2011东城区高三二模数学试题及答案(理科)PDF版

f (x) 取最小值 − 3 ．
……………………13 分
3 2
A1 O C1
A
C D E B
A1 B ⊄ 平面 AC1 D ，
所以 A1 B ∥平面 AC1 D ． （Ⅱ）证明：在直三棱柱 ABC − A1 B1 C1 中，
B1
……………………4 分
BB1 ⊥ 平面 ABC ，又 AD ⊂ 平面 ABC ，
=−
所以 cos A =
2 2 7 2 2 3 ⋅ + ⋅ = ． 10 2 10 2 5
……………………6 分
3 ． 5
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 sin A = 所以 f ( x ) = cos 2x +
4 ．新 课 标 第一 网 5 5 sin A sin x 2
= 1 − 2 sin2 x + 2 sin x 1 3 = −2(sin x − )2 + ， x ∈ R ． 2 2
（17） （本小题共 13 分） 甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多
2 分或打满 6 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 p ( p > ) ，且各局胜负相互独立．已知第二
局比赛结束时比赛停止的概率为 （Ⅰ）求 p 的值； （Ⅱ）设 ξ 表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量 ξ 的分布列和数学期望 Eξ ．
（3）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）极坐标方程 sin 2 θ = 0 （ ρ ≥ 0 ）表示的图形是 （A）两条直线 （C）圆 （B）两条射线 （D）一条直线和一条射线
（5）已知正项数列 {a n }中， a1 = 1 ， a 2 = 2 ， 2 an 2 = an +1 2 + an −1 2 ( n ≥ 2) ，则 a6 等于 （A）16 （6） 已知双曲线 （B）8 （C） 2 2 （D）4
因为 sin x ∈[−1,1]，所以，当 sin x =
1 3 时， f (x ) 取最大值 ； 2 2
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当 sin x = −1 时， 所以函数 f ( x ) 的值域为 [ −3, ] ． （16） （共 14 分） （Ⅰ）证明：连结 A1 C ，与 AC1 交于 O 点，连结 OD ． 因为 O ， D 分别为 AC1 和 BC 的中点， 所以 OD ∥ A1 B ． 又 OD ⊂ 平面 AC1 D ，
3x + 4 y + 10 = 0 距离的最大值为____________．
（14）对任意 x ∈ R ，函数 f ( x ) 满足 f ( x + 1) = 数列 {a n } 的前 15 项的和为 −
1 f ( x) − [ f ( x)] 2 + ，设 a n = [ f ( n)] 2 − f ( n) ， 2
��� �
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���� � ���� AC = ( −3, 0, −4) ， CC1 = (0, −6, 0) ． ���� ⎧ ⎧ −3x − 4 z = 0, ⎪ n ⋅ AC = 0, 由 ⎨ ���� 可得 ⎨ � ⎩ −6 y = 0. ⎪ ⎩ n ⋅ CC1 = 0.
5 sin A sin x 的值域． 2
（16） （本小题共 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC − A1 B1 C1 中， AB = AC = 5 ， D ， E 分别为 BC ， BB1 的中点，四 边形 B1 BCC1 是边长为 6 的正方形． （Ⅰ）求证： A1 B ∥平面 AC1 D ； （Ⅱ）求证： CE ⊥ 平面 AC1 D ； （Ⅲ）求二面角 C − AC1 − D 的余弦值．
（19） （本小题共 13 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 动点 P 到定点 F (0, ) 的距离比点 P 到 x 轴的距离大 的轨迹为曲线 C ，直线 l : y 的垂线交曲线 C 于点 N ． （Ⅰ）求曲线 C 的方程； （Ⅱ）证明：曲线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行； （Ⅲ）若曲线 C 上存在关于直线 l 对称的两点，求 k 的取值范围．
（Ⅲ）解：如图，以 B1C1 的中点 G 为原点，建立空间直角坐标系． 则 A(0, 6, 4), E (3, 3, 0), C( −3, 6, 0), C1 (− 3, 0, 0) ． 由（Ⅱ）知 CE ⊥ 平面 AC1 D ，所以 CE = (6, −3, 0) 为平面 AC1 D 的一个法向量． 设 n = ( x, y, z ) 为平面 ACC1 的一个法向量，
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北京市东城区 2010-2011 学年第二学期高三综合练习（二）
数学
（理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分， 第Ⅰ卷 1 至 2 页， 第Ⅱ卷 3 至 5 页， 共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交 回。
所以 BB1 ⊥ AD ． 因为 AB = AC ， D 为 BC 中点， 所以 AD ⊥ BC ．又 BC ∩ BB1 = B ， 所以 AD ⊥ 平面 B1 BCC1 ． 又 CE ⊂ 平面 B1 BCC1 ， 所以 AD ⊥ CE ． 因为四边形 B1 BCC1 为正方形， D ， E 分别为 BC ， BB1 的中点， 所以 Rt △ CBE ≌ Rt △ C1CD ， ∠ CC1 D = ∠ BCE ． 所以 ∠BCE + ∠C1 DC = 90� ． 所以 C1 D ⊥ CE ． 又 AD ∩ C1 D = D ， 所以 CE ⊥ 平面 AC1 D ． ……………………9 分
1 2
5 ． 9
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(18) （本小题共 13 分） 已知函数 f ( x ) = x 2 − a ln x ( a ∈ R )． （Ⅰ）若 a = 2 ，求证： f ( x ) 在 (1, +∞ ) 上是增函数； （Ⅱ）求 f ( x ) 在[1，e]上的最小值．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） 10 （11） （10） 9 （12） 30 （14）
�
3 5 12
7π 12
（13） 4
3 4
注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （15） （共 13 分） 解： （Ⅰ）因为
A
．
B
O
C
P
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（ 13 ） 已 知 点 P(2, t ) 在 不 等 式 组 ⎨
⎧ x − y − 4 ≤ 0, 表 示 的 平 面 区 域 内 ， 则 点 P(2, t ) 到 直 线 ⎩ x + y −3 ≤ 0
第Ⅰ卷（选择题
一项。 （1）若复数 z = （A）0
共 40 分）
一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
x + ( x 2 − x )i （ x ∈ R ）为纯虚数，则 x 等于 i
（B）1 （C）-1 （D）0 或 1
（2）给出下列三个命题： ① ∀x ∈ R ， x 2 > 0 ； ② ∃x0 ∈ R ，使得 x0 2 ≤ x0 成立； ③对于集合 M , N ，若 x ∈ M ∩ N ，则 x ∈ M 且 x ∈ N . 其中真命题的个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3
．
31 ，则 f (15) = 16
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15） （本小题共 13 分） 已知 sin( A +
π π π 7 2 ， A∈ ( , ) ． )= 4 10 4 2
（Ⅰ）求 cos A 的值； （Ⅱ）求函数 f ( x ) = cos 2x +
（A） （B） （C） 等于 （A）
−1 + 3 2
1+ 3 2
3 2
（B） 3
（C） 3
（D） 2 3
（8）已知函数 f ( x ) = ⎨ （A）4
x ≤ 0, ⎧ x + 1, 则函数 y = f [ f ( x)] + 1 的零点个数是 ⎩log 2 x , x > 0 ,
（C）2 （D）1
（B）3
第Ⅱ卷（共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 பைடு நூலகம்。 （9） ( x 2 + ) 5 的展开式中， x 4 的系数为
1 x
． （用数字作答）
（10）某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的 相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表 ，则调查小组的总人数 为 ； 若从调查小组中的公务员和教师中随机选 2 人撰写调查报告， 则其中恰好有 1 ． 相关人员数 公务员 教师 自由职业者 32 48 64 抽取人数
x2 y 2 过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M , N 两 − = 1 ( a > 0, b > 0) ， a2 b2
点， O 为坐标原点.若 OM ⊥ ON ，则双曲线的离心率为
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−1 + 5 1+ 5 （D） 2 2 ��� � ��� � ���� ��� � ��� � ��� � ��� � （7）△ ABC 外接圆的半径为 1，圆心为 O ，且 2OA + AB + AC = 0 ， | OA | =| AB | ，则 CA ⋅ CB
令 x = 1 ，则 y = 0, z = − 所以 n = (1, 0, − ) ．
z A1 A
3 ． 4
B1 x
C1 G E B D
C y
��� � ��� � CE ⋅ n 8 � 从而 cos < CE, n >= ��� = 5． | CE | ⋅ | n | 25
因为二面角 C − AC1 − D 为锐角， 所以二面角 C − AC1 − D 的余弦值为 （17） （共 13 分）
π π π 7 2 < A < ，且 sin( A + ) = ， 4 2 4 10 π π 3π π 2 ， cos( A + ) = − ． < A+ < 2 4 4 4 10 π 4 π 4 π 4 π π π + sin( A + ) sin 4 4 4
所以
因为 cos A = cos[( A + ) − ] = cos( A + ) cos
1 4
1 ， 设动点 P 4
= kx + 1交曲线 C 于 A, B 两点， M 是线段 AB 的中点，过点 M 作 x 轴
（20） （本小题共 14 分） 在单调递增数列 {a n } 中， a1 = 2 ，不等式 ( n + 1)a n ≥ na 2 n 对任意 n ∈ N* 都成立. （Ⅰ）求 a 2 的取值范围； （Ⅱ）判断数列 {a n } 能否为等比数列？说明理由； （Ⅲ）设 bn = (1 +1)(1 + ) ⋯ (1 + 求证：对任意的 n ∈ N* ，
人来自公务员的概率为
x
y
4
（11）在△ ABC 中，若 ∠B =
π , b = 2a ，则 ∠ C = 4
．
（12）如图， BC 是半径为 2 的圆 O 的直径，点 P 在 BC 的延长线上， PA 是圆 O 的切线，点 A 在 直径 BC 上的射影是 OC 的中点，则 ∠ABP = ； PB ⋅ PC =
1 2
1 1 ) ， c n = 6(1 − n ) ， n 2 2
bn − c n ≥0. an − 12
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北京市东城区 2010-2011 学年第二学期高三综合练习（二） 高三数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）B （5）D （2）C （6）D （3）B （7）C （4）A （8）A