随机微分方程数值解法
微分方程的数值解法
微分方程的数值解法
微分方程是自然科学和现代技术领域中一种最基本的数学描述工具，它可以描述物理世界中的各种现象。微分方程的解析解往往很难求出，因此数值解法成为解决微分方程问题的主要手段之一。本文将介绍几种常见的微分方程的数值解法。
一、欧拉法
欧拉法是微分方程初值问题的最简单的数值方法之一，它是由欧拉提出的。考虑一阶常微分方程：
$y'=f(t,y),y(t_0)=y_0$
其中，$f(t,y)$表示$y$对$t$的导数，则
$y(t_{i+1})=y(t_i)+hf(t_i,y_i)$
其中，$h$为步长，$t_i=t_0+ih$，$y_i$是$y(t_i)$的近似值。
欧拉法的精度较低，误差随着步长的增加而增大，因此不适用于求解精度要求较高的问题。
二、改进欧拉法
改进欧拉法又称为Heun方法，它是由Heun提出的。改进欧拉法是在欧拉法的基础上进行的改进，它在每个步长内提高求解精度。改进欧拉法的步骤如下：
1. 根据当前$t_i$和$y_i$估算$y_{i+1}$:
$y^*=y_i+hf(t_i,y_i),t^*=t_i+h$
2. 利用$y^*$和$t^*$估算$f(t^*,y^*)$:
$f^*=f(t^*,y^*)$
3. 利用$y_i$、$f(t_i,y_i)$和$f^*$估算$y_{i+1}$:
$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}(f(t_i,y_i)+f^*)$
改进欧拉法具有比欧拉法更高的精度，但是相较于其他更高精度的数值方法，它的精度仍然较低。
三、龙格-库塔法
龙格-库塔法是一种广泛使用的高精度数值方法，它不仅能够求解一阶和二阶常微分方程，还能够求解高阶常微分方程和偏微分方程。其中，经典的四阶龙格-库塔法是最常用的数值方法之一。
伊藤公式求解随机微分方程
伊藤公式求解随机微分方程
伊藤公式是用来求解随机微分方程的重要工具。随机微分方程是一类包含随机项的微分方程，它在金融、物理、生物等领域中具有广泛的应用。伊藤公式提供了将随机项引入微分运算中的方法，从而使得我们能够对随机微分方程进行求解。
伊藤公式的基本形式为：$$ df(t,X_t) = frac{partial
f}{partial t} dt + frac{partial f}{partial X_t} dX_t +
frac{1}{2} frac{partial^2 f}{partial X_t^2} (dX_t)^2 $$ 其中，$f(t,X_t)$是一个关于时间$t$和随机变量$X_t$的函数，$dX_t$表示时间间隔$t$到$t+dt$内$X_t$的增量，$(dX_t)^2$表示$dX_t$的平方。伊藤公式的主要应用是在解决随机微分方程的初值问题上，它通过变换随机项，将随机微分方程转化为普通微分方程，从而使得我们可以应用已知的数学工具进行求解。
随机微分方程的求解是一项复杂的任务，需要结合伊藤公式和其他数学工具进行分析。在实际应用中，我们通常将随机微分方程离散化，然后利用数值方法进行求解。这样既可以减少计算量，又可以保证数值解的准确性。总之，伊藤公式是求解随机微分方程的重要工具，对于理解和应用随机微分方程具有重要的意义。
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随机微分方程的数值求解算法
随机微分方程的数值求解算法随机微分方程是一类常用于描述随机现象的数学模型，它包含了随
机项，其解的求解过程相对复杂。为了解决随机微分方程的数值求解
问题，研究者们提出了各种算法和方法。本文将介绍几种常见的随机
微分方程数值求解算法，并探讨其应用和优缺点。
一、欧拉-马尔可夫算法
欧拉-马尔可夫算法是随机微分方程数值求解的常用方法之一。它基于欧拉方法，通过将微分方程离散化为差分方程，再引入随机项进行
模拟。具体来说，将微分方程中的导数项用中心差分或前向差分逼近，然后加上一个服从正态分布的随机项，即可得到欧拉-马尔可夫算法的
迭代公式。该算法简单易行，适用于各种类型的随机微分方程，但对
于高维问题和强非线性问题的求解效果可能较差。
二、随机Runge-Kutta方法
随机Runge-Kutta方法是一种基于Runge-Kutta方法改进的随机微分方程数值求解算法。该方法通过引入随机项的高阶导数进行估计，提
高了数值解的精度和稳定性。具体来说，随机Runge-Kutta方法将微分
方程离散化为差分方程，再使用Runge-Kutta方法求解差分方程的近似解，同时引入随机项进行模拟。该算法相比于欧拉-马尔可夫算法，求
解效果更好，适用于较复杂的随机微分方程，但计算量较大。
三、随机Taylor展开法
随机Taylor展开法是一种基于Taylor展开的随机微分方程数值求解算法。该方法将随机微分方程展开为无穷级数，通过截断展开后的级数来近似求解。具体来说，随机Taylor展开法使用随机项的高阶导数来估计微分项的取值，然后通过级数相加得到近似解。该算法精度较高，适用于低维问题和弱非线性问题，但对于高阶问题的求解可能存在数值不稳定性。
随机微分方程
随机微分方程
随机微分方程（RDE）是一类在数学物理、工程、生物和社会科学中广泛使用的方程，它们描述了系统中存在的现象，如扩散、涡旋及系统中动力学的变化。随机微分方程不仅是有效模型研究非线性随机系统，而且可以用来研究各种运动系统，如建筑物动力学、涡旋及垂直运动等。
随机微分方程通常由两部分组成，分别为随机微分方程的微分部分和随机部分。在随机微分方程的微分部分，有一个变量，它描述了系统中的变化。在随机微分方程的随机部分，有一个随机变量，它描述了系统中的扰动。随机变量的取值受噪声因素的影响，可以是随机的，也可以是有规律的。
随机微分方程的主要方法有微分法、函数法和抽象法三种。微分法求解随机微分方程主要包括解析法、转换法和数值法三类。解析法利用变量分离、积分变换、积分变量等技巧求解随机微分方程；转换法是把随机微分方程转换成一类新的积分问题，使其可以用积分方法求解；数值法则是使用数值方法求解随机微分方程，包括差分技术和差分进化方法。
函数法是研究以非线性和随机的函数作为系统的动力模型的方法，其研究的核心内容是关于随机函数在随机微分方程空间上的函数变换，从而求解随机微分方程。抽象法把随机微分方程分解成一类线性系统，并用线性系统的解析和数值解法解决，从而求解实际中的随机微分方程。
随机微分方程具有广泛的应用，可以用来研究扩散性的现象，如扩散现象的实时监测；也可以用来研究各种运动系统，如涡旋、振动以及垂直运动等。此外，随机微分方程可以用来研究金融市场中的随机现象，如可能出现的风险和投资回报。
总而言之，随机微分方程是一种用于描述非线性随机系统及其动力学行为的有效模型，具有广泛的应用。举凡物理、工程、生物和社会学等科学领域，都可以利用随机微分方程来描述扩散、涡旋和系统动力学等现象。
随机微分方程的数值解
随机微分方程的数值解
引言
随机微分方程（Stochastic Differential Equation，简称SDE）是描述包含随机变量的微分方程，它在金融、物理学、生物学等领域具有广泛的应用。与确定性微分方程相比，SDE中的随机项引入了不确定性和随机性，使得问题更具挑战性和现实性。本文将介绍随机微分方程的基本概念、求解方法和数值解的计算。
一、随机微分方程概述
1.1 确定性微分方程与随机微分方程的区别
•确定性微分方程：一般形式为 dy(t) = f(y(t), t)dt，其中f是已知的函数，表示因变量y的增量与自变量t的关系。
•随机微分方程：一般形式为 dy(t) = f(y(t), t)dt + g(y(t), t)dW(t)，其中dW(t)是一个随机项，通常表示为Wiener过程或布朗运动。
1.2 随机微分方程的数学表达
一般形式的随机微分方程可以表示为： dy(t) = f(y(t), t)dt + g(y(t),
t)dW(t)，其中： - y(t)是待求解的随机过程； - f(y(t), t)表示因变量y的增量与自变量t之间的确定性关系； - g(y(t), t)表示因变量y的增量与自变量t 之间的随机关系； - dW(t)是一个随机项，通常表示为Wiener过程或布朗运动。
二、随机微分方程的求解方法
2.1 解析解方法
对于简单形式的随机微分方程，可以通过解析的方法求得解析解。然而，大多数情况下，由于随机视频和随机关系的存在，解析解并不存在或难以求得。
2.2 数值解方法
数值解是求解随机微分方程的主要方法之一，它通过将时间间隔分割为若干小段，采用数值方法近似求解微分方程。常用的数值解方法有： 1. 欧拉方法（Euler Method）：将时间间隔分割为若干小段，在每个小段内使用线性逼近的方式求解微分方程。 2. 随机插值方法（Stochastic Interpolation Method）：利用数值差分逼近计算随机项的变化，并采用插值方法求解微分方程。 3. 随机Runge-Kutta 方法（Stochastic Runge-Kutta Method）：对随机项进行泰勒级数展开，并采用Runge-Kutta方法求解微分方程。
求解随机微分方程的两种数值方法
Wu Sainan Prof. Li Dongsong Master of Science Computational Mathmatic Department of Mathematics June, 2013 Harbin Institute of Technology
哈尔滨工业大学理学硕士学位论文
ABSTRACT ........................................................................................................ II 1.1 课题背景 ............................................................................................ 1 1.2 国内外在该方向的研究现状及分析 ..................................................... 1 1.3 本文主要研究内容 .............................................................................. 4 第 2 章 随机微分方程的相关理论知识 ............................................................. 5 2.1 随机微分方程相关的基本概念 ............................................................ 5 2.2 随机微分方程解的存在唯一性 ............................................................ 5 2.3 随机微分方程解的均方收敛性 ............................................................ 6 2.4 随机微分方程的零解的稳定性 ............................................................ 6 2.5 相关的一些不等式 .............................................................................. 7 2.6 本章小结 ............................................................................................ 8 第 3 章 分裂步 θ 方法 ........................................................................................ 9 3.1 分裂步 θ 方法 ..................................................................................... 9 3.2 分裂步 θ 方法的均方收敛性 ...............................................................11 3.3 分裂步 θ 方法的均方稳定性 .............................................................. 19 3.4 数值算例 .......................................................................................... 22 3.5 本章小结 .......................................................................................... 24 第 4 章 分裂步平稳的 θ 方法 ........................................................................... 25 4.1 分裂步平稳的 θ 方法 ......................................................................... 25 4.2 分裂步平稳的 θ 方法的收敛性 ........................................................... 25 4.3 分裂步平稳的 θ 方法的均方稳定性 ................................................... 28 4.4 数值算例 .......................................................................................... 37 4.5 本章小结 .......................................................................................... 37 结 论 .............................................................................................................. 38 参考文献 .......................................................................................................... 39 哈尔滨工业大学学位论文原创性声明和使用权限 .......................................... 42 致谢 .................................................................................................................. 43
随机微分方程数值解法
1
0.5
W(t)
0
-0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t
图1 布朗运动
还可以如下进行模拟：
randn('state',100) T=1；N=500；dt=T/N ；
dW=sqrt(dt)*randn(1,N) ； % 向量化,提高运算效率
W=cumsum(dW); % 累加和计算命令， W(j)=dW(1)+dW(2)+…+dW(j) ；j=1,…N
0 ? t0 ? t1 ? t2 ? ? tn ? t ,
令? tk
?
t k ? t k ? 1 (1 ?
k
?
n ), ?
?
max
1? k ? n
?
tk
,
若随机变量序列
n
? X (tk ?1 )(W (tk ) ? W (tk ?1 )), n ? 1,2,3
(2)
?T E( X ( t )) 2 dt 0
?
??
,
E( X 2 ( t )) ?
??
,? t ?
0.
(3)
以下是Itó型随机积分的定义：
定义1.2 设{W ( t ), t ? 0} 为标准布朗运动，随机过程{X (t),t ? 0} 满足条件(1)-(3)。对 [0, t ] ? [0, T ]，将[0, t ] 作划分，任取
随机微分方程的数值解
随机微分方程的数值解
随机微分方程是一种描述随机过程的数学模型，它可以用来研究随机过程的性质和行为。随机微分方程的数值解是指使用数值计算方法求解随机微分方程的解的过程。
随机微分方程的数值解可以通过数值积分方法、数值微分方法、数值积分变分方法等多种方法进行求解。其中，数值积分方法和数值微分方法是最常用的方法，它们可以通过数值计算方法求解随机微分方程的解。
具体来说，数值积分方法可以通过求解随机微分方程的积分方程来得到随机微分方程的数值解。例如，对于一个二维随机微分方程du/dt=a(du/dx+dv/dy)+b(dx^2+dy^2)u，可以使用数值积分方法求解其解。具体的数值积分方法可以是欧拉法、龙格-库塔法、辛普森法等。
数值微分方法可以通过求解随机微分方程的微分方程来得到随机微分方程的数值解。例如，对于一个二维随机微分方程du/dt=a(du/dx+dv/dy)+b(dx^2+dy^2)u，可以使用数值微分方法求解其解。具体的数值微分方法可以是中心差分法、前向差分法、后向差分法等。
总之，随机微分方程的数值解可以通过数值积分方法和数值微分方法
等多种方法进行求解，具体的求解方法需要根据具体的问题和应用场景来选择。
求解随机微分方程的两种数值方法
Wu Sainan Prof. Li Dongsong Master of Science Computational Mathmatic Department of Mathematics June, 2013 Harbin Institute of Technology
哈尔滨工业大学理学硕士学位论文
-I-
哈尔滨工业大学理学硕士学位论文
Abstract
Stochastic differential equation originated in the 20th century. In the past 100 years not only the relative theory has been through rapid development, but it is also widely used in real life. In the past, many scholars applied deterministic mathematical model to study phenomenon appears in the physical, biological, economic, and contrology and other areas. However, with the rapid development of science, they found that only the certainty factors are not enough to completely reflect the actual situation. There are many external factors that need to be considered into the phenomenon we study. Therefore, it is necessary for us to think over uncertainty factors when we are study mathematical models. Due to all the reasons mentioned above, stochastic differential equation gets attention and rapid development. Although it is hard to obtain the exact solutions of the equation, we still treat it as a goal. Therefore, whether the numerical method that we used to solve the stochastic differential equation is effective or not becomes important. If we want to obtain effective numerical method, it is necessary to discuss the convergence of the numerical method. This paper discusses the stochastic differential equation (SDEs) and constructs a split-step θ method for solving SDEs, namely the split-step θ method and do research into the convergence and stability of this numerical method. We obtain the mean-square convergence of the split-step θ method. And the mean-square order is 0.5. Besides, we also build up another method for solving SDEs, called a split-step balanced θ method. After that, we still consider the convergence and stability of this method. Finally, we do the numerical experimentation in order to verify our conclusion. Keywords: Stochastic differential equation, split-step θ method, split-step balanced θ method, Mean-square convergence, Mean-square stability
蒙特卡罗解随机微分方程示例
蒙特卡罗解随机微分方程示例
蒙特卡罗解随机微分方程是一种常用的数值计算方法，它通过随机采样和统计分析来模拟微分方程的解。下面我将通过一个示例来说明蒙特卡罗解随机微分方程的过程。
假设我们有一个随机微分方程：
$$
dX_t = \mu(X_t) dt + \sigma(X_t) dW_t
$$
其中，$X_t$是一个随机过程，$\mu(X_t)$和$\sigma(X_t)$是函数，$W_t$是一个标准布朗运动。我们的目标是求解$X_t$在给定初始条件$X_0=x_0$下的解。
蒙特卡罗解随机微分方程的基本思想是通过模拟随机过程$X_t$的轨迹来逼近其解。具体步骤如下：
1. 初始化：设定初始条件$X_0=x_0$和时间步长$\Delta t$，以及模拟的总时间$T$。
2. 对每个时间步长$t_n=n\Delta t$，其中$n=0,1,2,...,N$，进行如下操作：
- 生成一个服从标准正态分布的随机数$\epsilon_n$。
- 根据随机微分方程的离散化形式，计算下一个时间步长的值：
$$
X_{n+1} = X_n + \mu(X_n)\Delta t + \sigma(X_n)\sqrt{\Delta t}\epsilon_n
$$
其中，$X_n$是上一个时间步长的值，$\mu(X_n)$和$\sigma(X_n)$是在$X_n$处的函数值。
3. 重复步骤2直到达到模拟的总时间$T$。
通过上述步骤，我们可以得到一组模拟轨迹$X_t^{(1)},X_t^{(2)},...,X_t^{(M)}$，其中$M$是模拟的总次数。我们可以对这些轨迹进行统计分析，如计算均值、方差、概率密度函数等，以获得对随机微分方程解的估计。
随机微分方程的数值模拟方法
随机微分方程的数值模拟方法
随机微分方程（Stochastic Differential Equations，简称SDEs）是描述包含随机项的微分方程。它们在金融学、物理学和生物学等领域中广泛应用，尤其在随机模型建立和数值模拟方面有着重要的作用。
为了模拟和解决随机微分方程，研究者们开发了各种数值模拟方法。这些方法的目标是通过离散化时间和空间来近似SDE的解，以获得数值解。
在本文中，我将介绍几种常用的数值模拟方法，包括欧拉方法、米尔斯坦方法和龙格-库塔方法。我们将从简单的欧拉方法开始，逐渐深入探讨这些方法的优点和局限性。
1. 欧拉方法（Euler Method）
欧拉方法是最简单和最直接的数值模拟方法之一。它将区间分成若干小的子区间，然后使用差分逼近来计算每个子区间内的解。欧拉方法的基本思想是将微分方程中的导数用差分代替，从而将微分方程转化为差分方程。欧拉方法的数值格式如下：
然而，欧拉方法的缺点在于其精度较低，特别是当时间步长较大时。
它也不能很好地处理某些随机微分方程的特殊情况。
2. 米尔斯坦方法（Milstein Method）
米尔斯坦方法是对欧拉方法的改进，目的是提高精度。它通过在欧拉
方法的基础上添加额外的项来纠正误差，从而提高数值解的准确性。
米尔斯坦方法的数值格式如下：
相比于欧拉方法，米尔斯坦方法在同样的时间步长下通常能够提供更
准确的数值解。然而，对于某些特殊的随机微分方程，米尔斯坦方法
也可能存在一些问题。
3. 龙格-库塔方法（Runge-Kutta Method）
龙格-库塔方法是一类更为复杂但精度更高的数值模拟方法。它基于对SDE进行多次逼近来得到数值解，通常可以达到较高的准确性。龙格-库塔方法的基本思想与常规微分方程的龙格-库塔方法类似，但在计算过程中需要额外考虑随机项的贡献。相比于欧拉方法和米尔斯坦方法，龙格-库塔方法的数值格式更为复杂，但其准确性和稳定性更高。
几类随机延迟微分方程的数值分析
几类随机延迟微分方程的数值分析
摘要：随机延迟微分方程（Stochastic Delay Differential Equations，SDDEs）是描述动态系统中随机延迟效应的数学模型。在实际应用中，SDDEs模型广泛用于生物、物理、经济和金融等领域。本文主要介绍SDDEs数值分析的方法和理论。
关键词：随机延迟微分方程；数值分析；Euler-Maruyama算法；Milstein方法；BDF方法
一、简介
随机延迟微分方程是一种描述动态系统中随机延迟效应的数学模型，它是由随机微分方程和延迟微分方程相结合而成的。SDDEs可以用来描述许多实际问题，如化学反应动力学、通信网络、人口种群动态等等。
在数值分析中，SDDEs的解决方案是进行时间离散，使用数值方法来逼近精确解。本文介绍几种常见的数值方法，包括Euler-Maruyama算法、Milstein方法和BDF方法。
二、Euler-Maruyama算法
Euler-Maruyama算法是一种基本的数值方法，它是将SDDEs离散化为一组随机常微分方程组来求解的。Euler-Maruyama算法的基本思想是将应用爱达华公式的Euler方法与Maruyama方法相结合，即使用Euler方法来逼近延迟微分项，并使用Maruyama方法来逼近随机项。
Euler-Maruyama算法的数值解法如下：
$$
\begin{aligned}
&Y_{n+1}=Y_n+f(Y_n) \Delta t+\sigma(Y_n) \Delta
W_n+g(Y_n,Y_{n-\tau}) \Delta t\\
微分方程的常用数值解法
微分方程的常用数值解法
摘要：微分方程是数学中的一种重要的方程类型，它能描述自然现象和工程问题中的许多变化规律。但是大多数微分方程解法是无法用解析的方式求解的，因此需要借助数值解法来近似求解。本文将介绍微分方程的常用数值解法。
关键词：欧拉方法；龙格-库塔方法；微分方程；常用数值解法
一、微分方程数值解方法
微分方程数值解法是数学中的重要部分。欧拉方法、龙格-库塔方法和二阶龙格-库塔方法是常用的微分方程数值解法，下面就分别介绍这三种方法。
（一）欧拉方法
欧拉方法是解初值问题的一种简单方法，它是欧拉用的第一种数值方法，也叫向前欧拉法。欧拉方法是利用微分方程的定义式y’=f(x, y)，将它带入微分方程初值问题y（x_0）=y_0中，以y_0为初始解，在每一步上通过沿着切线的方法进行估计并推进新的解y_{i+1}：
y_i+1=y_i+hf(x_i,y_i)
其中，x_i和y_i是我们知道的初始条件，h是求解过程中的步长，f是微分方程右端项。它是一种时间迭代的算法，易于实现，但存在着精度不高的缺点。
（二）龙格-库塔方法
龙格-库塔方法是一种经典迭代方法，也是近代微分方程数值解法发展的里程碑之一。龙格-库塔方法的主要思想是利用规定的阶码及阶向量，通过递推求解微分方程数值解的近似值。龙格-库塔方法的方式不同，其步骤如下：
第一步：根据微分方程，计算出在x_i和y_i的值。
第二步：在x_i处对斜率进行估计，并利用这个斜率来求解下一步所需的
y_i+1值。
第三步：使用x_i和y_i+1的值来重新估计斜率。
第四步：使用这个新的斜率来更新y_i+1的值。
随机微分方程(stochastic differential equation,sde)
随机微分方程(stochastic differential equation,sde) 1. 引言
1.1 概述
随机微分方程（Stochastic Differential Equation，SDE）是一类描述随机现象的微分方程。相比于传统的确定性微分方程，SDE中包含了一个或多个随机项，能够更准确地描述现实世界中的不确定性和变动性。SDE在各个领域中广泛应用，特别是金融学、物理学和生物学等领域。
1.2 文章结构
本文将从以下几个方面介绍随机微分方程及其应用：定义与基本概念、解随机微分方程的方法与技巧，以及在实际问题中的应用。具体可以分为三个主要部分：引言、主体内容和结论展望。
1.3 目的
本文旨在介绍随机微分方程的基本概念、解法和应用，并探讨其在金融学、物理学和生物学等领域中的实际应用。通过对随机微分方程的深入了解，读者可以更好地理解和利用该方法来解决实际问题，并对未来研究提出展望。
以上为“1. 引言”部分的内容。
2. 随机微分方程的定义与基本概念
2.1 随机过程简介
随机过程是一类描述随着时间推移而随机变化的数学模型。它可以看作是时间参数上的一族随机变量的集合。随机过程常用于描述具有随机性质的现象，如金融市场中的股票价格、天气预报中的温度变化等。
2.2 随机微分方程的定义
随机微分方程是一类描述含有随机项（通常为噪声）的微分方程。它通常采用以下形式表示：
dX(t) = a(X(t), t)dt + b(X(t), t)dW(t)
其中，X(t)是未知函数，a(X(t), t)和b(X(t), t)是已知函数，dW(t)表示Wiener 过程（也称为布朗运动或白噪声）。这个方程表示了X在无穷小时间段dt内发生微小变化dX(t)，其中包含一个确定性项a(X(t), t)dt和一个随机项b(X(t), t)dW(t)。
带有时滞的随机微分方程sdde
带有时滞的随机微分方程sdde
随机微分方程是描述随机过程的重要工具之一。在实际应用中，
我们经常遇到带有时滞的随机微分方程，它是一种具有延迟效应的动
态系统模型。本文将介绍带有时滞的随机微分方程的基本概念、特性
以及数值解法，为读者理解和应用这一领域的知识提供指导。
时滞是指系统的当前状态受到之前状态的影响，存在一定的延迟
效应。在许多实际问题中，时滞起到了重要的作用，例如生态系统中
的种群动力学模型、经济系统的波动模型等。时滞的引入使得系统的
行为更加复杂，因此需要结合随机过程的理论进行建模和分析。
带有时滞的随机微分方程可以写作以下形式：
$$
dX(t) = [f(X(t),X(t-\tau(t)),t) + g(X(t),t) \cdot
dW(t)]dt
$$
其中，$X(t)$是系统状态随时间变化的函数；$f(\cdot)$是关于
当前状态、历史状态和时间的确定性函数；$g(\cdot)$是关于当前状
态和时间的随机函数；$dW(t)$是标准布朗运动（或称为白噪声过程），代表随机扰动的源。
带有时滞的随机微分方程的特点是系统的状态变量是随机的，并
且受到时间延迟的影响。这使得系统的行为具有不确定性和非线性的
特征。因此，不同于确定性微分方程，带有时滞的随机微分方程的解
不再是具有确定性的轨迹，而是一个随机过程。为了研究这类方程的
解的统计特性，需要借助概率论和随机过程的理论。
对于带有时滞的随机微分方程，我们可以使用数值方法求解。其中，最常用的是Euler-Maruyama方法，该方法将随机微分方程离散化
为差分方程，通过迭代逼近连续解。通过控制时间步长，我们可以获
随机微分方程数值解法
程。
随机Taylor展开式是随机微分方程数值算法的基础，Euler算
法和Milstein算法都是在随机Taylor展开式不同的地方截断而得 到
的数值算法。
N
h ( T t 0 ) /N ,t n t 0 n h ,
{ X (t) ,t 0 } ,T 0 ,
此外，对随机过程
引入以下三个条件：
X ( t ) 关于 [0,T]可测；
(1)
t 0 ,X (t) F t,即 X
( t )为
F
可测的；
t
(2)
TE(X(t))2dt, 0
E (X 2 (t)) , t 0 .
(3)
以下是Itó型随机积分的定义：
定义1.2 设{W (t),t0}为标准布朗运动，随机过程{X(t),t0} 满足条件(1)-(3)。对 [0,t][0,T]，将[ 0 , t ] 作划分，任取
0 t 0 t 1 t 2 t n t ,
令 t k t k t k 1 ( 1 k n ) , m 1 k a x n t k ,
若随机变量序列
n
X (tk 1 )(W (tk) W (tk 1 )),n 1 ,2 ,3
(4)
Hale Waihona Puke Baidu
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2.1 随机Taylor展开
方便起见，对如下的标量自治型随机微分方程进行讨论： (10) dy( t ) f ( y( t ))dt g( y( t ))dW ( t ),
S (t )
物理上理解，布朗运动的起因是液体的所有分子都处在运动 中，而且相互碰撞，从而微粒周围有大量的分子以微小但起伏不 定的力共同作用于它，使它被迫作不规则运动。如果用 X t 表示 微粒在时刻 t 所处位置的一个坐标，由于液体是均匀的，自然设 想从时刻 t1 到 t 2的位移 X t2 X t1 是许多几乎完全独立的小位移 之和，因而根据中心极限定理，可以合理的假定 X t2 X t1 服从 正态分布，而且对于不同时间段的位移应该是相互独立的。因此 ，布朗运动有如下定义：
X ( t ) 关于 [0, T ] 可测； t 0, X ( t ) Ft , 即 X ( t )为 Ft 可测的；
T
0
E( X ( t ))2 dt , E(X 2 ( t )) , t 0.
(1) (2) (3)
以下是Itó 型随机积分的定义：
{ X ( t ), t 0} 定义1.2 设{W ( t ), t 0} 为标准布朗运动，随机过程 满足条件(1)-(3)。对 [0, t ] [0, T ]，将 [0, t ] 作划分，任取
{ Ft , t 0} 为11 F的上升滤子（即 Ft F , 且对 0 t1 t 2 , Ft1 Ft2 )
W ( s )关于 Ft 可测，且满足 ，对任意 0 s t ，
E(W ( t ) | Fs ) W ( s ) a . s .,
E(W ( t ) W ( s ) | Fs ) 0 a . s., 此外，对随机过程{ X ( t ), t 0}, T 0, 引入以下三个条件：
t0
t0
对应的微分方程为
dy( t ) f ( t , y( t ))dt g( t , y( t )) dW ( t ),
(9)
方程（9）即为Stratonovich型随机微分方程。 注：1)Itó 型随机微分方程(6)和Stratonovich型随机微分方程（9） 是可以相互转换的。பைடு நூலகம்标量情形下，对方程（6）令
f , g 均为 [ t 0 , T ]上的Borel可测函数，分别被称为漂移系数和扩散
系数。
方程(6)的积分形式为：
y( t ) y( t0 ) f ( s, y( s ))ds g( s , y( s ))dW ( s ),
t0 t0
t
t
(7)
其中的随机积分为Itó 型随机积分。 若将Itó 型随机积分替换为Stratonovich型随机积分，则(7)式 变为 t t y( t ) y( t 0 ) f ( s , y( s ))ds g( s , y( s )) dW ( s ), (8)
定理2.1 (解的存在唯一性定理）若 f , g 满足 (i) (线性增长条件）存在正常数 L1 使得
f ( t , x ) g( t , x ) L1 (1 x ) , x R,
2
2
2
(ii) (Lipschitz条件） 存在正常数 L2使得
f ( t , x ) f ( t , y ) g ( t , x ) g ( t , y ) L2 x y , x R,
定义1.1 一个随机过程 {W ( t ), t 0} ,它在一个微小时间间隔 t 之间内的变化为 W 。如果 1) W (0) 0; 2) W N (0, 2 t ) ，其中 0为一常数。 3)对于任何两个不同时间间隔, W 的值相互独立,即独立增量。 称随机变量 {W ( t ), t 0} 的运动遵循(标准)维纳过程或者布朗运 动。 2 若 1，则称 W ( t )为标准布朗运动或标准Wiener过程。
E[ (y( t n ))] E[ (yn )] Ch p , h (0, ),
则称该数值方法是 p 阶弱收敛的。
强收敛性与弱收敛性是数值方法的两种收敛性评价标准。强 收敛性要求对随机微分方程进行数值模拟时，数值近似的轨迹必 须充分接近真实轨迹。弱收敛则并不关注解过程的轨迹，而仅仅 是解过程的矩性质。
W(j) = W(j-1) + dW(j); end plot([0:dt:T],[0,W],’r-’) %绘图 xlabel(’t’,’FontSize’,16) ylabel(’W(t)’,’FontSize’,16,’Rotation’,0)
1
0.5
W(t)
0
-0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
布朗运动的模拟
以下对一维的布朗运动进行随机模拟。一维的布朗运动可以 看做质点在直线上作简单随机游动，则W ( t )表示质点在时刻t 时 在直线上的位置。利用Matlab模拟布朗运动的程序代码如下： %布朗运动的模拟 randn('state',100) % 设置随机数发生器的状态 T=1；N=500；dt=T/N； dW=zeros(1,N); % 布朗增量存放位置 W=zeros(1,N)； % 预分配，提高效率 dW(1)=sqrt(dt)*randn； % 循环前的初始化 W(1)=dW(1)； %Matlab中数组下标从1开始，故 W(0)=0不 允许 for j=2:N dW(j)=sqrt(dt)*randn；
plot([0:dt:T],[0,W],’r-’) %绘图 xlabel(’t’,’FontSize’,16) ylabel(’W(t)’,’FontSize’,16,’Rotation’,0)
1.2 随机积分
随机积分分为Itó 型随机积分和Stratonovich型随机积分。以
下假设Wiener过程 W ( t ), t 0 定义在概率空间 ( , F , P )上，
随机微分方程数值解法
2013年11月18日
随机微分方程数值解法
1.随机微分方程概述
1.1 布朗运动介绍
1.2 随机积分 1.3 两种形式的随机微分方程
2.随机微分方程数值方法介绍
2.1 随机Taylor展开 2.1 Euler方法 2.2 Milstein方法
3. 数值试验
3.1 精度数值试验 3.2 稳定性数值试验
dy( t ) f ( t , y( t ))dt g( t , y( t ))dW ( t ),
其中
(6)
y( t 0 ) y0 , t [ t 0 , T ],W ( t ) (W1 ( t ),W2 ( t ), ,Wd ( t )) ,
E y0
2
, f : R m [t0 , T ] R m , g : R m [t 0 , T ] R md ,
0 t0 t1 t 2 t n t ,
令 t k t k t k 1 (1 k n), max t k ,
1 k n
若随机变量序列
X ( tk 1 )(W ( t k ) W ( t k 1 )), n 1, 2, 3
其中 i 1,, m . 则方程（6）可以转化为Stratonovich性随机微 分 方程如下： dy( t ) f ( t , y( t ))dt g ( t , y( t )) dW ( t ).
注：1) 大部分随机微分方程的解析解是无法获得的，可以求得解 析解的随机微分方程多为线性随机微分方程。 2) 有些随机微分方程的解析解虽然可以求到，但是形式很复 杂，处理起来很不方便。 3) 在实际应用中，实用的方法是在计算机上进行数值求解， 即不直接求出 y ( t ) 的解析解，而是在解所存在的区间上，求得一 系列点 xn ( n 1,2,) 上的近似值。
0
若取区间[ t k 1 , t k ] 的中点 ( t k 1 t k ) / 2 时，就得到 Stratonovich型积分，记为
t
0
X ( t ) dW ( t ) 。
1.3 两种形式的随机微分方程
随机微分方程亦分为Itó 型随机微分方程和Stratonovich型
随机微分方程。目前研究的较多的Itó 型随机微分方程的一般形 式如下：
且有E y0
2
， 则方程 (6)存在唯一解且E y( t ) 。
2
定义 2.1 (强收敛性) 若存在常数 C 0 (与 h 独立)， 0 ，使得
E( y( t n ) yn ) Ch p , h (0, ),
则称该数值方法是 p 阶强收敛的。 定义2.2 (弱收敛性）若对适当的 2( p 1)次可微的多项式 ，存 在 C 0, 0 ，使得：
k 1
n
(4)
均方收敛于唯一极限，则称
lim X ( t k 1 )(W ( t k ) W ( t k 1 ))
n k 1 n
t
0
X ( t )dW ( t )
(5)
为 { X ( t ), t 0} 关于 {W ( t ), t 0}在[0, t ] 上的Itó 积分。上述定 在[t k 1 , t k ] 中任取 tk 义中，作和式（4）时不能像通常积分那样， ，否则可能导致均方极限不存在。（ 5）中取的是的 [ t k 1 , t k ]的左 t 端点 t k 1 ，得到Itó 型随机积分 X ( t )dW ( t ) 。
注：
1）布朗运动是处处连续的，并且它是处处是不可微的。直观 上来看，这意味着它的运动轨迹相当曲折。
W N (0, t ) ，即W t N (0,1), 2）对于标准布朗运动， 若记随机变量 N (0,1), 则有 W t . 形式上看，当 t 0时，如同普通微积分中的情形，有： dW dt , 由于布朗运动是处处不可微的，此处的 dW只能视为一种简单记 法。
1.随机微分方程概述
1.1 布朗运动介绍
布朗运动是历史上最早被认真研究过的随机过程。1827 年， 英国生物学家布朗(Robert Brown)首先观察和研究了悬浮在液 体中的细小花粉微粒受到水分子连续撞击形成的运动情况，布 朗运动也因此而得名。1905 年爱因斯坦(Einstein)对它做出了合 理的物理解释并求出了微粒的转移密度，1918 年维纳(Norbert Wiener) 在数学上严格地定义了布朗运动 (因此它有时也称为维 纳过程)。现在布朗运动已经成为了描述随机现象的基石。
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
图1 布朗运动
还可以如下进行模拟：
randn('state',100) T=1；N=500；dt=T/N； dW=sqrt(dt)*randn(1,N)； %向量化,提高运算效率 W=cumsum(dW); %累加和计算命令， W(j)=dW(1)+dW(2)+…+dW(j)；j=1,…N
2.随机微分方程数值方法介绍
目前随机微分方程的数值求解方法有Euler方法、Milstein方
法 、Runge-Kutta方法等。Runge-Kutta方法的复杂程度比Euler 方法和Milstein方法的程度要高。在实际应用中，一般情况下用 Euler方法和Milstein方法来对模型进行数值模拟。由于Itó 型随机 微分方程与Stratonovich型随机微分方程是可以相互相互转化的， 以下介绍求解Itó 型随机微分方程(6)的Euler方法和Milstein方法。 首先给出随机微分方程解的存在唯一性定理以及数值方法强 收敛与弱收敛的定义如下：
1 g f ( t , y ( t )) f ( t , y ( t )) ( t , y ( t )) g ( t , y ( t )), 2 y
在矢量情形下，令
1 m d gik f i ( t , y( t )) f i ( t , y( t )) ( t , y( t )) g jk ( t , y( t )), 2 j 1 k 1 y j