Chapter2 确定信号分析

∞ j 2 πn t T
3、傅立叶级数的指数形式为 f ( t ) = ∑ c n e n = ∞ 式中 a n bn
1 cn = T
∫
T /2
T / 2
f ( t )e
j 2πn t T
a cn = 0 2 an
2 ,
,
n>0 n=0 n<0
+ jbn , 2
讨论: 讨论
则函数f(t)为偶函数 ①若f(t)=f(-t),则函数 为偶函数 此时 则函数 为偶函数, 傅氏级数中只含有余弦项; 傅氏级数中只含有余弦项 ②若f(t)=-f(-t),则函数 为奇函数, 此时 则函数f(t)为奇函数 则函数 为奇函数 傅氏级数中只含有正弦项; 傅氏级数中只含有正弦项 ③若f(t+T/2)=f(t),则只含偶次谐波 则只含偶次谐波; 则只含偶次谐波 则只含偶次谐波。 ④若f(t+T/2)=-f(t),则只含偶次谐波。 则只含偶次谐波
δ (ω nωT )dω
∞ 1 ∞ 2 = ∫ 2π ∑ cn δ (ω nωT )dω 2π ∞ n=∞
可见， 可见，
S(ω) = 2π
n=∞
∑ cn δ (ω nωT )
2
∞
四、卷积和相关
1、卷积 、 在通信理论中是一个非常重要的和十分有用的 工具。 工具 。 卷积就是一个函数与另一个函数折叠后相 乘再积分，定义为： 乘再积分，定义为： 而结果是t的函数 的函数。 注意这里积分变量为 τ ，而结果是 的函数。 卷积是一种特殊类型的乘积，因此满足交换律、 卷积是一种特殊类型的乘积 ， 因此满足交换律、 分配律、结合律。 分配律、结合律。
f1 (t )
与
f 2 (t )
的相关积分或相关函数。 的相关积分或相关函数。
对于同周期的两个信号，则定义相关函数为： 对于同周期的两个信号，则定义相关函数为：
1 T * 其中星号表示复共轭。 R12(τ ) = ∫ 2T f1 (t ) f2 (t + τ )dt ， 其中星号表示复共轭 。 T 2
的函数。 注意这里积分变量为 t ，而结果是 τ 的函数。
是两个不同的函数， 如果 f1( t ) 和f2 ( t ) 是两个不同的函数，则称为 互相关函数, 互相关函数 表示为 R12 (τ ) ；如果 f1( t ) 和 f2( t ) 是同一 个函数，则称为自相关函数 自相关函数， 个函数，则称为自相关函数，表示为 R(τ ), Rxx (τ ) 等。 注意： 次序一般不可交换。 注意： f1( t ) ，f2( t ) 次序一般不可交换。可证
f (t ) = ∫ f1(τ ) f2 (t τ )dτ = f1(t ) f2 (t )
∞ ∞
任何函数与冲激函数卷积得出函数f(t)本身
f (t ) * δ (t ) = ∫
∞
f (t ) * δ (t T ) = f (t T )
f ( t t1 ) * δ ( t t 2 ) = f ( t t 1 t 2 )
叫做傅立叶系数。 的平均值，即直流量。 叫做傅立叶系数。a 0 / 2 是 f (t ) 的平均值，即直流量。
2、傅立叶级数的另一种三角表示形式
a0 ∞ 2 πn f ( t ) = + ∑ dn cos( + φn ) 2 n= 1 t
式中
dn = a n + bn
2 2
，
φn = arctan( b n / a n )
T →∞ T 2
而对于能量信号，则定义信号 在单位电阻 而对于能量信号，则定义信号f(t)在单位电阻 上所散耗的能量为： 上所散耗的能量为： ∞ 2
E=∫
∞
f ( t ) dt
可以看到能量信号的平均功率为零， 可以看到能量信号的平均功率为零，故研究 其功率无实际价值，而功率信号的能量为无穷大， 其功率无实际价值，而功率信号的能量为无穷大， 因此也同样没有研究的价值。 因此也同样没有研究的价值
1 ∞ f (t ) = F (ω)e jωt dω 2π ∫∞
其中
F (ω ) = ∫
∞
∞ห้องสมุดไป่ตู้
f ( t )e jωt dt
∫ ∞ | f (t ) |dt < ∞
傅氏变换存在，这是充分条件。 傅氏变换存在，这是充分条件。 傅立叶变换的性质 常用傅立叶变换对
∞
三、功率谱密度和能量谱密度
对于信号电压或电流f(t)， 对于信号电压或电流 ， 耗散在单位电阻上的 瞬时功率可表示为|f(t)|2，而总能量为 瞬时功率可表示为|f(t)|
二、傅立叶变换
非周期信号不能直接用傅立叶级数去研究，可 把它看作周期信号周期趋于无穷的一种极限情况。
可得： 在指数形式的傅式级数展开中令 T →∞可得：
的频谱密度，或简称频谱。 通常把 F ( ω ) 叫做 f ( t ) 的频谱密度，或简称频谱。 傅立叶变换提供了信号在频域和时间域之间的相互变换关系。 傅立叶变换提供了信号在频域和时间域之间的相互变换关系。 的变换叫傅氏正变换，而相反的变换称为傅氏反变换。 由 f ( t ) 到 F ( ω ) 的变换叫傅氏正变换，而相反的变换称为傅氏反变换。 一般来说， 在每个有限区间内满足狄里赫利条件， 一般来说，如果 f ( t )在每个有限区间内满足狄里赫利条件，且满足
R12 (τ ) = R21 (τ )
R(τ ) = R * ( τ )
为实函数时， 当 f1( t )， f2( t ) 为实函数时，有
R12 (τ ) = R21 (τ )
R(τ ) = R ( τ )
相关定理： 相关定理：
信号的能量谱
R12(τ ) F1 (ω)F2(ω) ，(τ ) F(ω) 2 时域： = 时域： R
0 0
傅立叶级数的三种表示
1、傅立叶级数的三角形式： 傅立叶级数的三角形式： 式中
2 T/2 2 πn an = ∫T / 2 f ( t ) cos( t )dt , n = 0 ,1 ,2 ,... T T
2 T /2 2πn f (t ) sin( bn = ∫ t )dt , n = 1,2,3,... T / 2 T T
∞
2
∫
3、 R(0) ≥ R(τ ) 、
T 2 T 2
f (t ) dt 平均功率
2
4、周期信号自相关也是同周期的周期函数 、
E =
∫ ∞
∞
f ( t ) dt
2
当信号的总能量为有限值时， 称为能量信号 能量信号， 当信号的总能量为有限值时 ， 称为 能量信号 ， 否则，总能量为无穷大时，称为功率信号。 否则，总能量为无穷大时，称为功率信号。 功率信号
对于功率信号：定义信号 在单位电阻上所 对于功率信号：定义信号f(t)在单位电阻上所 消耗的平均功率为： 消耗的平均功率为： T 1 2 2 P = lim ∫ T f ( t ) dt （单位间的能量） 单位间的能量）
f2(t) F2(ω) 卷积定理 设 f1(t) F1(ω) 则有： f1 (t ) * f 2 (t ) F1 (ω)F2 (ω)
∞
f (τ )δ (t τ )dτ = f (t )
1 f1(t) f2(t) [F (ω)*F2(ω)] 1 2π
2、相关 、 相关运算类似于卷积， 相关运算类似于卷积，它是在时域中描述信号 特征的一种重要方法， 特征的一种重要方法，它是信号波形之间相似性或 关联性的一种测度。 关联性的一种测度。 ∞ * R12 (τ ) = ∫ f1 (t ) f 2 (t + τ )dt 为非周期信号 定义： 定义： ∞
利用帕什瓦尔定理可以得： 利用帕什瓦尔定理可以得：对于能量信号 f (t) →F(ω) 有： ∞ 1 ∞ 2 2 E = ∫ f (t ) dt = ∫∞ F (ω) dω ∞ 2π 对于功率信号有： 对于功率信号有： 2
f (t) 其中 FT (ω ) 为截短的有限时间信号 f (t) = 0 的傅式变换。 的傅式变换。 对于周期信号有：（特殊的功率信号） 对于周期信号有： 特殊的功率信号）
T
FT (ω) 1 T 1 ∞ 2 2 f (t ) dt = P = lim ∫ T ∫∞Tlim T dω T→∞ T →∞ 2π 2
t <
T 2
其它
1 P= T
∫
以上几个式子反映的是信号在时域的总能量（或功率） 以上几个式子反映的是信号在时域的总能量（或功率） 等于信号在频域内的总能量（或功率），各式中等号左端反 等于信号在频域内的总能量（或功率） 映的是信号能量或功率在时域的分布情况，右端为在频域的 映的是信号能量或功率在时域的分布情况， 分布情况。 分布情况。
T 2 T 2
f ( t ) dt =
2
n = ∞
∑
∞
cn
2
为了用统一的形式来表示信号能量或功率在频域的分布 S ξ( 规律，可分别定义能量谱密度 规律，可分别定义能量谱密度ω ) 和功率谱密度 (ω ) ，则 从频域计算信号的能量或功率的表达式可统一写为： 从频域计算信号的能量或功率的表达式可统一写为：
自相关函数的性质： 自相关函数的性质：
R(τ ) = R* (τ ) ，实部为 τ 的偶函数， 1、复对称性： 的偶函数， 、复对称性： 虚部为τ 的奇函数
2、对于能量信号： R(0) = ∫∞ f (t ) dt = E 能量 、对于能量信号： 能量信号
1 对于功率信号 功率信号： 对于功率信号：R(0) = T
*
ξ (ω )
信号的功率谱
对于功率信号来说，同样有 对于功率信号来说，
R (τ ) lim FT (ω ) T
2
频域： 频域：
T →∞
= S (ω )
1 ∞ ∫∞F1(u)F2(u+ω)du 2π 1 ∞ 2 | f1 (t ) | ∫ F1 (u)F1 (u + ω)du 2π ∞ f1(t) f2(t)