1.2集合之间的关系
1.2 集合之间的关系
1.2 集合之间的关系观察下面几个例子:①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;③设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};④E={2,4,6},F={6,4,2}.你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？(3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.(6)已知A B,试用Venn图表示集合A和B的关系.(7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论?(1)观察两个集合间元素的特点.(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果A⊆B,但存在x∈B,且x∉A,我们称集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A).(3)实数中的“≤”类比集合中的⊆.(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.(6)分类讨论:当A⊆B时,A B或A=B.(7)方程x2+1=0没有实数解.(8)空集记为∅,并规定:空集是任何集合的子集,即⊆∅A;空集是任何非空集合的真子集,即∅A(A≠∅).(9)类比子集.结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中;②集合A中的元素都在集合B中;③集合C中的元素都在集合D中;④集合E中的元素都在集合F中.可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.(2)例子①中A⊆B,但有一个元素4∈B,且4∉A;而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同.(3)若A⊆B,且B⊆A,则A=B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.(5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合B.图1-1-2-1图1-1-2-2(6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示.图1-1-2-3图1-1-2-4(7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解.(8)空集.(9)若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;若A B,B C,则A C.【当堂训练】1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.(1)则下列包含关系哪些成立？A⊆B,B⊆A,A⊆C,C⊆A.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.3.已知集合P={1,2},那么满足Q⊆P的集合Q的个数是( )A.4B.3C.2D.14.集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？5.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m=_______.6.已知集合M={x|2-x<0},集合N={x|ax=1},若N M,求实数a的取值范围.7.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:∅,{a},{a,b},{a,b,c}.(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素,则集合M有多少个子集？8.已知集合A{2,3,7},且A中至多有一个奇数,则这样的集合A有……( )A.3个B.4个C.5个D.6个9.判断正误:(1)空集没有子集. ( )(2)空集是任何一个集合的真子集. ( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( )(4)若B⊆A,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B. ( )10.集合A={x|-1<x<3,x∈Z},写出A的真子集.11.(1)下列命题正确的是 ( )A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为 ( )①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2}④∅∈{0,1,2} ⑤∅∈{0}A.5B.2C.3D.4(3)M={x|3<x<4},a=π,则下列关系正确的是 ( )A.a MB.a∉MC.{a}∈MD.{a}M12.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系:(1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z};(2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}.13.已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足Q P,求a所取的一切值.14.已知集合A={x∈R|x2-3x+4=0},B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0},要使A P⊆B,求满足条件的集合P.15.设A={0,1},B={x|x⊆A},则A与B应具有何种关系？16.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},(1)若B⊆A,求实数m的取值范围;(2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数;(3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.17.已知A ⊆B,且A ⊆C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A 共有多少个？【家庭作业】 一、选择题1，下列八个关系式①{0}=φ ②φ=0 ③φ {φ} ④φ∈{φ} ⑤{0}⊇φ ⑥0∉φ⑦φ≠{0} ⑧φ≠{φ}其中正确的个数 （ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、72、集合{1，2，3}的真子集共有 （ ）A 、5个B 、6个C 、7个D 、8个3、设一元二次方程ax 2+bx+c=0(a<0)的根的判别式042=-=∆ac b ，则不等式ax 2+bx+c ≥0的解集为（ ）A 、RB 、φC 、{abx x 2-≠} D 、{a b 2-}4.下列语句：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为 {1，2，3}或{3，2，1}；（3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1，1，2}；（4）集合{54<<x x }是有限集，正确的是 （ ）A 、只有（1）和（4）B 、只有（2）和（3）C 、只有（2）D 、以上语句都不对 5．下列四个命题： （１）空集没有了集；（２）空集是任何一个集合的真子集； （３）空集的元素个数为零；（４）任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确的有 （Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个二、填空题6、在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为7、若方程8x 2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k 的取值范围是8、集合{a,b,c}的所有子集是 真子集是 ；非空真子集是 9、方程x 2-5x+6=0的解集可表示为方程组的解集可表示为⎩⎨⎧=-=+0231332y x y x10．已知Ａ＝｛菱形｝，Ｂ＝｛正方形｝，Ｃ＝｛平行四边形｝，那么Ａ，Ｂ，Ｃ之间的关系是__________.三、解答题11、已知方程x 2-(k 2-9)+k 2-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求实数k 的取值范围。
1.2集合间的基本关系及运算
集合间的基本关系及运算【知识要点】1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集, 记作A B 或B A.2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B,记作A=B3、真子集：如果A B,且A B,那么集合A称为集合B的真子集,A B .4、设A S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作C S A5 、元素与集合、集合与集合之间的关系6 、有限集合的子集个数1 )n 个元素的集合有2n个子集2) n 个元素的集合有2n-1 个真子集3) n 个元素的集合有2n-1 个非空子集4) n 个元素的集合有2n-2 个非空真子集7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A Bo8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A B o9 、集合的运算性质及运用知识应用】1. 理解方法：看到一个集合A里的所有元素都包含在另一个集合里B,那么A就是B的子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x A能推出x Bo【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系(1)A={-1,1} ，B=Z (2)A={1,3,5,15} ，B={x|x 是15的正约数}【L】例 2.已知集合A={x|-2 x 5},B={x|m+1x 2m-1},若B A,求实数m取值范围。
【C】例3.已知集合A {0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请一写出。
2. 解题方法：证明2个集合相等的方法：(1)若A 、B 两个集合是元素较少的有限集，可用【C 】例 3.集合 M={x|x=3k-2,k Z},P={y|y=3x+1,x Z},S={z|z=6m+1,m Z}之间的关列举法将元素一一列举出来，比较之或者看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足 的条件是否一致，若均一致，则两集合相等。
集合之间的关系—集合的相等与包含
集合之间的关系——集合的相等与包含【新课导入】1. 考察下列两组集合，观察它们的元素有何关系.(1) 集合P ={1,2}与集合Q ={}2320x x x -+=；(2) 集合P ={x ︱x 为非负整数}与自然数集N .答：(1) 在第一组集合中，Q ={}2320x x x -+=={1,2}，它与集合P 的元素完全相同；(2) 在第二组集合中，因为集合P ={x ︱x 为非负整数}={0，1，2，3，……}，它与自然数集的元素也 完全相同.可见，相等是集合之间的一种重要关系.2. 再来看看小亮的家庭，他家的成员有爷爷、奶奶、 爸爸、妈妈、姐姐和小亮. 若姐姐和小亮构成一个集 合P ，全家成员构成一个集合Q ， 显然集合P 中的元素都属于集合Q ，那么P 与Q 有怎样的关系呢?很明显，集合P 中的元素也是集合Q 中的元素，也就是集合Q 可以包含集合P .可见，包含也是集合之间的一种重要关系.【双基讲解】1.集合的相等一般地，如果集合A 和集合B 所含的元素完全相同，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A =B ，读作“集合A 等于集合B ”.如果集合A ={1,3,5,7}， 集合B ={3,5,1,7}，那么A 与B 相等吗?2.集合的包含------子集一般地，对于两个集合A 和B ，如果集合A 中的任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A ⊆B 或B ⊇A ，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”.在小亮家庭里，明显可以看出：P ⊆Q .3. 集合的包含------真子集一般地，对于两个集合A 和集合B ，如果A ⊆B 并且B 中至少有一个元素不属于A ，,那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作AB , 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”. 在小亮家庭里，P Q 也是成立的.4.文氏图（Ve nn Di A gr A m ）用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图(Venn diagram.).AB 可以表示为【示范例题】例1 已知集合A ={x|x ≤5，x 是正偶数}，集合B ={A ,2}，且 A =B ，求A 的值.解 集合A ={x|x ≤5，x 是正偶数}={2,4}.A =B ，∴A = 4 .例2 已知集合S ={2x ，x+y }与集合T ={2，1}相等 ， 求x ，y 的值.分析：因为集合中的元素，前后顺序交换，仍是这个集合，所以这里必须列出两个二元一次方程组.解 由S = T ，可知 221x x y =⎧⎨+=⎩ 或 212x x y =⎧⎨+=⎩解方程组，得 10x y =⎧⎨=⎩ 或 1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【巩固练习】1. 判断下列两个集合是否相等，并说明理由.(1) 集合A ={}2210x x x ++=和集合B ={}210x x -=；(2) 集合A ={1，2，3，4，6，12}和集合B ={x ∣x 为12的因数}.2. 已知集合A ={0，3}，集合B ={2x-y ，2y-x }，且A =B ，求x ，y 的值.3. 已知集合S ={2x+y ，x-y }与集合T ={3，0}相等，求x ，y 的值.【示范例题】例3 试判断下列各组的两个集合是否具有包含关系，并用符号表示.(1) 集合E ={2，4，6，…}与集合D ={}2,n n k k =∈；(2) 集合A ={…，-4，-2，0，2，4，…}与集合B ={}2,n n k k =∈. 解 (1) 集合E 是正偶数集，而集合D ={}2,n n k k =∈={0，2，4，6，…}是非负偶数集， 0∉E ，但0∈D ，E D ⊆所以.(2) 集合A 是偶数集，对于A 中的任何一个偶数A ，都可以表示成A =21k ，1k ∈Z .可见，必有，a B ∈，所以A B ⊆.对于集合B 中的任何一个元素n ，因为2,n k k =∈，故n 必为偶数，于是B A ⊆.说明：一般地，对于集合A 和B ，如果A B ⊆，同时A B ⊇，那么集合A 和B 是相等的，即A =B .【巩固练习】1. 判断下列结论是否正确，并说明理由.（1）对任何集合A ，必有AA ； （2）若AB ，A A ，则必有A B ； （3）若A B ，BC ，则A C .2. 用符号“⊆”或“⊇”把下列每两个集合连接起来.(1) A ={}21,n n k k =+∈与B ={…，-3，-1，0，1，3，…}(1) C ={}21,n n k k =+∈与B ={…，-3，-1，1，3，…} (3) A 是所有水果组成的集合，B 是油桃、黄桃、蟠桃组成的集合，C 是所有桃子组成的集合.【示范例题】例4 试写出4的正因数的集合A 的所有子集和真子集.解4的正因数是1，2，4 ，∴ A ={1，2，4} .∴A 的子集是 φ， {1}，{2}，{4}，{1,2}，{1,4}，{2,4}，{1，2，4}， ∴A 的子集是 φ， {1}，{2}，{4}，{1,2}，{1,4}，{2,4} .例5 已知集合A ={1}，集合B ={}210x x -=，试用文氏图表示集合A 与B 的关系. 解 210x -=， 1x ∴=± . ∴ B ={1，-1}.A ={1} ，A B .【巩固练习】1. 用真包含符号“”或“”把数集N ，Z ，Q ，R 连接起来.2. 已知区间[1,2] ，（1，2），[1，2)，试用符号表示它们之间的包含关系.3. 已知集合A ={}2230x x x --=和集合B ={}10x x +=，试用文氏图表示集合A 与B 的关系. 六 课堂小结1.集合的相等的概念；2.集合的包含 —— 子集的概念；3.集合的包含 —— 真子集的概念；4.文氏图表示集合的关系 .七 布置作业由老师根据学生的具体情况灵活布置八 教学后记根据上课的具体情况，由老师书写教案编制人：。
1.2 集合之间的关系
1.子集对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或（B⊇A），读作“A包含于B”或“B包含A”.我们规定，空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集.2.相等的集合对于两个集合A和B，如果A⊆B且B⊆A，那么叫做集合A与集合B相等，记作A=B，读作“集合A等于集合B”.因此，如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等.3.真子集对于两个集合A、B，如果A⊆B，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A⫋B，读作“A真包含于B”.4.子集的个数5.韦恩图（文氏图）【例题】判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）A⊆A；（2）若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；（3）∅⊆A；（4）A⫋B，B⫋C，则A⫋C.【例题】在下面写法中，错误写法的个数是（）①{0}∈{0,1}；②∅⫋{0}；③{0,-1,1}={1,-1,0};④0∈∅；⑤{（0,0）}={0}.A.2B.3C.4D.5【判别】a与{a}，{0}与∅之间有何区别？【例题】已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0}的子集个数为 . 【例题】设集合A={1,2,3}，B={x|x⊆A}，求集合B.【例题】设集合A={1,2,3}，B={x|x∈A}，求集合B.【例题】已知A={x|x2-2x-3=0}，B={x|ax-1=0}，若B⫋A，试求a的值.【例题】已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0<x<5,x∈N}，则满足A⫋C⫋B的集合的个数是（）A.1B.2C.3D.4【例题】已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤2a-1}.（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若A⫋B，求a的范围.。
1.2集合之间的关系
典型例题
例1：用适当的符号（，， ， 或=）填空.
（1）{, , , }
{ ， }；
（2） { }；
（3）N
Z；
（4）0 ；
（5）{1} =
{x | x-1=0}；
（6）{x|-2<x<3}
{ x|x≥-3 }；
典型例题
例2：写出集合 = {, , }的所有子集,并指出哪些是它的真子集.
（2）该集合的所有真子集个数是 ．
问题：如果一个集合中有 n 个元素,那么它的所有非空子集个数有多少？
它的非空真子集又有多少个？
结论2：如果一个集合中有 n 个元素;
（1）该集合的所有非空子集个数是 − ;
（2）该集合的所有非空真子集个数是 ．
集合M={0,1,3}中,子集个数是 8
{, , }; {, , };
{, , , }
∅, {}
∅; {}; {}; {, }
∅
∅；{}; {};
子集个数
真子集个数
2
=21
1 =21-1
4
=22
3 =22-1
8Байду номын сангаас
=23
7 =23-1
16 =24
15 =24-1
结论1：如果一个集合中有 n 个元素;
（1）该集合的所有子集个数是 ;
练习：判断集合是否为集合的真子集,若是打√， 若不是打×.
（1） = {, , }, = {, , , , , }
(
√
)
（2） = {, , }, = {, , , }
(
×
)
（3） = ∅, = {}.
1.2集合间的基本关系(共42张PPT)
1．能正确表示集合 M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合 N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的
Venn 图是
()
解析：选 B.解 x2－x＝0 得 x＝1 或 x＝0，故 N＝{0，1}，易得 N M，其 对应的 Venn 图如选项 B 所示．
2．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当 的符号填空：
(多选)已知集合 A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B
A，则 m 的值为 A.13 C．0
B．－12 D．2
()
解析：选 ABC.A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}． 因为 B A 且 B＝{x|mx＋1＝0}，
所以 B＝{－3}或 B＝{2}或 B＝∅. 当 B＝{－3}时，
称集合 A 是集合 B 的子集 如果集合 A⊆B，但存在元素 真子集 __x_∈__B_，__且__x_∉__A___，就称集 合 A 是集合 B 的真子集
符号表示 A__⊆__B (或 B__⊇__A)
A____B (或 B____A)
图形表示
定义 如果集合 A 的_任__何___一__个__ 元素都是集合 B 的元素， 集合相等 同时集合 B 的__任__何__一__个__ 元素都是集合 A 的元素， 那么集合 A 与集合 B 相等
1．Venn 图 (1)定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称 为 Venn 图，这种表示集合的方法叫做图示法． (2)适用范围：元素个数较少的集合． (3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
2．子集、真子集、集合相等 定义
如果集合 A 中_任___意__一__个__元 子集 素都是集合 B 中的元素，就
人教版必修第一册第章第一节1.2集合的关系
1.2 集合的基本关系1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2. 理解子集.真子集的概念．3. 能使用venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念． 难点：难点是属于关系与包含关系的区别．一、 预习导入阅读课本7-8页，填写。
1．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中_____________元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有__________关系，称集合A 为B 的______.记作：A _______ B (或B ________ A )读作：A 包含于B(或B 包含A).图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（A ______ B 且B ______ A ），那么我们称这两个集合相等.记作：A ______B 读作：A 等于B.图示：2. 真子集:若集合B A ⊆，存在元素x ______ B 且x ______ A ，则称集合A 是集合B 的真子集。
记作：A ______B （或B ______A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）3．空集:__________________的集合称为空集，记作：∅.规定：空集是任何集合的子集。
4.常用结论（1）A __________ A （类比a a ≤）（2）空集是__________的子集，是_____________的真子集。
（3）若,,A B B C ⊆⊆则A __________ C （类比b a ≤，c b ≤则c a ≤）（4）一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为________个，其真子集数为________个，特别地，空集的子集个数为________，真子集个数为________。
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素． ( )(2)任何一个集合都有子集． ( ) (3)若A ＝B ，则A ⊆B . ( )(4)空集是任何集合的真子集． ( )2.用适当的符号填空(1) a______{a,b,c} (2) 0_______{x|x 2=0} (3) ∅________{x ∈R|x 2+1=0} (4) {0,1}_____N(5) {∅}_____{x|x 2=x} （6）{2,1}____{x|x 2−3x +2=0} 3．设a ∈R ，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a ＝________.例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;(2)填写下表,并回答问题:由此猜想:含n 个元素的集合{a 1,a 2,…,a n}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?例2 下列能正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x 2+x=0}的关系的维恩图是( )例3 已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}. (1)若a=-1,试判断集合A,B 之间是否存在子集关系; (2)若A ⊇B,求实数a 的取值范围.变式1． [变条件] 【例3】(2)中,是否存在实数a,使得A ⊆B?若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在,试说明理由.变式2． [变条件] 若集合A={x|x<-5或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且A ⊇B,求实数a 的取值范围.1．已知集合A ＝{2，－1}，集合B ＝{m 2－m ，－1}，且A ＝B ，则实数m 等于( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．42．已知集合A ＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )A ．0⊆AB ．{0}∈AC ．∅∈AD ．{0}⊆A3．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( )A ．6B ．5C ．4D ．34．已知集合A ＝{x|x ＝3k ，k ∈Z}，B ＝{x|x ＝6k ，k ∈Z}，则A 与B 之间的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ＝BC ．A BD ．A B5．已知集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．0,1D ．－1,0,16．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y)|y ＝x}，B ＝{(x ，y)|yx =1}，则A ，B 的关系是________．7．已知集合A ＝{x|x<3}，集合B ＝{x|x<m}，且A ⊆B ，则实数m 满足的条件是________． 8．已知A ＝{x ∈R|x<－2或x>3}，B ＝{x ∈R|a≤x≤2a－1}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．答案小试牛刀1．答案：(1) × (2) √ (3) √ (4)× 2．（1）∈ （2）= （3）= （4）⊆ （5）⊈ （6）= 3．-1 自主探究例1【答案】见解析【解析】分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出. 解:(1)不含任何元素的子集为⌀;含有一个元素的子集为{0},{1},{2}; 含有两个元素的子集为{0,1},{0,2},{1,2};含有三个元素的子集为{0,1,2}. 故集合{0,1,2}的所有子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}. 其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.(2)由此猜想:含n 个元素的集合{a 1,a 2,…,a n}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2. 例2【答案】B【解析】∵N={x|x 2+x=0}={x|x=0或x=-1}={0,-1},∴N ⫋M,故选B. 例3【答案】见解析【解析】分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B 是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a 所满足的条件.解:(1)若a=-1,则B={x|-5<x<-3}.如图在数轴上标出集合A,B.由图可知,B ⫋A.(2)由已知A ⊇B. ①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a ≥1.显然成立.②当B ≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A ⊇B,如图在数轴上表示出两个集合, 由图可得{2a -3≥-5,a -2≤2,解得-1≤a≤4.又因为a<1,所以实数a 的取值范围为-1≤a<1变式1．【答案】见解析【解析】因为A={x|-5<x<2},所以若A ⊆B,则B 一定不是空集.此时有{2a -3≤-5,a -2≥2,即{a ≤-1,a ≥4,显然实数a 不存在.变式2．【答案】见解析【解析】①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a ≥1.显然成立.②当B ≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1. 由已知A ⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得a ≥52或a ≤-3.又因为a<1,所以a ≤-3. 综上,实数a 的取值范围为a ≥1或a ≤-3.当堂检测1-5．CDADD 6．B A 7．m≥3 8．【答案】见解析 【解析】∵B ⊆A ，∴B 的可能情况有B ≠∅和B ＝∅两种． ①当B ＝∅时，由a>2a －1，得a<1. ②当B≠∅时，∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a>3，a≤2a－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<－2，a≤2a－1成立，解得a>3；综上可知，实数a 的取值范围是{a|a<1或a>3}．。
1.2 集合间的基本关系
[对点练清] 1．[变条件]本例若将集合 A，B 分别改为 A＝{－1,3,2m－1}，B＝{3，m2}，
其他条件不变，则实数 m＝________. 解析：因为 B⊆A，所以 m2＝2m－1， 即(m－1)2＝0，所以 m＝1， 当 m＝1 时，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}． 满足 B⊆A. 故实数 m 的值为 1. 答案：1
N.故选 D.
知识点二 空集 (一)教材梳理填空
定义 记法
我们把不__含__任__何__元__素__的集合叫做空集 ∅
规定
空集是任何集合的_子__集__，即∅ ⊆A
(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅ ⊆∅ ； 特性
(2)若 A≠∅ ，则∅ _____A
[微思考] {0}，∅与{∅}之间有什么区别与联系？ 提示：{0}是含有一个元素 0 的集合，∅ 是不含任何元素的集合，因
此有∅ {0}，而{∅ }是含有一个元素∅ 的集合．因此，∅ 作为一个元素
时，有∅ ∈{∅ }，∅ 作为一个集合时，有∅ {∅ }．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)∅和{∅}都表示空集． (2)任何集合都有子集和真子集．
(3)集合{x|x2＋1＝0，x∈R }＝∅. 答案：(1)× (2)× (3)√
含有 4 个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}．
含有 5 个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足条件的集合 M：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，
{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． [答案] B
[方法技巧] 求集合子集、真子集个数的 3 个步骤
3．(多选)如下四个结论中，正确的有
1.2集合间的基本关系
1.2集合间的基本关系
集合间的基本关系包括包含关系、相等关系和互斥关系。
首先，包含关系指的是一个集合中的所有元素都属于另一个集合，这种关系通常用符号“⊆”来表示。
例如，如果集合A包含于集合B，则可以表示为A⊆B。
其次，相等关系指的是两个集合具有相同的元素，即彼此相互包含，通常用符号“=”来表示。
例如，如果集合A和集合B具有相同的元素，则可以表示为A = B。
最后，互斥关系指的是两个集合没有共同的元素，即它们之间没有交集，通常用符号“∩”来表示。
例如，如果集合A和集合B 没有共同的元素，则可以表示为A∩B = ∅。
这些基本关系在集合论中具有重要的意义，可以帮助我们理解集合之间的包含、相等和互斥关系，从而更好地进行集合运算和推理。
1.2 集合间的基本关系知识点总结与例题讲解
②当 时,则有: ,解之得: ≤ ≤2.
综上,实数 的取值范围为 .
例3.设集合 , ,若 ,则实数 的值取值范围为__________.
分析:在进行分类讨论时要做到不重不漏,特别注意不能漏掉对 的讨论.解决本题还要明白以下两点:（1）空集是任何集合的子集;（2）空集是任何非空集合的真子集.
解:
∵ ,
∴分为两种情况:
（1）当 时,方程 没有实数根
∴ ,解之得Leabharlann ;（2）当 时,则有 或 或
①当 或 时,方程 有两个相等的实数根
∴ ,解之得:
∴ 符合题意;
②当 时,由根与系数的关系定理可得:
解之得: .
综上,实数 的值取值范围为 .
例4.已知集合 .
（1）若 , ,求实数 的取值范围;
（2）若 , ,求实数 的取值范围;
若 ,在未指明A非空时,要分两种情况进行讨论:
① ;
② .
知识点三 集合相等
如果集合A是集合B的子集（ ）,且集合B是集合A的子集（ ）,此时集合A与集合B的元素是一样的,集合A与集合B相等,叫做 .
上面也即互为子集的两个集合相等.
集合 的符号表述:若 ,且 ,则 .
如何证明两个集合相等
对于两个集合A,B,若要证明 ,只需证明 与 均成立即可.
（2）空集的只有一个子集,是空集,即它本身.
（3）空集是任何非空集合的真子集,即若 ,则 .
重要提醒:在由集合间的关系确定参数的值或参数的取值范围时,注意对空集的讨论.
知识点六 子集、真子集个数的确定
若集合A含有 个元素,则集合A:
（1）含有 个子集;
（2）含有 个非空子集;
1.2集合间的基本关系 课件(共20张PPT)
新知探究1：子集
子集的定义： 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包 含关系，称集合A为集合B的子集. 记作：A B (或B A ). 读作：“A包含于B” (或“B包含A”). 符号语言：任意x A，有x B, 则A B.
新知探究1：子集
人教版数学课本必修一 第一章 第二节
集合间的基本关系
复习引入
1.集合中元素的三大特性：确定性 、互异性、无序性．
2.元素与集合的关系
意义
读法 符号表示
a 是集合 A 的元素 a 属于集合 A a∈A
a 不是集合 A 的元素 a 不属于集合 A a A
3.常用数集的表示
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
表示 N
N 或N
Z
Q
R
4.集合的表示法：列举法 、描述法．
新知探究1：子集
思考1：两个实数之间有相等关系，大小关系，如5=5，5＜7，5＞3， 等等.类比两个实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
新知探究1：子集
观察下面三组集合，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能 发现下面两个集合之间的关系吗？
(× ) (× ) (√ )
新知探究2：集合的相等
第三组集合
③ A={x| x是两条边相等的三角形}, B={x | x是等腰三角}. 集合A中的元素和集合B中的元素相同，集合A与集合B相等
思考2：能否仿照实数中的结论“若a ≥b,且b ≥a,则a=b ”， 用集合的语言描述集合A和集合B相等?
a ≥b
BHale Waihona Puke Ab ≥aA Ba=b
A= B
新知探究2：集合的相等
(新教材)【人教A版】必修一1.2集合间的基本关系(数学)
角度2 由集合之间的包含关系求参数 【典例】已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤ 2m-1},若B⊆A,求实数m的取值范围.
世纪金榜导学号
【思维·引】 分B=∅和B≠∅两种情况讨论,B≠∅时根据B⊆A列不等式 组求m的取值范围.
【解析】
(1)当B=∅时,有m-6>2m-1, 则m<-5,此时B⊆A成立. (2)当B≠∅时,B⊆A,此时满足
【类题·通】 求解有限集合的子集的三个关键点
(1)确定所求集合. (2)合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出.
(3)注意两个特殊的集合,即空集和集合本身. 另外,一般地,若集合A中有n个元素,则其子集有2n个, 真子集有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个.
【习练·破】
满足条件{x|x2-1=0}⊆A
数为 ( )
A.7
B.6
{-1,0,1,2,5}的集合A的个
C.8
D.5
【解析】选A.因为{x|x2-1=0}={-1,1}, 所以{-1,1}⊆A {-1,0,1,2,5}, 所以集合A可以是{-1,1},{-1,1,0},{-1,1,2}, {-1,1,5},{-1,1,0,2},{-1,1,0,5},{-1,1,2,5},共7个 .
(3)由图形的特点可画出Venn图如图所示, 从而C A B D.
(4)方法一:对于集合M,其组成元素是 n ,分子部分表
示所有的整数;对于集合N,其组成元素是2 +n=
,
分子部分表示所有的奇数.由真子集的概念1知,N 2n＋M1.
2
2
方法二:用列举法表示集合如下:
M=
,
N=
，
3， 2
高中数学人教版(新教材)必修1：1.2 集合间的基本关系
1.2 集合间的基本关系课标要求素养要求理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养.教材知识探究草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.问题(1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？(2)集合A与集合B又存在什么关系？提示(1)集合A中的元素都是B的元素.(2)A是B的子集.1.子集的相关概念(1)子集、真子集、集合相等概念都是很重要的概念，一定要认真理解①子集的概念文字语言符号语言图形语言一般地，对于两个集合A ，B，如果集合AA B(或B A)中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集Venn图：我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.②集合相等一般地，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A B，且B A，则A＝B.③真子集的概念如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A).(2)空集注意区分与空集有关的符号：，0，{}，{0}一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集2.集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.(2)对于集合A，B，C：①若A B，且B C，则A C；②若A B，B C，则A C；③若A B，A≠B，则A B.教材拓展补遗『微判断』1.1{1，2，3}.(×)提示“”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系.2.任何集合都有子集和真子集.(×)提示空集只有子集，没有真子集.3.和{}表示的意义相同.(×)提示是不含任何元素的集合，而集合{}中含有一个元素.『微训练』1.已知集合A＝{－2，3，6m－6}，若{6}A，则m＝________.解析∵{6}A，∴6m－6＝6，∴m＝2.答案 22.若A＝{1，a，0}，B＝{－1，b，1}，且A＝B，则a＝________，b＝________.解析由两个集合相等可知b＝0，a＝－1.答案－1，03.若{1，2}B{1，2，4}，则B＝________.解析由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1，2}或{1，2，4}.答案{1，2}或{1，2，4}『微思考』1.A B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组合的集合？提示A B不能理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A ＝，则A中不包含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素，而此时可以说集合A是集合B的子集.2.符号“∈”与“”的区别是什么？提示符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系；而符号“”用于表示集合与集合之间的关系.3.集合A中有n(n∈N*)个元素，则A的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数分别是多少？提示①由n个元素组成的集合有2n个子集；②由n个元素组成的集合有(2n－1)个真子集；③由n个元素组成的集合有(2n－1)个非空子集；④由n个元素组成的集合有(2n－2)个非空真子集.题型一集合关系的判断『例1』指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.解(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N M.规律方法判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察.(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.『训练1』 (1)集合A ＝{x |(x －3)(x ＋2)＝0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x x －3x ＋2＝0，则A 与B 的关系是( ) A.ABB.A ＝BC.A BD.B A(2)已知集合A ＝{x |x <－2或x >0}，B ＝{x |0<x <1}，则( ) A.A ＝B B.A B C.B AD.AB解析 (1)∵A ＝{－2，3}，B ＝{3}，∴B A .(2)在数轴上分别画出集合A ，B ，如图所示，由数轴知B A .答案 (1)D (2)C题型二 子集、真子集个数问题 通常采用一一列举的办法求解『例2』 (1)集合{a ，b ，c }的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.解析 集合{a ，b ，c }的子集有：，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }，其中除{a ，b ，c }外，都是{a ，b ，c }的真子集，共7个. 答案，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c } 7(2)写出满足{3，4}P{0，1，2，3，4}的所有集合P .解 由题意知，集合P 中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P 为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}. 规律方法 1.假设集合A 中含有n 个元素，则有： (1)A 的子集有2n 个；(2)A 的非空子集有(2n －1)个； (3)A 的真子集有(2n －1)个； (4)A 的非空真子集有(2n －2)个. 2.求给定集合的子集的两个注意点：(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写； (2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.『训练2』 已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集. 解 ∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，∴A ＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}. ∴A 的子集有：，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.题型三 由集合间的包含关系求参数 此类题型中空集是常见的“雷区”『例3』 (1)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且BA .求实数m 的取值范围.(2)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B A ，求实数m 的取值集合. 解 (1)∵B A ，①当B ＝时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.(2)由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. ∴集合A ＝{1，3}.①当B ＝时，此时m ＝0，满足B A .②当B ≠时，则m ≠0，B ＝{x |mx －3＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m .∵BA ，∴3m ＝1或3m ＝3，解之得m ＝3或m ＝1.综上可知，所求实数m 的取值集合为{0，1，3}.规律方法 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)注意点：①不能忽视集合为的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.『训练3』 已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，集合B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}. (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若BA ，求a 的取值范围.解 (1)若A B ，由图可知a >2.(2)若BA ，由图可知1≤a ≤2.一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象和直观想象素养.2.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A ，能推出x ∈B ，这是判断AB 的常用方法.(2)不能简单地把“AB ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为若A＝时，则A 中不含任何元素；若A ＝B ，则A 中含有B 中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但xA.二、素养训练1.集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个解析根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}, 四个；故选B.答案 B2.已知集合M＝{x|－5<x<3，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为()A.P＝{－3，0，1}B.Q＝{－1，0，1，2}C.R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D.S＝{x||x|≤3，x∈Z}解析集合M＝{－2，－1，0，1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{－1，0，1}，不难发现集合P中的元素－3M，集合Q中的元素2M，集合R中的元素－3M，而集合S＝{－1，0，1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S M.故选D.答案 D3.①0∈{0}，②{0}，③{0，1}＝{(0，1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}，上面关系中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析①正确，0是集合{0}的元素；②正确，是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0，1}含有两个元素0，1；{(0，1)}含有一个元素点(0，1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含有一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含有一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等.∴正确的个数是2.故选B.答案 B4.设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A B，则a的取值范围是()A.{a|a≤2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1}D.{a|a≥2}解析画出数轴可得a≥2.答案 D5.已知集合A＝{x|x－7≥2}，B＝{x|x≥5}，试判断集合A，B的关系.解A＝{x|x－7≥2}{x|x≥9}，又B＝{x|x≥5}，∴A B.。
1.2 集合之间的关系
【例题精解】
【例1】 用适当的符号(∈,∉,⊆,⊇,⊈,⫋,⫌,=)填空:
(1)2
{2,4,6,8}
(2){a}
{a,b,c,d}
(3){1,3,7}
{1,7}
(4)∅
{0}
(5){矩形}
{平行四边形}
(6)∅
{0,1,2}
(7){4,5,6}
{6,5,4}
(8)∅
{x|x2+1=0,x∈R}
【点评】 正确理解∈,∉,⊆,⊇,⊈,⫋的涵义:元素与集合的关
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/122021/9/122021/9/122021/9/129/12/2021
•14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月12日星期日2021/9/122021/9/122021/9/12
系是“从属关系”:“属于”或“不属于”,集合与集合的关系是
“包含关系”:“包含”或“不包含”;正确区分子集与真子集.
【例2】 (1)集合A={-2,2},B={-2,0,2},则 (
A.A⊈B
B.A⫋BC.A=B)Fra bibliotekD.A∈B
【点评】 由真子集、集合相等的概念,集合与集合的关系
很快排除A、C、D.
(2)已知集合M={x|x2=4}与集合N={-2,2},则下列关系正确的是
D.(1,2)∉{(x,y)|x+y=3,x∈N+,y∈N+}
【答案】B
5.下列关系正确的是 (
A.0⊆{0}
C.(1,2)⊆{(1,2)}
数学必修一第一章：1.2集合的基本关系
②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} (× )
③A={0}, B={x x2－2=0} (× )
④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} (√ )
思考
例子： 设C={x|x是两条边长相等的三角形}， D={x|x是等腰三角形}.
③{0，－1，1}{－1，0，1}
④⑤{1,2}{} {1}，{2} ，{1, 2}
⑥{(0，0)}＝{0}.
错误个数为
( A)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
指出下面集合之间的关系： （1）A＝{ 2，4，5，7 }，B＝{ 2，5 }； （2）P＝{ x | x2＝1 }， Q＝{ -1，1 }； （3）C＝{正奇数}， D＝{正整数}； （4）M＝{等腰直角三角形}，
a 1
练习
1．集合{1,2,3}的子集共有( Nhomakorabea A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 2．{0}________∅，0________∅.
3．下列结论正确的是( C ) A．Z⊆N B．N∈R C．Q⊆R D{0}＝∅ 4．方程组xx＋ －yy＝ ＝20 的解构成的 集合是( A )
读作“A真包含于B”或“B真包含
A”
真子集：A B
用韦恩（Venn）图表示为
BA
写出N，Z，Q，R的包含关系，并用Venn图 表示
R QZ N
练习：将下列集合用最恰当的符号联结起来： (1)集合{1,2,3}与{0,1,2,3} ； (2)集合N+、Q、Z、 N与 R； (3)集合 {x|x2-1=0}与{-1,1} .
1、子集定义
1.2集合间的基本关系
解得 a<－4 或 2<a≤3.
综上可得，实数 a 的取值范围为 a<－4 或 a>2.
[类题通法] 利用集合关系求参数应关注三点 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合． (2)此类问题通常借助数轴， 利用数轴分析法， 将各个集合 在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准 确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表 示． (3)此类问题还要注意“空集”的情况， 因为空集是任何集 合的子集．
(2)满足{1,2} M⊆{1,2,3,4,5}的集合 M 有________个．
[解析] (1)集合 M 的真子集所含有的元素的个数可以有 0 个，1 个或 2 个，含有 0 个为∅，含有 1 个有 3 个真子集{1}， {2}，{3}，含有 2 个元素有 3 个真子集{1,2}{1,3}和{2,3}，共有 7 个真子集，故选 B.
解析 由集合A，B可看出x∈B⇒x∈A，但x∈A⇒x∈B． 答案 C
图示
(1)A B 且 B C，则 A
结论
C；
(2)A⊆B 且 A≠B，则 A
B
4.空集的概念
定义 记法 规定 特性
我们把 不含任何元素 的集合，叫做空集 ∅ 空集是任何集合的子集 ，即∅⊆A (1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅ (2)A≠∅，则∅
[答案] B
(2)指出下列各组集合之间的关系： ①A＝{－1,1}， B＝{(－1， －1)， (－1,1)， (1， －1)， (1,1)}； ②A＝{x|x 是等边三角形}，B＝{x|x 是等腰三角形}； ③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
中职第一轮复习1.2集合之间的关系
1.2 集合之间的关系知识梳理填空1.一般的，如果集合B的每一个元素都是集合A的元素，那么就说B是A的一个记作。
2.一般的，如果集合B是集合A的子集，且A中至少有一个元素不属于B，则B叫做A的记作。
3.空集是任何子集，是任何真子集。
4.若集合A和集合B的元素都是一样的，这时我们就称集合A和集合 B ，即。
备注：元素与集合的关系：集合与集合的关系：训练题A组1.用符号“∈”，“∉”，“⊆”或“⊇”填空：(1) {3,5,7} {3,5,7,9}； (2) 3 {3}； (3) R Q；(4) {0} {0,1}； (5) 3 {x|3<x<5} (6) 0 ∅（7）2 {2}；（8）{1,2,3,5} {1,5} ；（9)Q R ；(10) c {m,n} (11){x|x>1} {x|1<x<3}2.选择题：(1)集合A={a,b,c}，其中非空真子集个数是（）A．5 B.6 C.7 D.8(2)下列四个命题中正确命题的个数是（）①空集没有子集；②空集是任何一个集合的子集；③∅={0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集A．0个 B.1个 C.2个 D.3个(3).下列集合不是{ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝的真子集的是（）A、{ａ，ｃ，ｄ｝Ｂ、{a,d} C、{a} D、{ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝(4).下列关系错误的是（）A、{ｘ|162=x｝＝｛ｘ||ｘ|＝４｝B、∅⊇{1,2}C、{0}∈{0,1}D、{ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝⊇｛ａ，ｂ｝（5）集合Ａ={ｘ|ｘ＞４｝，Ｂ={ｘ|ｘ≥４｝，则（）。
Ａ、Ａ⊇ＢＢ、Ａ⊆ＢＣ、Ａ=ＢＤ、Ａ∈Ｂ3.已知集合A={2,7,6}，集合B={2，ｎ－２,6}，且Ａ=Ｂ，则ｎ＝.B组1.用符号“∈”，“∉”，“⊂”“⊃”或“=”填空：(1)N {0,1,2,3,4,5，…}; （2）a {a,b,c};(3){菱形} {正方形}；（4）{-2，2} {x|x2-4=0} (5 ) ∅ {x∈R|x2+1=0};(6){0} {x| |x|=0} （7）ＮＺ(8){ａ，ｂ．ｄ｝｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝（9）｛ｘ||ｘ|＝３｝｛３，－３｝（10）｛ｘ|ｘ＜５｝｛ｘ|ｘ＜１｝2.写出集合{-1,0,1}的所有子集，并指出其中的真子集。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用适当的符号（，，=， { a，b，c }； { 6，5，4 }；
，
）填空：
（2）{ 4，5，6 } （3）{ a } （5）
{ a，b，c }；
（4）{ a， b，c }
{ b，c }；
{ 1，2，3 }； {x | x是平行四边形 }；
（6）{x | x是矩形 } （7）5 { 5 }；
（8）{ 2，4，6，8 }
例3 设集合 A x | x 0 ，B x |1≤ x ≤ 5 ．指出集合
A 与集合 B 之间的关系．
高教社
运用知识 强化练习
教材练习1.2.2
1.设集合 A c, d ，试写出 A 的所有子集， 并指出其中的真子集． 2.设集合 A {x | x 6} ，集合 B {x | x 0} ，
高教社
{ 2， 8 }．
运用知识 强化练习
练 习
2.判断集合 A x N | 4 x 8 与集合 5,6,7 的关系
.
高教社
归纳小结 强化思想
集合关系
子集
真子集
相等
高教社
自我反思 目标检测
学习效果 学习行为 学习方法
高教社
阅读
教材 章节1.2
作
书写
业
学习与训练 习题1.2
集合B的元素
我班的全体男同学
2,3,0
自然数 整数
集合 A与集合B之间存在什么关系呢？ 集合 A的元素 我班的全体同学 −1,2,4,1,0,3
高教社
动脑思考
集合之间的包含关系
探索新知
如果集合B的元素都是集合A的元素，那么称集合A 包含集合B，并把集合B叫做集合A的子集.
A B A包含B ； B A B包含于A
3
R； {x|x <1}；
Z； (5) 1 { −3,2}； (8)2
{1,2,3}； (6) 2
{x |x=2k+1, k Z} ．
元素a不是集合A的元素，
a
元素a是集合A的元素，
a∈A，属于
A，不属于
高教社
创设情景
兴趣导入
问题1 设A表示我班全体同学的集合，B表示我班全体男同 学的集合； 问题2 设集合A ={−1,2,4,1,0,3}，集合B ={2,3,0}； 问题3 设集合A =Z，集合B =N.
分析：要通过研究两个集合的元素之间的关系来判断两个集 合之间的关系. 集合A含有的元素是： 集合B含有的元素是：
.
. .
于是，集合A与集合B
.
集合与集合相等的实质是它们的元素完全相同
高教社
理论升华 整体建构
元素与集合
关系
.
集合与集合
首先要分清楚对象，然后再根据关系，正确选用符号．
高教社
巩固知识 典型例题
高教社
动脑思考
集合之间的真包含关系
探索新知
如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有一个元 素不属于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集.
记作 B
B
A
A，
读作 ：B 真包含于 A
读作 ：A 真包含 B
高教社
巩固知识 典型例题
• 写出集合 B = {1，2，3} 的所有子集及真子 集
高教社
巩固知识 典型例题
分析：集合中有2个元素，可以分别列出
空集： . . .
含1个元素的集合： 含2个元素的集合：
高教社
巩固知识 典型例题
例 3 设集合 M 0,1,2 ，试写出 M 的所有子集，
分析：集合中有3个元素，可以分别列出
空集： . . . .
含1个元素的集合： 含2个元素的集合： 含3个元素的集合：
例5 用适当的符号填空： {1，2，3， 4， 5，6} ； {3，-3}； ⑷ 2 ⑹ {0 } N ；
⑴ {1， 3， 5} ⑵ {x | x 2 9} ⑶ {2} ⑸ a
{ x| |x|=2 }； { a }；
⑺ {1,1}
.
{x | x 2 1 0} .
高教社
练习1 （1）a
.
指出集合 A 与集合 B 之间的关系．
高教社
创设情景
兴趣导入
问题 设集合A={x|x2−1=0}，B ={−1,1}，这两个集合有什么关系？
方程x2-1=0的解是x1= 是 、
，x2=
，集合A中的元素就 .
，可以看出集合A与集合B中的元素
集合A与集合B中的元素完全相同，只是表示方法不同， 那么集合A与集合B 相等.
A
高教社
B
性质 (1)
A A
任何一个集合是它本身的子集；
(2) A 空集是任何集合的子集； (3) 对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C ；
高教社
判断：集合 A 是否为集合 B 的子集，若是则 在（ ）打√，若不是则在（ ）打×．
（1）A＝{ 1，3，5 }， B＝{ 1，2，3，4，5，6 }； (
实践 寻找集合关系的生活事例
高教社
再 见
高教社
高教社
如果一个集合中有 n 个元素，那么它的子集有多少个？
解：集合的所有子集个数是 2n ；
高教社
运用知识 强化练习
教材练习1.2.1
用符号“ ” 、 “ ” 、 “ ”或“ ”填空： （1） N （3） a （5） 0
.
Z； （2） 0 （ 4） 2, 3 a, b, c ；
； （ 6）
；
2 ；
2
x | 1 x „
x | 1 x 4 ．
高ห้องสมุดไป่ตู้社
巩固知识 典型例题
例4 设集合 A x | x 0 ，B x |1≤ x ≤ 5 ．指出集合
A 与集合 B 之间的关系．
解 在同一个数轴上作出这两个集合的数轴表示（图 1－4） ．观 察图形，
（2）A＝{ 1，3，5 }，B＝{ 1，3，6，9 }； （3）A＝ { 0 }， B＝ { x | x2＋2＝0 }； ( ( (
)
) ) )
（4）A＝{ a，b，c，d }， B＝{ d，b，c，a }．
高教社
巩固知识 典型例题
例 1 用符号“ ” 、 “” 、 “ ”或“ ”填空： (1)
高教社
动脑思考
集合之间的相等关系
探索新知
一般地，如果两个集合的元素完全相同，那么就说这 两个集合相等．
A B
A等于B
如果 A B ，同时 B A ，那么集合 A = B
高教社
巩固知识 典型例题
例4 4 判断集合 A x x 2 与集合 B x x2 4 0 的关系 例
高教社
运用知识 强化练习
练 习
用适当的符号填空： （1） 2.5 （3） Z （5）
.
Z；
N；
Q ；
（2） a （4 ）
a, b, c ；
{x | x 4 0} ；
（6） 1,3,5
3,5
．
高教社
运用知识 强化练习
设集合 M 0,1, 2 ，试写出 M 的所有子集，
a, b, c, d
Q；
a, b ；(2)
(6)
； 1 , 2 , 3
(3) N (5) d
(4) 0
R；
a, b, c ；
.
x | 3 x 5
x |
0„ x 6．
元素与集合
关系
集合与集合
高教社
巩固知识 典型例题
例 2 设集合 A a, b ，试写出 M 的所有子集，
第一章 集 合
1.2 集合之间的关系
高教社
复习知识
揭示课题
问题1 什么是集合？什么是元素？
问题2 常用的数集有哪些？用什么字母表示？
问题3 集合的表示方法有哪些？
问题4 元素与集合有什么关系？
高教社
复习知识
揭示课题
用适当的符号 “ ”或“ ”填空： (1) 0 (4) 0.5 (7)2 ； (2) 0 N； (3)