x -+=有且只有一个实根， 当0a =时方程为一元一次方程，满足条件当0a ≠，此时980a ∆=-=，解得：98a =. ∴0a =或98a =； ③若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素 由①②得满足条件的a 的取值范围是：0a =或98a ≥. 点睛：本题考查根据集合中元素的个数求参，考查方程根的个数问题，较简单.。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(101)
1.1 集合的概念一、单选题1．给出下列说法：①{}10,1,2∈；②{}0,1,2∅⊆；③{}{}10,1,2⊆；④{}{}0,1,22,0,1=.其中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．对于集合A ，B ，若一个集合为另一个集合的子集时，则称这两个集合A ，B 之间构成“全食”；当集合A B ⋂≠∅，且互不为对方子集时，则称集合A ､B 之间构成“偏食”.对于集合{}2,1,2A =-，{}21,0B x ax a ==≥，若集合A ，B 构成“全食”或构成“偏食”，则a 的取值集合为（ ）A ．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．10,1,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．110,1,,42⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 3．若用列举法表示集合27(,)2y x A x y x y ⎧⎫-=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬+=⎩⎪⎪⎩⎭，则下列表示正确的是（ ） A ．{1,3}x y =-= B ．{(-1,3)} C ．{3,-1} D ．{-1,3}4．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()A C B = A ．2}B ．2，3}C ．-1，2，3}D ．1，2，3，4}5．集合{}3M x x k k Z ==∈，， {}31P x x k k Z ==+∈，，{}31Q x x k k Z ==-∈，，若 a M ∈，b P ∈，c Q ∈，则a b c +-∈A ．M P ⋃B ．PC ．QD ．M6．下列四组对象中能构成集合的是（ ）. A ．本校学习好的学生 B ．在数轴上与原点非常近的点 C ．很小的实数 D ．倒数等于本身的数 7．设集合A=x|x 2–4≤0}，B=x|2x+a≤0}，且A∩B=x|–2≤x≤1}，则a=（ ）A ．–4B ．–2C ．2D ．48．已知集合{}20,,32A m m m -+＝，且2A ∈，则实数m 为（ ）A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可 9．已知集合{,||,2}M a a a =-．若2M ∈，则实数a 的值为 A ．-2B ．2±C ．2或4D ．2±或410．下列集合中，结果是空集的是( )A ．x∈R|x 2-1=0}B ．x|x>6或x<1}C ．(x ，y)|x 2+y 2=0}D ．x|x>6且x<1}二、填空题1．已知集合{}=2,0,1,9A ，{}2|2,2B k k R kA k A =∈-∈-∉，，则集合B 中所有的元素之和为___________.2．把集合{37}A x N x =∈<<用列举法表示出来_______________.3．已知集合A 、B 、U ，满足A U ⊆，B U ⊆，且A B U ⋃=时，称集合对(,)A B 为集合U 的最优子集对若{1,2}U =，则集合U 的最优子集对的对数为________.4．设集合A 、B 都是U ＝1,2,3,4}的子集，若(∁U A)∩(∁U B)＝2}，(∁U A)∩B＝1}，且A 中含有两个元素，则A ＝________.5．已知集合(){}(){},|21,,|3A x y y x B x y y x ==+==+,若a A ∈且a B ∈则a 为__________. 三、解答题1．已知方程ax 2－3x －4＝0的解组成的集合为A. （1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； （2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．2．选择适当的方法表示下列集合． （1）绝对值不大于3的整数组成的集合； （2）方程(35)(2)0x x -+=的实数解组成的集合； （3）一次函数6y x =+图像上所有点组成的集合； （4）满足方程||x x =，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合．3．已知2{3,22,1}A a a a =+++，若5A ∈，求a 所有可能的值.4．若集合A 具有以下性质：①0A ∈，1A ∈；②若x 、y A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈，则称集合A 为“好集”．（1）试判断有理数集Q 和集合{}1,0,1B =-是不是“好集”，并说明理由； （2）设集合A 是“好集”，求证：若a 、b A ∈，则a b A +∈．5．由实数组成的集合A具有如下性质：若a A∈，b A∈且a b<，那么1aAb+∈.（1）若集合A恰有两个元素，且有一个元素为43，求集合A；（2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题 1．D解析：根据元素与集合、集合与集合的关系可判断. 详解：对于①，由元素与集合的关系可知正确； 对于②，由空集是任意集合的子集知正确； 对于③，根据集合间的关系知正确； 对于④，由集合中元素具有无序性知正确. 故选：D. 2．C解析：结合新定义，按照0a =、0a >分类，即可得解. 详解：当0a =时，{}201B x x ===∅，B A ⊆，符合题意；当0a >时，{}21B x ax⎧===⎨⎩， 若集合A ，B 2=，解得14a =； 当集合A ､B 1=，解得1a =； 所以a 的取值集合为10,1,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 故选：C. 3．B解析：由题意知，集合A 代表点集，解方程组即可求解. 详解：由272y x x y -=⎧⎨+=⎩可得13x y =-⎧⎨=⎩， 用列举法表示为：{(-1,3)}，故选：B. 4．D解析：先求A C ，再求()A C B ． 详解：因为{1,2}A C =， 所以(){1,2,3,4}A C B =. 故选D ． 点睛：集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算． 5．C解析：设13a k =，231b k =+，331c k =-（123,,k k k Z ∈），计算a b c +-可得． 详解：由题意设13a k =，231b k =+，331c k =-（123,,k k k Z ∈），则123123331(31)3(1)1a b c k k k k k k +-=++--=+-+-，而1231k k k Z +-+∈， ∴a b c Q +-∈． 故选：C ． 点睛：本题考查集合的概念，考查元素与集合的关系，题中在设,,a b c 时，不能设成3a k =，31b k =+，31c k =-（k Z ∈），这样设，,,c a b 是相邻的三个整数，但,,a b c 不一定相邻．6．D解析：根据集合中元素具有确定性判断选项即可得到结果. 详解：集合中的元素具有确定性，对于,,A B C ，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；对于D ，符合集合的定义，D 正确. 故选：D . 点睛：本题考查集合的定义，关键是明确集合中的元素具有确定性，属于基础题. 7．B解析：由题意首先求得集合A,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 详解：求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-. 故选：B. 点睛：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．B解析：根据元素与集合的关系，分情况求得m 的值，利用集合的元素的互异性检验. 详解：由2A ∈可知2m =,或2322m m -+=.若2m =，则2320m m -+=，这与集合A 的元素的互异性要求相矛盾； 若2322m m -+=，则0m =或3m =.当0m =时，与集合A 的元素的互异性要求相矛盾, 当3m =时，此时集合{}0,3,2A ＝，符合题意． 故选：B . 9．A解析：根据2M ∈依次验证每个元素等于2的情况，根据元素的互异性排除错误结果. 详解：当2a =时，2=a ，不满足集合中元素的互异性； 当22a -=时，4a =，4a=，不满足集合中元素的互异性；2a ∴=且2a ≠ 2a ∴=-，此时{}2,2,4M =--，满足题意故选A 点睛：本题考查根据元素与集合的关系求解参数值的问题，易错点是忽略集合中元素的互异性，造成增根出现. 10．D解析：分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断.详解：A 选项：21{|10}x R x ±∈∈-=，不是空集；B 选项：7∃∈x|x>6或x<1}，不是空集；C 选项：(0,0)∈(x，y)|x 2+y 2=0}，不是空集；D 选项：不存在既大于6又小于1的数， 即：x|x>6且x<1}=∅. 故选：D二、填空题 1．2-解析：根据集合的定义求出集合B 后可得结论． 详解：222k -=，2k =±，2k =时，20k A -=∈，因此2k =-；220k -=，k =221k -=，k =229k -=，k =所以{2,B =-，其中所有元素的和为2-． 故答案为：2-．2．{}4,5,6解析：根据x 为自然数及x 的范围，即可列出x 的所有取值，即可得答案. 详解：因为x ∈N 且37x ， 所以x 的所有取值为4,5,6， 故答案为：{}4,5,6 3．9解析：根据最优子集对的定义，当{1,2}U =时，写出集合,A B 的所有可能情况即可． 详解：解析当A =∅时，{1,2}B =，此时有1对；当{1}A =时，B 可以为{1,2}或{2}，此时有2对；当{2}A =时，B 可以为{1,2}或{1}，此时有2对；当{1,2}A =时，B 可以为{1,2}或{2}或{1}或∅，此时有4对.因此共有9对. 故答案：9. 点睛：本题考查对新定义最优子集对的理解，属于基础题．4．{}3,4解析：根据集合的定义与性质，结合题意，写出集合A 的元素即可． 详解：解：集合A ，B 都是全集{}1,2,3,4U =的子集，(){}1UA B =，1A ∴∉，又()(){}2U U A B =，2A ∴∉，A 中元素有2个．{}3,4A ∴=故答案为：{}3,4 点睛：本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题． 5．(2,5) 解析：由213y x y x =+⎧⎨=+⎩，解方程组即可求出a 的值．详解：解：由213y x y x =+⎧⎨=+⎩，可得2,5x y ==．故a 为(2,5)， 故答案为(2,5)． 点睛：本题考查集合的含义，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题 1．（1）()9,00,16⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）9|016a a a ⎧⎫≤-=⎨⎬⎩⎭或 解析：（1）利用方程有两个不等实根列不等式组，解出实数a 的取值范围； （2）利用方程有0个或1个实根列不等式，解出实数a 的取值范围. 详解：解：(1)因为A 中有两个元素，所以方程ax 2－3x －4＝0有两个不等的实数根，所以9160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩即a>－916且a≠0.所以实数a 的取值范围为()9,00,16⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.(2)当a ＝0时，由－3x －4＝0得x ＝－43；当a≠0时，若关于x 的方程ax 2－3x －4＝0有两个相等的实数根，则Δ＝9＋16a ＝0，即a ＝－916； 若关于x 的方程无实数根，则Δ＝9＋16a<0，即a<－916， 故所求的a 的取值范围是9|016a a a ⎧⎫≤-=⎨⎬⎩⎭或.2．(1) {3,2,1,0,1,2,3}--- (2) 5,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ (3) {(,)|6}x y y x =+ (4) {|||,}x x x x =∈Z解析：由题,用列举法表示（1）（2）,用描述法表示（3）（4）即可 详解：（1）绝对值不大于3的整数有-3,-2,-1,0,1,2,3,共7个,用列举法表示为{3,2,1,0,1,2,3}---（2）方程(35)(2)0x x -+=的实数解仅有两个,分别是153x =,22x =-,用列举法表为5,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭（3）一次函数6y x =+图像上有无数个点,用描述法表示为{(,)|6}x y y x =+ （4）因为自然数都满足方程||,x x x =∈Z ，即方程有无数个解， 所以用描述法表示为{|||,}x x x x =∈Z 点睛：本题考查列举法、描述法表示集合,属于基础题3．32a =，或2a =-解析：分三种情况23,22,1a a a +++分别等于5进行讨论,注意集合的互异性即可. 详解：∵5∈A,∴35a +=,或225a +=,或215a +=, 解得：2a =,32a =,或2a =±．经过验证：a ＝2时{5,6,5}A =不满足题意,舍去． ∴32a =,或2a =-． 点睛：本题主要考查集合的元素分类讨论与互异性,注意算得的答案要代入原集合进行互异性的讨论.4．（1）理数集Q 是“好集”，集合B 不是“好集”，理由见解析；（2）证明见解析 解析：（1）利用举反例的方法，证明集合B 不是“好集”.根据“好集”的两个条件，证明有理数集Q 是“好集.（2）先判断出当b A ∈，则0b b A -=-∈，进而证得()a b a b A --=+∈，由此证得结论成立. 详解：（1）集合B 不是“好集”理由．假设集合B 是“好集”，则由1B -∈，1B ∈可得112B --=-∈，这与题设2B -∉矛盾；有理数集Q 是“好集”，0Q ∈，1Q ∈，对任意的m ，Q n ∈，有Q m n -∈，且0m ≠时，1Q m∈，故Q 是“好集” （2）集合A 是“好集”，0A ∴∈，若a ，b A ∈，则0b b A -=-∈，于是()a b a b A --=+∈，即a b A +∈，结论成立.．点睛：本小题主要考查新定义集合的概念理解和运用，考查分析与解决问题的能力，属于基础题.5．（1）4{4,}3A =或44{,}39A =或4{3A =；（2）存在，A =.解析：（1）根据题意设集合4{,}3A x =，然后分类讨论x 与43的大小，根据集合的性质解出x ，即可得解；（2）假设存在一个含有元素0的三元素集合A {0,,}a b =，根据集合中元素的性质可知，0a <，0b <，进一步可知，1A ∈，不妨设集合{,0,1},(0A x x =>且1)x ≠，再根据集合中元素的性质可求得结果. 详解：（1）集合A 恰有两个元素且43A ∈.不妨设集合4{,}3A x =，当43x <时，由集合A 的性质可知，314x A +∈，则314x x +=或34143x +=， 解得4x =(舍)或49x =，所以集合44{,}39A = 当43x >时，由集合A 的性质可知，413A x +∈，则413x x +=或44133x +=，解得36x +=或36x =(舍)或4x =所以集合4{,4}3A =或43{,}36A +=综上所述：4{4,}3A =或44{,}39A =或4{3A =. （2）假设存在一个含有元素0的三元素集合A {0,,}a b =，即0A ∈，当0a >时，则10a +无意义，当0b >时，则10b +无意义， 所以0a <，0b <，并且01A a +∈，01A b+∈，即1A ∈， 不妨设集合{,0,1},(0A x x =>且1)x ≠，当1x >时，由题意可知，11A x+∈，若11x x +=，即210x x --=，解得x =或x =(舍)，此时集合A =； 若111x +=，则10x =不成立； 若110x+=，即1x =-(舍)， 当01x <<时，由题意可知，1x A +∈，若10x +=，则1x =-（舍），若11x +=，则0x =（舍），若1x x +=，则10=不成立，综上所述，集合A 是存在的，1{0,1,}2A =. 点睛：本题考查了元素与集合的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题.。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(2)
1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合{0,2}A =，则下列关系表示错误的是（ ）． A ．0A ∈ B ．{2}A ∈C ．A ∅⊆D ．{0,2}A ⊆2．方程组221x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是（ ）A ．{}1,1x y ==B ．{}1C ．()1,1D ．(){},1,1x y x y ==3．已知2{1,0,}x x ∈，则实数x 的值为（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．±14．已知集合{}1,2,3A =，集合(){},,B x y x A x y A =∈-∈，则符合条件的集合B 的子集个数为（ ） A ．3B ．4C ．8D ．105．若{}2213,1,1a a a -∈---，则a=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．0或16．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式||||||||xyzxyz x y z xyz+++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（ ） A ．0M ∉B ．2M ∈C ．4M -∉D ．4M7．对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x R ∀∈且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是A ．若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα++∈B ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈C ．若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈D ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈ 8．集合（x ，y ）|y ＝3x 2－11x}表示（ ） A ．方程y ＝3x 2－11x B ．（x ，y ）C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝3x 2－11x 图象上的所有点组成的集合9{}0x x >，0.2Q ∉，3N -∈，0∈∅，其中正确的个数A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 10．若集合{}|1A x x =≤，则满足A B A =的集合B 可以是（ ）A ．{}|0x x ≤B ．{}2|x x ≤C ．{}|0x x ≥D ．{}|2x x ≥二、填空题 1．方程组240x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________. 2．实数系的结构图如图所示，其中1，2，3三个方格中的内容依次是________，________，________.3．集合A=x|x=2k ，k∈Z}，B=x|x=2k+1，k∈Z} ，C=x|x=4k-1，k∈Z}，若m∈A， n∈B，则m+n∈ ___________（选填A 、B 、C ）。
高中数学必修1全册课时训练含答案
人教A版高中数学必修1 全册课时训练目录1.1.1（第1课时）集合的含义1.1.1（第2课时）集合的表示1.1.2集合间的基本关系1.1.3（第1课时）并集、交集1.1.3（第2课时）补集及综合应用1.2.1（第1课时）函数的概念1.2.1（第2课时）函数概念的综合应用1.2.2（第1课时）函数的表示法1.2.2（第2课时）分段函数及映射1.3.1（第1课时）函数的单调性1.3.1（第2课时）函数的最大值、最小值1.3.2（第1课时）函数奇偶性的概念1.3.2（第2课时）函数奇偶性的应用集合与函数的概念-单元评估试题2.1.1（第1课时）根式2.1.1（第2课时）指数幂及运算2.1.2（第1课时）指数函数的图象及性质2.1.2（第2课时）指数函数及其性质的应用2.2.1（第1课时）对数2.2.1（第2课时）对数的运算2.2.2（第1课时）对数函数的图象及性质2.2.2（第2课时）对数函数及其性质的应用2.3幂函数基本初等函数-单元评估试题3.1.1方程的根与函数的零点3.1.2用二分法求方程的近似解3.2.1几类不同增长的函数模型3.2.2（第1课时）一次函数、二次函数应用举例3.2.2（第2课时）指数型、对数型函数的应用举例函数的应用-单元评估试题第1-3章-全册综合质量评估试卷课时提升卷(一)集合的含义（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列各项中,不能组成集合的是( )A.所有的正整数B.等于2的数C.接近于0的数D.不等于0的偶数2.(2013·冀州高一检测)若集合M中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是( )A.1B.0C.-2D.24.已知2a∈A,a2-a∈A,若A只含这2个元素,则下列说法中正确的是( )A.a可取全体实数B.a可取除去0以外的所有实数C.a可取除去3以外的所有实数D.a可取除去0和3以外的所有实数5.下列四种说法中正确的个数是( )①集合N中的最小数为1;②若a∈N,则-a∉N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.A.0B.1C.2D.3二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·天津高一检测)设集合A中含有三个元素2x-5,x2-4x,12,若-3∈A,则x的值为.7.(2013·济宁高一检测)若集合P含有两个元素1,2,集合Q含有两个元素1,a2,且P,Q相等,则a= .8.若a,b∈R,且a≠0,b≠0,则+的可能取值所组成的集合中元素的个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.集合A的元素由kx2-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A中的元素只有一个,求k的值.10.数集M满足条件,若a∈M,则∈M(a≠±1且a≠0),已知3∈M,试把由此确定的集合M的元素全部求出来.11.(能力挑战题)设P,Q为两个数集, P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.答案解析1.【解析】选C.怎样才是接近于0的数没有统一的标准,即不满足集合元素的确定性,故选C.2.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,a,b,c三个数一定全不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.3.【解析】选C.∵-1∈M,∴2×(-1)∈M,即-2∈M.4.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,2a≠a2-a,解得a≠0且a≠3,故选D.5.【解析】选A.①中最小数应为0;②中a=0时,- a∈N;③中a+b的最小值应为0;④中“小的正数”不确定.因此①②③④均不对.6.【解析】∵-3∈A,∴-3=2x-5或-3=x2-4x.①当-3=2x-5时,解得x=1,此时2x-5=x2-4x=-3,不符合元素的互异性,故x≠1;②当-3=x2-4x时,解得x=1或x=3,由①知x≠1,且x=3时满足元素的互异性.综上可知x=3.答案:37.【解析】由于P,Q相等,故a2=2,从而a=±.答案:±8.【解题指南】对a,b的取值情况分三种情况讨论求值,即同正,一正一负和同负,以确定集合中的元素,同时注意集合元素的互异性.【解析】当a>0,b>0时,+=2;当ab<0时,+=0;当a<0,b<0时,+=-2.所以集合中的元素为2,0,-2.即集合中元素的个数为3.答案:39.【解析】由题知A中元素即方程kx2-3x+2=0(k∈R)的解,若k=0,则x=,知A中有一个元素,符合题意;若k≠0,则方程为一元二次方程.当Δ=9-8k=0即k=时,kx2-3x+2=0有两个相等的实数解,此时A中有一个元素.综上所述,k=0或.10.【解析】∵a=3∈M,∴==-2∈M,∴=-∈M,∴=∈M,∴=3∈M.再把3代入将重复上面的运算过程,由集合中元素的互异性可知M中含有元素3,-2,-,.【拓展提升】集合中元素互异性的应用集合中的元素是互异的,它通常被用作检验所求未知数的值是否符合题意.只要组成两个集合的元素是一样的,这两个集合就是相等的,与两个集合中元素的排列顺序无关.11.【解析】∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P+Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.课时提升卷(二)集合的表示（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·临沂高一检测)设集合M={x∈R|x≤3},a=2,则( )A.a∉MB.a∈MC.{a}∈MD.{a}∉M2.集合{x∈N*|x-3<2}的另一种表示方法是( )A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}3.下列集合中,不同于另外三个集合的是( )A.{0}B.{y|y2=0}C.{x|x=0}D.{x=0}4.下列集合的表示法正确的是( )A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}B.不等式x-1<4的解集为{x<5}C.整数集可表示为{全体整数}D.实数集可表示为R5.设x=,y=3+π,集合M={m|m=a+b,a∈Q,b∈Q},那么x,y与集合M的关系是( )A.x∈M,y∈MB.x∈M,y∉MC.x∉M,y∈MD. x∉M,y∉M二、填空题(每小题8分,共24分)6.设A={4,a},B={2,ab},若A=B,则a+b= .7.已知集合A={x|∈N,x∈N},则用列举法表示为.8.已知集合A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},a∈A且a∈B,则a 为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.用适当的方法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数.(2)满足方程x=|x|的所有x的值构成的集合B.10.下面三个集合:A={x|y=x2+1}; B={y|y=x2+1};C={(x,y)|y=x2+1}.问:(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义是什么?11.(能力挑战题)集合P={x|x=2k,k∈Z},M={x|x=2k+1,k∈Z},a∈P,b ∈M,设c=a+b,则c与集合M有什么关系?答案解析1.【解析】选B.(2)2-(3)2=24-27<0,故2<3.所以a∈M.2.【解析】选B.集合中元素满足x<5且x∈N*,所以集合的元素有1,2,3,4.3.【解析】选D.A是列举法,B,C是描述法,而D表示该集合含有一个元素,即“x=0”.4.【解析】选D.选项A中应是xy<0;选项B的本意是想用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x;选项C的“{ }”与“全体”意思重复.5.【解析】选B.∵x==--.y=3+π中π是无理数,而集合M中,b ∈Q,得x∈M,y M.6.【解析】两个集合相等,则两集合的元素完全相同,则有a=2,ab=4,将a=2代入ab=4,得b=2.∴a+b=4.答案:47.【解题指南】结合条件,可按x的取值分别讨论求解.【解析】根据题意,5-x应该是12的正因数,故其可能的取值为1,2,3,4,6,12,从而可得到对应x的值为4,3,2,1,-1,-7.因为x∈N,所以x 的值为4,3,2,1.答案:{1,2,3,4}8.【解析】∵a∈A且a∈B,∴a是方程组的解,解方程组,得∴a为(2,5).答案:(2,5)9.【解析】(1){x|x=3n,n∈Z}.(2)B={x|x=|x|,x∈R}.【变式备选】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y) |y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.集合A为列举法表示集合,集合B,C,D均为描述法表示集合,其中B选项省略了代表元素和竖线.10.【解析】(1)在A,B,C三个集合中,虽然代表元素满足的表达式一致,但代表元素互不相同,所以它们是互不相同的集合.(2)集合A的代表元素是x,满足y=x2+1,故A={x|y=x2+1}=R.集合B的代表元素是y,满足y=x2+1,所以y≥1,故B={y|y=x2+1}={y|y≥1}.集合C的代表元素是(x,y),满足条件y=x2+1,即表示满足y=x2+1的实数对(x,y);也可认为是满足条件y=x2+1的坐标平面上的点.【拓展提升】三种集合语言的优点及应用集合语言包括符号语言、图形语言和自然语言三种.(1)符号语言比较简洁、严谨且内涵丰富有利于推理计算.(2)图形语言能够引起直观的视觉感受,便于理清关系,有利于直观地表达概念、定理的本质及相互关系,使得抽象的思维关系明朗化. (3)自然语言往往比较生动,能将问题研究对象的含义更加明白地叙述出来.集合的三种语言之间相互转化,在解决集合问题时,一般是将符号语言转化为图形语言、自然语言,这样有助于弄清集合是由哪些元素构成的,有助于提高分析问题和解决问题的能力.11.【解析】∵a∈P,b∈M,c=a+b,设a=2k1,k1∈Z,b=2k2+1,k2∈Z,∴c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1,又k1+k2∈Z,∴c∈M.课时提升卷(三)集合间的基本关系（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列四个结论中,正确的是( )A.0={0}B.0∈{0}C.0⊆{0}D.0=∅2.(2013·宝鸡高一检测)如果M={x|x+1>0},则( )A.∅∈MB.0MC.{0}∈MD.{0}⊆M3.(2013·长沙高一检测)已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.设A={a,b},B={x|x∈A},则( )A.B∈AB.B AC.A∈BD.A=B5.(2013·潍坊高一检测)设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围是( )A.a≤2B.a≤1C.a≥1D.a≥2二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·汕头高一检测)已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m= .7.已知集合A={x|x<3},集合B={x|x<m},且A B,则实数m满足的条件是.8.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P 的关系为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠ ,B⊆A,求a,b的值.10.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.(1)若A B,求a的取值范围.(2)若B⊆A,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知A={x||x-a|=4},B={1,2,b},是否存在实数a,使得对于任意实数b(b≠1,且b≠2),都有A⊆B?若存在,求出对应的a的值;若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选B.{0}是含有1个元素0的集合,故0∈{0}.2.【解析】选D.M={x|x+1>0}={x|x>-1},∴{0}⊆M.3.【解析】选C.由题意知,x=-2或2,即A={-2,2},故其真子集有3个. 【误区警示】本题易忽视真子集这一条件而误选D.4.【解析】选D.因为集合B中的元素x∈A,所以x=a或x=b,所以B={a,b},因此A=B.5.【解析】选D.∵A⊆B,∴a≥26.【解析】∵B⊆A,∴m2=2m-1,∴m=1.答案:17.【解析】将数集A标在数轴上,如图所示,要满足A B,表示数m的点必须在表示3的点的右边,故m>3.答案: m>38.【解析】∵xy>0,∴x,y同号,又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P.答案:M=P9.【解析】由B⊆A知,B中的所有元素都属于集合A,又B≠ ,故集合B有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}.当B={-1}时,B={x|x2+2x+1=0},故a=-1,b=1;当B={1}时,B={x|x2-2x+1=0},故a=b=1;当B={-1,1}时,B={x|x2-1=0},故a=0,b=-1.综上所述,a,b的值为或或10.【解题指南】利用数轴分析法求解.【解析】(1)若A B,由图可知,a>2.(2)若B⊆A,由图可知,1≤a≤2.11.【解析】不存在.要使对任意的实数b都有A⊆B,所以1,2是A中的元素,又∵A={a-4,a+4},∴或这两个方程组均无解,故这样的实数a不存在.课时提升卷(四)并集、交集（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·衡水高一检测)若集合A,B,C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C 之间的关系为( )A.C AB.A CC.C⊆AD.A⊆C2.已知M={0,1,2, 4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4,7,9},则(M∩N)∪(M ∩P)等于( )A.{1,4}B.{1,7}C.{1, 4,7}D.{4,7}3.(2013·本溪高一检测)A={x∈N︱1≤x≤10},B={x∈R︱x2+x-6=0},则图中阴影表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}4.(2013·德州高一检测)设集合A={x|x≤1},B={x|x>p},要使A∩B=∅,则p应满足的条件是( )A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤15.(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m=( )A.0或B.0或3C.1或D.1或3二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N= .7.(2013·清远高一检测)已知集合A={x|x≤1},集合B={x|a≤x},且A∪B=R,则实数a的取值范围是.8.(2013·西安高一检测)设集合A={5,a+1},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知集合A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若A∪B={1,2,3,5},求x及A ∩B.10.已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B=∅,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知:A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若A∪B=B,求a的值.(2)若A∩B=B,求a的值.答案解析1.【解析】选D.∵A∩B=A,B∪C=C,∴A⊆B,B⊆C,∴A⊆C.2.【解析】选C.M∩N={1,4},M∩P={4,7},故(M∩N)∪(M∩P)={1,4,7}.3.【解析】选A.A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知,阴影部分即为A∩B,故A∩B={2}.4.【解析】选B.∵A∩B= ,∴结合数轴分析可知应满足的条件是p≥1. 【误区警示】本题易漏掉p=1的情况而误选A.5.【解析】选B.由A∪B=A得B⊆A,所以有m=3或m=.由m=得m=0或1,经检验,m=1时B={1,1}不符合集合元素的互异性,m=0或3时符合.6.【解析】由题意联立方程组得x=3,y=-1,故M∩N={(3,-1)}.答案:{(3,-1)}7.【解析】∵A∪B=R,∴a≤1.答案:a≤18.【解析】∵A∩B={2},∴2∈A,故a+1=2,a=1,即A={5,2};又2∈B,∴b=2,即B={1,2},∴A∪B={1,2,5}.答案:{1,2,5}9.【解析】∵B⊆(A∪B),∴x2-1∈A∪B.∴x2-1=3或x2-1=5.解得x=±2或x=±.若x2-1=3,则A∩B={1,3}.若x2-1=5,则A∩B={1,5}.10.【解题指南】通过数轴直观表示,并结合A∩B=∅分析列不等式(组)求解.【解析】A∩B=∅,A={x|2a≤x≤a+3}.(1)若A=∅,有2a>a+3,∴a>3.(2)若A≠∅,如图所示.则有解得-≤a≤2.综上所述,a的取值范围是-≤a≤2或a>3.【拓展提升】数轴在解含参不等式(组)中的作用数轴是解不等式(组)的重要工具,它是实现数形结合解决数学问题的桥梁,在求解不等式(组)待定字母值或范围时,借助数轴的直观性,很轻松地将各变量间的关系表示出来,进而列出不等式(组),更能显示出它的优越性.11.【解析】(1)A={-4,0},若A∪B=B,则B=A={-4,0},解得a=1.(2)若A∩B=B,则①若B为空集,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,则a<-1;②若B为单元素集合,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8=0, 解得a=-1,将a=-1代入方程x2+2(a+1)x+a2-1=0,得x2=0得,x=0,即B={0},符合要求;③若B=A={-4,0},则a=1,综上所述,a≤-1或a=1.课时提升卷(五)补集及综合应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U={x∈N*|x<6},集合A={1,3},B={3,5},则ð(A∪B)=( )UA.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}2.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(ðB)=( )RA.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤2}3.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,3,5,7},B={3,5},则下列式子一定成立的是( )A.ðB⊆UðA B.(UðA)∪(UðB)=UUC.A∩ðB=∅ D.B∩UðA=∅U4.设全集U(U≠∅)和集合M,N,P,且M=UðN,N=UðP,则M与P的关系是( )A.M=ðP B.M=PUC.M PD.M P5.(2013·广州高一检测)如图,I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.(ðA∩B)∩C B.(IðB∪A)∩CIC.(A∩B)∩ðC D.(A∩IðB)∩CI二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9, 12},则A∩(ðB)= .N7.已知全集为R,集合M={x∈R|-2<x<2},P={x|x≥a},并且M⊆ðP,则Ra的取值范围是.8.设集合A,B都是U={1,2,3,4}的子集,已知(ðA)∩(UðB)={2},(UðA)U∩B={1},且A∩B=∅,则A= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·济南高一检测)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪ðA=R,RB∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},求集合B.R10.已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且AðB,求a的取值范R围.11.(能力挑战题)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(ðA)∩B=∅,求m的值.U答案解析1.【解析】选C.由题知U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5},故ð(A∪B)={2,4}.U2.【解析】选D.∵B={x|x<1},∴ðB={x|x≥1},R∴A∩ðB={x|1≤x≤2}.R3.【解析】选D.逐一进行验证.ðB={1,2,4,6,7},UðA={2,4, 6},显然UðAU⊆ðB,显然A,B错误;A∩UðB={1,7},故C错误,所以只有D正确.U4.【解析】选B.利用补集的性质:M=ðN=Uð(UðP)=P,所以M=P.U【拓展提升】一个集合与它的补集的关系集合与它的补集是一组相对的概念,即如果集合A是B相对于全集U 的补集,那么,集合B也是A相对于全集U的补集.同时A与B没有公共元素,且它们的并集正好是全集,即A∪B=U,A∩B= .5.【解析】选D.由图可知阴影部分是A的元素,且是C的元素,但不属于B,故所表示的集合是(A∩ðB)∩C.I6.【解析】∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},∴ðB={1,2,4,5,7,8,…}.N∴A∩ðB={1,5,7}.N答案:{1,5,7}7.【解析】M={x|-2<x<2},ðP={x|x<a}.R∵M⊆ðP,∴由数轴知a≥2.R答案:a≥28.【解析】根据题意画出Venn图,得A={3,4}.答案:{3,4}9.【解析】∵A={x|1≤x≤2},∴ðA={x|x<1或x>2}.R又B∪ðA=R,A∪RðA=R,可得A⊆B.R而B∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},R∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1或2<x<3}={x|0<x<3}.10.【解题指南】解答本题的关键是利用AðB,对A=∅与A≠∅进行R分类讨论,转化为等价不等式(组)求解,同时要注意区域端点的问题. 【解析】ðB={x|x≤1或x≥2}≠∅,R∵AðB.R∴分A=∅和A≠∅两种情况讨论.(1)若A=∅,则有2a-2≥a,∴a≥2.(2)若A≠∅,则有或∴a≤1.综上所述,a≤1或a≥2.11.【解题指南】本题中的集合A,B均是一元二次方程的解集,其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m,需要对这个参数进行分类讨论,同时需要根据(ðA)∩B=∅对集合A,B的关系进行转化.U【解析】A={-2,-1},由(ðA)∩B=∅,得B⊆A,U∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或m=2.【变式备选】已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|ax-6=0}且ðA⊆RðB,R求实数a的取值集合.【解析】∵A={x|x2-5x+6=0},∴A={2,3}.又ðA⊆RðB,R∴B⊆A,∴有B=∅,B={2},B={3}三种情形.当B={3}时,有3a-6=0,∴a=2;当B={2}时,有2a-6=0,∴a=3; 当B= 时,有a=0,∴实数a的取值集合为{0,2,3}.课时提升卷(六)函数的概念（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U=R,集合A=[3,7),B=(2,10),则ð(A∩B)=( )RA.[3,7)B.(-∞,3)∪[7,+∞)C.(-∞,2)∪[10,+∞)D.2.(2013·西安高一检测)下列式子中不能表示函数y=f(x)的是( )A.x=y2+1B.y=2x2+1C.x-2y=6D.x=3.(2013·红河州高一检测)四个函数:(1)y=x+1.(2)y=x3.(3)y=x2-1.(4)y=.其中定义域相同的函数有( )A.(1),(2)和(3)B.(1)和(2)C.(2)和(3)D.(2),(3)和(4)4.下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数D.A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值5.(2013·盘锦高一检测)函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=( )A.[-2,+∞)B.[-2,2)C.(-2,2)D.(-∞,2)二、填空题(每小题8分,共24分)6.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是.7.函数y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是;其中只与x的一个值对应的y值的范围是.8.函数f(x)定义在区间[-2,3]上,则y=f(x)的图象与直线x=a的交点个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·烟台高一检测)求下列函数的定义域.(1)y=+.(2)y=.10.已知函数f(x)=,(1)求f(x)的定义域.(2)若f(a)=2,求a的值.(3)求证:f()=-f(x).11.(能力挑战题)已知函数y=(a<0且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选B.∵A∩B=[3,7),∴ð(A∩B)=(-∞,3)∪[7,+∞).R2.【解析】选A.一个x对应的y值不唯一.3.【解析】选A.(1),(2)和(3)的定义域都是R,(4)的定义域是{x∈R|x≠0}.4.【解析】选A.按照函数定义,选项B中,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D中,集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A符合函数定义.5.【解析】选B.由题意得M=(-∞,2),N=[-2,+∞),所以M∩N=(-∞,2)∩[-2,+∞)=[-2,2).6.【解析】由题意3a-1>a,则a>.答案:(,+∞)【误区警示】本题易忽略区间概念而得出3a-1≥a,则a≥的错误.7.【解析】观察函数图象可知f(x)的定义域是[-3,0]∪[2,3];只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5].答案:[-3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5]【举一反三】本题中求与x的两个值对应的y值的范围.【解析】由函数图象可知y值的范围是[2,4].8.【解题指南】根据函数的定义,对应定义域中的任意一个自变量x 都有唯一的函数值与之对应.利用此知识可以结合函数图象分析. 【解析】当a∈[-2,3]时,由函数定义知,y=f(x)的图象与直线x=a只有一个交点;当a [-2,3]时,y=f(x)的图象与直线x=a没有交点.答案:0或19.【解析】(1)由已知得∴函数的定义域为[-,].(2)由已知得:∵|x+2|-1≠0,∴|x+2|≠1,得x≠-3,x≠-1.∴函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(-1,+∞).10.【解析】(1)要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.(2)因为f(x)=,且f(a)=2,所以f(a)==2,即a2=,解得a=±.(3)由已知得f()==,-f(x)=-=,∴f()=-f(x).11.【解题指南】由题意得,(-∞,1]是函数y=的定义域的子集. 【解析】函数y=(a<0且a为常数).∵ax+1≥0,a<0,∴x≤-,即函数的定义域为(-∞,-].∵函数在区间(-∞,1]上有意义,∴(-∞,1] (-∞,-],∴-≥1,而a<0,∴-1≤a<0.即a的取值范围是[-1,0).关闭Word文档返回原板块。
最新人教A版高中数学必修一培优课时作业(一)集合的含义
课时作业(一)集合的含义[练基础]1．(多选)下列各组对象能构成集合的是()A．拥有手机的人B．2020年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为()A．1 B．2C．3 D．43．设不等式3－2x<0的解集为M，下列正确的是()A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈MC．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M4．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形5．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为()A．2 B．2或4C．4 D．06．已知集合A中含1和a2＋a＋1两个元素，且3∈A，则a3的值为()A．0 B．1C．－8 D．1或－87．设集合A是由1，k2为元素组成的集合，则实数k的取值范围是________．8．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a ＝________.9．A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．10．已知集合A含有三个元素2，a，b，集合B含有三个元素2,2a，b2，若A与B表示同一集合，求a，b的值．[提能力]11．(多选)由实数－a ，a ，||a ，a 2所组成的集合可以含有( )个元素．A ．1B ．2C ．3D ．412．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可13．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．14．集合M 中的元素y 满足y ∈N ，且y ＝1－x 2，若a ∈M ，则a 的值为________．15．数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a 1－a∈M (a ≠±1且a ≠0)．若3∈M ，则在M 中还有三个元素是什么？[培优生]16．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？课时作业(一) 集合的含义1．解析：拥有手机的人具有确定性，能构成集合，故A 正确；数学难题定义不明确，不符合集合的定义，故B 不正确；有理数具有确定性，能构成集合，故C 正确；小于π的正整数具有确定性，能构成集合，故D 正确；故选ACD.答案：ACD2．解析：“book ”中的字母构成的集合中有b ，o ，k 3个元素．答案：C3．解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x <0的解即可．当x ＝0时，3－2x ＝3>0，所以0不属于M ，即0∉M ；当x ＝2时，3－2x ＝－1<0，所以2属于M ，即2∈M .故选B.答案：B4．解析：根据集合的性质可知，a ≠b ≠c∴△ABC 一定不是等腰三角形．故选D.答案：D5．解析：若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ，若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A .故选B.答案：B6．解析：∵3∈A ，∴a 2＋a ＋1＝3，即a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0，解得a ＝－2，或a ＝1.当a ＝1时，a 3＝1.当a ＝－2时，a 3＝－8.∴a 3＝1，或a 3＝－8.故选D.答案：D7．解析：∵1∈A ，k 2∈A ，结合集合中元素的性质可知k 2≠1，解得k ≠±1.答案：k ≠±18．解析：∵x ∈N,2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素，∴结合数轴知a ＝6.答案：69．解析：∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ， ∴a ＝0或1.10．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝a ，b 2＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b ，b 2＝a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0，或⎩⎨⎧ a ＝14，b ＝12.由集合中元素的互异性知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12. 11．解析：当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有1个元素；当a ≠0时，a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0－a ，a <0，∴a 2与||a 相等且一定与a 或－a 中的一个一致， 故组成的集合可以含有1个或2个元素．故选AB.答案：AB12．解析：由2∈A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与m 2－3m ＋2≠0相矛盾； 若m 2－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，与m ≠0相矛盾，当m ＝3时，此时集合A 的元素为0,3,2，符合题意．故选B.13．解析：当ab >0时，|a |a ＋|b |b ＝2或－2.当ab <0时，|a |a ＋|b |b＝0，因此集合中含有－2,0,2三个元素．答案：314．解析：由y ＝1－x 2，且y ∈N 知，y ＝0或1，∴集合M 含0和1两个元素，又a ∈M ，∴a ＝0或1.答案：0或115．解析：∵3∈M ，∴1＋31－3＝－2∈M ， ∴1＋(－2)1－(－2)＝－13∈M ， ∴1＋⎝⎛⎭⎫－131－⎝⎛⎭⎫－13＝2343＝12∈M . 又∵1＋121－12＝3∈M ， ∴在M 中还有三个元素－2，－13，12. 16．解析：∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6； 当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．。
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课时作业(一) 集合的含义
A 组 基础巩固
1．下列说法正确的是( )
A ．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合
B ．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等
C ．不超过20的非负数组成一个集合
D ．方程(x －1)(x ＋1)2
＝0的所有解构成的集合中有3个元素
解析：对于A 项，“较小”没有明确的标准，所以A 项不正确；对于B 项，显然两个集合的元素完全相同，所以B 项不正确；对于C 项，由集合的概念可知，C 项正确；对于D 项，
方程(x －1)(x ＋1)2
＝0的所有解构成的集合中有－1,1共2个元素，所以D 项不正确，故选C.
答案：C
2.2014·青岛高一检测若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则此三角形一定不是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
解析：据集合中元素的互异性，可知a 、b 、c 互不相等，故选D. 答案：D
3．下列各组集合，表示相等集合的是( ) ①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}； ②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}； ③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}． A ．① B ．②
C ．③
D ．以上都不对
解析：①中M 中表示点(3,2)，N 中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M 表示一个元素：点(1,2)，N 中表示两个元素分别为1,2，故选B.
答案：B
4.2014·贵阳高一检测有下列说法： ①集合N 中最小的数为1； ②若－a ∈N ，则a ∈N ；
③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2； ④所有小的正数组成一个集合． 其中正确命题的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
解析：N 中最小的数为0，所以①错；由－12∉N ，且1
2
∉N 可知②错；若a ∈N ，b ∈N ，则a
＋b 的最小值为0，所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错，故选A.
答案：A
5.2014·温州高一检测由a 2,
2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )
A ．1
B ．－2
C ．6
D ．2
解析：由题意，得a 2≠2－a 且a 2
≠4，解得a ≠1，a ≠±2，故选C. 答案：C 6.2014·桂林高一检测由实数x ，－x ，|x |，x 2
，－3x 3所组成的集合中最多含( )
A ．2个元素
B ．3个元素
C ．4个元素
D ．5个元素
解析：∵x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，|x |＝±x ，∴由实数x ，－x ，|x |，x 2
，－3x 3所组成的集合中最多含有2个元素，故选A.
答案：A
7.2014·成都高一检测已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2＜x ＜a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝__________.
解析：∵x ∈N ，且2＜x ＜a ，集合P 中恰有三个元素，∴x 的值为3,4,5.又∵a ∈N ，∴a ＝6.
答案：6
8.2014·石家庄高一检测集合P 中含有两个元素分别为1和4，集合Q 中含有两个
元素1和a 2
，若P 与Q 相等，则a ＝__________.
解析：由题意，得a 2
＝4，a ＝±2. 答案：±2
9．设A 是由满足不等式x ＜6的自然数组成的集合，若a ∈A ，且3a ∈A ，则a 的值为__________．
解析：由题意，知a ∈N ，a ＜6，且3a ＜6，故a ＝0或1. 答案：0或1
10.2014·福州高一检测已知集合A 中的元素满足ax 2
－bx ＋1＝0，又集合A 中只有唯一的一个元素1，求实数a ＋b 的值．
解析：∵集合A 中只有唯一的一个元素1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a －
b ＋1＝0，Δ＝b 2
－4a ＝0.
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝2.
∴a ＋b ＝3.
B 组 能力提升
11.2014·兰州高一检测满足a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N 的有且只有2个元素的集合A 的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：若a ＝0∈N ，则4－a ＝4∈N ，故A ＝{0,4}，符合题意； 若a ＝1∈N ，则4－a ＝3∈N ，故A ＝{1,3}，符合题意； 若a ＝2∈N ，则4－a ＝2∈N ，故A ＝{2}，不合题意； 若a ＝3∈N ，则4－a ＝1∈N ，故A ＝{3,1}，符合题意； 若a ＝4∈N ，则4－a ＝0∈N ，故A ＝{4,0}，符合题意； 当a ＞4且a ∈N 时，均不符合题意． 综上，集合A 的个数是2，故选C. 答案：C
12．(2014·天津高一检测)集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2
＋1，若t ∈A ，则t 的值为__________．
解析：由题意，知t ∈N 且t ＝－x 2
＋1≤1，故t ＝0或1. 答案：0或1
13．已知集合M 中含有三个元素2，a ，b ，集合N 中含有三个元素2a,2，b 2
，且两集合相等，求a ，b 的值．
解析：由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
2a ＝a ，
b 2
＝b 或⎩
⎪⎨⎪⎧
2a ＝b ，
b 2
＝a .
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝0，
b ＝0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝0，
b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
4，b ＝1
2.
经检验，a ＝0，b ＝0不合题意；a ＝0，b ＝1或a ＝14，b ＝1
2
合题意．
所以，a ＝0，b ＝1或a ＝14，b ＝1
2
.
14．设P ，Q 为两个数集，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，求P ＋Q 中元素的个数．
解析：当a ＝0时，由b ∈Q 可得a ＋b 的值为1,2,6； 当a ＝2时，由b ∈Q 可得a ＋b 的值为3,4,8； 当a ＝5时，由b ∈Q 可得a ＋b 的值为6,7,11.
由集合元素的互异性可知，P ＋Q 中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个． 15.附加题·选做
已知集合A 中的元素x 均满足x ＝m 2－n 2
(m ，n ∈Z )，求证： (1)3∈A .
(2)偶数4k －2(k ∈Z )不属于集合A .
证明：(1)令m ＝2∈Z ，n ＝1∈Z ，则x ＝m 2－n 2
＝4－1＝3，所以3∈A .
(2)假设4k －2∈A ，则存在m ，n ∈Z ，使4k －2＝m 2－n 2
＝(m ＋n )(m －n )成立．
①当m ，n 同奇或同偶时，m ＋n ，m －n 均为偶数，所以(m ＋n )(m －n )为4的倍数与4k －2不是4的倍数矛盾．
②当m ，n 一奇一偶时，m ＋n ，m －n 均为奇数，所以(m ＋n )(m －n )为奇数，与4k －2是偶数矛盾．
所以假设不成立． 综上，4k －2∉A .。