05大数定律及中心极限定理
第五章 大数定律和中心极限定理
一、大数定律切比雪夫大数定律：设随机变量X1，X2，…，X n，…相互独立，且具有相同的数学期望且方差有界，那么对辛钦大数定律：设X1，X2，…，X n，…为独立同分布的随机变量序列，且数学期望E（X i）=μ存在，则对任意【例87·填空题】设X1，X2，…，X n，…相互独立，且都服从P（λ），那么依概率收敛到_____[答疑编号986305101：针对该题提问]答案：【例88·填空题】设X1，X2，…，X n，…相互独立，且都服从参数为0.5的指数分布，则。
[答疑编号986305102：针对该题提问]【例89·选择题】设随机变量列X1，X2，…，X n，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n充分大时依概率收敛于共同的数学期望，只要X1，X2，…，X n，…（）A.有相同的数学期望B.服从同一离散型分布C.服从同一泊松分布D.服从同一连续型分布[答疑编号986305103：针对该题提问]答案：C【例90·选择题】设随机变量，X1，X2，…，X n，…是独立同分布，且分布函数为则辛钦大数定律对此序列（）A.适用B.当常数a,b取适当的数值时适用C.不适用D.无法判别[答疑编号986305104：针对该题提问]答案C二、中心极限定理独立同分布的中心极限定理：设随机变量X1，X2，…，X n，…相互独立，服从同一分布，【例91·选择题】（05-4-4）设X1，X2，…，X n，…为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为λ（λ>0）的指数分布，记为标准正态分布函数，则（）[答疑编号986305105：针对该题提问]答案：C。
大数定律及中心极限定理
增加，事件的频率逐渐稳定于某个常数. 大量测量值的平均值 也具有这种稳定性，这种稳定性就是大数定律的客观背景.
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 废品率
某字母使用 频率
5.1 Chebyshev不等式
次定数理， （p契是比事雪件夫A大在数每定次律试）验A中发生的概率，
2这大种数 现定象 次律就是数(续中2心，) 极限p定是理事的客件观背A景。在每次试验中发生的概率，
解得 N>115.
则对任给的ε> 0， 第5章 大数定律与中心极限定理
设随机变量 服从二项分布B(n, p)，n=1,2,…,则对任意
∴
次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，
nA XPp n
解：对每部话机的观察作为一次试验，
伯努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件 解：记同时开着的灯数为X，X ~B(10000,0.
证：因为nA~B(n,p),可记 nA=X1+X2+…+Xn
时X称1,,XX12,,X依…2概,,A…X率n,发相X收n互的敛生独算于立术的，平E均(X频值i)=p率,i=1,n2,.A/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.
设 X1,X2, …是相互独立的随机变量，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xk) ≤C，k=1,2, …，
时,X1,X2,…,Xn的算术平均值
伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.
5.2 大数定律 (续3) 下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随 机变量的方差存在. 定理（辛钦大数定律）
第5章_大数定律和中心极限定理
3) 用平均值近似积分值
1 即 I N
g(r ) I
n1 n
N
问：若求 I b g ( x )dx 的值
a
应如何近似计算？请思考.
大数定律以严格的数学形式表达了随 机现象最根本的性质之一： 平均结果的稳定性 它是随机现象统计规律的具体表现. 大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.
0
1
我们介绍均值法，步骤是
1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn, n=1,2,…,N 2) 计算g(rn)， n=1,2,…,N
3) 用平均值近似积分值
1 即 I N
g(r ) I
n1 n
N
求 I g ( x )dx 的值
0
1
我们介绍均值法，步骤是
1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn, n=1,2,…,N 2) 计算g(rn)， n=1,2,…,N
n
P a 则称{Xn}依概率收敛于a。可记为 X n
意思是: 当
n 时, Xn落在 (a , a )
Xn
内的概率越来越大。即 n0 , 使得n n0 ,
a
a
a
二、几个常用的大数定律
切比雪夫大数定律 设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变 量序列，且有相同的数学期望，及方差2>0，则
1 n P Yn X k n k 1
例 在掷骰子过程中，以Xn记第n次掷出的点数， 1 n 在依概率收敛意义下，求 X X k 的极限。
n
k 1
下面我们再举一例说明大数定律的 应用. 定积分的概率计算法 求 I g ( x )dx 的值
0 1
中心极限定理和大数定律
中心极限定理和大数定律中心极限定理和大数定律是统计学中非常重要的两个概念。
它们在统计学中被广泛应用，对于理解随机事件的规律性和分析数据具有重要意义。
本文将对中心极限定理和大数定律进行详细的阐述。
一、中心极限定理1. 定义中心极限定理是指当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。
也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将近似于正态分布。
2. 原理中心极限定理的原理可以用数学公式表示为：当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）服从正态分布N（μ,σ^2/n）。
其中，μ代表总体均值，σ代表总体标准差。
3. 应用中心极限定理在实际应用中非常广泛。
例如，在质量控制过程中，我们可以通过抽取一小部分产品进行检测，并根据检测结果推断整个批次产品的质量状况。
而根据中心极限定理，我们可以通过抽取足够多的样本并计算样本均值，来推断总体均值和标准差，从而判断整个批次产品的质量是否符合要求。
二、大数定律1. 定义大数定律是指当样本量足够大时，样本平均值趋近于总体平均值。
也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将趋近于总体的平均值。
2. 原理大数定律的原理可以用数学公式表示为：当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）趋近于总体均值（μ）。
3. 应用大数定律在实际应用中也非常广泛。
例如，在股票市场中，我们可以通过抽取一小部分股票进行分析，并根据分析结果预测整个市场的走势。
而根据大数定律，我们可以通过抽取足够多的股票并计算它们的收益率，来推断整个市场的平均收益率和风险水平。
三、中心极限定理和大数定律之间的关系1. 相似性中心极限定理和大数定律都是关于样本均值的定理，它们都是基于样本量足够大的前提条件下成立的。
2. 区别中心极限定理和大数定律的主要区别在于它们所描述的内容不同。
中心极限定理描述了样本均值的分布情况，而大数定律描述了样本均值与总体均值之间的关系。
05大数定律及中心极限定理
概率论
定 1 得 由 理即 nA limP{| − p |< ε } n→∞ n 1 = limP{| ( X1 + X2 +L+ Xn ) − p |< ε } = 1 n→∞ n nA 或 limP{| − p |≥ ε } = 0 证毕
n→ ∞
n
注 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分 贝努里大数定律表明，当重复试验次数 充分 大时，事件A发生的频率 发生的频率n 与事件 的概率p有较 与事件A的概率 大时，事件 发生的频率 A/n与事件 的概率 有较 大偏差的概率很小. 大偏差的概率很小
概率论
说明
1n 1 定 中 ∑ Xi −µ |< ε }是 一 随 事 ， 、 理 {| 指 个 机 件 ni=1 n 当 →∞时 这 事 的 率 于 . ， 个 件 概 趋 1
2 定 以 学 式 明 随 变 X1,LXn 、理 数 形 证 了 机 量 1n 的 术 均 = ∑ Xi 接 数 期 E（ k = µ 算 平 X 近 学 望 X） ni=1 k , （ = 1,2L n） 这 接 说 其 有 稳 性. ， 种 近 明 具 的 定
n→∞ np(1− p) t2 1 − 2 = Φ(x) e dt 2π
≤ x} = limP{ k=1
∑ Xk − np np(1 − p)
n
≤ x}
ηn ~ N(np, np(1− p))
近似地
limP{
n→∞
ηn − np
np(1− p)
≤ x} = ∫−∞
x
1 e dt = Φ(x) 2π
t2 − 2
η 证 由第四章知识知可将 n分解成为n个相互独立、
从 一 服 同 (0 − 1)分 的 随 变 X1, X2,LXn之 ， 布 诸 机 量 和
第五章大数定律及中心极限定理
k 1
其中 X1, X2 ,, Xn是相互独立的、服从同一
均值为μ，方差为σ2>0的独立同分布的随机变量
n
X1,X2,…,Xn之和 X k 的标准化变量，当n充分
大时，有
k 1
n
k 1
Xk
nm
～近似N(0,1)
ns
n
这样可以用(标准)正态分布来对 X k 作
k 1
理论分析或实际计算，不必求分布函数
19/41
§5.2 中心极限定理
将上式改写为
即对任意的正数ε，当n充分
lim P n
1 n
n k 1
Xk
m
1.
大时，不等式 立的概率很大
|
X
m | 成
3/41
证 由随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，且具有 相同的数学期望和方差，有
E
1 n
n k 1
Xk
lim
n
P
1 n
(X1
X2
Xn)
p
1,
即
lim
n
P
nA n
p
1.
伯努利大数定理表明，事件发生的频率nA/n依概率收敛
于事件的概率p，以严格的数学形式表达了频率的稳定性和概
率的合理性
近似：当n很大时，事件发生的频率nA/n与概率有较大偏差的 可能性很小，因此由实际推断原理，由于小概率事件几乎不
辛钦定 理
X P m
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是统计学中两个重要的概念，它们被广泛应用于概率论、数理统计以及各种实际问题的分析与推导中。
本文将详细介绍大数定律与中心极限定理的概念、原理及应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两个定律。
一、大数定律大数定律是指在随机试验中，当试验次数趋于无穷时，样本均值趋近于总体均值的概率趋于1的现象。
简言之，大数定律说明了在重复独立试验的过程中，随着试验次数增加，样本均值与总体均值之间的差距将会逐渐减小。
大数定律有多种形式，其中最为著名的是弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律也称为大数定律的辛钦特例，它是在满足一定条件下，样本均值趋近于总体均值的概率收敛于1。
而强大数定律则对样本均值的收敛速度和稳定性做出了更严格的要求。
在实际应用中，大数定律可以用来解释和预测各种现象。
例如，当进行大规模的舆情调查时，可以通过随机抽样的方式来获取一部分样本，然后利用大数定律来推断出总体的舆情倾向。
此外，在生产过程中对产品质量的控制和检验中，也可以使用大数定律来判断产品的批量质量是否合格。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它说明了在某些条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从于正态分布。
也就是说，无论总体分布是否服从正态分布，在大样本条件下，样本均值的分布都将趋于正态分布。
中心极限定理的重要性在于它提供了许多统计推断和参数估计的基础。
例如，在对总体均值进行估计时，可以利用样本均值的分布接近于正态分布来构建置信区间，从而对总体均值进行区间估计。
此外，中心极限定理还为假设检验提供了支持。
假设检验是统计推断的一种常用方法，通过对样本数据进行假设检验，可以判断总体参数是否与假设相符。
而中心极限定理则为假设检验提供了理论基础，使得假设检验的结果更加可靠和准确。
综上所述，大数定律和中心极限定理是统计学中两个重要的理论基础。
大数定律说明了随机试验中样本均值与总体均值的关系，而中心极限定理则揭示了样本均值的分布特征。
大数定律与中心极限定理公式
大数定律与中心极限定理公式
大数定律和中心极限定理是概率论和统计学中的重要概念，它们描述了在大量重复实验或观察中随机变量的性质。
大数定律是指当试验次数趋于无穷时，随机变量的相对频率趋于其概率。
具体来说，如果一个随机变量序列{ξn, n ∈ N} 的期望存在且等于某个常数ξ，那么对于任意小的正数ε，当 n 趋于无穷时，P( ξn - ξ ≥ ε ) 趋于 0。
中心极限定理则是指无论随机变量 X1, X2,..., Xn 的分布是什么，只要 n 足
够大，那么它们的和 X1 + X2 + ... + Xn 除以 n 的标准化形式就会近似地
服从标准正态分布 N(0, 1)。
也就是说，对于任意x ∈ R，有limn→∞
P(∣∑i=1nxi−nμ∣≤xσn)=Φ(x)\lim_{n \to \infty}
P(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \leq x) =
\Phi(x)limn→∞P(∣∣∑i=1nxi−nμ∣∣≤xnσ2)=Φ(x)，其中μ 是 X1, X2,...,
Xn 的期望，σ^2 是它们的方差，Φ(x)是标准正态分布 N(0, 1) 的分布函数。
这两个定理在统计学中有着广泛的应用，例如在样本均值的分布、样本比例的分布、回归分析等方面都有重要的应用。
第五章__大数定律与中心极限定理讲解
n
n
●伯努利大数定律说明了当重复独立试验次数 n 很大时，频率与其概率之差可为任意小， 即说明了其频率的稳定性。
从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以 用事件发生的频率来近似代替概率。
若记
1, 第i次实验中事件A发生 Xi 0，第i次实验中事件A不发生
(i 1, 2
n)
n
P400 X 600 由切比谢夫不等式得
P400 500 X 500 600 500 P| X E(X ) | 100
1
D(X ) 100 2
1
250 100 2
0.975
(2)设需要做n次独立试验, 则X ～ B(n, 0.5), 求n使得
P
0.35
X n
0.65
0.95
P0.35
X n
0.65
P0.35
n
0.5
n
X
0.5 n
0.65n
0.5n
PX 0.5n 0.15n 0.95
成立,由切比谢夫不等式得
DX
0.25n
P X 0.5n 0.15n 1 (0.15n)2 1 (0.15n)2
D( Xi ) c(i 1, 2 ),则对任意 0,有
lim P(
n
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi )
)
1
证明: 由期望与方差的性质知
E(1
n
n i 1
Xi)
(最新整理)05第五讲 大数定律与中心极限定理
第五讲 大数定律与中心极限定理考纲要求1.了解切比雪夫不等式.2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定理和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）.3.了解棣莫佛-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维-林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）.问题1 何谓切比雪夫不等式？答 设随机变量X 的数学期望和方差存在，则对于任意0ε>，有{}21DXP X EX εε-<>-或者{}2DXP X EX εε-≥≤.利用切比雪夫不等式，可以用DX 估计事件X EX ε-<的概率.例1.设随机变量X 和Y 的数学期望分别2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5-，则根据切比雪夫不等式，有}6{≥+Y X P .解 ()0E X Y +=，()2(,)3D X Y DX DY Cov X Y +=++=，根据切比雪夫不等式，有231{6}612P X Y+≥≤=. 2.设随机变量X 的数学期望为1，方差为14，试何用切比雪夫不等式估计{03}P X <<.问题2 何谓大数定律？叙述切比雪夫大数定律、辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）和伯努利大数定理.答 将切比雪夫不等式应用于随机变量列n X X X ,,,21 的算术平均值11nn i i X X n ==∑，得{}21nn n DX P X EX εε-<>-.若,0n n DX →∞→，则有{}lim 1n n n P X EX ε→∞-<=.称随机变量列12,,,,n X X X 服从大数定律，并称n X 依概率收敛于n EX .⑴切比雪夫大数定律：设随机变量12,,,,n X X X 相互独立，它们的数学期望和方差都存在，且方差一致有界，则{}lim 1n n n P X EX ε→∞-<=. ⑵辛钦大数定律（独立同分布的随机变量序列的大数定律）：设随机变量12,,,,n X X X 独立同分布，它们的数学期望μ和方差2σ存在，则{}lim 1n n P X με→∞-<=. ⑶伯努利大数定律：设随机变量~(,)n Y B n p ，则lim 1n n Y P p n ε→∞⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭. 伯努利大数定律对频率的稳定性给出了理论上的证明.例 设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布，且211,σμ==DX EX ，则当∞→n 时，∑=ni i X n 121依概率收敛于.解 由独立同分布的大数定律知，∑=ni i X n 121依概率收敛于它的数学期望2222211111(()n n i i i i i i E X EX n DX EX n n nμσ====⋅+=+∑∑.问题3 何谓中心极限定理？叙述列维-林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）和棣莫佛-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）.答 概率论中有关随机变量的和的极限分布是正态分布的定理，称为中心极限定理.⑴独立同分布的中心极限定理（列维-林德伯格定理）设随机变量12,,,,n X X X 独立同分布，它们的数学期望μ和方差2σ存在，则lim ()n P x x Φ→∞⎫≤=⎬⎭. 本定理指出：当n 充分大时，1n n i i S X ==∑近似服从2(,)N n n μσ，因此，可以用正态分布计算有关和的概率..⑵德莫佛-拉普拉斯中心极限定理设随机变量~(,)n Y B n p，则lim ()n P x x Φ→∞⎧⎫⎪≤=⎬⎪⎭.本定理指出：当n 充分大时，n Y 近似服从(,(1))N np np p -，因此，可以用正态分布计算有关二项分布的概率.例1. 随机变量10021,,,X X X 独立同分布，且1X 服从参数为4的泊松分布，X 是其算术平均值，则根据中心极限定理有=≤}392.4{X P .解 由中心极限定理知，X 近似服从2(4,0.2)N ，4.3924{ 4.392}()(1.96)0.9750.2P X ΦΦ-≤===. 2.某单位有200台电话机，每台电话机大约有5％的时间使用外线通话，问该单位总机至少需安装多少条外线，才能以90％以上的概率保证每台电话机需要使用外线时可供使用？【14】解 同时使用外线的电话机台数~(200,0.05)X B ， 由中心极限定理知X 近似服从(10,9.5)N ，设该单位总机安装k 条外线，可以使{}()0.90 1.28P X k ΦΦ≤=≥=1.28>，13.968k >，故该单位总机至少需安装14条外线.3.一生产线上源源不断地生产成箱的零件，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977?((2)Φ=0.977)(01-4)解 设每辆车装n 箱，i X 表示第i 箱的重量，则50i EX =，25i DX =，由中心极限定理知，汽车载重量1ni i X =∑近似服从()50,25N n n ，为保证不超载的概率150000.977(2)ni i P X ΦΦ=⎧⎫≤=>=⎨⎬⎩⎭∑，则2>， 即98.0199n <，故最多可以装98箱.。
第五章大数定律与中心极限定理
Xi
1 n
n i 1
E(Xi)
1,
则称{Xn}服从大数定律.
（2）伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例
（3） 伯努利大数定律和切比雪夫大数定律的证明 都用到切比雪夫不等式，而且需要方差存在。
定理 5.1.4. 辛钦大数定律
设X1, X 2 ,..., X n,...是独立同分布的随机变量序列，
意义：只要试验次数够大，发生事件的频率无限接近于 概率，频率稳定性，频率代替概率。
定理 5.1.3. 切比雪夫大数定律
设X1 , X 2 ,, X n ,是一相互独立的随机变 量序列，
它们的数学期望和方差 均存在，且方差有共同 的上界，
即存在常数 K 0，使得 D ( X i ) K , i 1,2, ,
不等式给出了X 与它的期望的偏差不小于的概率
的估计式.
例 1 E( ) 4, D( ) 0.2, 则由切比雪夫不等式知
P{| 4 | 2} P{| 4 | 1}
,
P{ X
}
2 2
,
P{1 7}
定义 5.1.1设{X n}是一个随机变量序列，a是常数，
若对于任意的 0，有
已知整个系统中至少有84个部件正常工作，系统
工作才正常.试求系统正常工作的概率.
解： 记Y为100个部件中正常工作的部件数，则
Y 近似服从 N(100 0.9,100 0.9 (1 0.9))
即Y 近似服从N (90, 9)
因此，所求概率为
P{Y 84}=1-P{Y<84}=1-P{ Y-90 < 84-90 }
解： 设Xi为第i个螺丝钉的重量，i 1, 2,...,100.
且设X 为一盒螺丝钉的重量.
《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论中两个重要的定理，它们分别描述了随机变量序列的极限行为。
在统计学和概率论中，这两个定理被广泛应用于估计和推断，对于理解随机现象的规律具有重要意义。
一、大数定律大数定律是概率论中的一个基本定理，它描述了独立同分布随机变量序列的均值在概率意义下收敛于其数学期望的现象。
大数定律分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
1. 弱大数定律弱大数定律又称为辛钦大数定律，它是概率论中最早被证明的大数定律之一。
弱大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，如果这些随机变量的数学期望存在且有限，记为$E(X_i)=\mu$，则随着样本量$n$的增大，样本均值$\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$以概率1收敛于数学期望$\mu$，即$\lim_{n \to \infty}P(|\bar{X}_n-\mu|<\varepsilon)=1$，其中$\varepsilon$为任意小的正数。
弱大数定律的直观解释是，随着样本量的增加，样本均值会逐渐接近总体均值，即样本的平均表现会趋向于总体的真实情况。
这一定律在统计学中有着广泛的应用，例如在抽样调查、质量控制等领域中被频繁使用。
2. 强大数定律强大数定律是大数定律的另一种形式，它要求更高，即要求随机变量序列的方差有限。
强大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，如果这些随机变量的方差存在且有限，记为$Var(X_i)=\sigma^2$，则随着样本量$n$的增大，样本均值$\bar{X}_n$以概率1收敛于数学期望$\mu$，即$\lim_{n \to\infty}P(\bar{X}_n=\mu)=1$。
强大数定律相比于弱大数定律更加严格，要求随机变量序列的方差有限，但在实际应用中，强大数定律的条件并不总是成立。
#五大数定律与中心极限定理
例: 将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 500的概率是多少？
解 设Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则
X1,…,X100独立同分布.
E(X1)7 2,D (X1)1 6i 61k24 49 1 32 5
由中心极限定理
100
P{Xi i1
5001007
伯努里大数定律: 设进行n次独立重复试验，每
次试验中事件A发生的概率为p，记fn为n次试验中 事件A发生的频率，则
p
fnp n
证明:设
1 第i次试验事件A发生
X
i
0
第i次试验事件A不发生
则
E (X i) p ,D (X i) p (1 p )
由切比雪夫大数定律
n
Xi P
fn
i 1
n
p
§2 中心极限定理
• 在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态分 布:“若一个随机变量X可以看着许多微小而独立的随 机因素作用的总后果,每一种因素的影响都很小,都有 不起压倒一切的主导作用,则X一般都可以认为近似 地服从正态分布.”
• 例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机 因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪 器的影响,使测量产生误差X1;测量者观察时视线所产 生的误差X1;测量者心理和生理上的变化产生的测量 误差X3;…显然这些误差是微小的、随机的,而且相互 没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的误差 之和,即∑Xi.
• 解:易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由独立同分布的中心极
限定理知
20
Vk 205
Z k1
V100
2010/012 2010/012
大数定律与中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理大数定律：概率论中，说明、提示大量随机现象平均结果的稳固性的一系列定律。
如：前面学习过：(1) 在一样条件下，进展大量重复独立实验时，随机事件发生的频率具有稳固性，即()()A n n f A p n n=→→+∞当时。
(2) 实践中得出，大量测量值的平均值也是具有稳固性， 即12...()n X X X X n nμ+++=→→+∞常数当时。
大数定律从理论上给出了这种问题的论证。
一、切贝雪夫不等式1. 切贝雪夫不等式：设随机变量X 有数学期望EX 及方差DX ，那么任意给出0ε>，有2{||}DX P X EX εε-≥≤或 2{||}1DXP X EX εε-<≥-。
例 1. 某批产品次品率，试估量10000件产品中，次品数X 介于400~600件之间的概率。
解：~(10000,0.05)X B ，500EX np ==，(1)100000.050.95475DX np p =-=⨯⨯=， 因此22475{400600}{|500|100}110.525100100DX P X P X <<=-<≥-=-=。
二、大数定律1. 依概率收敛：假设存在常数a ,使得关于任意正数ε，有lim {||}1,n n P X a ε→+∞-<=那么称随机变量序列{}n X 依概率收敛于a .2. 切比雪夫大数定律：设12,,...X X 是彼此独立的随机变量序列，各有数学期望12,,...EX EX 及方差12,,...DX DX ，而且关于所有1,2...i =都有i DX C <，其中常数C 与i 无关，那么关于0ε∀>，有1111lim {||} 1.n ni i n i i P X EX n n ε→+∞==-<=∑∑ 3. 贝努里大数定律：设A n 为n 重贝努里实验中事件A 发生的次数，p 为事件A 发生的概率。
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X ~ N ( , n) 或 1 n 其中X X k n k 1
2
近似地
X 近似地 ~ N (0,1) n
n
3、虽然在一般情况下，我们很难求出 X k 的分 布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布.
k 1
概率论
定理2(棣莫佛－拉普拉斯（De Laplace定理）
概率论
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np 近似N(0,1), np(1 p)
于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)
这里 np=120, np(1-p)=48
N 120 120 ( ) ( ) 48 48 N 120 ( ) 48
N 120 由 ( ) 0.999 48
中在期望附近的可能性越大.
由切比雪夫不等式可以看出，若 2 越小，则
概率论
我们只就连续型随机变量的情况来证明. 证
设X的概率密度为f (x)，则有
P{ X }
X
f ( x)dx x
2
X
2
f ( x)dx
2 2 ( x ) 2 f ( x)dx 2
概率论
证
由于
1 n 1 1 n E X k E ( X k ) n n k 1 n k 1 n
n 1 n 1 2 D X k 12 D( X k ) 2 n 2 n k 1 n k 1 n n
高斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？
概率论
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们 不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随 n 机变量. 即考虑随机变量X k ( k 1,n)的和 X k
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不 小于8/9 .
概率论
大数定律的客观背景
事件发生的频率稳定于某一常数 大量随机试验中 测量值的算术平均值具有稳定性
大量抛掷硬币 生产过程中的 字母使用频率 正面出现频率 废品率 ……
概率论
5.2
大数定律 小结
大数定律
概率论
一、大数定律 定理1（切比雪夫定理的特殊情况）
n
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值时（或 者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 n 的分布 近似正态分布 N(np,np(1-p)).
即
n ~ N ( np, np(1 p))
近似地
概率论
下面演示不难看到中心极限定理的客观背景
f g 0
1
h
2 3 x
例:20个0-1分布的和的分布
或
nA lim P{| p | } 0 n n
证毕
注 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分 大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较 大偏差的概率很小.
事件发生的频率可以代替事件的概率.
概率论
5.3
例题
中心极限定理
中心极限定理
课堂练习
小结 布置作业
概率论
中心极限定理的客观背景
概率论
概率论
5.1 切比雪夫不等式
定理 设随机变量X具有数学期望 E ( X ) , 方差 D( X ) , 则对于任意正数 ，有不等式
2
或
P{| X E ( X ) | } 2 2 P{| X E ( X ) | } 1 2
2
事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即随机变量X 集
1
概率论
2 P{| X E ( X ) | } 2
当方差知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它 的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .
如取
P{| X E ( X ) | 3 } 0.111 2 9 可见，对任给的分布，只要期望和方差 2存在，
即有
n X k
k 1
n
其中X k ( k 1,2,, n)的分布律为 PX k i p (1 p) , i 0,1
i 1 i
概率论
由于E ( X k ) p, D( X k ) p(1 p) k 1,2,, n)，
由定理4得
X k np n np lim P{ x } lim P{ k 1 x} n n np(1 p) np(1 p) t2 x 1 2 ( x ) e dt 2
n k 1
解
易知E (Vk ) 5, D(Vk ) 100 12 ( k 1,2, 20).
20 近似地 k 1
由定理 4知，V Vk
于是 PV 105 p V 20 5 p 0.387 100 12 20
100 20) ~ N ( 20 5, 12 V 20 5 105 20 5 100 12 20 100 12 20
由切比雪夫不等式
n 1 P Xk 1 2 n k 1 上式中令 n 得
n 2
1 n lim P {| X i | } 1 n n i 1
概率论
说明
1 n 1、定理中{| X i | }是指一个随机事件， n i 1 当n 时，这个事件的概率趋于1.
概率论
V 20 5 1 p 0.387 100 12 20 1 (0.387) 0.348
即有
PV 105 0.348
例2. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由 于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常 需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独 立的，且在开工时需电力1千瓦. 问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车 间不会因供电不足而影响生产?
n
Yn
k 1
X k n n
n
k 1
的分布函数Fn ( x )对于任意x满足
n
X n i 1 i lim Fn ( x ) lim P x n n n 2 1 -t 2 x - e dt ( x ) 2
由3σ准则， 此项为0。
查正态分布函数表得
(3.1) 0.999
概率论
N 120 故 ≥ 3.1, 48
即所求N=142.
从中解得N≥141.5,
概率论
解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验
是观察该台车床在某时刻是否工作, 工作的概率0.6 , 共进行200次独立重复试验. 用X表示在某时刻工作着的车床数，
依题意，
X~B(200,0.6),
设需N台车床工作， 现在的问题是：
求满足
P(X≤N)≥0.999
的最小的N.
（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N 台工作所需电力即N千瓦.）
nA 是事件A发生的频率. n
是否具有稳定性呢？
伯努利
事件发生的频率能否代替事件的概率，频率
概率论
定理2（贝努里大数定律）
设 nA 是n次独立重复试验中事件A发 生的次数，p是事件A在每次试验中发生 的概率，则对于任意正数ε> 0 ，有
或 证明
nA lim P{| p | } 1 n n nA lim P{| p | } 0 n n
在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机 因素的综合（或和)影响所形成的. 例如：炮弹射击的 落点与目标的偏差， 就受着许多随机因 素（如瞄准，空气 阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因 素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小 的.那么弹着点服从怎样分布哪 ？
概率论
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见.
注 1、定理表明，独立同分布的随机变量之和 X k ,
k 1
n概率论
当n充分大时，随机变量之和与其标准化变量分别有 X k n 近似地 2 k 1 X k ~ N ( n , n ) ; ~ N (0,1). n k 1 2、独立同分布中心极限定理的另一种形式可写为
n 近似地 n
几个(0,1)上均匀分布的和的分布
X1 ~f(x)
X1 +X2~g(x)
X1 +X2+X3~ h(x)
二、例题
概率论
例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk ( k 1,2,n),
设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0, 10) 上服从均匀分布.记V Vk，求P V 105的近似值.
设随机变量 n(n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0<p<1) 的二项分布，则对任意x，有
x 1 n np e dt ( x ) lim P{ x } n 2 np(1 p) t2 2
证 由第四章知识知可将n分解成为n个相互独立、
服从同一(0 1)分布的诸随机变量X 1 , X 2 , X n之和，
2、 定理以数学形式证明了随机变量X 1 , X n 1 n 的算术平均X X i 接近数学期望E（X k） n i 1 （k 1,2, n），这种接近说明其具有的稳定性 .
这种稳定性的含义说明算术平均值是依概率 收敛的意义下逼近某一常数 .
概率论
问题 : 设nA是n重贝努里试验中事件A发生 的次数，p是事件A发生的概率，
k 1