高二数学上学期期中联考试题理

2015-2016学年度第一学期黑吉两省六校期中联考高二数学（理科）一、单项选择（每题5分，共60分）1、在ABC ∆中，o60A =，a =b =B 等于 ( ) A. o 45 B.o 135 C.o 45或o 135 D. 以上答案都不对 2、若数列{a n }中,a 1=3,a n +a n-1=4（n ≥2）,则a 2015的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．43、台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（）A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时 4、在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且222a b c bc=++，a S 为ABC ∆的面积，则cos S B C 的最大值为（）135、在等差数列{na }中，27,39963741=++=++a a a a a a ，则数列{na }的前9项和=9S （ ）A ．66B ．99C ．144D ．2976、设α∈（0，2π），β∈（0，2π），那么2α－3β的范围是（） A ．（0，6π5） B ．（－6π，6π5） C ．（0，π） D ．（－6π，π）7、若不等式04)3(2)3(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则实数a 取值的集合为（） A ．)3,(-∞ B ．)3,1(- C ．]3,1[- D ．]3,1(-8、若点),(y x P 的坐标y x ,满足约束条件：601011x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则543y x -的最大值为（ ）A ．51- B ．1- C ．115D ．119、函数f （x ）=a x-1+3（a>0,且a ≠1）的图象过一个定点P,且点P 在直线mx+ny-1=0（m>0,n>0）上,则14m n+的最小值是（）A ．12B ．13C ．24D ．25 10、若m ，n 是正整数，则m+n ＞mn 成立的充要条件是（ ） A ． m ，n 都等于1 B ． m ，n 都不等于2 C ． m ，n 都大于1 D ． m ，n 至少有一个等于111、命题“存在04,2<-+∈a ax x R x 使，为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件12、已知数列{}n a 满足11a=，()*12n n n a a n N +⋅=∈，则2015S =（）A ．20152-1B ．10092-3C ．100732-3⨯D ．10082-3二、填空题(每题5分,共20分) 13、命题“x ∀∈R ，210x +>”的否定是．14、已知命题:p 函数()22lg(4)f x x x a =-+的值域为R ；命题:q [1,1]m ∀∈-，不等式253a a --≥恒成立，如果命题“p q ∨“为真命题，且“p q ∧”为假命题，则实数a 的取值范围是 .15、已知数列*21()n a n n N =-∈，把数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵．记(,)S m n 为该数阵的第m 行中从左往右的第n 个数，则(10,6)S =_______．16、对于数列{}n a ，,(+∈N n +∈N a n ），若k b 为1a ，2a ，….，k a 中最大值（),....2,1n k =，则称数列{}n b 为数列{}n a 的“凸值数列”。

如数列2,1,3,7,5的“凸值数列”为2,2,3,7,7；由此定义，下列说法正确的有______①递减数列{}n a 的“凸值数列”是常数列；②不存在数列{}n a ，它的“凸值数列”还是{}n a 本身； ③任意数列{}n a 的“凸值数列”递增数列；④“凸值数列”为1,3,3,9,的所有数列{}n a 的个数为3.三、解答题（17题10分，其余各题12分）17、在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 2sin c A = （1）求角C 的大小；（2）若C =ABC ∆a b +的值．18、已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且()21+=n n n a a S ，*N n ∈。

（1）求数列{}n a 的通项；（2）设nnS b 21=，n n b b b T +++= 21，求n T 。

19、已知集合{}()(){}268030A x x x B x x a x a =-+<=--<，． （Ⅰ）若x A x B ∈∈是的充分条件，求a 的取值范围； （Ⅱ）若A B =∅，求a 的取值范围．20、某工厂生产A 、B 两种产品，已知生产A 产品1kg 要用煤9t ，电力4kW ，3个工作日；生产B 产品1kg 要用煤4t ，电力5kW ，10个工作日．又知生产出A 产品1kg 可获利7万元，生产出B 产品1kg 可获利12万元，现在工厂只有煤360t ，电力200kW ，300个工作日，在这种情况下生产A ，B 产品各多少千克能获得最大经济效益．21、如图所示，公园内有一块边长为的等边形状的三角地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上.（Ⅰ）设，试用表示的函数关系式；（Ⅱ）如果是灌溉水管，为节约成本希望它最短，的位置应该在哪里？如果是参观线路，则希望它最长，的位置又在哪里？请给予证明.22、ABC ∆的三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知：c b a ,,成等比数列 （1）求角B 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得不等式81)4sin(2)2sin 3(22≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++πB m x B x 对任意的实数x及满足已知条件的所有角B 都成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．2015-2016学年度第一学期黑吉两省六校期中联考高二数学（理科）参考答案一、单项选择A CBC BD D C D D AB ． 二、填空题13、x ∃∈R ，210x +≤ 14、a<-2或-1<a<=2或a>=6 15、101 16、①④ 三、解答题 17、【答案】解：（1sin A = sin A =∴sin 602C C =⇒=︒…………………………………………4分（2）∵1sin 60622S ab ab =︒=⇒= 又 ∴c 2=a 2+b 2-2abcos60° 7=a 2+b 2-2ab·21 7=(a+b)2-2ab-ab ∴(a+b)2=7+3ab=25 ∴a+b=5.............................10分18、【答案】 解：（1）()()2211112222n n n n n n n n n a a S S a a S a a a ---+=∴=+∴=+≥， 两式相减得22112n n n n n a a a a a --=-+-()()()11110012n n n n n n n a a a a a a a n ---∴+--=>∴-=≥()()11111111,12n n a a a S a a a n d n a n +==∴=∴=+-=∴=(n ∈N *)…………………………………………………………………….6分（2）()()()111112211n n n n a a n n S b n n n n ++==∴==-++ 11111111223111n n T n n n n ∴=-+-++-=-=+++(n ∈N *)…………12分 19、【答案】解：（Ⅰ）{}{}2680=24A x x x x x =-+<<<①当0a =时，=B ∅，不合题意；………………………………………2分 ②当0a >时，{}=3B x a x a =<<，由题意知A B ⊂242343a a a ≤⎧∴⇔≤≤⎨≥⎩……………………………………………………4分③当0a <时，{}=3B x a x a =<<，由A B ⊂得324a a ≤⎧⎨≥⎩，此时无解, 综上：423a ≤≤……………………………………………………………6分（Ⅱ）{}24A x x =<<当0a =时，=B ∅，合题意．……………………………………………8分当0a >时，{}=3B x a x a =<<，由A B =∅得02404323a a a a a >⎧⇔≥<≤⎨≥≤⎩或或……………………10分当0a <时，{}=3B x a x a =<<， 由AB =∅得00234a a a a <⎧⇔<⎨≤≥⎩或综上述：243a a ≥≤或时A B =∅………………………………………12分20、【答案】解:设这个工厂应分别生产A ，B 产品xkg ，ykg ，可获利z 万元．根据上表中的条件，列出线性约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+,0,0,20054,36049,300103y x y x y x y x 目标函数为y x z 127+=(万元)．………….4分画出如图所示的可行域，做直线0127'=+y x l ：，做一组直线t y x =+127与'l 平行，………………………………………………6分当l 过点A 时t 最大．由⎩⎨⎧=+=+,20054,300103y x y x 得A 点坐标为)24,20(．把A 点坐标代入l 的方程，得428=t (万元)．………………………………………………………10分答:当生产A 产品20千克,B 产品24千克时能获得最大经济效益,为428万元………12分 21、【答案】 解:（Ⅰ）在中，在上，，，在中，由余弦定理得：……………………………………………6分（Ⅱ）令 ，则 则令，由对勾函数单调性可知：在上单调递减，在上单调递增．又∴有最小值，此时∥，且有最大值，此时为的边或的中线上．…………………………………………………………12分22、【答案】解:（1）由已知：c b a ,,成等比数列，得ac b =2在ABC ∆中，由余弦定理：ac b ac ac b c a B 222cos 2222-≥-+=2122=-=ac ac ac ，当且仅当c a =时，“=”成立， 又∵),0(π∈B ，∴角B 的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛3,0π……………………………………4分（2）由题[]81)cos (sin )cos sin 23(22≥+++++B B m x B B x 对任意的实数x 及满足已知条件的所有角B 恒成立 令)4sin(2cos sin π+=+=B B B t∵⎥⎦⎤ ⎝⎛∈3,0πB ，∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+127,44πππB ，∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+1,22)4sin(πB ∴(]2,1∈t 且1cos sin 22-=t B B ∴由已知81)()2(222≥++++mt x t x 对任意实数x 及所有(]2,1∈t 上恒成立，………………………………………………………………………………………6分方法一：而=++++222)()2(mt x t x 222)()2(mt x t x --+++=--++≥2)2(22mt x t x 2)2(22mt t -+恒成立，仅当mt x t x --=++22，即存在222---=mt t x 使“=”成立，∴只要812)2(22≥-+mt t 在(]2,1∈t 上恒成立………………………………………8分 ∴05222≤+-mt t 或03222≥+-mt t即t t m 25+≥或t t m 23+≤关于(]2,1∈t 上恒成立， 令tt t g 25)(+=在(]2,1∈t 为减函数，∴27251)1()(=+=<g t g令t t t 23)(+=ϕ6232=≥，当且仅当t t 23=，即(]2,123∈=t 时，“=”成立 ∴27≥m 或6≤m 满足条件 ∴存在满足条件的实数m ，取值范围为(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,276, ………………………12分方法二：812)2()2(22222222≥+++++++t m mtx x t x t x 即[]081)2(2)2(22222222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++++t m t x mt t x 对任意的实数x 恒成立∴[]081)2(82)2(2222222≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++=∆t m t mtt 恒成立即：[]1)2(4222≥-+mtt ∴05222≤+-mt t 或03222≥+-mt t …………………8分即t t m 25+≥或t t m 23+≤关于(]2,1∈t 上恒成立， 令tt t g 25)(+=在(]2,1∈t 为减函数，∴27251)1()(=+=<g t g令t t t 23)(+=ϕ6232=≥，当且仅当t t 23=，即(]2,123∈=t 时，“=”成立 ∴27≥m 或6≤m 满足条件 ∴存在满足条件的实数m ，取值范围为(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,276, ………………………12分。