第6讲 一次函数基础篇

第六讲 一次函数基础篇
学习目标
1、掌握一次函数和正比例函数的意义及其图象特征和性质.
2、会求一次函数的解析式。

3、学会利用一次函数的图象和性质解决简单的实际问题. 一、知识回顾
知识点1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。

特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。

这时，y 叫做x 的正比例函数。

课前热身1：写出下列各题中y 与x 之间的关系式，并判断：y 是否为x 的一次函数？是否为正比例函数？ (1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系;
(2)圆的面积y (c m2)与它的半径x ( cm)之间的关系;
(3)一棵树现在高5 0 厘米，每个月长高2 厘米，x 月后这棵树的高度为y 厘米。

答案：⑴ y=60x y 为x 的一次函数，是正比例函数；⑵y=x 2 y 不是x 的一次函数；⑶y=50+2x y 为x 的一次函数，但不是正比例函数；
知识点2、一次函数的图像和性质
⑴．正比例函数的一般形式是__________．一次函数的一般形式是__________________. ⑵. 一次函数y kx b =+的图象是经过 和 两点的一条 .
⑶ 求一次函数的解析式的方法是 待定系数 ，其基本步骤是：① 设出解析为：y kx b =+； ② 将一组对应值代入解析式 ；③ 解方程（组） ；④ 还原 . ⑷.一次函数y kx b =+的图象与性质
k 、b 的符号 k ＞0b ＞0
k ＞0 b ＜0
k ＜0 b ＞0
k ＜0b ＜0
图像的大致位置
经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 性质
y 随x 的增大 而
y 随x 的增大而
y 随x 的增大而
y 随x 的增大而
⑸设两条直线分别为，1l ：11y k x b =+ 2l ：22y k x b =+ ①若12//l l ，则有1212//l l k k ⇔=且
12b b ≠。

②若
12121l l k k ⊥⇔⋅=-
课前热身2：(1) 有下列函数：①y=6x-5 , ② y=5x, , ③y=x+4, ④ y=-4x+3
其中过原点的直线是_____；函数y 随x 的增大而增大的是___________；函数y 随x 的增大而减小的是______；图象过第一、二、三象限的是_____。

(2)、如果一次函数y=kx-3k+6的图象经过原点，那么k 的值为________。

(3)、已知y-1与x 成正比例，且x=－2时，y=5，那么y 与 x 之间的函数关系式为_________________。

答案：⑴①、①②③、④、③ ⑵ 2 ⑶ y=-2k+1
二、 例题辨析
例1、下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y=-21x ； （2）y=-x
2
； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-2
1 （6）y=x(x-4)-x 2
.
[分析] 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解． 解：（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l ）（6）是正比例函数．
例2、当m 为何值时，函数y=-（m-2）x
3
2-m +（m-4）是一次函数？
[分析] 某函数是一次函数，除应符合y=kx+b 外，还要注意条件k ≠0． 解：∵函数y=（m-2）x
3
2-m +（m-4）是一次函数，
∴⎩⎨⎧≠--=-,
0)2(,132m m ∴m=-2. ∴当m=-2时，函数y=（m-2）x
3
2-m +（m-4）是一次函数．
变式练习：1. 下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1
x
(4)y=2-1-3x (5)y=x 2-1中，是一
次函数的有（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 答案：C
2. 已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y 轴交点的纵坐标为-1，判断=(3-)是什么函
数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。

解：依题意，得
解得 n=-1， ∴=-3x-1, =(3-)x,
是正比例函数；
=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，随x 的增大而减小；
=(3-
)x 的图象经过第一、三象限，
随x 的增大而增大。

例3. 已知一次函数y=（3-k ）x-2k 2
+18.
（1）k 为何值时，它的图象经过原点？
（2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）? （3）k 为何值时，它的图象平行于直线y=-x ？ （4）k 为何值时，y 随x 的增大而减小？
[分析] 函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与y 轴的交点在y 轴上方，说明常数项b ＞O ；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y 随x 的增大而减小，说明一次项系数小于0．
解：（1）图象经过原点，则它是正比例函数．
∴⎩⎨⎧≠-=+-,
03,01822k k ∴k ＝-2． ∴当k=-3时，它的图象经过原点．
（2）该一次函数的图象经过点（0，-2）.
∴-2=-2k 2
+18，且3-k ≠0， ∴k=±10
∴当k=±10时，它的图象经过点(0，-2) （3）函数图象平行于直线y=-x ， ∴3-k=-1， ∴k ＝4．
∴当k ＝4时，它的图象平行于直线x=-x ． （4）∵随x 的增大而减小， ∴3-k ﹤O ． ∴k ＞3．
∴当k ＞3时，y 随x 的增大而减小．
变式练习：已知函数y=(2m+1)x+m -3
(1)若函数图象经过原点,求m 的值
(2) 若函数图象在y 轴的截距为－2，求m 的值 （3）若函数的图象平行直线y=3x –3，求m 的值
（4）若这个函数是一次函数,且y 随着x 的增大而减小,求m 的取值范围. 答案：（1）3，（2）1 （3）1 （4）2
1
m
例4、已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.
（1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y 的值； （3）当y=4时，求x 的值．
[分析] 由y-3与x 成正比例，则可设y-3=kx ，由x=2，y=7，可求出k ，则可以写出关系式． 解：（1）由于y-3与x 成正比例，所以设y-3=kx ． 把x=2，y=7代入y-3=kx 中，得 7-3＝2k ， ∴k ＝2．
∴y 与x 之间的函数关系式为y-3=2x ，即y=2x+3． （2）当x=4时，y=2×4+3=11． （3）当y ＝4时，4=2x+3，∴x=
2
1.
变式练习：已知y 与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 .
解：可设y 与x 的函数关系式为y=k （x+1）.
再把x=5，y=12代入，求出k 的值，即可得出y 关于x 的函数关系式． 设y 关于x 的函数关系式为y=k （x+1）. ∵当x=5时，y=12， ∴12=（5+1）k ，∴k=2．
∴y 关于x 的函数关系式为y=2x+2．
例5、一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,
他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题.
(1)农民自带的零钱是多少?
(2)试求降价前y 与x 之间的关系式
(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?
(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?
【答案】(1)5元 (2)y=0.5x+5 (3) 0.5元/㎏,(4)40㎏
变式练习：1、如图所示的折线ABC•表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y （元）
与通话时间t （分钟）之间的函数关系的图象（1）写出y 与t•之间的函数关系式．
（2）通话2分钟应付通话费多少元？通话7分钟呢？ 2、右图是某汽车行驶的路程S(km)与时间t(分钟) 的函数关系图。

观察图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）汽车在前9分钟内的平均速度是 ； （2）汽车在中途停了多长时间？ ； （3）当16≤t ≤30时，求S 与t 的函数关系式。

【答案】⑴4/3 ⑵7 ⑶ s=2t －20
三、 归纳总结
归纳1. 正比例函数和一次函数的概念 形如y=kx+b (k ≠0, k, b 为常数)的函数。

当b=0时，y=kx ，y 叫x 的正比例函数。

归纳2.一次函数的性质
性质： (1)图象的位置:
(2)增减性
k>0时，y 随x 增大而增大
k<0时，y 随x 增大而减小
归纳3. 求一次函数的解析式
求函数解析式的方法主要有三种
9 16
30
t /分钟
S /km
40 12
(1)由已知函数推导或推证
(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。

(3)用待定系数法求函数解析式。

四、拓展延伸
例1、已知y+2与x 成正比例，且x=-2时，y=0．
（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）画出函数的图象；
（3）观察图象，当x 取何值时，y ≥0？
（4）若点（m ，6）在该函数的图象上，求m 的值； （5）设点P 在y 轴负半轴上，（2）中的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且S △ABP =4，求P 点的坐标．
［分析］ 由已知y+2与x 成正比例，可设y+2=kx ，把x=-2，y=0代入，
可求出k ，这样即可得到y 与x 之间的函数关系式，再根据函数图象及
其性
质进行分析，点（m ，6）在该函数的图象上，把x=m ，y=6代入即可求出m 的值．
解：（1）∵y+2与x 成正比例， ∴设y+2=kx （k 是常数，且k ≠0） ∵当x=-2时，y=0． ∴0+2＝k ·（-2），∴k ＝-1． ∴函数关系式为x+2=-x ， 即y=-x-2． （2）列表；
x 0 -2 y
-2
描点、连线，图象如图11－23所示．
（3）由函数图象可知，当x ≤-2时，y ≥0． ∴当x ≤-2时，y ≥0．
(4)∵点（m ，6）在该函数的图象上， ∴6=-m-2, ∴m ＝-8．
（5）函数y=-x-2分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点， ∴A （-2，0），B （0，-2）． ∵S △ABP =
2
1
·|AP|·|OA|=4， ∴|BP|=
42
8
||8==OA . ∴点P 与点B 的距离为4．
又∵B点坐标为(0，-2),且P在y轴负半轴上，
∴P点坐标为(0，-6).
变式练习：已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。

分析：自画草图如下：
解：设正比例函数y=kx，
一次函数y=ax+b，
∵点B在第三象限，横坐标为-2，
设B（-2，），其中<0，
∵=6，
∴AO·||=6，
∴=-2，
把点B（-2，-2）代入正比例函数y=kx，得k=1
把点A（-6，0）、B（-2，-2）代入y=ax+b，
得
解得：
∴y=x, y=-x-3即所求。

例2、已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，•现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.•1米，B种布料0.4米，可获利50元；
做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.•9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元．
①求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
②当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多？
①y=50x+45（80-x）=5x+3600．
∵两种型号的时装共用A种布料[1.1x+0.•6（80-x）]米，
共用B种布料[0.4x+0.9（80-x）]米，
∴ 解之得40≤x ≤44， 而x 为整数，
∴x=40，41，42，43，44，
∴y 与x 的函数关系式是y=5x+3600（x=40，41，42，43，44）； ②∵y 随x 的增大而增大， ∴当x=44时，y 最大=3820，
即生产M 型号的时装44套时，该厂所获利 润最大，最大利润是3820元．
变式练习 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种
产品，共50件。

已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

（1）按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来； （2）设生产A 、B 两种产品获总利润为y （元），生产A 种产品x 件，试写出y 与x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
解；（1）设需生产A 种产品x 件，那么需生产B 种产品)50(x -件，由题意得：
⎩
⎨
⎧≤-+≤-+290)50(103360
)50(49x x x x 解得：30≤x ≤32
∵x 是正整数
∴x ＝30或31或32
∴有三种生产方案：①生产A 种产品30件，生产B 种产品20件；②生产A 种产品31件，生产B
种产品19件；③生产A 种产品32件，生产B 种产品18件。

（2）由题意得；)50(1200700x x y -+=＝60000500+-x ∵y 随x 的增大而减小
∴当x ＝30时，y 有最大值，最大值为： 6000030500+⨯-＝45000（元）
答：y 与x 之间的函数关系式为：y ＝60000500+-x ，（1）中方案①获利最大，最大利润为45000元。

五、课后作业
1．已知y 与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y 与x 之间的函数关系式为（ ） （A ）y=8x （B ）y=2x+6 （C ）y=8x+6 （D ）y=5x+3 2．若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过（ ） （A ）一象限 （B ）二象限 （C ）三象限 （D ）四象限 3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ） （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）16
4．若甲、乙两弹簧的长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数解析式分别为y=k 1x+a 1和y=k 2x+a 2，如图，所挂物体质量均为2kg 时，甲弹簧长为y 1，乙弹簧长为y 2，则y 1与y 2的大小关系为（ ）
（A）y1>y2（B）y1=y2
（C）y1<y2（D）不能确定
5．设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）
6.已知y=p+z，这里p是一个常数，z与x成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=-1．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）如果x的取值范围是1≤x≤4，求y的取值范围．
答案：1．B 2．B 3．A 4．A 5.B 6. （1）∵z与x成正比例，∴设z=kx（k≠0）为常数，则y=p+kx．将x=2，y=1；x=3，y=-1分别代入y=p+kx，
得
21
31
k p
k p
+=
⎧
⎨
+=-
⎩
解得k=-2，p=5，
∴y与x之间的函数关系是y=-2x+5；
（2）∵1≤x≤4，把x1=1，x2=4分别代入y=-2x+5，得y1=3，y2=-3．∴当1≤x≤4时，-3≤y≤3．
另解：∵1≤x≤4，∴-8≤-2x≤-2，-3≤-2x+5≤3，即-3≤y≤3．。