随机微分方程数值解法
随机微分方程的数值解
随机微分方程的数值解引言随机微分方程（Stochastic Differential Equation，简称SDE）是描述包含随机变量的微分方程，它在金融、物理学、生物学等领域具有广泛的应用。
与确定性微分方程相比，SDE中的随机项引入了不确定性和随机性，使得问题更具挑战性和现实性。
本文将介绍随机微分方程的基本概念、求解方法和数值解的计算。
一、随机微分方程概述1.1 确定性微分方程与随机微分方程的区别•确定性微分方程：一般形式为 dy(t) = f(y(t), t)dt，其中f是已知的函数，表示因变量y的增量与自变量t的关系。
•随机微分方程：一般形式为 dy(t) = f(y(t), t)dt + g(y(t), t)dW(t)，其中dW(t)是一个随机项，通常表示为Wiener过程或布朗运动。
1.2 随机微分方程的数学表达一般形式的随机微分方程可以表示为： dy(t) = f(y(t), t)dt + g(y(t),t)dW(t)，其中： - y(t)是待求解的随机过程； - f(y(t), t)表示因变量y的增量与自变量t之间的确定性关系； - g(y(t), t)表示因变量y的增量与自变量t 之间的随机关系； - dW(t)是一个随机项，通常表示为Wiener过程或布朗运动。
二、随机微分方程的求解方法2.1 解析解方法对于简单形式的随机微分方程，可以通过解析的方法求得解析解。
然而，大多数情况下，由于随机视频和随机关系的存在，解析解并不存在或难以求得。
2.2 数值解方法数值解是求解随机微分方程的主要方法之一，它通过将时间间隔分割为若干小段，采用数值方法近似求解微分方程。
常用的数值解方法有： 1. 欧拉方法（Euler Method）：将时间间隔分割为若干小段，在每个小段内使用线性逼近的方式求解微分方程。
2. 随机插值方法（Stochastic Interpolation Method）：利用数值差分逼近计算随机项的变化，并采用插值方法求解微分方程。
随机微分方程的数值求解算法
随机微分方程的数值求解算法随机微分方程是一类常用于描述随机现象的数学模型，它包含了随机项，其解的求解过程相对复杂。
为了解决随机微分方程的数值求解问题，研究者们提出了各种算法和方法。
本文将介绍几种常见的随机微分方程数值求解算法，并探讨其应用和优缺点。
一、欧拉-马尔可夫算法欧拉-马尔可夫算法是随机微分方程数值求解的常用方法之一。
它基于欧拉方法，通过将微分方程离散化为差分方程，再引入随机项进行模拟。
具体来说，将微分方程中的导数项用中心差分或前向差分逼近，然后加上一个服从正态分布的随机项，即可得到欧拉-马尔可夫算法的迭代公式。
该算法简单易行，适用于各种类型的随机微分方程，但对于高维问题和强非线性问题的求解效果可能较差。
二、随机Runge-Kutta方法随机Runge-Kutta方法是一种基于Runge-Kutta方法改进的随机微分方程数值求解算法。
该方法通过引入随机项的高阶导数进行估计，提高了数值解的精度和稳定性。
具体来说，随机Runge-Kutta方法将微分方程离散化为差分方程，再使用Runge-Kutta方法求解差分方程的近似解，同时引入随机项进行模拟。
该算法相比于欧拉-马尔可夫算法，求解效果更好，适用于较复杂的随机微分方程，但计算量较大。
三、随机Taylor展开法随机Taylor展开法是一种基于Taylor展开的随机微分方程数值求解算法。
该方法将随机微分方程展开为无穷级数，通过截断展开后的级数来近似求解。
具体来说，随机Taylor展开法使用随机项的高阶导数来估计微分项的取值，然后通过级数相加得到近似解。
该算法精度较高，适用于低维问题和弱非线性问题，但对于高阶问题的求解可能存在数值不稳定性。
综上所述，随机微分方程的数值求解算法有欧拉-马尔可夫算法、随机Runge-Kutta方法和随机Taylor展开法等多种选择。
在实际应用中，根据问题的具体性质和求解要求，选择合适的算法进行求解是非常重要的。
未来的研究中，还可以通过改进算法的数值稳定性、提高算法的计算效率等方面，进一步完善随机微分方程的数值求解方法。
随机过程与随机微分方程
随机过程与随机微分方程随机过程是指随时间变化的随机现象，具有一定的随机性和不确定性。
而随机微分方程是描述随机过程演化的数学工具。
本文将简要介绍随机过程和随机微分方程的定义和性质，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、随机过程的定义与性质1.1 随机过程的定义随机过程是一族随机变量的集合，其中每个随机变量表示系统在不同时间点的状态。
随机过程通常用X(t)表示，其中t可以是离散的（如时间点）或连续的（如时间段）。
1.2 随机过程的分类根据随机过程的状态空间类型，可以将其分为离散随机过程和连续随机过程。
离散随机过程的状态空间是离散集合，如整数集合；而连续随机过程的状态空间是连续集合，如实数集合。
1.3 随机过程的性质随机过程的性质可以通过各阶矩、相关函数和功率谱密度等来描述。
其中，各阶矩描述了随机过程的平均值和方差；相关函数描述了随机过程不同时刻之间的相关性；功率谱密度则描述了随机过程在频域上的特性。
二、随机微分方程的定义与性质2.1 随机微分方程的定义随机微分方程是包含随机项的微分方程，用于描述带有随机现象的动态系统。
一般形式的随机微分方程可以表示为：dX(t) = a(t,X(t))dt + b(t,X(t))dW(t)，其中dX(t)表示系统在微小时间段dt内的变化量，a(t,X(t))和b(t,X(t))分别是系统的确定性部分和随机部分，dW(t)表示布朗运动。
2.2 随机微分方程的解由于随机微分方程包含了随机项，因此它的解也是一个随机过程。
随机微分方程的解可以通过数值方法（如欧拉方法和蒙特卡洛方法）或解析方法（如伊藤引理和随机变换法）来求得。
2.3 随机微分方程的应用随机微分方程在金融工程、物理学、化学、生物学和工程学等领域中具有广泛的应用。
例如，随机微分方程常用于金融衍生品的定价与风险管理、生物系统的建模与分析、化学反应过程的模拟与预测等方面。
三、随机过程与随机微分方程的应用实例3.1 金融工程中的应用在金融工程中，随机过程和随机微分方程被广泛应用于衍生品的定价与风险管理。
随机微分方程的定义及其应用
随机微分方程的定义及其应用随机微分方程（Stochastic Differential Equation, SDE）是一种常见的随机过程模型，广泛应用于金融、物理、生物和工程等领域。
随机微分方程描述的是包含随机项的微分方程，是确定性微分方程和随机过程的结合体。
在实际应用中，随机微分方程通常用来描述系统的演化过程，如股票价格、气象预测和细胞生长等。
一、随机微分方程的定义随机微分方程包含如下两个部分。
1. 确定性微分方程确定性微分方程表示系统的演化过程，它是包含未知函数（通常表示为$x_t$）及其导数（$dx_t$）的微分方程。
通常采用欧拉方法或改进欧拉方法对其进行求解。
2. 随机项随机项（通常表示为$dW_t$）是为了考虑系统噪声或不确定性而引入的一项。
其中$dW_t$是一个随机过程，表示一个标准布朗运动（Standard Brownian Motion）。
它是一种无法预测的随机变量，具有如下两个特点：（1）它在数学上是连续但处处不可微的。
（2）它的均值为0，方差为t。
由于$dW_t$具有如上两个特点，因此它可以用来模拟真实生活中的一些随机过程，如金融市场、天气预测等。
二、随机微分方程的应用随机微分方程在金融、统计学、生物学和物理学等不同领域中都有广泛应用。
下面将针对其中三个具体应用领域进行介绍。
1. 金融领域随机微分方程在金融领域中的应用已经成为了一种标准方法。
它被用来建立股票价格、波动率与收益率之间的关系、量化风险等。
其中，布莱克﹒斯柯尔斯（Black-Scholes）期权定价模型是其中最为著名的一个。
在这个模型中，股票价格被假设为一个随机微分方程，通过求解这个方程可以得到期权价格。
此外，随机微分方程还被用来建立复杂的金融衍生品定价模型，如利率互换、期权组合等。
2. 生物领域随机微分方程在生物领域中的应用也非常广泛。
例如，在细胞生长模型中，细胞数目被表示为一个随机微分方程。
此外，生物领域中也有很多涉及随机过程的模型，如氧气扩散模型和病毒传播模型等。
随机微分方程2种数值方法的稳定性分析_邱妍
－ ｇ（ Ｘｎ－
!ｈ） ］ ［ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ］
ｎ ＝ ０， １， …；
! ＝ １， ２， …
（ ６）
２ 均方稳定性
根据式（ ２） 的理论解 Ｘ（ ｔ） ＝ ｅｘｐ［ （ " － １ μ２） ｔ ＋ μ!Ｗ（ ｔ） ］ ， 得如下命题： ２
命题 １［３－４］ Ｘ（ ｔ） 均方稳定， 即ｌｉｍ Ｅ（ Ｘ（ ｔ） ２） ＝ ０ 的充要条件是 ｒ（ "） ＋ １ μ ２ ＜ ０， 式中， ｒ（ "） 为 " 的实部．
ｎ ＝ ０， １， …
（ ９）
式中， Ｙｎ 为不依赖于 Ｘｎ 的随机变量． 数值方法的绝对稳定域 Ｄ ＝ ｛!ｈ｜ｒ（ !） ＜０， 且｜Ｇ（ !ｈ） ｜ ＜ １｝．
定义 １［５］ 若数值方法的绝对稳定域包含整个左半平面， 即 ｒ（ !） ＜ ０ #｜Ｇ（ !ｈ） ｜＜１， 则称数值方法是 Ａ! 稳
定的．
３．１ 向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法的 Ａ! 稳定性
将数值方法式（ ５） 应用到式（ ３） 得： （ １ － !ｈ） Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ "#Ｗｎ． 根据式（ ９） 有 Ｇ（ !ｈ） ＝ （ １ － !ｈ） －１， 其中 ! ＝ " ＋ ｉ #， 由定义 １ 可得
｜Ｇ（ !ｈ） ｜ ＝ ｜（ １ － !ｈ） －１｜ ＜ １#（ １ － "ｈ） ２ ＋ （ #ｈ） ２ ＞ １
ｐ） －１
２
＝ （ １ ＋ ｑ２ ＋ １ ｑ４） （ １ － ｐ） －２ ２
故向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法均方稳定的充要条件是（ １ ＋ ｑ２ ＋ １ ｑ４） （ １ － ｐ） －２ ＜ １， 即（ １ ＋ ｑ２ ） ２ － ２（ １ － ｐ） ２ ＋１＜ ０ ； 相应的 ２
随机微分方程的数值模拟方法
随机微分方程的数值模拟方法随机微分方程（Stochastic Differential Equations，简称SDEs）是描述包含随机项的微分方程。
它们在金融学、物理学和生物学等领域中广泛应用，尤其在随机模型建立和数值模拟方面有着重要的作用。
为了模拟和解决随机微分方程，研究者们开发了各种数值模拟方法。
这些方法的目标是通过离散化时间和空间来近似SDE的解，以获得数值解。
在本文中，我将介绍几种常用的数值模拟方法，包括欧拉方法、米尔斯坦方法和龙格-库塔方法。
我们将从简单的欧拉方法开始，逐渐深入探讨这些方法的优点和局限性。
1. 欧拉方法（Euler Method）欧拉方法是最简单和最直接的数值模拟方法之一。
它将区间分成若干小的子区间，然后使用差分逼近来计算每个子区间内的解。
欧拉方法的基本思想是将微分方程中的导数用差分代替，从而将微分方程转化为差分方程。
欧拉方法的数值格式如下：然而，欧拉方法的缺点在于其精度较低，特别是当时间步长较大时。
它也不能很好地处理某些随机微分方程的特殊情况。
2. 米尔斯坦方法（Milstein Method）米尔斯坦方法是对欧拉方法的改进，目的是提高精度。
它通过在欧拉方法的基础上添加额外的项来纠正误差，从而提高数值解的准确性。
米尔斯坦方法的数值格式如下：相比于欧拉方法，米尔斯坦方法在同样的时间步长下通常能够提供更准确的数值解。
然而，对于某些特殊的随机微分方程，米尔斯坦方法也可能存在一些问题。
3. 龙格-库塔方法（Runge-Kutta Method）龙格-库塔方法是一类更为复杂但精度更高的数值模拟方法。
它基于对SDE进行多次逼近来得到数值解，通常可以达到较高的准确性。
龙格-库塔方法的基本思想与常规微分方程的龙格-库塔方法类似，但在计算过程中需要额外考虑随机项的贡献。
相比于欧拉方法和米尔斯坦方法，龙格-库塔方法的数值格式更为复杂，但其准确性和稳定性更高。
总结和回顾：通过本文的介绍，我们对随机微分方程的数值模拟方法有了初步的了解。
随机微分方程的解法
随机微分方程的解法随机微分方程在现代概率论、数学和物理等领域中扮演着重要的角色。
随机微分方程是将随机过程与微分方程结合起来研究的一种数学对象，其解法涉及概率论、随机分析等多个学科的知识。
本文将介绍随机微分方程的解法，帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、随机微分方程的基本概念在介绍解法之前，首先需要了解随机微分方程的基本概念。
随机微分方程是描述随机过程演化规律的数学模型，通常具有形式如下：\[dX(t) = a(t, X(t))dt + b(t, X(t))dW(t)\]其中，\(X(t)\)为随机过程，\(a(t, X(t))\)和\(b(t, X(t))\)为已知函数，\(dW(t)\)表示随机微分项，通常为布朗运动或其他随机过程。
解随机微分方程即为寻找满足上述方程的随机过程\(X(t)\)。
二、解随机微分方程的方法1. 数值方法对于一般的随机微分方程，往往难以找到解析解。
因此，常常需要借助数值方法进行求解。
常用的数值方法包括欧拉方法、Milstein方法、龙格-库塔方法等，这些方法通过离散化时间和空间进行数值逼近，得到数值解。
2. Ito公式Ito公式是解随机微分方程的重要工具，它提供了解随机微分方程中随机积分的计算公式。
通过Ito公式，可以将随机微分方程转化为确定性微分方程，进而求解。
3. 马尔科夫性质对于一些特殊的随机微分方程，其解可以通过马尔科夫性质来求解。
马尔科夫性质是指给定当前状态，未来状态与过去状态条件独立的性质。
通过建立马尔科夫性质，可以得到一些特定形式的随机微分方程的解。
三、应用举例1. 布朗运动布朗运动是最基本的随机过程之一，广泛应用于金融、物理学等领域。
布朗运动的数学描述就是随机微分方程。
通过求解布朗运动的随机微分方程，可以研究布朗运动的性质和规律。
2. 随机振荡器随机振荡器是一类重要的随机微分方程模型，广泛应用于控制系统、通信系统等领域。
通过解随机振荡器的随机微分方程，可以研究系统的稳定性和鲁棒性。
随机微分方程数值计算介绍
随机微分方程数值计算介绍随机微分方程（Stochastic Differential Equations，简写为SDE）是一类用于描述有随机变动的现象的微分方程。
与确定性微分方程不同，SDE中包含了一个随机项，这使得SDE的解具有一定的不确定性。
数值计算方法在求解SDE的数值解时起着至关重要的作用，本文将介绍一些常用的数值计算方法。
首先，我们来介绍一下SDE的一般形式：$$dX_t = f(X_t, t) dt + g(X_t, t) dW_t$$其中，$X_t$是要求解的未知函数，$f(X_t,t)$和$g(X_t,t)$是已知的函数，$W_t$是一个随机过程（通常为布朗运动）。
上式右侧的第一项表示确定性的漂移项，第二项表示随机扩散项。
为了求解上述SDE，常用的数值方法之一是欧拉方法。
该方法的基本思想是将时间轴等分成多个小的时间段，并在每个时间段内对SDE进行逼近。
具体而言，对于给定的一个时间段$[t_n,t_{n+1}]$，我们有：$$X_{t_{n+1}} = X_{t_n} + f(X_{t_n}, t_n) \Delta t + g(X_{t_n}, t_n) \Delta W_n$$其中，$\Delta t = t_{n+1} - t_n$是时间步长，$\Delta W_n$是标准正态分布随机变量。
按照这个递推公式，我们可以逐步计算出$X_{t_{n+1}}$的近似值。
然而，欧拉方法存在数值误差和收敛性差的问题。
为了克服这些问题，人们提出了各种改进的数值方法。
其中最为著名的方法之一是Milstein方法。
该方法在欧拉方法的基础上考虑了随机项的二阶展开，从而提高了数值解的精度。
具体而言，Milstein方法的递推公式为：$$X_{t_{n+1}} = X_{t_n} + f(X_{t_n}, t_n) \Delta t + g(X_{t_n}, t_n) \Delta W_n + \frac{1}{2} g(X_{t_n}, t_n) \frac{\partialg(X_{t_n}, t_n) }{\partial X_{t_n}} \left((\Delta W_n)^2 -\Delta t\right)$$另外，还有其他一些更高阶的数值方法可用于求解SDE，例如Runge-Kutta方法和Milstein方法的高阶推广方法。
随机微分方程(stochastic differential equation,sde)
随机微分方程(stochastic differential equation,sde) 1. 引言1.1 概述随机微分方程（Stochastic Differential Equation，SDE）是一类描述随机现象的微分方程。
相比于传统的确定性微分方程，SDE中包含了一个或多个随机项，能够更准确地描述现实世界中的不确定性和变动性。
SDE在各个领域中广泛应用，特别是金融学、物理学和生物学等领域。
1.2 文章结构本文将从以下几个方面介绍随机微分方程及其应用：定义与基本概念、解随机微分方程的方法与技巧，以及在实际问题中的应用。
具体可以分为三个主要部分：引言、主体内容和结论展望。
1.3 目的本文旨在介绍随机微分方程的基本概念、解法和应用，并探讨其在金融学、物理学和生物学等领域中的实际应用。
通过对随机微分方程的深入了解，读者可以更好地理解和利用该方法来解决实际问题，并对未来研究提出展望。
以上为“1. 引言”部分的内容。
2. 随机微分方程的定义与基本概念2.1 随机过程简介随机过程是一类描述随着时间推移而随机变化的数学模型。
它可以看作是时间参数上的一族随机变量的集合。
随机过程常用于描述具有随机性质的现象，如金融市场中的股票价格、天气预报中的温度变化等。
2.2 随机微分方程的定义随机微分方程是一类描述含有随机项（通常为噪声）的微分方程。
它通常采用以下形式表示：dX(t) = a(X(t), t)dt + b(X(t), t)dW(t)其中，X(t)是未知函数，a(X(t), t)和b(X(t), t)是已知函数，dW(t)表示Wiener 过程（也称为布朗运动或白噪声）。
这个方程表示了X在无穷小时间段dt内发生微小变化dX(t)，其中包含一个确定性项a(X(t), t)dt和一个随机项b(X(t), t)dW(t)。
2.3 常见的随机微分方程模型在实际应用中，有许多不同类型的随机微分方程模型被广泛使用。
- Ornstein-Uhlenbeck 过程：该模型描述了维持平衡状态的粒子在受到随机扰动时的演化过程。
随机微分方程数值解法
方程（9）即为Stratonovich型随机微分方程。 注：1)Itó型随机微分方程(6)和Stratonovich型随机微分方程（9） 是可以相互转换的。在标量情形下，对方程（6）令
plot([0:dt:T],[0,W],’r-’) %绘图 xlabel(’t’,’FontSize’,16) ylabel(’W(t)’,’FontSize’,16,’Rotation’,0)
1.2 随机积分
随机积分分为Itó型随机积分和Stratonovich型随机积分。以
下假设Wiener过程 W(t),t0定义在概率空间 (,F,P)上，
0 t 0 t 1 t 2 t n t ,
令 t k t k t k 1 ( 1 k n ) , m 1 k a x n t k ,
若随机变量序列
n
X (tk 1 )(W (tk) W (tk 1 )),n 1 ,2 ,3
(4)
k 1
均方收敛于唯一极限，则称
f ( t , x ) f ( t , y ) g ( t , x ) g ( t , y ) L 2 x y , x R , 且有E y0 2 ， 则方程 (6)存在唯一解且E y(t)2 。
定义 2.1 (强收敛性) 若存在常数 C 0(与 h 独立)， 0 ，使得
E (y ( tn ) y n ) C h p ,h ( 0 ,) ,
设 是正整数，
利用随机
Taylor展开式和Itó公式，可以得到：
y ( t n 1 ) y ( t n ) I 0 f ( y ( t n ) ) I 1 g ( y ( t n ) ) I 1 1 L 1 g ( y ( t n ) ) I 0 0 L 0 f ( y ( t n ) ) R ,( 1 1 ) 其中R 是余项，算子 L 0 和 L 1 分别为
几种随机微分方程数值方法与数值模拟
几种随机微分方程数值方法与数值模拟作者：周迎春来源：《黑龙江教育·理论与实践》2016年第10期摘要：近几年来，随机微分方程在工程控制、系统科学以及生态学中的应用越来越广泛，因而，对该方程本身和方程解性态等课题的研究就显得尤为重要。
文章通过建立分裂步θ数值法以求解随机微分方程，并分析了其均方稳定性和收敛性，同时还实施了数值模拟实验，以期能够得到随机微分方程有效的数值方法。
关键词：随机微分方程（SDE）；数值方法；数值模拟试验微分方程的数值解一直是一个内容丰富、多彩的研究领域。
目前，对于常微分方程等确定性系统的数值解已经步入了更加深入研究阶段，还出现了工具箱、软件包等数值求解工具。
常微分方程的数值解能够为变化时的系统变化与发展情况、不同初始点与系统解的关联等问题的分析提供参考。
从实际情况来看，因为数学模型是物理现象的主要表现，随着物理世界的发展，数学模型逐渐变得复杂化、精密化，在数学模型中，随机因素的作用也越来越重要，这些模型主要表现为带有空间（时间）变量的偏微分方程或随机微分方程。
而对于随机微分方程，若单纯从数值计算的角度来看，可将其看作在常微分方程中引入随机元素而得到。
尽管目前人们普遍热衷于利用随机微分方程构建数学模型，但由于与随机因素相伴的复杂性，若缺乏有效的数值计算工具和方法，仅仅靠模型并不能解决实际问题。
一、与随机微分方程有关的基本概念下面就对取不同θ、λ值时，根据Matlab作图法，来对稳定区域进行确定和讨论。
当λ固定，但θ取不同值时，可以观察到不管θ、λ值如何变化，图像显示分裂步平稳θ法的均方稳定区域均含有线性试验方程平凡解其对应的所有均方渐进稳定区域，因而该方法始终都是A 稳定的。
当θ固定，但λ取不同值时，可以同样观察到不管θ、λ值如何变化，图像显示分裂步平稳θ法的均方稳定区域均含有线性试验方程平凡解其对应的所有均方渐进稳定区域，故而该方法始终都是A稳定的。
四、结论随机微分方程出现于20世纪，在一个世纪内，其相关理论的发展速度明显加快，在实际生活中均有应用。
三类随机系统广义概率密度演化方程的解析解
三类随机系统广义概率密度演化方程的解析解随机系统广义概率密度演化方程是研究随机过程的重要数学工具之一。
它描述了随机过程中概率密度函数的演化规律，可以用于分析各种自然界和社会领域中的随机现象。
一般来说，随机系统广义概率密度演化方程包括两个部分：一个是确定性部分，描述随机过程的演化规律；另一个是随机部分，考虑到随机因素对随机过程的影响。
下面我们来分别介绍三类常见的随机系统广义概率密度演化方程的解析解。
第一类是扩散方程。
扩散方程描述的是具有扩散性质的随机过程，如布朗运动。
它的一般形式可以写成以下形式：∂P(x, t)/∂t = D∂²P(x, t)/∂x²其中，P(x,t)是随机过程的概率密度函数，t是时间，x是空间。
D是扩散系数，表示扩散过程的强度。
扩散方程可以通过分离变量法得到解析解。
具体做法是将P(x, t)假设为一个可以分离变量的形式：P(x, t) = X(x)T(t)将上述假设代入扩散方程，可以得到两个独立的常微分方程：∂T(t)/∂t = -λT(t)/D (1)∂²X(x)/∂x² = -λX(x) (2)其中，λ是常数。
对于方程(1)，通过求解常微分方程，可以得到解析解：T(t) = exp(-λt/D)对于方程(2)，也可以得到解析解，形式为：X(x) = Aexp(√λx) + Bexp(-√λx)其中，A和B是常数。
将T(t)和X(x)代回，可以得到扩散方程的解析解：P(x, t) = (Aexp(√λx) + Bexp(-√λx))exp(-λt/D)通过确定边界条件和初始条件，可以确定A、B和λ的值，并得到特定问题的解析解。
第二类是波动方程。
波动方程描述的是具有波动性质的随机过程，如波动方程和传热方程。
它的一般形式可以写成以下形式：∂²P(x, t)/∂t² = v²∂²P(x, t)/∂x²其中，P(x, t)是随机过程的概率密度函数，t是时间，x是空间。
eular-maruyama数值法
eular-maruyama数值法Euler-Maruyama数值法是一种非参数积分方法，用于数值求解常微分方程。
它采用了一种特殊的梯度下降策略，可以解决具有随机性的常微分方程系统。
它使用一种称为欧拉积分的算法来解决此类问题，并使用特殊的Maruyama抽样技术来表示不确定性和随机性。
Euler-Maruyama的基本思想是对微分方程进行离散化，使用欧拉积分迭代性地求解。
该算法使用前向差分格式，以用于解决具有离散时间步长的微分方程系统。
它将问题分解为多个子问题，并逐步求解。
首先，使用欧拉积分算法来估计初始状态的演变，然后，依次评估每个状态的演变情况。
每一步使用Maruyama抗差法，基于当前的状态，生成一组新的参数，来进行抽样，来表示不确定性或随机性扰动。
这些参数代表着当前状态的下一步演变。
最后，使用这些参数，结合欧拉积分的估计，更新位置（或重要变量）的近似值。
Euler-Maruyama数值方法的最终结果是可以给出系统函数及其导数，以及状态矢量在每个时间步的值。
大多数应用中，能够使用最简单的1维欧拉-Maruyama积分方法就能得到满意的结果。
通常，抗差法的选择取决于具体的数学模型。
目前，抗差法包括平均数抽样、概率边界抽样和原型分析抽样。
此外，抗差法可以应用于核方法以求解非线性欧拉方程组，从而消除叠加误差。
通过使用核方法，抗差法可以解决多项式椭圆微分方程组等复杂问题。
因此，欧拉-Maruyama数值法是一种非常有效且易于实施的算法，可用于数值解决多元常微分方程组中的随机偏微分方程组。
几种随机微分方程数值方法与数值模拟(李炜)
李 炜 姓名 黄樟灿 职称 教授 单位名称 理学院 姓名 单位名称 硕士 学科专业名称 职称 邮编 应用数学 邮编 学位 博士 430070
申请学位级别
论文提交日期 2006 年 10 月 论文答辩日期 2006 年 11 月 学位授予单位 武汉理工大学 学位授予日期 答辩委员会主席 评阅人
2006 年 11 月
研究生签名：_____________日期：_________
关于论文使用授权的说明
本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权保 留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。
(保密的论文在解密后应遵守此规定)
研究生签名： ______________导师签名： _________________日期： ____________
武汉理工大学硕士学位论文
摘 要
随机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动化等领域，然而在 很长一段时间里， 由于缺乏有效的求解随机系统的数值方法以及足够强大的计算 机计算能力，在实际问题中，以随机微分方程(组)为代表的描述物理现象的许多 复杂的数学模型或者被束之高阁，或者被迫通过忽略随机因素而简化，均不能得 到很好的应用。可喜的是近十年来，在随机微分方程数值解方面已取得了一些成 就，这意味着由某些随机微分方程描述的数学模型可以借助于计算机进行研究。 本文首先介绍了随机微分方程的背景知识及其理论解的重要性质。 其中通过 随机积分导出了 Ito 型和 Stratonovich 型两种重要形式的随机微分方程，并给出 了计算随机积分期望的相关引理；介绍了随机微分方程强解的存在唯一性定理， 对于线性随机微分方程， 给出了解的解析表达式； 推导了解的随机 Taylor 展开式。 由于随机系统的复杂性，一般情况很难得到方程理论解的解析表达式。这样 一来，数值方法的构造显得尤为重要。现在对随机微分方程数值解的研究还处在 初级阶段。 为了构造有效的数值方法， 首先要考虑到数值方法的收敛性和稳定性。 本文介绍了随机微分方程理论解的随机渐进稳定性和均方(MS)稳定性， 同时介绍 了数值解的 MS-稳定性和 T-稳定性。 在主体部分， 本文分别通过直接截断随机 Taylor 展开式和比较理论解与随机 Runge-Kutta 格式的 Taylor 展开式的方法分别得到了数值求解随机微分方程的 Taylor 方法和 Runge-Kutta 方法，并对具体方法进行了 MS-稳定性分析，对实际 算例进行了数值模拟。 其中显式 Euler-Mayaruma 方法和 Milstein 方法是求解 Ito 型随机微分方程的 基本方法。本文在此基础上介绍了相应的半隐式 Euler-Mayaruma 方法、Milstein 方法和隐式 Euler-Taylor 方法、Milstein 方法，并通过截断随机 Taylor 展开式的 方式推导了 1.5 阶 Taylor 方法。 在推导具体的 Runge-Kutta 方法时，本文首先介绍了 Runge-Kutta 方法在常 微分方程中的应用，形式上类比得到了随机 Runge-Kutta 方法。通过应用有根树 理论简化了 Runge-Kutta 格式的 Taylor 展开式，应用阶条件构造了 3 级显式(M2) 和 3 级半隐式(SIM1)两个具体的 Runge-Kutta 格式。 稳定性分析表明各种数值方法的隐式格式稳定性优于相应的显式格式和半 隐式格式。数值模拟表明新格式 M2 和 SIM1 与经典的 Runge-Kutta 格式(如 4 级 显式(M3)和 2 级对角隐式(DIM1))一样具有较高的数值精度。 关键词： 随机微分方程；收敛性；稳定性；Taylor 方法；Runge-Kutta 方法
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f , g 均为 [ t 0 , T ]上的Borel可测函数，分别被称为漂移系数和扩散
系数。
方程(6)的积分形式为：
y( t ) y( t0 ) f ( s, y( s ))ds g( s , y( s ))dW ( s ),
t0 t0
t
t
(7)
其中的随机积分为Itó 型随机积分。 若将Itó 型随机积分替换为Stratonovich型随机积分，则(7)式 变为 t t y( t ) y( t 0 ) f ( s , y( s ))ds g( s , y( s )) dW ( s ), (8)
注：
1）布朗运动是处处连续的，并且它是处处是不可微的。直观 上来看，这意味着它的运动轨迹相当曲折。
W N (0, t ) ，即W t N (0,1), 2）对于标准布朗运动， 若记随机变量 N (0,1), 则有 W t . 形式上看，当 t 0时，如同普通微积分中的情形，有： dW dt , 由于布朗运动是处处不可微的，此处的 dW只能视为一种简单记 法。
0 t0 t1 t 2 t n t ,
令 t k t k t k 1 (1 k n), max t k ,
1 k n
若随机变量序列
X ( tk 1 )(W ( t k ) W ( t k 1 )), n 1, 2, 3
1 g f ( t , y ( t )) f ( t , y ( t )) ( t , y ( t )) g ( t , y ( t )), 2 y
在矢量情形下，令
1 m d gik f i ( t , y( t )) f i ( t , y( t )) ( t , y( t )) g jk ( t , y( t )), 2 j 1 k 1 y j
2.1 随机Taylor展开
方便起见，对如下的标量自治型随机微分方程进行讨论： (10) dy( t ) f ( y( t ))dt g( y( t ))dW ( t ),
随机微分方程数值解法
2013年11月18日
随机微分方程数值解法
1.随机微分方程概述
1.1 布朗运动介绍
1.2 随机积分 1.3 两种形式的随机微分方程
2.随机微分方程数值方法介绍
2.1 随机Taylor展开 2.1 Euler方法 2.2 Milstein方法
3. 数值试验
3.1 精度数值试验 3.2 稳定性数值试验
定理2.1 (解的存在唯一性定理）若 f , g 满足 (i) (线性增长条件）存在正常数 L1 使得
f ( t , x ) g( t , x ) L1 (1 x ) , x R,
2
2
2
(ii) (Lipschitz条件） 存在正常数 L2使得
f ( t , x ) f ( t , y ) g ( t , x ) g ( t , y ) L2 x y , x R,
0
若取区间[ t k 1 , t k ] 的中点 ( t k 1 t k ) / 2 时，就得到 Stratonovich型积分，记为
t
0
X ( t ) dW ( t ) 。
1.3 两种形式的随机微分方程
随机微分方程亦分为Itó 型随机微分方程和Stratonovich型
随机微分方程。目前研究的较多的Itó 型随机微分方程的一般形 式如下：
布朗运动的模拟
以下对一维的布朗运动进行随机模拟。一维的布朗运动可以 看做质点在直线上作简单随机游动，则W ( t )表示质点在时刻t 时 在直线上的位置。利用Matlab模拟布朗运动的程序代码如下： %布朗运动的模拟 randn('state',100) % 设置随机数发生器的状态 T=1；N=500；dt=T/N； dW=zeros(1,N); % 布朗增量存放位置 W=zeros(1,N)； % 预分配，提高效率 dW(1)=sqrt(dt)*randn； % 循环前的初始化 W(1)=dW(1)； %Matlab中数组下标从1开始，故 W(0)=0不 允许 for j=2:N dW(j)=sqrt(dt)*randn；
其中 i 1,, m . 则方程（6）可以转化为Stratonovich性随机微 分 方程如下： dy( t ) f ( t , y( t ))dt g ( t , y( t )) dW ( t ).
注：1) 大部分随机微分方程的解析解是无法获得的，可以求得解 析解的随机微分方程多为线性随机微分方程。 2) 有些随机微分方程的解析解虽然可以求到，但是形式很复 杂，处理起来很不方便。 3) 在实际应用中，实用的方法是在计算机上进行数值求解， 即不直接求出 y ( t ) 的解析解，而是在解所存在的区间上，求得一 系列点 xn ( n 1,2,) 上的近似值。
1.随机微分方程概述
1.1 布朗运动介绍
布朗运动是历史上最早被认真研究过的随机过程。1827 年， 英国生物学家布朗(Robert Brown)首先观察和研究了悬浮在液 体中的细小花粉微粒受到水分子连续撞击形成的运动情况，布 朗运动也因此而得名。1905 年爱因斯坦(Einstein)对它做出了合 理的物理解释并求出了微粒的转移密度，1918 年维纳(Norbert Wiener) 在数学上严格地定义了布朗运动 (因此它有时也称为维 纳过程)。现在布朗运动已经成为了描述随机现象的基石。
2.随机微分方程数值方法介绍
目前随机微分方程的数值求解方法有Euler方法、Milstein方
法 、Runge-Kutta方法等。Runge-Kutta方法的复杂程度比Euler 方法和Milstein方法的程度要高。在实际应用中，一般情况下用 Euler方法和Milstein方法来对模型进行数值模拟。由于Itó 型随机 微分方程与Stratonovich型随机微分方程是可以相互相互转化的， 以下介绍求解Itó 型随机微分方程(6)的Euler方法和Milstein方法。 首先给出随机微分方程解的存在唯一性定理以及数值方法强 收敛与弱收敛的定义如下：
dy( t ) f ( t , y( t ))dt g( t , y( t ))dW ( t ),
其中
(6)
y( t 0 ) y0 , t [ t 0 , T ],W ( t ) (W1 ( t ),W2 ( t ), ,Wd ( t )) ,
E y0
2
, f : R m [t0 , T ] R m , g : R m [t 0 , T ] R md ,
W(j) = W(j-1) + dW(j); end plot([0:dt:T],[0,W],’r-’) %绘图 xlabel(’t’,’FontSize’,16) ylabel(’W(t)’,’FontSize’,16,’Rotation’,0)
1
0.5
W(t)
0
-0.500.1源自0.20.30.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
图1 布朗运动
还可以如下进行模拟：
randn('state',100) T=1；N=500；dt=T/N； dW=sqrt(dt)*randn(1,N)； %向量化,提高运算效率 W=cumsum(dW); %累加和计算命令， W(j)=dW(1)+dW(2)+…+dW(j)；j=1,…N
{ Ft , t 0} 为11 F的上升滤子（即 Ft F , 且对 0 t1 t 2 , Ft1 Ft2 )
W ( s )关于 Ft 可测，且满足 ，对任意 0 s t ，
E(W ( t ) | Fs ) W ( s ) a . s .,
E(W ( t ) W ( s ) | Fs ) 0 a . s., 此外，对随机过程{ X ( t ), t 0}, T 0, 引入以下三个条件：
plot([0:dt:T],[0,W],’r-’) %绘图 xlabel(’t’,’FontSize’,16) ylabel(’W(t)’,’FontSize’,16,’Rotation’,0)
1.2 随机积分
随机积分分为Itó 型随机积分和Stratonovich型随机积分。以
下假设Wiener过程 W ( t ), t 0 定义在概率空间 ( , F , P )上，
k 1
n
(4)
均方收敛于唯一极限，则称
lim X ( t k 1 )(W ( t k ) W ( t k 1 ))
n k 1 n
t
0
X ( t )dW ( t )
(5)
为 { X ( t ), t 0} 关于 {W ( t ), t 0}在[0, t ] 上的Itó 积分。上述定 在[t k 1 , t k ] 中任取 tk 义中，作和式（4）时不能像通常积分那样， ，否则可能导致均方极限不存在。（ 5）中取的是的 [ t k 1 , t k ]的左 t 端点 t k 1 ，得到Itó 型随机积分 X ( t )dW ( t ) 。
S (t )
物理上理解，布朗运动的起因是液体的所有分子都处在运动 中，而且相互碰撞，从而微粒周围有大量的分子以微小但起伏不 定的力共同作用于它，使它被迫作不规则运动。如果用 X t 表示 微粒在时刻 t 所处位置的一个坐标，由于液体是均匀的，自然设 想从时刻 t1 到 t 2的位移 X t2 X t1 是许多几乎完全独立的小位移 之和，因而根据中心极限定理，可以合理的假定 X t2 X t1 服从 正态分布，而且对于不同时间段的位移应该是相互独立的。因此 ，布朗运动有如下定义：
X ( t ) 关于 [0, T ] 可测； t 0, X ( t ) Ft , 即 X ( t )为 Ft 可测的；