071高数BCD试题
2007年高考数学卷(全国卷Ⅰ.理)含详解
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513-（2）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -=（5）设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） AB ．2C．D ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件（10）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ） A ．4B．C．D ．8（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷注意事项：AB1B1A1D1C CD1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答） （14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ． （16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． （18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．（19）（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB =（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（20）（本小题满分12分） 设函数()e e xxf x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． （21）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．（22）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D （11）C （12）A二、填空题：（13）36（14）3()xx ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 232A π⎛⎫+<⎪⎝⎭．由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC∥， 故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =AO =1SO =，SD =．SAB △的面积211122S AB SA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =， 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α===所以，直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C -，，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 12OG ⎫=⎪⎪⎝⎭，，1SE ⎫=⎪⎪⎝⎭，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =．22cos 11OG DS OG DSα==sin β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e xxf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+2221222121)(1)()432k BD x x k x x x x k +⎡=-=++-=⎣+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+ 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a+=．所以，数列{n a 是首项为21的等比数列，1)n n a =，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2<，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤， 也即430k k b a -<． 当1n k =+时，13423k k k b b b ++-=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-（2）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2【解析】1i (1)1i 111i 22222a a i a a i +-++-+=+=++，∵1i1i 2a +++是实数，∴102a -=，解得a =1．选B ．（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向【解析】由a ·b =0，得a 与b 垂直，选A ．（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(4,0)，则双曲线方程为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221106x y -=D ．221610x y -=【解析】由2ca=及焦点是(40)-，，(4,0)，得4c =，2a =，24a =，∴22212b c a =-=，∴双曲线方程为221412x y -=．故选A ．（5）设a b ∈R ，，集合{}1{0}b a b a b a+=，，，，，则b a -=（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2【解析】由{}1{0}b a b a b a+=，，，，知0a b +=或0a =．若0a =则ba无意义，故只有0a b +=，1b =（若1ba=，这与0a b +=矛盾），∴1a =-，2b a -=．故选C ．（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ）A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，【解析】逐一检查，选C ．（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ D ）A ．15B ．25C ．35D ．45111||||5AD A B =1A 所成角的余弦值为45，选D ．（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件【解析】若“()f x ，()g x 均为偶函数”则()()f x f x -=，()()g x g x -=当然有()()h x h x -=；反之则未必，故选B ．（10）21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A 1D 1 C 1B 1AD CBA （综合法）（坐标法）A 1C 1 B 1AD CB第（7）题D 1A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】21()n x x-的展开式的通项公式为(22)()(23)1r n rr r n r r n n T C x x C x---+==，若常数项为15，令23015rnn r C -=⎧⎪⎨=⎪⎩，64n r =⎧⎨=⎩，选D ． （11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ C）（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．2()33ππ，B ．()62ππ，C ．(0)3π，D ．()66ππ-，()0x >，则第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 36 种．（用数字作答） 【解析】填36．从班委会5名成员中选出3名，共35A 种；其中甲、乙之一担任文娱委员的1224A A 种，则不同的选法共有35A -1224A A =36种．（14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．【解析】()f x =3()xx ∈R ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比AC1A A 0（16）题。
2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷答案解析
，故
f
x
1 sin a cos a
sin
x
cos
x
22.
解:
f
x
x 1 3 x
3
3
x
x
2
1
2 3
x
1
2
2
x
1
1
1
1 x
1
，因为
2
1
1
x
n0
xn,
x
1,1，所以展开式为：
f
x
1
1
1 x
1
1
n0
x
1n
2n
，因为
2
1
x 1 2
1
x 1,3，故
f
x
1
n0
x 1n
2n
，收敛域为：
（2） a 0
（1）当 0 a 1时，
S S1 S2
a (ax x2)dx
0
1(x2 ax)dx a3 a 1
a
3 23
令 S(a) a2 1 0 ，求得 a 2 ，又 S(a) 2a ， S( 2 )
2
2
2
S( 2 ) 2 2 是极小值，即最小值
2
6
2 0 ，知
为任意常数）
18. 解:原式 4 e2x sec2 x 2 tan x dx 4 e2x sec2 xdx 2 4 e2x tan xdx
0
0
0
பைடு நூலகம்
4 e2xd (tan x) 2 4 e2x tan xdx e2x tan x 4 2 4 e2x tan xdx 2 4 e2x tan xdx
2007-2017全国1卷文科数学立体几何配答案汇总
2007 18．（本小题满分12分）如图，AB C D ，，，为空间四点．在ABC △中，2AB AC BC ===，ADB 以AB 为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ； （Ⅱ）当ADB △转动时，是否总有AB CD ⊥？证明你的结论．18．解：（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE CE ，，因为ADB 是等边三角形，所以DE AB ⊥．当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB 平面ABC AB =，所以DE ⊥平面ABC ，可知DE CE ⊥由已知可得1DE EC ==，在DEC Rt △中，2CD =．（Ⅱ）当ADB △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥． 证明：（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥．（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知A B D E ⊥．又因AC BC =，所以AB CE ⊥．又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥． 综上所述，总有AB CD ⊥． 200818、（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）。
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG 。
DBAEDB CA正视图18.【试题解析】(1)如图（２）所求多面体的体积()311284446222323V V V cm ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭正长方体三棱锥 （３）证明：如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，连接'AD ，则'AD ∥'BC 因为Ｅ，Ｇ分别为''',AA A D 中点，所以'AD ∥EG ，从而EG ∥'BC ，又'B C E F G ⊄平面, 所以'BC∥平面ＥＦＧ； 2009(19)(本小题满分12分)如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。
2007年考研高数一真题(附答案)
2007年考研数学一真题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当0x +→( )A. 1-B.C. 1D.1-(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 ( )A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F -- (4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( ) A.若12u u >，则{n u }必收敛 B. 若12u u >，则{n u }必发散 C. 若12u u <，则{n u }必收敛 D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 于B ( )(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 ( )（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）31211x e dx x⎰＝_______. （12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y xz f x y =，则zx∂∂＝______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32x y y y e -+=的通解为y ＝____________. (14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+⎰⎰＝_____________.(15)设矩阵A ＝0100001000010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为________. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________. 三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.222222(,)2{(,)4,0}f x y x y x y D x y x y y =+-=+≤≥(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。
07高数下(含答案)2022
2007（2）工科高数考试试卷一、填空题（每小题3分，共计15分）(,)(0,0)22211lim______.2sin ________.3ln()________.4''6'100________.5()2[,)10()0()x y xx y xyz z y x y x yx y dxdy y y y f x x f x xx f x πππππ→+≤=∂=++=∂∂+-+=---≤<⎧=⎨≤<⎩⎰⎰、、设则、二重积分的符号为、微分方程的通解为、设为周期为的周期函数，它在上的表达式为若的傅立叶级()(0)()________.2s x s s π+=数的和函数为，则二、选择题（每小题3分，共计15分）11011110011110001(,)()(,)()(,)()(,)()(,)x x x y y dx f x y dy A dy f x y dxB dy f x y dxC dy f x y dxD dy f x y dx-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰、二次积分等于（ ）2221132222000212133202:1,0,()4sin cos ()sin ()sin cos ()sin cos x y z z I zdVA d d r drB d d r drC d d r drD d d r drππππππππθϕϕϕθϕϕθϕϕϕθϕϕϕΩΩ++≤≥=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰、设则三重积分等于（ ）1131131()(1)()(1)sin11()(1)()(1)(sin)6nnn n nnnn n n A B n n C D nπ∞∞==∞∞==--+--∑∑∑∑、下列数项级数中为条件收敛的级数是（ ）4(,)(,)()()()()()()()()LD D DDD L L P x y Q x y D Pdx Q dy PQ QP A dxdyB dxdyyx yx PQ QP C dxdy D dxdyxy xy+=∂∂∂∂--∂∂∂∂∂∂∂∂--∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 、设有界闭区域由分段光滑曲线所围成，取正向，函数，在上具有一阶连续偏导数，则（ ）12125()'()()0()''()'()0()''()'()()()''()'()0y y y y A y p x y q x B y p x y q x y C y p x y q x y f x D y p x y q x +++=++=++=++=、下列方程中，设，是它的解，可以推知也是它的解的方程是（ ）三、求解下列问题（每小题7分，共计49分）1322()().i j k i j k αβαβααβ=--=+-⋅-⨯、已知向量和，求2222(,)42008.z z x y x y z z dz =++-=、设函数由方程所确定，求2233352(,1,)24z x y =----、已知小山的高度为，那么在处登山，最陡的方向是多少？2114.yxdx edy -⎰⎰、计算二次积分22225(0)(0).x y z a a z h h a zdS ∑∑++=>=<<⎰⎰、设为球面被平面截得的顶部，计算211(2)6(1)21n nn x n +∞=--+∑、求级数的收敛域。
高等数学题目汇总有难度
函数和极限部分1、 求下列复合函数的表达式： 1.1、已知函数()f x =设(){[()]}()n f x f f f x n f =个求：()n f x =1.2、设()1xf x x =-，试证明：1{[()]},(0,1)1()f f f x x f x x f x ⎡⎤=≠=-⎢⎥⎣⎦并求 2、设lim n n x A →∞=，试证明：12limnn x x x A n→∞++=3、证明：若0(1,2,)k p k >=且12lim0,lim nn n n np a a p p p →∞→∞==+++，那么：121112limn n n n np a p a p a a p p p -→∞+++=+++4、证明是数列：{}n x 满足20()n n x xn --→→∞。
证明：1lim 0n n n x x n-→∞-=5、证明下列数列极限： 5.1：1n =5.2：3lim 0,(1)nn n q q →∞=<5.3：2ln lim0n nn →∞=6、设lim n n a a →∞=，证明：当122,lim 12nn n n a a na x x a n→∞+++==+++时7、设数列1cos (1)nn k kx k k ==-∑收敛。
8、设{}n a 是一个数列，若：12lim nna a a a n→∞+++=，则lim0nn a n→∞=9、求下列极限:9.1、211cos 1n n ⎫-⎪= 9.2、20(1cos )1lim(1)sin 2x x x x e x →-=- 9.3、0arctan lim1ln(1sin )x xx →=+9.4、设有限数,,a b A 均不为零，证明：()limx a f x bA x b→-=-的充要条件是()lim f x b b x a e e Ae x a →-=-9.5、23cos cos cos cos 12222n n x x xxx =→ 9.6、22351721224162nnn x +=→ 9.7、312nn i x i ==→++ 9.8、111(1)(2)4nn i x i i i==→++∑9.9、lim nn →∞=⎝⎭9.10、设11212,,,0(2)(),x xxxn n a a a a a a n f x n ⎡⎤+++>≥=⎢⎥⎣⎦且 2lim ()n x f x a →=求9.11、135(21)0246(2)n n x n ⋅⋅-=→⋅⋅ 9.12、22(1)2n n k n x +==→∑9.13、()()111112nk kk k n k x n n --=⎡⎤=++-→⎢⎥⎣⎦∑9.14、21(!)1nn x n =→ 9.15、2220112lim 12(cos )sin x x x x e x→+=-- 9.16、03x x →=- 9.17、1lim 12n n e n e n →∞⎡⎤⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 9.17、()()()1lim nf a f a n f a n e f a '+→∞⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（其中()f x a 在可导，且()0f a '≠） 9.18、111lim ln 212n n n n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦9.19、2)()4n n n e→∞+=9.20、2)(21)4limn n e →∞-= 9.21、1lim n n e→∞=9.22、2sin sin sin2lim 12n n n n n n n n n n n n ππππ→∞⎡⎤⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦9.23、()5!02n n nn x n =→9.24、lim 3nn →∞⎛= ⎝⎭9.25、120lim x e +-→= 9.26、2221lim 122n n n nn n n n n nn →∞⎡⎤+++=⎢⎥++++++⎣⎦9.27、21lim 1n n →∞⎡⎤-=-- 9.28、2201limsin 26xt x x e dtx x →-=-⎰ 9.29、lim 0x →+∞=10、若数列n x 收敛，且0n x >，则2lim n nn n x x →∞=11、若0n x >且1limn n nx x +→∞存在，则1lim n n n n xx +→∞=12、若lim ,lim n n n n x a y b →∞→∞==，证明：1211limn n n n x y x y x y ab n-→∞+++=13、已知：0(1,2,)i a i n >=，试计算1111lim n n p p p p i i n i i a a -→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑14、设()f x '在[0,)+∞上连续且：[]lim ()()0x f x f x →+∞'+=，证明：lim ()0x f x →+∞=（提示：构造函数：()()xF x e f x =）连续和微分部分1、 设2()(2,3,4,)n n f x x x x n =+++=。
高数考试题及答案
高数考试题及答案第一题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求函数f(x)的导函数f'(x)。
解析：导函数f'(x)表示函数f(x)在某一点的斜率或变化率。
根据导函数定义，可以通过对函数f(x)进行求导来得到导函数f'(x)。
对函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1进行求导，应用幂函数求导法则得到：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4答案：函数f(x)的导函数f'(x)为6x^2 - 6x + 4。
第二题：已知函数f(x) = sin(2x)，求函数f(x)的极值点及极值。
解析：函数的极值点即导函数为零的点，可以通过求导并解方程来找到极值点。
对函数f(x) = sin(2x)进行求导得到：f'(x) = 2cos(2x)将f'(x) = 0带入方程2cos(2x) = 0，解得cos(2x) = 0。
由cos(2x)的周期性可知，cos(2x) = 0的解为：2x = π/2 + kπ，其中k为整数x = (π/4 + kπ/2)，其中k为整数接下来对找到的极值点进行二阶导数测试，即求二阶导数f''(x)：f''(x) = -4sin(2x)当x = π/4 + kπ/2时，代入二阶导数f''(x)进行判断，得到：f''(π/4 + kπ/2) = -4sin(2(π/4 + kπ/2))由sin函数的性质可知，sin(2(π/4 + kπ/2)) = sin(π/2 + kπ) = 1，故：f''(π/4 + kπ/2) = -4由于二阶导数f''(x)的值恒为负数，说明此时的极值点为极大值点。
综上所述，函数f(x) = sin(2x)的极值点为x = (π/4 + kπ/2)，其中k为整数，极大值为f(π/4 + kπ/2) = 1。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅰ.文)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p n n -=-=，，，，一、选择题（1）设{}210S x x =+>，{}350T x x =-<，则S T =（ ）Ａ．∅Ｂ．12x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭Ｃ．53x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭Ｄ．1523x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）α是第四象限角，12cos 13α=，sin α=（ ） Ａ．513 Ｂ．513- Ｃ．512 Ｄ．512-（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） Ａ．垂直 Ｂ．不垂直也不平行 Ｃ．平行且同向 Ｄ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ）Ａ．221412x y -= Ｂ．221124x y -= Ｃ．221106x y -= Ｄ．221610x y -= （5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ） Ａ．36种 Ｂ．48种Ｃ．96种Ｄ．192种（6）下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ）Ａ．(02)， Ｂ．(20)-， Ｃ．(02)-， Ｄ．(20)，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =， 则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ） Ａ．15 Ｂ．25 Ｃ．35 Ｄ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）Ｂ．2Ｃ． Ｄ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） Ａ．充要条件 Ｂ．充分而不必要的条件Ｃ．必要而不充分的条件Ｄ．既不充分也不必要的条件（10）函数22cos y x =的一个单调增区间是（ ）Ａ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，Ｂ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｃ．π3π44⎛⎫ ⎪⎝⎭， Ｄ．ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，（11）曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23（12）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过Fx 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ） Ａ．4Ｂ．Ｃ．Ｄ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g ～501.5g 之间的概率约为_____．（14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x =____________．（15）正四棱锥S ABCD -，点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________．（16）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为______． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =，5c =，求b ．1A1D1C1BD BCA（18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．（19）（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=︒，2AB =，BC =SA SB == （Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小．（20）（本小题满分12分）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．（21）（本小题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．（22）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．S CDAB2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修＋选修1）参考答案一、选择题1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｄ 9．Ｂ 10．Ｄ 11．Ａ 12．Ｃ 二、填空题13．0.25 14．3()xx ∈R 15．4π3 16．13三、解答题17．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）根据余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-272545=+-7=．所以，b =18．解：（Ⅰ）记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．2()(10.6)0.064P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=．（Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”． 0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=．01()()P B P B B =+ 01()()P B P B =+0.2160.432=+ 0.648=．19．解法一：（1）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =， 又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥， 依题设AD BC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =11SD ==又sin 452AO AB ==DE BC ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面SBC，连结SE ．ESD ∠为直线SD 与平面SBC 所成的角．sin11ED AO ESD SD SD ====∠ 所以，直线SD 与平面SBC 所成的角为arcsin 11．解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ． 因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥．如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，因为2AO BO AB ===1SO ==，又BC =0)A ，， (0B ，(0C -，． (001)S ，，，(21)SA =-，，， (0220)CB =，，，0SA CB =（Ⅱ）(2SD SA AD SA CB =+=-=(2OA =，OA 与SD 的夹角记为α，SD 与平面ABC 所成的角记为β，因为OA 为平面SBC 的法向量，所以α与β互余． 22cos 11OA SD OA SDα==，sin 11β=，所以，直线SD 与平面SBC 所成的角为arcsin 11． 20．解：D Ay DBCASOE（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=． 即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--． 当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，．21．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．（Ⅱ）1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++，①3252321223222n n n n n S ----=+++++，②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-，221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭1111212221212n n n ----=+⨯-- 12362n n -+=-．。
2007级高等数学(1-1)试题参考答案及评分标准
重庆大学 高等数学I-I （理工综合班）（ 课程试卷2006 ~2007 学年 第 一 学期开课学院： 数理学院 考试日期： 2008年1月9日考试方式：考试时间： 120 分钟注：1.大标题用四号宋体、小标题及正文用小四号宋体；2.按A4纸缩小打印一．每小题6分，共60分1．求极限3tan sin limx x x x -→解：3sin sin limxx x x -→613cos 1limsin lim23=-=-=→→xx xxx x x2． 设000,2sin ,,)(2>=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=x x x x xb x a x f 在0=x处连续，求常数ba ,的值。
解： a x a x =+-→)(lim 2，22sin lim=+→xxx ，b f =)0(，所以当2,2==b a 时，)(x f 在0=x 处连续。
3．设xx yarctan)1(2+=，求'y ，''y解：x y 2'=2211)1(arctan xx x +⋅++x 2=1arctan +x''y 2=212arctan xx x ++4．证明当1>x 时，exex>证： ex e x f x-=)(，)1(0)('>>-=x e e x f x，所以当1>x 时，)(x f 单调增加，从而 0)1()(=>f x f故当 1>x 时，ex ex>5．计算定积分 dxx x ⎰-π3sinsin解：dx x x ⎰-π03sinsin =-=⎰dx x x π2)sin1(sin dx x x cos sin 0⎰π-=⎰xdx x cos sin 2πxdx x cos sin 2⎰ππ-=⎰x d x sin sin 2πx d x sin sin 2⎰ππ2023s i n 32πx=34s i n 32223=-ππx6．已知xx ln 是函数)(x f 的一个原函数，求dxx xf)('⎰解：2'ln 1ln )(x x x x x f -=⎪⎭⎫⎝⎛=， ⎰⎰⎰-==dx x f x xf x xdfdx x xf)()()()('CxxC xx xx +-=+--=ln 21ln ln 17．求不定积分：dxx ⎰arctan解：dxxx x x dx x ⎰⎰+-=21arctan arctanCx x x ++-=)1l n (21a r c t a n 2命题人：组题人：审题人：命题时间：学院 专业 年级 学号 姓名封线密8．设0,,11)(<≥⎪⎩⎪⎨⎧+=x x e xx f x求⎰-2)1(dxx f解：令1-=x t ，则1+=t x⎰-2)1(dx x f ⎰⎰⎰--++==111111)(dt t dt edt t f t2ln 11+-=-e9．设dt t tx x F x⎰+-=1)(，求)('x F解：dt ttx x F x⎰+-=1)(-+=⎰dt t x x11dtttx⎰+01=)('x F xxxx dt tx+-+++⎰1111)1ln(11x dtt x+=+=⎰10．设)(x y y=是由方程1=+yexy所确定的隐函数，求)0('y 。
2007-2011年高考数学试卷及答案(海南理)
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（海南卷)本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第II卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项:1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0。
5毫米的黑色中性（签字)笔或炭素笔书写，字体工整,笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁,不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式:样本数据，，,的标准差锥体体积公式其中为样本平均数其中为底面面积、为高柱体体积公式球的表面积、体积公式,其中为底面面积，为高其中为球的半径第I卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题，,则（）Ａ．，Ｂ．,Ｃ．, Ｄ．，【解析】是对的否定，故有：答案：C2．已知平面向量，则向量()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】答案:D3．函数在区间的简图是(）.答案：A4Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：D 5(）Ａ．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．Ｃ．2550 Ｄ．2652 【解析】由程序知， 答案：C6．已知抛物线的焦点为,点,在抛物线上， 且， 则有（ ）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．【解析】由抛物线定义， 即:．答案:C7．已知，,成等差数列，成等比数列, 则的最小值是( ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解析】 答案：D 8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出 的尺寸(单位:cm),可得这个几 何体的体积是（ ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解析】如图， 答案：B9．若，则的值为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ．Ｄ． 【解析】 答案：C10．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【解析】曲线在点处的切线斜率为,因此切线方程为则切线与坐标轴交点为所以： 答案：D分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ) Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ． 【解析】 答案:B12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱。
2007年高考数学考试真题含答案合辑一
2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致． 2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 4． 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式(1)122n n n ++++=34π3V R =222(1)(21)126n n n n +++++=其中R 表示球的半径22333(1)124n n n ++++=第I 卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ） A ．2()[0)f x x x =∈+∞，，B ．3()()f x x x =∈-∞+∞，， C ．()e ()x f x x =∈-∞+∞，， D ．1()(0)f x x x=∈+∞，， 2．设l m n ，，均为直线，其中m n ，在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若对任意x ∈R ，不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <-B ．1a ≤C ．1a <D ．1a ≥4．若a=，则a 等于（ ）AB．C．D．-5．若22{228}{lo g 1}xA xB x x -=∈<=∈>Z R ≤，，则()A B R ð的元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．函数()3sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象为C ， ①图象C 关于直线1112x =π对称； ②函数()f x 在区间5ππ⎛⎫-⎪1212⎝⎭，内是增函数； ③由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 以上三个论断中，正确论断的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．37．如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（ ） A1B1- C．1 D18．半径为1的球面上的四点A B C D ，，，是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（ ）A．arccos 3⎛- ⎝⎭B．arccos 3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1arccos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1arccos 4⎛⎫-⎪⎝⎭9．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(00)x ya b a b -=>>， 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ） AB第9题图C．2D．110．以()x ∅表示标准正态总体在区间()x -∞，内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布2()N μσ，，则概率()P ξμσ-<等于（ ）A ．()()μσμσ∅+-∅-B ．(1)(1)∅-∅-C ．1μσ-⎛⎫∅⎪⎝⎭D ．2()μσ∅+11．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．52007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第Ⅱ卷（非选择题 共95分）注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．12．若32nx ⎛+ ⎝的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．13．在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =（用，，a b c 表示）．14．如图，抛物线21y x =-+与x 轴的正半轴交于点A ， 将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为121n P P P - ，，，， 过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 121n Q Q Q - ，，，，从而得到1n -个直角三角形11Q OP △，212121n n n Q PP Q P P --- △，，△．当n →∞时，这些三角形 的面积之和的极限为 ．yx1Q 2Q1n Q +21y x =+1P 2P2n P - 1n P - O第14题图15．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）． ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期，1tan 1(cos 2)4αβα⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，a b ，且 a b m =．求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值． 17．（本小题满分14分）如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为 2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面 1111A B C D ，1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．（Ⅰ）求证：11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面． （Ⅱ）求证：平面11A ACC ⊥平面11B BDD ；（Ⅲ）求二面角1A BB C --的大小（用反三角函数值表示）． 18．（本小题满分14分）设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．ABCD1A1B1C 1D第17题图19．（本小题满分12分）如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ．（Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +求证：直线CD 的斜率为定值． 20．（本小题满分13分）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．的只数．（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）； （Ⅱ）求数学期望E ξ； （Ⅲ）求概率()P E ξξ≥．21．（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，因此，历年所交纳的储备金数目12a a ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+， ．以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式；（Ⅱ）求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．2x第19题图2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分． 1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｂ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｄ 10．Ｂ 11．Ｄ 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 12．713．111244++a b c 14．1315．①③④⑤三、解答题16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分． 解：因为β为π()cos 28f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期，故πβ=． 因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭a b ··． 故1cos tan 24m ααβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭·． 由于π04α<<，所以 222cos sin 2()2cos sin(22π)cos sin cos sin ααβαααααα++++=--22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα++==--1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m ααααα+⎛⎫==+=+ ⎪-⎝⎭·．17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．解法1（向量法）： 以D 为原点，以1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图，则有1111(200)(220)(020)(102)(112)(012)(002)A B C A B C D ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（Ⅰ）证明：1111(110)(220)(110)(220)AC AC D B DB =-=-==，，，，，，，，，，，∵． 111122AC AC DB D B ==，∴． AC ∴与11AC 平行，DB 与11DB 平行， 于是11AC 与AC 共面，11B D 与BD 共面． （Ⅱ）证明：1(002)(220)0DD AC =-= ，，，，··， (220)(220)0DB AC =-= ，，，，··， 1DD AC ⊥ ∴，DB AC ⊥．1DD 与DB 是平面11B BDD 内的两条相交直线．AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ．∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：111(102)(112)(012)AA BB CC =-=--=- ，，，，，，，，． 设111()x y z =，，n 为平面11A ABB 的法向量，11120AA x z =-+= n ·，111120BB x y z =--+= n ·．于是10y =，取11z =，则12x =，(201)=，，n ． 设222()x y z =，，m 为平面11B BCC 的法向量，122220BB x y z =--+= m ·，12220CC y z =-+= m ·．于是20x =，取21z =，则22y =，(021)=，，m ． 1cos 5==，m n m n m n ·．∴二面角1A BB C --的大小为1πarccos 5-．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ．1D D DA ⊥∴，1D D DC ⊥，平面1111A B C D ∥平面ABCD ．于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．设E F ，分别为DADC ，的中点，连结11EF A E C F ，，， 有111111A E D DC FD D DE DF ==，，，∥∥． 11A E C F ∴∥，于是11AC EF ∥．由1DE DF ==，得EF AC ∥，故11AC AC ∥，11AC 与AC 共面． 过点1B 作1B O ⊥平面ABCD 于点O ，则1111B O A E B O C F ， ∥∥，连结OE OF ，， 于是11OE B A ∥，11OF B C ∥，OE OF =∴． 1111B A A D ⊥∵，OE AD ⊥∴．1111B C C D ⊥∵，OF CD ⊥∴．所以点O 在BD 上，故11D B 与DB 共面．（Ⅱ）证明：1D D ⊥∵平面ABCD ，1D D AC ⊥∴， 又BD AC ⊥（正方形的对角线互相垂直），1D D 与BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线，AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ． （Ⅲ）解：∵直线DB 是直线1B B 在平面ABCD 上的射影，AC DB ⊥， 根据三垂线定理，有1AC B B ⊥．ABCD1A1B1C 1DMOE F过点A 在平面11ABB A 内作1AM BB ⊥于M ，连结MC MO ，， 则1B B ⊥平面AMC ， 于是11B B MC B B MO ⊥⊥，，所以，AMC ∠是二面角1A B B C --的一个平面角．根据勾股定理，有111A A C C B B =． 1OM B B ⊥∵，有11B O OB OM B B ==·BM =AM =CM = 2221cos 25AM CM AC AMC AM CM +-∠==-·，1πarccos 5AMC ∠=-，二面角1A BB C --的大小为1πarccos5-． 18．本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分． （Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x af x x x x'=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，， 于是22()10x F x x x x-'=-=>，， 列表如下：故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>．于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>．故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．解：（Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以222a a t +=．由于0t >，故有t = （1）由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知， 直线BC 的方程为1x yc t+=． 又因点A 在直线BC上，故有1a c t+=， 将（1）代入上式，得1a c +=，解得2c a =+（Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为1CD k ====-．所以直线CD 的斜率为定值．20．本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分． 解：（Ⅰ）ξ的分布列为：（Ⅱ）数学期望为2(162534)228E ξ=⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）所求的概率为5432115()(2)2828P E P ξξξ++++===≥≥．2x =21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥． （Ⅱ）11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得2121(1)(1)(1)n n n n n n T T r a T r a r a ---=++=++++=12121(1)(1)(1)n n n n a r a r a r a ---=+++++++ ，①在①式两端同乘1r +，得12121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n r T a r a r a r a r --+=++++++++②②-①，得121(1)[(1)(1)(1)]n n n n n rT a r d r r r a --=++++++++-1[(1)1](1)n n n dr r a r a r=+--++-． 即1122(1)nn a r d a r d d T r n r r r ++=+--．如果记12(1)nn a r d A r r +=+，12n a r d d B n r r+=--，则n n n T A B =+． 其中{}n A 是以12(1)a r dr r ++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以12a r d d r r +--为首项，dr-为公差的等差数列．2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第I 至第2页，第II 卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第II 卷时，必须用0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上．．．．．书写．在试题卷上作答无．．．．．．．．效．． 4．考试结束，监考员将试题和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么球的体积公式(1)122n n n ++++=34π3V R =222(1)(21)126n n n n +++++=其中R 表示球的半径22333(1)124n n n ++++=第I 卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若{}21A x x ==，{}2230B x x x =--=，则A B = （ ） Ａ．{}3Ｂ．{}1Ｃ．∅Ｄ．{}1-2．椭圆2241x y +=的离心率为（ ）Ｂ．34Ｄ．233．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21a =，33a =，则4S =（ ） Ａ．12 Ｂ．10 Ｃ．8 Ｄ．64．下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ）Ａ．2()f x x =，[0)x ∈+∞，Ｂ．3()()f x x x =∈-∞+∞，， Ｃ．()e ()xf x x =∈-∞+∞，，Ｄ．1()f x x=，(0)x ∈+∞，5．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为（ ）Ａ．2-或2Ｂ．12或32Ｃ．2或0 Ｄ．2-或0 6．设t ，m ，n 均为直线，其中m n ，在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 7．图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）Ａ．312y x =- (02)x ≤≤Ｂ．33122y x =-- (02)x ≤≤Ｃ．312y x =--(02)x ≤≤ Ｄ．11y x =--(02)x ≤≤8．设1a >，且2log (1)a m a =+，log (1)a n a =-，log (2)a p a =，则m n p ，，的大小关系为（ ） Ａ．n m p >>Ｂ．m p n >>Ｃ．m n p >>Ｄ．p m n >>9．如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（ ） Ａ．321Ｃ．1110．把边长为ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，折成直二面角后，在A B C D ，，，四点所在的球面上，B 与D 两点之间的球面距离为（ ）Ｃ．π Ｂ．π2 Ｄ．π311．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．3Ｄ．52007年普通高等学校招生全国统一考试（安微卷）数学（文科）第II 卷（非选择题共95分）第7题图注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置． 12．已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则024135()()a a a a a a ++++的值等于．13．在四面体O ABC -中，OA a = ，OB b = ，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =（用a b c ，，表示）14．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为． 15．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是（写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 解不等式(311)(sin 2)0x x --->．17．（本小题满分14分） 如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面1111A B C D ，1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．（Ⅰ）求证：11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面． （Ⅱ）求证：平面11A ACC ⊥平面11B BDD ；（Ⅲ）求二面角1A BB C --的大小（用反三角函数值表示） 18．（本小题满分14分）设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．ABCD1A1B1C 1D19．（本小题满分13分）在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔． （I ）求笼内恰好剩下．．．．1只果蝇的概率； （II ）求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率． 20．（本小题满分14分） 设函数232()cos 4sincos 43422x xf x x t t t t =--++-+，x ∈R ， 其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ． （I ）求()g t 的表达式；（II ）讨论()g t 在区间(11)-，内的单调性并求极值． 21．（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，因此，历年所交纳的储备金数目12a a ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+， ．以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式；（Ⅱ）求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文史）参考答案一、选择题：本题考查基本知识的基本运算．每小题5分，满分55分．1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｃ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ａ7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ｃ 11．Ｄ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 12．256-13．111244a b c ++ 14．31115．①②③三、解答题16．本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力．本小题满分10分．解：因为对任意x ∈R ，sin 20x -<，所以原不等式等价于3110x --<． 即311x -<，1311x -<-<，032x <<，故解为203x <<． 所以原不等式的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分． 解法1（向量法）： 以D 为原点，以1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图，则有1111(200)(220)(020)(102)(112)(012)(002)A B C A B C D ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（Ⅰ）证明：1111(110)(220)(110)(220)AC AC D B DB =-=-== ，，，，，，，，，，，∵． 111122AC AC DB D B == ，∴． AC ∴与11AC 平行，DB 与11DB 平行， 于是11AC 与AC 共面，11B D 与BD 共面． （Ⅱ）证明：1(002)(220)0DD AC =-= ，，，，··，(220)(220)0DB AC =-= ，，，，··，1DD AC ⊥ ∴，DB AC ⊥．1DD 与DB 是平面11B BDD 内的两条相交直线．AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ．∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：111(102)(112)(012)AA BB CC =-=--=- ，，，，，，，，． 设111()x y z =，，n 为平面11A ABB 的法向量，11120AA x z =-+= ·n ，111120BB x y z =--+= n ·．于是10y =，取11z =，则12x =，(201)=，，n ． 设222()x y z =，，m 为平面11B BCC 的法向量，122220BB x y z =--+= m ·，12220CC y z =-+= m ·．于是20x =，取21z =，则22y =，(021)=，，m ． 1cos 5==，m n m n m n ·． ∴二面角1A BB C --的大小为1πarccos 5-．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ．1D D DA ⊥∴，1D D DC ⊥，平面1111A B C D ∥平面ABCD ．于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．设E F ，分别为DADC ，的中点，连结11EF A E C F ，，， 有111111A E D DC FD D DE DF ==，，，∥∥． 11A E C F ∴∥，于是11AC EF ∥．ABCD1A1B1C 1DMOE F由1DE DF ==，得EF AC ∥，故11AC AC ∥，11AC 与AC 共面． 过点1B 作1B O ⊥平面ABCD 于点O ，则1111B O A E B O C F ， ∥∥，连结OE OF ，， 于是11OE B A ∥，11OF B C ∥，OE OF =∴． 1111B A A D ⊥∵，OE AD ⊥∴．1111B C C D ⊥∵，OF CD ⊥∴．所以点O 在BD 上，故11D B 与DB 共面．（Ⅱ）证明：1D D ⊥∵平面ABCD ，1D D AC ⊥∴， 又BD AC ⊥（正方形的对角线互相垂直），1D D 与BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线，AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ． （Ⅲ）解：∵直线DB 是直线1B B 在平面ABCD 上的射影，AC DB ⊥， 根据三垂线定理，有1AC B B ⊥．过点A 在平面1ABB A 内作1AM B B ⊥于M ，连结MC MO ，， 则1B B ⊥平面AMC ， 于是11B B MC B B MO ⊥⊥，，所以，AMC ∠是二面角1A B B C --的一个平面角．根据勾股定理，有111A A C C B B =． 1OM B B ⊥∵，有11B O OB OM B B ==·BM =AM =CM = 2221cos 25AM CM AC AMC AM CM +-∠==-·，1πarccos 5AMC ∠=-，二面角1A BB C --的大小为1πarccos5-． 18．本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．解：（I ）设切点204x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由2xy '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为2000()42x xy x x -=-． 即20424x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2044x -=-，2016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+． 点A C ，的坐标满足方程组214y kx x y =+⎧⎨=⎩，，得2440x kx --=，由根与系数的关系知121244.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，24(1)AC k ===+．因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k -，从而BD 的方程为11y x k=-+． 同理可求得22214(1)41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 2222218(1)18(2)322ABCDk S AC BD k k k +===++≥．当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．19．本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分． 解：以k A 表示恰剩下k 只果蝇的事件(016)k = ，，，． 以m B 表示至少剩下m 只果蝇的事件(016)m = ，，，． 可以有多种不同的计算()k P A 的方法．方法1（组合模式）：当事件k A 发生时，第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，且在前7k -只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以17287()28kk C k P A C --==． 方法2（排列模式）：当事件k A 发生时，共飞走8k -只蝇子，其中第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同可能．在前7k -只飞出的蝇子中有6k -只是果蝇，有68kC -种不同的选择可能，还需考虑这7k -只蝇子的排列顺序．所以162688(7)!7()28kk kC C k kP A A ----== ． 由上式立得163()2814P A ==； 356563()()()()28P B P A A P A P A =+=+=． 20．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分． 解：（I ）我们有232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+222sin 12sin 434x t t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．（II ）我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，．列表如下：由此可见，()g t 在区间112⎛⎫--⎪⎝⎭，和112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增加，在区间1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减小，极小值为122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，极大值为42g 1⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥． （Ⅱ）11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得2121(1)(1)(1)n n n n n n T T r a T r a r a ---=++=++++=12121(1)(1)(1)n n n n a r a r a r a ---=+++++++ ，①在①式两端同乘1r +，得12121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n r T a r a r a r a r --+=++++++++②②-①，得121(1)[(1)(1)(1)]n n n n n rT a r d r r r a --=++++++++-1[(1)1](1)n n n dr r a r a r=+--++-． 即1122(1)nn a r d a r d d T r n r r r ++=+--．如果记12(1)nn a r d A r r +=+，12n a r d d B n r r+=--，则n n n T A B =+． 其中{}n A 是以12(1)a r dr r ++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以12a r d d r r +--为首项，dr-为公差的等差数列．2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II （非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知cos tan 0θθ< ，那么角θ是（ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 2．函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为（ ）Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞，3．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种6．若不等式组220x y x y y x y a -0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）Ａ．43a ≥ Ｂ．01a <≤ Ｃ．413a ≤≤ Ｄ．01a <≤或43a ≥7．如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一8．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第II 卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．22(1)i =+．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．11．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = ．12．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是 ．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于 ． 14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式． 16．（本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小； （III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值．17．（本小题共14分）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；OCADB（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程． 18．（本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数； （II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．19．（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值．20．已知集合{}12(2)k A a a a k = ，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ． 若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤； （III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．123A2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｄ 4．Ａ5．Ｂ6．Ｄ7．Ａ 8．Ｄ二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．i - 10．211n - 31112．(23)，13．72514．12三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分） 解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于21a a c -=， 322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+= ，，． 当1n =时，上式也成立， 所以22(12)n a n n n =-+= ，，． 16．（共14分）解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥， BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， 又 二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O = ，CO ∴⊥平面AOB ， 又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴=又12DE AO ==∴在Rt CDE △中，tan 3CE CDE DE ===． ∴异面直线AO 与CD所成角的大小为． （III ）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2tan OC CDO OD OD==． 当OD 最小时，CDO ∠最大， 这时，OD AB ⊥，垂足为D，OA OB OD AB ==tan CDO = CD ∴与平面AOB所成角的最大值为． 解法二：（I ）同解法一．（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(00A ，，(200)C ，，，D ，(00OA ∴= ，，(CD =-，cos OA CDOACD OA CD∴<>=，xOCADBE==∴异面直线AO与CD所成角的大小为arccos4．（III）同解法一17．（共14分）解：（I）因为AB边所在直线的方程为360x y--=，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3-．又因为点(11)T-，在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为13(1)y x-=-+．320x y++=．（II）由36032=0x yx y--=⎧⎨++⎩，解得点A的坐标为(02)-，，因为矩形ABCD两条对角线的交点为(20)M，．所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．又AM==从而矩形ABCD外接圆的方程为22(2)8x y-+=．（III）因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以PM PN=+即PM PN-=故点P的轨迹是以M N，为焦点，实轴长为因为实半轴长a=2c=．所以虚半轴长b==从而动圆P的圆心的轨迹方程为221(22x yx-=≤．18．（共13分）解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．。
2007年高考数学试卷及答案(海南、宁夏理)A4
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >2．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)-，3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =， 则其公差d =（ ） Ａ．23-Ｂ．13-Ｃ．13Ｄ．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ） Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652 6．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ， 点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上， 且2132x x x =+， 则有（ ）yx11-2π-3π-O 6ππyx11-2π-3π-O6ππyx11-2π-3π O 6π-πyxπ2π-6π-1O 1-3πＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 开始1k = 0S =50?k ≤是2S S k=+1k k =+否输出S结束Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =·7．已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．4 8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ） Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cmＤ．34000cm 9．若c o s 22π2s i n 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则c o s s i n αα+的值为（ ）Ａ．72-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．7210．曲线12e xy =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．29e 2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>Ｄ．231s s s >>12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（ ）Ａ．3:1:1Ｂ．3:2:2 Ｃ．3:2:2 Ｄ．3:2:3甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 42020正视图20侧视图10 1020俯视图第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ． 14．设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a = ．15．i 是虚数单位，51034i i-+=+ ．（用a bi +的形式表示，a b ∈R ，） 16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 如图，测量河对岸的塔高A B 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高A B ．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥S A B C -中，侧面SA B 与侧面S A C 均为等边三角形，90B A C ∠=°，O 为B C 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212xy +=有两个不同的交点P 和Q ．（I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量O P O Q + 与AB共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）如图，面积为S 的正方形A B C D 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形A B C D 中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为m S n，假设正方形A B C D 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形A B C D 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目．DCBAMOSBAC（I ）求X 的均值E X ；（II ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)-0.03，内的概率．附表：10000100000()0.250.75kt t tt P k C -==⨯⨯∑k 24242425 2574 2575 ()P k0.04030.04230.95700.959021．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2．22．请考生在A B C ，，三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知A P 是O 的切线，P 为切点，A C 是O 的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在P A C ∠的内部，点M 是B C 的中点．（Ⅰ）证明A P O M ，，，四点共圆；（Ⅱ）求O A M A P M ∠+∠的大小．22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．（Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．22．Ｃ（本小题满分10分）选修45-；不等式选讲 设函数()214f x x x =+--． （I ）解不等式()2f x >； （II ）求函数()y f x =的最小值．APOMCB2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题 1．Ｃ 2．Ｄ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｃ7．Ｄ 8．Ｂ9．Ｃ10．Ｄ 11．Ｂ12．Ｂ二、填空题13．3 14．1- 15．12i +16．240三、解答题17．解：在B C D △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin B C C D B D CC B D=∠∠．所以sin sin sin sin()C D BDC s BC CBDβαβ∠==∠+·．在A B C R t △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．18．证明：（Ⅰ）由题设A B A C SB SC ====S A ，连结O A ，A B C △为等腰直角三角形，所以22O A O B O C SA ===，且A O B C ⊥，又S B C △为等腰三角形，故SO B C ⊥，且22S O S A =，从而222O A S O S A +-．所以SO A △为直角三角形，SO A O ⊥．又AO BO O = ．所以SO ⊥平面ABC ． （Ⅱ）解法一：取S C 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得OM SC AM SC ⊥⊥，．O M A ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥= ，，得A O ⊥平面S B C ．所以A O O M ⊥，又32AM SA =，故26sin 33AO AM O AM∠===．所以二面角A SC B --的余弦值为33．解法二：OSBAC M以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -． 设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，．S C 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，111101(101)2222M O M A SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，，，，，，，． 00M O SC M A SC ==，∴··．故,M O SC M A SC M O M A ⊥⊥>，，<等于二面角A S CB --的平面角．3cos 3M O M A M O M A M O M A<>==，··， 所以二面角A SC B --的余弦值为33．19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程得22(2)12xkx ++=．整理得22122102k x kx ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭， 解得22k <-或22k >．即k 的取值范围为2222⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，1224212k x x k+=-+． ②又1212()22y y k x x +=++． ③而(20)(01)(21)A B AB =-，，，，，． 所以O P O Q + 与AB共线等价于12122()x x y y +=-+，将②③代入上式，解得22k =．OSBACMxzy由（Ⅰ）知22k <-或22k >，故没有符合题意的常数k ．20．解：每个点落入M 中的概率均为14p =．依题意知1~100004X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （Ⅰ）11000025004E X =⨯=．（Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000XP ⎛⎫-<⨯-< ⎪⎝⎭，0.03410.03(24252575)10000X P P X ⎛⎫-<⨯-<=<< ⎪⎝⎭2574100001000024260.250.75t t tt C -==⨯⨯∑2574242510000100001100001000024260.250.750.250.75tt ttt t t CC--===⨯⨯-⨯⨯∑∑0.95700.04230.9147=-=．21．解： （Ⅰ）1()2f x x x a'=++，依题意有(1)0f '-=，故32a =．从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++．()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221()x ax f x x a++'=+．方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=-．（ⅰ）若0∆<，即22a -<<，在()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．（ⅱ）若0∆=，则2a -或2a =-．若2a =，(2)x ∈-+，∞，2(21)()2x f x x -'=+．当22x =-时，()0f x '=，当22222x ⎛⎫⎛⎫∈---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值． 若2a =-，(2)x ∈+，∞，2(21)()02x f x x -'=>-，()f x 也无极值．（ⅲ）若0∆>，即2a >或2a <-，则22210x a x ++=有两个不同的实根2122a a x ---=，2222a a x -+-=．当2a <-时，12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值． 当2a >时，1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为(2)+，∞．()f x 的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln11ln 2ln22e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．22．Ａ（Ⅰ）证明：连结OP OM ，．因为A P 与O 相切于点P ，所以O P A P ⊥． 因为M 是O 的弦B C 的中点，所以O M B C ⊥．于是180O PA O M A ∠+∠=°．由圆心O 在P A C ∠的内部，可知四边形APO M 的对角互补，所以A P O M ，，，四点共圆．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A P O M ，，，四点共圆，所以O A M O P M ∠=∠． 由（Ⅰ）得O P A P ⊥．由圆心O 在P A C ∠的内部，可知90O PM APM ∠+∠=°．所以90O AM APM ∠+∠=°． 22．Ｂ解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． （Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． 所以224x y x +=．APOMCB即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程． 同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程． （Ⅱ）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-． 22．Ｃ解：（Ⅰ）令214y x x =+--，则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩， ，， ，， ．≤≥．．．．．．．．．．．．．．．3分作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，和523⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以2142x x +-->的解集为5(7)3x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，．（Ⅱ）由函数214y x x =+--的图像可知，当12x =-时，214y x x =+--取得最小值92-．12-O 2y =4xy。
《大一高等数学》试卷(十份)
《高等数学》试卷（一）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =12．函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）.（A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x ⎛⎫'⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ （B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）1f C x⎛⎫-+⎪⎝⎭8．xxdx e e-+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xe C -+ （C ）x xe eC --+ （D ）ln()x xe eC -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx xππ-+⎰（B ）44arcsin x x dx ππ-⎰（C ）112x xe edx --+⎰（D ）()121sin xx x dx -+⎰10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x xa x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21x y x =-的垂直渐近线有条.4．()21ln dx x x =+⎰.5．()422sin cos x x x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限 ①21limxx x x →∞+⎛⎫ ⎪⎝⎭②()2sin 1limxx x x x e→--2．求方程()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰②()0a >⎰③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高等数学》试卷（一）参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题1．2- 2．3- ３． ２ ４．arctan ln x c + ５．２三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+-3. ①11ln ||23x C x +++ ②ln ||x C +③()1xex C--++四．应用题１．略 ２．18S =《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分)1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x =(B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x fx →=（ ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且0)(0>'x f ， 则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ).(A) 12,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12x x e ,则()f x =( ).(A) ()121x x e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12x xe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫'⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分) 1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .3.函数211x y x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条.4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x-+=+⎰___________.三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限:①()1lim 12x x x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1y y xe =-所确定的隐函数的导数x y '.3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰②)0a>⎰③2xx e dx ⎰四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yxey y '=-3.①3sec 3x c + ②)lnx c + ③()222xx x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高等数学》试卷3（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21MM （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x yx y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y xB.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y x y x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a与b 垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1-6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22 B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n pn收敛，则（ ）.A.p 1<B.1≤pC.1>pD.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x-11 B.x-22 C.x-12 D.x-2110.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cxe y = 二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z 2_____________________________.4.x+21的麦克劳林级数是___________________________.5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin，其中22224:ππ≤+≤yx D .4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程x e y y 23=-'在00==x y 条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程 .试卷3参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()nn n nx ∑∞=+-0121.5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1.()()[]y x y x y exz xy+++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x eyz xy+++=∂∂cos sin .2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x xz . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R .5.x x e e y 23-=. 四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷4（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21MM （ ）.A.12B.13C.14D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6πB.4πC.3πD.2π3.函数()22arcsin y x z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）. A.0 B.1 C.1- D.216.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （ ）.A.6B.7C.8D.97.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r 8.幂级数()n n x n ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-9.级数∑∞=14sin n nna 是（ ）.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.cxe y = B.x ce y = C.x e y = D.xcxe y = 二.填空题（4分⨯5） 1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y tx 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________. 3.曲面2242yx z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________. 4.211x+的麦克劳林级数是______________________.5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dtx d -=22.当0=t 时，有0x x =，0v dtdx =）试卷4参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x .2.()xdy ydx e xy +.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()yy xy y y y x yz y y y y x xz 3333223cossincos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,zxy xz yz zxy yz x z +-=∂∂+-=∂∂.4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.xxeC e C y --+=221.四.应用题1.316.2. 00221x t v gtx ++-=.《高数》试卷5（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()x y f e =, 则____________.y '=5. 221lim_________________.25x x x x →∞+=+-6. 321421sin 1x x dx x x -+-⎰=______________.7.2_______________________.x td e dt dx-=⎰8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin xx e x →-; 2.; 233lim 9x x x →-- 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分) 1. 2x y x =+, 求(0)y '. 2. cos xy e=, 求dy .3. 设x y xy e +=, 求d y d x.四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120xe dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x ty t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程xy y ex '+=满足初始条件()10y =的特解.《高数》试卷5参考答案一．1．(3,3)- 2.4a= 3.2x = 4.()x xe f e '5.126.07.22xxe- 8.二阶二.1.原式=0lim1x x x →=2.311lim36x x →=+3.原式=112221lim[(1)]2xx ex--→∞+=三.1.221,(0)(2)2y y x ''==+2.c o s sin xdy xedx =-3.两边对x 求写：(1)x y y xy e y +''+=+'x yx yeyxy y y x ex xy++--⇒==--四.1.原式=ln 2cos x x C -+2.原式=2221ln(1)()ln(1)[ln(1)]222x xx d x x d x +=+-+⎰⎰=222111ln(1)ln(1)(1)221221x xxx dx x x dxxx+-=+--+++⎰⎰=221ln(1)[ln(1)]222xxx x x C +--+++3.原式=12212111(2)(1)222xxe d x ee ==-⎰五.2sin ,1.,,122t dy dy t t x y dxdxπππ======且当时切线：1,1022y x x y ππ-=--+-=即法线：1(),1022y x x y ππ-=--+--=即六.1231014(1)()33Sx dx x x =+=+=⎰22211221(1)11()22V x dy y dy y y ππππ==-=-=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy eC x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y e e edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]xx e C x=-+由10,0x yC ==⇒=1xx y ex-∴=《高等数学》试卷6（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ d ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ c ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ c ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ a ）A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、zy zR x --, B 、zy zR x ---, C 、zy zR x ,--D 、zy zR x ,-6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π） A 、R 2A B 、2R 2A C 、3R 2A D 、A R 2217、级数∑∞=-1)1(n nnnx的收敛半径为（ ）A 、2B 、21 C 、1 D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n xnB 、∑∞=-1)1(n n)!2(2n xnC 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n xnD 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n xn9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
高等数学考试题库(附答案)
.《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 3 分，共30 分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ）2f x ln x 和g x 2ln x （B）f x| x|和2g xx（C） f x x 和2g x x（D）f x| x|x 和g x1sin x 4 2 f x ln 1 x x 0在x0处连续，则a （）. 2．函数a x 0（A）0 （B）14（C）1（D）23．曲线y xln x 的平行于直线x y 1 0 的切线方程为（） .（A）y x 1 （B）y (x1) （C）y ln x 1 x 1 （D）y x 4．设函数 f x | x |，则函数在点x 0处（）.（A）连续且可导（B）连续且可微（C）连续不可导（D）不连续不可微5．点x 0是函数 4y x 的（）.（A）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点6．曲线y1| x|的渐近线情况是（）.（A）只有水平渐近线（B）只有垂直渐近线（C）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D）既无水平渐近线又无垂直渐近线7．1 1fdx2x x的结果是（）.（A ）1f Cx（B）1f Cx（C）1f Cx（D）1fCx8．dxxx e e的结果是（）.x x（A）arctan e C （B）arctan e C （C）x x x xe e C （D）ln( e e ) C9．下列定积分为零的是（）.（A）44 arctan1 2 xxdx （B）44x arcsin x dx（C）xx ee112dx（D）112x x sin xdx10．设 f x 为连续函数，则1f 2x dx 等于（） .（A）f 2 f 0 （B）12f11 f 0（C）12f 2 f 0 （D）f 1f 0二．填空题（每题 4 分，共20 分）2x1ef xx x在x 0处连续，则 a. 1．设函数ax 02．已知曲线 y f x 在 x 2处的切线的倾斜角为56 ，则 f2 .3． yx21x 的垂直渐近线有 条.4． dx 2x 1 ln x. 5．24x sin x cosxdx .2三．计算（每小题 5 分，共 30 分） 1．求极限 ①lim x1 x x2 x②lim x 0x sin x 2 xx e1 2．求曲线 y ln x y所确定的隐函数的导数y x .3．求不定积分 ①dxx 1 x 3② dx 22x aa 0③xxedx四．应用题（每题 10 分，共 20 分）1． 作出函数3 3 2 y x x 的图像 .2．求曲线2 2y x 和直线 y x 4所围图形的面积 .《高数》试卷 1 参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题1． 2 2．33 ３．２４．a rctanln x c５．２三．计算题１①2e②162. yx1xy13. ①1x 1ln ||2 x 3C ② 2 2 xln | x a x | C ③ e x1 C四．应用题１．略２．S 18《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题 3 分,共30 分)4.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) f x x 和2g x x (B) f x 2 1xx 1和y x1(C) f x x和2 2g x x(sin x cos x)(D)2f x ln x 和g x2ln xsin 2 x 1x 1x15.设函数f x 2 x12x 1 x 1 ，则l imx 1f x（）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在6.设函数y f x 在点x0 处可导，且 f x >0, 曲线则y f x 在点x0 , f x0 处的切线的倾斜角为{ }.(A) 0 (B) (C) 锐角(D) 钝角27.曲线y ln x 上某点的切线平行于直线y 2x 3,则该点坐标是( ).(A) 2,ln 12(B) 2,ln12(C)12,ln 2 (D)12,ln28.函数 2 xy x e 及图象在1,2 内是( ).(A) 单调减少且是凸的(B)单调增加且是凸的(C)单调减少且是凹的(D) 单调增加且是凹的9.以下结论正确的是( ).(A) 若x0 为函数y f x 的驻点,则x0 必为函数y f x 的极值点.(B) 函数y f x 导数不存在的点,一定不是函数y f x 的极值点.(C) 若函数y f x 在x0 处取得极值,且f x 存在,则必有f x=0.(D) 若函数y f x 在x0 处连续,则f x 一定存在.110.设函数y f x 的一个原函数为 2 xx e ,则f x=( ).1 1 1 1(A) 2x 1 e x (B) 2x e x (C) 2x 1 e x(D) 2 x e x11.若 f x dx F x c,则sin xf cosx dx ( ).(A) F sin x c (B) F sin x c (C) F cosx c (D) F cos x c12.设F x 为连续函数,则1 xf dx=( ).0 2(A) f 1 f 0 (B) 2 f 1 f 0 (C) 2 f 2 f 0 (D)12 f f 0213.定积分badx a b 在几何上的表示( ).(A) 线段长b a (B) 线段长a b (C) 矩形面积 a b 1 (D) 矩形面积 b a 1二.填空题(每题 4 分,共20 分)2ln 1x f xx1 cos x 01.设, 在x 0连续,则a =________.a x 02.设 2y sin x , 则dy _________________ dsin x .3.函数y x21x 1 的水平和垂直渐近线共有_______条.4.不定积分xln xdx ______________________.5. 定积分112x sin x 1dx21 x___________.三.计算题(每小题 5 分,共30 分)1.求下列极限:①1lim 1 2x x②x 0limx2arctanx1xy2.求由方程y 1 xe 所确定的隐函数的导数y x .3.求下列不定积分:① 3tan xsec xdx②dx2 2x aa0 ③ 2 xx edx四.应用题(每题10 分,共20 分)1.作出函数13y x x的图象.(要求列出表格)32.计算由两条抛物 2 , 2线：y x y x 所围成的图形的面积..《高数》试卷 2 参考答案一.选择题： CDCDB CADDD 二填空题： 1.－2 2. 2sin x3.34.1 12 2 x ln x xc5.242三.计算题： 1. ①2e ②12. yxyey 2 14.① 3 sec 3 x c ②22lnxaxc ③22 2 xx x ec四.应用题： 1.略2.S1 3《高数》试卷 3（上）一、 填空题(每小题 3 分, 共 24 分)6. 函数y 9 1 2 x 的定义域为________________________.sin4x f xx , x 0 7.设函数, 则当 a =_________时, f x 在 x 0处连续.a,x 08.函数 f (x) 2x1 2x3x2的无穷型间断点为________________. x9.设 f (x) 可导, yf (e ) , 则 y ____________.10.2x1lim_________________.2x2x x 5.15.113 2x sinx4 2x x1dx =______________.16.ddx2x te dt_______________________.17. 3 0y y y 是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5 分, 共15 分)11.limx 0 xe si n 1x;2.limx 3x2x39;3.x1lim1 .x 2x三、求下列导数或微分(每小题 5 分, 共15 分)x4.y , 求y (0) . 2.x 2cos xy e , 求dy .3.设x yxy e ,求dydx.四、求下列积分(每小题 5 分, 共15 分)1. 1x2sin xdx. 2. x ln(1x)dx.3. 1 2xedx五、(8 分)求曲线x ty 1cost在t 处的切线与法线方程.2六、(8 分)求由曲线2 1,y x 直线y 0, x 0 和x 1所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.七、(8 分)求微分方程y 6y13 y 0的通解.八、(7 分)求微分方程yxyex满足初始条件y 1 0的特解.《高数》试卷 3 参考答案一．1．x 3 2.a 4 3. x 2 4. '( )x xe f e5. 12 6.07.2 x e x28.二阶二.1.原式=x lim 1x 0x2. limx 3x 1 1 3 63.原式=1112 22x lim[(1 ) ] ex 2x三.1 .21y' , y '(0)2(x 2)22. cosxdy sin xedx3.两边对x 求写：' (1 ')y xy e yx yy ' x ye yxy yx yx e xxy四.1.原式= lim x2cos x C2.原式=22x x 12lim(1 x)d ( ) lim(1 x) x d[lim(1 x)] 2 x 2= 2 2 x 1 x x 1 1lim(1 x) dx lim(1 x) (x 1 )dx 2 2 1 x 2 2 1 x= 2 2 x 1 x lim(1 x) [ x lim(1 x)] C 2 2 23.原式=1 12 1 2 1 12 xxe d(2 x) e (e 1)222dydy五.sin 1, 1tt ty且dxdx2 2. 切线： 1 , 1 0y x 即y x2 2法线： 1 ( ), 1 0y x 即y x2 2六.1 2 2 113S (x1)dx ( x x)221 12 2 4 2V (x 1) dx (x2x 1)dx0 05x 2 282 1( x x)5 3 15七.特征方程:2r 6r 13 0 r3 2i3 xy e (C cos 2x C sin 2x)1 2八.1 1dx dxxx xy e ( e e dx C)1xx[ (x1e)C ]由y x 1 0, C 0x 1 xy ex《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题 3 分）1、函数y ln( 1x) x 2 的定义域是（）.A 2,1B 2,1C 2,1D 2,12、极限xlim e 的值是（）.xA、B、0 C、D、不存在3、sin(xlimxx1 121)（）.A、1B、0C、12D、123 x4、曲线y x 2 在点(1, 0) 处的切线方程是（）A、y 2(x 1)B、y 4(x 1)C、y 4x 1D、y 3( x 1)5、下列各微分式正确的是（）.2A、xdx d(x )B、cos 2xdx d (sin 2x)C、dx d(5 x)D、d(xdx 2 )( )2 )( )2 x6、设 f (x)dx 2 cos C ，则 f (x) （）.2A 、sinx2B、sinx2xC 、sin CD、22s inx2 2 ln x7、dxx （）.2 12A、 2 ln x Cx 212 B、(2 ln x) C2.1 ln xC 、 ln 2 ln x CD 、C2x8、曲线2y x，x 1 ， y 0所围成的图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积 V（）.A 、 1 0x B 、 4dx 4dx1yd y C 、 10 (1 y) d y D 、10 (1 x dx 4 )4 ) 9、 1 0 1 x e x e dx （ ）.A 、 ln 1 e 2 e 1 e 1ln lnlnB 、C 、D 、2232e210、微分方程 y yy 2 x2e的一个特解为（） .A 、y3 7 2x eB 、y 3 7 xeC 、y2 7 2x xe D 、y2 7 2x e二、填空题（每小题 4 分） 1、设函数 xy xe ，则y ；2、如果3sin mx lim x 0 2x23 , 则 m.3、 1 x； 3 cos xdx 3 cos xdx14、微分方程 y 4y 4y 0 的通解是. 5、函数 f (x)x 2 x 在区间 0,4 上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题 5 分）1、求极限 lim x1 x 1 xx1 2；2、求 ycot x ln sin x2 的导数；3、求函数3x 1 y的微分；4、求不定积分3x1dx1x 1； 5、求定积分e 1 ln x dx ；6、解方程ed y dx yx21 x； 四、应用题（每小题 10 分）1、 求抛物线2y x 与2y 2 x 所围成的平面图形的面积 .2、利用导数作出函数2 3y 3x x 的图象.参考答案.一、1、C；2、D；3、C；4、B；5、C；6、B；7、B；8、A；9、A；10、D；二、1、x(x 2)e ；2、49；3、0；4、y 2x(C1 C x)e ；5、8，0226x3三、1、1；2、cot x ；3、dx3 2(x 1)1；4、2 x 1 2 ln(1 x 1) C ；5、2(2 )e2 2 12 ；；6、y x C四、1、8 3 ；2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题 3 分）1、函数1y 2 x 的定义域是（）.lg( x 1)A、2, 1 0,B、1,0 (0, )C、( 1,0 )(0, )D、( 1, )2、下列各式中，极限存在的是（）.A、lim c osxx 0 B、l im arctanx C、l im sin xD、x xlimxx23、xx lim ( )（）. x 1 xA、eB、2e C、1D、1e4、曲线y xln x 的平行于直线x y 1 0 的切线方程是（）.A、y xB、y (ln x 1)( x 1)C、y x 1D、y (x1)5、已知y x s in 3x ，则dy （）.A、( cos 3x 3 s in 3x)dxB、(sin 3x 3x cos3x) dxC、(cos 3x sin 3x) dxD、(sin 3x x cos3 x)dx6、下列等式成立的是（）.11x x lnA、x dx x CB、 a dx a x C11C、cosxdx sin x CD、tan xdx C21 x.sinx sin cos 7、计算 e x xdx 的结果中正确的是（） .sin B、e x Cx sin x cos A、e C sin x sin D、e sin x (sin x 1) C C、e x C8、曲线2y x ，x 1 ，y 0所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积V （）.A、1xB 、4dx4dx1ydyC、1(1 y) d yD、1(1 xdx4 )4 )a2 29、设 a ﹥0，则 a x dx0 （）.A 、2aB、22aC、142a 0D、142a10、方程（）是一阶线性微分方程.y2 xA、x y ln 0B、y e y 0x2 y y y 2 x dyC、(1 x ) sin 0D、xy dx ( y 6 ) 0二、填空题（每小题 4 分）1、设f ( x)xeax1,b,xx0 ，则有lim f (x)x 0，lim f (x)x 0；2、设xy xe ，则y ；23、函数 f (x) ln( 1x ) 在区间1,2 的最大值是，最小值是；4、1x； 3 cos xdx 3 cos xdx 15、微分方程y 3y2y0 的通解是.三、计算题（每小题 5 分）1 31、求极限lim( )2x 1 x 1 x x2；2 2、求y 1 x arccosx 的导数；3、求函数xy 的微分；21 x14、求不定积分dxx 2 ln x；.5、求定积分e1 ln x dx ；e26、求方程x y xy y1满足初始条件y( ) 4 的特解.2四、应用题（每小题10 分）1、求由曲线 2y 2 x 和直线x y 0 所围成的平面图形的面积.3 x2 x2、利用导数作出函数y x 6 9 4 的图象.参考答案（ B 卷）一、1、B；2、A；3、D；4、C；5、B；6、C；7、D；8、A；9、D；10 、B.二、1、2 ，b ；2、x( x 2)e ；3、ln 5 ，0；4、0；5、x C e2xC1e.2三、1、13x；2、arccosx 121 x1；3、dx(1 x x2 ) 12 ) 12；14、2 2 ln x C ；5、2(2 )e ；6、y2x2e1x；四、1、92；2、图略。
安农大大一高数试卷
安徽农业大学2007―2008学年第2学期《高等数学IBC 》试卷（A 卷）考试形式: 闭卷笔试，2小时 适用专业：工科类各专业一填空题：（共5小题，每小题3分，共15分）2301.2(0,1,2).u xy z xyz P l =-+--=函数在点处沿方向的方向导数最大22222.,sin().DD x y x y dxdy π+=+=⎰⎰设是由坐标轴与圆周所围成的在第一象限内的区域则.,1.32222==+⎰+Ly xds e y x L 关于弧长的曲线积分为圆周.]cos )(cos )(cos )[(,.4=-+-+-Ω∑⎰⎰∑dS y z x y z x V γβα则曲面积分的体积为围成的区域设由光滑曲面2115.(1).n n x n∞=-∑幂级数的收敛区间是二选择题：（共5小题，每小题3分，共15分）1.ln(1),()()()()()1111z xy dz xdx ydy ydx xdy ydx xdy dx dy A B CD xy xy xy xy=+=+-++++++设则222.4(1,1,2)()()(2,2,1)()(1,1,1)()(1,1,1)()(1,1,1)z x y z n A B C D =--------曲面上对应于点处的与轴正向夹角成锐角的法向量可取为学院： 专业班级： 姓名： 学号：装 订222222200222002200222003.,()()()()()()()(2)()()rrrrz zf x y z dVA d rdr f r z dzB d f r z dzC d f r dzD d f r z dzππππθθθθΩΩ==+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设是由球面则将三重积分化为在柱面坐标系下的三次积分应为()2211214.(!)3!()()21()sin()nnn nn nn nA Bn nC Dnππ∞∞==∞∞==∑∑∑下列级数中收敛的是,05.()2:(),,05()()25()()()0()22x xf x f xx xf x Fourier xA B C Dπππππππππ+-≤<⎧=⎨-≤<⎩=-设是以为周期的周期函数则的级数在处收敛于三计算题：（共5小题，每小题6分，共30分）.,arctan.1xyzxyz''=求设.)2,0,3(63292.22222处的切线及法平面方程在点求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-z y x z e x y⎰⎰=10sin .3yydx xxdy I 计算积分.)1,1()1,1(,.422的弧段到点从点是沿曲线其中计算积分B A x y L ydx dy x I L -=-=⎰.4,.522222的上侧是上半球面其中计算曲面积分=++∑+=⎰⎰∑z y x dxdy z dzdx y I四解答题：（共3小题，每小题8分，共24分）332421.,,(225)(324)(,),(,).a b ax y y dx x y bxy dy u u x y u x y -++--=选择使是某一二元函数全微分并求.31)3(;)()2(;)1(,.211∑∑∞=∞=n nn nn x S nx 计算求其和函数求其收敛区间设幂级数.)(2)(.3级数展开成将Fourier x x x f ππ≤≤-+=五证明题：（共1小题，每小题8分，共8分）.1.,,0,,),(,0),(),(.121=∂∂+∂∂≠'+'=--=yz b x z ab a F b F a v u v u F bz y az x F y x z z 证明为常数其中且的可微函数是变量其中所定义的隐函数是由方程设六综合应用题：（共1小题，每小题8分，共8分）1. 修建一座容积为V 的形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别是地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高，使它的造价最小。
2007年全国高考数学（理科）试卷（全国卷Ⅰ）（解析版）
2007年全国高考数学（理科）试卷（全国卷Ⅰ）（解析版）2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）α是第四象限角，，则sinα=（）A． B． C． D．2．（4分）设a是实数，且是实数，则a=（）A． B．1 C． D．23．（4分）已知向量，，则与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向4．（4分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A． B． C． D．5．（4分）设a，bR，集合1，ab，a={0，，b，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）7．（4分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．（4分）设a1，函数f（x）=logax在区间a，2a上的最大值与最小值之差为，则a=（）A． B．2 C． D．49．（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件10．（4分）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．611．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是（）A．4 B． C． D．812．（4分）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．15．（5分）等比数列an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an}的公比为．16．（5分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围．18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．19．（14分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（14分）设函数f（x）=ex﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）2；（Ⅱ）若对所有x0都有f（x）ax，求a的取值范围．21．（14分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．22．（16分）已知数列an}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求an}的通项公式；（Ⅱ）若数列bn}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）α是第四象限角，，则sinα=（）A． B． C． D．【分析】根据tanα=，sin2αcos2α=1，即可得答案．【解答】解：α是第四象限角，=，sin2αcos2α=1，sinα=﹣．2．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）设a是实数，且是实数，则a=（）A． B．1 C． D．2【分析】复数分母实数化，化简为abi（a、bR）的形式，虚部等于0，可求得结果．【解答】解．设a是实数，=是实数，则a=1，故选B．3．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：向量，，得，⊥，4．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A． B． C． D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）设a，bR，集合1，ab，a={0，，b，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得ab=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合，又a≠0，a+b=0，即a=﹣b，，b=1；故a=﹣1，b=1，则b﹣a=2，故选C．6．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，到直线x ﹣y1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）【分析】要找出到直线x﹣y1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点，我们可以将答案中的四个点逐一代入验证，不难得到结论．【解答】解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x﹣y1=0的距离都为，但，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选C7．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，A1B=C1B=a，A1C1=a，A1BC1的余弦值为，故选D．8．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）设a1，函数f（x）=logax在区间a，2a上的最大值与最小值之差为，则a=（）A． B．2 C． D．4【分析】因为a1，函数f（x）=logax是单调递增函数，最大值与最小值之分别为loga2a、logaa=1，所以loga2a﹣logaa=，即可得答案．【解答】解．a＞1，函数f（x）=logax在区间a，2a上的最大值与最小值之分别为loga2a，logaa，loga2a﹣logaa=，，a=4，故选D9．（4分）（2008?上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=f（x）g（x）=h（x），“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2x，g（x）=2﹣x，h（x）=x22是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r1项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值．【解答】解：的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，C31=315，当n=6时，C62=15，故选项为D11．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是（）A．4 B． C． D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AKl，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AKl，垂足为K（﹣1，2），AKF的面积是4故选C．12．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A． B． C． D．【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．【解答】解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，原函数此时是单调增，故选A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007?全国卷Ⅰ）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有36种．（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，写出即可．【解答】解．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有C31?A42=34×3=36种．14．（5分）（2007?全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（xR）．【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x0）互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）与函数y=log3x（x0）互为反函数，f（x）=3x（xR）故答案为：3x（xR）15．（5分）（2007?全国卷Ⅰ）等比数列an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S13S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：等比数列an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，an=a1qn﹣1，又4S2=S13S3，即4（a1a1q）=a13（a1a1q+a1q2），解．故答案为16．（5分）（2007?全国卷Ⅰ）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．【解答】解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，斜边EF的长为2．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）（2007?全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围．【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosAsinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosAsinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由ABC为锐角三角形知，0A＜，0﹣A，＜A＜，，所以．由此有，所以，cosAsinC的取值范围为（，）．18．（12分）（2007?全国卷Ⅰ）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．【分析】（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，．（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）P（ξ=3）=0.20.2=0.4，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．η的分布列为η 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．19．（14分）（2007?全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．【分析】解法一：（1）作SOBC，垂足为O，连接AO，说明SO 底面ABCD．利用三垂线定理，得SABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC，设ADBC，连接SE．说明ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SOBC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SABC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．【解答】解法一：（1）作SOBC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又ABC=45°，故AOB为等腰直角三角形，AOBO，由三垂线定理，得SABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC，依题设ADBC，故SAAD，由，，．又，作DEBC，垂足为E，则DE平面SBC，连接SE．ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SOBC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又ABC=45°，AOB为等腰直角三角形，AOOB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SABC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（14分）（2007?全国卷Ⅰ）设函数f（x）=ex﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）2；（Ⅱ）若对所有x0都有f（x）ax，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的导函数，利用ab≥2当且仅当a=b时取等号．得到f''（x）2；（Ⅱ）把不等式变形令g（x）=f（x）﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x0上求出a的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数f''（x）=exe﹣x．由于，故f''（x）2．（当且仅当x=0时，等号成立）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，则g''（x）=f''（x）﹣a=exe﹣x ﹣a，（ⅰ）若a2，当x0时，g''（x）=exe﹣x﹣a2﹣a0，故g（x）在（0，）上为增函数，所以，x0时，g（x）g（0），即f（x）ax．（ⅱ）若a2，方程g''（x）=0的正根为，此时，若x（0，x1），则g''（x）0，故g（x）在该区间为减函数．所以，x（0，x1）时，g（x）g（0）=0，即f（x）ax，与题设f （x）ax相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是（﹣，2．21．（14分）（2007?全国卷Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距，由ACBD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02y02=1，由此可以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x1），代入椭圆方程，并化简得（3k22）x26k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知BD|=再求出AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由ACBD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k0时，BD的方程为y=k （x1），代入椭圆方程，并化简得（3k22）x26k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，AC|=．四边形ABCD的面积?BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．22．（16分）（2007?全国卷Ⅰ）已知数列an}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求an}的通项公式；（Ⅱ）若数列bn}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…【分析】（Ⅰ）先对进行整理可得到，即数列是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到，进而得到．（Ⅱ）用数学归纳法证明．当n=1时可得到b1=a1=2满足条件，然后假设当n=k时满足条件进而得到当n=k1时再对进行整理得到=，进而可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题设：==，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即an的通项公式为，n=1，2，3，．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当n=1时，因，b1=a1=2，所以，结论成立．（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即，也即．当n=k1时，==，又，所以=．也就是说，当n=k1时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知，n=1，2，3，．参与本试卷答题和审题的老师有：wsj1012；qiss；wkqd；danbo7801；豫汝王世崇；minqi5；wdlxh；wdnah；涨停；zhwsd；yhx01248；sllwyn；zlzhan（排名不分先后）菁优网2017年2月4日。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学理第Ⅰ卷一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，32i 1i=-（ ） Ａ．1i +Ｂ． 1i -+Ｃ．1i -Ｄ．1i --2．设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．143．“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，且它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= 5．函数2log 2)(0)y x =>的反函数是（ ） Ａ．142(2)xx y x +=-> Ｂ．142(1)x x y x +=-> Ｃ．242(2)x x y x +=->Ｄ．242(1)xx y x +=->6．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥7．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数8．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．89．设a b c ，，均为正数，且122log a a =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ）Ａ．a b c <<Ｂ．c b a <<Ｃ．c a b <<Ｄ．b a c <<10．设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，中央电视台mλ的取值范围是（ ） Ａ．Ｂ．[48]，Ｃ．Ｄ．2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答案前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．11．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）．12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．13．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．14．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线AB 的方程是 ． D 是边BC15．如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，上一点，2DC BD =，则ADBC =· ． 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．18．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB ADAC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ； （Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．ABDCABCDPE20．（本小题满分12分）已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 21．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 22．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．212．14π 13．314．30x y +=15．83-16．390三、解答题17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-．解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为由图象得函数()f x在区，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件AB ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==． 故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ==⨯=··． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·． 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=． （Ⅲ）解：ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==，13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．ξ的分布列为xξ的数学期望1012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥． AC CD PA AC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平面PAC ．而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴． 又AB AE A =∵，综上得PD ⊥平面ABE ．（Ⅲ）解法一：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，得30CAD ∠=°．设AC a =， 可得332PA a AD a PD a AE a ====，，，． 在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AM PD PA AD =∴··，则7a PA AD AM a PD===·． 在AEM Rt △中，sin AE AME AM == 所以二面角A PD C --的大小是arcsin4． 解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD ．过点C 作CF AD ⊥，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM PD ⊥，垂足为M ，连结CM ，故CM PD ⊥．因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，可得30CAD ∠=°，设AC a =， 可得12PA a AD PD CF a FD =====，，，，． FMD PAD ∵△∽△，FM FDPA PD=∴． PABCDPEM于是，14aFD PAFM aPD===··．在CMFRt△中，1tan14aCFCMFFM===所以二面角A PD C--的大小是arctan．20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．（Ⅰ）解：当1a=时，22()1xf xx=+，4(2)5f=，又2222222(1)2222()(1)(1)x x x xf xx x+--'==++·，6(2)25f'=-．所以，曲线()y f x=在点(2(2))f，处的切线方程为46(2)525y x-=--，即62320x y+-=．（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a axf xx x+--+--+'==++．由于0a≠，以下分两种情况讨论．（1）当0a>时，令()0f x'=，得到11x=-，2x a=．当x变化时，()()f x f x'，的变化情况如下表：所以()f x在区间1a⎛⎫--⎪⎝⎭，∞，()a+，∞内为减函数，在区间1aa⎛⎫-⎪⎝⎭，内为增函数．函数()f x在11xa=-处取得极小值1fa⎛⎫-⎪⎝⎭，且21f aa⎛⎫-=-⎪⎝⎭，函数()f x在21xa=处取得极大值()f a，且()1f a=．（2）当0a<时，令()0f x'=，得到121x a xa==-，，当x变化时，()()f x f x'，的变化情况如下表：所以()f x 在区间()a -，∞，1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =． 函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k kk a k λ=-+， 那么111(2)2k kk a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k k λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n n a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+． （Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ②当1λ≠时，①式减去②式， 得212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---，21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---．这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明：21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥， 因为222(4)(4)(1)(1)2n nn a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立． 因此，存在1k =，使得1121n k n k a a aa a a ++=≤对任意n *∈N 均成立． 22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=． 解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2b y x c ac=+，整理得2220b x acy b c -+=． 由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF，即23c =，将222c a b =-代入上式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故211BO F AOF F A=． 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =， 所以2212132F AF A F A a F A==-， 解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即a =．（Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时，由12OD Q Q ⊥知，直线12Q Q 的斜率为0x y -，所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式，得2222()2x kx m b ++=， 整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=，于是122412kmx x k+=-+，21222212m b x x k -=+． 由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k---=++=+++··． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+， 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得2220023x y b +=．当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，．所以120x x x ==，12y =，． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即2220202b x x --=， 解得22023x b =． 这时，点D 的坐标仍满足2220023x y b +=． 综上，点D 的轨迹方程为 22223x y b +=．解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD Q Q ⊥，垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+．记2200m x y =+（显然0m ≠），点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ② 由①式得00y y m x x =-． ③由②式得22222200022y x y y y b +=． ④ 将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=． 整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=，于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤ 由①式得00x x m y y =-． ⑥由②式得22222200022x x x y x b +=． ⑦ 将⑥式代入⑦式得22222000()22m y y x y x b -+=， 整理得2222220000(2)220x y y my y m b x +-+-=，于是22212220022m b x y y x y -=+． ⑧ 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将⑤式和⑧式代入得2222220022220000222022m b y m b x x y x y --+=++， 22220032()0m b x y -+=．将2200m x y =+代入上式，得2220023x y b +=． 所以，点D 的轨迹方程为22223x y b +=．。
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07/08(一)浙江工业大学高等数学BCD 考试试卷
学院：⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 班级：⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 姓名:⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 学号:⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽
一、填空题（每小题4分）
1、当 k = 时，()2011sin sin 0k x x f x x x x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩
在 0x = 连续。
2、若()f a '存在，则()()lim x a xf a af x x a
→-=- 。
3、设1()1x x f x e
=+，则0lim ()x f x →= 。
4、函数()tan 3ln 1f x x x x =-+，则()f x '= 。
5、设23xy e x y --=，则1
x dy dx =-=。
6、函数()ln(1)f x x x =-+的单调增加区间是 。
二、选择题（每小题4分）
1、当0x →时，2(cos cos 2)3
x x -是2x （ ） （A ）高阶无穷小； （B ）同阶无穷小，但不是等价无穷小；
（C ）低阶无穷小； （D ）等价无穷小。
2、使函数()f x = ）
（A ）[0,1]； （B ）[1,1]-； （C ）[2,2]-； （D ）[3/5,4/5]-。
3、下列哪个函数是cos 2x 的原函数（ ）
（A ）sin 2x ； （B ）11sin 22x +
； （C ）cos 2x ； （D ）11cos 22
x +。
三、（10分）判断下列各命题（结论）是否正确（在括弧内填入√或×）：
1、若函数()f x 在x a =连续，且()0f a ≠，则存在a 的一个领域()U a ，在此领域内有()0f x ≠。
（ ） 2. 若函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上可导，且满足()()f x g x ≤，则在区间[,]a b 上有()()f x g x ''≤。
（ ）
3. 设函数()y f x =在0x 处可导，00()(),y f x h f x ∆=+-则当0h →时，y dy ∆-是h 的同阶无穷小。
（ ）
4. 若函数()f x 在a 的一个领域()U a 内有定义，则()f x 在x a =点可导的充分必要条件是0()(2)lim h f a f a h h
→-+存在。
（ ） 5. 若函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且满足()()f x g x ≤，则有()()b b
a a f x dx g x dx ≤⎰⎰。
（ ）
四、试解下列各题（每小题6分）：
1、求 ln x dx ⎰。
2、求
1
21(x dx -⎰。
3
、求20π
⎰。
五、（5分）设202
(1),
0()0,
0x
t e dt x f x x x ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰，求(0).f '
六、试解下列各题（每小题8分）；
1、求曲线ln y x =在[1,4]内的一条切线，使曲线在该点的切线与直线1,4x x ==及曲线ln y x =所围的面积最小。
2、曲线(1)y x x =-与其在(1,0)点的法线及y 轴围成一块平面图形（0x ≥部分）。
（1）写出该法线方程。
（2）求此平面图形的面积。
（3）求此平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积。
七、（每小题5）（下列5题中选做3，多做按答题次序给分）
1. 设函数()f x 满足下列条件：（1）()()()f x y f x f y += ，对一切,x y R ∈；
（2）()1 (0)f x x x -→ ，证明：()f x 在R 上处处可导，且()()f x f x '=。
2. 设函数()f x 在区间[0,2]上可导，(0)0,(1)2,(2)2,f f f ===-试证明：至少存在一个[0,2]ξ∈，使()0f ξ'=。
3. 试确定常数,a b ，使函数()(cos )sin f x x a b x x =-+当0x →时是关于x 的5阶无穷小。
4. 求解微分方程
2x y dy e dx
+= 5. 求解微分方程2(1)2(2)0x dy x y x dx ++-=。