5.1.2垂线

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5.1.2垂线

1.直线AB外一点P到直线AB的距离指的是（ B）
（A）从P点到AB的垂线段 (B)从P点到AB的垂线段长度（C）从P点到AB的垂线（D）从 P点到AB的垂线长
2.点P为直线l外一点，点A、B、C在直线l 上，若PA=4cm,PB=5cm，PC=6cm，则P到直线l 的距离是（ C ） A．4cm B. 小于4cm C .不大于4cm D . 5cm
5.1.2 垂线
探究1：
取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b．（1）在木条b的转动过程中,∠α有什么变化？ ∠a随b的转动由小到大发生变化。（2）当∠α=90°时，木条b与a所在的直线有什么位置关系？ a与b垂直
垂直：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫
做这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．垂直符号用⊥表示。
B
C
D
注意：点A到直线CD的距离是
垂线段AB的长度，而不是垂线段AB。
归纳总结
1．什么是垂直？
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫做这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2.垂直和相交有什么关系？垂直是相交的特殊情况
3. 如何画已知直线的垂线呢？
垂足 ③交点O又叫做_____. 垂直
C
） A
o
D
B
④直线AB的垂线是_____. CD
90° ∠AOD=____,∠BOD=____. 90° 90° ⑤∠BOC=____,
2．过点Ｐ画出射线AB或线段AB的垂线．
P
A P
B
B A
注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线, 就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.

5.1.2-垂线课件

5பைடு நூலகம்1.2 垂线
第3页问题1：取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b．（1）当a与b所成锐角α为35º 时，其余的角分别为多少？ 35º , 145º , 145º （2）当a与b所成角α为90 º 时，其余角的分别为多少？均为90º
问题1：取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b．
问题2：（1）两条直线垂直和相交是什么关系？
垂直是相交的特殊情况
（2）能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有3种：相交，平行，垂直？
不能，因为垂直是相交的特殊情况
第4页探究
A
B
o
第5页垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
练习：1．当两条直线相交所成的四个角都相等时，着两条直线有什么位置关系，为什么？
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离．
思考：（5）如果图中的比例尺为1:1000000，水渠大概要挖多长？（6）你能列举生活中类似的实例吗？
归纳小结
1．什么是垂直？垂直和相交有什么关系？我们是如何刻画两直线垂直的位置关系的？ 2．垂线有哪些性质？
（3）在木条b的转动过程中,什么量也随之发生改变？ a与b所成的角也随之发生改变（4）木条b与a成90º 的位置有几个？此时，木条b与a 所在的直线有什么位置关系？ a与b垂直
第4 页
35 55
垂直的两种含义：因为 ∠AOC=90°，所以 AB⊥CD．反之，因为 AB ⊥CD，所以 ∠AO C=90°．
布置作业

人教版数学七年级下册5.1.2垂线课件

感悟新知
例 1 如图5.1-11，直线AB，CD 相交于点O，OE ⊥ AB 于点O，且∠ COE=40°，求∠ BOD 的度数. 解题秘方：利用垂直的定义及对顶角的性质，将要求的角向已知角转化.
感悟新知
解：因为OE ⊥ AB，所以∠ AOE=90°. 又因为∠ AOE= ∠ AOC+ ∠ COE，∠ COE=40°，所以∠ AOC=90°－40°=50°. 所以∠ BOD= ∠ AOC=50°
所以AC·BC=AB·CD，进而可得CD=2.4 cm.
感悟新知
(2)点P 为直线m 外一点，点A，B，C 为直线m 上的三点，
PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm，则点P 到直线m 的距
离( D )
A. 等于4 cm
B. 等于2 cm
C. 小于2 cm
D. 不大于2 cm
感悟新知
解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段. 解：点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度，而垂线段是该点与直线上各点的连线中最短的. 从条件看，PC是三条线段中最短的，但不一定是所有连线中最短的，所以点P 到直线m 的距离应该是不大于2 cm.
感悟新知
1-1. [中考·河南] 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥ CD，垂足为O，若∠ 1=54°，则∠ 2 的度数为( B ) A. 26° B. 36° C. 44° D.54°
感悟新知
例2 将一张长方形纸片按如图5.1-12 所示方式折叠，EF， EG 为折痕，判断EF 与EG 的位置关系. 解题秘方：利用折叠的性质求出两线的夹角，根据夹角是90°判断两条直线的位置关系.
1. 垂线段：
特别解读垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系： 1. 区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂

5.1.2垂线正式版(1)

BD 的长度
的长度.
BD .的距离.
B
E
AD
C
AO
B
∴ ∠DOB=40°(互余的定义)
C
F
∴ ∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等）
又∵OB平分∠DOF ∴ ∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义）
∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130°
∴ ∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100°
(邻补角定义)
1.垂线的画法：
D
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD
=90 °+55 °=145 °
例2 如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于
O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°,求∠AOC、
∠ EOF、 ∠ COF的度数. E
解: ∵ AB⊥OE （已知）
D
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
∵ ∠DOE= 50° （已知）
A
B
B
练习
1、如图，分别过A、B、C 作BC、AC、AB的垂线。
A
解：如图、AD⊥BC于D、 BE⊥AC于E、CF⊥AB于F
2、如图，过P分别作OA、
OB的垂线。
O
解：如图、PM⊥OA于M、 PN⊥OB于N
B F
CE D MA
P
NB
3、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确
的有（ A ）个
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
二、例题
例1 如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.

5.1.2垂线

三、动手操作，归纳性质
问题3 如何用三角尺或量角器画已知直线l 的垂线？
(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？
(2)经过一点画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？点与直线有几种位置关系？
操作
(1)经过直线l上一点画已知的垂线.
(2)经过直线l外一点画已知的垂线.
二、变换角度，认识垂直
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直, 其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
垂直的图形.
如图，AB⊥CD，垂足为Ｏ．
垂直的符号表示.
推理形式
问题2 如何用符号语言表示垂直的定义呢？
之，因为 AB⊥CD，所以 ∠AOC=90°．
如果图中的比例尺为1:100000，水渠大约要挖多长？
练习
如图，AC⊥BC，且BC=5，AC=12，AB=13，则点A到BC的距离是___1_2____，点B到AC的距离是 ___5____，点B到点A的距离是____1_3_____．
五、归纳小结
1.什么是垂直？垂直和相交有什么关系？我们是如何刻画两条直线垂直的位置关系的？
2.垂线有哪些性质？ 3.本节课的学习，你在数学思想方法方面还有哪些收获？
六、布置作业
教科书习题5.1 第3、4、5、6、7题
5.1 相交线(第2课时） 5.1.2 垂线
一、创设情境，导入新知
问题1 取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b．
(1)在木条b的转动过程中,什么量也随之发生改变？
a与b所成的角也随之发生改变
(2)∠ = 90º时，木条b与a所成另外
三个角的度数是多少？

5.1.2 垂线

小
结
唯一性垂线段最短
垂线性质
相交线
垂线
垂线画法
【课堂练习】
1. 如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD，若∠COA=36°，则 ∠DOB的大小为( A.36° ) C.64° D.72° D
B.54°
【解析】选B.因为OC⊥OD，所以
∠COD=90°，又因为∠AOB=180°， C 所以∠DOB=∠AOB－∠COD－ A ∠COA=180°－90°－36°=54°. B
O
2.如图,OD⊥BC,D是垂足,连接OB,有下列说法: ①线段OB是O,B两点的距离 ②线段OB的长度是O,B两点的距离 ③线段OD是Fra bibliotek点到直线BC的距离
④线段OD的长度是O点到直线BC的距离
其中正确的个数有( A.1 B.2
O
B
)个 D.4 B D C
C.3
3.如图所示，OC⊥AB，垂足为O，如果∠1=
H ●
A
● C
● ● D E
●● F G
B
我们知道一条直线是由无数个点组成的,取其中任意一点与直线外的一个已知点就能连接成一条线段,这样的
线段有无数条,根据第一条性质可知,这无数条线段中
有一条而且只有一条与已知直线垂直.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
5.1.2
垂线
1.掌握点到直线的距离的定义; 2.灵活利用垂线的性质解决问题.
复习旧知：
过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（
） C
A.
B.
C.
D.
H ● ● ● ●● D E F G 图中有几条以H为端点的线段? A 你能比较出它们的大小吗? 你能得出什么结论? 性质2: 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成:垂线段最短. ● C B

5.1.2 垂线 (教案课件)

多少条？
无数条
l
新知探究
2、过直线L外一点A画L的垂线，这样的垂线能
l
┐
四、画线
五、标“┐”
归
纳
在同一平面内，过一点作已知直线的垂线有多
.A
B
l
l
垂线的性质一：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
巩固新知
1、画一条线段或射线的垂线，就是画它们所
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
激励学生学习的名言格言 220、每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。 221、世界会向那些有目标和远见的人让路（冯两努——香港著名推销商） 222、绊脚石乃是进身之阶。 223、销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。 224、即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。 225、积极思考造成积极人生，消极思考造成消极人生。 226、人之所以有一张嘴，而有两只耳朵，原因是听的要比说的多一倍。 227、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。 228、有事者，事竟成；破釜沉舟，百二秦关终归楚；苦心人，天不负；卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。 229、以诚感人者，人亦诚而应。 230、积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。 231、出门走好路，出口说好话，出手做好事。 232、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。 233、怠惰是贫穷的制造厂。 234、莫找借口失败，只找理由成功。（不为失败找理由，要为成功找方法） 235、如果我们想要更多的玫瑰花，就必须种植更多的玫瑰树。 236、伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。 237、世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。 238、回避现实的人，未来将更不理想。 239、当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么东西。学习会使你永远立于不败之地。 240、伟人所达到并保持着的高处，并不是一飞就到的，而是他们在同伴们都睡着的时候，一步步艰辛地向上爬 241、世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力。 242、坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得够久、够大声，终会把人唤醒的。 243、人之所以能，是相信能。 244、没有口水与汗水，就没有成功的泪水。 245、一个有信念者所开发出的力量，大于99个只有兴趣者。 246、环境不会改变，解决之道在于改变自己。 247、两粒种子，一片森林。 248、每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。 249、如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 250、大多数人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。

5.1.2 垂线

5.1.2 垂线1. 概述垂线是指与给定的直线或线段相交且与之垂直的线段或直线。

在几何学中，垂线常常用来研究图形的性质和关系。

本文将介绍垂线的定义、性质以及应用。

2. 垂线的定义垂线通常是指与给定的直线或线段相交成直角的线段或直线。

更准确地说，如果一条直线与另一条直线或线段相交，且交点处的角度为90度，则这条线段或直线被称为垂线。

3. 垂线的性质垂线具有一些重要的性质，包括：(1) 垂线的长度垂线的长度可以根据勾股定理计算得出。

如果已知垂线两个端点的坐标为(x1, y1)和(x2, y2)，则垂线长度为：长度= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)(2) 垂线的斜率垂线的斜率是它与所垂直的直线或线段之间斜率的相反数。

例如，如果直线的斜率为m，垂线的斜率为-1/m。

(3) 垂线的交点如果一条直线与另一条直线或线段相交成直角，则交点为垂线的一个端点，另一个端点位于另一条直线或线段上。

这个交点可以用来确定两条直线或线段的相对位置关系。

(4) 垂线的平行性如果两条直线或线段之间相互垂直，则它们是平行的。

垂线的平行性可以用来判断两条直线或线段是否相互垂直。

(5) 垂线的唯一性对于给定的直线或线段，与之相交且垂直的线段或直线是唯一的。

也就是说，只有一条线段或直线与给定的直线或线段相交成直角。

4. 垂线的应用垂线在几何学中有广泛的应用，包括：(1) 构造垂线垂线可以用来构造正方形、矩形和其他各种形状。

通过构造垂线，我们可以得到相等的直角边，从而构造出各种几何形状。

(2) 判断垂直性垂线可以用来判断两条直线或线段之间的垂直性。

如果两条直线或线段的斜率互为相反数，则它们是垂直的。

(3) 求垂心在三角形中，垂线的交点被称为垂心。

垂心是一个重要的点，它与三角形的其他关键点（如重心、外心和内心）之间有着密切的联系。

(4) 解决几何问题垂线也可以用来解决一些与直角三角形、平行线和垂直线有关的几何问题。

人教版七年级数学下册名校课堂课件：5.1.2垂线

m
3.若直线m、n相交于点O， m⊥n 。 ∠1＝90°，则__________ 4.若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD＝90 ____ 。 ° 5.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5，那么∠COA＝_____, 72° ∠BOC的补角为______ 162 °。
一、垂直的定义
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90度)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂 a 线，它们的交点叫垂足. 例如、如图，a、b互相垂 b 直,O叫垂足.a叫b的垂线， O b也叫a的垂线. 从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角.
P
A
D
B
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. P
例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线段PA的长度叫做点P到直线l的距离. 例：如图，是一个同学跳远的位置跳远成绩怎么表示?
l A
l A
解:过P点作PA⊥l于点
A ，垂线段PA的长度就是该同学的跳远成绩.
P
拓展应用1
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 孝感市文昌中学学生专用尺 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
11 Cm
探究:
(1)画已知直线l的垂线能画几条 ? (2)过直线l上的一点A画l的垂线 ,这样的垂线能画几条? (3)过直线l外的一点B画l的垂线 ,这样的垂线能画几条?
．

5.1.2 垂线

5.1.2 垂线1. 什么是垂线垂线是指一个直线与平面内的另一条直线相交，并且与该直线相交的点垂直于该直线所在的平面。

在几何学中，垂线通常用于描述两条直线或线段之间的关系，具有重要的几何性质和应用。

2. 垂线的特性垂线的定义给定一个平面上的点P和一条直线l，如果从点P到直线l有且只有一条与直线l垂直的线段，那么这条线段被称为点P到直线l的垂线，垂线的端点为P。

垂线的性质•垂线与直线的关系：垂线与直线相交形成直角关系，即垂线和直线的夹角为90度。

•垂线与线段的关系：垂线与线段相交形成直角关系，即垂线和线段的夹角为90度。

•垂线的长度：垂线的长度是点到直线的最短距离，也是点到直线的唯一垂线。

3. 垂线的应用场景地理测量在地理测量中，垂线被广泛应用。

例如，测量地面上某个点到地球表面（通常用海拔高度表示）的垂直距离时，需要根据该点所在的位置找到一个垂直于地球表面的垂线，以确保测量的准确性。

施工工程在施工工程中，垂线也有重要的作用。

例如，在修建建筑物或道路时，需要通过垂线来确定基准线，以确保结构的垂直性和水平性。

数学几何学在数学几何学中，垂线是研究几何形状和空间关系的基础概念之一。

通过对垂线的研究，可以推导出许多重要的几何性质，如垂直角定理、垂直平分线定理等，这些性质在解决几何问题时非常有用。

4. 与垂线相关的定理垂直角定理在平面上，如果两条线段互相垂直，则它们所对应的角为垂直角。

垂直角的度数为90度。

垂直平分线定理在平面上，如果一条直线与另一条线段相交，并且将该线段分成两个相等的部分，则该直线被称为该线段的垂直平分线。

垂线定理在平面上，如果一条直线垂直于一个平面内的另一条直线，则它也垂直于该平面。

5. 总结垂线是指与一个直线相交的线段，在几何学中具有重要的几何性质和应用。

垂线与直线的关系、垂线与线段的关系以及垂线的特性是使用垂线的关键要点。

垂线在地理测量、施工工程和数学几何学中都有广泛的应用。

垂线相关的定理如垂直角定理、垂直平分线定理和垂线定理也是解决几何问题时常用的工具。

人教版七年级数学下册课件5.1.2垂线

们(2)的判交断点ODO与叫A做B_的__位__置_关．系，并说明理由．
活动5 课堂小结
1．垂线的相关概念． 2．垂线的画法． 3．垂线的性质． 4．点到直线的距离．
四、作业布置与教学反思 1．作业布置
(1)教材P8 习题5.1第3，4，5，6题；
2．教学反思
A
C OD B 图5.1-5
2．教材P4 探究．提出问题： (1)如何利用三角板过一点作已知直线的垂线？ (2)通过画图，你认为过一点作已知直线的垂线，能作几条？
3．教材P5 探究．提出问题： (1)观察图5.19，你能用哪些方法说明线段PO最短？ (2)你从中能得出什么结论？ (3)垂线段和点到直线的距离有哪些区别和联系？
1
1
∴∠FOC＋∠EOC＝＝
2
1 2
∠AOC＋ 2 ∠BOC (∠AOC＋∠BOC)＝
1 2
×180°＝90°
即∠EOF＝90°，
∴OE⊥OF.
练习
1．教材P5 练习第1，2题． 2．教材P6 练习． 3．下列选项中，过点P画AB的垂线，三角尺放法正确的是( C )
练习
4．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝ ∠13 BOC，OC是∠AOD的平分线． (1)求∠COD的度数； (2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由．
__垂__线__段___最短．简单说成：__垂__线__段__最__短__．
3．直线外一点到这条直线的_垂__线__段__的__长____，叫做点到
直线的距离．
度
活动4 例题与练习
例1 (1)如图①，过点P画AB的垂线； (2)如图②，过点P分别画OA，OB的垂线； (3)如图③，过点A画BC的垂线．
又解∵：∠(1A)O∵C∠＋AO∠CB＝OC＝∠1B8O0C°，，例反1过来(1，)如如图果①AB，⊥过C点DP，画那A么B的∠A垂O线C等；于多少度？ (垂2)直你定从义中、能垂得直出公什理么的结理论解？与运用．

5.1.2垂线课件(共29张PPT)

线垂直的是( C )
A.有两个角相等
B.有两对角相等
C.有三个角相等
D.有四对邻补角
随堂检测 4.过点P画出射线AB或线段AB的垂线．
P
A
PB
A
人教版数学七年级下册
B
巩固练习
人教版数学七年级下册
1.已知,如图,AB⊥CD,垂足为O,EF为过点O的一条直线,则∠1
与∠2的关系一定成立的是（ B ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2. 如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD,垂足为O.若 ∠1=54°,则∠2的度数为 ( B ) A.26° B.36° C.44° D.54°
于点O，∠AOD=90°，那么AB⊥CD.
A
符号语言表示：
∵∠AOD=90°
C
O
D
∴AB⊥CD（垂直的定义）
B
探究新知
人教版数学七年级下册
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下图中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗？
探究新知
人教版数学七年级下册
探究 (1)画已知直线l的垂线能画几条? (2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条? (3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?
（6）线段AB是点B到AC的距离.
其中正确的有（ B ）
A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
人教版数学七年级下册
巩固练习
人教版数学七年级下册
3.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠EOC=35°,求
∠AOD的度数.
解:∵AB⊥OE∴ ∠EOB=90° ∵∠EOC=35° ∴∠AOC=35° ∴∠AOD=180°-∠AOC =180°- 35°=145 °

5.1.2-垂线

11 Cm
问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A ,作l的垂线,可以作几条? 能作一条,而且只能作一条. 垂线基本性质在平面内，经过直线上或直线外一点作已知直线的垂线，有且只有一条。简记：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Cm
A l
1放、 2靠、 3画线、
O
孝感市文昌中学学生专用尺
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,过点A作l 的垂线. 则所画直线AB B 是过点A的直线l的垂线.
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 孝感市文昌中学学生专用尺 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
如果两条直线的夹角为直角，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
如图，a、b互相垂直,O 叫垂足.a叫b的垂线，b 也叫a的垂线。 a b O
判定两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。
2.垂直的表示：用符号“⊥” 表示垂直.
两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角。
即两直线夹角 90
若两条直线的夹角为锐角，则称这两条直线互相斜交，其中,转动木条b, b b b 当b的位置变化时,a、b所 b b 成的角α也会发生变化. α α ）当α ≠90°时,a与b斜交. a 当α =90°时,a与b垂直. 两条直线相交斜交垂直两直线的夹角为90度

【课件】5.1.2垂线

11 Cm
3、如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
A
则所画直线AB是过点 A的直线l的垂线.
B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 孝感市文昌中学学生专用尺 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
P
A2 A1 O
B3 B2 B1
L
P
A
B
C
D
m
2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短
垂线段的长度
知识点4
两个与垂直有关的概念
1、垂线段：
连接垂线上一点与垂足乊间的线段，叫做垂线段。
2、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
情境引入
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b, 当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
b b
b
b
b
当α =90°时,a与b垂直.
α
α ）
a 当α ≠90°时,a与b不垂直，叫斜交. 斜交两条直线相交垂直垂直是相交的特殊情况
知识点1 垂线的概念及表示垂直是相交的一种特殊情形。垂线的概念：两条直线相交，当它们的交角有一个是90°时，叫做这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足；垂直用符号“⊥”表示，图中的常用垂直形式 “ ” ∠1=90°，则如图，若 C
直线AB与直线CD垂直，记作
AB⊥CD，垂足为O，直线AB是直线CD的垂线，或直线CD是直线AB的垂线。

5.1.2垂线

5.1.2垂线备课教师：张剑楠课型：新授课授课时间：2.27课时第2课时总课时：第2课学习目标1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．重点1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.难点掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．教学过程问题、预设时间评价活动活动1观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？活动2出示学习目标活动3知识点一：垂直、垂线、垂足的概念取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b，a、b所成的夹角α .学生观看图像，利用课本找到答案教师出示学习目标教师做示范，学生观察教师拨动木架，转动木条的同时观察其夹角的变化.教师提出问题。

学生思考回答。

学生齐读通过动手操作与观察，学生构建相交线的几何模型，转动木条时，两根木条之间的夹角不断变合作探究：探究1(1) 当∠α分别为35°、90°时，其余的角分别是多少？(2) 当∠α为90°的位置关系有几个？此时，木条a和木条b所在的直线有什么样的位置关系？定义总结两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另外一条直线的垂线.记法：AB⊥CD，垂足为O.符号语言：因为∠AOC = 90°，所以AB⊥CD.知识点二：垂线的画法及基本事实探究2(1) 画已知直线l的垂线能画几条?(2) 过直线l上的一点A画l的垂线，这样的垂线能画几条(3) 过直线l外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条(1) 如图，已知直线l，画l的垂线.学生抢答并说明变形依据，明确算理教师关注学生的参与情况学生先观察木条位置关系，经过独立思考和小组讨论，选派代表解答问题(2)，预设：当∠α为90°的位置关系只有一个；学生在教师的引导下共同总结此时两根木条的位置关系——a与b垂直，记作a⊥b.学生独立思考后，学习垂线的画法(把直尺放在直线l的位置，再把直角三角尺的一条直角边靠在直尺上，最后沿着直角三角尺的另一条边画出直线)，作图后回答问题化，两条相交线形成的角也在不断变化；通过观察发现特殊的位置关系，引出垂直的概念学生独立思考解答问题(1)；学生先独立思考，然后请学生代表回答，教师引导学生说出判断的理由，并给予恰当评析，帮助他们形成正确认知在教师的引导下学习垂线的画法追问1 问题：这样画l的垂线可以画几条？预设：无数条.(2) 如图，已知直线l和l上的一点A，过点A 画l的垂线.追问2 问题：这样画l的垂线可以画几条？预设：一条.(3) 如图，已知直线l和l外的一点M，过点M 画l的垂线.活动4在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请转化成数学问题并找出最短的位置.预设1：运用直尺测量发现，线段PO的长度最短.预设2：这样的线段PO只有一条.活动5能说出本节课的收获。

5.1.2垂线 (教学课件)- 初中数学人教版七年级下册

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”表示唯一性.
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
思考：
1.线段AB, AC, AD , AE 谁最短？线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.
2.你能用一句话表示这个结论吗？
A
垂线的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.简单说成：垂线段最短
B
CD
l E
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是( )
A. 存在两个角相等 B.存在邻补角 C. 存在三个角相等 D.有两对邻补角
2.过点P 向线段AB 所在直线作垂线，正确的是（）
二、垂线的符号语言
如右图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂 A 足为O.
符号语言： ①判定：∵∠AOD=90°, ∴AB⊥CD.
反之，若直线AB与CD垂直,垂足为O，那么∠AOD=90°.
C
OD
B
符号语言：②性质：∵ AB⊥CD , ∴ ∠AOD=90° .
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
三、垂线的性质
1、画已知直线l的垂线能画几条?如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
1.放
2.靠
3.画
l
O
无数条
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
2、过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条? 如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.

5.1.2垂线

5.1.2 垂线教学目标1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。

2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。

3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。

教学重点与难点1．教学重点：垂线的定义及性质。

2．教学难点：垂线的画法。

教学方法：合作探究法，归纳法教学工具：课件，教科书教学过程：一. 复习提问：1、叙述邻补角及对顶角的定义。

2、对顶角有怎样的性质。

二．新课：问题1：取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b．（1）当a与b所成锐角α为35º时，其余的角分别为多少？35º, 145º, 145º（2）当a与b所成角α为90 º时，其余角的分别为多少？均为90º（3）在木条b的转动过程中,什么量也随之发生改变？a与b所成的角也随之发生改变（4）木条b与a成90º的位置有几个？此时，木条b与a所在的直线有什么位置关系？a与b垂直（1）垂直概念：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫做这两条直线互相垂直．两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，AB ⊥CD，垂足为Ｏ．记作：AB ⊥CD于点Ｏ．2）符号语言：因为AB ⊥CD，所以∠AOC=90°反之，因为∠AOC=90°，所以AB⊥CD．问题2：（1）两条直线垂直和相交是什么关系？垂直是相交的特殊情况（2）能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有3种：相交，平行，垂直？不能，因为垂直是相交的特殊情况（3）如何判定两条射线垂直？两条线段呢？两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直．（4）你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗？问题3：用三角尺或量角器画已知直线l的垂线．（１）用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？无数条（２）经过一点画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？①经过一点画已知直线l的垂线有几种情况？②通过画图，你发现过一个点可以画几条直线与已知直线垂直？问题4：在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？思考：（1）你能将这个实际问题转化成数学问题吗？（2）在直线上有无数个点，试着取几个点与点P相连，比较一下它们的大小关系．你有什么发现？（3）你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？（4）你能用一句话总结出观察得出的结论吗？垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离．思考：（5）如果图中的比例尺为1:1000000，水渠大概要挖多长？（6）你能列举生活中类似的实例吗？归纳小结1．什么是垂直？垂直和相交有什么关系？我们是如何刻画两直线垂直的位置关系的？2．垂线有哪些性质？布置作业：教科书习题5.1 第3、4、5、6、7题。

5.1.2垂线

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人教版数学七年级下册5.1.2垂线 课件

5.1.2垂线正式版(1)

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人教版七年级数学下册名校课堂课件：5.1.2垂线

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【课件】5.1.2垂线

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5.1.2垂线 (教学课件)- 初中数学人教版七年级下册

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