函数y=Asin(ψxφ)的图象
正弦型函数y=Asin(ψx φ)的图象与应用
π 例 1 将函数 y＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动 个单 10 位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 所得图象的函数解析式是 ( C ) π π 2x－ 2x－ A ．y＝sin 10 B ．y＝sin 5 1 π 1 π x－ x－ C ．y＝sin 2 10 D ．y＝sin 2 20
6 5 D.向右平移 个长度单位 6
本节课你收获了什么？
一：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
小 结
二：由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
三：y＝函数Asin(ωx＋φ)的性质应用
C
)．
π A．T＝6π，φ＝6 π C．T＝6，φ＝6
π B．T＝6π，φ＝3 π D．T＝6，φ＝3
当堂检测
1.为得到函数 y cos( x ) 的图象，只需将 y 3 的图象（ A ） A.向左平移 6 个长度单位 B.向右平移 6 个长度单位
sin x
C.向左平移 5 个长度单位
例2 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞
6． 0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________ 2
【对点演练2】
1．已知简谐运动
π f(x)＝Asin(ωx＋φ)|φ|＜2的部分图象如图所
示，则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为(
【对点演练1】
1．要得到函数 y＝cos (
D
π 2x＋ 的图象，只需将函数 6
y＝cos 2x 的图象
)
π A．向右平移 个单位 6 π C．向左平移 个单位 6
π B．向右平移 个单位 12 π D．向左平移 个单位 12
第六节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
栏目索引
3.用五点法作函数y=sin x
6
在一个周期内的图象时,主要确定的五个
点是
、
、
、
、
.
答案
6 ,
0
; 23
,1; 76
,
0
; 53
,
1
; 136
,
0
解析 分别令x- =0, ,π, 3 π,2π,即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为
3
=2sin
X.
列表:
x
- π6
π 12
π 3
7π
5π
12
6
X
0
π
π
3π
2π
2
2
sin X
0
1
0
-1
0
y=2sin X
0
2
0
-2
0
描点并画出一个周期内的图象:
栏目索引
(3)把y=sin
x的图象上所有的点向左平移 3 个单位,得到y=sin x
3
的
图象,再把y=sin x
移的长度一致. (×)
(2)将y=3sin 2x的图象向左平移 4 个单位后所得图象的解析式是y=3sin
2
x
4
.
(×)
(3)y=sin x
4
的图象是由y=sin x
4
的图象向右平移 个单位得到
2
的. (√)
(4)由图象求解析式时,振幅A的大小是由图象中最高点的纵坐标与最低点
正弦型函数y=Asin(ωx φ)的图象及应用
第4讲 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【高考会这样考】1．考查正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及简单应用．3．考查y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种变换途径．1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示2．函数y ＝sin x3A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形． 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出φ由特殊点确定． 一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π8答案 A2.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π3解析 由题图象知T ＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)且A ＝2，可得sin ⎝⎛⎭⎫π3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π6答案 C 3．函数y ＝cos x (x ∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x解析 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x .答案 A 4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．3 解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2向右平移4π3个单位后得到y 1＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2，又y 与y 1的图象重合，则－4π3ω＝2k π(k ∈Z)．∴ω＝－32k .又ω＞0，k ∈Z ，∴当k ＝－1时，ω取最小值为32，故选C.5．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.解析 由题意设函数周期为T ，则T 4＝23π－π3＝π3，故T ＝43π.∴ω＝2πT ＝32.考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．解 (1)周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3. 【训练1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式（先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．）【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．解析 由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝2k π＋π，∴φ＝2k π＋π3，令k ＝0，ω＝2πT ＝2，又函数图象经过点⎝⎛⎭⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62.答案 62【训练2】 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，解上式得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)． 考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域． 解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1.故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z)．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1.故函数f (x )的值域为[－1,2]．利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A 的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx ＋φ的范围，即把ωx ＋φ看作一个整体．【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得：A ＝5，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0， ∴5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得：－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为：⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． 规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】 (1)在求解中，一定要注意其定义域．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题． 【解决方案】 ①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【例】 (2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．[解答示范] (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π (2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.(8分)于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－13．(2010·临沂二模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象(部分)如图，则f (x )的解析式是 A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎫2πx ＋π6(x ∈R C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由三角函数图象可得A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫56－13＝2＝2πω，则ω＝π，将点⎝⎛⎭⎫13，2代入f (x )＝2sin(πx ＋φ)可得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，解得φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. 4．(2010·福建卷)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于A ．4B ．6C ．8D ．12解析：将f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π2ω所得图象与原图象重合，有ωx ＋φ＋π2ω＝ωx ＋φ＋2k π，得ω＝4k (k ∈Z)．5．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32 C ．2 D ．3解析：在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2.则ωx 的取值 ⎣⎡⎦⎤－ωπ3，ωπ4，∴－ωπ3≤－π2或ωπ4≥3π2，∴ω的最小值等于32. 6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫7π12＝________.解析：从图象可知A ＝2，32T ＝π，从而可知T ＝2πω＝2π3，ω＝3，得f (x )＝2sin(3x ＋φ)，又由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0可取φ＝－3π4，于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －3π4，则f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π4－3π4＝0. 7．(2010·济南二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝________.解析：据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ) ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. 8．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 解析：设x ＝a 与f (x )＝sin x 的交点为M (a ，y 1)，x ＝a 与g (x )＝cos x 的交点为N (a ，y 2)，则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a |＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫a －π4≤ 2. 9．已知函数y ＝3 sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4(1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y ＝sin x 的图象径过怎么样的变化得到的； (3)求此函数的振幅、周期和初相； (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心．(2)“先平移，后伸缩”．先把y ＝sin x 的图象上所有点向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象，最后将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3 倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin(12x －π4)的图象．(3)周期T ＝2πω＝2π12＝4π，振幅A ＝3，初相是－π4.(4)令12x －π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝2k π＋32π(k ∈Z)，此为对称轴方程．令12x －π4＝k π(k ∈Z)得x ＝π2＋2k π(k ∈Z)．对称中心为⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，0(k ∈Z)． 10．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2⎣⎡⎦⎤32sin (ωx ＋φ)－12cos (ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6， 因为f (x )为偶函数，所以对任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )恒成立，所以sin ⎝⎛⎭⎫－ωx ＋φ－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6， 即－sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＋cos ωx sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＋cos ωx sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6，整理得sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0. 因为ω＞0且x ∈R ，所以cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0又因为0＜φ＜π，故φ－π6＝π2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝2cos ωx . 由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2，故f (x )＝2cos 2x .因此f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2)将f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图象．所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z)，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k∈Z)时，g (x )单调递减因此g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z)． 1．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x 得f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，故f ⎝⎛⎭⎫π6等于2或－2. 二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)3．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位(m ＞0)，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________． 解析：由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m 的图象关于y 轴对移，所以π3＋m ＝k π，k ∈Z.即m ＝k π－π3，k ∈Z ，当k ＝1时，m 取最小值为2π3. 4．如图所示函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．解析：数形结合法：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0，π]，－sin x x ∈(π，2π].由图象知：1<k <3.5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5. (1)求函数的解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．解(1)依题意得：A ＝5，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π∴ω＝2ππ＝2，故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，∴5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(2)函数的增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z.(3)由5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤0得2k π－π≤2x －π6≤2k π∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z.∴使y ≤0的x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.6．函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标． 解：(1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝－2cos(2x ＋π6)．故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12.由22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝32.∵0＜x ＜π，∴－π12＜2x －π12＜2π－π12 ∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，∴x ＝524π或x ＝38π，∴所求交点坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，6或⎝⎛⎭⎫3π8，6.一、选择题1(2009·山东将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位再向上平移1个单位所得图象的函数解析式是A ．y ＝cos2xB ．y ＝2cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝2sin 2x解析：将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos2x ＝2cos 2x .答案：B2．(2009·全国卷Ⅰ)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为A.π6B.π4C.π3D.π2解析：由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称知，f (43π)＝0，即3cos(8π3＋φ)＝0，∴8π3＋φ＝kπ＋π2(k ∈Z)，∴φ＝kπ＋π2－8π3(k ∈Z)．|φ|的最小值为|φ|＝⎪⎪⎪⎪2π＋π2－8π3＝π6. 3．(2009·天津)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象只要y ＝f (x )的图象A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：因为T ＝π，则ω＝2πT ＝2，f (x )＝sin(2x ＋π4)，g (x )＝cos2x .将y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度时，y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π8)＋π4＝sin(2x ＋π2)＝cos2x .4．(2009·江西高考)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为A ．1B ．2C.3＋1 D.3＋2解析：f (x )＝(1＋3·sin x cos x )·cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x ＜π2，∴π6≤x ＋π6＜2π3，∴当x ＋π6＝π2时，f (x )取得最大值2.5．(2009·辽宁高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝A ．－23B ．－12C.23 D.12解析：由题意可知，此函数的周期T ＝2(1112π－712π)＝2π3，故2πω＝2π3，∴ω＝3，f (x )＝A cos(3x ＋φ)．f (π2)＝A cos(3π2＋φ)＝A sin φ＝－23.又由题图可知f (7π12)＝A cos(3×7π12＋φ)＝A cos(φ－14π)＝22(A cos φ＋A sin φ)＝0，∴f (0)＝A cos φ＝23.7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2，则函数解析式为____________．解析：由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝π3时，sin(43π＋φ)＝±1，故φ＝π6.所求解析式为y ＝2sin(4x ＋π6)＋2.9．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；(3)图象向右平移π3个单位；(4)图象向左平移π3个单位；(5)图象向右平移2π3个单位；(6)图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin(x 2＋π3)的图象，那么这两种变换正确的标号是____(4)(2)或(2)(6)____(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．解析：y ＝sin x ――→(4) y ＝sin(x ＋π3)――→(2) y ＝sin(x 2＋π3)，或y ＝sin x ――→(2) y ＝sin 12x ――→(6) y ＝sin 12(x ＋2π3)＝sin(x 2＋π3)． 10．已知函数f (x )＝3sin(12x －π4)，x ∈R.(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后纵坐标不变，把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再横坐标不变，把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．11(2009·合肥)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R(ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．解：(1)f (x )＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋32＝sin(2ωx ＋π6)＋32.令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π6代入可得：ω＝1 (2)由(1)得f (x )＝sin(2x ＋π6)＋32.经过题设的变化得到的函数g (x )＝sin(12x －π6)＋32.当x ＝4kπ＋43π，k ∈Z 时，函数取得最大值52.令2kπ＋π2≤12x －π6≤2kπ＋32π，即x ∈[4kπ＋4π3，4kπ＋103π]，k ∈Z 为函数的单调递减区间．正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【高考会这样考】1．考查正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及简单应用．3．考查y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种变换途径．1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示2．函数y ＝sin x3A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形． 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出φ由特殊点确定． 一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π82.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．3 5．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【训练1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式（先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．）【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【训练2】 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的递增区间．规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题3．(2010·临沂二模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象(部分)如图，则f (x )的解析式是A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π6(x ∈R C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π3(x ∈R) 4．(2010·福建卷)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于A ．4B ．6C ．8D ．125．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32C ．2D ．3. 6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫7π12＝________.7．(2010·济南二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝________.8．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．9．已知函数y ＝3 sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4(1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y ＝sin x 的图象径过怎么样的变化得到的；(3)求此函数的振幅、周期和初相； (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心．10．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间． 1．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)3．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位(m ＞0)，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________． 4．如图所示函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．. 5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．6．函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．一、选择题1(2009·山东将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位再向上平移1个单位所得图象的函数解析式是A ．y ＝cos2xB ．y ＝2cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝2sin 2x2．(2009·全国卷Ⅰ)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为A.π6B.π4C.π3D.π23．(2009·天津)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象只要y ＝f (x )的图象A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度4．(2009·江西高考)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为A ．1B ．2C.3＋1 D.3＋25．(2009·辽宁高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝A ．－23B ．－12C.23 D.127．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2，则函数解析式为____________．9．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；(3)图象向右平移π3个单位；(4)图象向左平移π3个单位；(5)图象向右平移2π3个单位；(6)图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin(x 2＋π3)的图象，那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．10．已知函数f (x )＝3sin(12x －π4)，x ∈R.(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？11(2009·合肥)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R(ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．。
三角函数y=Asin(ωxφ)图像解读
函数 y =sin x , x R（其中 >0且 1） 的图像，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐 标缩短（当 >1时）或伸长（当 0< <1时） 到原来的1/ 倍（纵坐标不变）而得到。
问题：画出y=sin(x+ 3 ), x R, y=sin(x- )的 4
图像。演示
4.9 函数 y=Asin ( x+ )的图像
4.9 函数 y=Asin ( x+ )的图像
复习：函数 y=Asin ( x+ ) ,x R中, A是指振幅, T= 2 。
要求：弄清楚 A ， ， 这三个变量对 图像的影响。
1 画出函数y= 2 sinx, x R , y= sinx, x R的图像 2
解：
x sinx 0 0
2
1
0
3 2
-1
2
0
2sinx
0
0
2
0
0
-2
0
0
1 sinx 2
1 2
1 2
y
-2
1
2
o -1
2
3 2
2
x
-2
弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍（横坐标不 作把正弦曲线上所有点的纵坐标缩短到原来的 变）而得到。从而函数 y= 2 sinx, x R 的值域是[-2,2], 1/2（横坐标不变）而得到。 最大值是2，最小值是 –2。
6
12
3
7 12
5 6
0
2
3
0
3 2
-3
2
0
0
演示：
正弦函数的图像与性质——y=Asin(ωx+φ)的图象》
物理背景
在物理中,简谐振动中如单摆对平衡 位置的位移y与时间x的关系、交流电 的电流y与时间x的关系等都是形如 y=Asin(ωx+φ) 的函数（其中A, ω, φ都 是常数）.
正弦型函数：y=Asin(x+)
函数y＝Asin(ωx＋φ)，其中(A>0, ω >0)表 示一个振动量时， 振幅：A就表示这个量振动时离开平衡位置的最
y=sin2x
二、函数y=sinx(>0)的图象
y 1
y=sin1 x
2
2
O
Hale Waihona Puke 34 x1
y=sin2x
y=sinx
y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 2 有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 1 有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）。
y=Asinx ，x∈R的值域为[-A,A]，最大值 为A， 最小值为-A.
一般地，函数y=Asinx的值域是最大值是 |A|，最小值是－|A|，由此可知，|A|的大小， 反映曲线波动幅度的大小。因此|A|也称为 振幅。
y 1 O 1
1 y=sin 2
2
x
3 4 x
y=sinx
振幅相同
2
5
0
2
0
2
0
y
3
1 y 2 sin( x ) ③ 3 6
2
1
13 2 7 2
o
-１
6
2
2
x
-2
-3
1 例1画出函数y=2sinx xR；y= sinx xR 2
第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像
D 长度得到函数 y=g(x)的图像,则函数 g(x)的解析式为 ( )
A.g(x)=2sin 2x
C.g(x)=2sin
2������ + π
4
B.g(x)=2sin
2������ + π
8
D.g(x)=2sin
2������-
π 4
图2-19-3
变式题已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部 分图像如图 2-19-5 所示,且 A π,1 ,B(π,-1),则 φ 的值
6
6 月份的平均气温最高,为 28 ℃,12 月份的 所以 y=23+5cosπ6(x-6),所以当 x=10
平均气温最低,为 18 ℃,则 10 月份的平均 时,y=23+5cos π × 4 =23-5×1=20.5.
6
2
气温为
℃.
教师备用例题
例 1 [配合例 2 使用] 已知函数
f(x)=Atan(ωx+φ) ������ > 0,|������| < π
的步骤如下： 方法一
方法二
画出y＝sin x的图象
步骤1 画出y＝sin x的图象
向左(右)平移|φ|个单位长度 ⇓
各点的横坐标变为原来的ω1 倍
得到y＝sinx＋φ的图象 步骤2 得到y＝sin ωx的图象 各点的横坐标变为原来的ω1 倍⇓ 向左(右)平移ωφ个单位长度
得到y＝sinωx＋φ的图象 步骤3 得到y＝sinωx＋φ的图象
2
的部分图像如图所示,则 f π =
12
()
A.3
B. 3
C.1
D.
3 3
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及性质ppt课件
坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横
坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
ppt课件.
20
提高性题组 考点三 图像与性质的综合问题
8.函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2 的部分图象如图所示．
0
ppt课件.
9
巩固性题组
考点一 y＝Asin(ωx＋φ)的图像
6. 用五点法作图画出函数 y＝ 3sinx2＋cosx2的图像． 【解】 (1)列表：将函数解析式化简为 y＝2sin(x＋π)， 26
列表如下：
x
2
5 8
11
33
3
3
3
x 26
0
2
3 2
2
y
2sin
x 2
6
0
2
0 2
0
ppt课件.
ppt课件.
2
2．若函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图 ， 则ω和φ的取值是 ( C )
A．ω＝1，φ＝π3 C．ω＝12，φ＝π6
B．ω＝1，φ＝－π3 D．ω＝12，φ＝－π6
ppt课件.
3
3、将函数 y＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平
移 1 个单位，所得图象的函数解析式是( B )
(2)说明y＝f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的
变换得到．
ppt课件.
14
ppt课件.
15
【规律小结】 确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的解析式
的步骤：
(1)求 A，B.由函数的最大值 M 和最小值 m，
函数y=Asin(ωx φ)的图象 课件
3.求三角函数值域的常用方法 (1)求解形如y=asinx+b(或y=acosx+b)的函数的最值 或值域问题时,利用正、余弦函数的有界性(-1≤sinx (cosx)≤1)求解.求三角函数取最值时相应自变量x的 集合时,要注意考虑三角函数的周期性.
(2)求解形如y=asin2x+bsinx+c(或y=acos2x+bcosx+ c),x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=sinx (或cosx),将原函数转化为关于t的二次函数,利用配 方法求值域、最值即可.求解过程中要注意t=sinx(或 cosx)的有界性.
【解析】1.选B.由图象可知，A 2，1 T 5 , 4 12 6 4
T ， 2，因为| | ,所以2 ，所以 ，
2
6
2
6
所以2 sin B 4,所以B 2. 2
2.由题意得 2 ，则 2.
所以f x 2sin(2x ),
又因为图象过点( , 2), 12
2
为偶函数;对于函数y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z) 时为偶函数,当φ=kπ± (k∈Z)时为奇函数.
2
2.与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间. (2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的 方法:采用“换元”法整体代换,将ωx+φ看作一个整 体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asinz的单调区间而 求出函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式先将 x的系数转变为正数,再求单调区间.
【核心素养培优区】 【易错案例】求三角函数的解析式 【典例】如图是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, |φ|<π)的图象,则该函数的解析式为 _y___5_si_n_( _23_x__23__)_或__y__5_s_in_(_23_x___3_)__
函数y=Asin(ψxφ)的图象
课题：函数)sin(ϕω+=x A y 的图象富源县第一中学 李华1、教学目标： 知识目标：①理解三个参数A 、ω、φ对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响； ②揭示函数)sin(ϕω+=x A y 的图象与正弦曲线的变换关系。
能力目标：①增强学生的作图能力；②通过探究变换过程，使学生了解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想； ③在难点突破环节，培养学生全面分析、抽象、概括的能力。
情感目标：在自主探究的过程中，培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识。
2、教学重点、难点：重点：由正弦曲线变换得到函数)sin(ϕω+=x A y 的图象。
难点：当1≠ω时，函数)sin(11φx ωA y +=与函数)sin(22φx ωA y +=的图象关系。
关键：理解三个参数A 、ω、φ对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响。
3、教学方法与手段：教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论、反馈式评价 学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。
教学手段：运用多媒体网络教学平台，构建学生自主探究的教学环境。
4、教学过程：整个教学过程是“以问题为载体，以学生活动为主线”进行的。
（一）创设情境动画演示： 《用沙摆演示简谐运动的图象》【设计意图】采用《用沙摆演示简谐运动的图象》引出函数)sin(ϕω+=x A y 的图象，体现该函数图象与生活实际的紧密联系；通过展示函数图象在四个方面的用途，体现函数图象在物理学上的重要性，激发学生研究该函数图象的兴趣。
同时，引出本节课的研究问题——函数)sin(ϕω+=x A y 的图象与正弦曲线有什么关系呢？（二）建构数学 1、复习巩固；评讲作业——作出函数)32sin(3π+=x y 在一个周期内的简图。
【设计意图】以作业讲评的方式复习巩固五点作图法，并以函数)32sin(3π+=x y 作为具体研究对象，那么这个函数图象，恰可作为后面变换结果的检验依据。
函数y=Asin(ωx φ)的图象优秀课件13
y sin( x ) 3
02.04.2019
淄川般阳中学
8
y=sinx
y
1
.
2
y sin( x ) 3
7 6
. O
-1
π
. π
3π 2
. .
x
2π
o 3 6
2 3
5 3
x (注：在1.4.1节已经补充各类三角型函数的五点作图， y 为下面突破本节课难点起到了很好的保障 ) y sin( 2 x )
02.04.2019
淄川般阳中学
11
自主学习，合作探究1
y
y sin( x ) 3
（探究φ对图象的影响）
y = sin x
o 3 6
x1 x2 y
2 2 3
2
6 1
7 6
5 3
妙招1---侧长度
π
2 3
0
2π
x
0
1 3
0
3 2 7 6
2
复习回 顾中的 四个函 数图象
五、例1解答
02.04.2019
淄川般阳中学
23
说评价设计
1、 复习回顾、反馈训练、知识梳理环节主要体现诊断性评价。 2、 自主学习合作探究、课堂展示师生互动环节注重形成性评价。 3、 在教学评价中，要体现学生的主体地位，体现评价方法的多 样性和灵活性。目的是激励学生的学习兴趣和积极性，提高 学生的探究能力、科学思维能力。
02.04.2019 淄川般阳中学 19
知识归纳，巩固提升
y
3
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 课件
_(_k∈__Z__)__得到
探究点一 “五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的
图象
利用“五点法”作出函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一
个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这
四个步骤．请完成下面的填空.
ωx＋φ 0
π 2
3
π
2π
2π
x －ωφ －ωφ＋2πω －ωφ＋ωπ －ωφ＋23ωπ －ωφ＋2ωπ
探究点二 由函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求三角函数的 解析式
(1)在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是关键， 一般地可将所给一段图象左、右扩展找离原点最近且穿过 x 轴上升的即为“第一零点”(x1,0)．从左到右依次为第二、 三、四、五点，分别有 ωx2＋φ＝π2，ωx3＋φ＝π，ωx4＋φ ＝32π，ωx5＋φ＝2π.
y
0
A
0
－A
0
所以，描点时的五个关键点的坐标依次是__－__ωφ_，__0__， _－__ω_φ_＋__2_πω_，__A__ ，__－__ωφ__＋__ωπ_，__0__，__－__ω_φ_＋__23_ωπ_，__－__A___， _－ __ω_φ_＋__2ω_π_，__0___. 若设 T＝2ωπ，则这五个关键点的横坐标依次为_－__ωφ_，_－ __ω_φ_＋__T4__， _－__ωφ_＋__T2___，_－__ωφ_＋__34_T__，_－__ωφ_＋__T___.
方法二 由图象知 A＝ 3，
以 M3π，0为第一个零点，P56π，0为第二个零点．
列方程组ωω··π356＋ π＋φφ＝＝0π
ω＝2 ，解之得φ＝－23π.
函数y=Asin(ωx+φ)的图像 人教课标版精品课件
听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。
y=sin(x+φ ) (φ ≠0)
1.当φ >0时,各点沿x轴方向向左平移 |φ |个单位
2.当φ <0时,各点沿x轴方向向右平移 |φ |个单位
例4 作函数y=3sin(2x+π/3)的简图
x
-π /6 π /12
2x+π /3
0
π /2
3sin(2,3)
1. 先把y=sinx的图象上的所有的点向左平行移动 π/3个单位,得到y=sin(x+π/3)的图象;
2.再把y=sin(x+π/3)的图象上所有的点的横坐标 缩短到原来的1/2倍(纵坐标不变),从而得到 y=sin(2x+π/3)的图象;
3.再把y=sin(2x+π/3)的图象上所有的点的纵坐标伸长 到原来的3倍(横坐标不变),从而得到y=3sin(2x+π/3)的 图象.
唯用一枝瘦笔，剪一段旧时光，剪掉喧嚣尘世的纷纷扰扰，剪掉终日的忙忙碌碌。情也好，事也罢，细品红尘，文字相随，把寻常的日子，过得如春光般明媚。光阴珍贵，指尖徘徊的时光唯有珍惜，朝圣的路上做一个谦卑的信徒，听雨落，嗅花香，心上植花田，蝴蝶自会来，心深处自有广阔的天地。旧时光难忘，好的坏的一一纳藏，不辜负每一寸光阴，自会花香满径，盈暗香满袖。每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。 上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。
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课题：函数)sin(ϕω+=x A y 的图象
富源县第一中学 李华
1、教学目标：
知识目标：
①理解三个参数A 、ω、φ对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响；
②揭示函数)sin(ϕω+=x A y 的图象与正弦曲线的变换关系。
能力目标：
①增强学生的作图能力；
②通过探究变换过程，使学生了解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想； ③在难点突破环节，培养学生全面分析、抽象、概括的能力。
情感目标：
在自主探究的过程中，培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识。
2、教学重点、难点：
重点：由正弦曲线变换得到函数)sin(ϕω+=x A y 的图象。
难点：当1≠ω时，函数)sin(11φx ωA y +=与函数)sin(22φx ωA y +=的图象关系。
关键：理解三个参数A 、ω、φ对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响。
3、教学方法与手段：
教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论、反馈式评价
学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。
教学手段：运用多媒体网络教学平台，构建学生自主探究的教学环境。
4、教学过程：
整个教学过程是“以问题为载体，以学生活动为主线”进行的。
（一）创设情境
动画演示： 《用沙摆演示简谐运动的图象》
【设计意图】采用《用沙摆演示简谐运动的图象》引出函数)sin(ϕω+=x A y 的图象，体现该函数图象与生活实际的紧密联系；通过展示函数图象在四个方面的用途，体现函数图象在物理学上的重要性，激发学生研究该函数图象的兴趣。
同时，引出本节课的研究问题——函数)sin(ϕω+=x A y 的图象与正弦曲线有什么
关系呢？
（二）建构数学
1、复习巩固； 评讲作业——作出函数)3
2sin(3π+=x y 在一个周期内的简图。
【设计意图】以作业讲评的方式复习巩固五点作图法，并以函数)3
2sin(3π+=x y 作为具体研究对象，那么这个函数图象，恰可作为后面变换结果的检验依据。
2、自主探究； 由正弦曲线如何变化得到函数)32sin(3π+
=x y 的图象？ 【设计意图】观察函数解析式)32sin(3π
+=x y 学生容易发现三个参数A 、ω、ϕ都
发生了变化，根据已有的知识基础，他们很清楚需要进行怎样的三种变换。
自然恰当地提出本节的核心问题——三种变换能否任意排序呢？
① 问题提出：三种变换能否任意排序？
② 实验探究
通过精心制作的课件，结合我校数学活动室多媒体网络教学环境，我为学生提供了这样的探究平台，在这个平台中我给出了正弦曲线一个周期内的图象，并用五点作图法绘出了函数)32sin(3π
+=x y 在一个周期内的图象；同时提供了三种变换的6种不同
排列方式；学生可以选择不同变换方式进行探究，观察所选变换方式得到的图象与五点作图法绘出的图象是否重合，以此检验所选变换方式的正确性。
A 、自主实验，形成初步结论.
经过尝试、观察，有些学生所选变换方式得到的图象与五点作图法绘出图象重合；有些学生所选变换方式得到的图象与五点作图法绘出图象不重合；
形成初步结论：“三种变换不可以任意排列”、“有的排列方式得到的图象与五点法绘出图象不重合”。
B 、深入探究，讨论分析；
请学生结合教学平台讨论以下两个问题：
问题1：得到不重合的图象的变换方式有什么共同点？
（共同点是先进行周期变换后进行平移变换，而且平移量过大。
）
问题2：得到不重合图象的原因是三种变换顺序错了？还是变换中某个量错了？ （这与顺序无关，只要将平移量由3
π改为6π即可得到重合的图象。
） C 、实验小结，形成结论；
顺序可任意改变；需要注意不同顺序中平移量的不同。
先平移变换后周期变换时，需向左平移
3π个单位；先周期变换后平移变换时，需向左平移6π个单位而不是3π个单位。
③规律探究
问题3 ：先周期变换后平移变换时，平移量为什么不是
3π，而是6π？ （平移量变成6
π的主要原因在于2=ω。
） （请学生继续尝试3=ω和21=ω的情况。
鉴于教材不要求证明，由不完全归纳
法得出规律：先进行周期变换后进行平移变换时应该平移ω
ϕ个单位。
平移量是由x 的改变量确定的。
）
问题4 ：为避免繁琐，直接平移ϕ个单位，采用怎样的顺序较好？
（先进行平移变换后进行周期变换比较好。
）
3、规律总结
①由正弦曲线变换到函数)sin(ϕω+=x A y 的图象需要进行三种变换，顺序可任意改变；先平移变换后周期变换时平移ϕ个单位，先周期变换后平移变换时平移ωϕ个单位。
②常用变换顺序——先平移变换再周期变换后振幅变换（平移的量只与ϕ有关）。
（三）知识运用
巩固强化：
请准确叙述由正弦曲线变换得到下列函数图象的过程？
1、)34sin(21π-=x y
2、)6
31sin(2π+=x y 变式训练：
1、已知函数)324sin(51π+=x y 的图象为C ，为了得到函数)3
24sin(2π+=x y 的图象，只需把C 的所有点（ ）
A 、横坐标伸长到原来的10倍，纵坐标不变。
B 、横坐标缩短到原来的10
1倍，
纵坐标不变。
C 、纵坐标伸长到原来的10倍，横坐标不变。
D 、纵坐标缩短到原来的101倍，横坐标不变。
2、已知函数)324sin(51π+=x y 的图象为C ，为了得到函数)3
2sin(51π+=x y 的图象，只需
把C 的所有点（ ）
A 、横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变。
B 、横坐标缩短到原来的4
1倍，
纵坐标不变。
C 、纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变。
D 、纵坐标缩短到原来的4
1倍，
横坐标不变。
3、已知函数)324sin(51π+=x y 的图象为C ，为了得到函数x y 4sin 5
1=的图象，只需把C 的所有点（ ）
A 、向左平移6π个单位长度
B 、向右平移6
π个单位长度
C 、向左平移32π个单位长度
D 、向右平移3
2π个单位长度
4、将正弦曲线上各点向左平移3
π个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象解析式为（ ）
A 、)32sin(π-=x y
B 、)62sin(π+=x y
C 、)3
2sin(π+=x y D 、)32sin(π+=x y （四）归纳总结（师生共同归纳）
1、正弦曲线变换得到函数)sin(ϕω+=x A y 的图象——顺序可任意，平移要注意；
常常是平移、周期再振
幅；
2、余弦曲线变换得到函数)cos(ϕω+=x A y 的图象——作法全相同。
（五）巩固作业
感受·理解：
1、由正弦曲线经过怎样的变化可以得出下列函数的图象。
①)sin(6231π-=x y ②)4
21cos(2πx y += 思考·运用：
2、函数)(x f y =的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移
2
π个单位，所得到的曲线是x y sin 21=
的图象，试求函数)(x f y =的解析式。