第六节 微积分基本运算
选修2-2——微积分基本定理
1．6 微积分基本定理1．问题导航(1)微积分基本定理的内容是什么？ (2)定积分的取值符号有哪些？ 2．例题导读 通过P 53例1，学会利用微积分基本定理求简单定积分的步骤和方法，通过P 53例2的学习，理解定积分的几何意义和定积分的取值符号．1．微积分基本定理(1)内容：一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．(2)表示：为了方便，常常把F (b )－F (a )记成F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )． 2．定积分的符号由定积分的意义与微积分基本定理可知，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0．(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时(如图1)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积．(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时(如图2)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．(3)当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时(如图3)，定积分的值为0，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√2．若a ＝⎠⎛01(x －2)d x ，则被积函数的原函数为( )A ．f (x )＝x －2B ．f (x )＝x －2＋C C ．f (x )＝12x 2－2x ＋CD ．f (x )＝x 2－2x答案：C3.⎠⎛0πsin x d x ＝________．解析：⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝2.答案：21．应用微积分基本定理求定积分的注意事项(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计算函数F (x )在积分区间上的增量．(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )再计算F (b )－F (a )．(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分． 2．常见函数的定积分公式(1)⎠⎛ab C d x ＝Cx ⎪⎪⎪ba (C 为常数)． (2)⎠⎛ab x n d x ＝1n ＋1x n ＋1⎪⎪⎪ba (n ≠－1)．(3)⎠⎛a b sin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪ba .(4)⎠⎛ab cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪ba . (5)⎠⎛ab 1xd x ＝ln x ⎪⎪⎪ba (b >a >0)． (6)⎠⎛a b e x d x ＝e x⎪⎪⎪ba. (7)⎠⎛ab a x d x ＝a x ln a ⎪⎪⎪ba(a >0且a ≠1)．利用微积分基本定理求定积分求下列定积分的值． (1)⎠⎛12(x ＋1)(x －2)d x ；(2)⎠⎛14x (1＋x )d x ；(3)∫π20sin 2x d x ；(4)⎠⎛24x 2－x ＋1x －1d x . [解] (1)⎠⎛12(x ＋1)(x －2)d x＝⎠⎛12(x 2－x －2)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2－2x ⎪⎪⎪21 ＝⎝⎛⎭⎫13×23－12×22－2×2－⎝⎛⎭⎫13×13－12×12－2×1 ＝－76.(2)⎠⎛14x (1＋x )d x＝⎠⎛14(x ＋x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 2⎪⎪⎪41＝⎝⎛⎭⎫23×432＋12×42－⎝⎛⎭⎫23×132＋12×12＝736. (3)∫π2sin 2x d x ＝∫π21－cos 2x2d x ＝12∫π20(1－cos 2x )d x ＝12⎝⎛⎭⎫x －12sin 2x ⎪⎪⎪π2＝π4. (4)⎠⎛24x 2－x ＋1x －1d x ＝⎠⎛24x （x －1）＋1x －1d x ＝⎠⎛24⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋ln （x －1）⎪⎪⎪42 ＝⎝⎛⎭⎫12×42＋ln 3－⎝⎛⎭⎫12×22＋ln 1＝6＋ln 3.(1)当被积函数为两个函数的乘积(分式)时，一般要先化简被积函数将其转化为和的形式，便于求得函数F (x )，再计算定积分，具体步骤如下：第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； 第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )．(2)利用微积分基本定理求定积分的关键是找出被积函数的原函数，若被积函数的原函扫一扫 进入91导学网()微积分基本定理1．(1)若⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝2，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝12k ＋1＝2. ∴k ＝2.(2)⎠⎛12x －1x2d x ＝________． 解析：⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫ln 2＋12－()ln 1＋1＝ln 2－12. 答案：ln 2－12求分段函数的定积分求下列定积分的值． (1)⎠⎛－12|x －1|d x ；(2)⎠⎛－12e |x |d x ；(3)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0cos x －1，x >0求∫π2－1f (x )d x .[解] (1)⎠⎛－12|x －1|d x＝⎠⎛－11|x －1|d x ＋⎠⎛12|x －1|d x＝⎠⎛－11(－x ＋1)d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2＋x ⎪⎪⎪1－1＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x ⎪⎪⎪21＝2＋12＝52.(2)⎠⎛－12e |x |d x ＝⎠⎛－10e |x |d x ＋⎠⎛02e |x |d x＝⎠⎛－10e －x d x ＋⎠⎛02e x d x＝－e －x ⎪⎪⎪0－1＋e x ⎪⎪⎪2＝e －1＋e 2－1＝e 2＋e －2.(3)∫π2－1f (x )d x ＝⎠⎛－1f (x )d x ＋∫π20f (x )d x ＝⎠⎛－1x 2d x ＋∫π20(cos x －1)d x＝13x 3⎪⎪⎪－1＋(sin x －x )⎪⎪⎪π2＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π2＝43－π2.求分段函数的定积分(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．2．(1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x <1，2－x ，1<x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.23B.34C.45D.56 解析：选D.⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21 ＝13＋12＝56. (2)⎠⎛0π|cos x |d x ＝________．解析：⎠⎛0π|cos x |d x ＝∫π20|cos x |d x ＋∫ππ2|cos x |d x＝∫π20cos x d x ＋∫ππ2(－cos x )d x＝sin x ⎪⎪⎪π20－sin x ⎪⎪⎪⎪ππ2＝1＋1＝2.答案：2(3)计算⎠⎛02|x 2－x |d x .解：∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，0≤x ≤1，x 2－x ，1<x ≤2，∴⎠⎛02|x 2－x |d x ＝⎠⎛01(－x 2＋x )d x ＋⎠⎛12(x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋12x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2⎪⎪⎪21 ＝16＋56＝1.微积分基本定理的综合应用(1)已知x ∈(0，1]，f (x )＝⎠⎛01(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．[解析] ⎠⎛01(1－2x ＋2t )d t ＝[(1－2x )t ＋t 2]⎪⎪⎪10 ＝2－2x ，即f (x )＝－2x ＋2，因为x ∈(0，1]，所以f (1)≤f (x )<f (0)，即0≤f (x )<2，所以函数f (x )的值域是[0，2)．[答案] [0，2)(2)已知⎠⎛01[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x ＝0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．[解] ⎠⎛01[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x＝⎠⎛01[3ax 2＋(3ab ＋1)x ＋b ]d x＝⎣⎡⎦⎤ax 3＋12（3ab ＋1）x 2＋bx ⎪⎪⎪10 ＝a ＋12(3ab ＋1)＋b ＝0，即3ab ＋2(a ＋b )＋1＝0.法一：由于(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab .所以⎝⎛⎭⎪⎫－3ab ＋122≥4ab ，即9(ab )2－10ab ＋1≥0，得(ab －1)(9ab －1)≥0，解得ab ≤19或ab ≥1.所以ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，19∪[1，＋∞)． 法二：设ab ＝t ，得a ＋b ＝－3t ＋12，故a ，b 为方程x 2＋3t ＋12x ＋t ＝0的两个实数根，所以Δ＝（3t ＋1）24－4t ≥0，整理得9t 2－10t ＋1≥0，即(t －1)(9t －1)≥0，解得t ≤19或t ≥1.所以ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，19∪[1，＋∞)． [互动探究] 本例(1)中原已知条件改为f (t )＝⎠⎛01(1－2x ＋2t )d x ，则f (t )＝________.解析：f (t )＝⎠⎛01(1－2x ＋2t )d x＝[(1＋2t )x －x 2]⎪⎪⎪1＝2t . 答案：2t含有参数的定积分问题的处理办法与注意点 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．3．(1)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0<1，则x 0的值为________．解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10 ＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，又0≤x 0<1，∴x 0＝33. 答案：33(2)已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解：∵⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪1＝23a －12a 2， ∴f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29.∴当a ＝23时，f (a )有最大值为29.数学思想 利用函数的奇偶性巧解定积分问题已知⎠⎛－11(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6，且f (t )＝⎠⎛0为偶函数，求a ，b .[解] ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数， ∴⎠⎛－11(x 3＋ax )d x ＝0.∴⎠⎛－11(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝⎠⎛－11(x 3＋ax )d x ＋⎠⎛－11(3a －b )d x＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b . ∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3.① 又f (t )＝⎣⎡⎦⎤x 44＋a 2x 2＋（3a －b ）x ⎪⎪⎪t0 ＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数， ∴3a －b ＝0.②由①②，得a ＝－3，b ＝－9. [感悟提高](1)在求对称区间上的定积分时，应该首先考虑函数性质与积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．(2)奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分：①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－aaf （x ）d x＝0. ②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－aag （x ）d x ＝2⎠⎛0a g (x )d x ，如本例为偶函数，可用该结论计算．1．下列各式中，正确的是( )A.⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a )B.⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F ′(a )－F ′(b )C.⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F (b )－F (a ) D.⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F (a )－F (b )答案：C2.⎠⎛12(e x －1)d x ＝________．解析：⎠⎛12(e x－1)d x ＝(e x－x )⎪⎪⎪21＝(e 2－2)－(e 1－1) ＝e 2－e －1.答案：e 2－e －13．求定积分∫π20cos 2xsin x ＋cos xd x 的值．解：∫π20cos 2xsin x ＋cos xd x＝∫π20cos2x －sin 2x cos x ＋sin xd x＝∫π20(cos x －sin x )d x＝()sin x ＋cos x ⎪⎪⎪π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2－()sin 0＋cos 0＝0.[A.基础达标]1.⎠⎛1e 1xd x 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．ln 2D ．e 2解析：选A.⎠⎛1e 1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪e1＝ln e －ln 1＝1.2.⎠⎛1e x d x 的值为( )A ．eB ．e －1 C.1eD ．1解析：选B.⎠⎛01e x d x ＝e x ⎪⎪⎪10＝e 1－e 0＝e －1. 3．已知⎠⎛1m (2x －1)d x ＝2，则m 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选D.∵⎠⎛1m (2x －1)d x ＝(x 2－x )⎪⎪⎪m1＝m 2－m ＝2， ∴m 2－m －2＝0，∴m ＝－1(舍去)或m ＝2.4.⎠⎛23x x －1d x ＝( ) A ．5＋ln 2 B ．5－ln 2 C ．1＋ln 2 D ．1－ln 2解析：选C.⎠⎛23xx －1d x ＝⎠⎛23x －1＋1x －1d x＝⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1d x ＝[]x ＋ln （x －1）⎪⎪⎪32 ＝(3＋ln 2)－(2＋ln 1)＝1＋ln 2.5．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B.∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛01⎣⎡⎦⎤2⎠⎛01f （x ）d x d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎠⎛01f （x ）d x x ⎪⎪⎪10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ， ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13.故选B.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，（x ≤0）e x ，（x >0）则⎠⎛－12f (x )d x ＝________．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，（x ≤0）e x ，（x >0）.∴⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－10x d x ＋⎠⎛02e x d x＝12x 2⎪⎪⎪0－1＋e x ⎪⎪⎪2＝－12＋e 2－1＝e 2－32.答案：e 2－327．设f (x )＝kx ＋b ，若⎠⎛01f (x )d x ＝2，⎠⎛12f (x )d x ＝3.则f (x )的解析式为________．解析：由⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝2，得⎝⎛⎭⎫12kx 2＋bx ⎪⎪⎪1＝2， 即12k ＋b ＝2，① 由⎠⎛12(kx ＋b )d x ＝3，得⎝⎛⎭⎫12kx 2＋bx ⎪⎪⎪21＝3， 即(2k ＋2b )－⎝⎛⎭⎫12k ＋b ＝3.∴32k ＋b ＝3，② 由①②联立得，k ＝1，b ＝32，∴f (x )＝x ＋32.答案：f (x )＝x ＋328.⎠⎛03x 2－4x ＋4d x ＝________．解析：⎠⎛03x 2－4x ＋4d x ＝⎠⎛03（x －2）2d x＝⎠⎛03|x －2|d x＝⎠⎛02|x －2|d x ＋⎠⎛23|x －2|d x＝⎠⎛02(2－x )d x ＋⎠⎛23(x －2)d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2＋2x ⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ⎪⎪⎪32＝2＋12＝52. 答案：529．计算⎠⎛02x1＋x 2d x .解：∵f (x )＝1＋x 2的导函数为f ′(x )＝x 1＋x 2. ∴⎠⎛02x 1＋x 2d x ＝1＋x 2⎪⎪⎪20＝5－1. 10．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176.求⎠⎛12f （x ）xd x 的值． 解：设f (x )＝kx ＋b ，k ≠0，则⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ＝5.① ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01(kx 2＋bx )d x ＝⎝⎛⎭⎫kx 33＋bx 22⎪⎪⎪10＝k 3＋b 2＝176，② 联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4.b ＝3. ∴f (x )＝4x ＋3.则⎠⎛12f （x ）x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫4＋3x d x ＝(4x ＋3ln x )⎪⎪⎪21 ＝(8＋3ln 2)－(4＋3ln 1)＝4＋3ln 2.[B.能力提升]1．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：选B.S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝73， S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2， S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)>e>73， 所以S 2<S 1<S 3，故选B.2．若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数： ①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.对于①，⎠⎛－11sin 12x ·cos 12x d x＝⎠⎛－1112sin x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝12(－cos x )⎪⎪⎪1－1＝12(－cos 1＋cos 1)＝0. 故①为区间[－1，1]上的一组正交函数；对于②，⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛－11(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪1－1＝13－1－⎝⎛⎭⎫－13＋1 ＝23－2＝－43≠0， 故②不是区间[－1，1]上的一组正交函数；对于③，⎠⎛－11x ·x 2d x ＝⎠⎛－11x 3d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 4⎪⎪⎪1－1＝0. 故③为区间[－1，1]上的一组正交函数，故选C.3．若⎠⎛0t cos θd θ＝32，且t ∈(0，2π)，则t 的值为________． 解析：∵⎠⎛0t cos θd θ＝sin θ⎪⎪⎪t 0 ＝sin t ＝32， ∵t ∈(0，2π)，∴t ＝π3或23π. 答案：π3或23π 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤11－ln x x 2，x >1，则⎠⎛0e f (x )d x ＝________． 解析：∵f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ≤11－ln x x 2，x >1， ∴⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01(x －1)d x ＋⎠⎛1e 1－ln x x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x ⎪⎪⎪10＋ln x x ⎪⎪⎪e 1＝－12＋1e ＝2－e 2e. 答案：2－e 2e5．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．解：由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2，①又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10 ＝13a ＋c ＝－2，③ 联立①②③得a ＝6，c ＝－4.6．设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求证：⎠⎛01f 2(x )d x >1. 证明：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0，b ，k 为常数)．⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ， 即k 2＋b ＝1，k ＝2(1－b )． ⎠⎛01f 2(x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )2d x ＝⎠⎛01(k 2x 2＋2kbx ＋b 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫13k 2x 3＋kbx 2＋b 2x ⎪⎪⎪10＝13k 2＋kb ＋b 2 ＝43(1－b )2＋2b (1－b )＋b 2＝13(b －1)2＋1>1. 即⎠⎛01f 2(x )d x >1得证．。
微积分学习微积分的基本概念与计算方法
微积分学习微积分的基本概念与计算方法微积分是数学的一个重要分支，涉及到函数和其变化的研究。
作为一门基础学科，微积分广泛应用于科学、工程、经济学以及其他许多领域。
在本文中，将介绍微积分的基本概念和计算方法。
I. 微积分的基本概念微积分的核心概念是导数和积分。
导数描述了函数的变化率，而积分则描述了函数下面的面积。
A. 导数导数表示函数在某一点上的变化率。
用数学符号表示为f'(x)，或者dy/dx。
导数的定义是通过极限来推导的，即函数在一个点上的变化率等于该点附近的函数值的极限。
具体计算导数的方法包括使用导数的基本公式，如常数规则、幂规则、和规则等，以及链式法则、隐函数法则等。
B. 积分积分表示函数下面的面积或曲线的长度。
用数学符号表示为∫ f(x) dx。
积分的计算方法有定积分和不定积分两种。
定积分是计算函数在区间上的面积，而不定积分是计算函数的原函数。
计算积分的方法包括使用积分的基本公式，如幂规则、和规则、分部积分等，以及换元积分法等。
II. 微积分的计算方法A. 导数的计算方法1. 使用导数的基本公式：- 常数规则：导数常数等于零。
- 幂规则：对于任何正指数n，导数为nx^(n-1)。
- 和规则：导数的和等于和的导数。
- 乘积规则：导数的乘积等于乘积导数的和。
2. 使用链式法则：对于复合函数，导数的计算可以通过链式法则来求解。
B. 积分的计算方法1. 使用积分的基本公式：- 幂规则：对于任何正指数n，则积分为x^(n+1)/(n+1)。
- 和规则：积分的和等于和的积分。
- 分部积分：将积分化简为两个函数之间的乘积。
2. 使用换元积分法：通过变量替换，将复杂函数转化为简单函数来计算积分。
III. 应用举例A. 导数的应用导数在实际生活中有广泛的应用，例如：- 根据速度函数求加速度：加速度是速度的导数，可以帮助我们了解物体的加速情况。
- 分析函数的极值：通过导数的零点和拐点来判断函数的极值点和拐点。
( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
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2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一 计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的 连续 函数，并且 F′(x) 内容 ＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)， 则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a
微积分的四则运算法则
微积分的四则运算法则微积分是数学中的一门重要学科，它是研究函数的变化规律和极限的学科。
在微积分中，四则运算是最基本的运算法则之一，它包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们将详细介绍微积分的四则运算法则。
一、加法法则在微积分中，加法法则是指两个函数相加的运算法则。
具体来说，设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上有定义，则它们的和函数h(x)=f(x)+g(x)在[a,b]上也有定义，且满足如下性质：1.交换律：f(x)+g(x)=g(x)+f(x)2.结合律：(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))3.存在零元素：f(x)+0=f(x)二、减法法则减法法则是指两个函数相减的运算法则。
具体来说，设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上有定义，则它们的差函数h(x)=f(x)-g(x)在[a,b]上也有定义，且满足如下性质：1.减法的定义：f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x))2.交换律：f(x)-g(x)=-(g(x)-f(x))3.结合律：(f(x)-g(x))-h(x)=f(x)-(g(x)+h(x))三、乘法法则乘法法则是指两个函数相乘的运算法则。
具体来说，设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上有定义，则它们的积函数h(x)=f(x)g(x)在[a,b]上也有定义，且满足如下性质：1.交换律：f(x)g(x)=g(x)f(x)2.结合律：(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))3.分配律：f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)四、除法法则除法法则是指两个函数相除的运算法则。
具体来说，设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上有定义，且g(x)≠0，则它们的商函数h(x)=f(x)/g(x)在[a,b]上也有定义，且满足如下性质：1.除法的定义：f(x)/g(x)=f(x)×(1/g(x))2.乘法逆元：若g(x)≠0，则存在一个函数1/g(x)，使得g(x)×(1/g(x))=13.分配律：f(x)/(g(x)+h(x))=f(x)/g(x)-f(x)/h(x)综上所述，微积分的四则运算法则是微积分中最基本的运算法则之一，它们在微积分的各个领域中都有着广泛的应用。
微积分的基本公式
微积分的基本公式微积分是数学中的一个分支，主要研究连续变化的对象，如函数、曲线和曲面等。
微积分的基本公式是应用广泛且重要的数学工具，包括导数、积分、微分方程等。
下面将对微积分的基本公式进行详细介绍。
一、导数导数是微积分中的基本概念之一，用于描述函数在其中一点上的变化率。
导数的定义如下：对于函数y = f(x)，其在特定点x处的导数表示为f'(x)或dy/dx，定义为函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的几何意义是函数曲线在其中一点的切线斜率的极限值。
导数的基本公式包括：1.常数导数公式：如果f(x)=k，其中k是常数，则f'(x)=0。
2. 幂函数导数公式：对于f(x) = x^n，其中n是实数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数导数公式：对于f(x)=e^x，其中e是自然对数的底，则f'(x)=e^x。
4. 对数函数导数公式：对于f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数，则f'(x) = 1/x。
5. 三角函数导数公式：对于f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；对于f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
二、积分积分是微积分中的另一个基本概念，用于计算曲线下面的面积或者曲线长度。
积分的定义如下：对于函数y = f(x)，其在区间[a, b]上的积分表示为∫f(x)dx，定义为区间[a, b]上函数曲线与x轴之间的面积。
积分的基本公式包括：1. 不定积分公式：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx =F(x) + C，其中C是常数。
这是积分的基本公式，也称为不定积分。
2. 定积分公式：如果f(x)是在区间[a, b]上连续函数，且F(x)是其原函数，则∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(a)表示F(x)在点a处的值，F(b)表示F(x)在点b处的值。
微积分基本公式ppt课件
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
微积分的基本概念与运算
微积分的基本概念与运算微积分，作为数学的一个重要分支，是研究函数的极限、导数、积分等数学工具和方法的集合。
它在物理学、工程学、经济学等众多领域中具有广泛的应用。
本文将介绍微积分的基本概念与运算，帮助读者全面了解微积分的核心内容。
一、极限的概念与运算极限是微积分的第一个基本概念。
在数学中，极限可以理解为函数趋于某个值时的表现。
比如，当自变量无限接近某个值时，函数的取值会趋于某个确定的值，这个确定的值就是函数的极限。
数学表示为：lim(x→a) f(x) = L其中，x→a表示x无限接近a，f(x)表示函数f的取值，L表示极限值。
对于极限的运算，有以下几个基本性质：1. 极限的唯一性：如果一个函数存在极限，那么这个极限值是唯一的。
2. 极限的四则运算法则：设函数f(x)和g(x)在某点a附近有定义，且lim(x→a) f(x) = A，lim(x→a) g(x) = B，那么有以下运算法则：- 两个函数的和的极限等于两个函数极限之和：lim(x→a) [f(x) +g(x)] = A + B- 两个函数的差的极限等于两个函数极限之差：lim(x→a) [f(x) - g(x)] = A - B- 两个函数的积的极限等于两个函数极限之积：lim(x→a) [f(x) * g(x)] = A * B- 两个函数的商的极限等于两个函数极限之商（当B不等于0时）：lim(x→a) [f(x) / g(x)] = A / B3. 复合函数的极限法则：设函数f(x)与g(x)在某点a附近有定义，且lim(x→a) g(x) = b，lim(y→b) f(y) = L，则复合函数F(x) = f[g(x)]在x 趋于a时的极限为lim(x→a) F(x) = L。
二、导数的概念与运算导数是微积分中的另一个核心概念，用来研究函数的变化率。
对于函数f(x)，其在某点a处的导数可以理解为函数在该点的切线斜率。
数学表示为：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，h表示趋于0的无穷小量。
微积分基本公式和基本定理
利用泰勒公式展开函数$f(x) = sin x$在$x = frac{pi}{2}$处的幂级数。
答案
根据泰勒公式，得到$sin x = sum_{n=0}^{infty} (1)^n cdot frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$。代入$x = frac{pi}{2}$，得到$sin frac{pi}{2} = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n cdot frac{(frac{pi}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} = 1$。
求函数$f(x) = ln(x + sqrt{1 + x^2})$的导数。
利用链式法则和基本导数公式 ，得到$f'(x) = frac{1}{sqrt{1 + x^2}} cdot frac{x}{sqrt{1 + x^2}} = frac{x}{1 + x^2}$。
积分习题及答案
题目
计算$int_0^1 (x^2 + 1) dx$。
泰勒公式是一个重要的微积分定理，它可以用来近似计算复杂的函数。通过泰勒公式，可以将一个复 杂的函数展开成多项式的和，从而简化计算。
泰勒公式在近似计算中广泛应用于数值分析、物理、工程等领域。例如，在计算物理现象的近似解时 ，可以使用泰勒公式来逼近真实解。此外，泰勒公式还可以用于求解函数的极限、证明不等式等数学 问题。
牛顿-莱布尼兹定理
总结词
牛顿-莱布尼兹定理是计算定积分的 核心定理，它提供了计算定积分的简 便方法。
详细描述
牛顿-莱布尼兹定理表述为：对于任意 在[a, b]区间上连续的函数f(x)，F(x)是f(x)的一个原函数。这个定理大大 简化了定积分的计算过程，是微积分学 中的重要内容。
1.8微积分基本定理
授课主题 微积分基本定理教学目标1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．教学内容1. 微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a ) .定理中的式子称为“牛顿—莱布尼茨公式”，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F (x )|b a来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作ʃb a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a ).2. 定积分和曲边梯形面积的关系：设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上. (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下.(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃba f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.题型一 利用微积分基本定理求定积分 例1 (1)求定积分⎰202x d x 的值；(2)求定积分⎰1－1(2x －x 2)d x 的值；(3)求定积分⎰0－π(sin x ＋2e x )d x 的值． 解析：(1) ⎰202x d x ＝2⎰20x d x ＝2×⎪⎪12x 220＝22－02＝4.(2) ⎰1－1(2x －x 2)d x ＝⎰1－12x d x ＋⎰1－1(－x 2)d x ＝x 2|1－1－13x 3|1－1＝－23. (3) ⎰－π(sin x ＋2e x )d x ＝⎰0－πsin x d x ＋2⎰－πe x d x ＝－cos x |0－π＋2e x |0－π＝－cos 0＋cos(－π)＋2(e 0－e －π)＝－2eπ. 点评：应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果． 巩 固 求下列定积分的值．(1) ⎰10(2x ＋3)d x ； (2) ⎰1－2(1－t 3)d t ；(3) ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ； (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x . 分析：利用微积分基本定理，关键是求出相应被积函数的一个原函数． 解析：(1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3，∴⎰10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )|10＝1＋3＝4.(2)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3， ∴⎰1－2(1－t 3)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫t －14t 41－2＝1－14－⎣⎡⎦⎤－2－14(－2)4＝7－14＝274. (3)因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ， 又(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ，所以 ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝⎰π0( sin x ＋cos x ) d x ＝(－cos x ＋sin x )|π0 ＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2. (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎰31(6x 2+6+12x ) d x ＝(2x 3+6x +6x 2)|31＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112 题型二 求分段函数的定积分例2 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3]，求⎰30f (x )d x 的值．解析：由积分的性质，知：⎰30f (x )d x ＝⎰10f (x )d x ＋⎰21f (x )d x ＋⎰32f (x )d x ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2. 点评：分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行；带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． 巩 固 ⎰3-3 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解析：设y＝|2x＋3|＋|3－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x，x≤－32，6，－32<x<32，4x，x≥32.所以⎰3－3(|2x＋3|＋|3－2x|)d x＝323(4)x---⎰d x＋32326-⎰d x＋3324x⎰d x＝＝(－2)×⎝⎛⎭⎫322－(－2)×(－3)2＋6×32－6×⎝⎛⎭⎫－32＋2×32－2×⎝⎛⎭⎫322＝45.题型三利用定积分求参数例3已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，⎰10f(x)d x＝－2，求a，b，c的值．解析：由f(－1)＝2得a－b＋c＝2.①因为f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＝0.②又⎰10f(x)d x＝⎰10(ax2＋bx＋c)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax3＋12bx2＋cx10＝13a＋12b＋c，所以13a＋12b＋c＝－2③解①②③组成的方程组得a＝6, b＝0，c＝－4.点评：利用定积分求参数，根据题设条件列出关于参数的方程(组)，解方程(组)得参数的值．巩固f(x)是一次函数，且⎰10f(x)d x＝5，⎰10xf(x)d x＝176，求f(x)的解析式．解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则⎰10(ax＋b)d x＝⎰10ax d x＋⎰10b d x＝12ax2⎰10＋bx⎰10＝12a＋b，⎰10x(ax＋b)d x＝⎰10(ax2＋bx)d x＝13ax3⎰10＋12bx2⎰10＝13a＋12b，由⎩⎨⎧12a＋b＝5，13a＋12b＝176，解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.A组1．下列各定积分等于1的是()A.⎰10x d xB.⎰10(x＋1)d xC.⎰101d xD.⎰1012d x解析：⎰10x d x ＝12x 2⎰10＝12； ⎰10(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎰10＝32；⎰101d x ＝x |10＝1； ⎰1012d x ＝12x ⎰10＝12. 答案：C 2． ⎰421xd x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 解析：⎰421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D3．函数y ＝⎰x 0cos x d x 的导数是( )A ．cos xB ．－sin xC ．cos x －1D ．sin x 答案：AB 组一、选择题1. ⎰10(e x＋2x )d x ＝( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0＜x ≤1，则⎰1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 答案：B3．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )A. ⎰20(x 2－1)d xB. |⎰20(x 2－1)d x |C. ⎰20|x 2－1|d xD. ⎰20(x 2－1)d x ＋⎰21(x 2－1)d x答案：C4．下列定积分计算正确的是( )A. ⎰π－πsin x d x ＝4 B. ⎰102xd x ＝1C. ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ln e 2D. ⎰1－13x 2d x ＝3解析：⎰π－πsin x d x ＝－cos x|π－π＝0； ⎰102xd x ＝12ln 2x＝log 2e ； ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ |(x －ln x )21＝1－ln 2＝ln e 2； ⎰1－13x 2d x ＝x 3|1－1=2.故选C.答案：C5.若⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则正数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝ |(x 2＋ln x )a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，所以a 2－1＝3，所以a ＝－2(舍去)，a ＝2.故选B. 答案：B 二、填空题6．定积分⎰21x d x ＝__________. 答案：23(22－1)7．若⎰T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：因为⎝⎛⎭⎫x 33′＝x 2，所以⎰T 0x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33|T 0＝9，所以T ＝3. 答案：38．计算定积分⎰1－1(x 2＋sin x )d x ＝________. 答案：23三、解答题9．计算下列定积分：(1) ⎰30|2－x |d x ；解析： ⎰30|2－x |d x ＝⎰20(2－x )d x ＋⎰32(x －2)d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 220＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－2x 32＝2＋12＝52. (2)⎰π2－π2cos 2x d x .解析：10．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且⎰10f (x )d x ＝1，求证：⎰10[f (x )]2d x >1.证明：由于⎰10f (x )d x ＝⎰10(ax ＋b )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12ax 2＋bx 10＝12a ＋b ， 所以12a ＋b ＝1，所以⎰10[f (x )]2d x ＝⎰10(ax ＋b )2d x ＝⎰10(a 2x 2＋2abx ＋b 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13a 2x 3＋abx 2＋b 2x 10＝13a 2＋ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b 2＋112a 2＝1＋112a 2>1(a ≠0)，故原不等式成立．1． 设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21f (－x )d x 的值等于 ( )A.56 B.12 C.23 D.16答案 A解析 由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1， 所以f (x )＝x 2＋x ，于是ʃ21f (－x )d x ＝ʃ21(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2|21＝56. 2．(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3 答案 A 解析＝－a ＋1＝2，a ＝－1.3． 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A.12 B ．1 C.32D. 3答案 D 解析4． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76答案 A解析 根据定积分的运算法则，由题意，可知ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋1＝43. 5． ʃ30(x 2＋1)d x ＝________.答案 12解析 ʃ30(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |30＝13×33＋3＝12. 6. 如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．答案 43解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝ʃ20(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝ʃ20(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.。
微积分基本定理_图文_图文
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)
(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个微积分是数学的一门重要分支，它主要研究函数的极限、导数、积分等概念和性质。
微积分的基本公式是我们学习和应用微积分的基础，下面将介绍微积分的16个基本公式。
1.1+1=2这是微积分的最基本的公式，表示两个数相加得到另一个数。
2.a*b=b*a这是乘法交换律，表示两个数相乘的结果与顺序无关。
3.a+(b+c)=(a+b)+c这是加法结合律，表示三个数相加的结果与加法的顺序无关。
4.a*(b+c)=a*b+a*c这是乘法分配律，表示一个数与两个数相加的结果等于这个数与每个数相加的结果之和。
5.a-b=-(b-a)这是减法的性质，表示两个数相减的结果与减法的顺序无关。
6.a/b=b/a这是除法的性质，表示两个数相除的结果与除法的顺序无关。
7. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2这是二次方的展开公式，表示两个数的和的平方等于它们的平方和加上两倍的乘积。
8. (a-b)^2=a^2-2ab+b^2这是二次方差的公式，表示两个数的差的平方等于它们的平方差减去两倍的乘积。
9.(a+b)*(a-b)=a^2-b^2这是差的平方公式，表示两个数的和与差的乘积等于它们的平方差。
10. (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3这是立方和的展开公式，表示两个数的和的立方等于它们的立方和加上三倍的乘积加上三倍的乘积再加上立方。
11. (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3这是立方差的公式，表示两个数的差的立方等于它们的立方差减去三倍的乘积加上三倍的乘积再减去立方。
12. (a+b)*(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3这是立方和的因式分解公式，表示两个数的和与和的平方差的乘积等于它们的立方和。
13. (a-b)*(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3这是立方差的因式分解公式，表示两个数的差与差的平方和的乘积等于它们的立方差。
14. (a+b)^n=a^n+na^(n-1)b+(n(n-1)/2)a^(n-2)b^2+...+nb^(n-1)+b^n这是二项式定理，表示两个数的和的n次方等于它们的各种组合的乘积之和。
微积分的基本思想和运算法则
微积分的基本思想和运算法则微积分是数学的一个重要分支，研究的是变化与运动的规律。
它的基本思想和运算法则是我们学习微积分的起点。
本文将介绍微积分的基本思想和运算法则，并探讨其在实际问题中的应用。
一、微积分的基本思想微积分的基本思想可以概括为两个方面：极限和导数。
1. 极限极限是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。
在数学中，我们用极限来研究函数的连续性、收敛性以及函数值的变化趋势等。
对于一个函数f(x)，当x趋向于某个特定的值a时，我们可以用以下符号表示：lim(x→a) f(x)其中，lim代表极限的意思，x→a表示x趋向于a，f(x)表示函数f在x处的取值。
通过求解极限，我们可以得到函数在a点的性质和行为。
2. 导数导数是微积分的另一个核心概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于一个函数f(x)，它在某一点x处的导数可以表示为：f'(x) 或 dy/dx其中，f'(x)表示函数f在x处的导数，dy/dx表示函数y关于x的导数。
导数可以理解为函数曲线在某一点处的切线斜率，它告诉我们函数在该点的变化速度和方向。
二、微积分的运算法则微积分的运算法则是指在对函数进行求导和积分时所遵循的规则和方法。
下面介绍几个常用的运算法则。
1. 基本导数法则基本导数法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
这些法则可以帮助我们求解各种类型函数的导数，从而更好地理解函数的变化规律。
2. 链式法则链式法则是求解复合函数导数的一种方法。
对于复合函数f(g(x))，其导数可以通过链式法则表示为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)链式法则在求解复杂函数的导数时非常有用，可以将复杂问题简化为简单问题的组合。
3. 积分法则积分法则是求解函数积分的一种方法。
常用的积分法则包括换元法、分部积分法、定积分法则等。
这些法则可以帮助我们求解各种类型函数的积分，从而计算函数的面积、曲线长度、体积等。
6 微积分的基本公式
x
2 2 0
1 4 5
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例6 求 02 cos x d x
cos xdx sin x C
2 0 2 0
问题的关键是 如何求被积函 数的一个原函 数.
cos x d x sin x
Байду номын сангаас
sin sin 0 1. 2
b a
f ( x )dx F ( x ) | F (b) F (a )
b a
注意: 当 a b 时, 该公式仍成立.
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x 2 dx. 例4 求 0
1
x3 2 是 x 的一个原函数, 由牛顿-莱布尼茨公式得: 解 3 3 1 x 1 0 1 1 2 . 0 x dx 3 0 3 3 3
1 例5 求 2 dx. x
1
1 解 当 x 0 时, 的一个原函数是 ln | x |, x 1 1 1 2 dx ln | x | 2 ln 1 ln 2 ln 2. x
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2
1
2 xdx ?
0 2 1 0
解： 原式 2 xdx 2 xdx x
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2
0
sin x dx
2
sin xdx sin xdx
0
cos x 0 cos x
2
(1 1) (1 (1)) 4
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例7 计算 解
微积分的计算
微积分的计算
微积分的计算是数学中的重要一环，它在物理学、经济学、生物学、工程学等领域中都有广泛的应用。
微积分的计算可以解决各种问题，例如求曲线的长度、求曲面的面积、求体积等。
微积分的计算主要包括导数和积分两个部分。
导数是用来求函数的变化率，它可以表示曲线在某一点的斜率。
在导数计算中，我们需要用到极限的概念，即函数在某一点的极限值，通过求极限值可以得到函数在该点的导数。
积分是导数的逆运算，它可以求出曲线下面积。
在积分计算中，我们需要用到基本的积分公式，例如幂函数积分公式、三角函数积分公式等。
通过对函数进行积分，我们可以求出曲线的面积、曲面的体积等。
在微积分的计算中，我们还需要注意一些常用的技巧，例如利用对称性、利用换元法、利用分部积分法等。
这些技巧可以让我们更加轻松地求解复杂的微积分问题。
除了导数和积分，微积分的计算还包括一些其他的内容，例如极值问题、曲线的凸性问题等。
这些问题在实际应用中也有着重要的作用，例如在经济学中，我们需要求解某一函数的最大值或最小值，以确定最优的经济决策。
微积分的计算是数学中的重要一环，它在各个领域中都有广泛的应用。
通过学习微积分的计算，我们可以更好地理解自然界中的各种现象，并且为实际应用提供有力的支持。
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例8： 求函数 f ( x) x3e x的极值。
4 泰勒级数的展开
格式如下：
(1)taylor(f):计算符号函数f在x=0处的5阶麦克劳林 型泰勒展开式； (2)taylor(f,n,v,a):计算符号函数f在v=a点的n-1阶 泰勒展开式；
Syms x taylor(sin(x) ) taylor(sin(x)，8 ) tatlor(sin(x),7,x,1)
例6： 计算下列积分
（） 1 e
x
x
dx
(2) ( x sin x) 2 dx
0
3 函数的极值
matlab求极值点通常是用单纯形法和拟牛顿法， 经过多次迭代得到极值点的一个近似值，一 般格式如下：
(1)x=fminbnd(f,a,b):计算在区间[a,b]上函数f取最 小值时的x值； (2)[x,fval]=fminbnd(f,a,b]:计算在区间[a,b]上函 数f取最小值fval时对应的x值；
[上机练习]
1、设 y e x cos x, 求y (5) ; y 2、已知方程 xy e x e y 0确定隐函数 y( x),求y / ;
3、计算下列积分
ax dx （） 1 dx (2) 2 ax ( x a 2 )2 (3) 1 cos x dx
例5： 求函数 f ( x, s) sin 2x s 2 的积分。
输入如下命令：syms x s f=sin(2*x)+s^2; int(f,x) 运行结果如下：ans= -1/2*cos(2*x)+s^2*x 输入:int(f,s) 结果如下：ans= sin(2*x)*s+1/3*s^3 输入:int(f,x,-pi/2,pi/2) 结果如下：ans= s^2*pi 输入:int(f,s,-2,2) 结果如下：ans= 4*sin(2*x)+16/3 输入:int(f,s, ‘m’,’n’) 结果如下：ans= sin(2*x)*(n-m)+1/3*n^3-1/3*m^3
第六节 微积分基本运算
• • • • 1、函数的微分 2、函数的积分 3、函数的极值 4、泰勒级数的展开
1 函数的微分
diff函数用于对符号表达式求导数，格式如下：
（1）diff(f):没有指定变量和阶数，则对f求一阶 导数; （2）diff(f,x):以x为变量，对f求一阶导数； （3）diff(f,n):对f求n阶导数，n为正整数； （4）diff(f,x,n):以x为自变量，对f求n阶导数；
2 2 2
( 4)
0
x sin x 2 1)3 1 的极值；
y ln(x 1 x 2 ) ，求 y / , y // 。 例2： 已知
diff函数同样可以用于求偏导数，格式为： diff(diff(z,x),y) 表示z先对x再对y求二阶偏导，其他二阶偏 导计算类似
例3：syms x y t D1=diff(sin(x^2)*y^2,2) D2=diff(D1,y)
例7： 求函数 f ( x) 2x3 6x2 18x 7 在区间
（- 2,4）上的极小值，并作图 。
输入如下命令： x=-2:0.1:4; f= 2*x.^3-6*x.^2-18*x+7; plot(x,f) f1=‘2*x.^3-6*x.^2-18*x+7’; [x,fval]=fminbnd(f,-2,4); 结果为： x=3.0000 fval=-47.0000 思考：如何求极大值呢？
2 2 y sin x 2 %计算 x 2
2 2 %计算 （ 2 y sin x 2 ) y x
D3=diff(t^6,6)
例4：已知 f ( x, y) 3xy2 2 y 5x 2 y 2，求f的二阶偏导。
2 函数的积分
int函数用于对符号表达式求积分，格式如下：
（1）int(f,x):对f求不定积分; （2）int(f,x，a,b):求定积分运算，a,b分别为积分 的下限和上限。
例1： 求函数 f ( x) ax2 bx 的导数。 输入如下命令： 输入: syms x a b diff(f,a) f=a*x^2+b*x; 结果如下：ans=x^2 diff(f,x) 输入： diff(f,x,2) 运行结果如下： ans= 结果如下：ans=2*a 2*a*x+b 输入： Diff(f,a,2) 结果如下：ans=0