线性代数复习提纲(打印版)
线性代数复习提纲
线性代数复习提纲第一章 行列式1、行列式的定义：总项数、每一项构成、符号确定方法(附带:逆序、逆序数、奇排列)。
2、行列式性质：P9—P11六个性质两个推论，按某一行(列)的降阶展开(附带: 余子式、代数余子式)。
3、行列式计算: 一般方法 --化成三角形、降阶展开。
特殊计算：分块三角形--例10）、范德蒙—例12。
4、克拉默法则公式—P22第二章 矩阵及其运算1、概念：矩阵的型(阶)、相等、线性变换。
特殊矩阵：零矩阵、负矩阵、单位矩阵、纯量矩阵、对角矩阵、对称矩阵、逆矩阵、矩阵的行列式、伴随矩阵、奇异矩阵、分块对角矩阵。
2、运算：加法、数乘、转置、矩阵相乘、求伴随矩阵、解矩阵方程。
3、重要定理公式：⑴矩阵乘法：不满足交换律、两个非零矩阵乘积可能为零矩阵、两个对角矩阵的乘积等于以主对角线对应元素乘积为相应元素的对角矩阵。
⑵转置：T T T T T T T T T T A B AB A A B A B A A A ==+=+=)(,)(,)(,)(λλ，O A A O A T =⇔= ⑶方阵的行列式：B A AB A A BA AB A An T ====,,,λλ，A A A A n 111*==--， ⑷伴随矩阵：E A A A AA ==**，*11*)()(--=A A⑸逆矩阵基本公式：*11 0A AA A A =≠⇔-此时有，可逆方阵 ⑹逆矩阵运算公式：T T A A AB AB A A A A )()()(,1)(,)(111111111---------====λλ ⑺二阶方阵逆矩阵公式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-a c b d bc ad d c ba 1)(1 ⑻分块对角矩阵的逆等于每一块分别取逆。
特别的，对角矩阵的逆等于主对角线每个元素取倒数。
⑼一元矩阵多项式)(A f 可以象字母多项式)(x f 那样分解为因式的乘积，并且各因式顺序可以交换。
第三章 矩阵的初等变换1、概念：三种初等行变换（列变换）的定义和相应记号、对应的三种初等矩阵。
线性代数复习提纲
线性代数复习提纲线性代数是数学中的一个基础课程，涵盖了向量空间、线性变换、矩阵理论等内容。
它在计算机科学、物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。
下面是线性代数的复习提纲，帮助你回顾相关的知识点。
一、向量空间1.向量的定义和性质2.向量空间的定义和性质3.子空间的定义和判断条件4.向量的线性相关性与线性无关性5.基和维数的概念二、线性变换1.线性变换的定义和性质2.线性变换的矩阵表示3.线性变换的核与像空间4.线性变换的维数公式5.线性变换的复合与逆变换三、矩阵理论1.矩阵的定义和性质2.矩阵的运算：加法、数乘、乘法3.矩阵的逆与转置运算4.矩阵的秩和行列式5.矩阵的特征值与特征向量四、特殊矩阵和特征值问题1.对称矩阵的性质和对角化2.可逆矩阵与相似矩阵3.正交矩阵与正交对角化4.特征值问题的求解方法五、解线性方程组1.线性方程组的矩阵表示2.高斯消元法与矩阵的初等变换3.初等矩阵的性质与应用4.齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的结构六、向量空间的基变换1.基变换的定义和性质2.过渡矩阵的求解3.变换矩阵的求解与应用4.基变换下的坐标表示和坐标变换公式七、内积空间和正交性1.内积的定义和性质2.内积空间的定义和性质3.正交基和正交投影4.标准正交基和正交矩阵的定义和性质八、二次型与正定性1.二次型的定义和性质2.二次型的矩阵表示和标准化3.正定二次型和半正定二次型的定义和性质4.二次型的规范形和合同变换以上是线性代数的复习提纲，可以通过对每个知识点的回顾、理解和练习来复习线性代数。
在复习过程中，可以结合教材、习题和课堂笔记，通过解题和思考来巩固知识点的掌握。
另外，可以参考相关的教学视频或在线课程来帮助理解和学习线性代数的概念和方法。
最重要的是多做习题，加深对知识点的理解和应用。
线代复习大纲,
第一章n阶行列式
1.逆序数
2.行列式的计算：1）定义，2）按行（列）展开，3）3阶行列式的
计算除了用定义和按行（列）展开外还可以用对角线法则和沙路法则。
4）范德蒙德行列式。
第二章矩阵
1. 矩阵的加减运算，数乘，矩阵和矩阵的乘法运算
2. 矩阵的逆：矩阵A可逆的充分必要条件是A的行列式不为零
矩阵的求逆：1）通过伴随矩阵求逆，
2）利用初等行变换求逆（A E）→（E B）=B。
3）分块矩阵求逆
4）求的行列式
3.矩阵的秩，矩阵的列向量组的极大无关组，其余向量用极大无关
组线性表示。
4. 求矩阵方程。
第三章 n维向量与向量空间
1．线性相关性
2. 线性表示（线性组合）
3. 向量组的极大无关组，其余向量用极大无关组表示
相关定理：定理1,2,3,5,7，8，推论4。
第四章线性方程组
1.齐次方程组解的结构
基础解系所含向量个数：n-r。
n是方程中未知数个数，r是系数矩阵的秩。
方程的通解是基础解系中解向量的线性组合。
2. 非齐次方程组的解
非齐次方程组的通解是非其次的一个特解加上其到出组基础解系的线性组合。
3. 方程组解的相关性质：1）如果是非齐次的解，是其导出组的解，则是非齐次的解。
2）如果和是非齐次的解，则是其导出组的解。
第五章矩阵的特征值和二次型
1）内积的计算。
2）特征值的性质
3）给定矩阵A，求其特征值和特征向量，并判断矩阵A能否对角化，如果可以，求出P，使成为对角矩阵。
线性代数复习提纲
线性代数复习提纲一、总论期末考试即将到来，经过一个学期的学习，同学们系统的学习了行列式、线性方程组、n维向量空间以及矩阵的应用等内容。
为了帮助同学们更好的进行期末复习，特给出复习提纲，供大家复习之用。
二、复习提纲1、第一章行列式在这一章里，我们主要需要掌握行列式的基本性质，简单行列式的求解以及行列式的展开方法。
本章的复习过程中，我们主要需要熟练掌握行列式的性质，并熟练掌握基本行列式的求解方法，包括利用拉普拉斯定理进行行列式的展开求解。
此外，对克莱默法则，我们也应加以一定关注。
2、第二章线性方程组在这一章里，我们需要掌握消元法和分离系数法求解线性方程组以及线性方程组的相关知识。
在复习过程中，我们要熟练掌握分离系数消元法求解线性方程组，尤其要对矩阵的秩的概念加以重点学习；我们需要熟练掌握齐次线性方程组有非零解的条件，并通过大量练习充分掌握齐次线性方程组的非零解判断以及全部解的求解过程。
3、第三章n维向量空间在这一章里，我们需要掌握n维向量空间的基本概念、n维向量空间的线性运算、向量的线性关系以及线性方程组解结构。
在复习过程中，我们一定要熟练掌握n维向量空间的基本概念，这是复习好本章的关键；数量掌握向量由向量组线性表出的判断方法并通过习题充分掌握；熟练掌握向量组线性无关的判别方法和证明方法；此外，对于一般线性方程组解的结构、特解全部解的概念我们要加以重点关注，并通过习题充分掌握。
4、第四章矩阵在这一章里，我们需要掌握矩阵的概念和运算法则、矩阵的转置、分块矩阵的运算以及可逆矩阵及其逆矩阵的概念，并掌握矩阵的等价判别方法。
在复习过程中，我们应熟练掌握矩阵的基本概念和基本运算方法；掌握利用可逆矩阵的基础知识求解矩阵方程；掌握利用分块法进行矩阵计算的方法；此外，对于矩阵的可逆和等价我们也要予以充分关注。
线性代数期末复习提纲
n
n
(A)
a ij Aij 0
(B)
aij Aij 0
i1
j1
n
(C)
aij Aij D
(D)
j1
n
ai1 Ai 2 D
i1
7、设 A, B 均为 n阶可逆矩阵，则下列各式成立的是
（ A） ( AB)T BT AT
(B)
(C) AB BA
(D)
(AB) 1 A 1B 1 AB A B
8、设 A 为 3 阶方阵，且行列式 A 1 ，则 2A
【主要内容】 1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。 2、向量的正交关系及正交向量组的含义。 3、施密特正交化方法。 4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。
（ 1）特征值求法：解特征方程 A E 0 ；
（ 2）特征向量的求法：求方程组 A E X 0 的基础解系。
5、相似矩阵的定义 （ P 1 AP B ）、性质 ( A, B 相似
第四部分 线性方程组 【主要内容】
1、齐次线性方程组 Ax 0 只有零解 系数矩阵 A 的秩 未知量个数 n； 2、齐次线性方程组 Ax 0 有非零解 系数矩阵 A 的秩 未知量个数 n. 3、非齐次线性方程组 Ax b 无解 增广矩阵 B ( A, b) 秩 系数矩阵 A 的秩；
4、非齐次线性方程组 Ax b 有解 增广矩阵 B ( A, b) 秩 系数矩阵 A 的秩
即得二次型的标准形 f
1 y1 2
2 y2 2
n yn2
8、正定二次型的定义及其判定方法 常用判定二次型正定的方法： （ 1）定义法 （ 2）特征值全大于零 （ 3）顺序主子式全大于零
【要求】 1 、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线 性无关向量组为正交向量组。 2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法， 3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。 4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。 5、了解二次型的分类，知道正定二次型等概念及其判定方法。
线性代数复习提纲
一、逆序数：在一个n级排列中，如果有较大的数排在较小的数前面（<），则称与构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总数，称为它的逆序数，记为N(*奇排序：逆序数是奇数；偶排序：逆序数是偶数（一）任意一个排序经过一个对换后奇偶性改变（二）n个数码（n>1）共有n!个排列，其中奇偶排列各占一半二、n阶行列式=（按行顺序取）n级行列式的一般项：（当)为偶数时取正号，奇数取负号）D的一般项：三、转置行列式：将行列式D的行与列互换后得到的行列式，记为或（一）将行列式转置，行列式的值不变，即（二）交换行列式的两行（列），行列式的值变号，即（三）如果行列式中有两行（列）对应的元素相同，此行列式的值为零四、用数k乘行列式的某一行（列），等于以数k乘此行列式，即：（一）如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式外面（二）如果行列式有两行（列）元素成比例，则行列式的值等于零五、如果将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同，即：六、将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变七、余子式：在n阶行列式D=中去掉元素所在的第i行和第j列后，余下的n-1阶行列式被称为D中元素的余子式，记为，即：代数余子式：（一）n阶行列式D=等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即：或（二）n阶行列式D=的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于零，即：或（i≠s；j≠t）八、范德蒙行列式：九、克莱姆法则：线性方程组当其系数行列式D≠0时，有且仅有唯一解其中是将系数行列式中第j列元素对应地换为方程组的常数项后得到的行列式（一）如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则它仅有零解（二）如果齐次线性方程组的系数行列式D=0，则方程组有非零解十、零矩阵：所有元素均为0的矩阵（行数与列数不都相同的两个零矩阵是不同的零矩阵）非负矩阵：所有元素均为非负数的矩阵十一、以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数k与矩阵A的积，记作k A，如果A=，那么k A=十二、负矩阵：-A=十三、矩阵运算律：（一）（二）（三）（四）（五）（六）（七）（八）十四、矩阵的乘法：如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则A与B的乘积C中第i行第j列的元素，等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j对应元素乘积的和，并且矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数，即：（一）矩阵乘法一般不满足交换律（二）两个非零矩阵相乘，结果可能是零矩阵（三）矩阵乘法不满足消去律（四）矩阵乘法性质：1、2、3、4、十五、矩阵可交换：如果两矩阵A和B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换十六、有线性方程组，系数矩阵元未知量矩阵系数矩阵十七、转置矩阵：将m*n矩阵A的行与列互换，得到的m*n矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为或（一）（二）（三）（四）十八、n阶矩阵/n阶方阵：矩阵的m=n十九、方阵的幂：个（一）（二）（三）当AB可交换时，二十、方阵的行列式：由n阶矩阵（方阵）A的所有元素按原来次序构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记作，或（det A）（一）（二）（三）（四）二十一、特殊矩阵（一）对角矩阵：若AB为同阶对角矩阵，则kA,A+B,AB仍为同阶对角矩阵；（二）数量矩阵：数量矩阵左乘或右乘一个矩阵B，其乘积等于以数a乘矩阵B（三）单位矩阵：（四）三角形矩阵（五）对称矩阵：n阶矩阵满足1、2、数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵3、当且仅当A与B可交换时，AB是对称的二十二、分块矩阵（一），（二）二十三、逆矩阵：对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I，那么矩阵A称为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，逆矩阵是唯一的，把唯一的逆矩阵记作（一）n阶矩阵可逆的充分必要条件是A非奇异，且当A可逆时，有（二）证明A可逆或证明B是A的逆矩阵，只要验证AB=I（三）逆矩阵的性质：1、若矩阵A可逆，则也可逆，且2、若矩阵A可逆，数k≠0，则kA也可逆，且3、两个同阶可逆矩阵A,B的乘积是可逆矩阵，且4、若矩阵A可逆，则A的转置矩阵5、若矩阵A可逆，则（四）（五）若AB=C，且A为非奇异，则B= C二十四、非奇异：若n阶矩阵A的行列式，则称A为非奇异的二十五、伴随矩阵：由行列式的元素的代数余子式所构成的矩阵二十六、矩阵的初等变换：（一）1、交换矩阵的两行（列）2、以一个非零的数k乘矩阵的某一行（列）3、把矩阵的某一行（列）的l倍加于另一行（列）上（二）初等矩阵：对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵（三）设，对A的行施以一次某种初等变换得到的矩阵，等于用同种的m 阶初等矩阵左乘A，对A的列施以一次某种初等变换得到的矩阵，等于用同种的n阶初等矩阵右乘A（四）任意一个矩阵经过若干次初等变换后均可以化为下面形式的矩阵：矩阵D称为矩阵A的等价标准形（五）如果矩阵A经过有限次初等变换可化为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价（六）如果A为n阶可逆矩阵，则（七）n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积二十七、k阶子式：从A中任取k行k列，位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式二十八、矩阵的秩：如果A中不为零的子式的最高阶数为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作r(A)=r（一）满秩矩阵：r(A)=n（二）矩阵经初等变换后，其秩不变（三）二十九、增广矩阵：系数矩阵A和常数项矩阵构成的矩阵线性方程组有解的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是→当m<n，齐次线性方程组有非零解三十、向量（一）（二）（三）（四）（五）（六）k(（七）（八）三十一、向量组的线性组合线性方程组可以表示为，即常数列向量与系数列向量的线性关系，被称为方程组的向量表示，其中，于是，线性方程组是否有解，就相当于是否成立（一）如果成立，则称向量是向量组的线性组合，或称向量可以由向量组线性表示（二）向量可由向量组线性表示的充分必要条件是：以为列向量的矩阵与以为列向量的矩阵有相同的秩（三）如果组A：中每一向量都可由组B：线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示1、向量组A可由向量组B线性表示，向量组B又可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性表示2、如果向量组A和向量组B可以相互线性表示，则称向量组A和向量组B等价（四）如果线性相关，而线性无关，则向量可由向量组线性表示且表示法唯一三十二、线性相关性：齐次线性方程组可以写成零向量与系数列向量的如下线性关系式：，被称为齐次线性方程组的向量形式。
线代复习提纲
线代复习提纲第一章行列式1、会计算排列的逆序数；2、理解行列式的定义，能用定义计算一些特殊的行列式；3、掌握行列式的性质，能熟练地利用行列式的性质计算行列式；4、掌握行列式的按行（列）展开定理，能熟练地利用展开定理计算行列式；5、了解克莱姆法则，会利用克莱姆法则解线性方程组。
第二章矩阵及其运算1、理解矩阵的概念，单位、对角、对称矩阵2、掌握矩阵的运算；注意矩阵乘法的不可交换性、3、理解矩阵的转置，幂、方阵的行列式；4、理解逆矩阵的概念，求逆矩阵的公式，了解矩阵分块的概念及其运算关系。
6、会利用矩阵的初等变换求逆矩阵；7、会解矩阵方程；8、理解矩阵的秩的概念，并会用矩阵的初等变换求矩阵的秩。
第三章向量的线性相关性1、理解向量的线性组合与线性表示的概念；2、理解两个n维向量组等价的充要条件；3、会判断给定向量组是线性相关还是线性无关；4、理解n维向量组的极大无关组及向量组的秩的概念，掌握求向量组的极大无关组及向量组的秩的方法。
并能用极大无关组表示向量组的其余向量；5、掌握一个矩阵的秩与它的行向量组的秩和列向量组的秩的关系；6、了解n维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念第4章线性方程组1、理解线性方程组有解的条件，会判断线性方程组何时无解、有唯一解、有无穷多解；2、掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解基础解系的概念和基本性质，能熟练地求基础解系及通解；3、能熟练地求通解。
第5章相似矩阵1、了解向量的内积、长度、夹角的概念和性质，了解正交向量组的性质；2、了解标准正交基的概念和性质；3、掌握施密特正交化方法；4、了解正交矩阵、正交变换的概念和简单性质；5、理解矩阵的特征值与特征向量的概念和性质，会求矩阵的特征值与特征向量；6、了解相似矩阵的概念和性质，理解n阶矩阵相似于对角矩阵的充要条件，掌握将n阶矩阵化为对角阵的方法，掌握用正交矩阵化实对称矩阵为对角阵的方法第6章二次型1、理解二次型及二次型的秩的概念，了解二次型的标准形概念；2、掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，；3、了解惯性定理，了解正定二次型；4、了解实二次型及对应矩阵为正定的判别法。
线性代数复习提纲
1.1二阶、三阶行列式了解二阶、三阶行列式的概念;熟练掌握其计算方法..1.2排列了解排列、正逆序数、奇偶排列、对换的概念;熟练掌握逆序数的计算方法、3个定理1.3n阶行列式了解n阶行列式的定义和由二阶、三阶行列式展开式的特点导出的一般规律；;掌握用定义计算特殊n阶行列式的方法;熟记三角形行列式的计算结果..1.4行列式的性质熟练掌握行列式的运算性质;并应用它们进行行列式的运算..转置行列式的概念；行列式的5个性质和两个推论1.5行列式按行列展开掌握余子式和代数余子式的概念;熟练掌握行列式按行列展开的方法..三阶行列式按行列展开式；余子式和代数余子式的概念；行列式按行列展开定理;范德蒙行列式1.6克拉默法则掌握线性方程组解的克拉默运算法则;掌握用克拉默法则判断齐次线性方程组仅有零解和有非零解的方法..1.7数域掌握数域的定义..2.1消元法了解线性方程组的消元解法;熟练掌握矩阵的初等变换方法;熟练掌握用矩阵的初等变换法解线性方程组以及判断方程组无解、有解唯一解、无穷多解的方法..2.2n维向量空间了解向量的定义;掌握向量的运算;熟悉线性方程组的向量表达形式..向量的有关概念；向量的运算法则；n维向量空间的概念；线性方程组的向量表达形式2.3向量间的线性关系掌握向量的线性组合概念;熟练掌握一个向量可由其它向量线性表示的方法;熟练掌握向量组线性相关和线性无关的概念、理论和方法..向量的线性组合概念；判断一个向量可由其它向量线性表示的方法；向量组线性相关和线性无关的概念；判断向量组线性相关和线性无关的方法；判断向量组线性相关和线性无关的一些结论；5个定理2.4向量组的秩了解向量组极大无关组的概念;掌握等价向量组的概念和性质;掌握向量组秩的概念与相关结论..2.5矩阵的秩了解矩阵的秩的概念;熟练掌握求向量组极大无关组的方法;熟练掌握求向量组秩和矩阵秩的方法..矩阵的行秩与列秩的概念；矩阵子式的概念；矩阵秩的概念；求向量组极大无关组、向量组秩、矩阵秩的方法；2.6线性方程组解的判定掌握非齐次线性方程组有无解、有唯一解、无穷多解的判定方法;熟练掌握齐次线性方程组有非零解解、只有零解判定方法..非齐次线性方程组有无解判定方法定理1；非齐次线性方程组有唯一解、无穷多解的判定方法定理2；齐次线性方程组有非零解解、只有零解判定方法推论1、22.7线性方程组解的结构熟练掌握基础解系的概念;熟练掌握用基础解系表示方程组解的方法..齐次线性方程组解的两个性质；齐次线性方程组基础解系的概念;特别强调基础解系中含解向量个数与未知量个数和系数矩阵秩间的关系；齐次线性方程组解的基础解系表示法；非齐次线性方程组与齐次线性方程组解间的关系；非齐次线性方程组解的基础解系表示法；3.1-3.2矩阵的概念与运算了解矩阵的概念;熟练掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、乘法、转置、行列式的运算法则和相应的性质..矩阵的定义以及几种特殊矩阵；矩阵的加法法则和对应的性质；数与矩阵的乘法法则和对应的性质；矩阵的乘法法则和对应的性质；矩阵的转置概念和对应的性质；矩阵行列式概念和对应的性质3.3可逆矩阵理解可逆矩阵的概念;了解伴随矩阵的概念;熟练掌握用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵的方法..3.4矩阵的分块了解分块矩阵的概念以及矩阵分块的原则;熟练掌握分块矩阵的运算法则..3.5初等矩阵理解三种初等矩阵的概念;掌握初等矩阵在矩阵乘法运算中的作用;熟练掌握利用初等变换求可逆矩阵的方法..三种初等矩阵的概念和它们在矩阵乘法运算中的作用；任意矩阵经过有限次初等变换化成的标准型；可逆矩阵与初等矩阵间的关系定理；利用初等变换求可逆矩阵的方法3.6常见的特殊矩阵了解对角矩阵、准对角矩阵、三角形矩阵、对称矩阵、反对称矩阵的概念和运算性质..4.1向量空间了解向量空间的概念和性质;了解向量空间基以及向量在基下坐标的概念..4.2向量的内积了解内积的概念;掌握内积的性质;熟练掌握n维向量空间两向量内积的坐标表示法;会求向量长度和向量单位化;了解正交向量组的概念;理解标准正交基的概念;熟练掌握向量组的施密特正交化过程..向量内积的概念和性质；n维向量空间两向量内积的坐标表示法；单位向量的概念和向量单位化；正交向量组的概念；正交基、标准正交基的概念；向量组的施密特正交化过程4.3正交矩阵了解正交矩阵的概念;熟练掌握其性质..5.1矩阵的特征值与特征向量了解矩阵特征值与特征向量的概念;熟练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法;熟练掌握特征值与特征向量的性质；了解矩阵迹的概念与性质..矩阵特征值与特征向量的概念；求矩阵特征值与特征向量的方法；矩阵特征值与特征向量的性质；矩阵迹的概念与性质；5.2相似矩阵和矩阵对角化的条件了解相似矩阵的概念;掌握相似矩阵的性质;熟练掌握矩阵对角化的条件和对角化的方法.. 5.3实对称矩阵的对角化了解实对称矩阵特征值与特征向量的性质;熟练掌握实对称矩阵对角化的方法..。
线性代数复习提纲
第一章 矩阵1 矩阵的概念特殊矩阵：行矩阵、列矩阵、对角矩阵、上三角阵、下三角矩阵、单位矩阵、对称矩阵、反对称矩阵。
2 矩阵的运算：（1）矩阵的线性运算及其运算规律－矩阵的加法（减法）和数乘。
（2）矩阵的乘法：能够进行乘法运算必须具备的条件，运算方法，左乘与右乘的区别。
乘法的运算规律（应用较为普遍的是矩阵乘法满足结合律） （3）矩阵的转置：(AB)T =B T A T（4）矩阵的逆：AB=BA=I →A -1=B 矩阵的逆唯一 运算规律： (A -1) -1= A ；(λA) -1= λ-1A -1；(AB) -1=B -1A -1；(A T ) -1=(A -1) T 矩阵逆的计算方法：待定系数法、初等变换法、伴随矩阵法。
3 分块矩阵及其运算第二章 线性方程组与矩阵初等变换 1 线性方程组与矩阵的一一对应关系2 高斯消元法：线性方程组的三种变换→阶梯形方程组。
3 利用矩阵初等变换解线性方程组：三种初等变换→行阶梯形矩阵→行最简形矩阵4 非齐次线性方程组解的三种情形的讨论⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++0000000000000000000011,221,2222111,111211r r rn r r rr nr r nr r d d c c c d c c c c d c c c c c（1）无解（2）唯一解（3）无数解 5矩阵等价的概念 6 初等矩阵的概念7 初等矩阵与矩阵初等变换的关系8 逆矩阵定理：设A 是n 阶矩阵，那么下列各命题等价： （1）A 是可逆矩阵；（2）齐次线性方程组Ax ＝0只有零解； （3）A 可以经过有限次初等行变换化为In ； （4）A 可表示为有限个初等矩阵的乘积。
9 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 A 可以经过一系列初等行变换化为I ； I 经过这同一系列初等行变换化为A -1P s …P 2P 1 (A | I n )=(I n |A -1)第三章 行列式1 n 阶行列式的定义（1）全排列及其奇偶性：逆序数的概念，对换，相邻对换。
线性代数复习提纲
线性代数复习第一章 行列式一、概念1、n 级排列：由自然数1、2、3、4、…、n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列，简称为排列.2、逆序：对n 级排列12i k n j j j j j """,若i k j j >,则称i j 与k j 构成一个逆序，记为i k j j 。
3、逆序数: 一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆序数。
4、奇排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列 偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列5、对换：在一个n 级排列12i k n j j j j j """中，若仅将其中两个数,i k j j 对调,其余不动，可得一个新的排列12k i n j j j j j """,对排列所施行的这样一次对调称为一个对换。
记为：(,)i k j j6、n 阶行列式：()()121212111212122212121n n nn j j j nj j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=−∑""""""""""7、余子式和代数余子式：对n 阶行列式111111111111111111111111111111j j j n i i j i j i j i n i ij ij ij in n i i j i j i j i n n nj nj nj nna a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a −+−−−−−+−−+++−++++−+=""""""""""""""""""""""""，元素ij a 的余子式：111111111111111111111111j j n i i j i j i n ij i i j i j i n n nj nj nna a a a a a a a M a a a a a a a a −+−−−−+−++−+++−+=""""""""""""""""""""。
线性代数复习提纲
线性代数复习提纲1．什么叫排列的逆序数？什么叫奇排列？什么叫偶排列？2．行列式的定义3．行列式的性质4．行列式按行（列）展开5．计算行列式的思想6．克拉默法则7．对矩阵定义了哪些运算、每种运算都有哪些运算法则？8．什么叫矩阵可逆？可逆矩阵有哪些运算性质？你有哪些方法判别一个矩阵是否可逆？如何求逆矩阵？9．什么叫初等行变换、什么叫初等列变换？什么叫初等矩阵？如何用初等矩阵表示初等变换？10．什么叫矩阵的K 阶子式？什么叫矩阵的秩？矩阵的秩有哪些性质？你有哪些方法可以计算矩阵的秩？为什么可以用初等行变换把矩阵化成行阶梯形来计算矩阵的秩？11．你有哪些方法可以判别一个齐次线性方程组0=Ax 是否有非零解？12．你有哪些方法可以判别一个非齐次线性方程组b Ax =是否有解？有唯一解、有无穷多解？13．什么叫向量组m ααα,,,21 的线性组合？14．什么叫向量β能由向量组m ααα,,,21 线性表示？你有哪些方法判别向量β能否由向量组m ααα,,,21 线性表示？15．什么叫两个向量组等价？你有哪些方法判别两个向量组是否等价？16．什么叫向量组m ααα,,,21 线性相关？你有哪些方法判别向量组m ααα,,,21 是否线性相关？17．什么叫向量组m ααα,,,21 线性无关？你有哪些方法判别向量组m ααα,,,21 是否线性无关？18．什么叫向量组的极大无关组？你有哪些方法判别一个向量组的线性无关部分组是否为该向量组的极大无关组？19．什么叫向量组的秩？如何求一个向量组的秩？如何求向量组的一个极大无关组？如何把不在极大无关组中的向量用极大无关组线性表示？20．齐次线性方程组0=Ax 的解有哪些性质？21．什么叫齐次线性方程组0=Ax 的基础解系？齐次线性方程组0=Ax 的基础解系包含的向量个数与系数矩阵的秩有什么关系？如何求出齐次线性方程组0=Ax 的基础解系及通解？22．非齐次线性方程组b Ax =的解有哪些性质？23．非齐次线性方程组b Ax =的解与其对应的齐次线性方程组0=Ax 的解有什么关系？24．什么叫向量的内积？向量的内积有哪些运算性质？25．什么叫正交向量组？如何把一组线性无关的向量组化为正交向量组？26．什么叫正交矩阵？正交矩阵有哪些性质？27．什么叫矩阵的特征值？什么叫矩阵的特征向量？矩阵的特征值与特征向量有哪些性质？28．如何求矩阵的特征值及特征向量？29．什么叫两个矩阵相似？相似矩阵有哪些性质？30．矩阵与对角矩阵相似的条件是什么（或者说，什么样的矩阵能相似对角化）？如何将一个矩阵相似对角化？31．实对称矩阵有什么重要的性质？如何将一个实对称矩阵对角化？32．什么叫二次型？二次型的矩阵有什么特点？什么叫二次型的秩？33．什么叫二次型的标准形？如何将一个二次型化为标准形（有哪几种方法）？34．什么叫矩阵合同？35．什么叫二次型的规范形？什么叫正惯性指数？什么叫负惯性指数？36．什么叫正定二次型？什么叫正定矩阵？如何判别一个矩阵是否为正定矩阵？着重申明：以下题目仅供复习自测参考，绝无任何暗示意义判断正误：1．逆序数为奇数的排列称为奇排列。
线性代数考试复习提纲、知识点、例题
线性代数考试复习提纲、知识点、例题一、行列式的计算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】2、行列式按行（列）展开定理降阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数xx 乘积之和，即1122...i i i i ni ni D a A a A a A =+++ 1,2,...,i n = 例1、计算行列式二、解矩阵方程矩阵方程的标准形式：若系数矩阵可逆，则切记不能写成或求逆矩阵的方法：1、待定系数法2、伴随矩阵法其中叫做的伴随矩阵，它是的每一行的元素的代数xx 排在相同序数的列上的矩阵。
112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3、初等变换法例2、解矩阵方程例3、解矩阵方程 ，其中三、解齐次或非齐次线性方程组设，元齐次线性方程组有非零解元齐次线性方程组只有零解。
当时，元齐次线性方程组只有零解。
当时，元齐次线性方程组有非零解。
当时，齐次线性方程组一定有非零解。
定义：设齐次线性方程组的解满足：（1） 线性无关，（2）的每一个解都可以由线性表示。
则叫做的基础解系。
定理1、设，齐次线性方程组，若，则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于。
齐次线性方程组的通解设，元非齐次线性方程组有解。
唯一解。
无数解。
无解。
非齐次线性方程组的通解，例4、求齐次线性方程组的通解例5、求非齐次线性方程组的通解。
四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论例6、当为何值时，齐次线性方程组有非零解，并求解。
例7、已知线性方程组，问当为何值时，它有唯一解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。
五、向量组的线性相关性线性相关中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。
1线性代数复习提纲
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
4．逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件：①|A|≠0；②r(A)=n; ③A->I;（4）逆的求解伴随矩阵法A^-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵~)②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A^-1）5．用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A^-1）B；XB=A，则X=B(A^-1)；AXB=C，则X=(A^-1)C(B^-1)二、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
线性代数期末复习提纲
★ 线性代数基本内容、方法及要求第一部分 行列式【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式：（1）T A A =； （2）AA 11=-； （3）A k kA n =； （4）1*-=n A A ； （5）B A AB =； （6）B A BA B A ==0**0； （7）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a ni ij ij ，，01 ； （8）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a n j ij ij ，，01（其中B A ,为n 阶方阵，k 为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。
2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。
3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。
4、会计算简单的n 阶行列式。
5、知道并会用克莱姆法则。
第二部分 矩阵【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。
2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。
4、n 阶矩阵A 可逆⇔0≠A ⇔A 为非奇异(非退化)的矩阵。
⇔n A R =)(⇔A 为满秩矩阵。
⇔0=AX 只有零解⇔b AX =有唯一解⇔A 的行（列）向量组线性无关 ⇔A 的特征值全不为零。
⇔A 可以经过初等变换化为单位矩阵。
⇔A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。
6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。
7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。
【要求】1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。
线性代数复习提纲
线性代数复习提纲第一章行列式本章重点是行列式的计算，对于n阶行列式的定义只需了解其大概的意思。
要注重学会利用行列式的各条性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算，对于计算行列式的技巧毋需作过多的探索。
1、行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等，即D = D T。
（2）互换行列式的两行（列），行列式变号。
（3）行列式中如有两行（列）相同或成比例，则此行列式为零。
（4）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；换句话说，若行列式的某一行（列）的各元素有公因子k，则k可提到行列式记号之外。
（5）把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数k，然后加到另一行（列）上，行列式的值不变。
（6）若行列式的某一行（列）的各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和2、行列式的按行（按列）展开（1）代数余子式：把n 阶行列式中i , j 元a .j 所在的 第i 行和第j 列划掉后所剩的n -1阶行列式称为i , j _i + j元3ij 的余子式，记作M ij ;记Aj 二-1 M ij ，则称 Aj 为i , j 元a ij 的代数余子式。
（2）按行（列）展开定理：n 阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与 对应于它们的代数余子式的乘积之和 ，即可按第i 行 展开：D = a i i Ai a i 2A 2 …a^A n , （1 = 1,2,...,n ） 也可按第j 列展开：…a nj A nj , （j = 1,2,..., n ）（3）行列式中任意一行（列）的各元素与另一行的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 a i 1 A j 1 a i 2 A j 2…a in A jn = 0, （i = j ）； 或 a 1i A 1 j a 2i A 2 j …a ni A , （i = j ）D3、 克拉默法则：X 厂一L , （i = 1,2,..., n ），其中D j 是D把D 中第i 列元素用方程右端项替代后所得到的行列 式。
《线性代数》复习提纲
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A||B|；④|kA|=n k|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
4．逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝E，称A 可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)1-=(B1-)*(A1-)，(A T)1-=(A1-)T；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件：①|A|≠0；②r(A)=n; ③A等价于E;（4）逆的求解伴随矩阵法A1-=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵~)②初等变换法（A:E）⇒(施行初等变换)（E:A1-）5．用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A1-）B；XB=A，则X=B(A1-)；AXB=C，则X=(A1-)C(B1-)二、行列式1．行列式的定义用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
线性代数复习提纲(一天就过)
《线性代数》复习提纲第一部分:基本要求(计算方面)四阶行列式的计算;N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算); 求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;含参数的线性方程组解的情况的讨论;齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解);讨论一个向量能否用和向量组线性表示;讨论或证明向量组的相关性;求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;将无关组正交化、单位化;求方阵的特征值和特征向量;讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵; 通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分:基本知识一、行列式1.行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半;2.行列式的计算一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则;N阶(n>=3)行列式的计算:降阶法定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(2)行列式值为0的几种情况:Ⅰ行列式某行(列)元素全为0;Ⅱ行列式某行(列)的对应元素相同;Ⅲ行列式某行(列)的元素对应成比例;Ⅳ奇数阶的反对称行列式。
二.矩阵1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等);2.矩阵的运算(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论:①矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵);②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|;④|kA|=k^n|A|3.矩阵的秩(1)定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2)秩的求法一般不用定义求,而用下面结论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。
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5．极大无关组与向量组的秩
（1）极大无关组与向量组的秩的定义； （2）求法：设 A＝( 1 , 2 , , n )，将 A 化为阶梯阵，则 A 的秩即为向量组的 秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。
四、线性方程组
1．线性方程组解的判定 定理： R ( A, b) R ( A) n
x11 x2 2 xn n
4．向量组的线性相关性 （1）定义 （2）判别方法： ① R( 1 , 2 , , n )<n，线性相关； R( 1 , 2 , , n )=n，线性无关。 ②对 n 个 n 维向量，可用行列式判别：
a11 a21 an1 a12 a1n a22 a2 n 0 ，线性相关（ 0 无关） an 2 ann
A
初等变换法
( A E ) ( E A1 )
5．用逆矩阵求解矩阵方程：
AX B X A1 B ， XA B X BA1
AXB C X A1CB 1
初等行变换
三、向量组的线性相关性
1．n 维向量的定义
注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵） 。 2．向量的运算： （1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同） ； （2）向量内积 （3）向量长度
第二部分：基本知识
一、行列式 1．行列式的定义与性质 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有 n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 二、三阶行列式的对角线法则；n 阶（n 3）行列式的计算：降阶法，按一行 列展开定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代 数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列） ，保留一个非零元素，其余元素化为 0， 利用定理展开降阶。 特殊情况： （1）三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为 0 的几种情况： （10）行列式某行（列）元素全为 0； （20）行列式某行（列）的对应元素相同； （30）行列式某行（列）的元素对应成比例；
X c1 1 c 2 2 c n r n r
。
（3）求解的方法和步骤： ①将系数矩阵通过行初等变换化为阶梯阵； ②写出对应的同解方程组； ③选择自由未知量，移项利用自由未知量表示其余未知量； ④对自由未知量赋值求出基础解系； ⑤写出通解。 3．非齐次线性方程组： （1）有解、无解、有唯一解和无穷多解的条件。 （2）非齐次和齐次线性方程组解的关系。 （3）通解的结构：
《线性代数》复习提纲
第一部分：基本题型
1. 行列式的计算（3,4，n 阶） ； 2. 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算） ； 3．求矩阵的秩、逆（两种方法） ；解矩阵方程； 4. 求矩阵的行列式； 5. 讨论一个向量能否用一向量组线性表示； 6. 讨论或证明向量组的线性相关性； 7. 求向量组的极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示； 8. 齐次、 非齐次线性方程组的求解 （包括唯一、 无穷多解、 基础解系、 通解） ； 含参数的线性方程组解的讨论并求解； 9. 将线性无关组正交化、单位化； 10. 求方阵的特征值和特征向量； 11. 讨论一般方阵能否对角化，如能，写出相似变换的矩阵及对角阵； 12. 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 13. 写出二次型的矩阵，将二次型标准（规范）化，并写出变换矩阵。 14. 判定二次型或对称矩阵的正定性。 15. 矩阵的相等、等价、相似与合同以及相关的性质与结论。
若 R(A)=R(B)，则 可以用向量组 1 , 2 , , n 线性表示； 若 R(A)
R(B)，则 不能用向量组 , ,, 线性表示。
1 2 n
（3）求线性表示表达式的方法： 将矩阵 B 施行初等行变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系 数。或解非齐次线性方程组
（40）奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵
1．矩阵的基本概念（特殊：单位矩阵、数量、对角、对称矩阵与初等矩阵 等） ； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、性质； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律； ②矩阵乘法一般不满足消去律、 AB 0 可能 A 0, B 0 ； ③若 A、B 为同阶方阵，则 AB A B ， kA k n A 3．矩阵的秩 （1）定义:行秩、列秩；非零子式的最大阶数； （2）秩的求法:按定义；或根据矩阵的初等变换不改变矩阵的秩而利用初等 变换将矩阵化为阶梯阵（阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数） 。 4．逆矩阵 （1）定义 （2）性质： ( AB)1 B 1 A1 ,( AT ) 1 ( A1 )T （3）可逆的条件： （10） A 0 ； （20）R(A)=n;（30） A E （40）A 可以写成若干个初等矩阵的乘积； （4）逆的求法： 伴随矩阵法 A1 1 A* ；
Rห้องสมุดไป่ตู้ A, b) R( A) n R( A, b) R ( A)
无解 唯一解 无穷多个解
特别地：对齐次线性方程组 AX O ，
r ( A) n，只有零解 r ( A) n，有非零解
；
2．齐次线性方程组 （1）解的情况： R(A)=n， （或系数行列式 D 0 ）只有零解； R(A)<n， （或系数行列式 D＝0）有无穷多组非零解。 （2）解的性质与通解结构：
六、矩阵的相似
1．定义及其性质。 2．求 A 与对角矩阵∧相似的方法与步骤（求 P 和∧） ： （1）求出所有特征值； （2）求出所有特征向量； 若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同， 则 A 可对角化 （否则不能对 角化） ； （3）将这 n 个线性无关特征向量作为列向量组成矩阵即为相似变换的矩阵 P， 依次将对应特征值构成对角阵即为∧。 3．求正交变换 Q 将实对称矩阵 A 化为（与之合同的）对角阵： 方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位 化。
X u c1 1 c 2 2 c n r n r
。
（4）无穷多组解的求解方法和步骤： 齐次线性方程组的基础解系与齐次线 性方程组的任一特解。 （5）唯一解的求法：
克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法） 。
五、矩阵的特征值和特征向量
1．定义及其性质； 2．特征值和特征向量的求法： 求出特征方程 A E 0 的根即为特征值，将特征值 代入对应齐次线性方 程组 ( A E ) x 0 ，求出方程组的所有非零解即为特征向量。 3．重要结论： （1）A 可逆的充要条件是 A 的特征值不等于 0； （2）A 与 A 的转置矩阵有相同的特征值； （3）A 与其逆矩阵、伴随矩阵和矩阵多项式的特征值的关系； （4）A 的特征值与其主对角线上元素及行列式的关系。 （5）不同特征值对应的特征向量线性无关。
[ , ] T a1b1 a2b2 anbn
T a12 a2 2 an 2
（4）向量的单位化
1
；
（5）线性无关向量组的正交化（施密特方法） 3．线性组合 （1）定义； （2）判别方法：将向量组合成矩阵，记
A＝( 1 , 2 , , n )，B=( 1 , 2 , , n , )
七、二次型
1．二次型及其矩阵。 2．正交变换法将二次型标准化。