锥连续锥拟凹多目标规划问题弱有效解集的连通性
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在 圣处 Ｃ一 连 续 等 价 于 ， ｚ 在 圣处 连 续 ． （）
由 定 义 ２１直 接 可 得 如 下 命 题 ： ． 命 题 ２１ 若 ，ｚ ． （）在 圣处 Ｃ一 连 续 ，则 对 于 任 一 点 列 ｛ ｚ ）ＣＸ ｝ 圣， 存 在 子 ｚ 总 列 ｛ ）及 点 列 ｛ ｚ 西）Ｃ Ｃ， ，ｚ ＋ 西 ， 圣． 使 （ ） （） 定 义 ２２ 设 ｎｂ∈Ｒｍ， ｄ∈Ｒ 满 足 ０∈ｄ＋Ｃ ， ． ， 若 ｂ∈ｄ＋ Ｃ ， 称 ｄ为 ｎ ｂ的 Ｃ一 则 ，
连 通 性 以 来 ，已 有 众 多 学 者 对 此 作 了 研 究 ［— １】 在 这 些 众 多 研 究 中 ，大 多 假 定 目标 １ ０． 函 数 ｆｘ （）是 连 续 函 数 ． Ｄ． １ｃ在 文 献 ［ Ｔ． ｕ １ 讨 论 了 目标 函 数 为 锥 连 续 时 的 弱 有 效 解 】中 集 的 连 通 性 问 题 ，其 主 要 结 果 是 ：当 可 行 集 为 闭 凸 集 ， 目标 函 数 ，在 上 锥 连 续
锥拟 凹，且弱 有效 解集 （ ， 为 锥 一紧 时 Ｅ （ ， 连通 （ 见 ［ ，ｈ ｏｅ ）本 ， ） ， ） 参 １ Ｔ ｅ ｒｍ１； ］ 文 则 证 明 当 为 紧 凸 集 ， ，在 上 锥 连 续 锥 拟 凹 时 ， （ ， 是 连 通 的 ．因 而 ，在 ， ） 定 的 意 义 下 ，改 进 了 文 献 ［１ 的 结 果 ． １中
本文 ２ ０ ０ ２年 １月 ３ 日收 到 １
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６ ２
应 用 数学 与 计 算 数学 学报
称 童是 （ Ｐ） 弱 Ｃ一有 效 解 ， 用 ＶＭ 的
（ ｆｃ表 示 所 有 弱 一 有 效 解 构 成 的 集 合 ． ， ） 显 然 ， Ｅ（（ ， ）＝ ｆＥ（ ｆｃ （ （ ， ）＝ ，Ｅ （ ｆ ｃ ， 中 ｆ Ｘ）竺 ， ）Ｃ ［ ｘ，） ］， ， ）Ｃ 【ｗ ， ） ］ 其 （
可 行 集 为 紧 凸 集 ， 目 标 函 数 ，在 上 锥 连 续 锥 拟 凹 时 ，其 弱 有 效 解 集 是 连 通 的 ，在 一
定 的 意 义下 ，改 进 了 文献 ［ 中的 结 果 ． １ ］
关 键 词 ：多 目标 规 划 ，锥 连 续 ， 锥 拟 凹 ， 弱 有 效 解 集 ， 连 通 性 ．
１ ．引
言
多 目标 规 划 的 有 效 解 集 和 弱 有 效 解 集 的 连 通 性 问题 ，是 多 目标 规 划 理 论 研 究 的 重 要 课 题 之 一 ． 自 １７ ９ ８年 Ｎａ ｃ ｃ ｅ在 有 限 维 空 间 中 讨 论 了 多 目标 规 划 问 题 有 效 解 集 的 ｃａ ｈ
维普资讯
２０ ０ ２年 ６月
Ｊｕｎｅ，２０ ０２
应 用 数 学 与 计 算 数 学 学 报
ＣＯ Ｍ Ｍ ．Ｏ Ａ ＰＰＬ． ＡＴＨ ． Ｍ ＡＮ Ｄ ＣＯ Ｍ ＰＵ Ｔ
第 １ ６卷
第 １期
ｖ ０１１ Ｎ ｏ． ．６ １
锥 连 续 锥 拟 凹 多 目标 规 划 问题 弱 有 效 解 集 的 连 通 性
施 斗山
（ 江 财 经 学 院 ，杭 州 ， ３ ０ １ ） 浙 １ ０ ２ 摘
柴 惠 文 Βιβλιοθήκη 王 引 观 （ 兴 学院 ，嘉兴 ， ３ ４ ０ ） 嘉 １ ０ １
要 ：本 文 讨 论 了 锥 连 续 锥 拟 凹 向 量 函 数 的 弱 有 效 解 集 的 连 通 性 问 题 ；证 明 了 当
Ｙ ｃＹ ＜ ０当 且 仅 当 Ｙ ０一Ｙ ｉ ｔ Ｅ ｎ Ｃ．
设 ＹＣＲ 为 非 空 集 合 ， 雪Ｅ】， 不 存 在 ＹＥ ｌ， 得 （ Ｙ 则 称 为 的 Ｃ一 若 使 ， 有 效 点 ，并 用 Ｅ（ Ｃ）表 示 一 有 效 点 构 成 的 集 合 ．若 不 存 在 ＹＥ ｌ， 得 ＜ 使 ， 则 称 雪为 的 弱 一 有 效 点 ，并 用 Ｅ （ ）表 示 所 有 弱 一 有 效 点 构 成 的 集 合 ． 我 们 考 虑 有 限 维 多 目标 规 划 问 题 （ Ｐ） ＶＭ
｛ ∈Ｒ ： ＝ ，ｚ ， ） （）ｚ∈ ． 定 义 ２１ （ 见文 献 ［ ） 奎∈Ｘ ， ． 参 １ 设 】 若对 于 ，奎 （）的每 一个 邻域 ＵＣ ， 存在 圣 Ｒ 总 的 邻 域 ＶＣＲｍ ， 当 ｚ ＶＣ 时 ，都 有 ， ｚ ∈Ｕ —Ｃ ， 称 ， ｚ 在 圣处 Ｃ一 连 续 ．若 使 Ｅ ￣ Ｘ （） 则 （） ，ｚ 在 中 每 一 点 都 是 Ｃ一 连 续 的 ，则 称 ，ｚ 在 上 是 Ｃ一 连 续 的 ． （） （） 附 注 ２１ 若 ，ｚ 在 圣处 连 续 ，则 ，ｚ 必 在 奎处 Ｃ一 连 续 ．若 取 Ｃ ＝ ｛ ）， ，ｚ ． （） （） ０ 则 （）
其 中 Ｘ ，： ｃ Ｒ ，
Ｒ ， ＝（ｌ ， ２ ， ，ｍ（ ）） ， （ ） ， （ ｆ （ … ｆ Ｘ 丁． ） ）
设 亩ＥＸ ， 不 存 在 Ｘ ＥＸ 使 得 ｆ ２ ｃ， ） 则 称 亩是 （ 若 （） （ ， Ｍ Ｐ）的 Ｃ一 有 效 解 ，并 用 Ｅ（ ｆ ｃ表 示 所 有 Ｃ一 有 效 解 构 成 的 集 合 ；若 不 存 在 ＸＥ Ｘ， 得 ｆ ２ Ｘ， ） 使 （）＜ｃ， ） 则 （ ，
一
锥 连 续 与 锥 拟 凹 向 量 函 数
本 文 中 ，若 不 特 别 指 出 ，总 是 用 Ｒ 表 示 ｍ一维 欧 氏空 间 ，用 表 示 Ｒｍ 中 的 一 个 点闭 凸锥，并假 定锥 Ｃ 的内域 ｉｔ ≠ ｎ Ｃ ．由锥 Ｃ 导 出 Ｒ 的 一 个 偏 序 ：对 任 意 两 个 点 ， ， ｃ 。当 且 仅 当 Ｙ 。Ｅ Ｒ Ｙ 一Ｙ ； Ｅ 。当 且 仅 当 。一Ｙ ＼｛ ｝ Ｅ Ｃ ０；
由 定 义 ２１直 接 可 得 如 下 命 题 ： ． 命 题 ２１ 若 ，ｚ ． （）在 圣处 Ｃ一 连 续 ，则 对 于 任 一 点 列 ｛ ｚ ）ＣＸ ｝ 圣， 存 在 子 ｚ 总 列 ｛ ）及 点 列 ｛ ｚ 西）Ｃ Ｃ， ，ｚ ＋ 西 ， 圣． 使 （ ） （） 定 义 ２２ 设 ｎｂ∈Ｒｍ， ｄ∈Ｒ 满 足 ０∈ｄ＋Ｃ ， ． ， 若 ｂ∈ｄ＋ Ｃ ， 称 ｄ为 ｎ ｂ的 Ｃ一 则 ，
连 通 性 以 来 ，已 有 众 多 学 者 对 此 作 了 研 究 ［— １】 在 这 些 众 多 研 究 中 ，大 多 假 定 目标 １ ０． 函 数 ｆｘ （）是 连 续 函 数 ． Ｄ． １ｃ在 文 献 ［ Ｔ． ｕ １ 讨 论 了 目标 函 数 为 锥 连 续 时 的 弱 有 效 解 】中 集 的 连 通 性 问 题 ，其 主 要 结 果 是 ：当 可 行 集 为 闭 凸 集 ， 目标 函 数 ，在 上 锥 连 续
锥拟 凹，且弱 有效 解集 （ ， 为 锥 一紧 时 Ｅ （ ， 连通 （ 见 ［ ，ｈ ｏｅ ）本 ， ） ， ） 参 １ Ｔ ｅ ｒｍ１； ］ 文 则 证 明 当 为 紧 凸 集 ， ，在 上 锥 连 续 锥 拟 凹 时 ， （ ， 是 连 通 的 ．因 而 ，在 ， ） 定 的 意 义 下 ，改 进 了 文 献 ［１ 的 结 果 ． １中
本文 ２ ０ ０ ２年 １月 ３ 日收 到 １
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应 用 数学 与 计 算 数学 学报
称 童是 （ Ｐ） 弱 Ｃ一有 效 解 ， 用 ＶＭ 的
（ ｆｃ表 示 所 有 弱 一 有 效 解 构 成 的 集 合 ． ， ） 显 然 ， Ｅ（（ ， ）＝ ｆＥ（ ｆｃ （ （ ， ）＝ ，Ｅ （ ｆ ｃ ， 中 ｆ Ｘ）竺 ， ）Ｃ ［ ｘ，） ］， ， ）Ｃ 【ｗ ， ） ］ 其 （
可 行 集 为 紧 凸 集 ， 目 标 函 数 ，在 上 锥 连 续 锥 拟 凹 时 ，其 弱 有 效 解 集 是 连 通 的 ，在 一
定 的 意 义下 ，改 进 了 文献 ［ 中的 结 果 ． １ ］
关 键 词 ：多 目标 规 划 ，锥 连 续 ， 锥 拟 凹 ， 弱 有 效 解 集 ， 连 通 性 ．
１ ．引
言
多 目标 规 划 的 有 效 解 集 和 弱 有 效 解 集 的 连 通 性 问题 ，是 多 目标 规 划 理 论 研 究 的 重 要 课 题 之 一 ． 自 １７ ９ ８年 Ｎａ ｃ ｃ ｅ在 有 限 维 空 间 中 讨 论 了 多 目标 规 划 问 题 有 效 解 集 的 ｃａ ｈ
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应 用 数 学 与 计 算 数 学 学 报
ＣＯ Ｍ Ｍ ．Ｏ Ａ ＰＰＬ． ＡＴＨ ． Ｍ ＡＮ Ｄ ＣＯ Ｍ ＰＵ Ｔ
第 １ ６卷
第 １期
ｖ ０１１ Ｎ ｏ． ．６ １
锥 连 续 锥 拟 凹 多 目标 规 划 问题 弱 有 效 解 集 的 连 通 性
施 斗山
（ 江 财 经 学 院 ，杭 州 ， ３ ０ １ ） 浙 １ ０ ２ 摘
柴 惠 文 Βιβλιοθήκη 王 引 观 （ 兴 学院 ，嘉兴 ， ３ ４ ０ ） 嘉 １ ０ １
要 ：本 文 讨 论 了 锥 连 续 锥 拟 凹 向 量 函 数 的 弱 有 效 解 集 的 连 通 性 问 题 ；证 明 了 当
Ｙ ｃＹ ＜ ０当 且 仅 当 Ｙ ０一Ｙ ｉ ｔ Ｅ ｎ Ｃ．
设 ＹＣＲ 为 非 空 集 合 ， 雪Ｅ】， 不 存 在 ＹＥ ｌ， 得 （ Ｙ 则 称 为 的 Ｃ一 若 使 ， 有 效 点 ，并 用 Ｅ（ Ｃ）表 示 一 有 效 点 构 成 的 集 合 ．若 不 存 在 ＹＥ ｌ， 得 ＜ 使 ， 则 称 雪为 的 弱 一 有 效 点 ，并 用 Ｅ （ ）表 示 所 有 弱 一 有 效 点 构 成 的 集 合 ． 我 们 考 虑 有 限 维 多 目标 规 划 问 题 （ Ｐ） ＶＭ
｛ ∈Ｒ ： ＝ ，ｚ ， ） （）ｚ∈ ． 定 义 ２１ （ 见文 献 ［ ） 奎∈Ｘ ， ． 参 １ 设 】 若对 于 ，奎 （）的每 一个 邻域 ＵＣ ， 存在 圣 Ｒ 总 的 邻 域 ＶＣＲｍ ， 当 ｚ ＶＣ 时 ，都 有 ， ｚ ∈Ｕ —Ｃ ， 称 ， ｚ 在 圣处 Ｃ一 连 续 ．若 使 Ｅ ￣ Ｘ （） 则 （） ，ｚ 在 中 每 一 点 都 是 Ｃ一 连 续 的 ，则 称 ，ｚ 在 上 是 Ｃ一 连 续 的 ． （） （） 附 注 ２１ 若 ，ｚ 在 圣处 连 续 ，则 ，ｚ 必 在 奎处 Ｃ一 连 续 ．若 取 Ｃ ＝ ｛ ）， ，ｚ ． （） （） ０ 则 （）
其 中 Ｘ ，： ｃ Ｒ ，
Ｒ ， ＝（ｌ ， ２ ， ，ｍ（ ）） ， （ ） ， （ ｆ （ … ｆ Ｘ 丁． ） ）
设 亩ＥＸ ， 不 存 在 Ｘ ＥＸ 使 得 ｆ ２ ｃ， ） 则 称 亩是 （ 若 （） （ ， Ｍ Ｐ）的 Ｃ一 有 效 解 ，并 用 Ｅ（ ｆ ｃ表 示 所 有 Ｃ一 有 效 解 构 成 的 集 合 ；若 不 存 在 ＸＥ Ｘ， 得 ｆ ２ Ｘ， ） 使 （）＜ｃ， ） 则 （ ，
一
锥 连 续 与 锥 拟 凹 向 量 函 数
本 文 中 ，若 不 特 别 指 出 ，总 是 用 Ｒ 表 示 ｍ一维 欧 氏空 间 ，用 表 示 Ｒｍ 中 的 一 个 点闭 凸锥，并假 定锥 Ｃ 的内域 ｉｔ ≠ ｎ Ｃ ．由锥 Ｃ 导 出 Ｒ 的 一 个 偏 序 ：对 任 意 两 个 点 ， ， ｃ 。当 且 仅 当 Ｙ 。Ｅ Ｒ Ｙ 一Ｙ ； Ｅ 。当 且 仅 当 。一Ｙ ＼｛ ｝ Ｅ Ｃ ０；