电磁场与电磁波(第五章)

y x
H 2 r 0 H 0
在a<r<b区域：
H dl I C
H 2 r J0 ( r2 a2)
H
J0 2r
(r 2
a2)
在r>b区域：
H dl I C
H 2 r J0 (b2 a2)
H
J0 2r
(b2
a2)
第 5 章 恒定磁场分析
❖恒定磁场：恒定电流所产生的磁场。 H 0 t
❖本章主要内容：
➢恒定磁场的基本方程 ➢恒定磁场的辅助函数——矢量磁位函数 ➢磁场的边界条件 ➢电流回路的电感 ➢磁场能量
第一节 安培力定律 磁感应强度
一、安培力定律
❖安培力定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规
律。
C1
H dl C
Ik I总
安培环路定律(积分形式)
k
说明:(1) Ik 指回路C所交链电流的代数和； k (2)H指回路C上的总磁场强度(由C内外电流共 同产生）。
由斯托克斯定理：
C H
dl
S H
dS
S H
dS S J
dS
I S J dS H J
H J 安培环路定律(微分形式)
的磁场力为：
dF12
ห้องสมุดไป่ตู้
0 4
I2dl2
(I1dl1 R3
R)
dF12 dF21
但： F12 F21
令:
dB1
0 4
I1dl1 R R3
则: dF12 I2dl2 dB1
二、磁感应强度矢量 B
❖磁场：在电流周围形成的一种物质。
❖磁场的重要特性：会对处于其中的运动电荷（电流）产 生力的作用，称为磁场力。
当r<a时
H
I'
2 r
1
2 r
I
a2
r2
Ir
2 a2
例题二
内、外半径分别为a、b的无限长中空导体圆柱，
导体内沿轴向有恒定的均匀传导电流，体电流密度为J
导体磁导率为 。求空间各点的磁感应强度B
分析：电流均匀分布在导体截面
z
上，呈轴对称分布。
解：根据安培环路定律
在r<a区域：
J0
C H dl I 0
dB 0 J (r ')d ' R
4
R3
B(r )
dB 0
4
[J (r ')d ' R]
R3
0 J (r ')d '
2、面电流 4
R
r
r'
O
B(r )
dB 0
S
4
[JS (r ')dS ' R]
S
R3
0 JS (r ')dS '
4 s
R
3、载流为I的无限长线电流在空间中产生磁场
I1
❖安培力定律内容：真空中，两电流
dl1
回路C1,C2，载流分别为I1,I2，则：
R
C2 I2
dl2
回路C1上对回路C2的磁场力为：
r1
r2
F12
0 4
c2
c1
I2dl2 (I1dl1 R)
R3
O
式中： R R R r2 r1 0为真空中的磁导率。 0 4 107 H / m
可认为C1上电流元 I1dl1 对C2上电流元 I2dl2
即若存在一闭合路径C， C上每一点的 H 只有切线 或法线方向分量；H 的切线分量大小应相等。
五、例题
例题一 例题二
例题一
半径为a的无限长直导体内通有电流I，计算空间
磁场强度H 分布。
分析：电流均匀分布在导体截面
上，呈轴对称分布。
aI
解：根据安培环路定律
H C
dl
I
H 2 r
I
当r>a时
H
I
2 r
B 0 J (r ')d '
4
R
B 0 孤立磁荷不存在
上式表明：恒定磁场是无发散源的场 由矢量场的散度定理，可推得：
B dS 0 磁通连续性定律（积分形式） S
在恒定磁场中，磁感应强度矢量穿过任意闭合面 的磁通量为0，
上式表明：磁力线在空间任意位置是连续的。
三、安培环路定律
在恒定磁场中，磁场强度矢量沿任意闭合路径的环 流等于其与回路交链的电流之和，即：
dB
0 4
Idl R R3
(R r r ')
则整个电流回路产生的 B为：
B
dB 0
C
4
Idl R C R3
3、磁场强度矢量 H
定义：
1 Idl R
dH
4
R3
电流回路C产生的 H 为：
H 1
4 c
Idl R R3
本构关系：
B 0H (0 4 107 H / m)
二、真空中恒定磁场的散度
4 0 (a2 z2 )3/ 2
0I
4
2 0
a2 (a2
ez z2 )3/
2
d
0I a2 ez
2(a2 z2 )3/ 2
第二节 真空中恒定磁场基本方程
一、磁场的基本量
1、源量：J (r )
2、磁感应强度矢量 B(r )（磁通密度矢量）
由安培力定律，知电流元 Idl 产生的dB 为：
R r r ' z ez a er
dB
0 4
Idl ' R R3
0 4
Iad 'e (zez aer )
(z2 a2 )3/2
0 Ia 4
(z er a ez (a2 z2 )3/2
)
d
er sin ey cosex
B 0Ia 2 (z er a ez ) d
I dl
'
C
(
1
R3
)
4 C
R
(u A) u A u A
0I
4
C
(
1 R
dl
') dl
'
1 R
对场点
dl ' 源点坐标
dl ' 0
B(r ) 0I
4
( dl ') 0
C
R 4
Idl ' () CR
三、磁感应强度矢量积分公式
1、体电流
J (r ')dV ' R
上式表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场。 电流为磁场的漩涡源。
总结：真空中恒定磁场的基本方程
S
B
dS
0
C H dl I
B0
H
J
恒定磁场为有旋无
源场，非保守场
B 0 H
真空中本构关系
四、利用安培环路定律求解空间磁场分布
当电流呈轴对称分布时，可利用安培环路定律求解 空间磁场分布。
C H dl I
B(r )
0I 2 r
e
四、例题
例题一
例题一
求半径为a的电流环在其轴线上产生的磁场。 z
P(0, 0, z)
分析：在轴线上，磁场方向沿z向。
R
电流分布呈轴对称。
a
解：建立如图柱面坐标系。
y
在电流环上任取电流元 Idl '，令其坐 标位置矢量为 r ' 。
x
dl
d
易知：r ' aer Idl ' Iad 'e
❖磁感应强度矢量 B:描述空间磁场分布。
定义：
Idl R
电流元 Idl 产生的磁感应强度为：
r'
dB
0 4
Idl R R3
O 毕奥－萨伐尔定律
r Rr r'
说明：dl 、R 、B 三者满足右手螺旋关系。
真空中任意电流回路产生的磁感应强度
B(r ) dB 0 (Idl ' R)
C
0
4