高中数学必修2-15

3.1.2指数函数(一)学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象和性质.3.会应用指数函数的性质求指数型函数的定义域、值域．知识点一指数函数思考细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？答案y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好相反．梳理一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.特别提醒：(1)规定y＝a x中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；③a x的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．知识点二指数函数的图象和性质指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质1．y ＝x x (x >0)是指数函数．( × )2．y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)是指数函数．( × )3．因为a 0＝1(a >0且a ≠1)，所以y ＝a x 恒过点(0,1)．( √ ) 4．y ＝a x (a >0且a ≠1)的最小值为0.( × )类型一 求指数函数的解析式例1 已知指数函数f (x )的图象过点(3，π)，求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝a x ，将点(3，π)代入，得到f (3)＝π， 即a 3＝π，解得a ＝π13，于是f (x )＝π3x .反思与感悟 根据指数函数的定义，a 是一个常数，a x 的系数为1，且a >0，a ≠1.指数位置是x ，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数．要求指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的解析式，只需要求出a 的值，要求a 的值，只需一个已知条件即可．跟踪训练1 已知指数函数y ＝(2b －3)a x 经过点(1,2)，求a ，b 的值． 解 由指数函数定义可知2b －3＝1，即b ＝2. 将点(1,2)代入y ＝a x ，得a ＝2.类型二 指数型函数的定义域、值域问题 命题角度1 y ＝f (a x )型例2 求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝3x 1＋3x ；(2)y ＝4x －2x＋1. 解 (1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R,3x ≠－1)． ∵y ＝(1＋3x )－11＋3x ＝1－11＋3x，又∵3x >0,1＋3x >1， ∴0<11＋3x<1，∴－1<－11＋3x <0，∴0<1－11＋3x<1，∴值域为(0,1)． (2)定义域为R ，y ＝(2x )2－2x ＋1＝⎝⎛⎭⎫2x －122＋34， ∵2x >0，∴当2x ＝12，即x ＝－1时，y 取最小值34，同时y 可以取一切大于34的实数，∴值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞.反思与感悟 解此类题的要点是设a x ＝t ，利用指数函数的性质求出t 的范围．从而把问题转化为y ＝f (t )的问题．跟踪训练2 求下列函数的定义域与值域． (1)y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x；(2)y ＝a x －1a x ＋1(a >0，且a ≠1)．解 (1)∵1－⎝⎛⎭⎫12x≥0，∴⎝⎛⎭⎫12x ≤1，解得x ≥0， ∴原函数的定义域为[0，＋∞)．令t ＝1－⎝⎛⎭⎫12x(x ≥0)，则0≤t <1，∴0≤t <1， ∴原函数的值域为[0,1)． (2)原函数的定义域为R .方法一 设a x ＝t ，则t ∈(0，＋∞)． y ＝t －1t ＋1＝t ＋1－2t ＋1＝1－2t ＋1. ∵t >0，∴t ＋1>1，∴0<1t ＋1<1，∴－2<－2t ＋1<0， ∴－1<1－2t ＋1<1.即原函数的值域为(－1,1)．方法二 由y ＝a x －1a x ＋1(a >0，且a ≠1)，得a x ＝－y ＋1y －1.∵a x>0，∴－y ＋1y －1>0，∴－1<y <1.∴原函数的值域是(－1,1)． 命题角度2 y ＝a f (x )型 例3 求函数y ＝32x －1－19的定义域、值域．解 要使函数有意义，则x 应满足32x －1－19≥0，即32x －1≥3－2.∵y ＝3x 在R 上是增函数， ∴2x －1≥－2，解得x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 当x ∈⎣⎡⎭⎫－12，＋∞时，32x －1∈⎣⎡⎭⎫19，＋∞. ∴32x －1－19∈[0，＋∞)．∴原函数的值域为[0，＋∞)．反思与感悟 y ＝a f (x )的定义域即f (x )的定义域，求y ＝a f (x )的值域可先求f (x )的值域，再利用y ＝a t 的单调性结合t ＝f (x )的范围求y ＝a t 的范围． 跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域：(1)y ＝0.311x -；(2)y ＝解 (1)由x －1≠0，得x ≠1， 所以函数定义域为{x |x ≠1}． 由1x －1≠0，得y ≠1， 所以函数值域为{y |y >0且y ≠1}．(2)由5x －1≥0，得x ≥15，所以函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥15. 由5x －1≥0，得y ≥1，所以函数值域为{y |y ≥1}．类型三 指数函数图象的应用 命题角度1 指数函数整体图象例4 在如图所示的图象中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )答案 A解析 根据图中二次函数图象可知c ＝0， ∴二次函数y ＝ax 2＋bx ，∵ba >0，∴二次函数的对称轴为x ＝－b2a<0， 排除B 、D.对于A ，C ，都有0<b a <1，∴－12<－b2a <0，C 不符合．故选A.反思与感悟 函数y ＝a x 的图象主要取决于0<a <1还是a >1.但前提是a >0且a ≠1. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝4＋a x ＋1的图象经过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(－1,5) B ．(－1,4) C ．(0,4) D ．(4,0)答案 A解析 当x ＋1＝0，即x ＝－1时，a x ＋1＝a 0＝1，为常数， 此时f (x )＝4＋1＝5.即点P 的坐标为(－1,5)． 命题角度2 指数函数图象局部例5 若直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|图象有两个公共点，求实数a 的取值范围．解 y ＝|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x <0，2x－1，x ≥0，图象如下：由图可知，要使直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|图象有两个公共点， 需0<2a <1，即0<a <12.反思与感悟 指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，体现了指数函数图象的“原料”作用．跟踪训练5 函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )答案 B解析 函数y ＝a |x |是偶函数，当x >0时，y ＝a x .由已知a >1，故选B.1．下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)x B ．y ＝－3x C ．y ＝3x －1D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x答案 D2．若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0，且a ≠1 B ．a ≥0，且a ≠1 C ．a >12，且a ≠1D ．a ≥12答案 C3．函数y ＝23x －的值域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(0,1] D ．[－1,0)答案 C 4．函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0答案 D5．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]答案 A解析 由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0.1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)这一结构形式，即a x 的系数是1，指数是x 且系数为1.2．指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的性质分底数a ＞1,0＜a ＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．求函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的值域的方法如下 (1)换元，令t ＝f (x )，并求出函数t ＝f (x )的定义域． (2)求t ＝f (x )的值域t ∈M .(3)利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t 在t ∈M 上的值域．一、选择题1．若函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a >0且a ≠1答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2.2．函数y ＝a x －a (a >0且a ≠1)的大致图象可能是( )答案 C解析 如果函数的图象是A ，那么1－a ＝1⇒a ＝0，这与a >0且a ≠1相矛盾，故A 不可能；如果函数的图象是B ，那么a 1－a <0⇒0<0，这是不可能的，故B 不可能；如果函数的图象是C ，那么0<1－a <1⇒0<a <1，且a 1－a ＝0，故C 可能；如果函数的图象是D ，那么a 1－a <0⇒0<0，这是不可能的，故D 不可能．3．设指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，则下列等式中不正确的是( ) A ．f (x ＋y )＝f (x )f (y ) B ．f (x －y )＝f (x )f (y )C ．f (nx )＝[f (x )]n (n ∈Q )D ．[f (xy )]n ＝[f (x )]n [f (y )]n (n ∈N ＋) 答案 D解析 f (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x a y ＝f (x )f (y )，A 对； f (x －y )＝ax －y＝a x a －y＝a x ay ＝f (x )f (y )，B对；f (nx )＝a nx ＝(a x )n ＝[f (x )]n ，C 对；[f (xy )]n ＝(a xy )n ，[f (x )]n [f (y )]n ＝(a x )n (a y )n ≠(a xy )n ，D 错．4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x ，x ≥0，则f (f (－1))等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 B解析 f (－1)＝(－1)2＝1，f (f (－1))＝f (1)＝21＝2.5．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为( ) A ．na (1－b %) B ．a (1－nb %) C ．a [1－(b %)n ] D ．a (1－b %)n答案 D解析 一年后价值为a －ab %＝a (1－b %)，两年后价值为a (1－b %)－a (1－b %)b %＝a (1－b %)2，…，n 年后价值为a (1－b %)n ，故选D.6．如图所示，面积为8的平行四边形OABC 的对角线AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E .若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a 等于()A. 2B. 3 C ．2 D ．3答案 A解析 设点C (0，m )，则由已知可得A ⎝⎛⎭⎫8m ，m ，E ⎝⎛⎭⎫4m ，m ，B ⎝⎛⎭⎫8m ，2m .又因为点E ，B 在指数函数的图象上，所以48,2,m m m a m a ⎧=⎪⎨⎪=⎩两式相除，得4ma ＝2，所以m ＝2，所以a ＝ 2. 二、填空题7．函数y ＝32－2x 的定义域是________． 答案 (－∞，5]解析 要使函数式有意义，需32－2x ≥0,32≥2x,25≥2x ，解得x ≤5. 8．函数y ＝3x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x的图象关于________对称． 答案 y 轴解析 y ＝⎝⎛⎭⎫13x＝3－x ，(x ，y )与(－x ，y )关于y 轴对称． 9．已知5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab 与0的大小关系是________． 答案 ab <0解析 由f (x )＝5x 与g (x )＝0.7x 的图象可知，5a ＝0.3<1时，a <0，同理b >0.所以ab <0.10．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (x )的值域为________．答案 [8，＋∞)解析 当x ≥3时，2x ≥23＝8；当x <3时，皆可通过有限次加1转化为第一类． 三、解答题11．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝(2)y ＝5－x －1.解 (1)令1－x ≥0，得x ≤1. ∴定义域为(－∞，1]． 设t ＝1－x ≥0.则3t ≥30＝1. ∴值域为[1，＋∞)． (2)定义域为R ， ∵5－x >0，∴5－x －1>－1. ∴值域为(－1，＋∞)．12．已知函数f (x )＝a x －1 (x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )＋1(x ≥0)的值域．解 (1)因为函数f (x )＝a x －1 (x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12， 所以a 2－1＝a ＝12. (2)由(1)得f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1(x ≥0)，函数为减函数，当x ＝0时，函数取最大值2，故f (x )∈(0,2]，所以函数y ＝f (x )＋1＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋1 (x ≥0)∈(1,3]，故函数y ＝f (x )＋1 (x ≥0)的值域为(1,3]．13．已知x ∈[－3,2]，求f (x )＝14x －12x ＋1的最小值与最大值． 解 f (x )＝14x －12x ＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫2－x －122＋34，∵x ∈[－3,2]，∴14≤2－x ≤8，则当2－x ＝12，即x ＝1时，f (x )有最小值34，当2－x ＝8，即x ＝－3时，f (x )有最大值57. 四、探究与拓展14．若函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有( )A ．a >1，且b <1B ．0<a <1，且b <0C ．0<a <1，且b >0D ．a >1，且b <0答案 D解析 已知函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第一、三、四象限，画出草图如图所示．由图象可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，f (0)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，f (0)＝1＋b －1<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，b <0，故D 正确．15．已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，在区间[1,2]上的最大值为m ，最小值为n .(1)若m ＋n ＝6，求实数a 的值；(2)若m ＝2n ，求实数a 的值．解 (1)∵无论0<a <1还是a >1，函数f (x )的最大值都是a 和a 2的其中一个，最小值为另一个， ∴a 2＋a ＝6，解得a ＝2或a ＝－3(舍)，故a 的值为2.(2)当0<a <1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，其最小值为f (2)＝a 2，最大值为f (1)＝a .由a ＝2a 2，解得a ＝0(舍)或a ＝12，∴a ＝12. 当a >1时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，其最小值为f (1)＝a ，最大值为f (2)＝a 2. 由a 2＝2a ，解得a ＝0(舍)或a ＝2.∴a ＝2.综上知，实数a 的值为12或2.。