数列基础训练(教案)

第1讲 数列基础训练
一、数列的概念
1、按一定次序排列的一列数叫做数列
数列里的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…，第n 项，…. 第1项也叫做首项。

通常用带数字下标的字母来表示数列的项，于是数列的一般形式可以写成
a 1 ,a 2 ,a 3 ,… ,a n ,… ,
其中a n 是数列的第n 项，有时也把数列简单记做n {a } 2、关于数列的通项公式
一个数列的第n 项与项数n 的关系，如果可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要
从函数的观点来看，数列其实是一个定义域N +
的函数，因此不少数列问题可用函数方法解决。

3、数列的前n 项和 n n a a a a S ++++= 321
数列的通项公式 已知S n 求a n ， n a ⎧⎪=⎨
⎪⎩n n-1
1
S -S (n >1)S (n =1)
二、等差数列与等比数列
技巧1．若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*k ∈N ，那么k S ，2k k S -S ，
3k 2k S -S 成 等差数列。

如下图所示：
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3k
k
2k k
3k 2k
S 1k k+12k 2k+13k S S -S S -S a ++a +a ++a +a ++a
技巧2． 若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*k ∈N ，那么k S ，2k k S -S ，
3k 2k S -S 成等比数列。

如下图所示：
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3k
k
2k k
3k 2k
S 1k k+12k 2k+13k S S -S S -S a ++a +a ++a +a ++a
三、基础训练
1.数列1，0，1，0, ......的通项公式的是n+1n 1+(-1)a =2。

2.数列23，38-，415，524-，635 ......的通项公式的是1
-n+1n 2(-1)(n +1)a =(n +1)。

3.数列-1，7，-13，19，-25 ......的通项公式的是n n a =(-1)(6n -5)。

4.
,
则是这个数列的第7项。

分析或提示：4.
,
，
=。

5.数列{a n }满足a 1=2，a n+1=-
1
1n
a +，求a 2008。

分析或提示：由a n+1=-
11n a +，得a n+2=-11
1n a ++=-1111n
a -+=-1n n a a +.
a n+3= -21
1n a ++=-111n
n
a a +-=a n ，故a 2008=a 669×3+1=a 1=2 ．
6.在数列{}n a 中，2
111,1(1),n n a a a n +==-≥则12345a a a a a ++++等于-1.
7.已知数列{}n a ，22103n a n n =-+，它的最小项是-9。

分析或提示：2或3项。

提示：22103n a n n =-+=2（n-52）2-19
2
.故当n=2或3时，a n 最小。

8.已知数列{a n }中，a n =
()*15.6
n
n N n ∈-，则数列{a n }的最大项是40. 解:考察函数15.6
115.615.6
x y x x ==+--,因为直线15.6x =为函数图象的渐近线,且函数在(),15.6-∞上单调递
减，在()15.6,+∞上单调递减.
9. 在等差数列
{}n a 中,若410a = 719a = 则1a = 1 ,d= 3 ； 10. 在等差数列{}n a 中,若39a = ，93a =则12a =0 ；
11. 在等差数列
{}n a 中, 已知488=S 16812=S ,则1a = -8 , d= 4 ；
12.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a = 10 .
13.如果等差数列{}n a 的第5项为5，第10项为5-，则此数列的第1个负数项是第8项.
14.已知(1)2f =，2()1
(1)()2f n f n n N +++=∈，求(101)f . 解：∵(1)2f =，2()1(1)2f n f n ++=，∴1
(1)()2f n f n +-=，
∴{}()f n 是以2为首项，1
2
为公差的等差数列，
∴13
()22
f n n =+，∴(101)52f =.
15. 已知命题：“在等差数列{}n a 中，若()210424a a a ++=，则11S 为定值”为真命题， 由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为18．
16.在等比数列{}n a 中，若110a =，q=3,n=5, 则n a =810, n S =1210；
17. 在等比数列{}n a 中，若5115a a -= ，426a a -=，则 3a = 4或-4 ,
18．在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a = 20×2n-3
．
20×2n-3
.提示：q 3=
16020
=8,q=2.a n =20×2n-3
.
19．在等比数列{a n }中，已知S n =3n +b ，则b 的值为－1．
b=-1.提示：a 1=S 1=3+b ，n ≥2时，a n =S n －S n －1=2×3n-1． a n 为等比数列，∴a 1适合通项，2×31-1=3+b ，∴b =－1．
20．等比数列 ,8,4,2,132a a a 的前n 项和S n =⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩n
1n,a =,21-(2a)1，a ≠1-2a
2. 1,,21(2)1a 122n n
n a S a a
⎧
=⎪⎪=⎨-⎪≠⎪-⎩，。

提示：公比为a q 2=， 当1=q ，即2
1
=
a 时，;,12n S a n == 当1≠q ，即21≠a 时，12≠a ，则a
a S n
n 21)2(1--=.
21．正项等比数列{a n }中，S 2=7，S 6=91，则S 4= 28 。

提示：∵{a n }为等比数列，
∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7，S 4－7，91－S 4成等比数列， 即（S 4－7）2=7（91－S 4），解得S 4=28或－21（舍去）． 22．数列}{n a 是正项等差数列，若n
na a a a b n
n ++++++++=
32132321，则数列}{n b 也为等差数列，类比上述结论，
写出正项等比数列}{n c ，若n d =1
2312123
()
n n n
c c c c +++⋅⋅ ，则数列}{n
d 也为等比数
列。

n d =n n n
c c c c +++⋅⋅ 211
3
3221)
(。

提示：
a n =a 1+（n-1）d c n =c 1q n-1
a n =n-1n+1a +a 2
c n 2=c n-1c n+1
a n +a m =a p +a q c n c m =c p c q （若m+n=p+q ，m 、n 、p 、q ∈N +）
由此可知，等差数列元素间（或结果）的加减运算对应等比数列相应元素间（或结果） 的乘除运算;倍数运算（（n-1）d ）对应幂的运算（q n-1）；算术平均数对应几何平均数。

因此猜想
n d =n n n
c c c c +++⋅⋅ 211
3
3221)
(。