人教版数学教材八年级下
[人教版]八年级[下册]数学课本知识点归纳
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人教版八年级下册数学课本知识点归纳
第十六章 分式
一、分式
1. 分式：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B
A
叫做分式。 (分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 )
2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除)以一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示如下： （C ≠0） 其中A,B,C 是整式 3．最简公分母：取各分母的所有因式的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母
4．通分：分子和分母同乘最简公分母，不改变分式值，把几个整式化成相同分母的分式。这个过程叫通分。（分母为多项式时要分解因式）
5．约分：约去分子和分母的公因式，不改变分式值，这个过程叫约分。
二、分式的运算
1．分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
2．分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
上述法则可以用式子表示：
C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;
3分式乘方法则：一般地，当n 为正整数时 这就是说， 分式乘方要把分子、分母分别乘方
4．分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
上述法则可用以下式子表示：,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd
±±±=±=±= 5．整数指数幂
1．任何一个不等于0的数的0次幂等于1， 即)0(10≠=a a ；
新人教版八年级下数学教材分析
八年级数学下册教材总分析
本学期教学内容共计五章，知识的前后联系，教材的教学目标，重点、难点分析如下：
《义务教育教科书·数学》八年级下册包括16章二次根式，17章勾股定理，18章平行四边形，19章一次函数，20章数据的分析等五章内容，学习内容涉及到了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）中“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”全部四个领域。其中对于“综合与实践”领域的内容，本册书在第十九章、第二十章分别安排了一个课题学习，并在每一章的最后安排了两个数学活动，通过这些课题学习和数学活动落实“综合与实践”的要求。
第16章“二次根式”主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算。通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备。
第17章“勾股定理”主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理，包括它们的发现、证明和应用。
第18章“平行四边形”主要研究一般平行四边形的概念、性质和判定，还研究了矩形、菱形和正方形等几种特殊的平行四边形。
第19章是“一次函数”，其主要内容包括：常量与变量的意义，函数的概念，函数的三种表示法，一次函数的概念、图象、性质和应用举例，一次函数与二元一次方程等内容的关系，以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习。
第20章“数据的分析”主要研究平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数以及方差等统计量的统计意义，学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况，并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，进一步体会用样本估计总体的思想。
新人教版八年级数学下册全册课件
巩固提高：
1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围
（1） ( 3 2 x )2 （2） (1 x)2
（3） x 3
(1).3 2x 0 x 3 2
x2
(2).x为全体实数
(3).x 3 0且x 2 x 3且x 2
2.当x____=_0时,
3x 3x 有意义.
18.2.2菱形
18.2.3正方形
小结、构建知识体系、复 习题18 第十九章 一次函数
19.1.1变量与函数
19.1.2函数的图象
19.2.1正比例函数
19.2.2一次函数
19.2.3一次函数与方程、 不等式 19.3 课题学习——选择 方案 小结、构建知识体系、复 习题19 第二十章 数据的分析
20.1 数据的集中趋势
而 2x2 2x 3 这类代数式，应把 2 , 3 这些二次根式看做系数或常数项，整个代数 式仍看做整式。
下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
1 3
⑶ x 2y 9
⑸ m 32
⑵ 16
⑷ x (x 0) a9
⑹ a 1 (a 3)
x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 5 (2) 1 x2 (3) 1 x 3 x
知识回顾
1．4的平方根是_____；20的平方根是______0.
新人教版八年级数学下册目录
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八年级数学教材随着社会的进步、人们对教育教材认识的改变、文学研究领域新成果的取得、不同时代学生特点的不同，不断在进行调整。目录有什么知识呢?小编整理了关于新人教版八年级数学下册课本的目录，希望对大家有帮助!
新人教版八年级数学下册课本目录
第十六章二次根式
16.1 二次根式
16.2 二次根式的乘除
16.3 二次根式的加减
数学活动
小结
复习题16
第十七章勾股定理
17.1 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
数学活动
小结
复习题17
第十八章平行四边形
18.1 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
数学活动
小结
复习题18
第十九章一次函数
19.1 函数
19.2 一次函数
14.3 课题学习选择方案
数学活动
小结
复习题19
第二十章数据的分析
20.1 数据的集中趋势
20.2 数据的波动程度
20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析
数学活动
小结
复习题20
部分中英文词汇索引
人教版八年级数学下册知识归纳：四边形
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的判定：
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
2.对角线互相平分的四边形是平行四边形;
3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线平分且相等。
矩形判定定理：
1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
人教版义务教育教科书八下数学教材介绍
人教版义务教育教科书数
学八年级下册介绍
一、整体概略
第十六章二次根式
第十七章勾股定理
第十八章平行四边形
第十九章一次函数
第二十章数据的剖析
涵盖“数和代数”“图形和几何”、“统计和概率”、“综合和实践”所有四个领域。
全书需约 62 课时，详细以下：
第十六章二次根式约9课时
二次根式、最简二次根式的看法
二次根式的四则运算
第十七章勾股定理约9课时
勾股定理
勾股定理的逆定理、抗命题
第十八章平行四边形约 15课时
一般平行四边形和特别平行四边形（矩形、菱形和正方形）的看法、性质和判断三角形中位线定理、平行线间的距离
第十九章一次函数约17课时
常量和变量的意义
函数的看法和三种表示法
一次函数的看法、图象、性质
一次函数和方程、不等式的关系
一次函数模型
第二十章数据的剖析约12课时
、中位数、众数
刻画数据集中趋向的统计量——均匀数（加权均匀数）
刻画数据失散（颠簸）程度的统计量——方差
用样本的均匀数、方差预计整体的均匀数、方差，进一步领会用样本预计整体的思
想
别的，本书在第十九章、第二十章分别安排了一个课题学习，并在每一章的最后安
排了两个数学活动，经过这些课题学习和数学活动进一步落实“综合和实践”的要
求。
二、教科书内容的整体变化
原八年级下册（ 61）新八年级下册（ 62）
第 16章分式（14）第 16 章二次根式（9）第 17 章反比率函数（8）第 17章勾股定理（9）第 18章勾股定理（8）第 18章平行四边形（15）第 19章四边形（16）第 19章一次函数（17）第 20章数据的剖析（15）第 20 章数据的剖析（12）“分式”由八下提早至八上
人教版初中八年级下册数学课件 《最简二次根式》二次根式课件
值范围是(C) A. a 2
C. 2 a 4
B. a 2
D. a 2或a 4
二次根式化简
1．被开方数是非完全平方数的二次根式化简
例 1 化简 48． 分析：因为，48=16×3=42×3，所以，根据公 式 a b= ab (a≥0，b≥0)，就可以把积的是完 全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来， 从而实现化简的目的．
a b
b a
(a＞0，b＞0)．
错解：ab ba＝1．
正解：ab ba＝ab aab2＝aab ab＝ bab．
二次根式化简的常见错误
化简 25a3b3 (a＜0)．
错解： 25a3b3＝ 52a2b2·ab＝5·(－a) ·b· ab ＝－5ab ab．
正解：∵25a3b3≥0，a＜0，∴b≤0，∴ab≥0． 25a3b3＝ 52a2b2·ab＝ 52· a2b2· ab＝5ab ab．
(a 的结果为（ ）b)2
D
A. a+b B. a-b C. -a-b D. -a+b
p 35、实数 在数轴上的位置如图所示,化简:
( p 1)2 ( p 2)2 ___1____ .
p
-1 0 1 2
6、已知三角形的三边长分别是 a、b、c，且
等于（ ）
a c A、2a-b
B、2c-b
C、b-2a
人教版八年级下数学出版时间
人教版八年级下数学出版时间人教版八年级下数学教材于2014年出版。这本教材是人们在中学阶段学习数学的重要教材之一，它为学生提供了扎实的数学基础知识和解题技巧。人教版八年级下数学教材是根据国家教育部颁布的最新教育大纲和课程标准编写的。
该教材的出版时间选择在2014年，是因为这是一个重要的时间节点。当时，中国的教育改革正处于快速发展阶段，教材的更新换代也变得非常迫切。在此背景下，人教版八年级下数学教材应运而生，以适应新的教育体制和学生的需求。
对于教材的编写，人教版八年级下数学教材采用了现代化的教育理念，注重学生的主体地位，关注学生的学习兴趣和学习动机。教材结构合理，内容丰富，注重培养学生的思维能力和解决实际问题的能力。同时，教材还充分考虑了学生的学习特点，设置了大量的例题和习题，有助于学生理解和掌握数学知识。
人教版八年级下数学教材以数学思维的培养为核心目标，旨在帮助学生形成正确的数学思维方式和解决问题的方法。教材内容包括代
数、几何、函数、统计与概率等多个方面的知识，涵盖了中学数学基
础内容和扩展内容。教材的难度适中，既能满足学生的学习需求，又
能够培养他们的数学思维能力。
除了教材本身，人教版八年级下数学教材还提供了配套的教学资源，如教师用书、学生用书和习题集等。这些资源为教师的教学提供
了重要的帮助，帮助教师更好地组织教学活动，培养学生的综合素养。
总结来说，人教版八年级下数学教材是一个经过精心编写的教材，它在内容选择、教学方式和教学目标上与时俱进。它的出版时间选择
在2014年，是顺应了时代的需求和教育改革的要求。这本教材为学生
八年级下册数学课本人教版目录
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数学教材的编制质量，直接关系到人教版八年级数学教学的效率和课程目标的落实。目录是教材的眼。小编整理了关于人教版八年级下册数学课本的目录，希望对大家有帮助!
人教版八年级下册数学课本目录
第十六章二次根式
16.1 二次根式
16.2 二次根式的乘除
16.3 二次根式的加减
数学活动
小结
复习题16
第十七章勾股定理
17.1 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
数学活动
小结
复习题17
第十八章平行四边形
18.1 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
数学活动
小结
复习题18
第十九章一次函数
19.1 函数
19.2 一次函数
14.3 课题学习选择方案
数学活动
小结
复习题19
第二十章数据的分析
20.1 数据的集中趋势
20.2 数据的波动程度
20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析
数学活动
小结
复习题20
部分中英文词汇索引
人教版八年级数学下册知识点：二次根式
1、二次根式：形如a(a≥0)的式子。①二次根式必须满足：含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。②非负性
2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤：
(1)如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
(2)如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
二次根式有关公式
(1)(a)2a(a≥0)
(2)a2=a
(3)乘法公式ab=a•b(a≥0,b≥0)
(4)除法公式aba(a≥0,bφ0)
人教版初中数学八年级下册教材分析
人教版初中数学八年级下册教材分析
义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册包括5章，约需62课时，供八年级下学期使用。具体内容如下：
第16章分式（约14课时）
第17章反比例函数（约8课时）
第18章勾股定理（约8课时）
第19章四边形（约18课时）
第20章数据的分析（约14课时）
本册书的5章内容涉及《数学课程标准》中“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容。
一、内容分析
“第16章分式”
本章主要研究分式及其基本性质，分式的加、减、乘、除运算，分式方程等内容。这些内容分为三节安排。
第16.1节类比着分数的概念、基本性质、约分、通分给出了分式的相对应的概念，这些内容为后面两节的学习打下理论基础。第16．2节讨论分式的四则运算法则，并学习分式的四则混合运算；最后，教科书结合分式的运算，研究了整数指数幂的问题，将正整数指数幂的运算性质推广到整数范围，并完善了科学记数法。本节内容是全章的重点，其中分式的混合运算也是全章的一个难点。第16．3节讨论分式方程的概念和解法，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。根据实际问题列出分式方程，即是本章重点又是难点。
“第17章反比例函数”
本章的主要内容包括反比例函数的概念、图象和性质，以及用反比例函数分析和解决实际问题等。本章是继“一次函数”后的又一章函数的内容。全章分为两节：第17.1节反比例函数，第17.2节实际问题与反比例函数，全章内容紧紧围绕着实际问题展开，实际问题是贯穿全章的一条主线。
第17.1节主要研究反比例函数的概念、图象和性质，是本节的重点。通过分析画出的函数的图象，得到反比例函数的性质。第17.2节的内容是利用反比例函数分析、解决实际问题，是本章的难点。
人教版八年级下册数学全册优质教学课件
巩固练习
x取何值时,下列二次根式有意义?
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 Байду номын сангаас2 x≠0
(7)
x 1 x3
(x
2)0
(8)
x 2 （9） x2 1
x
x≥-1且x≠2
x>0
x为全体实数
探究新知 知识点 2 二次根式的双重非负性
1
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式（第1课时）
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= 2Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
知识点 1 二次根式的定义和有意义的条件
用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点: （1）面积为3 的正方形的边长为___3____，面积为S 的正方形 的边长为____S___． （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它 的宽为____6_5_m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关 系 h =5t2， 如果用含有h 的式子表示 t ，则t 为__5h___．
人教版数学八年级下册教案全册完整版
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一、教学内容
1. 第十三章：平面几何
1.1 线段和直线
1.2 角
1.3 多边形
1.4 平行四边形
1.5 矩形、菱形、正方形
2. 第十四章：函数
2.1 函数的定义
2.2 一次函数
2.3 二次函数
2.4 反比例函数
2.5 函数的应用
二、教学目标
1. 理解并掌握平面几何的基本概念和性质，能够运用几何知识解决实际问题。
2. 掌握函数的定义、图像和性质，能够运用函数知识解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1. 教学难点：
几何图形的性质和判定
函数图像的绘制和性质分析
2. 教学重点：
几何图形的分类和性质
函数的定义和性质
四、教具与学具准备
1. 教具：
黑板
橡皮、直尺、圆规等绘图工具
多媒体设备
2. 学具：
笔记本
铅笔、橡皮、直尺、圆规等绘图工具
五、教学过程
1. 导入：
利用生活实例引入平面几何和函数的概念，激发学生学习兴趣。
2. 新课内容：
详细讲解教材中的知识点，通过例题和随堂练习巩固所学内容。
3. 课堂讲解：
对重点、难点知识进行详细讲解，结合实际应用进行分析。
4. 课堂练习：
设计不同难度的练习题，让学生独立完成，并及时给予指导和反馈。
六、板书设计
1. 人教版数学八年级下册教案
2. 内容：
章节和知识点
例题和解答过程
重点、难点提示
七、作业设计
1. 作业题目：
第十三章：
1.1 画出线段和直线
1.2 判断角的类型
1.3 绘制多边形
1.4 判断平行四边形
1.5 分析矩形、菱形、正方形的性质
第十四章：
2.1 解释函数的定义
2.2 绘制一次函数图像
人教版八年级下数学教材分析
人教版八年级下数学教
材分析
WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
八年级数学下册教材总分析
本学期教学内容共计五章，知识的前后联系，教材的教学目标，重点、难点分析如下：
《义务教育教科书·数学》八年级下册包括16章二次根式，17章勾股定理，18章平行四边形，19章一次函数，20章数据的分析等五章内容，学习内容涉及到了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）中“数与代数”“图形与几何”
“统计与概率”“综合与实践”全部四个领域。其中对于“综合与实践”
领域的内容，本册书在第十九章、第二十章分别安排了一个课题学习，并在每一章的最后安排了两个数学活动，通过这些课题学习和数学活动落实“综合与实践”的要求。
第16章“二次根式”主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算。通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备。
第17章“勾股定理”主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理，包括它们的发现、证明和应用。
第18章“平行四边形”主要研究一般平行四边形的概念、性质和判定，还研究了矩形、菱形和正方形等几种特殊的平行四边形。
第19章是“一次函数”，其主要内容包括：常量与变量的意义，函数的概念，函数的三种表示法，一次函数的概念、图象、性质和应用举例，一次函数与二元一次方程等内容的关系，以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习。
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⼈教版⼋年级数学下册⽬录
教材作为⼋年级数学知识的重要载体,其知识的编排直接关系到教师“教”与学⽣“学”的内容和成效。那么教材⽬录都有什么知识呢?⼩编整理了关于⼈教版⼋年级数学下册⽬录，希望对⼤家有帮助!
⼈教版⼋年级数学下册教材⽬录
第⼗六章⼆次根式
16.1 ⼆次根式
16.2 ⼆次根式的乘除
16.3 ⼆次根式的加减
数学活动
⼩结
复习题16
第⼗七章 勾股定理
17.1 勾股定理
阅读与思考勾股定理的证明
17.2 勾股定理的逆定理
阅读与思考费马⼤定理
数学活动
⼩结
复习题17
第⼗⼋章 平⾏四边形
18.1 平⾏四边形
18.2 特殊的平⾏四边形
实验与探究丰富多彩的正⽅形
数学活动
⼩结
复习题18
第⼗九章 ⼀次函数
19.1 函数
阅读与思考科学家如何测算岩⽯的年龄
19.2 ⼀次函数
信息技术应⽤⽤计算机画函数图象
14.3 课题学习选择⽅案
数学活动
⼩结
复习题19
第⼆⼗章 数据的分析
20.1 数据的集中趋势
20.2 数据的波动程度
阅读与思考数据波动程度的⼏种度量
20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析
数学活动
⼩结
复习题20
部分中英⽂词汇索引
⼋年级数学勾股定理知识总结
勾股定理：如果直⾓三⾓形的两直⾓边长分别为a，b，斜边长为c，那么a^2+b^2=c^2
勾股定理逆定理：如果三⾓形三边长a,b,c满⾜a^2+b^2=c^2，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。
经过证明被确认正确的命题叫做定理(theorem)。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中⼀个叫做原命题，那么另⼀个叫做它的逆命题。(例：勾股定理与勾股定理逆定理)
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第十六章二次根式
16.1 二次根式
16.1.1 二次根式的定义
16.1.2 二次根式的性质
16.2 二次根式的乘除
16.2.1 二次根式的乘法
16.2.2 二次根式的除法
16.3 二次根式的加减
16.3.1 二次根式的加减
16.3.2二次根式的混合运算
第十七章勾股定理
17.1 勾股定理
17.1.1勾股定理
17.1.2勾股定理的实际应用
17.1.3勾股定理在几何中的应用
17.2 勾股定理逆定理
17.2.1勾股定理逆定理
17.2.2勾股定理及其逆定理的应用
第十八章平行四边形.
18.1 平行四边形
18.1.1平行四边形的边、角性质
18.1.2平行四边形的对角线性质
18.1.3平行四边形的判定
18.1.4平行四边形的性质和判定应用
18.1.5中位线
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形及其性质
18.2.2矩形的判定
18.2.3 菱形及其性质
18.2.4菱形的判定
18.2.5正方形及其性质
18.2.6正方形的判定
18.2.7正方形的性质与判定的综合应用第十九章一次函数
19.1 函数
19.1.1变量
19.1.2函数
19.1.3函数的图像
19.1.4函数的表示方法
19.2 一次函数
19.2.1正比例函数
19.2.2正比例函数的图像和性质
19.2.3一次函数
19.2.4一次函数的图像和性质
19.2.5一次函数的解析式求法
19.2.6一次函数的实际应用
19.2.7含两个一次函数（图象）的应用
19.2.8一次函数与一元一次方程、不等式
19.2.9一次函数与二元一次方程（组）
第二十章数据的分析
20.1 数据的集中趋势
【人教版】八年级数学下册(全书)课件(含本书所有课时)精美立体PPT
2 你 的 恒 心 ，与 你的节 奏有关 当我们立下FLAG的时候，可能一开始都 会忍不 住下狠 劲儿。 之前一步都不想跑，决定健身了，就2公 里开跑 ，冲刺 5公里 。 之前一页书也不想看，决定勤奋了，就 焚膏油 以继晷 ，好像 不熬夜 都不好 意思说 自己看 书。 之前从没拉过筋，决定瑜伽了，就恨不 得立刻 把那支 僵硬了 几十年 的老腿 想掰哪 儿就掰 哪儿。 这种激情维持不了多久，很快就会被打 回原形 。 坚持从来就不是持续消耗，所以太用力 的人一 般都跑 不远。 作家村上春树的生活里有两件非常重要 的事情 ：写作 和跑步 。 他全职写作没多久，发现身体变差，便 开始跑 步。 在普通人眼中，职业小说家应该是不舍 昼夜地 伏案工 作，资 深跑者 的锻炼 强度更 难以想 象。可 村上春 树的生 活却有 张有弛 ，十分 规律。 每天早 起后的 三四个 小时集 中精力 写作， 午休后 跑步， 日暮时 读书、 听音乐 。 在与写作和跑步相伴的几十年里，他既 勤勉耐 劳、不 惜体力 ，又谨 小慎微 地呵护 自己的 热情， 既怕惰 性来袭 ，又怕 用力过 猛。 他说：要让惯性的轮子以一定的速度准 确无误 地旋转 到最后 。 坚持，从长远看，要循序渐进，就每一 天来说 ，要量 力而为 。 既要摸清自己的节奏，也要管住自己按 这样的 节奏坚 持下去 。不盲 从，也 不随性 ，不蛮 干，也 不懒散 。 只有不乱节奏，才能持之以恒。
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说一说:
下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
1 2
⑵ 16
⑶ a2 2a2 ⑷ x (x 0)
a9
⑸ m32 ⑹ a1 (a3)
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) xx 1 55 (2) 1 x2 (3) 1x 3x
解：(1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5 有意义.
复习
1、如果 x2 4，那么 x±2 ；
2、如果 x2 3，那么 x 3 ；
3、如果 x2 a(a0)，
那么 x a 。 x
导入
1.如图所示的值表示正方形的
面积，则正方形的边长是 b 3 b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，
它的半径为 2 m（ 取3.14）；
3、关系式中h 5t2，用含有h的式子
(2) 因为不论x是什么实数，都有 1 x 2 ＞0.
∴当 是任何实数时， 1 x 2 有意义.
（3）由题意可知：13
x x
0 0
∴当 -1≤ x ≤3时，1x 3x 有意义.
当x取何值时， 1 在实数范围内有意义。 x5
x5 0
解：由题意得
x
1
5
0
x-5 ＞ 0
∴ 当x＞5时，
1 x5
( 5 ) 2 2 |2|=2 (6) (2)2 -|-2|=-2
例2 求下列二次根式的值：
例题
(1) (3)2;
(2) x22x1,其 中 x3.
解：( 1解) ：((2 3)x)22 2x |3 1| (x1)2| x 1 |
因为 3 ＜0，所以
当 x 3 时，原式= | 3 1 | |3 |= －（3 ）= 3
a (a 0)
( a)2与 a2有区别吗 ?
1.从读法来看：
2:从运算顺序来看：
a 2 根号a的平方 a 2 先开方,后平方
a 2 根号下a平方 a 2 先平方,后开方
3.从取值范围来看：
2
a
a≥0
4.从运算结果来看:
a 2=a
a 2 a取任何实数
a (a 0)
a2
=∣a
0
(a 0)
➢ a≥0, a ≥0 ( 双重非负性) ➢ a可以是数,也可以是式.
➢ 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
(1) 代数式 a 是二次根式吗?
答:代数式 a 只有在条件a≥0的情况下,才属于二次根式!
二次根式是属于有特殊条件的代数式.
(2) 2 2 是二次根式吗？
答：符合条件(1)被开方数 2 2 为非负数; (2) 含
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
0 2 _ _0_ ,
| 5 | _ 5_ _ ; | 0 | _ _0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a 2 与 | a | 有什么关系?
a a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 ____.
一般地,二次根式有下面的性质:
性质2:
a (a 0) a2 a 0 (a 0)
性质1: a 2a (a0) 1149a765
a
快 速 判
1
32__3____,2
722___72 ___,3
2132__2 __13____,
断
4 52___5_____,5 232__ ___23 ___.
2 2 _ 2_ _ ,
| 2 | _2_ _ ;
5 2 _ 5_ _ ,
开动你的脑筋,你一定行!
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
?
1. a 表示什么含义?
答:当a>0时, a 表示a的正平方根; 当a=0时, a 表示a的平方根.
2. 当a满足什么条件时,代数式 a 才有意义?
答:由于负数没有平方根,所以当a≥0时, a 才有意义!
3. 代数式 a (a≥0)有如下特征:
表示t，则t为 h 。
5
新授:
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
h源自文库
b3
2
5
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a0)的式子叫做二次根式 .
a
被开方数
二次根号
读作“根号 a ”
归纳: 二次根式的定义
一般地，代数式形如 a ( a 0 ) 的
式子做叫二次根式。
本课学习目标：
• （1）二次根式的概念( 双重非负性) • （2）根号内字母的取值范围 • （3）二次根式的性质(1,2)
人教版数学教材八年级下
第16章 二次根式
16.1 二次根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0
用 a (a≥0)表示。
∣
a ( a 0 )
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
2
a a,(a0)
（2）
a ( a >0 )
a2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
(1 )( 2 ) 2 2
( 2 )( 2 ) 2 2 ( 3 ) ( 2 ) 2 -2 ( 4 ) ( 2 ) 2 |-2|=2
= 3 1
所以所，以(，3当)2x3. 3 时，二次根式的
值是
3 . 1
跟踪练习
将下列各式化简：
1
1
2
2
( 23) x22xyy2(x﹤y)
解:原式 1 2
解:原式 (xy)2
(1 2)
xy
Qx y
2 1
xy0 原 式 （ xy)
yx
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
在实数范围内有意义。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1 x 1 (2) 3x x0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
x0
(5) x3
x0 ( 6 )
1 x2
x0
(7) x 1 (x 2)0 x1,且x2
x3
(8) x 2 x 0 (9) x21x为全体实数
x
? 一般地,二次根式有下面的性质:
有二次根号，所以 2 2 是二次根式．
(3) 代数式 a2(a2), 1(x0) 是二次根式
吗?
x
答:是的,二次根式的被开方数可以是整式或分式.
注意
如： a 1 这类代数式只能称为含有二次
根式的代数式，不能称之为二次根式；
而 2x22x 3
这类代数式，应把 2 , 3 这些二次根式看 做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。