一元二次方程及其应用复习课件

利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数 的因式(如例 2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去 则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程 会失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的 方法求解． 方程没有明显的特点时，使用公式法较好．
► 类型之三 一元二次方程根的判别式
方法总结： 若一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个 不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，切 勿丢掉等号.
►类型之四 根与系数的关系
例 4： 若关于 x 的方程 x2＋(k－2)x＋k2＝0 的两根互为 倒数，则 k＝ －1 .
解析：∵ 两根互为倒数， ∴k2 ＝1 ，解得 k ＝ ± 1. 又∵当 k＝1 时， 原方程化为 x －x＋1＝0， b －4ac＝(－
定义
考点2
一元二次方程的四种解法
适合于(x＋a)2＝b(b≥0)形式的方程 基本 把方程化成 a.b＝0 的形式，则有 思想 ( a＝0 或 b＝0 ) 方法 常用方法主要有( 提公因式法 )、 规律 ( 公式法 )
直接开 平方法 因式分解 法
求根公式 一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0, 且 b －4ac≥0 时， ) 公 式 公式法解 (1)将方程化成 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式；(2) 法 方程的一 确定 a，b，c 的值；(3)若 b2－4ac≥0，则代入求 般步骤 根公式，得 x1，x2，若 b2－4ac<0，则方程无实数 根 定义 通过配成完全平方的形式解一元二次方程 配 配方法解 ①化二次项系数为 1；②把常数项移到方程的另一 方 方程的步 边；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平 法 骤 方；④把方程整理成(x＋a)2＝b 的形式；⑤运用直 接开平方解方程 －b± b －4ac 则( x＝ 2a
1.平均增长率问题：
例5：（29页9题）
解析
2.商品利润问题：
例6：（29页6题）
2x 50-2x
3.几何图形问题：
例7（29页5题）
列方程解实际问题的关键是找到“等量关系”，在寻找等
量关系时有时要借助图表等．在得到方程的解后，要检验它是
否符合实际意义．
方法总结： 列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验最 后的结果，对不符合实际问题的未知数的值应舍去.
当 堂 检 测
1．方程(m－3)x|m|－1－2x＋m＝0 是关于 x 的一元二次 方程，则 m 的值为 ( B ) A．3 B．－3 C．±3 D．无法确定
|m |－1＝2， 根据二次函数的概念，得 m－3≠0，
解 析
3， m＝± 解得 所以 m≠3，
m＝－3，故选 B.
2 2
1)2－4×1×1＝－3＜0，∴方程无解．∴k＝－1.
►类型之四 根与系数的关系
温馨提示： 1.首先把一元二次方程化成一般形式，再利用根 与系数的关系. 2.在应用根与系数的关系时，一定要保证一元二 次方程有实数根.
► 类型之五
命题角度：
一元二次方程的应用
1．用一元二次方程解决增长率问题：a(1± m)n＝b； 2．用一元二次方程解决商品销售问题． 3. 用一元二次方程解决几何图形问题。
命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况； 2．求一元二次方程字母系数的取值范围．
例 3：一元二次方程 mx2－2mx＋m－2＝0， 若方程有两实数根，求 m 的取值范围.
2 Δ＝－2m －4mm－2≥0， 解： 由题意， 可得 m≠0，
∴m＞0.
(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式 b2－4ac 的值，比较它与 0 大小.因此，在计算前应先将方 程化为一般式． (2)注意二次项系数不为零这个隐含条件．
在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系 数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个 限制条件
考点4
Байду номын сангаас
一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2：
一元 二次 方程 根与 系数 的关 系
b c － a ，x x ＝_____ a 关系 x1＋x2＝_____ 1 2
A
4.（20页9题）
B
5.(28页1题）
C
6.(28页2题）
A
7.（28页4题）
解：
8.（ 28页3题）
9.（29页7题）
75
10.（29页8题）
11：已知关于 x 的方程 x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0. (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根，并求 出以此两根为边长的直角三角形的周长．
12：一元二次方程 mx2－2mx＋m－2＝0， (1)若方程有两实数根，求 m 的取值范围； (2)设方程两实数根分别为 x1，x2，且|x1－x2|＝1， 求 m 的值． 分析：本题考查了一元二次方程根的判别式和一 元二次方程根与系数的关系，解题的关键是理解一元 二次方程根与系数的关系．
解：(1)由题意，可得
2
2
2
考点3
一元二次方程的根的判别式
根的 判别 式定 义 判别 式与 根的 关系 防错 提醒 关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)的 根的判别式为 b2－4ac
2
一元 二次 方程 根的 判别 式
两个不相等 的实数根； (1)b2－4ac>0⇔方程有____________ 2 (2)b －4ac＝0⇔方程有___________ 两个相等 的实数根； (3)b2－4ac<0⇔方程________ 没有 实数根
2 Δ＝－2m －4mm－2≥0， m≠0，
∴m＞0.
－2m (2)x1＋x2＝－ ＝2，若 x1＞x2，则 x1－x2＝1， m 3 1 1 3 ∴x1＝ ，x2＝ .把 x＝ 和 分别代入方程， 2 2 2 2 可得 m＝8； 1 3 1 若 x1＜x2，则 x2－x1＝1，∴x1＝ ，x2＝ .把 x＝ 2 2 2 3 和 分别代入方程，可得 m＝8. 2 ∴m＝8.
2． 方程(x＋1)(x－2)＝x＋1 的解是 A．x＝2 B．x＝3 C．x＝－1 或 x＝2 D．x＝－1 或 x＝3
( D )
解 析
选 D.
用因式分解法：(x＋1)(x－2)－(x＋1)＝0，(x＋
1)(x－2－1)＝0，x＋1＝0 或 x－3＝0，x＝－1 或 x＝3，故
3.（20页5题）
解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1) ＝m2－4m＋8 ＝(m－2)2＋4>0， ∴方程恒有两个不相等的实数根． (2)①把 x＝1 代入方程 x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0 中，解得 m＝2， ∴原方程为 x2－4x＋3＝0，解这个方程得：x1＝1，x2＝3， ∴方程的另一个根为 x＝3. ②当 1、3 为直角边时，斜边为 12＋32＝ 10， ∴周长为 1＋3＋ 10＝4＋ 10. 当 3 为斜边时，另一直角边为 32－12＝2 2， ∴周长为 1＋3＋2 2＝4＋2 2.
考 点 聚 焦
考点1 一元二次方程的概念及一般形式
一 个未知数， 含有________ 并且 2 未知数最高次数是 ________ 的( 整式 )方程 一元二次方程 一般形式 ________________ ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 防错提醒 在一元二次方程的一般形式 中要注意强调( a≠0 ) 一元二次方程的解： 使一元二次方程两边相等的( 未知数的值 )．
►
类型之二
一元二次方程的解法
命题角度： 1．直接开平方法； 2．配方法； 3．公式法； 4．因式分解法．
x － 3 x － 3 例 2：解方程：(1). 2 ＝3x
(2). 2x2－4x－1＝0
温馨提示：
解一元二次方程时，要根据方程的特点灵活选择 合适的方法，一般顺序为：直接开平方法、因式分解 法、公式法、配方法. 公式法和配方法是解一元二次方 程通用的方法。.
解：(1).(x－3)(2－3x)＝0， x－3＝0 或 2－3x＝0， 2 ∴ x1＝3，x2＝ . 3 (2). ∵a＝2，b＝－4，c＝－1，
b2－4ac＝(－4)2－4×2×(－1)＝24＞0，
－b± b2－4ac 4± 24 6 ∴x＝ ＝ ＝1± ， 2a 4 2 6 6 ∴x1＝1＋ ，x2＝1－ . 2 2
[解析] 把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a) ＋a＝0，∴a2－ab＋a＝0， 所以a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，故选择A.
(2).一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0 的一个根为 0，
则 a＝ 1 .
解析：把 x＝0 代入方程，可得 a2－1＝0， 解得 a＝± 1.又∵a＋1≠0，即 a≠－1，∴a＝1.
防错 使用根与系数的关系时注意：在方程有实数根 提醒 的前提下考虑。
考点5
一元二次方程的应用
等量关系
应用类 型
设 a 为原来的量，m 为平均增长率，b 为连 增长率 续两次增长后的量，则( a(1＋m)2＝b ) ， 问题 当 m 为平均下降率时，则（ a(1－m)2＝b ） 利率 (1)本息和＝( 本金＋利息 ) 问题 (2)利息＝( 本金×利率×时间 ) (1) 单件利润＝( 售价－进价 ) 销售利 (2) 总利润＝( 单件利润×销售量 ) 润问题 (3) 利润＝( 进价×利润率 )
考点5
应用类 型
一元二次方程的应用
等量关系
n （n－1 ）
2 )
比赛场 n 个队进行单循环比赛，一共比赛( 次问题
场．
求不规则图形的面积问题，通常做法是：把不 图形问 规则图形转化成规则图形，找出变化前后面积 题 之间的关系，然后列方程求解
归 类 探 究
► 类型之一 一元二次方程的有关概念
命题角度： 1．一元二次方程的概念； 2．一元二次方程的一般式； 3．一元二次方程的解的概念． 例 1： （1） .已知关于 x 的方程 x2＋bx＋a＝0 有一个根是－a(a≠0)， 则 a－b 的值为 ( A ) A．－1 B． 0 C．1 D．2