2017年福建省高一数学竞赛试题 Word版含答案

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福建省高一数学竞赛试题参考答案

2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）??的子集有（集合1.）Nx?xx?1?3，A?A．4个B．8个C．16个D．32个【答案】 C??。

3 ，，，1，知，结合，得A?20【解答】由x?1?3Nx?x?4?2?4个。

的子集有∴162?A lll与两坐标轴围成的三角形的面对称，则：2．若直线关于直线与直线xy?1??2xy122积为（）211C．B．D．A．1 324【答案】 D ?l的对称点关于直线则【解答】在直线，：取点xy?(?11)0，?1)，y?2x?1AA(0，0)A(?1l 上。

在直线2ll。

在直线的交点又直线与直线x?y1)P，(11211?l。

过和∴两点，其方程为?xy?1)0)，P(1A?(1，22211ll与坐标轴围成的三角形的面积为。

与坐标轴交于和∴两点，)，(00)(?1，22243．给出下列四个判断：（1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。

aa bbP??????。

，和直线，若（2）对平面，则，??l∥ll??????。

和直线，若，则（3）对平面，，?l∥?ll?????ll∥ll∥lll。

内一点，且（4）对直线，，和平面，则，若过平面P2211122其中正确的判断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】 B【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。

????内，且不在直线上时，，过1），设的平面为和在平面，则当点对于（ba∥aabP 找不到直线同时与，都相交。

a b中点，则二面，为4．如图，已知正方体DC?ABABCD CDE1111）角的正切值为（BAB?E?12222 D．．A．1 B ． C 4【答案】 D图第4题于如图，作于，作，连结。

【解答】ABFO?OEOFABEF?1为正方体，知由，。

ABABCD?ABCDEF?面ABBA?EF1111111，。

2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案

2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合203x A x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，，则集合A 中所有元素的和为（）A ．1-B ．0C ．2D ．3 【答案】 B 【解答】由203x x +≤-，得23x -≤<。

又x Z ∈。

因此{}21012A =--，，，，。

所以，集合A 中所有元素的和为0。

2．已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π，则三棱锥A BCD -的体积为（）A ．43B ．23C ．16D ．19【答案】 C【解答】设AB AC AD a ===，则三棱锥A BCD -外接球的半径2R =。

由243R ππ=，得2R =。

∴ 1a =，三棱锥A BCD -的体积31166V a ==。

3．已知x 为实数，若存在实数y ，使得20x y +<，且23xy x y =-，则x 的取值范围为（）A ．(43)(0)--⋃+∞，， B ．(02)(4)⋃+∞，， C ．(4)(30)-∞-⋃-，， D ．(0)(24)-∞⋃，，【答案】 C 【解答】由23xy x y =-，得23xy x =+ ∵ 20x y +<， ∴ 2203x x x +<+，即(4)03x x x +<+，解得4x <-或30x -<<。

∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-⋃-，，。

BC（第2题图）4．m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（）（1）对m 、n 外任意一点P ，存在过点P 且与m 、n 都相交的直线；（2）若m α⊥，n m ∥，n β∥，则αβ⊥；（3）若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥；（4）若m α∥，n α∥，m β∥，n β∥，则αβ∥。

福建省福州市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年福建省福州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．终边落在第二象限的角组成的集合为（）A ．{α|k π＜α＜+k π，k ∈Z }B ．{α|+k π＜α＜π+k π，k ∈Z }C ．{α|2k π＜α＜+2k π，k ∈Z }D ．{α|+2k π＜α＜π+2k π，k ∈Z }2． +﹣=（）A ．B ．C ．D ．3．已知α是第四象限的角，若cos α=，则tan α=（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣4．sin63°cos33°﹣sin27°sin33°=（）A ．0B ．C ．D ．15．点O 为正六边形ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是（）A ．，B ．，C ．，D ．， 6．点（tan3，cos3）落在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．角α的终边与单位圆交于点（，﹣），则cos （α﹣）=（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣8．已知函数f （x ）=sin2（x +φ），则（）A ．当φ=﹣时，f （x ）为奇函数B ．当φ=0时，f （x ）为偶函数C ．当φ=时，f （x ）为奇函数D ．当φ=π时，f （x ）为偶函数9．若向量=（4，3），=（﹣1，﹣2），则在方向上的投影为（）A ．﹣2B ．2C ．﹣2D ．210．为得到y=cosx 的图象，只需将y=sin （x +）的图象（）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位11．如图，点P 是半径为1的半圆弧上一点，若AP 长度为x ，则直线AP 与半圆弧所围成的面积S 关于x 的函数图象为（）A．B．C．D．12．将函数f（x）=3cos（x）与g（x）=x﹣1的所有交点从左往右依次记为A1，A2，A3，…，A n，若O为坐标原点，则|++…+|=（）A．0 B．1 C．3 D．5二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.13．已知钝角α满足sinα=，则α=．14．如图所示，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，线段AC与DE交于点P，则tan ∠APD=．15．将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到g（x）的图象，则g（x）=．16．在△ABC中，D为BC中点，直线AB上的点M满足：3=2λ+（3﹣3λ）（λ∈R），则=．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知四点A（﹣3，1）、B（﹣1，﹣2）、C（2，0）、D（3m2，m+4）．（Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）若∥，求实数m的值．18．已知函数f（x）=sin（2x+）．（Ⅰ）用“五点法”作出f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（Ⅱ）写出f（x）的对称中心以及单调递增区间；（Ⅲ）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合．19．已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x+4sin cos cosx．（Ⅰ）求f（x）的周期；（Ⅱ）若f（）=，求f（α+）的值．20．在△ABC中，AB=2，AC=，∠BAC=60°，设D为△ABC所在平面内一点，=2．（Ⅰ）求线段AD的长；（Ⅱ）求∠DAB的大小．21．如图，点P为等腰直角△ABC内部（不含边界）一点，AB=BC=AP=1，过点P作PQ∥AB，交AC于点Q．记∠PAB=θ，△APQ面积为S（θ）．（1）求S（θ）关于θ的函数；（2）求S（θ）的最大值，并求出相应的θ值．22．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）部分图象如图所示，点P为f（x）与x轴的交点，点A，B分别为f（x）图象的最低点与最高点，•=||2．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若x∈[﹣1，1]，求f（x）的取值范围．2017-2018学年福建省福州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．终边落在第二象限的角组成的集合为（）A．{α|kπ＜α＜+kπ，k∈Z}B．{α|+kπ＜α＜π+kπ，k∈Z}C．{α|2kπ＜α＜+2kπ，k∈Z}D．{α|+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z}【考点】象限角、轴线角．【分析】直接由象限角的概念结合轴线角得答案．【解答】解：∵终边落在y轴正半轴的角的集合为{α|α=，k∈Z}，终边落在x轴负半轴的角的集合为{α|α=π+2kπ，k∈Z}，∴终边落在第二象限的角组成的集合可表示为{α|+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z}．故选：D．2． +﹣=（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】根据向量加减的运算性质直接计算即可．【解答】解：故选D．3．已知α是第四象限的角，若cosα=，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由α为第四象限角，以及cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可确定出tanα的值．【解答】解：∵α是第四象限的角，若cosα=，∴sinα=﹣=﹣，则tanα==﹣，故选：D．4．sin63°cos33°﹣sin27°sin33°=（）A ．0B ．C ．D ．1【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式、两角和的正弦公式化简三角函数式，可的结果．【解答】解：sin63°cos33°﹣sin27°sin33°=sin63°cos33°﹣cos63°sin33°=sin （63°﹣33°）=sin30°=，故选：B ．5．点O 为正六边形ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是（）A ．，B ．，C ．，D ．，【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】向量作为向量基底，则两向量不能共线．根据图形是否共线进行判断．【解答】解：由图形可知：与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量，故选：B ．6．点（tan3，cos3）落在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】三角函数值的符号．【分析】根据角度3弧度的位置判定点的各坐标符号．【解答】解：因为＜3＜π，所以3在第二象限，所以tan3＜0，cos3＜0，故点（tan3，cos3）落在第三象限；故选：C ．7．角α的终边与单位圆交于点（，﹣），则cos （α﹣）=（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】化简所求为sin α，利用三角函数的坐标法定义得到sin α．【解答】解：由已知sin α=，又cos （α﹣）=sin α=；故选：B ．8．已知函数f （x ）=sin2（x +φ），则（）A．当φ=﹣时，f（x）为奇函数B．当φ=0时，f（x）为偶函数C．当φ=时，f（x）为奇函数D．当φ=π时，f（x）为偶函数【考点】正弦函数的图象．【分析】根据诱导公式、正弦函数和余弦函数的奇偶性逐项化简、判断即可．【解答】解：A、f（x）=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，则f（x）是偶函数，A不符合条件；B、f（x）=sin2（x﹣0）=sin2x，则f（x）是奇函数，B不符合条件；C、f（x）=sin2（x﹣）=sin（2x﹣π）=﹣sin2x，则f（x）是奇函数，C符合条件；D、f（x）=sin2（x﹣π）=sin（2x﹣2π）=sin2x，则f（x）是奇函数，D不符合条件；故选：C．9．若向量=（4，3），=（﹣1，﹣2），则在方向上的投影为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2D．2【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据投影的定义即可求出．【解答】解：∵向量=（4，3），=（﹣1，﹣2），∴=4×（﹣1）+3×（﹣2）=﹣10，||==5∴在方向上的投影为==﹣2，故选：A．10．为得到y=cosx的图象，只需将y=sin（x+）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将y=sin（x+）的图象向左平移个单位可得y=sin（x++）=cosx的图象，故选：C．11．如图，点P是半径为1的半圆弧上一点，若AP长度为x，则直线AP与半圆弧所围成的面积S关于x的函数图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】求出直线AP与半圆弧所围成的面积S关于x的函数S=﹣，确定S在[0，π]上单调递增，S′在[0，π]上单调递增，结合函数的图象，即可得出结论．【解答】解：∵弧AP长度为x，半径为1，∴弧AP所对的圆心角为x，∴直线AP与半圆弧所围成的面积S关于x的函数S=﹣，∴S′=﹣cosx＞0，∴S在[0，π]上单调递增，S′在[0，π]上单调递增，故选：A．12．将函数f（x）=3cos（x）与g（x）=x﹣1的所有交点从左往右依次记为A1，A2，A3，…，A n，若O为坐标原点，则|++…+|=（）A．0 B．1 C．3 D．5【考点】余弦函数的图象．【分析】根据题意画出函数f（x）与g（x）的图象，结合图象求出两函数的交点坐标，再计算++与它的模长即可．【解答】解：函数f（x）=3cos（x）与g（x）=x﹣1的所有交点从左往右依次记为A1（﹣2，﹣3）、A2（1，0）和A3（4，3），如图所示；则++=（3，0），所以|++|=3．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.13．已知钝角α满足sinα=，则α=．【考点】反三角函数的运用．【分析】直接利用特殊角的三角函数，即可得出结论．【解答】解：∵钝角α满足sinα=，∴α=．故答案为：．14．如图所示，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，线段AC与DE交于点P，则tan ∠APD=﹣3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由题意可得△APE∽△CPD，求解直角三角形可得AP、DP的长，由余弦定理求得cos∠APD，进一步得到sin∠APD，再由商的关系得答案．【解答】解：设正方形的边长为1，ABCD为正方形，有AB∥CD，则∠BAC=∠ACD，又∠APE与∠CPD为对顶角，则两角相等，那么△APE∽△CPD，∵E为AB中点，则，DE=，AC=，则DP==，AP=，由余弦定理得：cos∠APD=，sin=．∴tan∠APD=．故答案为：﹣3．15．将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到g（x）的图象，则g（x）=sin（4x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数图象的解析式为：g（x）=sin（4x﹣）．故答案为：sin（4x﹣）．16．在△ABC中，D为BC中点，直线AB上的点M满足：3=2λ+（3﹣3λ）（λ∈R），则=1：1．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】设=x，由题意可知=（+），代入已知条件，整理得（3x﹣λ）=（3﹣2λ），根据向量的基本定理可知只有当3x﹣λ=3﹣2λ=0时等式成立，即可求得x的值，求得的值．【解答】解：设=x，∵D为BC中点∴=（+），3=2λ+（3﹣3λ），可以化为3x=2λ（+）+（3﹣3λ），化简为（3x﹣λ）=（3﹣2λ），∵只有当3x﹣λ=3﹣2λ=0时，（3x﹣λ）=（3﹣2λ）才成立∴λ=，x=，∴=，即M为AB中点=1：1，故答案为：1：1．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知四点A（﹣3，1）、B（﹣1，﹣2）、C（2，0）、D（3m2，m+4）．（Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）若∥，求实数m的值．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】分别根据向量的坐标运算和向量的平行和垂直的条件即可解答．【解答】解：（Ⅰ）∵A（﹣3，1）、B（﹣1，﹣2）、C（2，0），∴=（2，﹣3），=（3，2），∴•=2×3﹣3×2=0，∴⊥；（Ⅱ）∵A（﹣3，1）、D（3m2，m+4），∴=（3m2+3，m+3），∵∥，∴2（3m2+3）=3（m+3），解得m=﹣或m=1．18．已知函数f（x）=sin（2x+）．（Ⅰ）用“五点法”作出f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（Ⅱ）写出f（x）的对称中心以及单调递增区间；（Ⅲ）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．【分析】（1）根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．（2）根据函数的对称性以及函数的单调性即可得到结论．（3）根据函数最值的性质解方程即可．1（2）解：令2x+=kπ，k∈Z，解得：x=kπ﹣，k∈Z，则函数y=sin（2x+）的图象的对称中心的坐标是（kπ﹣，0）k∈Z．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，从而可求得f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（3）由2x+=2kπ+即x=kπ+，k∈Z时，函数f（x）取得最大值1，此时x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．19．已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x+4sin cos cosx．（Ⅰ）求f（x）的周期；（Ⅱ）若f（）=，求f（α+）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦、余弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由周期公式求出f（x）的周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简f（）=，利用平方关系和诱导公式求出f（α+）的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=，∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（）==，∴，则，∴=±，则f（α+）====．20．在△ABC中，AB=2，AC=，∠BAC=60°，设D为△ABC所在平面内一点，=2．（Ⅰ）求线段AD的长；（Ⅱ）求∠DAB的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由题意和余弦定理求出BC、cos∠ACB，由诱导公式求出cos∠ACD，在△ACD中，由条件求出CD，由余弦定理求出AD；（Ⅱ）在△ABD中求出BD，由余弦定理求出cos∠DAB，由内角的范围好特殊角的三角函数值求出∠DAB．【解答】解：（Ⅰ）由题意画出图象：在△ABC中，AB=2，AC=，∠BAC=60°，则由余弦定理得，BC2=AB2+AC2﹣2•AB•AC•cos∠BAC=4+﹣=，所以BC=，由余弦定理得，cos∠ACB===，由∠ACB+∠ACD=π得，cos∠ACD=﹣cos∠ACB=，在△ACD中，由=2得CD=BC=，由余弦定理得，AD2=CD2+AC2﹣2•CD•AC•cos∠ACD==1，则AD=1；（Ⅱ）由（I）得，BD=BC+CD=+=，在△ABD中，由余弦定理得，cos∠BAD===，∵0＜∠BAD＜π，∴∠BAD=．21．如图，点P为等腰直角△ABC内部（不含边界）一点，AB=BC=AP=1，过点P作PQ∥AB，交AC于点Q．记∠PAB=θ，△APQ面积为S（θ）．（1）求S（θ）关于θ的函数；（2）求S（θ）的最大值，并求出相应的θ值．【考点】函数解析式的求解及常用方法；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用正弦定理求出PQ，再利用三角形的面积公式，即可求S（θ）关于θ的函数；（2）利用辅助角公式化简函数，即可得出结论．【解答】解：（1）在△APQ中，由正弦定理可得，∴PQ=sin（45°﹣θ），∴S（θ）=•sin（45°﹣θ）•1•sinθ=sin（45°﹣θ）•sinθ（0°＜θ＜45°），（2）S （θ）=sin （45°﹣θ）•sin θ=（cos θ﹣sin θ）•sin θ=sin2θ﹣•=sin （2θ+45°）﹣，∴2θ+45°=90°，即θ=22.5°时，S （θ）的最大值为﹣．22．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）部分图象如图所示，点P 为f （x ）与x轴的交点，点A ，B 分别为f （x ）图象的最低点与最高点， •=||2．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若x ∈[﹣1，1]，求f （x ）的取值范围．【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）设函数f （x ）的周期是T 、P （a ，0），由图象和周期性表示出A 、B 的坐标，根据向量的坐标运算和向量的数量积运算化简已知的式子，求出T 后由周期公式求出ω；（2）由（1）和x 的范围求出f （x ）、ωx +φ范围，利用正弦函数的性质求出f （x ）的取值范围．【解答】解：（1）设函数f （x ）=sin （ωx +φ）的周期是T ，P （a ，0），则A （a +，﹣1），B （a +，1），∴=（，﹣1），=（，1），∵•=||2，∴，解得T=4，由T=得，ω=；（2）由（1）得，f （x ）=sin （x +φ），∵x ∈[﹣1，1]，∴，又0＜φ＜π，则，∴sin （x +φ）∈（﹣1，1），即f （x ）的取值范围是（﹣1，1）．2018年8月24日。

【全国百强校】福建省2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题+答案

福建2017-2018学年下学期期末考试卷高一数学·必修4一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 角的终边与单位圆交于，则（）A.B.C.D.2. 已知三角形的角的三边为，满足以下条件的三角形的解个数为1的是（）A. B.C.D.3. 若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为（）A.B. 2C.D. 104. 如图，已知表示，则等于（）A. B. C. D.5.（）A. 1B. 2C. 4D. 8 6. 若为平面内一点，且满足，则形状为（）A. 钝角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形 7. 设函数，其中.若且的最小正周期大于，则的值分别为（）A.B.C.D.8. 飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为（）A. 5000米B. 5000米C. 4000米D. 米9. 已知，,则（）A. B. C. D.10. 若方程在区间上有两个实根，则实数取值范围为（）A. B. C. D.11. 已知函数①函数关于对称②函数关于对称③函数最小正周期为④函数向左平移个单位后的新函数为偶函数以上四个命题中，正确的命题的序号是：（）A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①③④12. 已知函数，若函数在区间内单调递减，则的取值范围为( )A. B. C. D.13. 如图，在同一平面内，点位于两平行直线同侧，且到的距离分别为．点分别在上，，则的最大值为( )A. 15B. 12C. 10D. 9二、填空题（每小题5分，共25分）14. 函数的定义域为____________．15. 已知单位向量的夹角为，那么=_______16. 已知，，那么________．17. 在中，，，则_________18. 如图，在中，时，点在边上，，，为垂足若，则__________三、解答题（要求写出过程，共60分）19. 知为两个不共线向量，，(Ⅰ)若∥，求实数；(Ⅱ)若且⊥，求与的夹角.20. 已知向量,，记（Ⅰ）求的单调增区间；（Ⅱ）若，求的值域.21. 如图所示，等腰梯形的点，为半圆上的动点，∥，底边为圆的直径，，. 设等腰梯形的周长为.（Ⅰ）请写出与之间的函数关系；（Ⅱ）当取何值时，等腰梯形的周长最大?22. 如图，锐角三角形中，角所对的边分别为，若（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若线段上存在一点使得，且,，求的面积.23. 已知函数，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像.（Ⅰ）求函数的解析式（Ⅱ）若对任何实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.（Ⅲ）若区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 角的终边与单位圆交于，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由单位圆的性质可得：，则： .本题选择D 选项.2. 已知三角形的角的三边为，满足以下条件的三角形的解个数为1的是（）A. B.C.D.【答案】D【解析】由所给条件：，满足题意的三角形个数为0个；，满足题意的三角形个数为2个；，满足题意的三角形个数为0个；，满足题意的三角形个数为1个；本题选择D 选项.3. 若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为（）A. B. 2 C. D. 10【答案】A【解析】由题意可得：，则向量在向量方向上的投影为 .本题选择A 选项.4. 如图，已知表示，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得： .本题选择D选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．5. （）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】由题意：，则： .本题选择A选项.6. 若为平面内一点，且满足，则形状为（）A. 钝角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形【答案】B【解析】由题意可得：,即：，据此有：，即形状为等腰三角形.本题选择B选项.点睛：判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.7. 设函数，其中.若且的最小正周期大于，则的值分别为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由f(x)的最小正周期大于2π,得，又,得，∴T=3π,则 .∴，∴ .取k=0,得 .∴ .本题选择A选项.8. 飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为（）A. 5000米B. 5000米C. 4000米D. 米【答案】B【解析】试题分析：由题意可得，AB=10000，A=30°，C=45°，△ABC中由正弦定理可得，，，故选B。

福建省福州市2017-2018学年高一下学期期末联考试题数学含答案

2017-2018学年度第二学期八县（市）一中期末考联考高中一年数学科试卷命题学校：长乐一中命题者：长乐一中集备组考试日期： 7 月 3 日完卷时间： 120 分钟满分： 150 分一、选择题（每题5分，共60分）1．已知向量()1,2a =，(3,3)b =--， (),3c x =，若()2//a b c +，则x =（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周六步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长 6步，其所在圆的直径是4步，问这块田的面积是（）平方步？ A. 6B.3C. 12D. 93．，则sin 2α的值为（）ABC ．9D ．94．将函数15cos π26x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=对应的曲线沿着x 轴水平方向向左平移2π3个单位，得到曲线为（）A ．1πcos 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-B ．1sin 2y x =C ．1πsin 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=- D ．1sin 2y x =- 51352cos10cos80-=（） A ．2- B ．12-C ．1-D ．16．如图所示，向量,,,,,OA a OB b OC c A B C ===在一条直线上，且4AC CB =-则( )A. 1322c a b =+ B. 3122c a b =- C. 2c a b =-+ D. 1433c a b =-+7．设向量a 与b 满足2a =，1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +方向学校班级姓名座号准考号： .---------密………封…………装…………订………线----------上的投影为（） A ．12-B ．12C ．1D ． 1-8．函数sin 21cos xy x=+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9．已知非零向量a ，b 满足23a b =，2a b a b -=+，则a 与b 的夹角的余弦值为（） A ．23B ．34C ．13D ．1410．设sin5a π=，cos10b π=，5tan12c π=，则（） A ．c b a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>11. ()f x 在区间ω的值为（） A ．2B ．38C ．103D ．2312．平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，·1AB AD =-，点M 在边CD 上，则·MA MB的最大值为（）A ．1B ．2C ．5D 1二、填空题（每题5分，共20分）13．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为．14则sin cos αα等于．15．当x θ=时，函数()5sin 12cos f x x x =-取得最大值，则cos θ＝________．16．③在ABC △中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则·4AD BC =； ④已知对任意的x R ∈恒有且()f x 在R 上是奇函数，时，()sin f x x =，其中命题正确的是___．三、解答题（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分） 17．已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC m m =---.(1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．18．已知a ，b 是两个单位向量.(1)若|32|3a b -=，求|3|a b +的值； (2)若a ，b 的夹角为3π，求向量2m a b =+与23n b a =-的夹角α.19．已知函数()sin f x x =，先将函数()f x 的图象向右平移6π个单位，再将图象的横坐标扩大3倍，纵坐标扩大2倍得到函数()g x . (1)求函数()g x 的解析式，并求出5()4g π的值； (2)设α，[0,]2πβ∈，10(3)213g πα+=，3cos()5αβ+=，求(32)2g βπ+的值.20．设函数()f x a b =⋅，其中向量()2cos ,1a x =，b ()m x x +=2sin 3,cos ．(1)求函数()x f 的最小正周期和在[]π,0上的单调递增区间； (2)当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围．21．如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωϕωϕπ=+>>∈，[]4,0x ∈-的图象，图象的最高点为(1,2)B -.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DE ． (1)求曲线段FGBC 的函数表达式；(2)如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值．22．已知向量()11,,1,sin(2)62a y b x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，且//a b ，设函数()y f x =．（1）若方程()0f x k -=在[,]2x ππ∈上恰有两个相异的实根αβ、，写出实数k 的取值范围,并求αβ+的值．（2）若()2()1h x f x =-,5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()2cos 43g x h x x λπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭求实数λ的值．2017---2018学年度第二学期八县（市）一中期末考联考高一数学参考答案一、选择题：（每小题5 分，共60 分）二、填空题：（每小题 5 分，共20 分）13. 7π414.25 15. 1213- 16. ②③④三、解答题：（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分）17. 解：（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线， ………1分(3,1)AB OB OA -==，(2,1)AC OC OA m m -==--. …………………3分3(1)2m m ∴-≠- ∴． ……………5分（2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB AC ⊥， ………7分3(2)(1)0m m ∴-+-=…………………………9分…………10分 18．解：（1）因为a ，b 是两个单位向量，所以||||1a b ==，又|32|3a b -=，∴222(32)9||124||9a b a a b b -=-+=，即13a b =. ………2分∴22|3|9||6||91a b a a b b +=++=⨯= ………4分（2）因为227(2)(23)2||6||2m n a b b a b a b a =+-=+-=-， ………6分 222||(2)4||4||41m a b a a b b =+=++=⨯= ………8分222||(23)4||129||41n b a b a b a =-=-+=⨯ ………10分则71cos 2||||7m n m n α-===-⨯，又因为0απ≤≤，所以23πα=. ………12分 19. 解：（1）由题可知：1()2sin()36g x x π=-， ………3分则515()2sin()2sin 2434642g ππππ=⨯-==⨯= ………5分（2）因为110(3)2sin[(3)]2sin 232613g πππααα+=+-==，所以5sin 13α=，[0,]2πα∈，则12cos 13α=，………7分又因为3cos()5αβ+=，[0,]αβπ+∈，则4sin()5αβ+=， ………9分所以3124556cos cos[()]cos()cos sin()sin 51351365βαβααβααβα=+-=+++=⨯+⨯=………11分所以(32)11562sin[(32)]sin()cos 2236265g βπππβπββ+=⨯⨯+-=+==. ..…12分20. (1)()16π2sin 22sin 3cos 22++⎪⎭⎫⎝⎛+=++=m x m x x x f …………3分 ∴函数()x f 的最小正周期π=T ， ……………4分π22π6π2x π22πk k +≤+≤+-π6πx π3πk k +≤≤+-∴()Z k ∈ ……………6分 ∴在[]π,0上的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0，⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,3π2． …………7分(2) 当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0时，()x f 单调递增∴当6π=x 时，()x f 的最大值等于3+m . …………8分当0=x 时，()x f 的最小值等于2+m . …………9分由题设知()4<x f ，即()44<<-x f∴⎩⎨⎧->+<+4243m m ， …………11分解得：16<<-m . ……………………12分21. (1)由已知条件，得2A =， …………1分又∵34T =，212T πω==，∴6πω= ………2分又∵当1x =-时，有2sin()2,6y πϕ=-+= ∴23πϕ=…………4分 ∴曲线段FGBC 的解析式为[]22sin(),4,063y x x ππ=+∈- (2)如图，OC =1CD =，∴2OD =，6COD π∠=，13PMP π∠=……5分解法一：作1PP ⊥x 轴于1P 点， ……6分在1Rt OPP ∆中，12cos OP θ=，12sin PP θ= 在1Rt MPP ∆中，1112sin tan3PP MP MP πθ==，∴1MP ==……8分（注：学过正弦定理可以采用解法二求线段OM 的长度）（解法二：作1PP ⊥x 轴于1P 点，在1Rt OPP ∆中，12sin PP θ=，在OMP ∆中，sin120sin(60)OP OMθ=-∴sin(60)2cos 2cos sin120OP OM θθθ⋅-===-．） ……8分2cos OM θ=……11分当262ππθ+=时，即6πθ=． ……12分 22. 解：（1）()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ …………………1分方程()0f x k -=在[,]2x ππ∈上恰有两个相异的实根∴题中问题等价于函数()y f x =与y k =的图像在[,]2x ππ∈上恰有两个不同的交点用五点法画出()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像（草图略）…………………4分 ∴由图可知：10.2k -<≤ ……………………5分αβ、关于直线56x π=对称 ∴5.3παβ=+ ……………………6分（2）()()2cos 43g x h x x λπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭4sin 2cos 463x x λππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24sin 212sin 266x x λπ⎡π⎤⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222sin 2216x λλ⎡π⎤⎛⎫=---++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……………………8分5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，于是20263x ππ≤-≤，0sin 216x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭……………9分①当0λ<时，当且仅当sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值1，与已知不符．10分 ②当01λ≤≤时，当且仅当sin 26x λπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值221λ+，由已知得23212λ+=，解得12λ=． ……………11分 ③当1λ>时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值41λ-，由已知得3412λ-=，解得58λ=，矛盾．……………12分综上所述，12λ=．。

福建省高一数学竞赛-参考答案

2014年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月11日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合{}1A x x a =-<，{}22x B y y x ==≤，，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围为（）A ．(]1-∞，B ．(1)-∞，C ．(]01，D ．(]3-∞，【答案】 A【解答】0a ≤时，A φ=，符合要求。

0a >时，(11)A a a =-+，，(]04B =，。

由A B A ⋂=知，A B ⊆。

1014a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得01a <≤。

∴ a 的取值范围为(]1-∞，。

2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（）A ．27 B ．27 C ．43π D ．163π 【答案】 A【解答】设圆锥底面半径为R ，母线长为l ，则1222l R ππ⨯=，2l R =。

又2122S l ππ==圆锥测。

因此，2l =，1R =。

圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。

所以，其内切球半径123r ==，其体积343V π=⨯=。

3．函数y x = ）A ．⎡-⎣B ．2⎡-⎣C ．1⎡-⎣D ．⎡⎣【答案】 B【解答】由y x -=22224y xy x x -+=-，222240x yx y -+-=。

∴ 2248(4)0y y =--≥△，y -≤≤又2y x ≥≥-，因此，2y -≤≤2⎡-⎣。

4．给出下列命题：（1）设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l α⊥，l m ∥，则m α⊥。

（2）a ，b 是异面直线，P 为空间一点，过P 总能作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一条平行。

（3）在正四面体ABCD 中，AC 与平面BCD 所成角的余弦值为3。

（4）在空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若1BD =，则AC 的取值范围是(0。

其中正确的命题的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】 C 【解答】（1）显然正确。

整理2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

文件编号： 3B -A1-F1-B0-18
整理人尼克
高一数学竞赛试题
高一数学竞赛试题
考生注意：1.本试卷共有2个大题（13个小题）；
2.用黑色中性笔作答；
3.不能使用计算器。

一、填空题（本题满分90分，每小题9分）.
1.若非空集合，，则能使成立的所有的集合是.
2.已知是定义在上的函数,,且对任意的都有则
.
3.在直角坐标平面内，曲线围成的图形的面积是.
4.去掉集合中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，则2014是这个数列的第项.
5.若，则称为集合的孤立元素.的无孤立元素的4元子集有个.
6.集合(不必相异)的并集且求满足条件的集合的有序三元组的个数为.
7.已知集合对它的任意一个非空子集，可以将中的每一个元素
，都乘以再求和（例如,则可求得）对的所有非空子集，这些和的总和为.
8.已知二次函数.(1),(2)对任意的都有
成立，那么.
9.已知（其中）且.则.
10.在集合的子集中，任意两个元素的平方和不是7的倍数.则中元素个数最大值为.
二、解答题（本题满分60分，每小题20分）.
11.求函数的值域
12.锐角△ABC的外心为O，线段OA、BC的中点分别为M，N，∠ABC=4∠OMN，∠ACB=6∠OMN.求∠OMN.
13.已知函数
.
求函数在区间上的最大值.
整理丨尼克
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福建省2016-2017学年高一数学上学期期末联考试题(有答案)

3福建省2016-2017学年高一数学上学期期末联考试题满分 150分考试时间 120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{560}A x x x =-+≤，集合{24}xB x =>，则集合A B =I （）A ．{23}x x ≤≤B ．{23}x x ≤<C ． {23}x x <≤D ．{23}x x << 2. 直线3420x y +-=和直线6810x y ++=的距离是( ) A.35 B. 12 C. 310 D. 153．已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12⊥l l , 则a 的值为( ) A . 8 B. 2 C. 12-D. 2- 4.已知圆221:460C x y y +--+=和圆222:60C x y y +-=，则两圆的位置关系为( ) A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切5. 幂函数223()(1)mm f x m m x +-=--在(0,)+∞上是减函数，则实数m 的值为（）A. 2或1-B. 2C. 1-D. 2-或1 6．三个数20.60.6,ln0.6,2a b c ===之间的大小关系是( )A. c a b <<B.c b a << C . b c a << D ．a c b << 7. 关于不同的直线,m n 与不同的平面,αβ，有下列四个命题：①,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ②,m n αβP P 且αβP ，则m n P ； ③,m α⊥n βP 且αβP ，则m n ⊥； ④,m αP n β⊥且αβ⊥，则m n P ．其中正确的命题的序号是( )． A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④8. 方程2122xx =+的一个根位于区间（） A. 3(1,)2B. 3(,2)2C. 1(0,)2D. 1(,1)29. 已知某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的全面积为( )A . 40+B. 40+C.10. 奇函数()f x 在(,0)-∞上的解析式是()(1)f x x x =+，则()f x 在(0,)+∞上有( )A ．最大值14-B ．最大值14 C ．最小值14-D ．最小值1411. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,4AB BC CC ===，90ABC ∠=︒，,E F 分别为111,AA C B 的中点，沿棱柱的表面从点E 到点F 的最短路径的长度为（）AB．．12. 已知函数()22(0)()22(0)kx k x f x x ax a x -≥⎧⎪=⎨+--<⎪⎩ ，其中R a ∈，若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数)(122x x x ≠，使得)()(12x f x f =成立，则k 的最小值为（） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省高一数学竞赛试题

年福建省高一数学竞赛试题(考试时间：月日上午：一：)、选择题(每小题分，共分).集合A = {x |x-1|<3 ,x^N }的子集有（）•个【答案】【解答】由x—1 <3，知—2<xc4，结合x^N , 得A = {0,1,2,3}•••A的子集有24=16个。

•若直线12与直线l i : y =2x -1关于直线y二x对称，则J与两坐标轴围成的三角形的面积为( )2 1 13 2 4【答案】【解答】在直线11 : y =2x-1取点A(0,-1)，则A0 ,1关于直线y二x的对称点A(-1,0)在直线12上。

又直线11与直线y = x的交点P(1,1)在直线121 1J过AG ,和P(1,两点，其方程为y”1 1• I2与坐标轴交于(-1,0)和(0 ,-)两点，J与坐标轴围成的三角形的面积为—。

2 4•给出下列四个判断：()若a , b为异面直线，则过空间任意一点P，总可以找到直线与a , b都相交()对平面,-和直线1，若二」】，I」，则I// 。

()对平面:,和直线I，若I _ ：■ , 1 ，则：1。

()对直线11 , 12和平面［，若11 //〉，12 // 11，且12过平面〉内一点P，则12 ―其中正确的判断有(）•个•个•个•个【答案】【解答】()、()正确；()、()不止确。

对于()，设a // a，过a和b的平面为〉，则当点P在平面〉内，且不在直线b上时,找不到直线同时与a , b都相交•如图，已知正方体 ABCD , E 为CD 中点，则二面角E —AB , —B 的正切值为()• 2.2【答案】【解答】如图，作EF _ AB 于F ，作F0 _ AB ,于0 ,连结0E 由 ABCD -A 1B 1C 1D 1 为正方体，知 EF _ 面 ABB ,A ,， EF _ AB ,。

又 AB , _ OF 。

因此，AB , _ 面 OEF ，0E _ AB ,。

福建省2017-2018学年高一下学期第一次联考(4月)数学试题Word版含答案

福建省2017-2018学年下学期第一次联考（4月）试题高一数学（考试时间：120分钟总分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．若点)tan ,(sin αα位于第四象限，则角α在（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2．半径为10 cm ，面积为100cm 2的扇形中，弧所对的圆心角为（）A ．2弧度B ．︒2C ．π2弧度D ．10弧度 3．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( )A ．－4B ．4C ．－8D ． 84．设角α的终边上有一点)0)(3,4(≠-a a a P ，则ααcos sin 2+的值是( ) A.52 B. 52- C. 5252-或 D.与α有关但不能确定5．设sin,2011()3(4),2011xx f x f x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，则f (2 012)＝( ) A ．12 B ．－ 12 C ．32 D ．－32 6．下列四个命题中正确的是（）A．向量-,, B. 向量c a c b b a c b a //,//,//,,,则若 C.对于向量b a <+,, D. 四边形ABCD 中，AB CD AD CB +=+uu u r uu u r uuu r uu r7．函数)sin(2)(ϕω+=x x f （0>ω，22ππϕ-<<）的部分图像如图所示，则ω，ϕ的值分别是（）A ．2，－3π B ．2，－6π C ．4，－6π D ．4，3π8．将函数πsin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．π2x =-B ．π4x =-C ．π8x =D ．π4x =9．函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2,2cos ππ在x x y 的图象是（）10．夏季来临，人们注意避暑．如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数()sin y A x B ωϕ=++，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（）A ．25C ︒B ．26C ︒ C ．27C ︒D ．28C ︒ 11．函数sin 2y x =的图象经过怎样的平移变换得到函数sin(2)6y x π=-图象( )A.向左平移π12个单位长度 B.向右平移5π12个单位长度 C.向右平移π12个单位长度 D.向左平移5π12个单位长度 12．下列结论中正确的个数有_________个． ①函数⎪⎭⎫⎝⎛-=122sin πx y 的最小正周期是2π； ②直线127π=x 是函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43sin 2πx y 的一条对称轴； ③若,51cos sin -=+αα且α为第二象限角，则43tan -=α; ④函数)32cos(x y -=在区间⎪⎭⎫⎝⎛3,32上单调递减．A ．0B ．1C ．2D ．3A B C D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知两个不共线向量1e u r ,2e u r ,且121212,34,27,AB e ke BC e e CD e e =+=+=-uu u r u r u r uu u r u r u r uu u r u r u r若,,A B D 三点共线,则k 的值为 .14．若扇形的半径为R ，所对圆心角为α，扇形的周长为定值c ，则这个扇形的最大面积为 .15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) 0,22ππωϕ⎛⎫>-≤≤⎪⎝⎭的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为12,2⎛⎫-⎪⎝⎭，则函数)(x f ＝________________. 16．若11(tan sin )tan sin 022x x x x k +---≥在35,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则k 的取值范是．三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17． (本小题满分10分)已知0<<, tan =2απα-（1）求cos α的值；（2）求222sin sin cos cos αααα-+的值.18．(本小题满分12分)已知四边形ABCD 是一个梯形，//AB CD ，且2AB CD =，M 、N 分别是DC AB 、的中点，已知12,AB e AC e ==uu u r u r uu u r u r(1)试用12,e e u r u r 分别表示,AD MN uuu r uuu r(2)若12122ke e e ke ++u r u r u r u r 与同向共线，求k 的值.19．(本小题满分12分) 已知函数3)62sin(3)(++=πx x f （1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（2）指出)(x f 的周期、振幅、初相、对称轴；20．(本小题满分12分)函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的一段图像过点()0,1，如图所示．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）把函数)(x f y =的图像向右平移(0)2πθθ<<个单位，得到函数)(x g y =在]4,0[π上是单调增函数，求θ的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数),||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数)(x f 的解析式； (2)求函数)(x f 的单调递减区间； (3)若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,3ππx 时，函数m x f x h -+=1)(2)(的图象与x 轴有两个交点，求实数m 的取值范围．22．(本小题满分12分)已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 图像上两条对称轴之间距离的最小值为π2，点)1,0(在函数图像上，当32π=x 时)(x f 取得最大值。

2017年福建省高一数学竞赛试题

2017年福建省高一数学竞赛试题（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合203x A xx Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，，则集合A 中所有元素的和为（） A ．1- B ．0 C ．2 D ．32．已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π，则三棱锥A BCD -的体积为（）A ．43B ．23C ．16D ．193．已知x 为实数，若存在实数y ，使得20x y +<，且23xy x y =-，则x 的取值范围为（）A ．(43)(0)--⋃+∞，，B ．(02)(4)⋃+∞，，C ．(4)(30)-∞-⋃-，，D ．(0)(24)-∞⋃，，4．m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（）（1）对m 、n 外任意一点P ，存在过点P 且与m 、n 都相交的直线；（2）若m α⊥，n m ∥，n β∥，则αβ⊥；（3）若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥；（4）若m α∥，n α∥，m β∥，n β∥，则αβ∥．A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数22()(2)()f x x x x mx n =+++，若对任意实数x 均有(3)(3)f x f x -+=--，则()f x 的最小值为（）A ．16-B ．14-C ．12-D ．10-6．已知a ，b ，c R ∈，若2221a b c ++=，且(1)(1)(1)a b c abc ---=，则a 的最小值为（）A ．16-B ．15-C ．14-D ．13-B1AA二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知定义在[]10-，上的函数()log ()a f x x m =+（0a >，且1a ≠）的值域也是[]10-，，则a m +的值为．8．如图，在三棱锥P ABC -中，5PA PC BA BC ====，6AC =，4PB =．设PA 与ABC 面所成的角为θ，则sin θ的值为．9．已知(912)A -，，(1612)B --，，(00)O ，，点D 在线段OB 内，且AD平分OAB ∠，则点D 的坐标为．10．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，且在区间[]01，上单调递减．若()1f π=，(2)2f π=，则不等式组121()2x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩的解集为．11．已知()2xf x x =+，定义1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，2n =，3，4，…，则2017(3)f = ．12．已知0x >，0y >，0z >，且22251x y z ++=，则2xy yz +的最大值为．三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13．已知21()()3f x ax a x c =+-+，且当11x -≤≤时，1()6f x ≤恒成立．（1）求()f x 的解析式；（2）已知11()A x y ，、22()B x y ，是函数()y f x =图像上不同的两点，1(1)6P -，，且PA PB ⊥．当1x 、2x 为整数，123x x <<时，求直线AB 的方程．Ax y14．过直线l：100(4)(2)4-+-=的两条切线PA、PB，+-=上一点P作圆C：22x yA、B为切点．(1)在l上是否存在点P，使得120∠=︒？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请APB说明理由；(2)若直线AB过原点O，求点P的坐标．15．如图，ABC△为锐角三角形，CF AB△的垂心，M为AH的中⊥于F，H为ABC点．点G在线段CM上，且CG GB⊥．A(1)求证：MFG GCF∠=∠；(2)求证：MCA HAG∠=∠．B16．已知()f x 为定义在(0)(0)-∞⋃+∞，，上的奇函数，且当0x >时，2202()512xx f x x x ⎧-<≤⎪=⎨-->⎪⎩，，．()()g x f x a =-．(1) 若函数()g x 恰有两个不相同的零点，求实数a 的值；(2) 记()S a 为函数()g x 的所有零点之和．当10a -<<时，求()S a 的取值范围．17．设集合S 是一个由正整数组成的集合，且具有如下性质：(1) 对任意x S ∈，在S 中去掉x 后，剩下的数的算术平均数都是正整数； (2) 1S ∈，901S ∈，且901是S 中最大的数．求S 的最大值．（符号S 表示集合S 中元素的个数）2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合203x A xx Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，，则集合A 中所有元素的和为（） A ．1- B ．0 C ．2 D ．3 【答案】 B 【解答】由203x x +≤-，得23x -≤<．又x Z ∈．因此{}21012A =--，，，，．所以，集合A 中所有元素的和为0．2．已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π，则三棱锥A BCD -的体积为（）A ．43B ．23C ．16D ．19【答案】 C【解答】设AB AC AD a ===，则三棱锥A BCD -外接球的半径2R a =．由243R ππ=，得2R =． ∴ 1a =，三棱锥A BCD -的体积31166V a ==．3．已知x 为实数，若存在实数y ，使得20x y +<，且23xy x y =-，则x 的取值范围为（） A ．(43)(0)--⋃+∞，， B ．(02)(4)⋃+∞，， C ．(4)(30)-∞-⋃-，， D ．(0)(24)-∞⋃，，【答案】 C 【解答】由23xy x y =-，得23x y x =+ ∵ 20x y +<， ∴ 2203x x x +<+，即(4)03x x x +<+，解得4x <-或30x -<<． ∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-⋃-，，．B（第2题图）4．m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（）（1）对m 、n 外任意一点P ，存在过点P 且与m 、n 都相交的直线；（2）若m α⊥，n m ∥，n β∥，则αβ⊥；（3）若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥；（4）若m α∥，n α∥，m β∥，n β∥，则αβ∥． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B【解答】（1）不正确．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，取m 为直线BD ，n 为直线11AC ．过点A 的直线l 如果与直线BD 相交，则l 在ABCD 面内，此时l 与直线11AC 不相交．（2）、（3）正确．（4）不正确．如图，正方体1111ABCD A B C D -的面ABCD 内取两条与BC 平行的直线，如图中的直线AD 与EF ，则有11AD BCC B ∥面，11EF BCC B ∥面，1111AD A B C D ∥面，1111EF A B C D ∥面，但11BCC B 面与面1111A B C D 相交而不平行．5．已知函数22()(2)()f x x x x mx n =+++，若对任意实数x 均有(3)(3)f x f x -+=--，则()f x 的最小值为（）A ．16-B ．14-C ．12-D ．10- 【答案】 A【解答】依题意，()f x 的图像关于直线3x =-对称．∴ (6)(0)0f f -==，(4)(2)0f f -=-=．于是，24(366)08(164)0m n m n -+=⎧⎨-+=⎩，解得1024m n =⎧⎨=⎩． 10m =，24n =时，2222()(2)(1024)(2)(4)(6)(6)(68)f x x x x x x x x x x x x x =+++=+++=+++．∴ 222222()(6)8(6)(3)98(3)9f x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+++=+-++-⎣⎦⎣⎦，即2422()(3)10(3)9(3)516f x x x x ⎡⎤=+-++=+--⎣⎦．此时，22(3)(5)16f x x -+=--，22(3)(5)16f x x --=--，符合题意．∴ 2(3)50x +-=，即3x =-±()f x 取最小值16-．1AA （第4题图）6．已知a ，b ，c R ∈，若2221a b c ++=，且(1)(1)(1)a b c abc ---=，则a 的最小值为（）A ．16-B ．15-C ．14-D ．13-【答案】 D【解答】由(1)(1)(1)a b c abc ---=，得1abc ab bc ca a b c abc ---+++-=．∴ 1ab bc ca a b c ++=++-．设a b c x ++=，则1ab bc ca x ++=-．∵ 2222()2()1a b c a b c ab bc ca ++=++-++=，∴ 22(1)1x x --=，解得1x =，即1a b c ++=，0ab bc ca ++=． ∴ ()0ab a b c ++=，即()(1)0ab a b a b ++--=． ∴ 220a b ab a b ++--=，即22(1)0b a b a a +-+-=．由a ，b R ∈知，22(1)4()0a a a =---≥△．∴ 23210a a --≤，解得113a -≤≤．因此，13a ≥-．又当13a =-时，代入前面解得，23b c ==．符合题设要求．∴ a 的最小值为13-．二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知定义在[]10-，上的函数()log ()a f x x m =+（0a >，且1a ≠）的值域也是[]10-，，则a m +的值为．【答案】52【解答】当1a >时，()f x 在[]10-，上为增函数，依题意有(1)log (1)1(0)log (0)0a a f m f m -=-+=-⎧⎨=+=⎩，方程组无解．当01a <<时，()f x 在[]10-，上为减函数，依题意有 (1)log (1)0(0)log (0)1a a f m f m -=-+=⎧⎨=+=-⎩，解得212m a =⎧⎪⎨=⎪⎩．所以，52a m +=．8．如图，在三棱锥P ABC -中，5PA PC BA BC ====，6AC =，4PB =．设PA 与ABC 面所成的角为θ，则sin θ的值为．【答案】5【解答】如图，取AC 中点O ，连接OP ，OB ．∵ 5PA PC BA BC ====，6AC =， ∴ AC OP ⊥，AC OB ⊥，4OP OB ==． ∴ AC POB ⊥面，ABC POB ⊥面面．又由4PB =，知POB △是等边三角形．作PH OB ⊥于H ，则PH ABC ⊥面，且PH =．∴ PAH ∠是PA 与ABC 面所称的角． ∴sin sin 5PH PAH PA θ=∠==．9．已知(912)A -，，(1612)B --，，(00)O ，，点D 在线段OB 内，且AD 平分OAB ∠，则点D 的坐标为．【答案】 9(6)2--，【解答】如图，OB 方程为34y x =，设(43)D t t ，（40t -<<）．又直线AO 方程为430x y +=，AB 方程为2473000x y -+=，AD 平分OAB ∠．∴ 点D 到直线AO 、AB 距离相等．∴ 1699621300525t t t t +-+=．解得，6t =（舍去）或32t =-．AA（第8题图）（第8题图）（第9题图）因此，点D 坐标为9(6)2--，．10．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，且在区间[]01，上单调递减．若()1f π=，(2)2f π=，则不等式组121()2x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩的解集为．【答案】 []282ππ--，【解答】∵ ()f x 是偶函数，且在区间[]01，上单调递减．∴ ()f x 在区间[]10-，上为增函数．又()f x 是以2为周期的周期函数，∴ ()f x 在区间[]12，上为增函数．又()1f π=，(2)2f π=，以及()f x 是以2为周期的偶函数．∴ (2)()1f f ππ-==，(82)(28)(2)2f f f πππ-=-==．又12822ππ<-<-<，∴ 不等式组的解集为[]282ππ--，．11．已知()2xf x x =+，定义1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，2n =，3，4，…，则2017(3)f = ．【答案】2019323-【解答】依题意，有1333(3)523f ==-，2433(3)1323f ==-，3533(3)2923f ==-， …………… 一般地，有23(3)23n n f +=-．所以，201720193(3)23f =-．12．已知0x >，0y >，0z >，且22251x y z ++=，则2xy yz +的最大值为．【答案】12【解答】由222222215(4)()422(2)x y z x y y z xy yz xy yz =++=+++≥+=+，知122xy yz +≤，当且仅当2x y =，且y z =，即x =，y z == 所以，2xy yz +的最大值为12．三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13．已知21()()3f x ax a x c =+-+，且当11x -≤≤时，1()6f x ≤恒成立．（1）求()f x 的解析式；（2）已知11()A x y ，、22()B x y ，是函数()y f x =图像上不同的两点，1(1)6P -，，且PA PB ⊥．当1x 、2x 为整数，123x x <<时，求直线AB 的方程．【解答】（1）依题意，1(0)6f c =≤，11(1)36f c =+≤．∴ 1166c -≤≤，且1126c -≤≤-． ∴ 16c =-． …………………………… 4分此时，1(0)6f =-，可见()f x 在区间[]11-，上的最小值为(0)f ．∴ ()f x 的对称轴为0x =，即103a -=，13a =． ∴ 211()36f x x =-． …………………………… 8分（2）由（1）知，2111111111()16366(1)13PAy x x k x x ----===--+．同理213PBx k -=． ∵ PA PB ⊥， ∴ 1211133PA PB x x k k --⋅=⋅=-． ∴ 12(1)(1)9x x --=-． …………………………… 12分又1x 、2x 为整数，且12x x <，∴ 121911x x -=-⎧⎨-=⎩，或121313x x -=-⎧⎨-=⎩，或121119x x -=-⎧⎨-=⎩．结合23x <，得18x =-，22x =．∴ A 、B 坐标分别为127(8)6A -，、7(26B ，． ∴ 直线AB 的方程为126310x y +-=． …………………………… 16分14．过直线l ：100x y +-=上一点P 作圆C ：22(4)(2)4x y -+-=的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点．（1）在l 上是否存在点P ，使得120APB ∠=︒？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（2）若直线AB 过原点O ，求点P 的坐标．【解答】（1）假设符合条件的点P 存在．则由120APB ∠=︒，知60APC ∠=︒．∵ 2CA =，CA PA ⊥， ∴PC =……………………………… 4分另一方面，由圆心(42)C ，到直线l 的距离d ==，知PC ≥≥ ∴ 符合条件的点P 不存在． ……………………………… 8分（2）设00()P x y ，为直线l 上一点．则PA PB ==．∴ 点A 、B 在以P即点A 、B 在圆22220000()()(4)(2)4x x y y x y -+-=-+--上，即圆2200002284160x y x x y y x y +--++-=上．又点A 、B 在圆C ：22(4)(2)4x y -+-=上，即圆2284160x y x y +--+=上．将上述两圆方程联立，消二次项，得0000(4)(2)42160x x y y x y -+---+=．∴ 直线AB 方程为0000(4)(2)42160x x y y x y -+---+=．…………………… 12分由直线AB 过原点O 知，0042160x y --+=．联立00100x y +-=，解得02x =-，012y =．∴ 点P 的坐标为(212)-，． ……………………………… 16分15．如图，ABC △为锐角三角形，CF AB ⊥于F ，H 为ABC △的垂心，M 为AH 的中点．点G 在线段CM 上，且CG GB ⊥．（1）求证：MFG GCF ∠=∠；（2）求证：MCA HAG ∠=∠．【解答】（1）由条件知，BF FC ⊥，BG GC ⊥，∴ B 、C 、G 、F 四点共圆． ∴ AFG BCG ∠=∠．……………… 4 分 ∵ M 为AH 的中点，∴ MF MA MH ==，AFM FAM ∠=∠．延长AH 交BC 于点N ．由H 为ABC △的垂心知，AN BC ⊥．∴ BAN FCB ∠=∠． ∴ AFM BAN FCB ∠=∠=∠．又MFG AFG AFM ∠=∠-∠，GCF BCG FCB ∠=∠-∠，∴ MFG GCF ∠=∠．……………………………… 8分（2）由（1）知，MFG GCF ∠=∠．又FMG CMF ∠=∠，∴ MFG MCF △∽△． ∴MF MGMC MF=．…………………… 12分又MF MA =，∴MA MGMC MA=．又CMA AMG ∠=∠，∴ MCA MAG △∽△．∴ MCA MAG HAG ∠=∠=∠． ……………………………… 16分（第15题图）BABA（第15题图）16．已知()f x 为定义在(0)(0)-∞⋃+∞，，上的奇函数，且当0x >时，2202()512xx f x x x ⎧-<≤⎪=⎨-->⎪⎩，，．()()g x f x a =-．（1）若函数()g x 恰有两个不相同的零点，求实数a 的值；（2）记()S a 为函数()g x 的所有零点之和．当10a -<<时，求()S a 的取值范围．【解答】（1）如图，作出函数()f x 的草图．由图像可知，当且仅当2a =或2a =-时，直线y a =与函数()y f x =的图像有两个不同的交点．所以，当且仅当2a =或2a =-时，函数()g x 恰有两个不相同的零点．因此，2a =或2a =-． ………………………………… 4分（2）由()f x 的图像可知，当10a -<<时，()g x 有6个不同的零点．………… 8分设这6个零点从左到右依次设为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ．则1210x x +=-，5610x x +=，3x 是方程220x a --+-=的解，4x 是方程220x a --=的解．∴ 2222()10log (2)log (2)10log 2aS a a a a+=---+++=-． …………………… 12分 ∵ 10a -<<时，2411(1)223a a a +=-∈--，， ∴ 2()(log 30)S a ∈-，．∴ 10a -<<时，()S a 的取值范围为2(log 30)-，． ……………………… 16分（第16题图）17．设集合S 是一个由正整数组成的集合，且具有如下性质：(1) 对任意x S ∈，在S 中去掉x 后，剩下的数的算术平均数都是正整数； (2) 1S ∈，901S ∈，且901是S 中最大的数．求S 的最大值．（符号S 表示集合S 中元素的个数）【解答】依题意，设{}123n S x x x x = ，，，，，且1231901n x x x x =<<<<= ．记123n X x x x x =++++ ，1ii X x a n -=-，则*i a N ∈，其中1i =，2，3，…，n ． ∴ 对任意2k n ≤≤，有*11111111k k k k X x x x x X x a a N n n n n -----=-==∈----．………… 5分 ∴ 对任意2k n ≤≤，(1)(1)k n x --．又11(1)(1)k k k k x x x x ---=---，∴ 任意2k n ≤≤，1(1)()k k n x x ---． ∴ 任意2k n ≤≤，1()1k k x x n --≥-．于是，2111221()()()(1)(1)(1)(1)n n n n n x x x x x x x x n n n n ----=-+-++-≥-+-++-=- ．即29011(1)n -≥-，2(1)900n -≤．∴ 31n ≤． ………………………………… 10分另一方面，令3029i x i =-，1i =，2，3，…，31，则{}12331S x x x x = ，，，，符合要求．∴ n 的最大值为31，即S 的最大值为31． …………………………… 14分。

2017年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷及答案

2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合{}2log (1)1A x x =-<，{}2B x x a =-<，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为。

【答案】(15)-，【解答】由2log (1)1x -<，得012x <-<，13x <<，(13)A =，。

由2x a -<，得22x a -<-<，22a x a -<<+，(22)B a a =-+，。

若A B ⋂=∅，则21a +≤或23a -≥，1a ≤-或5a ≥。

∴ A B ⋂≠∅时，a 的取值范围为(15)-，。

2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，3()f x x =，则9()2f =。

【答案】18【解答】由函数(1)y f x =+为偶函数，知(1)(1)f x f x -+=+。

又()f x 为奇函数，∴ (2)()()f x f x f x +=-=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=。

∴ 391111()()()()22228f f f ==--=--=。

3．已知{}n a 为等比数列，且120171a a =，若22()1f x x =+，则12320()()()()f a f a f a f a ++++=L 。

【答案】2017【解答】由22()1f x x =+知，2222212222()()211111()x f x f x x x x x+=+=+=++++。

∵ {}n a 为等比数列，且120171a a =， ∴ 12017220163201521a a a a a a a a =====L 。

福州一中2016—2017学年第一学期高一年级期末质量检测数学试题(有答案)

福州一中2016—2017学年第一学期高一年级期末质量检测数学试题说明：1.本卷共两卷，考试时间120分钟，满分150分.2.答案一律填写在答卷上，在试题上作答无效.3.考试范围：高中数学必修1、必修3. 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.执行如图所示的程序框图．若输出S=15，则框图中①处可以填入（） A. k <2 B. k <3 C. k <4 D. k <52. 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为（）A. 11B. 12C. 13D. 143.我市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（）A. 31.6岁B. 32.6岁C. 33.6岁D. 36.6岁4.定义在R 上的偶函数)(x f 满足(2)(2)f x f x -=+，且在[]2,0x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>在(]2,6x ∈-上恰有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( ) A ．()1,2B ．()2,+∞ C．( D．)25.设函数，，则的值域是（）A ．B ．C ．D ． 6.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A. 31B.21C. 32D.437.执行如图所示的程序框图，如果输入的]2,2[-∈x ，那么输出的y 属于（） A. [5,9] B. [3,9] C. (1,9] D. (3,5]8.设奇函数)(x f 在[−1,1]上是增函数，且1)1(-=-f ，若对所有的∈x [−1,1]及任意的∈a [−1,1]]都满足)(x f ≤122+-at t ，则t 的取值范围是（） A. [−2,2] B. {t t |≤−12或t ≥12或=0} C. [−12,12] D. {t |t ≤−2或t ≥2或t =0} 9.a >0时，函数x e ac x x f )2()(2-=的图象大致是（）A. B. C. D.2()2g x x =-()4,()()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-≥⎩()f x 9[,0](1,)4-+∞[0,)+∞9[,)4-+∞9[,0](2,)4-+∞10.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=2)2(2,2)(2＞，x x x x x f ，函数)2()(x f b x g --=，其中R b ∈，若函数)()(x g x f y -=恰有4个零点，则b 的取值范围是（） A. (47,+∞） B. (−∞,47) C. (0,47) D. (47,2) 11.已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当∈x [2,3]时，1)2()(2+--=x x f ．若函数)1211()(--=x a x f y 在(0,+∞)上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是（） A. (31,3) B. (31,34) C. (3,12) D. (34,12) 12.定义在R 上的奇函数)(x f ，当x ≥0时，⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∈+=),1[,31)1,0[),1(log )(21x x x x x f则关于x 的函数）＜＜10()()(a a x f x F -=的所有零点之和为（）A. a21- B. 12-aC. a--21 D.12--a第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若下列算法的程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 ________．14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=3,83103130,log )(23x x x x x x f ＜＜，若存在实数d c b a ,,,，满足)()()()(d f c f b f a f ===，其中0＞＞＞＞a b c d ，则abcd 的取值范围是________．15.已知函数))((R x x f ∈满足)4()()(x f x f x f -=-=-，当)2,0(∈x 时，)ln()(2b x x x f +-=．若函数)(x f 在区间[−2,2][−2,2]上有5个零点，则实数b 的取值范围是________．16.)(x f )是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有)()4(x f x f =+，且当]0,2[-∈x 时，6)31()(-=x x f ．若在区间(−2,6]内关于x 的方程)1(0)2(log (＞）a x x f a =+-恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，每小题分数见旁注，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分8分）已知集合{}|36A x x =-≤≤，{}|211B x a x a =-≤≤+；（Ⅰ）若2a =-，求B A ⋃；（Ⅱ）若A B B ⋂=，求实数a 的取值范围．18. （本小题满分12分）某校高一（1）班的一次数学考试成绩（满分100分）的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下.解答如下问题.（Ⅰ）求分数在[80,90)的频率；（Ⅱ）若用分层抽样的方法从分数在[50,70)的试卷中任取9份分析无谓失分情况，求在[50,60)中应抽取多少份？（Ⅲ）从分数在[90,100]的学生中选2名同学做经验介绍，请列出所有基本事件，并求成绩为99分的同学被选中的概率.19. （本小题满分8分）如图所示，有一块半径为2的半圆形钢板，设计剪裁成矩形ABCD 的形状，它的边AB 在圆O 的直径上，边CD 的端点在圆周上，若设矩形的边AD 为x ；（Ⅰ）将矩形的面积S 表示为关于x 的函数，并求其定义域；（Ⅱ）求矩形面积的最大值及此时边AD 的长度．20.（本小题满分10分）设为实数，函数．（Ⅰ）当时，求在区间上的值域；（Ⅱ）设函数，为在区间上的最大值，求的最小值.a 2()2f x x ax =-1a =()f x [0,2]()()g x f x =()t a ()g x [0,2]()t a21.（本小题满分17分）若函数()f x 在[],x a b ∈时,函数值y 的取值区间恰为]1,1[ab ，就称区间[],a b 为()f x 的一个“倒域区间”.定义在[]2,2-上的奇函数()g x ，当[]0,2x ∈时，2()2g x x x =-+.（Ⅰ）求()g x 的解析式；（Ⅱ）求函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”；（Ⅲ）若函数()g x 在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数)(x h y =的图像，是否存在实数,使集合()()()2{,}{,}x y y h x x y y x m ==+恰含有2个元素.22.（本小题满分15分）已知定义在R 上的函数2()1x nf x x +=+为奇函数. （Ⅰ）求实数n 的值；（Ⅱ）设函数2()22,g x x x λλ=--若对任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得21()()g x f x >成立，求实数λ的取值范围；（Ⅲ）请指出方程12()log f x x =有几个实数解，并说明理由.m2016-2017学年福州一中第一学期高一年级期末质量检测Ⅱ 数学参考答案与评分标准13.k ≤10或k <11 14.(21,24) 15.41<b ≤1或b =4516.)2,4(3 14-16题函数以及解析依次如下： 14.15.16.17.（本小题满分8分）（Ⅰ）2a =- []5,1B ∴=-- []5,6A B ∴⋃=- ………………3分（Ⅱ）A B B ⋂= ∴B A ⊆ ………………4分当B =∅时，211a a ->+ 2a ∴> ………………5分当B ≠∅时，21121316a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩12a ∴-≤≤ ………………7分综上所述：1a ≥- ………………8分 18.（本小题满分12分）（Ⅰ）分数在[50,60)的频率为0.008100.08⨯=， ………………1分由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为4，所以全班人数为4500.08=（人），则分数落在[80,90)的学生共有50(414204)8-+++=（人），----------------------3分所以分数落在[80,90)的频率为80.1650= 答：分数落在[80,90)的频率为0.16. ----------------------------------------4分（Ⅱ）分数在[50,70) 的试卷共有18份，其中[)50,60 的有4份， ……5分现需抽取容量为9的样本，根据分层抽样原理，在[)50,60中应抽取的份数为49218⨯= 答：在[)50,60中，应抽取2份； ………………7分（Ⅲ）分数分布在[]90,100的学生一共有4人，现从中抽取2人，可能的分数的组合为{}{}{}{}{}{}95,96,95,97,95,99,96,97,96,99,97,99故基本事件总数为6n = ………………8分设事件A 表示“成绩99分的同学被选中”，则事件A 包含的基本事件为{}{}{}95,99,96,99,97,99 ，3A n =………………10分根据古典概型概率公式有：31()62A n P A n ===. 答：成绩为99分的同学被选中的概率为12-………………12分19.（本小题满分8分）（Ⅰ）2OD = A D x =O A ∴………………2分()2,0,2S x x ∴=∈ ………………4分（Ⅱ）2S x ====6分∴当x =max 4S = ………………7分答：当边AD 4 ………………8分 20.（本小题满分10分）（Ⅰ）当时，. 二次函数图象的对称轴为，开口向上.所以在区间上，当时，的最小值为-1.………………1分当或时，的最大值为. ………………2分所以在区间上的值域为. ………………3分（Ⅱ）注意到的零点是和，且抛物线开口向上. 当时，在区间上，的最大值. ………………4分当时，需比较与的大小，，所以，当时，；1a =2()2f x x x =-1x =[0,2]1x =()f x 0x =2x =()f x 0()f x [0,2][1,0]-2()2f x x ax =-02a 0a ≤[0,2]2()()2g x f x x ax==-()g x ()(2)44t a g a ==-01a <<(2)g ()g a 22()(2)(44)44g a g a a a a -=--=+-02a <<()(2)0g a g -<当时，.所以，当时，的最大值. ………5分当时，的最大值. ………………6分当时，的最大值. ………………7分当时，的最大值. ………………8分所以，的最大值 ………………9分所以，当时，的最小值为………………10分 21.（Ⅰ）当[)2,0x ∈-时，()()()()2222g x g x x x x x ⎡⎤=--=---+-=+⎣⎦()[][)222,0,2;2,2,0.x x xg x x x x ⎧-+∈⎪=⎨+∈-⎪⎩ ……………3分（Ⅱ）设1≤＜≤2，∵在[]1,2x ∈上递减，∴ ………………5分整理得，解得． ………………7分 ∴()g x 在[]1,2内的“倒域区间”为⎡⎢⎣⎦. ……………8分（Ⅲ）∵()g x 在[],x a b ∈时,函数值y 的取值区间恰为[]，其中≠,、21a ≤<()(2)0g a g ->02a <<()g x ()(2)44t a g a ==-21a ≤<()g x 2()()t a g a a ==12a ≤≤()g x 2()()t a g a a ==2a >()g x ()(2)44t a g a ==-()g x 244,2,(),22,44, 2.a a t a a a a a ⎧-<⎪⎪=≤≤⎨⎪->⎪⎩2a =()t a 12-a b )(x g ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+-==aa a g ab b b g b 2)(12)(122⎩⎨⎧=---=---0)1)(1(0)1)(1(22b b b a a a ⎪⎩⎪⎨⎧+==251 1b a a b 1,1a b a b≠0，∴，∴、同号．只考虑0＜＜≤2或－2≤＜＜0当0＜＜≤2时，根据()g x 的图像知，()g x 最大值为1，[)11,1,2a a ≤∈，∴1≤＜≤2，由知()g x 在[]1,2内的“倒域区间”为⎡⎢⎣⎦ ………10分当－2≤＜＜0时，()g x 最小值为-1，(]11,2,1b b≥-∈--，∴21a b -≤<≤-,同理知()g x 在[]2,1--内的“倒域区间”为1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.………………11分 ()222,;2,,1.x x x h x x x x ⎧⎡-+∈⎪⎢⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈-⎢⎥⎪⎣⎦⎩……………12分依题意：抛物线与函数()h x 的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此，应当使方程，在[1，]内恰有一个实数根，并且使方程，在[]内恰有一个实数根………………14分由方程在内恰有一根知；………………15分由方程在[]内恰有一根知，…16分综上：＝－2． ……………17分 22.（本小题满分15分）（Ⅰ）函数2()1x nf x x +=+为定义在R 上的奇函数，(0)0f n ∴==--------------2分⎪⎩⎪⎨⎧<<a b b a 11a b a b a b a b a b a b m x x m x 222+-=+251+x x m x 222+=+1,251---m x x =-222]251,1[+02≤≤-m x x m x 222+=+1,251---251-≤≤--m m2(),1x f x x ∴=+22(),11x x f x x x --==-++满足()()0,f x f x +-= 故当且仅当0.n =时2()1xf x x =+为奇函数 ………………3分（Ⅱ）依题意，即满足对任意]1,0[1∈x ，“21()()g x f x >在]1,0[2∈x 上有解” 即满足2max 1()()g x f x >在]1,0[1∈x 上恒成立即满足2max 1max ()()g x f x > ………………5分对于函数2()1xf x x =+，不妨设1201x x ≤<≤1212211222221212(1)()()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ ∵1201x x ≤<，210x x ->， ∴12()()0f x f x -<，∴2()1xf x x =+在[0,1]x ∈上单调递增，1max 1()(1)2f x f ==…7分对于二次函数2()22g x x x λλ=--，对称轴为x λ= ⑴当12λ≥时，2max ()(0)2g x g λ==- 令122λ->得14λ<-，与12λ≥不合，舍去； ⑵当12λ<时，2max ()(1)14g x g λ==-令1142λ->得18λ<.综上所述，符合要求的λ范围是18λ< --------------------------------9分（Ⅲ）方程12|()|log ||f x x = 只有1个实数解.∵函数11222||()|()|log ||log ||1x h x f x x x x =-=-+是定义在(,0)(0,)-∞+∞上，且 ()()h x h x -=，即函数()h x 是偶函数， ………………10分先讨论()h x 在(0,)+∞上的零点个数. 此时122()log 1xh x x x ==-+ 当1x ≥时，201xx >+，12log 0x ≤，122()log 01x h x x x =->+恒成立，不存在零点；11分当01x <<时，分析函数122()log 1xh x x x ==-+的单调性，由（Ⅱ）知，2()1xf x x =+在(0,1)上单调递增，而对数函数12log y x =在(0,1)上单调递减， ∴函数122()log 1xh x x x =-+在(0,1)上单调递增，且连续不断， 123()10255h =-=-<，1(1)02h =>， ………………12分 ∴函数()h x 在(0,1)上有唯一零点，综合⑴⑵知函数()h x 在(0,)+∞上有唯一零点， -------------------------------13分所以函数()h x 在(,0)(0,)-∞+∞上只有两个零点，∴方程12|()|log ||f x x = 有2个实数解. -------------------------------15分。

2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 (1)

CA CB 2 2 , CA CB 。
1 由 △CDE 的面积为 2 ，得 mn 2 ， mn 4 。 2
由 k 0 ，得 m n 。因此， 2 m 2 2 。设 DE 交 y 轴于点 F ，点 F 到 CA 、 CB 的距离相等，设为 t 。则 S△CDE ∴
t 7) 。【解答】由点 A 在直线 l1 ： x y 7 0 上，设 A(t ，
由 AB 中点为 P (1 ， 2) ，知 B (2 t ， 11 t ) 。 ∵ ∴ ∴ 点 B 在直线 l2 ： 13 x 3 y 11 0 上，
13(2 t ) 3(11 t ) 11 0 。解得， t 3 。 A(3 ， 4) ， kl k PA
x1 x2 x3 x4 x5 11 。
（第 5 题答题图）
3
6．已知点 A(2 ， 0) ， B (2 ， 0) ， C (0 ， 2) ，直线 y kx b （ k 0 ）交线段 CA 于点 D ，交线段 CB 于点 E 。若 △CDE 的面积为 2 ，则 b 的取值范围为（
2
因此， B (1 ， 0) (1 ， 2) 。所以， A B (1 ， 2) 。 2．若直线 l 与两直线 l1 ： x y 7 0 ， l2 ： 13 x 3 y 11 0 分别交于 A ， B 两点，且线段 AB 中点为 P (1 ， 2) ，则直线 l 的斜率为（ A． 2 【答案】 B B． 3 C． 2 ） D． 3
1) A． ( 2 1 ，
）
2 D． 2 1 ， 3
2 B． 2 2 ， 3
3 C． 2 2 ， 4

福建省2018届高一竞赛数学试题+Word版含答案

2018年福建省高一数学竞赛试题一、选择题：本大题共6个小题,每小题6分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|1327x A x =≤≤，{}22|log ()1B x x x =-<，则AB =（）A ．(12)，B ．(]13-，C ．[)02，D ．(1)(02)-∞-，，2.若直线l 与两直线1l ：70x y --=，2l ：1313110x y +-=分别交于A ，B 两点，且线段AB 中点为(12)P ，，则直线l 的斜率为（） A ．2- B ．3- C ．2 D ．33.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、E 分别为棱BC 、1BB 的中点，N 为正方形11B BCC 的中心.l 为平面1A MN 与平面1A MN 与平面1D BE 的交线，则直线l 与正方体底面ABCD 所成角的大小为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒4.如图，在三棱锥S ABC -中，6SA SB AB BC CA =====，且侧面ASB ⊥底面ABC ，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（）A ．60πB ．56π C.52π D ．48π5.已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]22210()201x x f x x x ⎧--∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，，，，且(2)()f x f x +=，52()2xg x x -=-，则方程()()f x g x =在区间[]37-，上的所有实根之和为（）A ．14B ．12 C.11 D ．76.已知点(20)A -，，(20)B ，，(02)C ，，直线y kx b =+（0k >）交线段CA 于点D ，交线段CB 于点E .若CDE △的面积为2，则b 的取值范围为（）A ．11)，B ．223⎛⎤ ⎥⎝⎦， C.324⎛⎤- ⎥⎝⎦， D ．213⎤⎥⎦，二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）7.函数23()log )f x x ⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦的最小值为． 8.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =.E 、F 分别为PD 、BC 的中点，则二面角E FD A --的正切值为．9.若函数22()24f x x ax a =-+-在区间22a a ⎡⎤-⎣⎦，（0a >）上的值域为[]40-，，则实数a 的取值范围为．10.已知集合{}13579A =，，，，，集合a B a A b A a b b ⎧⎫=∈∈≠⎨⎬⎩⎭，，且，则集合B 中元素的个数为．11.为有理数的所有正整数n 的和为． 12.给出下列10个数：1，2，4，8，16，32，64，a ，b ，c ，其中a ，b ，c 为整数，且64c b a >>>.若对每个正整数753n ≤，都可以表示成上述10个数中某些数的和（可以是1个数的和，也可以是10个数的和，每个数至多出现1次），则b 的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13.已知DEF △三边所在的直线分别为1l ：2x =-，2l ：40x -=，3l ：40x -=，C 为DEF △的内切圆.（1）求C 的方程；（2）设C 与x 轴交于A 、B 两点，点P 在C 内，且满足2PC PA PB =⋅.记直线PA 、PB 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的取值范围.14. 函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用 function 这个词，1734 年瑞士数学家欧拉首次使用符号()f x 表示函数.1859 年我国清代数学家李善兰将function 译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题.已知函数()f x 满足：对任意的整数a ，b 均有()()()2f a b f a f b ab +=+++，且(2)3f -=-.求(96)f 的值.15.如图，PA 、PBC 分别为O 的切线和割线，切点A 是BD 的中点，AC 、BD 相交于点E ，AB 、PE 相交于点F ，直线CF 交O 于另一点G 、交PA 于点K .证明：（1）K 是PA 的中点；（2）2AG BG PG =⋅.16.已知a ，b ，c R ∈，且22233460a b c ++=. （1）求a b c ++的最大值；（2）若a ，(04)b ∈，，(06)c ∈，，求3446a b ca b c++---的最小值. 17.设集合{}|2018M m m Z m =∈≤，且，M 的子集S 满足：对S 中任意3个元素a ，b ，c （不必不同），都有0a b c ++≠.求集合S 的元素个数的最大值.2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题1-5:ABDAC 6:B 二、填空题7.258-[]12， 10.18 11.20512.125 三、解答题13.解：（1）解法一：设()C a b ，，C 半径为r ，则2a r +===，结合点()C a b ，在DEF △内，可得2a r +===.解得0a b ==，2r =. ∴C 的方程为224x y +=. 解法二：设()C a b ，，C 半径为r . 如图，由条件知，2l 、3l 的倾斜角分别为150︒和30︒，且它们关于x 轴对称，同时1l x ⊥轴.因此，DEF △为正三角形.∴点C 在x 轴上，且2a r =-+，0b =.由2l 、3l 交x 轴于点(40)D ，，知DEF △的高为6. ∴1623r =⨯=，0a =.∴C 的方程为224x y +=.（2）由（1）知，(00)C ，，(20)A -，，(20)B ，. 设()P x y ，，则224x y +<. ∵2PC PA PB =⋅，∴22x y + 化简得，222x y -=.∴1222y y k k x x =⋅+-22222221444y x x x x -===+---. 由224x y +<，以及222x y -=，20y ≥，得223x ≤<. ∴(]1210k k ∈-，.∴12k k 的取值范围为(]10-，.14.解：在()()()2f a b f a f b ab +=+++中，令0a b ==，得 (0)(0)(0)02f f f =+++，于是(0)2f =-.在()()()2f a b f a f b ab +=+++中，令2a =，2b =-，得 (0)(2)(2)42f f f =+--+.∴2(2)342f -=--+，(2)3f =.在()()()2f a b f a f b ab +=+++中，令2a n =-，2b =，得()(2)(2)2(2)2f n f n f n =-++-+(2)32(2)2f n n =-++-+(2)21f n n =-++.∴()(2)21f n f n n --=+. ∴(96)(94)2961f f -=⨯+， (94)(92)2941f f -=⨯+，……(4)(2)241f f -=⨯+.上述等式左右两边分别相加，得 (96)(2)2(96944)47f f -=++++.∴(964)(96)24747347502f +=⨯⨯++=. 15.（1）在APC △中，由塞瓦定理，知1AK PB CEKP BC EA⋅⋅=.①∵A 是BD 的中点，PA 是O 的切线， ∴PAB AD B ABD ∠=∠=∠. ∴EB AP ∥，PB AEBC EC=.② 由①、②，得AK KP =.K 是PA 的中点. 另解：∵A 是BD 的中点，PA 是O 的切线， ∴PAB AD B ABD ∠=∠=∠，EB AP ∥.如图，过点F 作MN AP ∥，交AE 于点M ，交PB 于点N .则MF EM AP EA =，FN BNAP BP=.① 且EB AP MN ∥∥，EM BNEA BP=.② ∴由①、②，得MF EM BN FNAP EA BP AP===. ∴AK KP =，K 是PA 的中点.（2）由（1）及切线长定理，得22KP KA KG KC ==⋅.因此，KP KGKC KP=. 又PKG CKP ∠=∠， ∴PKG CKP △∽△.APG KPG KCP GCB BAG ∠=∠=∠=∠=∠.又PAG ABG ∠=∠， ∴GPA GAB △∽△，AG PGBG AG=. ∴2AG BG PG =⋅.16.解：（1）由柯西不等式，知221()2)2a b c c ++=+⋅22222221()))(2)2c ⎡⎤⎡⎤≤++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 222111()(334)334a b c =++++21()6040155534=+⋅=+=.∴a b c ++≤202c=>，即a b ==c =. ∴a b c ++.（2）由a ，(04)b ∈，，(06)c ∈，，知a ，4a -，b ，4b -，c ，6c -均为正数， ∴24(4)()42a a a a +--≤=，24(4)()42b b b b +--≤=，26(6)()92c c c c +--≤=. ∴3446a b c a b c ++---2223(4)(4)(6)a b c a a b b c c =++---2223449a b c i ≥++2223346051212a b c ++===. 当2a b ==，3c =时，满足a ，(04)b ∈，，(06)c ∈，，22233460a b c ++=，且35446a b ca b c ++=---. ∴3446a b ca b c++---的最小值为5. 17.解：集合S 的元素个数的最大值为2018.令{}|12018S s s s Z =≤≤∈，，显然集合S 符合要求，且2018S =.另一方面，设S 是满足题设条件的集合，显然0S ∉（否则0000++=）.设S 中的所有正整数构成集合A ，S 中的所有负整数构成集合B .若A =∅，则2018S B =≤；若B =∅，则2018S A =≤. 下面考虑A 、B 非空的情形.对于集合X ，Y ，记{}|X Y x y x X y Y +=+∈∈，，{}|X x x X -=-∈. 由题设可知，()()A B S +-=∅（否则，设0()()x A B S ∈+-，则存在a A ∈，b B ∈，c S -∈-，使得0a b x +=，0c x -=.于是，存在a S ∈，b S ∈，c S ∈，使得0a b c ++=）.且{}|2017A B x x Z x +⊆∈≤，且（事实上，A 中元素2018≤，B 中元素1≤-，于是A B +中元素2017≤；同理，A B +中元素1027≥-.）. 设集合A 中元素为1a ，2a ，，k a ，集合B 中元素为1b ，2b ，，l b ，且12k a a a <<<，12l b b b <<<.∵1122a b a b +<+33a b <+<<2k l k a b a b +<+3k k l a b a b <+<<+.∴A B +中至少有1k l +-个元素，即11A B k l S +≥+-=-. 结合{}|2017A B x x Z x M +⊆∈≤⊆，且，S M -⊆，且()()A B S +-=∅，可得()()A B S M +-⊆，4037M A B S =≥++-1A B S S S =++≥-+.∴2019S ≤.若2019S =，则4037A B S M ++-==. ∴()()A B S M +-=.又由2018A B -∉+，2018A B ∉+，知2018S ∈，2018S -∈. ∴对于1k =，2，3，，1009，k 与2018k -中至少有一个不属于S ，k -与2018k -+中也至少有一个不属于S .因此，1009A ≤，1009B ≤. ∴2019100910092018S A B ==+≤+=，矛盾. 因此，2018S ≤. 综上可得，2018S ≤.综上所述，集合S 的元素个数的最大值为2018.。