矩阵的初等变换在线性代数中的应用(四)

合集下载

矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用

矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用作者：李慧来源：《课程教育研究》2019年第09期【摘要】线性代数是高校经管类以及理工类专业学生的一门重要基础课程，其中矩阵理论为主要内容，在整个线性代数的学习过程中有着重要作用。

本文对矩阵初等变换在线性代数中的简单应用进行分析。

【关键词】线性代数矩阵初等变换应用【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）09-0142-02在线性方程组的求解过程中，任意交换两个方程的位置，或者将某一方程乘数c（c∈F且c≠0），或者将某一方程乘数c加到另一方程上时，最终求得的解与原方程组的解相同。

矩阵的初等变换即起源于解线性方程组的三类同解变换，在处理线性代数相关问题时，具有相对独特的价值。

矩阵初等变换这一概念的提出，将线性方程组的求解过程转换为利用矩阵的初等变换化简一个增广矩阵的过程，简化了线性方程组的求解。

此外，在矩阵理论不断发展的过程中，新概念的产生以及新问题的形成，为矩阵初等变换在线性代数中的应用创造了更多的可能性，如矩阵的秩的求解、向量组的秩与极大线性无关组的求解以及化二次型为标准形等。

1.矩阵的初等变换矩阵变换是线性代数中矩阵的一种运算形式，在线性代数中，矩阵的初等变换指以下三种变换类型：（1）换位变换交换矩阵的任意两行或者两列。

（2）倍法变换以一个非零数k乘矩阵的某一行（某一列）所有元素。

（3）消法变换把矩阵的某一行（某一列）所有元素乘以一个数k后加到另一行（另一列）对应的元素。

矩阵的初等变换在求矩阵的逆等问题中有着较好的应用效果，分析原因，其理论依据如下：对矩阵Asn进行一次初等行变换，相当于在Asn左边乘上相应的s×s的初等矩阵；对矩阵Asn进行一次初等列变换，相当于在Asn右边乘上相应的n×n的初等矩阵；应用初等变换对矩阵Asn进行化简时，将可产生一个与矩阵Asn有关的等式，该等式与原矩阵的量化关系、性质有着密切关联。

矩阵的初等变换及应用的总结

矩阵的初等变换及应用的总结矩阵的初等变换是线性代数中非常重要的一个概念，它可以通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。

初等变换主要包括三种：行交换、行倍乘和行倍加。

在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。

一、行交换：行交换是将矩阵中的两行进行调换。

具体操作是互换两行的顺序，即将矩阵的第i行与第j行进行互换。

这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即单位矩阵中将第i行和第j行进行交换。

应用：在线性方程组的求解中，我们可以通过行交换将系数矩阵的行变换成一个上三角矩阵，从而方便进行后续的计算。

二、行倍乘：行倍乘是将矩阵中的其中一行的所有元素同时乘以一个非零常数k。

具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k。

这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第i行的对角线位置上放置k。

应用：行倍乘在求解线性方程组时，可以用来将一些方程的系数标准化，使得系数矩阵变为一个拥有单位元的对角矩阵，从而简化方程组的求解。

三、行倍加：行倍加是将矩阵中的其中一行的每个元素都乘以一个非零常数k，并加到另一行的对应元素上。

具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k，然后加到矩阵的第j行的对应元素上。

这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第j行的第i列上放置k。

应用：行倍加在线性方程组的求解中，可以用来将一些方程的k倍加到另一个方程上，从而使一些方程的一些变量消失，达到消元的目的。

综上所述，矩阵的初等变换是通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。

初等变换主要包括行交换、行倍乘和行倍加。

在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。

在线性方程组的求解中，通过矩阵的初等变换可以将系数矩阵变为一个上三角矩阵，从而方便后续的计算。

同时，可以通过初等变换将方程组化为最简形式，从而得到方程组的解。

在计算矩阵的逆时，可以通过初等变换将原矩阵左边加上单位矩阵，并经过一系列的操作将原矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。

矩阵的初等变换及应用的总结

矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。

矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。

一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性;(2) 对称性若,则;(3) 传递性若,,则.三矩阵初等变换的应用1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。

设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即.3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。

矩阵初等变换的一些性质及应用

矩阵初等变换的一些性质及应用矩阵初等变换的一些性质及应用摘要：矩阵的初等变换是线性代数中应用十分广泛的重要工具。

文章证明了矩阵初等变换的两个性质, 以此为基础,归纳说明了矩阵的初等变换在线性代数课程中的应用,并给出了一些实例。

关键词：矩阵初等变换性质应用Abstract: The elementaryalternate of matrix is animportant tool broadly usedin linear algebra. The paperdiscusses its properties andapplication.Key w o rd: matrix,elementary alternate,properties, application0 引言矩阵是数域P上的m行n列矩阵,矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行如下的变换:(1)交换矩阵的两行(列),对调i,j两行,记作←（记作←）；(2)以非零数 k 乘矩阵某一行( 列) 的所有元素,第i行（列）乘k,记作×k(记作×k)；(3)把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)对应元素上去，如第j 行（列）的k 倍加到第i行（列）上, 记作+（记作+）。

矩阵的初等变换在高等代数课程中有着十分广泛的应用, 也是本课程的基本工具之一。

矩阵的初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用, 只是在使用过程中有所区别。

本文首先证明初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用，再以具体实例说明矩阵初等变换在求极大无关组和秩的应用。

一、初等变换的性质证明定理1 第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。

证明: 设是为数域P上的m×n 矩阵(i= 1，2，…，m； j=1，2，…，n)对矩阵A 施行第二、三种初等行变换:上述矩阵B 与矩阵A 交换i、j两行后得到的矩阵是相同的。

定理证毕。

定理2 设是数域P上一个m×n 矩阵, 其中且若A经过初等行变换为矩阵,其中则有证明: 由初等行变换的定义知道方程组与方程组同解，因此，若，则有证毕。

初等行变换在线性代数这门课中的作用

初等行变换在线性代数这门课中的作用
初等行变换是一种重要的数学技术，它在线性代数中有重要的作用。

初等行变换（Elementary Row Operation）通常是指它能够用来将一个矩阵转换为一
个改变矩阵的另一种形式的简单技术。

它是一个非常高效的方法，可以用来改变一个矩阵
的行和列，以及改变矩阵中单元格的值。

下面我们来介绍一些初等行变换的应用：
1、初等行变换在求矩阵的逆矩阵时很有用。

用初等行变换，可以使一个矩阵划分
为上三角阵和下三角阵，这样就可以简化求矩阵逆的过程。

2、可以利用初等行变换求解线性方程组。

初等行变换可以把一个矩阵转换为 "三
角形矩阵"，此时线性方程组的求解就非常容易，而不用去解一般的线性方程组。

3、初等行变换也可以用来求解矩阵的特征根和特征向量。

可以利用特征根与特征
向量求解奇异值分解问题，而这正是由初等行变换的结果可以得到解决的。

4、另一个初等行变换在线性代数这门课中的重要功能就是有助于求解矩阵和向量
的秩，从而确定它们是否具有某种性质。

秩是用来衡量一组向量（或一个矩阵）的相关性，当两个向量具有完全不同的特征时，它们的秩就会增加；反之，如果有的特征是相同的，
它们的秩就会减少。

总结来看，初等行变换可以把一个矩阵转换为另一个特定形式，以便更容易地求解线
性方程组，求逆矩阵，求特征根，求秩等。

它是线性代数中一个重要的工具，从而使线性
代数更加容易学习。

矩阵的初等变换在线性代数中的应用探索

Science &Technology Vision 矩阵的初等变换是线性代数中一个非常重要的内容，绝大多数的的教材在讲解矩阵的初等变换时，都会分别介绍矩阵的初等行变换和初等列变换。

然而，现有文献在探索矩阵的初等变换应用时却多数只运用了初等行变换[1-3]。

那么，可以运用初等列变换来解决问题吗？本文就此问题通过几个题型来举例说明初等行变换和初等列变换在解决相关问题中的应用及区别，以解决学生心中的疑惑。

1矩阵的初等变换由文献[4]和[5]，给出矩阵初等变换、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、列阶梯形矩阵、列最简形矩阵的定义。

定义1[4]：下面3种对矩阵所作的变换称为矩阵的初等行（列）变换：（1）对调两行（列）。

（2）以一个非零数乘某一行（列）的所有元素。

（3）某一行（列）所有元素的k 倍加到另一行（列）对应的元素上去。

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

定义2[5]：设A 是m ×n 矩阵，A 中的任一非零行中的第一个非零元素称为首非零元，若矩阵A 满足：（1）每个零行（如果存在的话）位于任一非零行的下方。

（2）若A 的非零行的首非零元分别为a 1t ，a 2t ，…，a rt （设A 有r 个非零行），则首非零元所在的列满足t 1<t 2<…<t r 。

则称为行阶梯形矩阵。

定义3：设A 是m ×n 矩阵，若矩阵A 满足：（1）每个零行（如果存在的话）位于任一非零列的右方。

（2）若A 的非零列的首非零元分别为a s 1，a s 2，…，a s r （设A 有r 个非零列），则首非零元所在的行满足s 1<s 2<…<s r 。

摘要矩阵的初等变换在线性代数中起着举足轻重的作用，本文基于行、列阶梯形矩阵研究矩阵的初等行、列变换，并多角度、多解法举例探索初等变换在求矩阵的秩、求逆矩阵、解矩阵方程及求解线性方程组等中的应用。

关键词初等变换；线性代数；矩阵中图分类号:O151.2文献标识码:ADOI ：10.19694/ki.issn2095-2457.2020.18.23矩阵的初等变换在线性代数中的应用探索李燕娟基金项目:兰州交通大学博文学院教育教学改革课题(2019BWJX007)。

线性代数中初等变换在矩阵理论中的应用

㊀㊀㊀㊀㊀㊀线性代数中初等变换在矩阵理论中的应用线性代数中初等变换在矩阵理论中的应用Һ庞㊀峰㊀（山西警察学院，山西㊀太原㊀０３０４０１）㊀㊀ʌ摘要ɔ矩阵是整个线性代数课程的基础，线性代数的很多概念和应用都离不开矩阵，而初等变换是矩阵运算中的最主要㊁最常见的一种运算，也是解决矩阵问题的一个基本方法，它几乎贯串线性代数的始终．鉴于矩阵初等变换的重要性，本文将对矩阵的初等变换应用于不同方面做一个归纳与总结，便于理清各知识点之间的内在联系，对掌握矩阵理论十分有帮助，同时，希望本论文的研究也会给相关的学者一些建议和思考．ʌ关键词ɔ矩阵理论的应用；线性代数；初等变换ʌ基金项目ɔ课题名称：金课标准下的‘线性代数“线上㊁线下混合式教学研究，课题编号：ＹＪ２０２０１２，课题来源：２０２０山西警察学院院级教学改革创新项目重点课题随着时代的发展，矩阵由最初的一种工具逐渐演变为一门数学分支矩阵论，而矩阵论又可分为矩阵方程论㊁矩阵分解论及广义逆矩阵论等矩阵的现代理论，已经被广泛地应用在了现代科技的各个领域之中．矩阵就是一个整齐排列的实数或复数的数块或者说集合，它本身没有任何运算的功能．正是初等变换赋予了矩阵变化的魔力，才把矩阵理论中的绝大部分内容有机地联系起来．由此可见，矩阵的初等变换在矩阵理论中起着举足轻重的作用，是其核心和精髓．通过初等变换将矩阵Ａ转化为更为简单的矩阵Ｂ，然后利用矩阵Ｂ来对矩阵Ａ进行研究，这已被公认为是一种方便㊁有效的途径．我们通常所说的矩阵的位置变换就是将矩阵中的两行（或列）的位置进行对换，记作：Ｒｉ↔Ｒｊ或Ｃｉ↔Ｃｊ；其次是数乘变换：就是将矩阵的某一行（或列）乘一个不等于零的数ｋ，记作：ｋＲｉ或ｋＣｉ；最后是消去变换：就是将矩阵中的某一行（或列）的适当倍数加到另外的一行（列）上，记作：Ｒｉ＋ｋＲｊ或Ｃｉ＋ｋＣｊ．以上三种变换统称为矩阵的初等变换．关于初等变换的重要结论：任何一个矩阵，通过有限可数次的初等变换都可以化成阶梯形，再进一步化为行最简形矩阵．这一结论保证了初等变换的可行性，同时也指明了变换的最终方向．矩阵的初等变换有很多优点，如，它只涉及加减乘除四则基本运算，计算简单；化简过程有规律，算法很容易实现；初等变换表面上是一种等价变化，实质上却是矩阵乘法的可逆恒等运算，从而通过形式的转化实现恒等运算的本质；初等变换的化简过程灵活多样，因人而异，但结果却唯一，且保持矩阵的本质属性即矩阵的秩不变．总之，矩阵初等变换的实质是将问题化繁为简㊁化多为少㊁化大为小，并且保持事物的本质属性不变．我们要善于运用矩阵的初等变换这一有力工具来帮助我们达到解决矩阵问题的目的，并掌握矩阵初等变换的广泛应用．一㊁求逆矩阵逆矩阵的求解是矩阵理论中的一个十分重要的内容．对于一个方阵Ａ，我们可以采用初等变换的方法来判断这个矩阵是否可逆，而且在可逆的情况下还可以求出其逆矩阵Ａ－１．也就是先将原矩阵与同阶单位矩阵采用拼接的方式得到一个新矩阵，再对这个矩阵进行转化，遵循ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ（其中Ａ为可逆矩阵，Ｅ为单位矩阵）的规则，以此来确定它的逆矩阵．如果在变换过程中，与Ａ等价的矩阵无法变成Ｅ时，则Ａ不可逆．具体形式如下：（Ａ｜Ｅ）ң ң{初等行变换（Ｅ｜Ａ－１）或ＡＥ()ң ң{初等列变换ＥＡ－１æèçöø÷求逆矩阵还可以采用伴随矩阵的方法进行求解．对于一个ｎ阶方阵Ａ，用伴随矩阵计算逆矩阵Ａ－１，需要计算ｎ２＋１个行列式，计算量相当大，而且这ｎ２＋１个行列式要计算出值也非易事．相比之下，利用初等变换来计算逆矩阵就显得较为简便㊁实用㊁快捷．二㊁解矩阵方程对于矩阵方程，比矩阵的乘法运算更简单㊁实用，而且计算方便的方法即是初等变换的方法．（１）形如ＡＸ＝Ｂ的矩阵方程，由于Ａ－１（Ａ，Ｂ）＝（Ｅ，Ａ－１Ｂ），因此采用初等行变换很容易得出它的解Ｘ＝Ａ－１Ｂ．具体过程为：ＡＢ()ң ң{初等行变换ＥＡ－１Ｂ()．（２）形如ＸＡ＝Ｂ的矩阵方程，同理可得ＡＢæèçöø÷Ａ－１＝ＥＢＡ－１æèçöø÷，可以采用矩阵的初等列变换进行求解，得出Ｘ＝ＢＡ－１，具体过程为：ＡＥ()ң ң{初等列变换ＥＢＡ－１æèçöø÷．（３）形如ＡＸＢ＝Ｃ的矩阵方程，可以参照（１）（２）两种基本形式，得出其解为Ｘ＝Ａ－１ＣＢ－１，具体过程为：（Ａ｜Ｃ）ң ң{初等行变换（Ｅ｜Ａ－１Ｃ），ＢＡ－１Ｃæèçöø÷ң ң{初等列变换ＥＡ－１ＣＢ－１æèçöø÷．另外，对于其他变异形式的矩阵方程，可以先通过恒等变形转化为上述（１）或（２）的基本形式，再解之．三㊁计算矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一种固有本质属性，是讨论矩阵问题㊁线性方程组的解的问题㊁向量组相关性㊁线性空间基等的重要依据，也是透过现象看本质的重要载体．一般矩阵用定义求其秩，需要从最高阶式子起一阶一阶地试验结果是否非零，显然偶然性很大，而且计算也比较烦琐．矩阵的秩有如下三个重要结论：（１）行阶梯形矩阵的秩就是非零行的行数；（２）矩阵的秩不随矩阵的初等变换而发生变化；（３）任何一个矩阵的行秩等于列秩．据此，我们把矩阵进行初等变换，化成阶梯形矩阵后，非零行数目就是它的秩．这一方法大大方便了计算矩阵的秩，算法更为快捷和适用．四㊁高斯消元法的应用线性方程组作为数学方程组的一种，一般由未知数（一㊀㊀㊀㊀㊀次）㊁系数㊁常数等组成．方程组同解变换的求解过程，实质上只是对未知量系数和常数项进行相应变化的过程．所以，透过现象看本质，求解实际上就是由方程组的未知量系数和常数项构成的增广矩阵进行初等变换的过程．它不仅能判断方程组解的各种具体情况，还可以有效地求出线性方程组的解．如果方程组存在解，那么可将其转化为行最简形矩阵，求出方程组Ａｘ＝ｂ的解，这就是线性代数中的高斯消元法．具体过程如下：增广矩阵Ｂ＝（Ａｂ）初等行变换ң阶梯形}结合秩，判断解的情况初等行变换ң最简形}求出解这一方法求解过程的关键正是矩阵的初等变换．值得强调的是，使用高斯消元的过程，只能使用初等行变换，而不能使用初等列变换，否则，就不是方程组的同解变换了．高斯消元法是解线性方程组最普适的一种方法，不管方程组中未知量的个数和方程个数是多少，也不管方程组解的情况怎样，对各种线性方程组都适用．而且，从计算量上说，该方法也要比Ｃａｒｍｅｒ法则优越得多，大大降低了线性方程组解的判定与求解难度．例如，ａ，ｂ取何值时，非齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝１，ｘ２－ｘ３＋２ｘ４＝１，２ｘ１＋３ｘ２＋（ａ＋２）ｘ３＋４ｘ４＝ｂ＋３，３ｘ１＋５ｘ２＋ｘ３＋（ａ＋８）ｘ４＝５，ìîíïïïï（１）有唯一解？（２）无解？（３）有无穷多个解？有解时求出全部解．解：用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，Ｂ＝（Ａ，ｂ）＝１１１１１０１－１２１２３ａ＋２４ｂ＋３３５１ａ＋８５æèçççöø÷÷÷Ｒ３－２Ｒ１Ｒ４－３Ｒ１１１１１１０１－１２１０１ａ２ｂ＋１０２－２ａ＋５２æèçççöø÷÷÷ Ｒ３－Ｒ２Ｒ４－２Ｒ２１１１１１０１－１２１００ａ＋１０ｂ０００ａ＋１０æèçççöø÷÷÷由此可知：（１）当ａʂ－１时，Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）＝未知量个数４，方程组有唯一解：ｘ１＝－２ｂａ＋１，ｘ２＝ａ＋ｂ＋１ａ＋１，ｘ３＝ｂａ＋１，ｘ４＝０；（２）当ａ＝－１，ｂʂ０时，Ｒ（Ａ）＝２ʂＲ（Ｂ）＝３，方程组无解；（３）当ａ＝－１，ｂ＝０时，Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）＝２＜４，方程组有无穷多个解．Ｂ１１１１１０１－１２１００００００００００æèçççöø÷÷÷ Ｒ１－Ｒ２１０２－１００１－１２１００００００００００æèçççöø÷÷÷令ｘ３＝ｃ１，ｘ４＝ｃ２，则方程组的通解为：ｘ１＝－２ｃ１＋ｃ２，ｘ２＝１＋ｃ１－２ｃ２，ｘ３＝ｃ１，ｘ４＝ｃ２ìîíïïïï或ｘ１ｘ２ｘ３ｘ４æèççççöø÷÷÷÷＝０１００æèçççöø÷÷÷＋ｃ１－２１１０æèçççöø÷÷÷＋ｃ２１－２０１æèçççöø÷÷÷（ｃ１，ｃ２为任意常数）．五㊁求方阵的特征值与特征向量工程技术中的一些问题如振动问题㊁稳定性问题，常常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题．矩阵Ａ的特征值λ０是它的特征方程的根，对应λ０的全部特征向量ｐ是齐次线性方程组的非零解，而对齐次线性方程组的非零解的讨论其实就是使用初等变换进行高斯消元的过程．六㊁对称矩阵的对角化对称矩阵是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵，由于其转置矩阵和自身相等而被称为对称矩阵．对称矩阵可以用一般的由特征向量组成的非奇异阵作对角化，只不过它有特殊的性质（对称），因此我们就可以考虑特殊的对角化，即正交相似对角化．我们需要利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，比较简单且易理解，其具体的步骤是：（１）求Ａ的特征值λ１，λ２，λ３，，λｎ；（２）（Ａ－λｉＥ）Ｘ＝０，求出Ａ的特征向量；（３）将特征向量正交化；（４）将特征向量单位化得ｐ１，ｐ２，，ｐｎ；（５）写出正交矩阵Ｐ＝（ｐ１，ｐ２，，ｐｎ）．我们只有合理选择方法，才能提高研究效率．七㊁广义初等变换的使用为了简便，我们需对大规模矩阵进行分块，使大矩阵的运算化分成几个小矩阵的运算．同样，对于分块矩阵，也可以把矩阵的每一个子块作为矩阵的一个基本元素，像普通矩阵一样进行位置变换㊁数乘变换和消去变换这三种基本变换，这被称为分块矩阵的广义初等变换．由于广义初等变换本身具有较好的性质，也是矩阵运算中极为重要的方法，可以有效地将疑难问题简单化，因此其成为广大学者日益关注的热点话题之一．结束语：矩阵是连接方程组理论与几何理论的纽带，因此矩阵是解决线性代数中线性方程组㊁向量空间㊁线性变换等问题最常用的方法．而初等变换作为矩阵理论的一条主线，不仅能够简化矩阵为阶梯形或最简形，而且作为矩阵理论中极其重要的一种运算，它是上述几类问题的基础与核心．因此，初等变换在线性代数中的应用十分广泛，只有真正掌握了这种方法，才能巧妙地运用其解决线性代数中相对复杂的问题，以达到事半功倍的效果．ʌ参考文献ɔ［１］李慧．矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用［Ｊ］．课程教育研究，２０１９（０９）：１４２－１４３．［２］缪应铁．矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１８（１７）：２４．［３］张忠．矩阵的初等变换在线性代数中的应用［Ｊ］．纳税，２０１７（２５）：１８８，１９０．［４］吴英柱．矩阵的初等变换在线性代数中的若干应用与探讨［Ｊ］．广东石油化工学院学报，２０１７（０１）：７１－７５，９４．。

浅谈矩阵的初等行变换在线性代数中的应用

浅谈矩阵的初等行变换在线性代数中的应用张亚龙(北京科技大学天津学院基础部㊀３０１８３０)摘㊀要:本文从矩阵的初等行变换出发ꎬ分别提出在矩阵㊁向量组㊁线性方程组㊁矩阵的特征向量㊁二次型中的一些应用ꎬ并呈现对应例题ꎬ加强学生对矩阵的初等行变换的理解与应用.关键词:初等行变换ꎻ矩阵ꎻ向量组ꎻ线性方程组中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)２１－００２９－０３收稿日期:２０２２－０４－２５作者简介:张亚龙(１９９２－)ꎬ男ꎬ硕士ꎬ助教ꎬ从事计算数学研究.㊀㊀目前ꎬ«线性代数»这门课程是理工科和经管类必开设的一门课程ꎬ主要内容包括行列式㊁矩阵㊁线性方程组㊁向量组㊁相似矩阵㊁二次型等.矩阵的初等行变换贯穿在整个线性代数的内容中ꎬ为了方便学生学习ꎬ下面归纳总结了关于矩阵初等行变换在线性代数中的应用.１矩阵中的应用１.１求矩阵的逆若矩阵Ａ可逆ꎬ则Ａ－１也可逆ꎬＡ－１可以表示成若干个初等矩阵的乘积ꎬ因此可由矩阵的初等行变换求Ａ－１ꎬ即(ＡꎬＥ)初等行变换ң(ＥꎬＡ－１)ꎬ我们将矩阵Ａ和单位矩阵Ｅ都做初等行变换ꎬ当矩阵Ａ化为单位矩阵Ｅ时ꎬ单位矩阵Ｅ就变成了Ａ－１.例１㊀求矩阵Ａ＝１－２０１２０２２１éëêêêùûúúú的逆.解㊀作一个３ˑ６的矩阵(ＡꎬＥ)ꎬ并对其做矩阵的初等行变换.(ＡꎬＥ)＝１－２０１００１２００１０２２１００１éëêêêùûúúúң１００１２１２００１０－１４１４０００１－１２－３２１éëêêêêêêêùûúúúúúúú＝(ＥꎬＡ－１).因此ꎬＡ－１＝１２１２０－１４１４０－１２－３２１éëêêêêêêêùûúúúúúúú.１.２求矩阵的秩矩阵秩的定义是非零子式的最高阶数ꎬ我们知道初等变换不改变矩阵的秩ꎬ对矩阵Ａ做初等行变换化为行阶梯形矩阵Ｂꎬ由行列式的性质可知ꎬ矩阵Ａ和矩阵Ｂ的非零子式最高阶数相同ꎬ所以矩阵Ａ与矩阵Ｂ的秩相等.例２㊀求矩阵Ａ＝１－１２１０１００１１２－２４２００３００１éëêêêêêùûúúúúú的秩.解㊀对矩阵Ａ做初等行变换化为行阶梯形矩阵.９２Ａ＝１－１２１０１００１１２－２４２００３００１éëêêêêêùûúúúúúң１－１２１００１－２０１００６０－２０００００éëêêêêêùûúúúúú＝Ｂ因为矩阵Ｂ中有三个非零行ꎬ即Ｒ(Ｂ)＝３ꎬ所以Ｒ(Ａ)＝３.２在向量组中应用２.１求向量组的秩由于任何矩阵Ａꎬ它的行秩＝列秩＝Ｒ(Ａ)ꎬ因此我们只需将向量组中的向量均按列构成一个矩阵Ａꎬ向量组的秩就等于矩阵Ａ的秩.例３㊀求向量组α１＝(１ꎬ－２ꎬ２)ꎬα２＝(１ꎬ－４ꎬ０)ꎬα３＝(１ꎬ－２ꎬ２)的秩.解㊀以αＴ１ꎬαＴ２ꎬαＴ３为列向量构成矩阵Ａꎬ并对矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ把Ａ化为阶梯形矩阵Ｂ.Ａ＝１１１－２－４－２２０２éëêêêùûúúúң１１１０－２００－２０éëêêêùûúúúң１１１０１００００éëêêêùûúúú＝Ｂꎬ得Ｒ(Ａ)＝Ｒ(Ｂ)＝２ꎬ又因为向量组α１ꎬα２ꎬα３的秩等于矩阵Ａ的秩ꎬ即向量组α１ꎬα２ꎬα３的秩为２.２.２求向量组的极大无关组由于初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系ꎬ因此可由初等行变换求解向量组的极大无关组.例４㊀求向量组α１＝(１ꎬ２ꎬ３ꎬ０)ꎬα２＝(－１ꎬ－２ꎬ０ꎬ３)ꎬα３＝(２ꎬ４ꎬ６ꎬ０)ꎬα４＝(１ꎬ－２ꎬ－１ꎬ０)的一个极大线性无关组.解㊀以αＴ１ꎬαＴ２ꎬαＴ３ꎬαＴ４为列向量构成矩阵Ａꎬ并对矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ把Ａ化为行最简形矩阵Ｂ.㊀Ａ＝１－１２１２－２４－２３０６－１０３００éëêêêêêùûúúúúúң１０２００１０００００１００００éëêêêêêùûúúúúú＝Ｂ非零行首非零元１所在的列作极大线性无关组ꎬ因此向量组α１ꎬα２ꎬα３ꎬα４的一个极大线性无关组为α１ꎬα２ꎬα４.３在线性方程组中的应用通过一系列的初等行变换ꎬ将系数矩阵或增广矩阵化为行最简形矩阵ꎬ判断方程组是否有解ꎬ有解的情况下ꎬ求出通解.３.１解齐次线性方程组例５㊀求解齐次线性方程组２ｘ１＋ｘ２－ｘ３＋３ｘ４＝０ｘ１＋２ｘ２＋３ｘ３＋ｘ４＝０３ｘ２＋７ｘ３－ｘ４＝０ｘ１－ｘ２－４ｘ３＋２ｘ４＝０ìîíïïïïïï解㊀对系数矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ化为行最简形矩阵ꎬＡ＝２１－１３１２３１０３７－１１－１－４２éëêêêêêùûúúúúúң１２３１０１７３－１３００００００００éëêêêêêêùûúúúúúúң１０－５３５３０１７３－１３００００００００éëêêêêêêêùûúúúúúúú得同解方程组为ｘ１＝５３ｘ３－５３ｘ４ｘ２＝－７３ｘ３＋１３ｘ４ìîíïïïï其中ｘ３ꎬｘ４为自由未知量ꎬ令自由未知量ｘ３ｘ４æèççöø÷÷依次取１０æèçöø÷ꎬ０１æèçöø÷ꎬ得基础解系η１＝５３－７３１０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ꎬη２＝－５３１３０１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ꎬ所以齐次线性方程组的通解为ｃ１η１＋ｃ２η２ꎬ(ｃ１ꎬｃ２为任意常数).３.２解非齐次线性方程组例６㊀求非齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＝５２ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋２ｘ４＝１５ｘ１＋３ｘ２＋２ｘ３＋２ｘ４＝３ìîíïïïï的通解.解㊀对增广矩阵Ｂ进行初等行变换ꎬ化为行最简形矩阵.０３Ｂ＝１１００５２１１２１５３２２３éëêêêùûúúúң１０１２－４０１－１－２９０００－２－４éëêêêùûúúúң１０１０－８０１－１０１３０００１２éëêêêùûúúú可以得出系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩ꎬ并且小于未知量的个数ꎬ因此方程组有无数个解.即它的同解方程组为ｘ１＝－ｘ３－８ｘ２＝ｘ３＋１３ｘ４＝２ìîíïïïïꎬ其中ｘ３为自由未知量ꎬ令自由未知量ｘ３＝０ꎬ得特解α０＝－８１３０２æèççççöø÷÷÷÷.导出组的同解方程组为ｘ１＝－ｘ３ｘ２＝ｘ３ｘ４＝０ìîíïïïïꎬ其中ｘ３为自由未知量ꎬ令ｘ３＝１ꎬ得对应齐次线性方程组的基础解系η＝－１１１０æèççççöø÷÷÷÷ꎬ所以线性方程组的通解为α０＋ｃη＝－８１３０２æèççççöø÷÷÷÷＋ｃ－１１１０æèççççöø÷÷÷÷ꎬ其中ｃ为任意常数.４在矩阵特征向量中的应用上面我们介绍了用初等行变换求解线性方程组ꎬ计算矩阵的特征向量就会涉及到解齐次线性方程组.例７㊀求矩阵Ａ＝２２－２２５－４－２－４５éëêêêùûúúú的特征向量.解㊀由Ａ－λＥ＝２－λ２－２２５－λ－４－２－４５－λ＝－(１－λ)２(λ－１０)＝０ꎬ得矩阵的特征值λ１＝１０ꎬλ２＝λ３＝１.当特征值λ１＝１０时ꎬ解齐次线性方程组(Ａ－１０Ｅ)Ｘ＝０ꎬ即Ａ－１０Ｅ＝－８２－２２－５－４－２－４５éëêêêùûúúúң２０１０１１０００éëêêêùûúúúң１０１２０１１０００éëêêêêêùûúúúúú得基础解系η１＝－１２－１１æèççççöø÷÷÷÷ꎬ故Ａ的对应于特征值λ１＝１０的全部特征向量为ｃ１－１２－１１æèççççöø÷÷÷÷ꎬ其中ｃ１为任意非零常数.当λ２＝λ３＝１时ꎬ解齐次线性方程组(Ａ－Ｅ)Ｘ＝０ꎬ即Ａ－Ｅ＝１２－２２４－４－２－４４éëêêêùûúúúң１２－２００００００éëêêêùûúúúꎬ其基础解系为η２＝－２１０æèçççöø÷÷÷ꎬη３＝２０１æèçççöø÷÷÷ꎬ故Ａ的对应于特征值λ２＝λ３＝１的全部特征向量为ｃ２－２１０æèçççöø÷÷÷＋ｃ３２０１æèçççöø÷÷÷ꎬ其中ｃ２ꎬｃ３是不全为零的任意常数.㊀矩阵的初等行变换贯穿于整个线性代数章节中ꎬ熟练应用初等行变换是学好线性代数的基础ꎬ学生要在平时学习中ꎬ学会归纳总结ꎬ使每个知识点建立联系.参考文献:[１]同济大学数学系.工程数学线性代数[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１４.[２]郝秀梅ꎬ姜庆华.线性代数[Ｍ].北京:经济科学出版社ꎬ２０１７.[责任编辑:李㊀璟]１３。

矩阵初等变换

矩阵初等变换矩阵初等变换：线性代数中的重要工具一、引言矩阵初等变换是线性代数中的重要工具，它通过对矩阵进行一系列特定的操作，可以改变矩阵的性质和形态。

矩阵初等变换在解线性方程组、求逆矩阵、求特征值等问题中具有广泛的应用。

二、矩阵初等变换的定义矩阵初等变换是指对矩阵进行一系列的行变换或列变换，使得矩阵的性质发生改变。

矩阵初等变换包括三种类型：交换两行（列）、某一行（列）乘以非零常数、某一行（列）乘以非零常数加到另一行（列）上。

三、矩阵初等变换的作用1. 解线性方程组利用矩阵初等变换可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而可以方便地求解方程组的解。

通过对矩阵进行初等变换，可以使得方程组的系数矩阵变为单位矩阵或对角矩阵，从而可以直接得到方程组的解。

2. 求逆矩阵矩阵初等变换也可以用来求解矩阵的逆。

通过对矩阵进行一系列的初等变换，可以将原矩阵转化为单位矩阵，同时对应的初等变换作用于单位矩阵上，从而得到原矩阵的逆矩阵。

3. 求特征值和特征向量对于给定的矩阵，通过对其进行一系列的初等变换，可以将矩阵转化为对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵的特征值。

同时，通过初等变换得到的矩阵与原矩阵具有相同的特征向量。

四、矩阵初等变换的性质1. 可逆性矩阵初等变换是可逆的，即对矩阵进行初等变换后再进行逆变换，可以得到原矩阵。

2. 保持行（列）线性关系矩阵初等变换保持行（列）之间的线性关系不变，即对矩阵进行初等变换后，矩阵的行（列）之间的线性组合关系保持不变。

3. 保持秩不变矩阵初等变换不改变矩阵的秩，即对矩阵进行初等变换后，矩阵的秩保持不变。

5. 矩阵初等变换的运算规律矩阵初等变换具有一些运算规律，包括交换律、结合律和分配律。

六、矩阵初等变换的应用举例1. 解线性方程组的应用通过对系数矩阵进行初等变换，可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而可以方便地求解方程组的解。

例如，对于如下线性方程组：2x + 3y = 74x + 5y = 9可以通过矩阵初等变换将其转化为如下形式：1 0 | a0 1 | b从而可以直接得到解x=a、y=b。

矩阵的初等变换在线性代数中的应用

矩阵的初等变换在线性代数中的应用摘要：矩阵是线性代数的一个重要组成部分，矩阵的初等变换在线性代数中的作用至关重要，文章基于矩阵的初等变换，举例说明矩阵的初等变换在求逆矩阵、求矩阵的秩等多方面的应用。

关键词：矩阵；线性代数；初等变换线性代数是大学数学的一个重要的组成部分，理工科学生的必修数学课程之一。

矩阵是线性代数中一个最重要也是最基本的概念，真正理解并且熟练掌握它是学好线性代数的关键。

矩阵的初等变换又是线性代数中不可或缺的内容，目前我们使用的大多数教材在对初等变换介绍时，矩阵的初等行变换和初等列变换都会讲解。

但是，在赵怡欣等人对矩阵的初等变换应用研究时，大部分只用了初等行变换[1-3]。

很多同学可能就有疑问，在解决问题是可以用初等列变换吗？答案是肯定，下面我们用具体的示例来说明。

首先给出相关的定义。

一、矩阵的初等变换定义1[4]：对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：(1)交换矩阵的两行（列），记为；(2)以一个非零的数乘以矩阵某一行（列）的所有元素，记为；(3)把矩阵的某一行（列）所有元素的倍加到另外一行（列）对应的元素上，记为。

初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。

初等变换都是可逆的，且逆变换也是同类的初等变换。

定义2[5]：我们称矩阵为一个行阶梯形矩阵，它具有以下特征：(1)元素全为零的行（简称零行）位于非零行的下方；(2)各非零行的首非零元（即该行从左至右的第一个不为零的元素）的列标随着行的增大而严格增大（即首非零元的列标一定不小于行标）。

定义3[5]：我们称矩阵为一个列阶梯形矩阵，它具有以下特征：(1)元素全为零的列（简称零列）位于非零列的右方；(2)各非零列的首非零元（即该行从上到下的第一个不为零的元素）的行标随着列的增大而严格增大（即首非零元的行标一定不小于列标）。

二、矩阵的初等变换在线性代数中的应用（一）用初等变换求逆矩阵如果方阵可逆，可经过一系列初等行（列）变换化为，则存在初等矩阵，使得上式两边右乘，则有(1)式和(2)式表明，将施行一系列初等行变换化为，则对施行相同一系列初等行变换化为，即也可以利用初等列变换，即解法二（二）用初等变换求矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩，求一个矩阵的秩，只需用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，则其非零行的个数便是矩阵的秩；或者用初等列变换把矩阵化为列阶梯形矩阵，则其非零列的个数便是矩阵的秩。

矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用

【参考文献】 [1 ]卢刚 1 线性代数 [ M ] 1 北京 : 高等教育出版社 ,
2000 ,41～2091 [2 ]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 1 高
等代数 (第三版) [ M ] 1 北京 : 高等教育出版社 ,2003 ,162～ 3011
Applications of Elementary Transformation of Matrix in Linear Algebra
列行初等变换 ,将其左半部分化为单位矩阵 E ,这时其右半
部分就是 A - 1 。
即(A
, E)
行初等变换 →…→ (
E ,A-1)
1 - 5 2
例 1 设 A = 2 - 4 1 求 A - 1
1 - 1 1
1 - 5 2 1 0 0
解 : ( A , E) = 2 - 4 1 0 1 0 →
时 , B 处得到的矩阵就是 A - 1 B ;同理 :
A 列初等变换 AB - 1 B →…→ E
31 用矩阵的初等变换求矩阵秩及向量组的秩由于初等变换不改变矩阵的秩 , 且任意一个 m × n 矩阵 ,均可以经过一系列行初等变换化为 m × n 梯矩阵 ; 因此我们要确定一个矩阵的秩 ,当它不是梯矩阵时 ,我们可以先利用行初等变换将其化为梯矩阵 ,然后就可以由梯矩阵的秩确定原矩阵的秩。
[ 摘要 ] 文章总结了矩阵的初等变换在求逆矩阵、求向量组的秩、解矩阵方程、化二次型为标准型中的应用 ,该总结有利于非数学专业人员理解矩阵的初等变换在这些方面的运用。
[ 关键词 ] 矩阵 ;初等变换 ;应用 [ 中国图书分类号 ] O151121 [ 文献标识码 ] B [ 文章编号 ] 1008 - 9144 (2006) 11 - 0091 - 02

线性代数第四讲矩阵的初等变换与初等矩阵

一、矩阵的初等变换
显然，三种初等变换都是可逆的，显然，三种初等变换都是可逆的，且其变换是同一类型的初等变换。变换r 换是同一类型的初等变换。变换 i↔rj的逆变换就是本身；就是本身；变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ；变换 ri+krj 的逆变换为 i− k rj。的逆变换为r 如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B，，是等价的，称矩阵 A与 B是等价的，记为 ↔ B 。与是等价的记为A 矩阵的等价关系有如下性质：矩阵的等价关系有如下性质：反身性：反身性： A ↔ A 对称性：对称性： A ↔ B ，则B ↔ A 传递性：传递性： A ↔ B， B ↔ C，则A ↔ C ，，
2x1 − x2 − x3 + x4 = 2 (1) x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4 (2) 4x1 − 6x2 + 2x3 − 2x4 = 4 (3)
2 −1 −1 1 方程组的增广矩阵B = 1 1 −2 1 4 −6 2 −2
2 4 4
一、矩阵的初等变换
1 3 0 2 0 (1) 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 1 2 0 −2 (2) 0 0 0 0 1 3 4 1 1 2 0 0 1 0 2 −1 (3) 0 1 4 1 0 0 0 0
√
×
√
二、阶梯形矩阵
1 1 1 1 4 ( A| b) = 2 3 1 1 9 −3 2 −8 −8 −4
→
r3 + 3× r1
r2 − r1
1 1 1 1 4 0 1 −1 −1 1 0 5 −5 −5 8
→
r3 − 5× r2

知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换是线性代数中的一个重要概念，常用于解线性方程组。

这篇文章将对矩阵的初等变换及其与线性方程组的关系进行详细阐述。

一、矩阵的初等变换的定义和种类矩阵的初等变换是指对矩阵进行的三种基本操作：交换两行，用数乘一个非零常数乘以其中一行，以及把一行的倍数加到另一行上去。

这三种操作都可以表示为可逆矩阵的乘积，因此初等变换不改变矩阵的行秩和行空间。

三种初等变换可以分别表示为：1. 交换两行：用一个单位矩阵的行交换矩阵作用于原矩阵，例如将第i行与第j行交换可以表示为Pij * A，其中Pij为单位矩阵的行交换矩阵。

2.用数乘一个非零常数乘以其中一行：用一个对角矩阵作用于原矩阵，例如将第i行乘以非零常数k可以表示为Di(k)*A，其中Di(k)为对角矩阵。

3. 把一行的倍数加到另一行上去：用一个单位矩阵与其中一倍数的矩阵的和作用于原矩阵，例如将第j行的k倍加到第i行可以表示为Lij(k) * A，其中Lij(k)为单位矩阵与其中一倍数的矩阵的和。

二、矩阵的初等变换和线性方程组的关系解线性方程组的过程中，我们常用到矩阵的初等变换来简化方程组的形式，从而更容易找到方程组的解。

下面以一个简单的线性方程组为例进行说明。

假设有一个线性方程组：a1*x1+a2*x2=b1c1*x1+c2*x2=b2将该线性方程组表示为矩阵形式：A*X=B其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。

我们可以通过矩阵的初等变换来简化系数矩阵A，从而简化方程组的求解过程。

1.交换两行：通过交换方程组的两个方程，可以改变线性方程组的次序，从而改变系数矩阵A的排列顺序。

这样做有时可以使系数矩阵更容易进行进一步的变换和求解。

2.用数乘一个非零常数乘以其中一行：通过将一些方程的系数乘以一个常数k，可以改变该方程的形式。

这样做可以使一些系数简化为1，从而更容易求解。

如果系数k为0，则可以直接删除该方程。

3.把一行的倍数加到另一行上去：通过将一些方程的系数与另一个方程相加，可以使两个方程中的一些系数为0，从而进一步简化系数矩阵A。

矩阵的初等变换在线性代数中的应用李

矩阵 Q，使得
TT
Q A AQ＝E
（1）
T
即（AQ） AQ＝E
（2）
T
T
（1）式表明对 A A 做一系列同样类型的初等行列变换，可将 A A
n
化成单位矩阵．（2）式表明 AQ 是正交矩阵，即 AQ 的列向量组是 R 的
T
一个标准正交基，可以通过对矩阵 A 施行对矩阵 A A 施行的同样系
7 2
α2 ，α4 ＝α1 －2α2
3 用矩阵的初等变换解线性方程组
将线性方程组的增广矩阵进行若干次的初等行变换，化为行最简
形矩阵，即可很容易地求出该线性方程组解的情况.行最简形矩阵特
点是:（1）非零行在矩阵的最下方；（2）矩阵的各非零行的第一个非零
元素都等 1；（3）第一个非零元素所在的列中，其余元素均为零.
T
3
（1，0，1），α3 =（0，1，1），试用 A 构造 R 的一组标准正交基.
0 0 3 2 2
T
解 A A＝ 2 2 1 代入（3）式有
212
姨姨3 0
姨
姨姨0 2
姨姨3
姨
姨2
姨
0 0 T
AA
＝
姨姨2
姨
E
姨姨1
姨姨1
姨
姨姨1
2 2 1 1 0 1
2
姨姨
1 2 0
姨
姨姨姨
c2
-
2 3
c1
姨姨
1
姨
姨0
姨
姨姨
0
姨
姨姨
1
姨姨
姨
3
姨

线性代数第四讲矩阵的初等变换

~
~
补充例题
首页
上页
返回
下页
结束
铃
定理5.1：任何 m×n 矩阵 A 都可经过有限次初等变换化为形如 E O
r F O
O m n
的矩阵．称矩阵F 为 A 的标准形. 证明：略
补充例题
首页
上页
返回
下页
结束
铃
c r
补充例题
首页
上页
返回
下页
结束
铃
矩阵初等变换举例
r r 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 4 r3x1/2 2 1 4 6 2 2 4 2 3 3 6 9 7 9 3 6 r3+ r2 1 1 2 1 4 r2x1/2 1 1 5r r 2r1+ r3 0 2 2 2 0 2 3 0 1 3r1+ r4 0 5 5 3 6 3r2+r4 0 0 0 3 3 4 3 0 0 r3r4 1 1 2 1 4 r2+ r1 1 0 r +r 2r3+ r4 0 1 1 1 0 3 2 0 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 6
这三种变换都是可逆的且其逆变换是同一类型的初等变换
例如变换krj+ri的逆变换为 (k)rj+ ri
补充例题首页上页返回下页结束铃
矩阵的等价关系如果矩阵A 经有限次初等行变换变成矩阵 B 就称矩阵 A 与B行等价记作 A ~ B 如果矩阵A 经有限次初等列变换变成矩阵 B 就称矩阵 A 与B列等价记作 A ~ B 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与B 等价记作 A ~ B 等价关系的性质 (i)反身性 A~A (ii)对称性若A~B 则B~A (iii)传递性若A~B B~C 则A~C

矩阵的初等变换在线性代数中的应用(四)

矩阵的初等变换在线性代数中的应用（四）李志慧（陕西师范大学数学与信息科学学院副教授博士西安 710062） 5、求标准正交基通常的Schmidt 方法，使我们可以从欧氏空间nR 的任意一个基出发，求出一个正交基来，再单位化，求出一个标准正交基．下面给出一种运用矩阵的初等变换，从欧氏空间nR 的任意一个基求标准正交基的方法[3]．设),,,(21ni i i i a a a a =是nR 的任意一个基，n i ,,2,1 =．以'i a 为列向量构成矩阵)(ji a A =，则A A '是一个n 阶正定矩阵，必与单位矩阵E 合同，即存在n 阶可逆矩阵Q ，使得E Q A A Q =)'(' 〈5〉即E AQ A Q =))(''( 〈6〉〈5〉式说明，对矩阵A A '施行一系列的初等变换（相应的初等矩阵的乘积Q ）及一系列的行初等变换（相应的初等矩阵的乘积为'Q ）可变成单位矩阵．〈6〉式表明，AQ 的列向量组是nR 的一个标准正交基．AQ 可以通过对矩阵A 施行与对矩阵A A '所施行的相同系列的列初等变换求出，而不必通过先求Q 再与A 相乘得到．于是，得到求标准正交基的矩阵初等变换法： ][']'[AQ E A A A A A A →施行列初等变换对初等变换列行施行对 AQ 的列向量组即为所求．例7 把)0,0,1,1(1=a ，)0,1,0,1(2=a ，)1,0,0,1(3-=a ，)1,1,1,1(4--=a 变成单位正交的向量组．解：令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1100101010011111A ，则 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1111100101010011'A ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=4000021101210112'A A ， →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=1110101212121121212140000232100212300001121211001010100111114000021101210112)'(行除第列除第AA A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1110100100211112140000212101221021211)21(132112)21(132112-⨯-⨯--⨯-⨯-行第行第列第行第列第列第列第列第→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----11001316201316121131612140000340000100001→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----112300112162011216121112161214000010000100001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----2112300211216202112161212112161211000010000100001 所以所求单位正交的向量组为)0,0,21,21(1=β，)0,62,61,61(2-=β， )123,121,121,121(3-=β，)21,21,21,21(4-=β，需指出的是，)'(''AQ A Q =的行向量组，正是AQ 的列向量组，所以有求标准正交基的矩阵初等变换法的另一形式)''('')''(A Q E A A A A A A →施行行初等变换对初等变换列行施行对''A Q 的行向量即为所求．如果需要求出Q ，则由EQ Q =可知，对单位短阵E 施行同样的列初等变换得到Q ，即][']'[Q E E A A E A A →施行列初等变换对初等变换列行施行对由此可以看出，利用矩阵的初等变换求欧氏空间nR 的一组标准正交基，比较简单而且操作方便．四、小结本文介绍了矩阵的初等变换在解决线性代数的有关问题中所具有的特殊作用．特别地我们论述了矩阵的初等变换在求矩阵的秩、向量组的极大线性无关组、解线性方程组以及求标准正交基等问题中的应用，并给出了部分例子．可以看出，利用矩阵初等变换在处理相应问题问题时具有简单、快速、易于操作等特点．值得注意的是，矩阵的初等变换共有六种，当我们处理不同的问题时，可能使用初等变换的种类会不一样．如在本文中我们发现：在求向量组的极大线性无关组时只用了三种类型，而求矩阵的初等变换时却可以用六种初等变换，因此，我们在具体使用时要灵活应用．实质上，利用矩阵的初等变换还可以得到解决求矩阵的逆、特征值与特征向量、二次型的标准型等问题的有效方法．当然，我们在学习中可能还会发现利用矩阵的初等变换来解决有关问题的典型例子，这也是值得我们进一步探讨的一个问题．参考文献1.北京大学数学系几何与代数小组，高等代数，高教出版社，1988年3月． 2．张小红，蔡秉徒，高等代数专题研究选编，陕西科学技术出版社，西安，1992． 3．Werner Greub ， Linear Algebra, Springer-Verlag New York Heidelberg, Berlin,1982.。

初等变换在矩阵计算中的运用2X3阶行列式的计算方法

初等变换在矩阵计算中的运用2X3阶行列式的计算方法线性代数是高等数学的一个重要分支,而矩阵理论则是线性代数的主要内容和重要基础,在科学决策、工程技术等方面都有着广泛的应用。

其中,矩阵的初等变换则是贯穿矩阵理论的始终,在线性代数中起着重要的作用。

因此本文主要介绍矩阵初等变换的几种应用。

一、矩阵初等变换的概念1.交换矩阵的两行(列);2.以一个非零的数乘矩阵的某行(列),即用一个非零的数乘矩阵某一行(列)中的每一个数;3.用一个非零的数乘矩阵的某行(列)加到另一行(列),即用某一个非零的数乘矩阵的某一行(列)的每一个元素加到另一行(列)的对应元素上。

二、矩阵初等变换的应用(一)用初等变换求逆矩阵在矩阵理论中,逆矩阵占了一个很重要的地位,因此如何求逆矩阵就变得十分重要。

通常,我们可以用矩阵的初等变换或者利用伴随矩阵来求逆矩阵,但是如果利用伴随矩阵来计算n阶矩阵的逆矩阵,就必须计算n2+1个行列式,过程相当复杂,因此常用的方法就是矩阵的初等变换。

对于任意矩阵A,求逆矩阵A-1的过程如下:1.用一个与矩阵A同阶的单位矩阵E与A组成一个n×2n矩阵(A:E)2.利用矩阵初等变换法则,将矩阵(A:E)的左半部分化为单位矩阵,此时其右半部分即为A-1,即例1.求矩阵A=的逆矩阵。

(二)用初等变换求解矩阵方程常见的矩阵方程形如XA=B,AX=B与A×B=C,若A,B均可逆,则矩阵方程可解,其解分别为X=BA-1,X=A-1B与X=A-1BC-1。

例如XA=B,在计算过程中,可把An×n与Bm×n上下放一起构造出(m×n)×n矩阵,即,即可求得X=BA-1。

同理,若对于AX=B,可把An×n与Bm×n并排放一起,即,即可求出X=A-1B。

对于一般的矩阵方程,此方法简单易行,如下例:例2.设矩阵与矩阵X满足关系式X+A=XA,求矩阵X。

解:由已知X+A=XA,有X(A-E)=A,而,构造3×6矩阵(三)用初等变换求矩阵的秩对于矩阵A,若矩阵A存在一个非零的k阶子式B,而所有k+1阶子式都为0,则B即为矩阵A的最高阶非零子式,且子式B的阶数k即为矩阵A的秩,即秩A=k。

矩阵的初等变换在线性代数中的应用(四)

矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用

矩阵的初等变换及应用的总结

矩阵的初等变换及应用的总结

矩阵初等变换的一些性质及应用

初等行变换在线性代数这门课中的作用

矩阵的初等变换在线性代数中的应用探索

线性代数中初等变换在矩阵理论中的应用

浅谈矩阵的初等行变换在线性代数中的应用

矩阵 初等变换

矩阵的初等变换在线性代数中的应用

矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用

线性代数 第四讲 矩阵的初等变换与初等矩阵

知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换在线性代数中的应用 李

线性代数第四讲矩阵的初等变换

矩阵的初等变换在线性代数中的应用(四)

初等变换在矩阵计算中的运用2X3阶行列式的计算方法

矩阵初等变换

线性代数第四讲矩阵的初等变换与初等矩阵

矩阵的初等变换在线性代数中的应用李