1[1].2 余弦定理 第二课时 余弦定理的应用 课件(苏教必修5)

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高中数学必修五北师大版 余弦定理课件(30张)

高中数学必修五北师大版 余弦定理课件(30张)

a c 方法一 由正弦定理sin A=sin C得: 3 5× 2 csin A 5 3 sin C= a = 7 = 14 . 5 3 ∴最大角 A 为 120° ,sin C= . 14 a2+b2-c2 72+32-52 11 解法二 ∵cos C= = = , 2ab 2×7×3 14 ∴C 为锐角,∴sin C= 1-cos C=
[ 分析 ] 可先由大边对大角,确定出最大的角,再由正、余弦定 理求出最大角及sin C.
[解析] ∵a>c>b,∴A 为最大角.
由余弦定理变形得: b2+c2-a2 32+52-72 1 cos A= 2bc = =-2. 2×3×5 又∵0° <A<180° ,∴A=120° . 3 ∴sin A=sin 120° =2.
)
2a2 = 2a =a=2.
答案:C
2.在△ABC中,如果sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,那么cos C等
于________.
解析:由条件可设 a=2t,b=3t,c=4t a2+b2-c2 4t2+9t2-16t2 1 cos C= 2ab = =-4. 2×2×3t2
1 答案:-4
1.2 余弦定理
第1课时 余弦定理
பைடு நூலகம்
1.能证明余弦定理,了解并可以从向量方 法、解析方法和三角方法等多种途径证 明余弦定理; 重点:余弦定理的理 解和简单应用.
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形; 难点:余弦定理的推 3.了解余弦定理与勾股定理之间的联系, 导及解决简单的三角 知道解三角形问题的几种情形及其基本 解法. 形度量问题.
1 3 3 解法二 由 b<c,B=30° ,b>csin 30° =3 3×2= 2 知本题有两解. 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C= = = , b 3 2 ∴C=60° 或 120° , 当 C=60° 时,A=90° , 由勾股定理 a= b2+c2= 32+3 32=6,

高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理(2)课件新人教a必修5

高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理(2)课件新人教a必修5
第一章 §1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、 证明及形状判断等问题.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中,sin 2A=sin 2B.则A,B一定相等吗?
答案
∵A,B∈(0,π),∴2A,2B∈(0,2π), ∴2A=2B或2A=π-2B, 即 A=B 或 A+B=2π.
梳理
判断三角形形状,首先看最大角是钝角、直角还是锐角;其次看是否 有相等的边(或角).在转化条件时要注意等价.
知识点三 证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时,如图,以点C为圆心,以a为半径作圆,
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系: ①当a<CD时,无解; ②当a=CD时,一解; ③当CD<a<b时,则圆与射线AB有两个交点,此时B为锐角或钝角,此 时B的值有两个. ④当a≥b时,一解. (4)如果a>b,则有A>B,所以B为锐角,此时B的值唯一.
引申探究 将本例中的条件(a+b+c)(b+c-a)=3bc改为(b2+c2-a2)2=b3c+c3b- a2bc,其余条件不变,试判断△ABC的形状. 解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状,往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化, 经过化简变形,充分暴露边、角关系,继而作出判断. (2)在余弦定理中,注意整体思想的运用,如:b2+c2-a2 =2bccos A,b2+ c2=(b+c)2-2bc等等.
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B=bcos A,当时是把边化 成了角;现在我们学了余弦定理,你能不能用余弦定理把角 化成边?

高中数学 1.3正弦定理、余弦定理的应用课件 苏教版必修5

高中数学 1.3正弦定理、余弦定理的应用课件 苏教版必修5

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8
知识点3 三角形中有关公式
P=a+b+c(P 为三角形的周长);S=12aha(ha 表示 a 边上的高);
S=21absin C=12acsin B=21bcsin A;
栏 目


S=a4bRc(可用正弦定理推得,R 为外接圆半径);
S=21r(a+b+c)(r 为内切圆半径).
还需要熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余
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栏 目 链 接
13
名师点评:测量两个不可到达的点之间的

距离问题.首先把求不可到达的两点A,B

之间的距离转化为应用余弦定理求三角形

的边长问题,然后在相关三角形中利用正

弦定理计算其他边.
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14
►变式迁移
1.地平面上有一旗杆OP,为了测得它的高度h,在地
面上取一基线AB,测得AB=20 m,在A处测得P点的
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3




栏 目


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4
1.正确掌握利用正、余弦定理解斜三角形的基本方 栏
法,并能判断解的情况.

2.合理建立数学模型,体会数形结合的思想方法.
链 接
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5
要点导航
栏 目


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6
知识点1 解斜三角形应用题的步骤
(1)准确理解题意,分清已知与所求,准确理解
应用题中的有关名称、术语,如坡度、仰角、俯

解得 h=
20 4-
≈13.3(m). 3
所以旗杆的高度约为 13.3 m.

#高中数学必修五:1.1.2-2《余弦定理》(人教A版必修5)

#高中数学必修五:1.1.2-2《余弦定理》(人教A版必修5)
进而求出其他角.

a2+42-c2 8a

8-c2+42-c2 88-c

108- -2cc.②
由①②知8- 2cc=180--c2c,整理得5c2-36c+64=0.
∴c=156或c=4(舍),∴a=8-c=254.故a=254,c=156.
1.余弦定理的正确理解
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这
3.在△ABC中,已知b=1,c=3,A= 60°,则a=________.
4.在△ABC中,若(a+b)2=c2+ab,则 角C等于________.
解析:∵(a+b)2=c2+ab,∴c2=a2+b2 +ab.
又c2=a2+b2-2abcosC.∴a2+b2+ab= a2+b2-2abcosC.
②确定三角形的形状.
解答本题先由正弦定理将边转化为角,然 后由三角恒等式进行化简,得出结论;也 可先由余弦定理及同角三角函数关系转化 成边之间的关系,然后由边的关系确定三
则 条 件 转 化 为 4R2·sin2C·sin2B + 4R2·sin2C·sin2B
=8R2·sinB·sinC·cosB·cosC, 又sinB·sinC≠0, ∴sinB·sinC=cosB·cosC, 即cos(B+C)=0. 又0°<B+C<180°, ∴B+C=90°, ∴A=90°,故△ABC为直角三角形.
解:∵sinC>0 且 sinC+cosC<0, ∴cosC<0, 则 cosC=- 1-sin2C=-45. 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC, 得 c2=4+25-2×2×5×(-45)=45, ∴c=3 5.
[ (c + a)∶(a+b)=4∶5∶6,求△ABC的最大内 角的正弦值.

【优质课件】苏教版必修5高二数学1.3《正弦定理、余弦定理的应用》一优秀课件.pptx

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感谢各位老师!
祝江中有两条船相距30 m,船 与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和 30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则炮台高____ m. 解析 设两条船所在位置分别为A、B两点,炮台底部所在位 置为C点,
当堂测·查疑缺
1234
1.如图,在河岸AC上测量河的宽度BC, 测量下列四组数据,较适宜的是__④___组. ①a,c,α ②b,c,α ③c,a,β ④b,α,γ 解析 由α、γ、b,可利用正弦定理求出BC,其余不符 合题干要求.
1234
3.我炮兵阵地位于地面A处,两观察所分 别位于地面点C和D处,已知CD=6 km, ∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于 地面点B处时,测得∠BCD=30°,∠BDC =15°(如图),求我炮兵阵地到目标的距离.
1234
1234
解 在△ACD中,∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°, ∠ACD=45°,
§
内容
Contents
Page 索引
01
明目标、 知重点
填要点· 记疑点
02
03
探要点· 究所然
当堂测· 查疑缺
04
明目标、知重点
1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测 量问题. 2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测 量问题. 3.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能 力,并激发探索精神.
探究点三 求高度问题
例3 如下图,AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑 物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法.
反思与感悟 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题 时,通常都根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个 三角形,然后通过解这些三角形,得出实际问题的解.和 高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.

数学苏教版必修5 正弦定理、余弦定理应用 第2课时

数学苏教版必修5 正弦定理、余弦定理应用 第2课时

正弦定理、余弦定理应用第二课时●教学目标知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题。

过程与方法:本节课是解三角形应用举例的延伸。

采用启发与尝试的方法,让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图,帮助学生逐步构建知识框架。

通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。

教学形式要坚持引导——讨论——归纳,目的不在于让学生记住结论,更多的要养成良好的研究、探索习惯。

作业设计思考题,提供学生更广阔的思考空间。

情感态度与价值观:进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力。

●教学重点:结合实际测量工具,解决生活中的测量高度问题.●教学难点 :能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键条件.教具准备:与教材内容相关的资料。

教学设想:通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。

教学形式要坚持引导——讨论——归纳,目的不在于让学生记住结论,更多的要养成良好的研究、探索习惯。

●教学过程:学生探究过程:课题导入: 现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢?又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢?今天我们就来共同探讨这方面的问题.[范例讲解]例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法。

分析:求AB 长的关键是先求AE ,在∆ACE 中,如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ,再测出由C 点观察A 的仰角,就可以计算出AE 的长。

解:选择一条水平基线HG ,使H 、G 、B 三点在同一条直线上。

由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β,CD = a ,测角仪器的高是h ,那么,在∆ACD 中,根据正弦定理可得 AC = )sin(sin βαβ-a AB = AE + h= AC αsin + h = )sin(sin sin βαβα-a + h 例2、如图,在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒,在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒。

必修5 余弦定理(二)

必修5 余弦定理(二)

3.三角变换公式
(1)cos (α+β)= (2)cos (α-β)= (3)cos 2α= cos αcos β-sin αsin β ; cos αcos β+sin αsin β ; 2cos2α-1= 1-2sin2α .
cos2α-sin2α=
题型一 判断三角形的形状 例1、在△ABC中, a b c , 那么A是(A)
2 2 2 2 2 2 a + c - b b + c - a 2 2 2 2 b = a ,整理得: ( a + b - c )b a - c · b - c · 2ac 2bc
=(a2+b2-c2)a2,∴a2+b2-c2=0 或 a2=b2, 故三角形为等腰三角形或直角三角形.
法一是用余弦定理将等式转化为边之间
的关系式,法二是借助于正弦定理,将已知等式 转化为角的三角函数关系式.这两种方法是判断
三角形形状的常用手段.
1、化边: 设a是△ABC中最长的边,以a2 与 b2+c2的大小来判断. 2、化角:
2、化角:
(1)若cosA=0,则A=900,所以△ABC为直角三角形. (2)若cosA<0,则△ABC为钝角三角形. (3)若cosA>0且cosB>0且cosC>0,则△ABC为锐角三 角形. (4)若sin2A+ sin2B = sin2C,则C=900,所以△ABC为 直角三角形. (5)若sinA= sinB 或sin(A-B)=0,则A=B,所以△ABC 为等腰三角形. (6)若sin2A= sin2B 则A=B或A+B =900,所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
跟踪演练 1 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边长分别为 a, b, c,已知 a2-c2=2b,且 sin Acos C=3cos Asin C,求 b. 解 法一 在△ABC 中,∵sin Acos C=3cos Asin C, 则由正弦定理及余弦定理有:

必修五1.1.2余弦定理(强烈推荐,公开课)

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0
问:怎么样算AB的长度?
A
B
C
复习回顾:
1.正弦定理的内容 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。 a b c 即在ABC中, 2R sin A sin B sinC
2.用正弦定理解三角形需要已知哪些条件?
(1)已知三角形的两角和一边
(2)已知两边和其中一边的对角。
若已知三角形的三边,或者是两边及其 夹角,能否用正弦定理来解三角形呢?
练一练:会用才是硬道理
例1、在△ABC中,已知a =1 , c = 2 ,
B =150 ,求b. 变式1、已知△ABC的三边为 7 、2、1, 求它的最大内角.
变式2、在三角形ABC中,已知 a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状
b 2 a 2 c 2 B (90 ,180 )


思考:已知三角形三边长为a,b,c,怎样判断 △ABC是锐角三角形,直角三角形还是钝角三角 形?
归纳:设a是最长边,则 △ABC是直角三角形 <=> a2=b2+c2
△ABC是锐角三角形<=> a2<b2+c2
△ABC是钝角三角形<=> a2>b2+c2
13 例2 在△ABC中,已知a=7,b=8,cosC= , 14 求最大角的余弦值. 分析:求最大角的余弦值,最主要的是判断哪 个角是最大角.由大边对大角,已知两边可求 出第三边,找到最大角. 2 a2 b2 2abcosC c 解:
一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例1、在ABC中,已知b 3, c 2 3 , A 30 ,

求角B、C和边a的值
解:由余弦定理知, a b c 2bc cos A

苏教版高中数学必修五课件1.2余弦定理(2)

苏教版高中数学必修五课件1.2余弦定理(2)
sin A sin B sin C
R为△ABC的外接圆半径,将原式化为 4R2sin2Bsin2C+4R2sin2Csin2B =8R2sinBsinCcosBcosC,
所以8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC,
变式训练: 在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B =2bc·cosBcosC,试判断三角形的形状。
cos A b2 c2 a2 cos B a2 c2 b2 cos C a2 b2 c2
2bc
2ac
2ab
例1.在长江某渡口处,江水以5km/h的速度向东流,一渡船在江
南岸的A码头出发预定要在0.1h后到达江北岸的B码头(如图),
设 为正AN北方向,已知B码头在A码头的北偏东 , 15
故△ABC是直角三角形。
例3. 如图,AM为 ABC中BC边上的中线,
A
求证:AM 1 2 AB2 AC2 - BC2 2
证明:设AMB ,则AMC 180

在 AMB中,由余弦定理,得
B

C
AB2 AM 2 BM 2 2AM MB cos 在 AMC中,由余2 c2 )2 c2(a2 c2 b2 )2
2ab
2ac
2bc a2 c2 b2 a2 b2 c2
2ac
2ab
即得,
b2 c2
[(a2 b2
c2 ) (a2 c2 b2 )]2 4a2
得b2+c2=a2,
15 A
DAN DAB NAB
C
ABC 15 9.4
答:渡船应按北偏西9.4的方向, 并以11.7km / h的速度航行.

第一章 1.2 第二课时 余弦定理的应用【2020苏教版高中数学必修5培优新方案 课件】

第一章 1.2  第二课时  余弦定理的应用【2020苏教版高中数学必修5培优新方案 课件】

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结束
[解] 如图所示,设 OP=x m,
在△AOP 中,∵∠POA=90°,∠OAP=30°,∴AO= 3x.
在△BOP 中,∵∠POB=90°,∠OBP=45°,∴BO=x.
在△AOB 中,∠AOB=60°,AB=40,
∴AB2=AO2+BO2-2AO·BOcos∠AOB,
即 1 600=3x2+x2-2 3x×x×12,
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2.学校里有一棵树,甲同学在 A 地测得树尖 D 的仰
结束
角为 45°,乙同学在 B 地测得树尖 D 的仰角为 30°,
量得 AB=AC=10 m,树根部为 C(A,B,C 在同
一水平面上),则∠ACB=________.
解析:如图所示,在 Rt△ACD 中,
∵AC=10,∠DAC=45°,∴DC=10.
Acos B+cos Asin B,即 sin (A-B)=0,因为-π<A-B<π,所
以 A=B,即△Aห้องสมุดไป่ตู้C 是等腰三角形.
法二:由正弦定理得 2acos B=c,再由余弦定理得
2a·a2+2ca2c-b2=c⇒a2=b2⇒a=b.
即△ABC 是等腰三角形.
答案:等腰三角形
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结束
的面积.
解:过 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于 E,则在△DBE 中,
DE=AC=4,BE=5,所以,由余弦定理得
cos∠DBC=322+×532×-542=35.
因为 0°<∠DBC<180°,所以 sin∠DBC=45,

苏教版高中数学必修五课件正、余弦定理应用(2)

苏教版高中数学必修五课件正、余弦定理应用(2)

3 2,
3)
1、(07年全国卷)
若三角形中顶点坐标为A(3, 4), B(0,0),C(c,0) (1)若c5,求sinA的值; sin A 2 5 (2)若AB AC0,求c的值; c 25 5 (3)若A为钝角,求c的取值范围3.
(1)方法一:正弦定理
(3) 余弦定理
方法二:余弦定理 (2) 方法一:向量数量积定义
c 25 3
方法二:勾股定理
2、(07全国卷)在ABC中,A ,边BC 2 3,
3 设内角B=x,周长为y。
(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域;
(2)求y的最大值。
(1)y 4sin x 4sin(2 x) 2 3,(0 x 2 )
3
3
(2)y 4 3 sin(x ) 2 3

在 AMB中,由余弦定理,得
B

C
AB2 AM 2 BM 2 2AM MB cos 在 AMC中,由余弦定理,得
AC2 AM 2 MC2 2AM MC cos 180
cos 180 cos, MB MC 1 BC
AB2 AC2 2 AM 2 1 BC2 2 2
(D)△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角 形
解:△A1B1C1的三个内角的余弦值都大于0,所以△A1B1C1是锐角三角形,
若△A2B2C2也是锐角三角形,则
sinA2=cosA1=sin( -A1),则A2= 2
同理 B2= -B1,C2= -C1, 2
-A1,
2
则 A2+B2+C2=

A)
=cosA+sin(

苏教版数学高二必修五导学案余弦定理1(第2课时)

苏教版数学高二必修五导学案余弦定理1(第2课时)

1.1.2 余弦定理1(第2课时) **学习目标**1.掌握余弦定理的推导过程;2.能初步运用正、余弦定理解斜三角形。

**要点精讲** 1.余弦定理 :三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 即A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=证明:如图,在ABC ∆中,AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、∵+=∴)()(+•+=•222BC BC AB AB +•+=22)180cos(||||2B +-•+= 22cos 2a B ac c +-=,即B ac a c b cos 2222-+=同理可证 A bc c b a cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=评注:当∠C =90︒时,则cosC =0,∴222c a b =+,即余弦定理是勾股定理的推广,勾 股定理是余弦定理的特例 2.余弦定理可以解决的问题利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角 **范例分析**例1.(1)在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+bc ,则A 等于 ( )A .60°B .45°C .120°D .30°AB(2)在△ABC 中,a ︰b ︰c=1︰︰2,A ︰B ︰C 等于 ( )A .1︰2︰3B .2︰3︰1C .1︰3︰2D .3︰1︰2 (3)在△ABC 中,sinA ︰sinB ︰sinC=3︰2︰4,则cosC 的值为( )A .-B .C .-D .例2.在△ABC 中,BC=a , AC=b , a, b 是方程02322=+-x x 的两个根,且2cos(A+B)=1 。

苏教版必修5高二数学1.2《余弦定理》ppt课件(二)

苏教版必修5高二数学1.2《余弦定理》ppt课件(二)

4.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余 弦定理中涉及的是边长的平方,通常转化为一元二次方程 求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足 的基本条件.
编后语
老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
1234
1234
3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2 π
+c2-b2= 3ac,则角 B 的值为___6_____.
解析 ∵a2+c2-b2= 3ac,
∴cos
a2+c2-b2 B= 2ac =
23aacc=
3 2.
∴B=π6.
1234
4.如图,已知四边形ABCD中,AB=2,BC= CD=4,DA=6,且D=60°,试求四边形 ABCD的面积. 解 连结AC,在△ACD中, 由AD=6,CD=4,D=60°, 可得AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos D =62+42-2×6×4cos 60°=28,
探究点二 利用余弦定理判断三角形形状
例2 在△ABC中,已知sin A=2sin Bcos C,试判断该三角
形的形状.
解 由正弦定理和余弦定理,得
sin sin
AB=ab,cos
a2+b2-c2 C= 2ab ,
所以ba=2·a2+2ba2b-c2,整理,得 b2=c2.
因为b>0,c>0,所以b=c, 因此△ABC为等腰三角形. 反思与感悟 题中边的大小没有明确给出,而是通过三个 角的关系式来确定的,因此利用正、余弦定理将角的关系 转化为边的关系来判断.
方法二 根据正弦定理, 2b=a+c可转化为2sin B=sin A+sin C. 又∵B=60°,∴A+C=120°.∴C=120°-A, ∴2sin 60°=sin A+sin(120°-A), 整理得sin(A+30°)=1, ∴A=60°,C=60°. ∴△ABC是等边三角形.

苏教版必修5高二数学1.3《正弦定理、余弦定理的应用》ppt课件(二)

苏教版必修5高二数学1.3《正弦定理、余弦定理的应用》ppt课件(二)

∴S=S△AOB+S△ABC=21OA·OB·sin α+ 43AB2 =12×2×1×sin α+ 43(5-4cos α) =2sinα-3π+45 3. 当 α-3π=2π,α=56π,即∠AOB=65π 时,四边形 OACB 面积 最大.
反思与感悟 利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会 审题及根据题意画示意图,要懂得从所给的背景资料中进 行加工、抽取主要因素,进行适当的简化.
由正弦定理,得sinBC45°=sinCD30°,BC=CDsinsin304°5°=10 2(m). 在 Rt△ABC 中,tan 60°=BACB,AB=BCtan 60°=10 6(m). 答案 10 6
当堂测·查疑缺
1234
1.一艘海轮从A处出发,以40 n mile/h的速度沿南偏东40° 方向直线航行,30 min后到达B处,在C处有一座灯塔, 海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯 塔 , 其 方 向 是 北 偏 东 65° , 那 么 B , C 两 点 间 的 距 离 是 ________ n mile.
(3)什么时候两人的距离最短? 解 PQ2=48t2-24t+7=48t-142+4, ∴当 t=41时,即在第 15 分钟末,PQ 最短.
答 在第15分钟末,两人的距离最短.
探究点二 正、余弦定理在几何中的应用
例2 如图所示,已知半圆O的直径为2,点A 为直径延长线上的一点,OA=2,点B为半圆 上任意一点,以AB为一边作等边三角形ABC, 求B在什么位置时,四边形OACB面积最大. 解 设∠AOB=α,在△ABO中,由余弦定理得 AB2=12+22-2×1×2cos α=5-4cos α,α∈(0,π),
2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到 达,这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常 用正弦定理和余弦定理,计算出建筑物顶部到一个可到达 的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题.

余弦定理-【优选】苏教版高中数学必修第二册教学PPT课件

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合 作
三角形的元素.




(2)已知三角形的几个元素求_其__他__元__素_的过程叫作解三角形.
分 层





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·
12
·






学 探
1.在△ABC 中,若 b=1,c= 3,A=6π,则 a=________.
·
结 提




1 [a= b2+c2-2bccos A=1.]


·


知 船位于中国南海的 A 处,与我国海岛 B 相距 s n mile.据观测得知有一 养
合 作
外国探油船位于我国海域 C 处进行非法资源勘探,这艘中国海监船




奉命以 v n mile/小时的速度前去驱逐.假如能测得∠BAC=α,BC=
分 层


疑 难
m n mile,你能根据上述数据计算出它赶到 C 处的时间吗?



·
·
21
已知三边解三角形








·





【例 2】 在△ABC 中,已知 a=2 6,b=6+2 3,c=4 3, 养
合 作
求 A,B,C.











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22

[解] 根据余弦定理,cos A=b2+2cb2c-a2
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[例3]
地平面上有一旗杆OP,为了测量它的高度,
在地平面上取一基线AB=40 m,在A处测得P点的仰角
∠OAP=30°,在B处测得P点的仰角∠OBP=45°,又
测得∠AOB=60°,求旗杆的高度(精确到0.1 m)
[思路点拨]
由题意画出示意图,转化为解三角形问
题,利用余弦定理解决.
[精解详析] 如图所示,设 OP=x m, 在△AOP 中, ∵∠POA=90° ∠OAP=30° , , ∴AO= 3x. 在△BOP 中,∵∠POB=90° ,∠OBP =45° , ∴BO=x. 在△AOB 中,∠AOB=60° ,AB=40, ∴AB2=AO2+BO2-2AO· BOcos∠AOB,
解析: 如图,设开始时观测站、商船、 海盗船分别位于 A、 B、C 处,20 分钟后,海盗船到达 D 处,在△ADC 中, AC=10 7,AD=20,CD=30,由余弦定理得
AD2+CD2-AC2 400+900-700 1 cos∠ADC= = = 2. 2AD· CD 2×20×30 ∴∠ADC=60° .在△ABD 中由已知得∠ABD=30° , ∠BAD=60° -30° =30° , 20 40 ∴BD=AD=20,90×60= 3 (分钟).
系,有两种思路:①用边化角,②用角化边.
[精解详析] 法一:利用边的关系来判定. sin C c 由正弦定理,得 = . sin B b 又因为 2cos Asin B=sin C, sin C c 所以 cosA= = . 2sin B 2b b2+c2-a2 由余弦定理,得 cosA= , 2bc
[例 2]
如图,在△ABC 中,已知
4 3 BC=15,AB∶AC=7∶8,sinB= , 7 求 BC 边上的高 AD.
[思路点拨]
由已知条件,设AB=7x,AC=8x,由
正弦定理可求出角C,再利用余弦定理列出关于x的方程, 求得AC、AB,从而求得高AD.
[精解详析] 在△ABC 中, 由已知设 AB=7x, AC=8x, 7x 8x 由正弦定理,得 = , sinC sinB 7 4 3 3 ∴sinC= × = ,∴C=60° (C=120° 舍去,否则由 8 7 2 8x>7x,知 B 也为钝角,不符合要求).
2 2
= 84t2-240t+400 =2 21t2-60t+100.
(2)当 t>2 时(图②), 在△APQ 中,AP=8t,AQ=10t-20, ∴PQ= AQ2+AP2-2AQ· APcos60° =2 21t2-60t+100, 综合(1)(2)可知 PQ=2 21t2-60t+100(t≥0), 30 10 ∴当 t=21= 7 时,PQ 最小. 10 ∴甲、乙两船行驶 7 小时后,相距最近.
[一点通]
利用余弦定理判定三角形形状,
主要有两条思路:其一化边为角,要注意整体 变形思想的运用.其二化角为边,再进行代数 恒等变形,要注意因式分解.
1.在△ABC中,2b2-a2=2bccosA,这个三角形的形 状是________.
b2+c2-a2 解析:由余弦定理知 cosA= ,则 2b2-a2= 2bc b2+c2-a2 2bc× =b2+c2-a2. 2bc ∴b2=c2⇒b=c.
1.用余弦定理判断三角形形状:

(1)在△ABC中,若a2<b2+c2,则0°<A<90°;反之,
若0°<A<90°,则a2<b2+c2.
(2)在△ABC中,若a2=b2+c2,则A=90°,反之,若
A=90°,则a2=b2+c2.
(3)在△ABC中,若a2>b2+c2 ,则90°<A<180°;反之,
答案:等腰三角形
2.(2010· 宿迁高三检测)在△ABC中a,b,c分别为内角A,B, C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求A的大小; (2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.
解:(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,
由余弦定理,得(7x)2=(8x)2+152-2× 15cos60° 8x× , ∴x2-8x+15=0. ∴x=3 或 x=5,∴AB=21 或 AB=35. 4 3 在△ABC 中,AD=ABsinB= 7 AB, ∴AD=12 3或 AD=20 3.
[一点通]
(1)有关长度问题,要有方程意识,设
所以sin (A-B)=0.
因为 A、B 均为三角形的内角,所以 A=B. 又由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,得(a+b)2-c2=3ab, 即 a2+b2-c2=ab. a2+b2-c2 ab 1 所以 cosC= 2ab =2ab=2. 因为 0° <C<180° ,所以 C=60° . 所以△ABC 为等边三角形.
答案: 3
4.在△ABC中,若CB=7,AC=8,AB=9,求 AB
边的中线长.
解: 如图所示, 在△ABC 中, AB2+AC2-BC2 cosA= 2× AB× AC 81+64-49 2 = = , 2× 8 9× 3 ∴CD2=AD2+AC2-
9 9 2 145 2+82-2× × 2× AD× ACcosA= 2 8× = . 2 3 4
即a2=b2+c2+bc.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,
1 故 cosA=-2,又 A∈(0,π),故 A=120° .
(2)由(1)中 a2=b2+c2+bc 及正弦定理得 sin2A=sin2B+ sin2C+sinBsin C. 1 又 sinB+sinC=1,得 sinB=sinC= . 2 因为 0° <B<90° ,0° <C<90° ,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.
1 即 1 600=3x +x -2 3x×x× , 2
2 2
1 600 ∴x = ,∴x=40 4- 3
2
4+ 3 ≈26.6(m). 13
因此旗杆高约为 26.6 m.
[一点通]
利用余弦定理解决实际问题的关
键是根据题意转化成解三角形的问题.
6.海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停
止待修的商船,在商船的正东方有一艘海盗船正 向它靠近,速度为每小时90海里.此时海盗船距 观测站10海里,20分钟后测得海盗船距观测站20 海里,再过________分钟,海盗船到达商船.
40 答案: 3
7.甲船在A处,乙船在甲船正南方向距甲船20海里 的B处,乙船以10海里/小时的速度向正北方向 行驶,而甲船同时以8海里/小时的速度由A处向 北偏西60°方向行驶,求经过多长时间甲、乙
两船相距最近.
解:设甲、乙两船经过 t 小时后相距最近,且分别到达 P、Q 两处,因乙船到达 A 处需 2 小时, (1)当 0≤t≤2 时(图①), 在△APQ 中,AP=8t,AQ=20-10t, ∴PQ= AQ2+AP2-2AP· AQcos120° = 1 20-10t +8t -220-10t8t- 2
若90°<A<180°,则a2>b2+c2.
提醒:①判断三角形形状时,要灵活选用公式,
做到事半功倍.②注意题目中的隐含条件,防止增
解或漏解.
2.利用余弦定理解决实际问题时,关键是根 据所求问题将已知量置于可解三角形内,通过解三 角形解决.
点此进入
未知数,列方程求解是经常用到的方法.
(2)要灵活运用正、余弦定理及三角形面积公式.
(3)要注意与平面几何知识的运用,必要时可做辅
助线.
3.在△ABC 中,AB=2,AC= 6,BC=1+ 3,AD 为 边 BC 上的高,则 AD 的长是________.
AB2+BC2-AC2 1 解析:∵cosB= =2, 2AB· BC ∴B=60° . ∴AD=ABsinB= 3.
2 2 2 c b +c -a 所以 = ,即 c2=b2+c2-a2. 2b 2bc
所以 a=b.
又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 所以(a+b)2-c2=3ab,所以4b2-c2=3b2, 所以b=c.
所以a=b=c,因此△ABC为等边三角形.
法二:利用角的关系来判定. 因为A+B+C=180°,所以sin C=sin (A+B) 又因为 2cos Asin B=sin C, 所以2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B.
第 一 章 解 三 角 形
1.2 余 弦 定 理
第 二 课 时 余 弦 定 理 的 应 用
考点一 把握热点考向 考点二 考点三
应用创新演练
第二课时
余弦定理的应用
[例1]
在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
且2cos Asin B=sin C,试确定△ABC的形状. [思路点拨] 已知条件中既有边的关系又有角的关
145 ∴中线 CD 的长为 . 2
5.如右图所示, 在四边形 ABCD 中, AC 平分∠DAB,∠ABC=60° ,AC=7, 15 3 AD=6,S△ACD= 2 .求 AB 的长.
解:在△ACD 中, 1 S△ACD=2AC· ADsin∠1, 15 3 2S△ACD 2× 2 5 3 ∴sin∠1=AC· = 7× = 14 , AD 6
5 3 ∴sin∠2= 14 .在△ABC 中, ACsin∠2 BC= sin60° =5 11 且 cos∠2= 1-sin2∠2=14, ∴BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos∠2, 即 25=AB2+49-11AB,(AB-8)(AB-3)=0, ∴AB=8 或 AB=3. 由大边对大角知 AB=3 应舍去. ∴AB=8.
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