江苏省涟水中学苏教版高中数学必修一学案：3.1指数函数(三)

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苏教版高中数学必修一溧水县第二高级教学案第课时指数函数(3)

指数函数的图象和性质二、例题分析例1、求下列函数定义域和值域：（1）213-=x y（2）1221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y（3）237x y -= （4）x y 24-=例2、说明下列函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并在同一坐标系中画出它们的示意图：（1）22x y -= （2）22x y += （3）23x y =+ （4）xy -=2()y f x =的图象 ()y f x a =+ 的图象。

()y f x =的图象 ()y f x a =- 的图象。

()y f x =的图象 ()y f x h =+ 的图象。

()y f x =的图象()y f x a h =++的图象。

()y f x =的图象 )(x f y -=的图象。

以上0,0>>h a 。

例3、已知xx xx x f --+-=2222)(。

（1）判断)(x f 的奇偶性；（2）讨论)(x f 的单调性。

例4、实数a 为何值时, xxa y -+=22为奇函数。

三、随堂练习1、求下列函数的定义域和值域：（1）xy 12= （2）xy 3= （3）y2、求证：)(x f =2xx a a -- )0,0(≠>a a 是奇函数。

3、已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0<x 时，x x f 21)(+=，画出此函数的图象。

4、作出下列函数1)21(1-=+x y 的图象。

四、回顾反思指数函数的定义、图象及性质课后作业班级：高一（）班姓名__________一、基础题1、求下列函数的定义域和值域：（1）12-=x y （2）223.0x y -=（3）3x y 31-= （4）x y 21=2、函数||2x y -=的值域是 ( )A.(]0,1B.[]0,1C.()0,+∞D. (),-∞+∞3、已知函数b a y x+=的图像如图所示则a 的取值范围是，b 的取值范围是。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.1.2 指数函数》87

指数函数教案一、课题：本节课是苏教版高中数学必修一第三章第二节“指数函数”的第一课时的内容。

二、教学目标：知识与技能目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用过程与方法目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论的思想以及从特殊到一般的数学讨论的方法，增强识图用图的能力。

情感态度与价值观目标:通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质三、教学重点与难点：教学重点：指数函数的图象、性质及其简单运用教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图象与底的关系四、教学方法与手段：教学方法：探究式教学法教学手段：采用多媒体辅助教学五、教学过程：1、创设情景，引出课题前面我们学习过函数的概念、函数的有关性质及指数的运算，今天我们将在此基础上学习一类新的基本函数问题1：我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对“非典”应该并不陌生，它与其它的传染病一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中一种。

我们来看一种球菌的分裂过程：动画演示：某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------一个这样的球菌分裂x 次后,得到的球菌的个数y 与x 的关系式是：x y 2=问题2：某种机器设备每年按%6的折旧率折旧，设机器的原来价值为1，经过x 年后，机器的价值为原来的y 倍，则y 与x 的关系为x y 94.0=思考：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？共同点：变量x 与y 构成函数关系式，是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数；不同点：底数的取值不同大家能给这样的函数起个名字吗？（想让学生对数学的形式化有一认识）这就是我们今天所要研究的一个新的基本函数——指数函数（引出课题）2、探索研究1指数函数的概念：函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数其中x 是自变量函数的定义域为R思考：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？若0=a ，当0>x 时，x a 恒等于0，没有研究价值；当0≤x 时，x a 无意义；若0<a ,例如当21,2=-=x a 时，2-无意义，没有研究价值；若1=a ，则11=x ,x a 是一个常量，也没有研究的必要很好，所以有规定10≠>a a 且（对指数函数有一初步的认识）（2）指数函数的图象与性质：学习函数的一个很重要的目标就是应用，那么首先要对函数作一研究，研究函数的图象及性质，然后利用其图象和性质去解决数学问题和实际问题思考1：你能类比前面讨论函数性质的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、图象、单调性、奇偶性思考2：如何来画指数函数的图象呢画函数图象通常采用：列表、描点、连线．有时，也可以利用函数的有关性质画图思考3：画出指数函数x y 2=？思考4：函数12()2x x y y ==与的图象有什么关系?能否由2x y =的图象得到x y )21(=的图象？关于y 轴对称所以可以先画其中一个函数的图象，利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有用思考5：选取底数a 的若干个不同的值，在同一平面坐标系内作出相应的指数函数的图象．观察图象，你能发现他们有哪些共同特征？教师演示课件，以不同的底，作出函数的图象，描绘出其几何特征，将函数的图象和性质对应起来．利用几何画板，通过改变a 的值，让学生观察图象的变化规律．思考6：通过你们画的图象以及老师的演示，你们能发现怎样的规律呢？底数分1>a 和10<<a 两种情况．思考7：从特殊到一般，指数函数)1(>=a a y x 有哪些性质？并类比得出)10(<<=a a y x 的性质．师生共同归纳：指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象与性质：1a > 01a <<图象性（1）定义域：(,)-∞+∞ （2）值域： (0,)+∞强调：利用函数图象研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图象，记住性质的关键在于要脑中有图．3、应用举例：这节课我们先来了解一下它的简单应用．利用单调性比较大小．例1 比较下列各组数中各个值的大小：（1）5.27.1 ，37.1 ；（2） 1.08.0-，2.08.0-；（3）)1,0(,2131≠>a a a a 且；（4） 3.07.1，1.39.0，1．分析：对于这样两个数比大小，学生可能会觉得困难，提示学生观察两个数的形式特征（底数相同，指数不同），联想指数函数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用函数的单调性比较大小．说明：1 当底数相同且明确底数a 与1的大小关系时：直接用函数的单调性来解．2．当底数相同但不明确底数a 与1的大小关系时：要分情况讨论．3．当底数不同不能直接比较时：可借助中间数，间接比较上述两个数的大小．4、反馈练习：比较下列各组数中两个值的大小：五、归纳小结，强化思想: 本小节的目的要求是掌握指数函数的概念、图象和性质．在理解指数函数的定义的基础上，掌握指数函数的图象和性质是本小节的重点．1．数学知识点：指数函数的概念、图象和性质．2．研究函数的一般步骤：定义→图象→性质→应用3．数学思想方法：数形结合，分类讨论的数学思想六、布置作业：作业：教材67P ,练习1、2、3、4思考：1．函数)1,0(12≠>+=-a a a y x 且的图象必经过点___________．2．解不等式：1)21(1>-x ．；，）（3.25.01.31.31；）（）（）（24.03.032,322--.2.03.231.05.0--，）（。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.1 指数函数》

课题《指数函数》授课教师：扬中市第二高级中学刘玉教材：苏教版《数学必修1》第2章一、教学目标：知识与技能：1从实例中抽象出指数函数的模型，理解指数函数的概念2会画指数函数的图象，通过图象总结归纳出指数函数的性质培养学生观察、分析、归纳等思维能力3理解指数函数的性质，并能运用性质解决比较指数式值大小的问题过程与方法：1通过自主操作和探索，让学生经历：“特殊→一般”的认知过程，完善认知结构 2体会函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、从特殊到一般等数学思想方法情感、态度与价值观：1让学生感受探索数学问题的过程，体会成功的乐趣和喜悦2让学生体会数学的抽象性、严谨性和统一性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的实践精神二、教学重点与难点：重点：指数函数的图象、性质及简单应用难点：探索归纳指数函数图象和性质突破方法：通过对具体函数的观察和归纳，学生间的合作交流，并加以多媒体动态演示，将具体化为抽象，并感受到对底数a 分类讨论的思维方式，从而达到重难点的突破三、教学方法：教法：多媒体辅助教学,采用启发式、引导发现的教学方法学法：自主探索、合作交流的学习方法四、学习过程：（一）复习：提问1：我们已经学习了哪几种函数？一次函数：)0(≠+=k b kx y ，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，反比例函数：)0(≠=k x k y 提问2：研究一个函数，主要研究它的哪些方面？这些性质在图象上是如何表现的？函数的图象和性质，性质包括：定义域、值域、单调性、奇偶性等（板书）反应在图象上：位置、变化趋势、对称性提问3：研究函数性质的途径？图象，通过图象看函数的性质（看图说话）提问4：是不是一定要通过函数的图象才能得到函数的性质？以32+-=x y 为例，通过函数的解析式，我们也可以看出函数的性质。

总结： “数”——解析式；“形”——图象。

（板书）（二）情境引入引例1：比较下列指数式的异同: 2213202153-22,2,2,2,2,2,22--，,能否把它们看成是函数值？若能，是什么函数的值？ R x y x ∈=,2引例2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”请你写出截取次x 后，木棰剩余量y 关于x 的关系式:12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, *x N ∈ 这两个函数模型是我们以前学习的函数吗？不是，不满足以上三种函数的形式。

苏教版高中数学必修一第三章《3.1指数函数》教学设计

《指数函数》教学设计一、教材分析函数是数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿整个数学学习。

本节课是学生在已掌握了函数的定义、性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数的定义、图像和性质，一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解和认识，使学生得到系统的函数知识和研究函数的方法；另一方面也为研究对数函数以及等比数列的性质打下基础。

本节课十分重要，它对知识起承上启下的作用。

二、学情分析在初中所学的基本初等函数的基础上，通过前几节课的对函数的定义的更详细了解，学生对函数有了一定的理解，已初步能用函数的观点分析问题、解决问题。

三、教学目标知识目标：熟悉指数函数的定义；掌握指数函数的图像和性质。

能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，进一步巩固数形结合、分类讨论的数学思想，掌握从特殊到一般的学习数学的方法，增强识图用图的能力。

情感目标：通过探究学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性的关系，学会用函数的观点分析问题，并养成合作交流、独立思考、理论联系实际的习惯，激发学生学习数学的兴趣，树立学习数学的信心。

四、教学重点、难点重点是指数函数的图像和性质；难点是指数函数性质的应用。

教学方法：引导，观察，归纳，启发，探究，比较。

五、教学活动（一）温故知新（学生集体回答下列问题。

）1.指数式的形式2.指数的运算公式设计意图：通过多媒体演示，引导学生回忆指数的运算，培养学生温故知新的能力，为本节内容的学习做好准备。

（二）创设情境，导入新课（学生跟随教师动手折纸，在动态的操作中找到问题的答案）折纸是一门艺术，很受大家的青睐；折纸又是一个数学探究的过程，它溶于数学，所以以折纸为载体，出现了不少趣题，请同学们动手之后回答下面的问题：假设一张纸的厚度为1，对折x次，纸的厚度y是多少？答：对折1次，折纸厚度为21；对折2次，折纸厚度为22；对折3次，折纸厚度为23；对折4次，折纸厚度为24，……对折x次，折纸厚度y=2x 定义：一般地，形如y=ax，（a>0且a≠1）的函数叫做指数函数，其中x 是自变量，定义域为实数集R。

3.1.指数函数-苏教版必修1教案

3.1 指数函数-苏教版必修1教案1. 知识点概述指数函数是高中数学中的一重要内容，也是学生在以后学习数理化、工科和金融等领域所必须掌握的基础数学概念。

本教案以苏教版必修1中的指数函数为主要教学内容，为学生系统地讲解指数函数的定义、性质和一些相关的运算及特殊函数。

2. 教学目标1.理解指数运算的定义和性质；2.掌握指数运算的基本法则，包括指数幂、指数根以及指数函数的性质；3.能够解决与指数函数相关的各种应用问题。

3. 教学重点与难点3.1 教学重点1.指数运算的定义和性质；2.指数函数的定义、性质及一些特殊函数；3.应用指数函数解决实际问题。

3.2 教学难点1.合理引导学生理解指数幂、指数根、指数函数等基本概念；2.运用所学知识解决不同类型的实际问题。

4. 教学内容与方法4.1 教学内容4.1.1 指数的定义和性质1.了解指数的定义及相关术语；2.掌握指数运算中的乘方法则、除方法则、幂方法则；3.理解指数函数的定义、性质及指数函数的三要素；4.掌握指数运算中的指数根法则、指数函数的特殊函数。

4.1.2 指数函数1.理解指数函数及其基本性质；2.掌握指数函数的图像及其性质；3.理解指数函数的单调性，麦克劳林级数及指数函数的导数；4.掌握指数函数的极限性质。

4.1.3 指数函数的应用1.熟悉指数函数的实际应用领域；2.掌握指数函数的应用于增长和衰减的计算方法；3.掌握指数函数的应用于复利计算、指数增长及累计函数的方法。

4.2 教学方法1.课堂讲解结合生动的实例，揭示指数函数的本质；2.引导学生实际观察、总结规律、展开讨论；3.利用多媒体教具，结合视频、图表等多种展现形式，直观地呈现知识点。

5. 教学评估1.课堂随堂测试：每节课之后，设置三到五道题目，检验学生对当节内容的掌握情况；2.作业评估：每节课设置适量的作业量，检验学生对知识点的熟练掌握程度；3.期中考试和期末考试：检验学生对整个指数函数的掌握程度。

江苏省徐州市高级中学苏教版高中数学必修一学案：3.1指数函数 (3)

第五课时指数函数（3）编制：宁会珍审核：胡艳之 2017.10.06【学习目标】1、了解指数函数模型在实际中的应用，体会增长率模型是一种非常重要的函数模型；2、复习指数函数．【重点】指数函数的复习．【难点】建立函数模型．【活动过程】活动一：复习回顾截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口平均增长率控制在1%，那么经过x 年我国人口数y 为多少？到2019年底，我国人口约为多少？（参考数据21.101.119≈，22.101.120≈，23.101.121≈，计算结果精确到亿。

）活动二：学习展示例1、某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式。

例2、某种储蓄按复利计算，若本金为a 元，每期利率为r ，设存期是x ，本利和（本金加上利息）为y 元。

（1）写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；（2）如果存入本金1000元，每期利率为25.2%，计算5期后的本利和，按这样的利率，第几期后的本利和，开始超过本金的1.5倍？；（3）要使10期后的本利和翻一番，利率应为多少（精确到0.001）？（参考数据：11768.10225.15≈，49258.10225.118≈，5261.10225.119≈，07177.1210=）例3、2000年到2002年，我国国内生产总值年平均增长8.7%左右，按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2010年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）。

（参考数据：2.1078.12≈，4.1078.14≈，6.1078.16≈，8.1078.18≈，1.2078.110≈， 5.2078.112≈，9.2078.114≈）活动三：总结反思活动四：课堂反馈1、一个电子元件厂去年生产某种规格的电子元件a 个，计划从今年开始的m 年内，每年生产此种规格的电子元件的产量比上一年增长%p ，则此种规格的电子元件的年产量y 随年数x 变化的函数关系是。

苏教版高中数学必修一第三章指数函数教学设计

即：1.情景设置，形成概念2.发现问题，深化概念3.深入探究图像，加深理解性质4.强化训练，落实掌握5.小结归纳6.布置作业（一）情景设置，形成概念1、引例：折纸问题：让学生动手折纸问题1：①对折的次数ｘ与所得的层数ｙ之间有什么关系？（2x y =）②记折前纸张面积为1，对折的次数ｘ与折后面积ｙ之间有什么关系？（1()2x y =）问题2： ①x y 2=、1()2x y =及0.999879x y =这两个解析式有什么共同特征？②它们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？（引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。

如果可以用字母代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成x y a =的形式。

自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数）2、形成概念：（1）定义：形如x y a =（a>0且a ≠1）的函数称为指数函数，定义域为ｘ∈R 。

问题3：一个新的数学概念的引入，一定要有研究的价值和意义。

此定义中，你觉得对底数a 有何要求？为什么？3．发现问题、深化概念例1：判断下列函数是否为指数函数，为什么？1）ｙ=-3ｘ 2）ｙ=31/x 3) ｙ=(-3)x 4) ｙ=31+x ，5）(1)x y a =+ 例2： 1）若函数ｙ=(2a -3a+3) a x是指数函数，求a 值。

2）指数函数f(x)= a x （a>0且a ≠1）的图像经过点（3，9），求f(x)、f(0)、f(1)的值。

（待定系数法求指数函数解析式（只需一个方程））（二）深入研究图像，加深理解性质问题4：指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数，也是很重要的初等函数。

我们应研究指数函数的哪些性质？又该如何研究呢？（图象——性质，具体——一般）学生操作：操作一：利用描点法作函数2xy =与1()2x y =的图象；操作二：利用描点法作函数3x y =与1()3x y =的图象；问题5：（1）指数函数2x y =与1()2x y =的图象有何关系？函数3x y =与1()3x y =的图象有何关系？你能得到一般性结论吗？（2）指数函数2x y =、1()2x y =、3x y =、1()3x y =的图象有何有什么共同特征？又有什么区别呢？你能得到一般性结论吗？（学生观察图象得出结论）操作三：（借助几何画板演示）函数x y a =当1>a 和10<<a 时的若干个图象，请同学们观察，（1）当5.1=a ，2=a ，3=a ……时的图象，你能发现它们有什么共同特征？（2）当8.0=a ，5.0=a ，3.0=a ……时的图象，你能发现它们有什么共同特征？请你概括一下对数函数应具有什么性质。

高中数学指数函数(3)苏教版必修一

指数函数(3)[教学目标]一、知识与技能1、结合对指数函数性质的研究，深化对函数定义域、值域、单调性和奇偶性的认识；2、了解简单函数的平移变换规律会进行函数图象的平移变换，并体会分类讨论的数学思想。

二、过程与方法通过探究、思考，培养学生理性思维能力、分析问题的能力。

三、情感、态度与价值观通过指数函数性质的应用以及对图象平移变换的研究，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性。

[教学重点]指数函数性质的运用[教学难点]函数图象的平移变换[教学过程]一、复习回顾1．指数函数的概念、图象、性质2．比较以下各题中两个值的大小；()()0.5 2.30.30.242.50.1(1)3.1,3.122(2),;333 2.3;0.2----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．求以下不等式()()()()11282327134532x x x x x ><⎛⎫>< ⎪⎝⎭二、例题分析例1．说明以下函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并画出它们的示意图：〔1〕12x y +=；〔2〕22x y -=．说明：一般地，当0a >时，将函数()y f x =的图象向左平移a 个单位得到的图象；当0a <时，将函数()y f x =的图象向右平移||a 个单位，得到()y f x a =+的图象练习：指出以下函数图象之间的关系：〔1〕11y x =+与1y x=；〔2〕3x y -=与3x a y -+=；〔3〕22y x x =+与22y x x =-；〔4〕34x y --=与4x y -=；〔5〕将函数21()3x y =图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是；〔6〕画出函数1()2x y =的草图。

例2．函数1762)21(+-=x x y ，求①函数的定义域、值域；②确定函数单调区间。

练习：求定义域〔1〕3x y -= 〔2〕1(0,1)1x x a y a a a -=>≠+．〔2〕判断24x x y a +=(0,1)a a >≠的单调区间问题：复合函数的单调性如何判断？例3．函数)10(122≠>-+=a a a a y x x 且在区间［－１，１］上的最大值是１４，求a 值。

江苏省淮安中学高一数学《指数函数》教案(3)

江苏省淮安中学高一数学《指数函数》教案（3）〖教学目的〗：（1）领会指数函数在生产增长、储蓄、放射性物质等（2）掌握建构指数函数，培养学生分析能力，〖教学重点〗建构指数函数的数学模型.〖教学难点〗如何从实际问题中抽象出指数函数模型，〖教学过程〗一.课前预习检查，作业订正讲评二.创设情境，引入新课受国家拉动内需政策的带动，某工厂从1998年起两年来生产值平均比上一年提高12.4%，如果生产规模，生产和管理机制都保持不变（增长率不变）继续发展，请你画出该厂年产值随经过时间变化的图像，并根据图像的趋势，预测哪一年该厂生产产值可以翻一番？三. 讲授新课在我们生活之中有很多事例，其中都包含着这样的一种函数关系.如利率，增长率等问题.都是一些含指数的函数，我们可以根据具体问题中的关系列出相应的函数关系式，作出它的图像.有助于我们研究问题，发现事物发展的规律和方向，帮助我们进一步了解生活，认识生活规律，方便人们的生活.四、例题选讲例 1.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩余的质量是原来的84%.写出这种物质剩余量关于时间的函数关系式.例2：某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x,本利和（本金加上利息）为y元.（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式.（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.例3. 2000~2002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%左右.按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图像，并通过图像观察到2010年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）练习：1.一辆轿车原价36万元，若按每年10%的折旧率计算，时间x年为自变量，求价格y的函数关系式？经过5年后该车的价格是多少?2.见课本55页5 （1）（2）五、总结与回顾指数函数在实际问题中的应用.能从实际问题中建立起变量间的指数函数关系.六、板书设计七、教后记八、作业班级姓名学号等第1、某种产品成本原来为m 元，现通过某种措施使成本每年比上午降低p%,则成本y 与年数x 的函数关系式是2、某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个）,这种细菌由1个繁殖成4096个需要经过分钟3、某商品零销售2004年比2003年上涨了25%，现要使2005年比2003年只上涨10%，则2005年应比2004年降低 %4、某单位某年12月份产值是同年1月份产值的m 倍，那么该单位此年月平均增长率为5、已知镭经过100年剩余原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年剩余量为y,则x,y 之间的函数关系式可以用解析式表示为6、计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低31，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为7、一种放射性物质镭元素，经过不断变化成其他物质，每经过1640年后，残留量是原来的一半，（1）以时间x 年为自变量，求残留量y 的函数关系式？（2）有镭元素10克，若经过4920年后残留量是多少克？8、某公司拟投资100万元，有两种获利的方案可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利?5年后，这种投资比另一种投资可多得利息多少元?9、从盛满1升纯酒精的容器中倒出三分之一升，然后用水填满，再倒出三分之一升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？。

高中数学3.1.2指数函数(3)教案苏教版必修1

万元，为了增加产值，今年增加了新产品的值翻两番，则得方程＋8元，一种计算利息方法）增长速度，画出从并通过图象观察到20）一电子元件去年）一电子元件去年年内，每年生产此种规格电子元件的产精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

苏教版高中数学必修一指数函数教案三

第20课时指数函数（三）教学目标：使学生了解函数图象的变换；能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。

教学重点：函数图象的变换；指数函数性质的运用教学难点：函数图象的变换；指数函数性质的运用教学过程：教学目标(一)教学知识点1.指数形式的复合函数.2.指数形式复合函数的单调性.3.指数形式复合函数的奇偶性.(二)能力训练要求1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法.2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法.3.培养学生的数学应用意识.(三)德育渗透目标1.认识从特殊到一般的研究方法.2.用联系的观点看问题.3.了解数学在生产实际中的应用.●教学重点1.函数单调性的证明通法.2.函数奇偶性的证明通法.●教学难点指数函数的性质应用.●教学方法启发式启发学生运用证明函数单调性的基本步骤对指数形式的复合函数的单调性进行证明，但应在变形这一关键步骤帮助学生总结、归纳有关指数形式的函数变形技巧，以利于下一步的判断.在运用证明函数奇偶性的基本步骤对指数形式的复合函数的奇偶性证明时，应提醒学生考查函数的定义域是否关于原点对称，以培养学生的定义域意识，并引导学生得指数形式的复合函数判断奇偶性的常用等价形式，以帮助学生形成系统的知识结构.●教具准备幻灯片三张第一张：判断及证明函数单调性的基本步骤、判断及证明函数奇偶性的基本步骤(记作§2.6.3 A）第二张：例5证明过程(记作§2.6.3 B）第三张：例6证明过程(记作§2.6.3 C）●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］上一节，我们一起学习了指数函数的性质应用，这一节，我们学习指数形式的复合函数的单调性、奇偶性的证明方法.首先，大家来回顾一下第二章第一单元所学的证明函数单调性、奇偶性的基本步骤.［生］判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断.［生］判断及证明函数奇偶性的基本步骤： (1)考查函数定义域是否关于原点对称；(2)比较f （－x ）与f （x ）或者－f （x ）的关系； (3)根据函数奇偶性定义得出结论.(给出幻灯片§2.6.3 A ，老师结合幻灯片内容加以强调说明) ［师］在函数单调性的证明过程中，“变形”是一关键步骤，变形的目的是为了易于判断，判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断.另外，在函数奇偶性的判断及证明过程中，定义域的考查容易被大家忽略，而函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，大家应予以重视.下面，我们通过例题来一起熟悉并掌握证明函数单调性，奇偶性的方法. Ⅱ.讲授新课[例5]当a ＞1时，证明函数f (x )=11-+x x a a 是奇函数.分析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数范围内的指数幂运算性质.同时，应注意首先考查函数的定义域.证明：由a x －1≠0 得x ≠0故函数定义域{x ｜x ≠0}关于原点对称.又f (－x )=xxxx x x aa a a a a )1()1(11-+=-+---- =1111-+-=-+xx xx a a a a －f (x )=－11-+x x a a∴f (－x )=－f (x )所以函数f (x )=11-+x x a a 是奇函数.［师］对于f （－x ）与f （x ）关系的判断，也可采用如下证法：xx xx x x x x aa a a a a a a x f x f --=+-⋅-+=-----1111)()(＝－1 即f （－x ）＝－f （x ）评述：对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，常利用如下的变形等价形式： f （－x ）＝f （x ）⇔)()(x f x f -＝1（f （x ）≠0），f （－x ）＝－f （x ）⇔)()(x f x f - ＝－1（f （x ）≠0）.这种变形的等价形式主要是便于实数指数幂运算性质，要求学生在解决相关类型题时，予以尝试和体会.［例6］设a 是实数，f (x )=a －122+x (x ∈R ) (1)试证明对于任意a ,f (x )为增函数； (2)试确定a 值，使f (x )为奇函数.分析：此题的形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明.还应要求学生注意不同题型的解答方法.(1)证明：设x 1,x 2∈R ,且x 1＜x 2则f (x 1)－f (x 2)=(a －)122()12221+--+x x a =12212212+-+x x =)12)(12()22(22121++-x x x x 由于指数函数y =2x 在R 上是增函数，且x 1＜x 2,所以2122x x <即2122x x -＜0又由2x ＞0得12x+1＞0，22x+1＞0所以f (x 1)－f (x 2)＜0 即f (x 1)＜f (x 2)因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，f (x )为增函数.评述：上述证明过程中，对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性. (2)解：若f (x )为奇函数，则f (－x )=－f (x ) 即a －)122(122+--=+-xx a 变形得:2a =1222)12(22++⋅+⋅-x x x x =12)12(2++x x 解得a =1所以当a =1时，f (x )为奇函数.评述：此题并非直接确定a 值，而是由已知条件逐步推导a 值.应要求学生适应这种探索性题型.Ⅲ.课堂练习已知函数f (x )为偶函数，当x ∈(0,+∞)时，f (x )=－2x +1,求当x ∈(－∞，0)时，f (x )的解析式.解：设x ∈（－∞，0），则－x ∈（0，＋∞），由x ∈（0，＋∞）时，f （x ）＝－2x ＋1得f（－x ）＝－2-x ＋1又由函数f （x ）为偶函数得 f （－x ）＝f （x ）∴f （x ）＝－2-x ＋1.即当x ∈（－∞，0）时，f （x ）＝－2-x ＋1. Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，要求大家进一步熟悉指数函数的性质应用，并掌握函数单调性.奇偶性证明的通法.Ⅴ.课后作业（一）1.课本P 75习题2.6 4.求证：(1)f （x ）＝2xx a a --（a ＞0，a ≠1)是奇函数；(2)f （x ）＝1)1(-+x x a xa （a ＞0，a ≠1）是偶函数.证明：(1)∵f （－x ）＝22xx x x a a a a ----=-＝－f （x ）即f （－x ）＝－f （x ），故f （x ）2xx a a --=是奇函数.(2)f （－x ）＝1))(1(--+--xx a x a ＝－xx a x a -+1)1( ＝1)1(-+x x a x a ＝f （x ）即f （－x ）＝f （x ），故f （x ）＝1)1(-+xx a xa 是偶函数. 2.已知函数f (x )=1212+-x x ，(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)求证函数f (x )在(－∞,+∞)上是增函数.(1)解：首先考查函数定义域R ，故定义域关于原点对称.又∵f （－x ）＝xx xx x x 2)12(2)12(1212+-=+-----＝12122121+--=+-xx xx ＝－f （x ）即f （－x ）＝－f （x ） ∴f （x ）是奇函数. (2)证明：设x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝121212122211+--+-x x x x ＝)12)(12()12)(12()12)(12(211221+++--+-x x x x x x ＝)12)(12(12222122222112212121++++----+⋅x x x x x x x x x x＝)12)(12()22(22121++-x x x x ∵x 1＜x 2 ∴2122x x <∴2122x x -＜0.又∵2＞12,0x＋1＞0，22x＋1＞0∴)12)(12()22(22121++-x x x x ＜0 ∴f （x 1）－f （x 2）＜0 即f （x 1）＜f （x 2）∴f （x ）在（－∞，＋∞)上是增函数. （二）1.预习内容：课本P 76 2.预习提纲：(1)对数与指数有何联系? (2)对数式与指数式如何互化? ●板书设计Ⅰ.复习引入指数函数y＝a x（a＞0且a≠1）的定义、图象、性质：定义域、值域、单调性、奇偶性Ⅱ.讲授新课［例1］用计算器或计算机作出的图象，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系⑴y＝2x+1与y＝2x+2. ⑵y＝2x－1与y＝2x－2.活动设计：学生用计算器或计算机作出的图象，观察分析讨论，教师引导、整理解：⑴作出图象，显示出函数数据表比较函数y＝2x+1、y＝2x+2与y＝2x的关系：从上表可以看出，y＝2－3+1与y＝2－2相等，y＝2－2+1与y＝2－1相等，y＝22+1与y＝23相等，…. 由此可知，将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x+1的图象，将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x+2的图象。

苏教版高中数学必修一指数函数教案(3)(1)

指数函数教学目标1.掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.2.能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.3.能根据单调性解决基本的比较大小的问题. 教学重点指数函数的定义、图象、性质教学难点指数函数的描绘及性质教学过程一.问题情景问题1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x 次以后,得到的细胞个数y 与x 有怎样的关系.问题2.有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,…,剪去x 次后绳子剩余的长度为y 米,试写出y 与x 之间的关系.二.学生活动1.思考问题1,2给出y 与x 的函数关系?2.观察得到的函数2x y =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数2y x =的区别.3.观察函数2xy =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与xy a =的相同特点.三.建构数学（用投影仪，把两个例子展示到黑板上）[师]:通过问题1,2的分析同学们得出y 与x 之间有怎样的关系?[生1]:分裂一次得到2个细胞,分裂两次得到4(22=)个细胞,分裂三次得到8(32=),所以分裂x 次以后得到的细胞为2x个,即y 与x 之间为y 2x =.[生2]:第一次剩下绳子的12,第二次剩下绳子的14(212=),第三次剩下绳子的18(312=),那么剪了x 次以后剩下的绳长为12x 米,所以绳长y 与x 之间的关系为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （学生说完后在屏幕上展示这两个式子） [师]:这两个关系式能否都构成函数呢?[生]:每一个x 都有唯一的y 与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函数.[师]:（接着把2y x =打出来）既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两个函数y 2x =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在形式上与函数2y x =有什么区别.(引导学生从自变量的位置观察).[生]:前两个函数的自变量都在指数的位置上,而2y x =的自变量在底上.[师]:那么再观察一下y 2x =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数xy a =有什么相同点?[生]:他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数.[师]:由此我们可以抽象出一个数学模型xy a =就是我们今天要讲的指数函数.（在屏幕上给出定义）定义:一般地,函数xy a =(0,1a a >≠) 叫做指数函数,它的定义域是R .概念解析1:[师]:同学们思考一下为什么x y a =中规定0,1a a >≠?(引导学生从定义域为R 的角度考虑).（先把0a =，0a <，1a =显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）[生]:⑴若0a =,则当0x =时,00x a = 没有意义.⑵若0a <,则当x 取分母为偶数的分数时,没有意义.例如:12(2)-=⑶若1a =,则1xa =,这时函数就为一个常数1没有研究的价值了. 所以,我们规定指数函数的底0,1a a >≠.[师]:很好,请坐.我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题:问题１．已知函数(32)xy a =-为指数函数，求a 的取值范围．（屏幕上给出问题）[生]:由于32a -作为指数函数的底因此必须满足：232033210a a a a ⎧->>⎧⎪⇒⎨⎨-≠⎩⎪≠⎩即2|03a a a ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且概念解析２:[师]:我们知道形如xy a =（0,1a a >≠）的函数称为指数函数．通过观察我们发现：⑴x a 前没有系数，或者说系数为１．既1xa ⋅； ⑵指数上只有唯一的自变量x ；⑶底是一个常数且必须满足：0,1a a >≠．那么，根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数？（在屏幕上给出问题２）问题2．⑴(0.2)x y =，⑵(2)x y =-，⑶xy e =，⑷1()3xy =⑸1xy =，⑹23xy =⋅，⑺3xy -=，⑻22xxy +=[生１]:（答）⑴⑶⑷为指数函数．⑵⑸⑹⑺⑻不是．[生２]: 我不同意，⑺应该是指数函数，因为133xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭．[师]:很好，我们发现有些函数表面上不是指数函数，其实经过化简以后就变成了指数函数．所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质．[师]:上面我们分析了指数函数的定义，那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和性质．根据解析式我们要作出函数图象一般有哪几个步骤？ [生]:（共同回答）列表，描点，连线．[师]：好，下面我请两个同学到黑板上分别作出2x y =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭和3xy =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的函数图象．（等学生作好图并点评完以后，再把这四个图用几何画板在屏幕上展示出来）[师]:那么我们下面就作出函数：2xy =，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3xy =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象x -３ 2- 1- ０１２３2x 18 14 12 １２４８ 2x - ８４２１ 12 14 183x 127 19 13 １３９ 273x - 27 ９３１ 13 19 127[师]:通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数具有哪些性质？（先把表格在屏幕上打出来，中间要填的地方先空起来，根据学生的分析一步步展示出来）[生１]:函数的定义域都是一切实数R ，而且函数的图象都位于x 轴上方．[师]:函数的图象都位于x 轴上方与x 有没有交点？随着自变量x 的取值函数值的图象与x 轴是什么关系？[生１]:没有．随着自变量x 的取值函数的图象与x 轴无限靠近．[师]:即函数的值域是：(0,)+∞．那么还有没有别的性质？[生２]:函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭、13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，函数2x y =、3xy =是减函数．[师]:同学们觉的他这种说法有没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此有说明是在哪个范围内．又110,123<<，12,3<那么上述的结论可以归纳为： [生２]:当01a <<时，函数xy a =在R 上是减函数，当1a >时，函数xy a =在R 上是增函数．[师]:很好，请做！（提问［生３］）你观察我们在作图时的取值，能发现什么性质？[生３]:当自变量取值为０时，所对的函数值为１．一般地指数函数xy a =当自变量x 取０时，函数值恒等于１．[师]:也就是说指数函数恒过点(0,1)，和底a 的取值没有关系．那么你能否结合函数的单调性观察函数值和自变量x 之间有什么关系？ [生3]:由图象可以发现：当01a <<时，若0x >，则0()1f x <<；若0x <，则1()f x <. 当1a >时，若0x >，则()1f x >；若0x <，则0()1f x <<.[师]:刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系?[生4]: 函数2xy =与12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,函数3xy =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,所以是偶函数.(? ? ? ?)[师]:前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?[生]:(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质. [师]:由此我们得到一般的结论, 函数xy a =与xy a -=的图象关于y 轴对称. [师]:很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内. 01a << 1a >图象巩固与练习１根据指数函数的性质，利用不等号填空．（在屏幕上给出练习，让学生口答） ⑴()345 0，⑵15- 0，⑶07 0，⑷()4249- 0，⑸()223 1，⑹()479- 1，⑺1210- 1，⑻36 1．四.数学运用例1.比较大小⑴ 2.5 3.21.5,1.5 ⑵ 1.2 1.50.5,0.5-- ⑶0.3 1.21.5,0.8解: ⑴考虑指数函数() 1.5xf x =.因为1.51>所以() 1.5xf x =在R 上是增函数.因为2.53.2<所以2.53.21.5 1.5<⑵考虑指数函数()0.5xf x =.因为00.51<<所以() 1.5xf x =在R 上是减函数.因为1.2 1.5->-所以1.2 1.50.50.5--<⑶由指数函数的性质知0.301.51.51>=，而1.200.80.81<=所以0.3 1.21.50.8>例2．⑴已知0.533x ≥，求实数x 的取值范围； ⑵已知0.225x<，求实数x 的取值范围．解：⑴因为31>，所以指数函数()3xf x =在R 上是增函数．由0.533x≥，可得0.5x ≥，即x 的取值范围为[)0.5,+∞⑵因为00.21<<所以指数函数()0.2xf x =在R 上是减函数，因为221250.25--⎛⎫== ⎪⎝⎭所以20.20.2x -<由此可得2x >-，即x 的取值范围为()2,-+∞．五.回顾小结x y a =（0,1a a >≠），x R ∈）．要能根据概念判断一个函数是否为指数函数．２．指数函数的性质（定义域、值域、定点、单调性）．３．利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法，因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象．六.课外作业课本52P １，２，４高中数学《任意角的三角函数-妙用三角函数定义解题》素材8 苏教版必修4。

苏教版高中数学必修一指数函数教案三(1)

2.2.2指数函数（1）教学目标：1．掌握指数函数的概念（能理解对a的限定以及自变量的取值可推广至实数范围），会作指数函数的图像；2．能归纳出指数函数的几个基本性质，并通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力．教学重点：指数函数的定义、图象和性质．教学难点：指数函数性质的归纳．教学过程：一、创设情境课本第45页的细胞分裂问题和第49页的古莲子中的14C的衰变问题．二、学生活动（1）阅读课本45页内容；（2）动手画函数的图象．三、数学建构1．指数函数的概念：一般地，函数y＝a x(a＞0且a≠1)叫做指数函数，它的定义域是R，值域为(0，＋∞)．练习：（1）观察并指出函数y＝x2与函数y＝2x有什么区别？（2）指出函数y＝2·3x，y＝2x+3，y＝32x，y＝4-x，y＝a-x(a＞0，且a≠1)中哪些是指数函数，哪些不是，为什么？思考：为什么要强调a＞0，且a≠1？a≠1自然将所有的正数分为两部分(0，1)和(1，＋∞)，这两个区间对函数的性质会有什么影响呢？2．指数函数的图象和性质．（1）在同一坐标系画出112,,10,210xxx x y y y y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，观察并总结函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的性质．（2）借助于计算机技术，在同一坐标系画出y ＝10x ，110xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，52xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭等函数的图象，进一步验证函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的性质，并探讨函数y ＝a x 与y ＝a -x (a ＞0，且a ≠1)之间的关系．四、数学应用（一）例题：1．比较下列各组数的大小：（1） 2.5 3.21.5,1.5 （2） 1.2 1.50.5,0.5-- （3）0.3 1.21.5,0.82．求下列函数的定义域和值域：（1）1218x y -= （2）y = （3）2212x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭3．已知函数f (x )＝231xx a -+，g (x )＝224xx a +-(a ＞0且a ≠1) ，若f (x )＞g (x )，求x的取值范围．（二）练习：（1）判断下列函数是否是指数函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x -1；③y ＝x 3； ④y ＝－3x ；⑤y ＝(－3)x ；⑥y ＝πx ；⑦y ＝3x 2；⑧y ＝x x ；⑨y ＝(2a －1) x (a ＞21，且a≠1)．（2）若函数y＝(a2－3a＋3)·a x是指数函数，则它的单调性为．课后思考题：求函数2121xxy-=+的值域，并判断其奇偶性和单调性．五、小结1．指数函数的定义（研究了对a的限定以及定义域和值域）2．指数函数的图像3．指数函数的性质：（1）定点：（0，1）；（2）单调性：a＞1，单调增；0＜a＜1，单调减．六、作业课本P52－2，3．。

江苏省涟水县高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数 3.1.2 指数函数(二)学案(无答案)苏教版必修1

指数函数(二)一、教学重难点教学重点：图象平移，变换及一些综合教学难点：复合函数单调性及奇偶性综合应用二、合作探究活动1 说明下列函数图象与指数函数x y 2=的图象的关系，并画出它们的示意图：（1）22-=x y （2）22+=x y思考：2x x y a y a +==与及1x y a =+的关系为_ __________ 归纳成一般结论：x a y =与m x ay +=的关系 x a y =与n a y x +=的关系练习： ①函数3(0,x y a a +=>且1)a ≠的图象可由(0,1)x y a a a =>≠的图像经过怎样的变换得到,它恒过点②31x y =-的图像经过第象限.132x y +=-的图像不经过第_________ 象限.23x y n +=+图象不过第二象限，则n 范围为活动2、通过图象研究（1）①2x y =与1()2xy =图象关系为②2x y =与-2x y =图象关系为③2x y =与1-()2x y =图象关系为归纳一般结论：()1,0≠>a ax x y a y a -==与图象关于对称；x x y a y a ==-与图象关于对称；x x y a y a -==-与图象关于对称；活动3：（1）①2(232)x y a a a =-+为指数函数，则a =②指数函数(3)x y a =-在R 上单调递增，则a 范围③23x 与221()3x -大小关系为活动 4 已知函数)(x f =122+-x x a 是奇函数，（1）求a 的值；（2）求值域；（3）试判断它的单调性并加以证明。

三、提高拓展求函数221()3x x y -=的单调区间；。

高中数学苏教版高一必修一学案第三章指数函数、对数函数和幂函数章末复习课

章末复习课网络构建核心归纳一、指数函数1．根式条件n＞1.(1)n为奇数时，na n＝a；n为偶数时，na n ＝|a|＝⎩⎨⎧a(a≥0)，－a(a＜0).(2)正分数指数幂：＝na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．负分数指数幂：＝1na m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(4)有理数指数幂的运算性质：①a s a t＝a s＋t；②(a s)t＝a st；③(ab)t＝a t b t.其中s，t∈Q，a＞0，b＞0.2．指数函数图象与性质图象特征函数性质a＞1 0＜a＜1a＞10＜a＜1 向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数的图象都在x轴上方函数的值域为(0，＋∞)函数图象都过定点(0,1) a0＝1自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象上的点的纵坐标在第一象限内的图象上的点的纵坐标x＞0，a x＞1x＞0，0＜a x＜1都大于1都小于1在第二象限内的图象上的点的纵坐标都小于1在第二象限内的图象上的点的纵坐标都大于1x＜0，0＜a x＜1 x＜0，a x＞1图象上升趋势是越来越陡图象下降趋势是越来越缓函数值开始增长速度较慢，到了某一值后增长速度极快函数值开始减小速度极快，到了某一值后减小速度较慢1．对数的概念当a＞0且a≠1.(1)对数的性质：①1的对数等于零；②底数的对数等于1；③零和负数没有对数．(2)指数式与对数式的互化：a b＝N⇔b＝log a N2．两种重要对数常用对数以10为底的对数lg N自然对数以无理数e＝2.718 28…为底的对数ln N3.如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)log a(M·N)＝log a M＋log a N；(2)log aMN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．4．换底公式log a b＝log c blog c a(a＞0，且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．5．对数函数的图象和性质图象特征函数性质a＞1 0＜a＜1a＞10＜a＜1函数的图象都在y轴右侧函数的定义域为(0，＋∞) 图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数的图象都过定点(1,0) log a1＝0自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限内的图象上的点的纵坐标都大于x＞1，log a x＞0 0＜x＜1，log a x＞0 第四象限内的图象上的点的纵坐标都小于0＜x＜1 log a x＜0 x＞1，log a x＜0 三、幂函数的图象与性质函数y＝x y＝x2y＝x3y＝y＝1xy＝x－2定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}{y|y≥0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数偶函数单调性在R上递增在(－∞，0) 上递减，在(0，＋∞) 上递增在R上递增在(0，＋∞) 上递增在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减在(－∞，0) 上递增，在(0，＋∞) 上递减图象1．函数的零点一般地，把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是图象与x轴交点的横坐标．(2)求函数零点的方法：①代数法，解f(x)＝0求得；②几何法：画图象求得；③二分法：把零点所在区间逐步二分求得近似解．2．函数零点的存在性定理若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上有零点．①f(a)f(b)＜0是关注条件，满足f(a)f(b)＜0时，函数y＝f(x)在(a，b)内至少有一个零点，但f(a)·f(b)＞0时，函数y＝f(x)在(a，b)内也可能存在零点．②并不是所有的函数都有零点．3．二分法用二分法求方程f(x)＝0零点近似值的步骤：第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0；第二步：求区间(a，b)的中点x1；第三步：计算f(x1)，①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)＜0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)＜0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；第四步：判断是否达到精确要求：即区间端点a，b的值按精确要求是否相等，若相等此值则为函数零点的近似值，否则重复第二、三、四步．五、函数模型及其应用1．常见的几类函数模型(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (3)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(4)指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b ＞0，b ≠1)； (5)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数a ＞0，a ≠1，m ≠0)； (6)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)． 2．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题.要点一有关指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容．指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等．换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用．【例1】 (1)化简：÷⎝⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3ab ； (2)计算：2log 32－log 3329＋log 38－25log 53. 解 (1)原式＝(2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－52log 53＝log 3(4×932×8)－52log 53＝log 39－9＝2－9＝－7.【训练1】＋log 354＋log 345＝________.解析＋log 354＋log 345＝(23)－3＋log 31＝278＋0＝278.答案 278要点二比较大小比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种： (1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等；(3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决．【例2】设a ＝3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析 a ＝3＜0,0＜b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2＜1，c ＝＞1，故有a ＜b ＜c .答案 a ＜b ＜c【训练2】 (1)判断大小：log 32，log 23，log 25的大小关系为__________________． (2)已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则x ，y ，z 的大小关系为________．解析 (1)由于log 31＜log 32＜log 33，log 22＜log 23＜log 25，即0＜log 32＜1,1＜log 23＜log 25，所以log 32＜log 23＜log 25.(2)依题意，得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7.又0＜a ＜1，5＜6＜7，因此有log a 5＞log a 6＞log a 7，即y ＞x ＞z . 答案 (1)log 32<log 23<log 25 (2)y ＞x ＞z要点三函数的零点与方程根的关系及应用根据函数零点的定义，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在考试中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视．【例3】设g (x )＝e 2x ＋|e x －a |，x ∈[0，ln 3]，其中a ≤22，(1)当a ＝1时，函数g (x )是否存在零点，若存在，求出所有零点；若不存在，说明理由；(2)求函数g (x )的最小值．解 (1)当a ＝1时，设t ＝e x (显然t ∈[1,3])，则h (t )＝t 2＋t －1，令h (t )＝t 2＋t －1＝0，解得t ＝－1＋52或t ＝－1－52都不满足t ∈[1,3]，∴x ∈[0，ln 3]时，函数g (x )不存在零点． (2)设t ＝e x ，则h (t )＝t 2＋|t －a |(显然t ∈[1,3]．当a ≤1时，h (t )＝t 2＋t －a 在区间[1,3]上是增函数，所以h (x )的最小值为h (1)＝2－a .当1＜a ≤22时，h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－t ＋a (1≤t ≤a )，t 2＋t －a (a ＜t ≤3).因为函数h (t )在区间[a,3]上是增函数，在区间[1，a ]上也是增函数，又函数h (t )在[1,3]上为连续函数，所以函数h (t )在[1,3]上为增函数，所以h (t )的最小值为h (1)＝a .综上可得：当a ≤1时，g (x )的最小值为2－a ；当1＜a ≤22时，g (x )的最小值为a .【训练3】设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是________(填序号)．①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)．解析设g (x )＝x 3－22－x ，则g (0)＝－4，g (1)＝－1，g (2)＝7，g (3)＝26 12，g (4)＝64 34，显然g (1)·g (2)＜0，于是函数g (x )的零点，即y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点在(1,2)上．答案 ②【探究1】已知函数f (x )＝lg 1＋23在x ∈(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解因为f (x )＝lg 1＋2x ＋a ·4x3在x ∈(－∞，1]上有意义，所以1＋2x ＋a ·4x＞0在(－∞，1]上恒成立．因为4x ＞0，所以a ＞－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈(－∞，1]．由y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 与y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，1]上均为增函数，可知g (x )在(－∞，1]上也是增函数，所以g (x )max ＝g (1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋12＝－34.因为a ＞－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，1]上恒成立，所以a 应大于g (x )的最大值，即a ＞－34. 故所求a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.【探究2】函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0＜a ＜1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，解得－3＜x ＜1，∴定义域为(－3,1)． (2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)] ＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]． ∵－3＜x ＜1，∴0＜－(x ＋1)2＋4≤4. ∵0＜a ＜1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4. 由log a 4＝－2，得a －2＝4，∴a ＝4－12＝12.【探究3】设函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)＞0，求不等式f (7＋2x )＋f (x －4)＞0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，所以k ＝1.故f (x )＝a x －a －x .(1)因为f (1)＞0，所以a －1a ＞0，又a ＞0且a ≠1，所以a ＞1，而当a ＞1时，y ＝a x 和y ＝－a －x 在R 上均为单调增函数，所以f (x )在R 上为单调增函数，原不等式化为：f (7＋2x )＞f (4－x )，所以7＋2x ＞4－x ，所以x ＞－1，所以不等式的解集为{x |x ＞－1}．(2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)，g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t ＝2x －2－x (x ≥1)，则t ＝h (x )在[1，＋∞)上为单调增函数，即h (x )≥h (1)＝32.所以g (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，t ∈[32，＋∞)，所以当t ＝2时，g (x )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)，故当x ＝log 2(1＋2)时，g (x )有最小值－2.【探究4】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ∈(－∞，1]，log 3x 3·log 3x 9，x ∈(1，＋∞).(1)求f (log 232)与f (18)的值； (2)求满足f (x )＝2的x 的值；(3)求f (x )的最小值．解 (1)∵log 232＜log 22＝1，∴f (log 232)＝＝23.∵＝3＞1， ∴f (18)＝f (3)＝log 333·log 339＝log 31·log 33－1＝0×(－1)＝0.故f (log 232)与f (18)的值分别为23，0.(2)当x ≤1时，f (x )＝2－x ＝2，解得x ＝－1，符合题意；当x ＞1时，f (x )＝log 3x 3·log 3x 9＝2，即(log 3x －1)(log 3x －2)＝2.∴log 23x －3log 3x ＝0，∴log 3x ＝3或log 3x ＝0.由log 3x ＝0得x ＝1，不合题意(舍去)．由log 3x ＝3，得x ＝33＝27＞1符合题意．综上可知，所求x 的值为－1或27.(3)当x ≤1时，f (x )＝2－x ＝(12)x ≥(12)1，即f (x )min ＝12.当x ＞1时，f (x )＝(log 3x －1)(log 3x －2)．令log 3x ＝t ，则t ＞0， ∴y ＝(t －1)(t －2)＝(t －32)2－14，∴当t ＝32＞0时，y min ＝－14＜12.∴f (x )的最小值为－14.。