13-2直接证明与间接证明

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第十三章 推理与证明、算法、复数 4．如果 a a＋b b>a b＋b a，则 a、b 应满足的条件是
________．
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第十三章 推理与证明、算法、复数
【解析】 ∵a a＋b b－(a b＋b a) ＝ a(a－b)＋ b(b－a) ＝( a－ b)(a－b) ＝( a－ b)2( a＋ b)． ∴当 a≥0，b≥0 且 a≠b 时，( a－ b)2( a＋ b)>0. ∴a a＋b b>a b＋b a成立的条件是 a≥0，b≥0 且 a≠b. 【答案】 a≥0，b≥0 且 a≠b
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第十三章 推理与证明、算法、复数
3．要证 a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( ) A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－a4＋2 b4≤0 C.（a＋2 b）2－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0
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第十三章 推理与证明、算法、复数 【解析】 a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0. 【答案】 D
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第十三章 推理与证明、算法、复数
题型一 综合法的应用 【例 1】 数列{an}满足 an＋1＝2aan＋n 1，a1＝1. (1)证明：数列a1n是等差数列； (2)求数列a1n的前 n 项和 Sn，并证明S11＋S12＋…＋S1n>n＋n 1.
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x，x∈0，
2
，若
x1，x2∈0，
2
，
且 x1≠x2，求证：21[f(x1)＋f(x2)]>fx1＋2 x2.
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第十三章 推理与证明、算法、复数
2．用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与 A．a，b都能被5整除 B．a，b不都能被5整除 C．a，b至少有一个能被5整除 D．a，b至多有一个能被5整除 【解析】 “都不能”的否定为“至少有一个能”，故假设的内 【答案】 C
第十三章 推理与证明、算法、复数 【思维升华】 (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一
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第十三章 推理与证明、算法、复数
跟踪训练 1 若 a，b，c 是不全相等的正数，求证：
lg
a＋2 b＋lg
b＋2 c＋lg
c＋a 2 >lg
a＋lg
b＋lg
c.
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第十三章 推理与证明、算法、复数 2.间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常 (1)反证法的定义：假设原命题_______ (即在原命题的条件下， (2)用反证法证明的一般步骤：①不反成设立——假设命题的结论不成
1．若 a，b，c 为实数，且 a<b<0，则下列命题正确的是( )
A．ac2<bc2
B．aFra Baidu bibliotek>ab>b2
11 C.a<b
ba D.a>b
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第十三章 推理与证明、算法、复数
【解析】 a2－ab＝a(a－b)， ∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0， ∴a2>ab.① 又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，② 由①②得a2>ab>b2. 【答案】 B
第十三章 推理与证明、算法、复数
【解析】 (1)证明 ∵an＋1＝2aan＋n 1， ∴an1＋1＝2aan＋n 1，化简得an1＋1＝2＋a1n， 即an1＋1－a1n＝2，故数列a1n是以 1 为首项，2 为公差的等差数 列．
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第十三章 推理与证明、算法、复数 (2)由(1)知a1n＝2n－1， ∴Sn＝n（1＋22n－1）＝n2. 证明 方法一 S11＋S12＋…＋S1n＝112＋212＋…＋n12>1×1 2＋2×1 3
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上式两边同时取常用对数，得
lga＋2 b·b＋2 c·c＋2 a>lg abc，
∴lg
a＋2 b＋lg
b＋2 c＋lg
c＋a 2 >lg
a＋lg
b＋lg
c.
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题型二 分析法的应用
π
π
【例
2】已知函数
f(x)＝tan
原命题成立
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第十三章 推理与证明、算法、复数
【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要 (2)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．( )
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第十三章 推理与证明、算法、复数
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【证明】 ∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴a＋2 b≥ ab>0，b＋2 c≥ bc>0，a＋2 c≥ ac>0. 由于 a，b，c 是不全相等的正数， ∴上述三个不等式中等号不能同时成立， ∴a＋2 b·b＋2 c·c＋2 a>abc>0 成立．
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＋…＋n（n＋1 1）＝1－12＋21－13＋…＋n1－n＋1 1＝1－n＋1 1＝ n
n＋1.
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方法二 S11＋S12＋…＋S1n＝112＋212＋…＋n12>1， 又∵1>n＋n 1， ∴S11＋S12＋…＋S1n>n＋n 1.
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第十三章 推理与证明、算法、复数 接证明与间接证明
1．直接证明
内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、 公理、定理等，经过一系列的推 理论证，最后推导出所要证明的 结论成立
从要证明的结论出发，逐步寻 求使它成立的_充__分_条件，直到 最后把要证明的结论归结为判 定一个明显成立的条件(已知条 件、定理、定义、公理等)为止
(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再 用综合法展现解决问题的过程．( )
(4) 证 明 不 等 式 2 ＋ 7 < 3 ＋ 6 最 合 适 的 方 法 是 分 析 法．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
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