复变函数与积分变换试题及答案5

复变函数与积分变换试题与答案

一 判断正确与错误（每题3分）

1若(,)u x y 与(,)v x y 都是调和函数，则()(,)i (,)f z u x y v x y =+是解析函数。（×） 2．因为|sin |1z ≤，所以在复平面上sin z 有界。 （×） 3．若()f z 在0z 解析，则()()n f z 也在0z 解析。 （√） 4．对任意的z ，2Ln 2Ln z z =

（×）

二 填空（每题3分）

1．

i 22i 4

=

-- ， i 3πarg[]22i 4=--- 。 2． πln(3i)ln 3i 2

-=- ， π

2πi

2i e k --= 。

3.在映照2()24f z z z =+下，曲线C 在i z =处的伸缩率是

π4

。 4.0z =是241e z z -的3阶极点， 241e 4

Re [,0]3

z s z -=- 。

三 解答题（每题7分）

1. 设2222()i()f z x axy by cx dxy y =++-++。问常数,,,a b c d 为何值时()f z 在复平面上处处解析？并求这时的导数。

2. 求13

(1)-的所有三次方根。

3．2d C z z ⎰ 其中C 是0z =到34i z =+的直线段。 4．||2e cos d z z z z =⎰。(积分曲线指正向)

5．||2

d (1)(3)

z z

z z z =+-⎰。(积分曲线指正向)

6 将1

()(1)(2)

f z z z =

--在1||2z <<上展开成罗朗级数。

7.求将单位圆内||1z <保形映照到单位圆内||1w <且满足1

()02

f =，

1π

arg ()22

f '=的分式线性映照。

四 解答题（1,2,3题各6分, 4题各9分）

1．求0 0

()e 0

kt t f t t -<⎧=⎨≥⎩ （k 为正实数）的傅氏变换。

2. 设 22()e e sin 6()t t f t t t t t δ-=+++, 求()f t 的拉氏变换。

3. 设 221

()(1)

F s s s =

+，求()F s 的逆变换。

4. 应用拉氏变换求解微分方程

23e (0)

0, (0)1

t

y y y y y -'''⎧+-=⎨'==⎩

复变函数与积分变换试题答案

三 解答题（每题7分）

4. 设2222()i()f z x axy by cx dxy y =++-++。问常数,,,a b c d 为何值时()f z 在复平面上处处解析？并求这时的导数。

解:

因为

2u x ay x ∂=+∂,2u ax by y ∂=+∂,2v cx dy x ∂=+∂,2v

dx y y

∂=+∂,(2分)则 对任意的(,)x y 有u v

x y u v

y

x ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨

∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ 即2222x ay dx y

ax by cx dy +=+⎧⎨+=--⎩(1分) 可得: 2,1a d b c ====-

这时, ()i 2()2i()22i u v

f z x y x y z z x x

∂∂'=

+=+---∂∂或 求1

3

(1)-的所有三次方根。

解:13

2+12+1(1)cos

π+isin π 0,1,233k k k -== (4分),

0ππ1cos +isin =+i 3322

w =, 1cos π+isin π =1w =-

,25π5π1cos

+isin = i 3322

w =-(3分) 3．2d C z z ⎰ 其中C 是0z =到34i z =+的直线段。

解: 原式33322

34i

34i 0

0(34i)[d ]

[](233

z z z +++===⎰

分

分分)或

原式3413

2

333300

444

(1i)d (1i)[]9(1i)(23333

x x x =

+=+=+⎰

分分分)

4．||2e cos d z z z z =⎰。(积分曲线指正向) 解:原式=0. (7分)

5．||2

d (1)(3)

z z

z z z =+-⎰。(积分曲线指正向)

{}(2012πi Res[,0]Res[,1](311πi

2πi[lim lim ](2(1)(3)(3)6

z z f f z z z z →→-=+-+=-+--分)解: 原式分)

=分)

6 将1

()(1)(2)

f z z z =

--在1||2z <<上展开成罗朗级数。

110111

(1] (33212

n n n n z z z z ∞

++==-++--∑解: 原式分)=-分)

7.求将单位圆内||1z <保形映照到单位圆内||1w <且满足1()02

f =，

1π

arg ()22

f '=的分式线性映照。

i 12()e (4112

z w f z z θ

-

==-解: 设分),则i 14π

()e (2232

f θθ'=⇒=分),故

21i (22z w z

-=-分).

四 解答题（1,2,3题各6分, 4题9分）

1．求0 0

()e 0kt t f t t -<⎧=⎨≥⎩ （k 为正实数）的傅氏变换。

i (i )0011()e e d (2[e ]i i kt t k t F t k k ωωωωω

+∞---++∞

-===++⎰解: 分).

3. 设 22()e e sin 6()t t f t t t t t δ-=+++, 求()f t 的拉氏变换。

322116() 1 (1,2,2,1)(1)(2)36

F s s s s =

++++-+解: 分 5. 设 221

()(1)F s s s =+，求()F s 的逆变换。

(1)

2211[()][][] sin (2.5,2.5)1

F s t t s s =-=--分-1

-1

-1

解: L L L 分

4. 应用拉氏变换求解微分方程

23e (0)

0, (0)1

t

y y y y y -'''⎧+-=⎨'==⎩