高考数学总复习 第四篇 三角函数、解三角形《第17讲 弧度制与任意角的三角函数》理(含解析) 苏教版

2013高考总复习江苏专用（理科）：第四篇 三角函数、解三角形《第17讲 弧度制与任意角的三角函数》（基础达标演练+综合创新备选，

含解析）

A 级 基础达标演练

(时间：45分钟 满分：80分)

一、填空题(每小题5分，共35分)

1．若－π

2

＜α＜0，则点P (cos α，sin α)位于第________象限．

解析 由－π

2＜α＜0，得cos α＞0且sin α＜0，所以点P (cos α，sin α)位于第四象

限． 答案 四

2．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y

x

的值为________． 解析 y x

＝tan 300°＝－tan 60°＝－ 3. 答案 － 3

3．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π

4，cos 3π4落在角α的终边上，且α∈[0,2π)，则α的值为________．

解析 点P 的坐标可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2

2

，－22，位于第四象限，且tan α＝－1，α∈[0,2π)，所

以α＝7π

4.

答案

7π4

4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2

＝1逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标

为________．

解析 点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π

3，sin 2π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.

答案 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1

2，32

5．(2010·苏中联考)若α角与8π5角终边相同，则在[0,2π]内终边与α

4角终边相同的角是

________．

解析 由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )．又α

4∈[0,2π]，所以k

＝0,1,2,3，α4＝2π5，9π10，7π5，19π

10.

答案

2π5，9π10，7π5，19π10

6．已知一扇形的中心角α＝60°，所在圆的半径R ＝10 cm ，则扇形的弧长为________cm ，面积为________cm 2

.

解析 α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，l ＝10π3(cm)，S 扇＝12×10π3×10＝50π3(cm 2

)．

答案

10π3 50π

3

7．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是________． 解析 点P 在第一象限，其纵坐标y ＝tan α＞0，因此α是第一、三象限角，且sin α＞cos α，α∈[0,2π]，∴π4＜α＜π2或π＜α＜5π

4.

答案 ⎝

⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝

⎛⎭⎪⎫π，5π4

二、解答题(每小题15分，共45分)

8．若sin α

1－cos 2

α＋1－sin 2

α

cos α＝0，试判断cos(sin α)·sin(cos α)的符号． 解 由题设，得sin α|sin α|＋|cos α|

cos α

＝0，

所以sin α与cos α异号，则α在第二象限或第四象限． 若α在第二象限，则0

所以cos(sin α)>0，sin(cos α)<0，故cos(sin α)·sin(cos α)<0； 若α在第四象限，则－10，sin(cos α)>0， 故cos(sin α)·sin(cos α)>0.

9．(2011·苏州模拟)角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ≠0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值． 解 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )．

sin α＝

－2a

a 2＋－2a

2＝－2a 5a

2

，

cos α＝

a a 2＋－2a 2

＝a

5a

2

，

tan α＝－2a

a

＝－2， sin β＝

a a 2＋a 2＝a

5a

2

， cos β＝

2a

a

2

＋a

2

＝2a 5a

2

，

tan β＝a 2a ＝1

2

，

故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－2a 5a 2

·a

5a

2

＋a

5a

2

·2a

5a

2

＋(－2)×1

2＝－1. 10．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且 cos α＝

3

6

x ，求sin α，tan α的值． 解 因为P (x ，－2)(x ≠0)，所以P 到原点的距离r ＝x 2

＋2， 又cos α＝

36x ，故cos α＝x x 2＋2＝3

6

x ， 因为x ≠0，所以x ＝±10，故r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数定义，有sin α＝－

66，tan α＝－5

5

； 当x ＝－10时，P 点坐标为(－10，－2)，

所以sin α＝－

66，tan α＝5

5

. B 级 综合创新备选

(时间：30分钟 满分：60分)

一、填空题(每小题5分，共30分)

1．(2010·东海中学模拟)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π

3，cos 2π3，则角α的

最小正值为________．